等比数列及其求和专题训练卷(含解析)
等比数列及其求和专题训练卷一、单选题1．（2020·四川眉山 高一期末）在等比数列{}n a 中，知4268a a a =，则35a a =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．22．（2020·北京高二期中）已知等比数列{a n }的公比为12，且a 2＝﹣2，那么a 6等于（ ） A ．12-B ．14-C ．16-D ．18-3．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知数列-1，x ，y ，z ，-3成等比数列，则xyz =（ ）A ．B ．-C ．±D4．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且31181a a = ，则371og a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正，且32453a a a ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A ．12B ．2C ．13D ．13或2- 6．（2020·河南濮阳 高二期末（文））设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝（ ）A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+7．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ） A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里8．（2020·广西兴宁 南宁三中高一期末）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D）A ．#FB ．GC ．#GD ．A9．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两 只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则5S =（ ） A ．153116B ．153216C ．153316D ．126210．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当2n ≥时，22222nn a a -=，设2log n n b a =，数列()()2111n n n n b b ⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A ．20202021B ．20202021-C ．20192020-D ．20192020二、多选题11．（2020·海南海口 高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ） A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<12．（2019·江苏太仓 高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列数列中一定是等比数列的有（ ） A ．{}2naB ．{}1n n a a +C ．{}lg n aD ．n S ，2n n S S -，32n n S S -13．（2020·全国高三一模（文））设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值14．（2019·常州市第一中学高二期中）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 三、单空题15．（2020·全国高二月考（文））已知数列{}n a 是等比数列，若23a =，1427a a =，则6a =______. 16．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 为等比数列，15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =_______.17．（2020·全国高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 四、双空题18．（2020·上海高二课时练习）若数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=，则5a =_____________；前8项的和8S =______________.（用数字作答）19．（2020·江苏高三其他）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝____________.20．（2019·浙江高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为____里，后三天一共走_____里．21．（2020·福建高三其他（文））设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ==，若n nnb a =，则数列{}n b 中最大的项为_____. 五、解答题22．（2020·北京高二期中）已知等比数列{}n a 的公比0q >，且354,16a a ==，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．23．（2019·浙江下城 杭州高级中学高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．24．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ． 25．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .26．（2020·定远县育才学校高一期末）已知数列{}n a 满足121n n a a +=-()n *∈N ，12a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ()n *∈N ．27．（2020·四川眉山 高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*12102,n n a a n n N --+=≥∈，且11a =，数列{}n c 满足()*1(2)n c n N n n =∈+，其前n 项和为n T . （1）设1n n b a =+，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求n S 和n T .（3）不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围.一、单选题1．（2020·四川眉山 高一期末）在等比数列{}n a 中，知4268a a a =，则35a a =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．2【答案】B 【解析】在等比数列{}n a 中，知463248a a a a ==，所以42a =，35a a =244a =.故选：B.2．（2020·北京高二期中）已知等比数列{a n }的公比为12，且a 2＝﹣2，那么a 6等于（ ） A ．12-B ．14-C ．16-D ．18-【答案】D 【解析】由于{}n a 是等比数列，所以()446211228a a q ⎛⎫=⋅=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故选：D3．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知数列-1，x ，y ，z ，-3成等比数列，则xyz =（ ）A ．B ．-C ．±D【答案】B 【解析】∵数列-1，x ，y ，z ，-3成等比数列∴由等比数列性质知：23y xz ==，有y =若等比数列公比为q 则：20y q =-<，故y =∴xyz =-故选：B4．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且31181a a = ，则371og a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】因为等比数列{}n a 的各项都是正数，且31181a a =，所以2311781a a a ==，所以79a =所以3731192og a og == 故选：A5．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正，且32453a a a ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A ．12B ．2C ．13D ．13或2- 【答案】C 【解析】32453,a a a ，成等差数列，234253a a a ∴=+，34214151,,a a a a q a a q q === 43111325a q q q a a ∴=+，即23520q q +-=，0q >，故13q =. 故选：C6．（2020·河南濮阳 高二期末（文））设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝（ ）A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+【答案】C 【解析】 由题意，可知2020122020123420192020()()()S a a a a a a a a a =+++=++++++132019222=+++2021223-=． 故选：C7．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ） A ．6里 B ．24里C ．48里D ．96里【答案】D 【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得6161[1()]2378112-==-a S ，解可得1192a =， 则211192962a a q =⨯=⨯=； 即此人第二天走的路程里数为96； 故选：D ．8．（2020·广西兴宁 南宁三中高一期末）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D）A ．#FB ．GC ．#GD ．A【答案】B 【解析】依题意可知()01,2,,12,13n a n >=.由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，则121111222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,,12,13n a n =为等比数列，设公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 的频率之41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.即对应的半音为G .故选：B9．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两 只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则5S =（ ） A ．153116B ．153216C ．153316D ．1262【答案】B 【解析】大老鼠、小老鼠每天打洞进度分别构成等比数列{}|3,xB y y x R ==∈，公比分别为2、12．首项都为1，所以55511[1()]1(12)152321121612S ⨯-⨯-=+=--．故选B ． 10．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当2n ≥时，22222nn a a -=，设2log n n b a =，数列()()2111n n n n b b ⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A ．20202021B ．20202021-C ．20192020-D ．20192020【答案】B 【解析】∵数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，∴当2n ≥时，222222nn n a a a -==，∴()22nn a n =≥，又∵{}n a 为等比数列，∴2nn a =，*n ∈N ，∴2log n n b a n ==，∴()()()()()212111111111nn n n n n n b b n n n n ++⎛⎫-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，∴2000111111111202011223201920202020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：B . 二、多选题11．（2020·海南海口 高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ） A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<【答案】ABD 【解析】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD12．