行测数量关系知识点汇总情况(word文档物超所值)
（完整版）行测数量关系的常用公式讲解
（完整版）⾏测数量关系的常⽤公式讲解⾏测常⽤数学公式⼯作效率＝⼯作量÷⼯作时间；⼯作时间＝⼯作量÷⼯作效率；总⼯作量＝各分⼯作量之和；设总⼯作量为1或最⼩公倍数（1）⽅阵问题：1.实⼼⽅阵：⽅阵总⼈数＝（最外层每边⼈数）2=（外圈⼈数÷4+1）2=N 2最外层⼈数＝（最外层每边⼈数－1）×42.空⼼⽅阵：⽅阵总⼈数＝（最外层每边⼈数）2-（最外层每边⼈数-2×层数）2＝（最外层每边⼈数-层数）×层数×4=中空⽅阵的⼈数。
★⽆论是⽅阵还是长⽅阵：相邻两圈的⼈数都满⾜：外圈⽐内圈多8⼈。
3.N 边⾏每边有a ⼈，则⼀共有N(a-1)⼈。
4.实⼼长⽅阵：总⼈数=M ×N 外圈⼈数=2M+2N-45.⽅阵：总⼈数=N 2N 排N 列外圈⼈数=4N-4例：有⼀个3层的中空⽅阵，最外层有10⼈，问全阵有多少⼈？解：（10－3）×3×4＝84（⼈） (2)排队型：假设队伍有N ⼈，A 排在第M 位；则其前⾯有（M-1）⼈，后⾯有（N-M ）⼈ (3)爬楼型：从地⾯爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要爬N M -层。
线型棵数=总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1 （1）单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔（2）单边环形植树：棵数＝总长÷间隔；总长=棵数×间隔（3）单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。
（5）剪绳问题：对折N 次，从中剪M ⼑，则被剪成了（2N×M ＋1）段⑴路程＝速度×时间；平均速度＝总路程÷总时间平均速度型：平均速度＝21212v v v v +（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（⼤速度+⼩速度）×相遇时间追及问题：追击距离=（⼤速度—⼩速度）×追及时间背离问题：背离距离=（⼤速度+⼩速度）×背离时间（3）流⽔⾏船型：顺⽔速度＝船速＋⽔速；逆⽔速度＝船速－⽔速。
行测数量关系高频考点解析
行测数量关系高频考点解析在公务员考试的行政职业能力测验（简称行测）中，数量关系一直是让众多考生感到头疼的一个模块。
但其实，只要我们掌握了其中的高频考点，进行有针对性的复习和练习，就能在考试中取得较好的成绩。
接下来，让我们一起深入探讨一下行测数量关系中的几个高频考点。
一、行程问题行程问题是行测数量关系中的常见题型，通常涉及到速度、时间和路程之间的关系。
例如，相遇问题、追及问题、流水行船问题等。
相遇问题的核心公式是：路程和＝速度和×相遇时间。
比如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为 V1，乙的速度为 V2，经过 T 小时相遇，那么 A、B 两地的距离就是（V1 ＋ V2）×T。
追及问题的核心公式是：路程差＝速度差×追及时间。
假设甲、乙两人同向而行，甲在乙后面，甲的速度大于乙的速度，经过 T 小时甲追上乙，那么他们最初的距离差就是（V1 V2）×T。
流水行船问题中，顺流速度＝船速＋水速，逆流速度＝船速水速。
解决行程问题的关键在于根据题目中的条件，正确找出速度、时间和路程之间的关系，然后选择合适的公式进行计算。
二、工程问题工程问题也是行测中的常客，通常考查工作总量、工作效率和工作时间之间的关系。
工作总量＝工作效率×工作时间。
在解题时，我们往往将工作总量设为“1”，或者设为工作时间的最小公倍数，这样可以简化计算。
例如，一项工程甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，那么甲的工作效率就是 1/10，乙的工作效率就是 1/15，两人合作完成这项工程所需的时间就是 1÷（1/10 ＋ 1/15）＝ 6 天。
工程问题的题目类型多样，但只要抓住工作总量、工作效率和工作时间这三个要素，通过分析题目中的条件，建立相应的等式，就能顺利解题。
三、利润问题利润问题在行测中出现的频率也较高，涉及成本、售价、利润、利润率等概念。
利润＝售价成本，利润率＝利润÷成本×100%，售价＝成本×（1 ＋利润率）。
行测知识点总结数量
行测知识点总结数量一、言语理解与表达言语理解与表达部分主要考察考生的文字理解能力、逻辑推理能力以及语言表达能力，重点考查考生的阅读理解、语言运用和逻辑推理能力。
阅读理解是重点考察内容，包括段落的理解、文章的主旨和细节的理解等。
在阅读理解中，文章的中心思想、作者的目的、观点及态度等都是考查的重点，考生在备考时需要注重对这些内容的掌握。
语言运用部分以选词填空为主，考察考生对词汇、语法、搭配的掌握程度。
而逻辑推理部分则主要考察考生的逻辑思维和推理能力，包括运用相关知识进行推理、理解图形、推断推理等。