（2019·江苏太仓 高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列数列中一定是等比数列的有（ ） A ．{}2naB ．{}1n n a a +C ．{}lg n aD ．n S ，2n n S S -，32n n S S -【答案】AB 【解析】由数列{}n a 为等比数列可知，1nn a q a -=，(0)q ≠， 对A ，2221n n a q a -=，故A 正确； 对B ，211110n n n n n n a a a q a a a ++--==≠，故B 正确；； 对C ，11n n n n a lga lga lg lgq a ---==，为等差数列，但是1nn lga lga -不一定为常数，即{}lg n a 不一定为等比数列，故C 错误；对D ，若(1)nn a =-为等比数列，公比1-，则n s 有可能为0，不一定成等比数列，故D 错误.故选：AB ．13．（2020·全国高三一模（文））设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值【答案】AB 【解析】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误；故选：AB14．（2019·常州市第一中学高二期中）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【解析】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误.当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 三、单空题15．（2020·全国高二月考（文））已知数列{}n a 是等比数列，若23a =，1427a a =，则6a =______. 【答案】243 【解析】由题意，14233273a a a a a ===，解得39a =.所以公比32933a q a ===，所以336393243a a q ==⨯=. 故答案为：243．16．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 为等比数列，15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =_______.【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，1501a a q -≠∴≠由已知可得4411514(1)15(1),521a q a a a q S q--=-=-==--， 解得11,82q a =-=-，所以33411(8)()12a a q =⨯=-⨯-=. 故答案为：117．（2020·全国高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.四、双空题18．（2020·上海高二课时练习）若数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=，则5a =_____________；前8项的和8S =______________.（用数字作答）【答案】16 255 【解析】由111,2n n a a a +==知{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知45116,a a q == ()()88181112255.112a q S q-⨯-===--19．（2020·江苏高三其他）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝____________. 【答案】121 【解析】等比数列{}n a 的公比设为q ，前n 项和为n S ，1633a a a =，可得52111()3a a q a q =，即313a q =，①4a 与5a 的等差中项为2，可得454a a +=，即34114a q a q +=，②由①②解得181a =，13q =， 则5515181(1)(1)31211113a q S q⨯--===--．故答案为：121．20．（2019·浙江高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为____里，后三天一共走_____里． 【答案】192 42 【解析】由题可知这六天中每天走的路程是公比为12的等比数列，设第一天走x 里，则6112378112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得192x =，即该人第一天走的路程是192里；后三天共走了34511119219219242222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（里）． 故答案为：192；42．21．（2020·福建高三其他（文））设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ==，若n nnb a =，则数列{}n b 中最大的项为_____. 【答案】12【解析】根据题意，设正项等比数列{}n a 的公比为q ，其中0q >，因为132,14a S ==，可得2322214S q q =++=，解得2q或3q =-，因为0q >，所以2q ，所以112n n n a a q -==，则2n n n n nb a ==，故122121,222b b ===， 当2n ≥时，则由11112(1)112(1)212n n n n nb n n b n n --===+≤---， 则有1234b b b b =>>>，所以数列{}n b 中最大的项为12. 故答案为：12. 五、解答题22．（2020·北京高二期中）已知等比数列{}n a 的公比0q >，且354,16a a ==，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）12n n a ；（Ⅱ）231nn S n =--.【解析】（Ⅰ）根据题意得：2314a a q ==，45116a a q ==， 两式相除得：24q =，由于0q >，故2q， 11a =，所以数列{}n a 的通项公式为：12n na .（Ⅱ）根据题意得：1323n n n b a -=-=-，根据分组求和的方法得：()()()()1233333n n S a a a a =-+-+-++-12123323112nn n a a a n n n -=+++-=-=---.23．（2019·浙江下城 杭州高级中学高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅. 【解析】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =． 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =． 从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 24．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1λ=-．【解析】 （Ⅰ）由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此{}n a 是首项为，公比为的等比数列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.解得1λ=-.25．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】（1）()*21n a n n N =+∈，()*3nn b n N =∈；（2）()12*33222n n S n n n N +=++-∈.【解析】（1）设d 为{}n a 公差，q 为{}n b 公比，由题意得24113a a a =⋅，即()()2111312a d a a d +=⋅+，∵0d ≠，∴2d =，∴()()*1121n a a n d n n N =+-=+∈，又241241333b a q b ⨯+====，∴()1*13n n n b b q n N -=⋅=∈；（2）由（1）得：213nn n a b n +=++， 所以123353213n n S n =+++++++()()123521333n n =++++++++()321333213n n n ++-⋅=+- ()12*33222n n n n N +=++-∈.所以n S ()12*33222n n n n N +=++-∈.26．（2020·定远县育才学校高一期末）已知数列{}n a 满足121n n a a +=-()n *∈N ，12a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ()n *∈N ．【答案】（I ）121n n a -=+；（II ）(1)(1)212n n n n S n +=-++. 【解析】（Ⅰ）121n n a a +- ()*n N ∈可得()1121n n a a +-=- ()*n N ∈，又111a -=，所以数列{}1n a -为公比为2的等比数列，所以112n n a --=，即121n n a -=+ ()*n N ∈（Ⅱ）12n n na n n -=+， 设012122232n T =⨯+⨯+⨯ ()21122n n n n --++-⨯+⨯ 则1232122232n T =⨯+⨯+⨯ ()1122n n n n -++-⨯+⨯所以()1221122222n n n n T n --=--+++++⨯ ()221121n n n n n =⨯-+=-⨯+，所以()()11212n n n n S n +=-++ ()*n N ∈.27．（2020·四川眉山 高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*12102,n n a a n n N--+=≥∈，且11a =，数列{}n c 满足()*1(2)n c n N n n =∈+，其前n 项和为n T . （1）设1n n b a =+，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求n S 和n T . （3）不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）242-=--nn S n ；31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭；（3）10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由1210n n a a --+=得11122-=-n n a a ，变形为：()11112n n a a -+=+， ∵1n n b a =+，∴112n n b b -=且1112b a =+=， ∴数列{}n b 是以首项为2，公比为12的等比数列. （2）由1111(2)22n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，121111*********n n n T c c c c n n -⎛⎫=++⋅⋅⋅++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭∴31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭， 又1n n a b =- ∴2121242113n nn S n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---.（3）由111111111021223213n n T T n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以{}n T 单调递增，n T 最小为13n T =， 所以11log (1)33a a -<，得：log (1)1log a a a a -<=， 所以011a a a<<⎧⎨->⎩ ，解得：10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
(完整版)等比数列练习题(含答案)
等比数列练习题（含答案）一、选择题1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A. 21B. 22C. 2D.2【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q =,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q =故212a a q ===,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）A 、3,9b ac ==B 、3,9b ac =-=C 、3,9b ac ==-D 、3,9b ac =-=-3、若数列}{na 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A4.设{na }为等差数列，公差d = -2，nS 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.24 答案：B 解析： 20,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是()A.(],1-∞-B.()(),01,-∞+∞ C.[)3,+∞D.(][),13,-∞-+∞答案 D6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ．10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ）A ．4122-B ．2122-C ．10122-D ．11122-答案 B11.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4答案 D解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）A.16（n--41） B.6（n--21）C.332（n --41）D.332（n--21）答案 C二、填空题：三、13.（2009浙江理）设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ． 答案：15解析 对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--14.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{na }的前n 项和为ns 。