为了提高这一部分的得分率，考生需要注意以下几个方面：1. 要注重平时的阅读积累，增强阅读理解能力；2. 多做语法、词汇练习，提高语言运用能力；3. 提高逻辑思维的能力，注重逻辑推理的训练；4. 多做模拟题，了解出题规律。
二、判断推理判断推理部分主要考查考生的逻辑判断和推理能力。
这部分的题目主要包括逻辑判断、逻辑填空、逻辑演绎等，考生在备考时要注重逻辑思维的训练，了解基本的逻辑推理规律，提高解题的速度和准确度。
判断推理部分考查的知识点主要包括：命题逻辑、命题与联结词、推理规则、概念辨析、逻辑分类、逻辑演绎、逻辑作图等。
备考时，考生要注重理解这些逻辑知识，掌握推理规则及解题技巧，多做逻辑推理题和模拟题，提高解题能力。
三、数量关系数量关系部分主要考查考生的数量推理和计算能力。
这部分的题目以应用题为主，考查考生在日常生活中运用数量关系进行推理和计算的能力。
重点考察的知识点包括：数量的比较、数量的关系、数量的计算、数量的转化等。
备考数量关系部分时，考生要注重掌握数量关系的基本知识，如比例、百分数、数列、因数、倍数、分数等，特别是在解决应用题时，要善于把实际问题转化为数量关系问题，进行数量计算和推理。
四、言语运用言语运用部分主要考查考生的语言表达和文字运用能力。
这部分的题目以改错、翻译、标点等为主，考查考生对语言和文字的运用能力。
数量关系知识点汇总
第一章数学运算第一节核心方法考点1带入排除法
注意：
考点2数字特征法
注意：
考点3方程法
注意：
考点4赋值法
注意：
考点5线段法
注意：
第二节工程问题
注意：
第三节行程问题
注意：
第四节经济利润问题考点1基础经济
注意：
考点2分段计费
注意:
考点3统筹规划问题
注意：
第五节溶液问题
注意：
第六节排列组合与概率问题考点1排列组合问题
注意：
考点2概率问题
注意：
第七节容斥原理问题
注意：
第八节最值问题
注意：
第九节几何问题
注意：
第十节时间问题考点1年龄问题
注意：
考点2周期问题
注意：
考点3星期、日期问题
注意：
考点4钟表问题
注意：
第十一节计算问题
考点1基础计算
考点2平均数问题
考点3倍数、约数问题
考点4数列问题
注意：
第十二节计数杂题考点1计数模型问题
考点2牛吃草问题
注意：
考点3比赛问题
注意：
第二章数字推理第一节基础数列
注意：
第二节作商数列
注意：
第三节幂次数列
注意：
第四节分数数列
注意：
第五节机械划分数列
注意：
第六节多重数列
注意：
第七节图形数阵
注意：
第八节多级数列
注意：
第九节递推数列。
行测｜数量关系公式大全,公考必学
行测｜数量关系公式大全，公考必备奇偶判定奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数偶数±奇数=奇数；奇数±偶数=奇数奇数x奇数=奇数；奇数x偶数=偶数偶数x奇数=偶数；偶数x偶数=偶数计算公式平方差公式：完全平方公式：立方和与立方差公式：数字变化对任意两数a、b，如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＜0，则a＜b；如果a－b＝0，则a＝b当a、b为任意两正数时，如果a/b＞1，则a＞b；如果a/b＜1，则a＜b；如果a/b＝1，则a＝b当a、b为任意两负数时，如果a/b＞1，则a＜b；如果a/b＜1，则a＞b；如果a/b＝1，则a＝b对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值c，如果a＞c，且c＞b，则我们说a＞b整除判定2，4，8整除及其余数判定法则一个数字能被2（或5）整除，当且仅当末一位数字能被2（或5）整除一个数字能被4（或25）整除，当且仅当末两位数字能被4（或25）整除一个数字能被8（或125）整除，当且仅当末三位数字能被8（或125）整除3，9整除判定基本法则一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除7整除判定基本法则一个数是7的倍数，当且仅当其末位数的2倍，与剩下的数的差为7的倍数11整除判定基本法则一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为11的倍数，则这个数就是11的倍数工程问题工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间工作时间＝工作量÷工作效率总工作量＝各分工作量之和注：在解决实际问题时，常设总工作量为1行程问题(1)火车过桥核心公式：路程=桥长+车长(火车过桥过的不是桥，而是桥长+车长)(2) 