专题32 等比数列(解析版)
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
【小问2详解】由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合 中的元素个数为 ．
3.（2022·浙江卷T20）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前 项和公式化简条件，求出 ，再求 ；
2023高考一轮复习讲与练
专题32等比数列
练高考 明方向
1.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （）
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，若 ，则 ，与题意矛盾，
基本方法：
等比数列的三种常用判定方法：
定义法：若 ＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a ＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
(Ⅰ)证明 是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
2022版高考数学一轮复习第7章第3讲等比数列及其前n项和训练含解析
第七章 第3讲[A 级 基础达标]1．(2020年昆明模拟)已知正项等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 4，若S 3＝31，则a n ＝( ) A ．2·5n B ．2·5n －1 C ．5n D ．5n －1【答案】D2．(2020年成都模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，若log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 12＝12，则a 6a 7＝( )A ．1B ．3C ．6D ．9 【答案】D3．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3·⎝⎛⎭⎫12n ＋m (n ∈N *)，则实数m 的取值为( ) A ．－32 B ．－1 C ．－3 D ．一切实数【答案】C4．(2021年吉林模拟)《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( )A ．128127B ．44 800127C ．700127D ．17532【答案】B5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 6S 2＝21，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A ．516或1116B ．516或716C ．516或1516D ．316或716【答案】C 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝2，S 6S 2＝21，得2×(1－q 6)1－q 2×(1－q 2)1－q＝1－q 61－q2＝21，整理得q 4＋q 2－20＝0，解得q ＝2或q ＝－2，所以a n ＝2n 或a n ＝2·(－2)n －1．当a n ＝2n 时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和S 4＝12＋14＋18＋116＝1516；当a n ＝2·(－2)n －1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和S 4＝12－14＋18－116＝516.6．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.【答案】1213 【解析】设等比数列的公比为q ，由已知a 1＝13，a 24＝a 6，所以⎝⎛⎭⎫13q 32＝13q 5，又q ≠0，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.7．等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝________.【答案】30 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ＞0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(8＋3q )，a 1q 3＝16，解得a 1＝q ＝2，则S 4＝2×(24－1)2－1＝30.8．(2021年南通二模)在正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知2a 6＝3S 4＋1，a 7＝3S 5＋1，则该数列的公比q 为________．【答案】3 【解析】由2a 6＝3S 4＋1，a 7＝3S 5＋1，得a 7－2a 6＝3(S 5－S 4)＝3a 5，即a 5q 2－2a 5q ＝3a 5，则q 2－2q －3＝0，解得q ＝－1或q ＝3.因为{a n }是正项等比数列，所以q ＝3.9．已知等比数列{a n }中，公比q ＝2，a 4是a 3＋2，a 5－6的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)因为等比数列{a n }中，公比q ＝2，a 4是a 3＋2，a 5－6的等差中项，所以2a 4＝(a 3＋2)＋(a 5－6)．所以2(a 1×23)＝(a 1×22＋2)＋(a 1×24－6)，解得a 1＝1． 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n－1．(2)因为等比数列{a n }中，公比q ＝2，首项a 1＝1， 所以数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n－1．10．已知等比数列{a n }，公比q ＞0，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，5为a 1，a 3的等差中项．(1)求数列{a n }的通项； (2)求数列{a n }的前n 项和．解：(1)因为等比数列{a n }中，公比q ＞0，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，5为a 1，a 3的等差中项， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a n ≠0，a n q 2＝a n q ＋2a n，a 1＋a 1q 2＝10，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.[B 级 能力提升]11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36【答案】B 【解析】因为数列{a n }是等比数列，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，所以a 4＝2.因为a 4与2a 7的等差中项为54，所以12(a 4＋2a 7)＝54，故有a 7＝14.所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q ＝12，所以a 1＝a 4q 3＝16.所以S 5＝16×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝31． 12．(多选)(2020年淮安模拟)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a nB ．{log 2a n }C ．{a n ·a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}【答案】ACD 【解析】由题意，可设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则a n ＝a 1·q n －1．对于A ，1a n ＝1a 1q n －1＝1a 1·⎝⎛⎭⎫1q n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是一个以1a 1为首项，1q 为公比的等比数列；对于B ，log 2a n ＝log 2(a 1·q n －1)＝log 2a 1＋(n －1)log 2q ，所以数列{log 2a n }是一个以log 2a 1为首项，log 2q 为公差的等差数列；对于C ，因为a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝a n ＋2a n ＝a 1·q n ＋1a 1·q n －1＝q 2，所以数列{a n ·a n ＋1}是一个以q 2为公比的等比数列；对于D ，因为a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝q (a n ＋a n ＋1＋a n ＋2)a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝q ，所以数列{a n＋a n ＋1＋a n ＋2}是一个以q 为公比的等比数列．13．(2020年仙桃测试)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤92，8 【解析】设{a n }的公比为q ，则根据题意得q ＝a 2a 1＝a 3a 2，所以32≤q ≤2，a 4＝a 3q ≥92，a 4＝a 2q 2≤8，所以a 4∈⎣⎡⎦⎤92，8. 14．(一题两空)(2020年徐州模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 2 020＝2a 2 018＋a 2 019，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则n ＋4m mn的最小值是________，此时m 2＋n 2＝________.【答案】3220 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，若{a n }满足a 2 020＝2a 2 018＋a 2 019，则有q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．由a m ·a n ＝4a 1，得a m ·a n ＝16a 21，得2m＋n －2＝16＝24，则m ＋n ＝6.所以n ＋4m mn ＝1m ＋4n ＝16×(m ＋n )×⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16×⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n .由nm ＋4m n≥2n m ·4m n ＝4，当且仅当n ＝2m ，即n ＝2m ＝4时等号成立．所以n ＋4m mn ≥16×(5＋4)＝32，此时m 2＋n 2＝20.15．(2020年北京二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________.是否存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．从①a n ＋1－2a n ＝0，②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)，③S n ＝n 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：若选①a n ＋1－2a n ＝0，则由a 1＝1，知a n ≠0，所以a n ＋1a n＝2，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以a 1＝1，a k ＝2k －1，S k ＋2＝1－2k ＋21－2＝2k ＋2－1．若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(2k ＋2－1)＝2k ＋2－1．左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列． 若选②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)，即S n －S n －1＝n ⇒a n ＝n (n ≥2)．又a 1＝1适合上式，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．所以a 1＝1，a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)(k ＋3)2.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则k 2＝1×(k ＋2)(k ＋3)2，解得k ＝6(k ＝－1舍去)．所以存在正整数k ＝6，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选③S n ＝n 2，则a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝1适合上式， 所以{a n }是首项为1，公差为2的等左数列．所以a ＝1，a k ＝2k －1，S k ＋2＝(k ＋2)2. 若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(k ＋2)2，解得k ＝3⎝⎛⎭⎫k ＝－13舍去. 所以存在正整数k ＝3，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．[C 级 创新突破]16．(2020年驻马店期末)若数列{a n }满足1a n ＋1－3a n ＝0(n ∈N *)，则称{a n }为“梦想数列”，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1＋b 2＋b 3＝2，则b 3＋b 4＋b 5＝( )A ．18B ．16C ．32D ．36【答案】A 【解析】若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，则由题意得11b n ＋1－31b n＝0，即b n ＋1－3b n ＝0，b n ＋1b n ＝3，即{b n }为公比为3的等比数列．由b 1＋b 2＋b 3＝2，得b 3＋b 4＋b 5＝32(b 1＋b 2＋b 3)＝18.17．(2020年北京)已知{a n }是无穷数列．给出两个性质：①对于{a n }中任意两项a i ，a j (i ＞j )，在{a n }中都存在一项a m ，使得a 2ia j ＝a m ；②对于{a n }中任意一项a n (n ≥3)，在{a n }中都存在两项a k ，a l (k ＞l )，使得a n ＝a 2ka l .(1)若a n ＝n (n ＝1,2，…)，判断数列{a n }是否满足性质①，说明理由；(2)若a n ＝2n －1(n ＝1,2，…)，判断数列{a n }是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，求证：{a n }为等比数列． 解：(1)不满足，理由：a 23a 2＝92∉N *，所以不存在一项a m ，使得a 23a 2＝a m .(2)数列{a n }同时满足性质①和性质②，理由：a 2ia j ＝(2i －1)22j －1＝22i －22j －1＝22i －j －1，因为a 2i －j ＝22i－j －1，所以满足性质①.对于任意的n ≥3，欲满足a n ＝2n －1＝a 2k a l＝22k －l －1，只需满足n ＝2k －l 即可． 令l ＝n －2，则k ＝n －1，且符合k ＞l ≥1，所以满足性质②.所以{a n }同时满足性质①和性质②.(3)对于a 1＞0，因为{a n }递增，所以a n ＞0.由性质②，取n ＝3，则存在a k ，a l (k ＞l )，使a 3＝a 2ka l ＝a k a l ·a k ＞a k ，所以k ＜3.所以k ＝2，l ＝1． 所以a 3＝a 22a 1.所以{a n }中a 1，a 2，a 3三项成等比．对于a 1＜0，由性质①，取i ＝2，j ＝1，则存在a m ，使a m ＝a 22a 1.易证a m ≠a 2，即m ≠2.若a m ＝a 1，则只能a 21＝a 22，此时a 2＝－a 1＞0.所以当n ≥2时，a n ＞0.取i ＞2，j ＝1，因为{a n }递增，a i ＞a 2＞0，所以a m ＝a 2i a j ＝a 2i a 1＜a 22a 1＝a 1，显然不存在满足不等式的m ，矛盾．a m ＝a 1也不成立，所以m ≥3.而a m a 1＝a 22＞0，所以a m 与a 1同号，所以a m＜0. 所以a 3＜0，a 2＜0.所以a 1，a 2，a 3同号． 如下证明，对任意k ≥2，a k ＜0时，则a k ＋1＜0. 由性质①，取i ＝k ，j ＝k －1，则存在m ，使a m ＝a 2ka k －1.首先a m 与a k －1同号，由递增数列，知a k －1＜a k ＜0，所以a m ＜0. 假设m ≤k ，则a m ≤a k ＜0.所以|a m |≥|a k |＞0，结合a k －1＜a k ＜0，有|a k －1|≥|a k |＞0，显然|a m ||a k －1|＞|a k |2与a m a k －1＝a 2k矛盾，所以m ≥k ＋1，a m ≥a k ＋1．又a m ＜0，所以a k ＋1＜0.所以{a n }同号且均为负数．所以对于{a n }，a m ＞a 2ka l ＝a k a l ·a k ＞a k 恒成立．所以a 3＝a 2ka l ＝a k a l ·a k ＞a k ，得3＞k ＞1．所以k ＝2，l ＝1．所以a 3＝a 22a 1.综上，当n ≤3时，{a n }为等比数列．假设当n ≤k (显然k ≥3)时，a 1，a 2，…，a m 成等比，设其通项公式为a n ＝a 1q n －1(n ≤k )，下证a k ＋1＝a 1q k .由性质①，取i ＝k ，j ＝k －1，则存在m ，使a m ＝a 2ia j ＝(a 1q k －1)2a 1q k －2＝a 1q k . 假设m ≠k ＋1，此时必有m ≥k ＋2. 由递增数列知，a k ＜a k ＋1＜a m ， 即a 1q k －1＜a k ＋1＜a 1q k .令a k ＋1＝a 1q s ，此时k －1＜s ＜k ，所以s ∈N *.另一方面，由性质②，对a k ＋1，存在u ，v (u ＞v )，使a k ＋1＝a 2u a v ＝a ua v ·a u ＞a u，所以u ＜k ＋1，即u ≤k 且v ≤k .所以a k ＋1＝a 2u a v ＝a 21q 2u －2a 1qv －1＝a 1q 2u －v －1．而2u －v －1∈N *，s ∈N * ，a 1≠0， 所以a 1q 2u－v－1≠a 1q s .而这两个都是a k ＋1的表达式，矛盾． 所以m ＝k ＋1．所以a k ＋1＝a 1q k .所以当n ≤k ＋1时，a 1，a 2，…，a k ＋1也成等比． 综上，{a n }为等比数列．。
2021年高考数学考点30等比数列及其前n项和必刷题理含解析
考点30 等比数列及其前n项和1．已知数列的前项和为，满足，则的通项公式（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，当时，，因此,选B.2．已知数列为正数项的等比数列，是它的前项和，若，且，则（）A． 34 B． 32 C． 30 D． 28【答案】C3．已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，则等于A． B． C． 3 D． 1【答案】A【解析】设等比数列{a n}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，∴2×2a3=3a2+a4，∴4a2q=3，化为q2﹣4q+3=0，解得q=1或3．q=1时，,q=2时，.故选：A．4．已知数列的前项和，则数列的前项和为（）A． B． C． D．【答案】C5．已知等比数列的前项和，且，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得.故答案为：C6．已知等比数列中，，，为方程的两根，则（）A． 32 B． 64 C． 256 D．【答案】B7．等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积），中值为正数的个数是A． B． C． D．【答案】B【解析】等比数列{a n}中a1＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数．∴Π11＜0，Π10＜0，Π9＞0，Π8＞0．故答案为：B8．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则A． 10 B． 12 C． 18 D． 30【答案】A【解析】在等比数列中，由，得，即，又，，成等差数列，，即，联立得：舍或．．则．故选：A．9．已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是( )A． 29 B． 30 C． 31 D． 32【答案】C10．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则 ( ) A． 3 B． 9 C． 10 D． 13【答案】C【解析】设各项均为正数的等比数列的公比为，满足成等差数列，，，解得，则，故选C.11．已知数列的前n项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为，，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数m的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4③－④得，∴．∵．∴为递增数列，且，∴．∴，实数m的最大值为4．12．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n+1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；(3)令(n∈N*)，求数列{c n}的前n项和T n.【答案】（1）；(2);（3） .（3）c n===n•3n+n，令数列{n•3n}的前n项和为A n，则A n=3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3A n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2A n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，可得A n=．∴数列{c n}的前n项和T n=+．13．已知数列中，且．（Ⅰ）求，，并证明是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2），②①－②得所以，．14．已知α为锐角，且，函数，数列的首项，．（1）求函数的表达式；（2）求证：数列为等比数列；（3）求数列的前n项和．【答案】(1)；(2) 见解析；(3).∴15．已知数列的前项和，.（1）求；（2）若，且数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.16．在等差数列{a n}中，，其前n项和为，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
等比数列前n项和的性质习题(含答案)
第2课时等比数列前n 项和的性质及应用1.已知等比数列{a n }的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n }的前10项和等于()A.31B.33C.35D.37考点等比数列前n 项和的性质题点连续m 项的和成等比数列答案B解析设{a n }的公比为q ，由题意，q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 5＝25＝32，∴S 10＝1＋32＝33.2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为()A.13B.－13C.12D.－12考点等比数列前n 项和题点等比数列前n 项和综合问题答案C 解析方法一∵S n ＝x ·3n －1－16＝x 3·3n －16，由S n ＝A (q n －1)，得x 3＝16，∴x ＝12，故选C.方法二当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2x ·3n －2，∵{a n }是等比数列，∴n ＝1时也应适合a n ＝2x ·3n －2，即2x ·3－1＝x －16，解得x ＝12.3.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n ＋d ，则向量a ＝(c ，d )的模为()A.1B.2C.3D.无法确定考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案A解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模为1.4.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于()A.24B.12C.18D.22考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案B解析设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{a n}是等比数列，且a n>0，则{lg a n}构成等差数列.2.等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列.(2)函数思想：等比数列的通项a n＝a1q n－1＝a1q·q n(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和S n＝a1q－1(q n－1)(q≠1).设A＝a1q－1，则S n＝A(q n－1)与指数函数相联系.(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把q n，a11－q当成整体求解.一、选择题1.等比数列{a n}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于()A.2B.12C.4D.14考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案C解析∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.2.设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于()A.1B.0C.1或0D.－1考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案A解析∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列，∴q ＝a na n －1＝1.3.在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于()A.90B.70C.40D.30考点等比数列前n 项和的性质题点连续m 项的和成等比数列答案C解析∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.30＝13S 10，10＋S 30＝14010＝10，30＝130，10，130，∴q 20＋q 10－12＝0，∴q 10＝3，∴S 20＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.4.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为()A.－2 B.2C.－3D.3考点等比数列前n 项和的性质题点连续m 项的和成等比数列答案B解析设公比为q，若q＝1，则S2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵S2mS m＝a1(1－q2m)1－qa1(1－q m)1－q＝q m＋1＝9，∴q m＝8.∴a2ma m＝a1q2m－1a1q m－1＝q m＝8＝5m＋1m－1，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.5.已知等比数列{a n}的公比为q，记b n＝a m(n－1)＋1＋a m(n－1)＋2＋…＋a m(n－1)＋m，c n＝a m(n－1)＋1·a m(n－1)＋2·…·a m(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A.数列{b n}为等差数列，公差为q mB.数列{b n}为等比数列，公比为q2mC.数列{c n}为等比数列，公比为qm2D.数列{c n}为等比数列，公比为qm m考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案C解析∵{a n}是等比数列，∴a mn＋ma m(n－1)＋m＝q mn＋m－m(n－1)－m＝q m，∴c n＋1c n＝a mn＋1·a mn＋2·…·a mn＋ma m(n－1)＋1·a m(n－1)＋2·…·a m(n－1)＋m＝(q m)m＝2m q.6.设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.15 2B.31 4C.33 4D.17 2考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案B解析∵{a n}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{a n}的公比为q，则q>0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 51－12＝314.7.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，则a 6等于()A.3×44B.3×44＋1C.45D.45＋1考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案A解析当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列.又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ，n ＝1，×4n －2，n ≥2，n ∈N *.∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.8.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于()A.－3B.5C.－31D.33考点等比数列前n 项和的性质题点连续m 项的和成等比数列答案D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－qa 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－qa 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33.二、填空题9.等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案2解析奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80，奇＝－80，偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.10.已知首项为1的等比数列{a n }是摆动数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 4S 2＝5前5项和为________.考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案1116解析S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝5，q ＝±2.∵{a n }是摆动数列，∴q ＝－2.1，公比为－12，前51＝1＋13232＝1116.三、解答题11.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点错位相减法求和题点错位相减法求和解(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由题意得，b n ＝n ·2n ，∴S n＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2S n＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②①－②，得－S n＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.∴S n＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N*.12.中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题.若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人.从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数a n的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施.问到2036年是否需要调整政策？考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题解(1)当n≤10时，数列{a n}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，所以a n＝45.5＋0.5×(n－1)＝45＋0.5n.当n≥11时，数列{a n}是以0.99为公比的等比数列.又a10＝50，所以a n＝50×0.99n－10，因此新政策实施后第n年的人口总数a n(单位：万人)的表达式为a n ＋0.5n，1≤n≤10，n∈N*×0.99n－10，11≤n≤20，n∈N*.(2)设S n为数列{a n}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为S2020≈47.54万.因为S2020<49，故到2036年不需要调整政策.13.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和.(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合(1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3).当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列.若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n＋k －1＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列.四、探究与拓展14.数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案201723＋13×42018解析由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·na n，即n ＋1a n ＋1－1又1a 1－1＝－14，所以n a n ＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ＝n －41－14＝n －13＋13·14n ，则1a1＋2a2＋3a3＋…＋2018a2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018.15.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3(2n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝5n －2.数列{a n }和{b n }的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n }.若数列{c n }的第n 项恰为数列{a n }的第k n 项，则数列{k n }的前32项的和是________.考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案2016解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3(2n －1)－3(2n －1－1)＝3×2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，∴a n ＝3×2n －1.令a t ＝b s ，∴3×2t －1＝5s －2，则s ＝3×2t －1＋25.t ＝1，s ＝1，符合题意；t ＝2，s ＝85，不合题意；t ＝3，s ＝145，不合题意；t ＝4，s ＝265，不合题意；t ＝5，s ＝10，符合题意；…；∴{k n }是以1为首项，4为公差的等差数列，∴数列{k n }的前32项之和为32×1＋32×312×4＝2016.。
人教A版必修5 第2章 2.5 等比数列的前n项和 同步练习卷 (解析版)
2.5 等比数列的前n项和同步练习卷一、解答题（共3小题）.1．在等比数列{a n}中，a1+a n＝66，a2•a n﹣1＝128，且前n项和S n＝126，求n以及公比q．2．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3+S6＝2S9，求数列的公比q．3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3n+a n（n≥1）．求：（1）a2，a3；（2）a n；（3）数列{a n}的前n项和S n．二、选择题4．已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15B．17C．19D．215．设{a n}是公比为正数的等比数列．若a1＝4，a5＝16，则数列{a n}的前7项和为（）A．63B．64C．60+28D．1286．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝（）A．2B．4C．D．7．等比数列{a n}中，已知a1＝3，a n＝96，其前n项和S n＝189，则n的值为（）A．4B．5C．6D．78．在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3＝6，a2+a3+a4＝﹣3，则a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（）A．B．C．D．9．设S n是等比数列{a n}的前n项和．若＝2，S4＝4，则S8等于（）A．12B．24C．16D．3210．下列表达式中，可以作为某个等比数列的前n项和的是（）A．S n＝3n﹣1B．S n＝3n C．S n＝3n+1D．S n＝3n+2三、填空题11．在等比数列{a n}中，前10项和是10，a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7﹣a8+a9﹣a10＝5，则数列{a n}的公比q＝．12．在等比数列{a n}中，a1+a2＝4，a4+a5＝108，则数列{a n}的前n项和S n＝．13．已知数列{a n}的通项公式为a n＝5•2n﹣1，其前n项和为S n．若S k＞10050，则k的最小值为．四、解答题（共8小题，满分0分）14．在等比数列{a n}中，（1）已知a n＝3n+1，求S n和S4；（2）已知S n＝2﹣n﹣1，求a n和a4；（3）已知S2＝30，S3＝155，求a n和S n；（4）已知S3S5﹣S42＝﹣16，a2a4＝32，求S4．15．有一个公比q＝2，项数为10的有穷等比数列，如果将它的各项取以2为底的对数，那么这些对数的和为25．求这个数列各项的和．16．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1、a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k＝0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k＝1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7及a2n（n≥4）（不必证明）；（Ⅱ）求数列{a n}的前2n项和S2n．17．已知等比数列{a n}的前15项之和为8，b n＝（﹣1）n+1•a n，且数列{b n}的前15项之和为5，求数列{a n2}的前15项之和．18．已知数列{a n}的通项公式a n＝，求这个数列的前n（n∈N*）项的和．19．已知数列{a n}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5+1，a6成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{a n}的前n项和记为S n，证明：S n＜128（n＝1，2，3，…）．20．已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．21．设{a n}是公比为q的等比数列，其前n项和为S n，若S5，S15，S10成等差数列，求证：2S5，S10，S20﹣S10成等比数列．参考答案一、解答题1．在等比数列{a n}中，a1+a n＝66，a2•a n﹣1＝128，且前n项和S n＝126，求n以及公比q．【分析】由a2•a n﹣1＝a1•a n＝128，又a1+a n＝66推断a1，a n是方程x2﹣66x+128＝0的两根，解方程求得a1和a n，进而根据等比数列的求和公式求得q和n．解：由a2•a n﹣1＝a1•a n＝128，又a4+a n＝66得，a1，a n是方程x2﹣66x+128＝0的两根，或，或．2．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3+S6＝2S9，求数列的公比q．【分析】先假设q＝1，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式化简S3+S6＝2S9得到关于q的方程，根据q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．解：若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a8，S9＝9a1．但a1≠0，即得S3+S6≠2S6，与题设矛盾，q≠1．可得由q≠6得方程2q6﹣q3﹣1＝0．∵q≠1，q3﹣1≠5，∴q＝﹣．3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3n+a n（n≥1）．求：（1）a2，a3；（2）a n；（3）数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用赋值法求出a2，a3；（2）利用叠加法求出数列的通项公式．（3）利用（2）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）当n＝1时，a2＝2+a1，解得a2＝4，当n＝2时，，解得a3＝13．所以，…，a2﹣a1＝3，整理得＝．所以＝＝＝．二、选择题4．已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15B．17C．19D．21【分析】由已知q＝2，a1+a2+a3+a4＝1可得a5+a6+a7+a8＝（a1+a2+a3+a4）q4，从而可求等比数列的前8项和解：由题意可得，q＝2，a1+a2+a3+a4＝2由等比数列的通项公式可得，a5+a6+a7+a8＝（a1+a6+a3+a4）q4＝16故选：B．5．设{a n}是公比为正数的等比数列．若a1＝4，a5＝16，则数列{a n}的前7项和为（）A．63B．64C．60+28D．128【分析】设公比为q（q＞0），由题设求出q，然后利用等比数列的前n项和公式求得结果即可．解：设公比为q（q＞0），由题设知：＝q4＝＝4，解得：q＝，∴数列{a n}的前7项和为＝＝60+28．故选：C．6．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝（）A．2B．4C．D．【分析】根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案．解：由于q＝2，∴故选：C．7．等比数列{a n}中，已知a1＝3，a n＝96，其前n项和S n＝189，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】由题意结合等比数列的通项公式和求和公式可得q的方程组，解之可得q，代入通项公式可得n值．解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝3，a n＝96可知q≠6，故a n＝a1q n﹣1＝3q n﹣4＝96，①S n＝＝189，②解得q＝2，故2n﹣1＝32，解得n＝4，故选：C．8．在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3＝6，a2+a3+a4＝﹣3，则a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可得公比q≠1，再由条件利用等比数列的前n项和公式，解方程组求得首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式求得a3+a4+a5+a6+a7+a8的值．解：由题意可得公比q≠1，且，．解方程组求得a8＝8，q＝﹣．故选：A．9．设S n是等比数列{a n}的前n项和．若＝2，S4＝4，则S8等于（）A．12B．24C．16D．32【分析】本题先设等比数列{a n}的公比为q，然后根据等比数列的定义及已知条件可计算出q4＝2，再根据等比数列的求和公式写出S4及S8的表达式，进一步计算即可得到S8的结果．解：由题意，设等比数列{a n}的公比为q，则＝q4＝2，∴＝﹣4，故选：A．10．下列表达式中，可以作为某个等比数列的前n项和的是（）A．S n＝3n﹣1B．S n＝3n C．S n＝3n+1D．S n＝3n+2【分析】由选项得到等比数列的公比，求出S n，再逐项观察，选出正确答案．解：由选项易知该等比数列的公比为3，设首项为a1，前n项和为S n，则S n＝＝•3n﹣，∴选项A正确．故选：A．三、填空题11．在等比数列{a n}中，前10项和是10，a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7﹣a8+a9﹣a10＝5，则数列{a n}的公比q＝3．【分析】先由题设条件求出等比数列{a n}前10项中的偶数项之和与奇数项之和，再求出它们的比，即可求得q．解：由题设条件知：a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝10，又a1﹣a7+a3﹣a4+a5﹣a6+a7﹣a6+a9﹣a10＝5，两式相加可得：a1+a3+a5+a2+a9＝；两式相减可得：a2+a4+a8+a8+a10＝，故答案为：3．12．在等比数列{a n}中，a1+a2＝4，a4+a5＝108，则数列{a n}的前n项和S n＝．【分析】先由题设条件求出公比q与首项a1，再代入其前n项和公式，即可求得S n．解：设等比数列{a n}的公比为q，由题设条件知：＝＝q3，解得：q＝3，又a1+a7＝4＝a1（5+q）＝4a1，∴a1＝1，∴S n＝＝．故答案为：．13．已知数列{a n}的通项公式为a n＝5•2n﹣1，其前n项和为S n．若S k＞10050，则k的最小值为11．【分析】先由题设条件求出S k，再解不等式：S k＞10050，求出满足题意的k即可．解：由题设可得：S k＝＝8（2k﹣1），又S k＞10050，即5（2k﹣3）＞10050，即：2k＞2011，又210＝1024，211＝2048，∴k的最小值为11．故答案为：11．四、解答题（共8小题，满分0分）14．在等比数列{a n}中，（1）已知a n＝3n+1，求S n和S4；（2）已知S n＝2﹣n﹣1，求a n和a4；（3）已知S2＝30，S3＝155，求a n和S n；（4）已知S3S5﹣S42＝﹣16，a2a4＝32，求S4．【分析】（1）利用等比数列的前n项和公式求得结果；（2）先利用a n＝求得a n，再求a4；（3）设公比为q，由题设条件列出a1与q的方程组，解出a1与q，即可求得结果；（4）设公比为q，由题设条件列出a1与q的方程组，解出a1与q，即可求得S4．解：（1）由题设易知公比q＝3，∴S n＝＝，S4＝＝360；（2）当n≥2时，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2﹣n﹣1﹣（2﹣n+1﹣1）＝﹣3﹣n，∴a n＝﹣2﹣n，a4＝﹣3﹣4＝﹣；∴①当时，a n＝5n，S n＝＝；②当时，a n＝180×（﹣）n﹣1，S n＝＝[1﹣（﹣）n]．（4）设公比为q（q≠1），由题设可得：，解得：，∴S4＝＝＝±10．15．有一个公比q＝2，项数为10的有穷等比数列，如果将它的各项取以2为底的对数，那么这些对数的和为25．求这个数列各项的和．【分析】记有穷等比数列为{a n}，先由题设条件和等比数列的性质列出a1的方程，解出a1，再利用等比数列的前n项和公式求得结果．解：记有穷等比数列为{a n}，由题设知：log2a1+log2a2+...+log4a10＝25，即log2（a1a2 (10)＝25，∴a1a2…a10＝225，由等比数列的性质可得：（a8a10）5＝225，∴a1a10＝25＝a12q9＝a82×29，又a n＞0，∴a1＝，即该数列的各项和为．16．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1、a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k＝0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k＝1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7及a2n（n≥4）（不必证明）；（Ⅱ）求数列{a n}的前2n项和S2n．【分析】（Ⅰ）首先因式分解求得方程的两根，由条件a2k﹣1≤a2k写出当k＝1，2，3，4时相邻两项，（Ⅱ）由（1），寻找规律，得到数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1、a2k的通项，最后采用分组求和的方法求数列{a n}的前2n项和S2n解：（I）解：易求得方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k＝0的两个根为x1＝7k，x2＝2k．当k＝6时x1＝3，x2＝2，所以a1＝2，a2＝3当k＝4时，x1＝9，x3＝8，所以a5＝5，a6＝9因为n≥2时，2n＞3n，所以a2n﹣1＝3（n﹣3），a2n＝2n（n≥4）＝17．已知等比数列{a n}的前15项之和为8，b n＝（﹣1）n+1•a n，且数列{b n}的前15项之和为5，求数列{a n2}的前15项之和．【分析】首先利用等比数列的通项公式和前n项和公式的应用进一步变换，最后求出结果．解：设数列{a n}的公比为q的等比数列，数列{a n}的前15项之和为8，所以①，所以，整理②由①②得：＝＝．18．已知数列{a n}的通项公式a n＝，求这个数列的前n（n∈N*）项的和．【分析】首先利用分类讨论思想的应用和数列的通项公式的应用和利用分组法的应用求出数列的和．解：数列{a n}的通项公式a n＝，①当n为偶数时，数列的偶数项和奇数项相等，都为项，②当n为奇数时．数列的奇数项为项，数列的偶数项为项，所以．19．已知数列{a n}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5+1，a6成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{a n}的前n项和记为S n，证明：S n＜128（n＝1，2，3，…）．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，根据a7＝求得a1和q的关系，进而根据a4，45+1，a5成等差数列．求得q，进而求得a1，则等比数列的饿通项公式可得．（Ⅱ）根据等比数列的求和公式，求得，根据，进而使原式得证．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q∈R），由a7＝a1q6＝1，得a1＝q﹣6，从而a4＝a3q3＝q﹣3，a5＝a1q4＝q﹣2，a6＝a1q5＝q﹣1．即q﹣4+q﹣1＝2（q﹣2+1），q﹣1（q﹣2+1）＝2（q﹣2+1）．（Ⅱ）．20．已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得解得（Ⅱ）若，则，从而．从而故．故不存在正整数m，使得成立．21．设{a n}是公比为q的等比数列，其前n项和为S n，若S5，S15，S10成等差数列，求证：2S5，S10，S20﹣S10成等比数列．【分析】由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，首先判断公比不为1，化简整理，解方程求得q5＝﹣，再由等比数列的求和公式，计算即可得证．【解答】证明：若S5，S 15，S10成等差数列，可得2S15＝S5+S10，由7•＝+，即（2q 5+5）（q5﹣1）＝0，2S5（S20﹣S10）＝2••[﹣]S10＝＝（1﹣）•＝•，则2S5，S10，S20﹣S10成等比数列．。
高考数学(理)一轮规范练【31】等比数列及其前n项和(含答案)
课时规范练31等比数列及其前n项和课时规范练第49页一、选择题1.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于( )A.9B.10C.11D.12答案:C解析:a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=a1q10,所以m=11.2.在等比数列{a n}中,a2a6=16,a4+a8=8,则等于( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3答案:A解析:由a2a6=16,得=16⇒a4=±4,又a4+a8=8,可得a4(1+q4)=8,∵q4>0,∴a4=4.∴q2=1,=q10=1.3.等比数列{a n}的公比为q,则“a1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有a n+1>a n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:易知,当a1>0且q>1时,a n>0,所以=q>1,表明a n+1>a n;若对任意自然数n,都有a n+1>a n成立,当a n>0时,同除以a n得q>1,但当a n<0时,同除以a n得q<1.4.已知等比数列{a n}满足a n>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2答案:C解析:由a5·a2n-5=22n(n≥3),得=22n,∵a n>0,∴a n=2n.易得结论.5.各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2,S3n=14,则S4n等于( )A.80B.30C.26D.16答案:B解析:设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2(14-a)=(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去),同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以b=S4n=30.6.在等比数列{a n}中,a1=2,其前n项和为S n,若数列{a n+1}也是等比数列,则S n等于( )A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1答案:C解析:数列{a n}为等比数列,设其公比为q,则a n=2q n-1,∵数列{a n+1}也是等比数列,∴(a n+1+1)2=(a n+1)(a n+2+1).∴+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2.∴a n+a n+2=2a n+1.∴a n(1+q2-2q)=0,得q=1,即a n=2.∴S n=2n.二、填空题7.已知在等差数列{a n}中,n≥1时,都有a n>a n+1,且a2,a8是方程x2-12x+m=0的两根,前15项的和S15=m,则数列{a n}的公差为.答案:-2或-3解析:由题意得2a5=a2+a8=12,即a5=6.由S15=m,且S15=15a8,得a8=,将x1=a8=代入方程x2-12x+m=0,解得m=0或m=-45,即a8=0或-3.由3d=a8-a5=-6或-9,均小于0,得d=-2或-3.8.在等比数列{a n}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n=.答案:4n-1解析:由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以通项公式为a n=4n-1.9.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列,三边a,b,c成等比数列,b=,则△ABC的面积是.1 / 2答案:解析:因为△ABC的内角A,B,C成等差数列,所以A+C=2B,B=.又因为三边a,b,c成等比数列,b=,所以ac=b2=3.于是S△ABC=ac sin B=.三、解答题10.在等差数列{a n}中,a1=1,a7=4,数列{b n}是等比数列,已知b2=a3,b3=,求满足b n<的最小自然数n的值.解:∵{a n}为等差数列,a1=1,a7=4,∴6d=3,d=,∴a n=.∵{b n}为等比数列,b2=2,b3=,q=,∴b n=6×.∵b n<,∴81<,即3n-2>81=34.∴n>6,从而可得n min=7.11.已知{a n}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列{a n}的通项;(2)求数列{}的前n项和S n.解:(1)由题设知公差d≠0.由a1=1,a1,a3,a9成等比数列,得,解得d=1,或d=0(舍去).所以{a n}的通项a n=1+(n-1)×1=n.(2)由(1)知=2n,由等比数列前n项和公式得S n=2+22+23+…+2n==2n+1-2.12.已知数列{a n}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{b n}满足b n=a n a n+1(n∈N*).(1)若{a n}是等差数列,且b3=12,求a的值及{a n}的通项公式;(2)若{a n}是等比数列,求{b n}的前n项和S n;(3)当{b n}是公比为q-1的等比数列时,{a n}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.解:(1)∵{a n}是等差数列,a1=1,a2=a,∴a n=1+(n-1)(a-1).又∵b3=12,∴a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-.∵a>0,∴a=2.∴a n=n.(2)∵数列{a n}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),∴a n=a n-1.∴b n=a n a n+1=a2n-1.∵=a2,∴数列{b n}是首项为a,公比为a2的等比数列.当a=1时,S n=n;当a≠1时,S n=.(3)数列{a n}不能为等比数列.∵b n=a n a n+1,∴.则=a-1.∴a3=a-1.假设数列{a n}能为等比数列.由a1=1,a2=a,得a3=a2.∴a2=a-1,此方程无解,故数列{a n}一定不能为等比数列.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
高中数学等比数列专项练习(含答案)
等比数列专项练习题一、选择题1．等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．32．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 3+a 6=0，则=（ ）A ．﹣11B ．﹣8C ．5D ．113．已知正项等比数列{}n a ，且221052a a a =，3=1a ，则4a =A ．12B ．22C 2D ．24．等比数列,22,33,x x x ++…的第四项为（ ） A ．27-2 B ．272C ．-27D ．27 5．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A 、7B 、 5C 、-5D 、-76．已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为 A ．5- B ．5 C ．52-D ．527．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．12-C ．1或12-D ．1-或12- 8．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43 9．在等比数列 {a n } 中，,3,210275=+=a a a a 则412a a =（ ） A ．2 B ．21 C ．2或21 D ．－2 或 －21 10．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．111．设}{n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知13,81342==S a a ，则5S 等于（ ）A ． 40B ． 81C ． 121D ． 24312．等比数列{n a }的公比0q >， 已知2a =1，4a =4，则{n a }的公比q 的值为（ ） A ．－2 B ．1 C ．3 D ．213．在等比数列{}n a 中，2143a a a a +=+，则公比为（ ） A ．1 B ．1或－1 C ．21或21- D ．2或－2 14．{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S 等于（ ） A ．31 B ．32 C ．33 D ．3415．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知7863==S S ，，则=++987a a a （ ） A ．81 B ．81- C ．857 D ．85516．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且满足4320a a a -=，则4a 的值为 （ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 二、填空题17．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q = ． 18．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a =_____． 19．在等比数列{a n }中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式a n = ． 20．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=6S _______．21．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． 22．等比数列{}n a 的各项均为正数，且349a a =，则313236log log log a a a +++=L ． 23． 等比数列{}n a 的各项均为正数，且349a a =，则313236log log log a a a +++=L ． 24．已知等比数列{}n a 的公比为2，若234a a +=，则14a a += ． 三、解答题25．已知等差数列{}n a 首项11a =，公差为d ，且数列{}2na 是公比为4的等比数列，（1）求d ；（2）求数列{}n a 的通项公式na 及前n 项和nS ；（3）求数列11{}n n a a +⋅的前n 项和n T．26．等差数列{n a }中：642=+a a ，36S a =，其中n S 为数列{n a }前n 项和．（1）求数列{n a }通项公式；（2）若*N k ∈，且k a ，k a 3，k S 2成等比数列，求k 值．27．在等比数列{}n a 中，253,81a a ==．（Ⅰ）求n a 及其前n 项和n S ；（Ⅱ）设n n a b 3log 1+=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前10项和10T ．28．在等差数列{}n a 中，11=a ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．29．已知正项．．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中24S =，39a =． （1）求n a ．（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前20项和20T ．30．设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求参考答案1．C 【解析】试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出． 解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2•…•a 8） =4lg10 =4．故选：C ．考点：等比数列的前n 项和． 2．C 【解析】试题分析：利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 3+a 6=0，∴a 3（8+q 3）=0， 解得q=﹣2．则===5，故选：C ．考点：等比数列的性质． 3．C 【解析】试题分析：2222105575752222a a a a a a a a q =∴=∴=∴=4322q a a q ∴===考点：等比数列性质 4．A 【解析】试题分析：由等比数例可知()()222334x x x x +=+∴=-，所以前三项为4,6,9---，所以第四项为272- 考点：等比数列 5．D 【解析】试题分析：564747478824,2a a a a a a a a =-∴=-+=∴==-Q Q 312q ∴=-()34110734127122a a a a q q ⎛⎫∴+=+=+-⨯-=- ⎪⎝⎭-考点：等比数列性质 6．A 【解析】试题分析：121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列21312222,510,42a a a a b b ∴==∴==∴=- 1221052a ab ==--∴考点：等差数列等比数列性质 7．C 【解析】试题分析：由已知等比数列{}n a 中，1221=+a a ，又36a =，则⎩⎨⎧==+6122111q a q a a ，两式相除解得1=q 或21-，故选C ．考点：等比数列通项公式． 8．B 【解析】试题分析：根据等比数列的通项公式11n n a a q -=，可得41412a a -=，显然12a =．故选B ．考点：等比数列的通项公式． 9．C 【解析】试题分析：由等比数列性质知57210=2a a a a =，又2103a a +=，所以21a =，102a =或22a =，101a =，而1012422a a a a ==或21，故选C ． 考点：等比数列性质． 10．D 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则2131,2a a d a a d =+=+，又123,,a a a 成等比数列，所以2213a a a =，即()2111(2)a d a a d +=+，解之得0d =，所以等差数列{}n a 为常数列，所以1051a a ==，故选D ．考点：1．等差数列的定义及性质；2．等比数列的定义与性质． 11．C 【解析】试题分析：由已知232481a a a ==，39a =，所以21119913a q a a q ⎧=⎨++=⎩，解得3q =（34q =-舍去），11a =，所以5515(1)13121113a q S q --===--．故选C ． 考点：等比数列的前n 项和．12．D【解析】试题分析：由题已知等比数列的其中两项，可借助通项公式求解．242,02a a q q q =⋅>∴=Q考点：等比数列求基本量． 13．B 【解析】试题分析：()223412121211a a a a a a q a a q q +=+∴+=+∴=∴=±考点：等比数列通项公式 14．A 【解析】试题分析：由于数列{}n a 是等比数列，所以由2312a a a ⋅=，得1412a a a ⋅=，所以42a =，又因为47522a a +=，即714a =，从而可得公比37418a q a ==，由671a a q =⋅，可得116a =，且12q =，所以531S =，故选A ．考点：1、等比数列；2、等差中项；3、等比数列前n 项和．15．A 【解析】试题分析：由题意得，在等差数列{}n a 中，31238S a a a =++=，634561S S a a a -=++=-，所以363318S S q S -==-，又378945618a a a q a a a ++==-++，所以78918a a a ++=，故选A ． 考点：等比数列的通项公式及性质的应用．16．C 【解析】 试题分析： 由题知：因为考点：等比数列 17．12【解析】试题分析：由等比数列通项公式可知41112,4a q a q ==，两式相除可得12q = 考点：等比数列通项公式 18．13-n【解析】试题分析：设等比数列的公比,n q S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，可得231143,1S S S a =+=，即24(1)133q q q q +=+++⇒=，所以13n n a -=.考点：等差、等比数列的通项公式的应用.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的通项公式的应用，属于基础试题，着重考查了函数与方程的思想的应用，本题的考查中利用已知条件11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，列出方程231143,1S S S a =+=，转化为公比的方程，求解数列的公比3q =，再利用等比数列的通项公式求解数列{}n a 的通项公式.19．4n ﹣1． 【解析】试题分析：根据等比数列的通项公式，把q 代入前3项的和，进而求得a 1则数列的通项公式可得． 解：由题意知a 1+4a 1+16a 1=21， 解得a 1=1，所以通项a n =4n ﹣1．故答案为：4n ﹣1．考点：等比数列的通项公式． 20．52 【解析】试题分析：由等比数列前n 项和的性质知24264--S S S S S L ，，，也成等比数列，所以6412-16S ，，成等比数列，故()264-16=12=144S ，解得6=52S ．考点：等比数列前n 项和公式． 21．13【解析】试题分析：因为1S ，22S ，33S 成等差数列，所以21343S S S =+，所以21111114()4()a a q a a a q a q +=+++，解得13q =． 考点：等比数列的通项公式及求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，其中灵活运用等比数列的通项公式化简求值是解答本题的关键，是一道很好的试题，基础性强，题目具有典型性，本题的解答中利用1S ，22S ，33S 成等差数列，得到21343S S S =+化简为21111114()4()a a q a a a q a q +=+++形式求解数列的公比是一种重要的化简技巧，需要平时注意总结和应用． 22．6 【解析】试题分析：{}n a Q 为等比数列， 1625349a a a a a a ∴===．()()336313236312345633433log log log log log log 9log 36a a a a a a a a a a a ∴+++=====L ．考点：1等比数列的性质；2对数的运算． 23．6 【解析】试题分析：{}n a Q 为等比数列， 1625349a a a a a a ∴===．()()336313236312345633433log log log log log log 9log 36a a a a a a a a a a a ∴+++=====L ．考点：1等比数列的性质；2对数的运算． 24．6 【解析】 试题分析： 由题知：所以考点：等比数列25．（1）2d =（2）12(1)21n a n n =+-=-，2n S n=（3）21nn +【解析】试题分析：（1）由条件已知11a =及{}2n a 是公比为4的等比数列，可运用等比数列的定义建立关于d 的方程，求出d ．（2）由（1）已知等差数列的两个基本量：11=a ，2=d ．可回到等差数列的通项公式和求和公式，求出通项公式na 及前n 项和nS（3）由新数列11{}+⋅n n a a 的结构，可联系裂项求和法，达到求和的目的．试题解析： （1）∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{2}n a是公比为4的等比数列，所以1122242n n n na a a da ++-===，求得2d =．（2）由此知12(1)21n a n n =+-=-，2n S n =（3）令111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-⋅+-+则123111111111()21335572121n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L L 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭考点：（1）等差和等比数列的定义．（2）等差数列通项公式和求和公式．（3）裂项求和法． 26．（1）n a n =（2）4k = 【解析】试题分析：（1）将已知条件246a a +=，63a S =转化为用数列的首项和公差表示，解方程组得到基本量的值，从而确定数列的通项公式；（2）利用通项公式将32,,k k k a a S 用k 表示，由等比数列可得到关于k 的方程，从而求得k 值 试题解析：（1）依题意：241631623a a a d a s a d +=⇒+=⎫⎬=⇒=⎭11a d ∴==n a n ∴= （写出公式给1分）（2）由（1）知：(1)2n n n S +=k a k ∴=，33k a k = 22(21)2k k k S +=依题意：232()k k k a a S =⋅即22(21)(3)42k k k k k +=⋅⇒= 考点：等差数列等比数列 27．（Ⅰ）()1113313,132n n n n n a S ---===-（Ⅱ）1011 【解析】试题分析：（Ⅰ）将25,a a 转化为用1,a q 表示，解方程组得到1,a q 的值，进而可求得n a 及其前n 项和n S ；（Ⅱ）借助于n a 的通项公式得到n b ，代入得11n n b b +的通项公式，结合特点采用裂项相消求和 试题解析：（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此，()1113313,132nn n n n a S ---===- （2）由（1）知()31log 11n n b a n n =+=+-=，则()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以1110111111110131212111110132121110=-=-++-+-=⨯++⨯+⨯=ΛΛT考点：1．等比数列通项公式求和公式；2．裂项相消法求和 28．（1）21n a n =-；（2）n S 21nn =+．【解析】试题分析：（1）由等比中项得2215a a a =，利用等差数列通项公式分别写出52,a a ，解出公差，进而求出通项公式；（2）利用裂项相消法求解前n 项和．试题解析：（1）由已知有2215a a a =又11a =∴2(1)1(14)d d +=⨯+解得2d =或0d =（舍去）∴12(1)21n a n n =+-=-．（2）由（1）知，21n a n =- ∴111(21)(21)n n n b a a n n +==-+=11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭∴123n n S b b b b =++++L111111(1)()()23352121n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦L =11(1)221n -+ 21n n =+ 考点：1、等比中项；2、等差数列通项公式；3、裂项相消法求前n 项和．29．（1）13n n a -=；（2）20190T =．【解析】试题分析：（1）将32,a S 均用1a 和公比q 表示，解方程可得1a 和q 的值，根据等比数列的通项公式可求得n a ．（2）由n a 及对数的运算性质可得n b ，由1n b n =-可知数列{}n b 为等差数列．由等差数列的前n 项和公式求20T ．试题解析：解：（1）由24S =，39a =，得114a a q +=①，219a q =②，由①②整理得24990q q --=，解得3q =，34q =-（舍去）． 3q =代入②得11a =，故13n n a -=．（2）13log 31n n b n -==-，2020(0201)1902T +-==． 考点：1等比数列的通项公式；2等差数列的前n 项和公式． 30．（1）12n n a -=；（2）2(1)1n n n ++-． 【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于1a ，q 的方程组，从而求解；（2）n b 可以看作一个等差数列与等比数列的组合，分组求和即可．试题解析：（1）因为{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，所以11n n a a q -=，因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+，即2320q q -+=， 解得2q =或1（舍），又它的前2）因为2n n b a n =+， 所以11122(1)1n n nni i i i i b a i n n ====+=++-∑∑∑．考点：等比数列与等差数列的综合运用．。