相遇追及问题公式：相遇距离=(速度1+速度2)×相遇时间追及距离=(速度1-速度2)×追及时间(3)队伍行进问题公式：队首→队尾：队伍长度=(人速+队伍速度)×时间；队尾→队首：队伍长度=(人速-队伍速度)×时间(4)流水行船问题公式：顺速=船速+水速，逆速=船速-水速(5)往返相遇问题公式：两岸型两次相遇：S=3S1-S2，(第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离B为S2)单岸型两次相遇：S=(3S1+S2)/2，(第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离A为S2)左右点出发：第N次迎面相遇，路程和=(2N-1)×全程；第N次追上相遇，路程差=(2N-1)×全程同一点出发：第N次迎面相遇，路程和=2N×全程；第N次追上相遇，路程差=2N×全程利润问题利润＝销售价（卖出价）－成本利润率＝利润÷成本＝（销售价－成本）÷成本＝销售价÷成本－1总利润=单利润×销量售价=进价+利润=原价×折扣销售价＝成本×（1＋利润率）成本＝销售价÷（1＋利润率）钟表问题钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。
公务员考试行测数量关系整理全集
第1讲计算问题主要题型:①尾数法、估算法、公式法、②乘方尾数问题、裂项相消、重复项计算、③新定义符号运算、符号运算、数学概念例1：破：①底数留个位；②指数除以4，恰好整除取4。
例2：破：用（最小数的分之一减最大数的分之一）乘以原来的分子/两数之差例3：破：把目标算式转化成已经给定的算式、特殊值带入第2讲多位数问题主要方法：带入排除，多步推理题型：①多位数求值、②多位数构造、③多位数个数统计、④多位数判定位置、⑤多位数乘法拆分、⑥多位数加法拆分、⑦复杂多位数问题例1：破：按给定条件一步步推理例2：破：多位数个数统计--位数固定：按数位来考虑，此时第一位可以是0。
破：多位数个数统计—位数不固定：按位数划分，如果是一位数，两位数，三位数。
首位不能是0。
例3：破：多位数加法拆分问题，分5步，①求总和；②确定问题对其他影响；③写下确定的情况；④剩下的总和求平均，对应中位数，写下这种情况；⑤对此情况调整修正。
第3讲平均数问题题型：①总和与平均数、②轮换平均数、③混合平均数、④不规则平均数、⑤分析性平均数、⑥调和平均数:三个数，它们的倒数成等差数列，则这三个数构成调和平均数。
例1：破：轮换平均数，写出各自表达式最后求和例2：破：混合平均数：已知各自平均数，又知混合后平均数，用十字交叉法求人数比例，再带入。
例3：破：不规则平均数：混合的不均匀，有两两求平均，有三三求平均。
设未知数带入求解。
例4：破：调和平均数题型的突破口是每次的增量成等差（最常见是相等），知道是调和平均数，直接带入求解。
第4讲工程问题总量不变，效率和时间成反比。
可赋值总量为一常数。
题型：①基本工程问题（等式列方程）；②分阶段工程问题（按阶段解题）；③两项工程型问题；④合作问题；⑤时效转化问题。
例1：破：典型的分阶段工程问题，赋值总量，然后按步骤写出。
效率与时间成反比。
第5讲浓度问题浓度问题的破题之道就是要在变化的过程中抓住不变量。
题型：①重复稀释：多次加溶剂稀释，加的过程有变化，有时是不等量、有时先倒出再加。
行测数量关系专题汇总[1]
2．游泳池中目前的男女比例为2：5。假如啬4个男人，则男女之间的比例为2：3，请问目前游泳池里有多少个男人？（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．一个游轮上的座位分成两部分，头等舱50个座位，普通舱150个座位，如果20%的头等舱和30%的普通舱座位坐满，那么整个游轮的座位空置率是（ ）。
从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和
经验分享：在这里我想跟大家说的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，多少年来耗了大量时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。建议有条件的同学到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的学习技巧，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。其次，从选择的复习资料上来说，我用的是学习软件，不是一般的真题，我认为从电脑上面做题真的是把学习的效率提高了很多，再者这款软件集成最新题库、大纲资料、模拟、分析、动态等等各种超强的功能，性价比超高，是绝不可缺的一款必备工具，结合上速读的能力，如虎添翼，让整个备考过程效率倍增。到我推荐的这里就可以找到适合自己的科目（也给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）
行测数量关系的常考知识点
⾏测数量关系的常考知识点省公务员考试数量关系部分考查数字推理与数学运算。
（⼀）数字推理在公务员考试中数字推理有两种考查形式：数列形式数字推理、图形形式数字推理。
1．数列形式数字推理省考中数列形式数字推理的规律类型涉及各种基本数列及其变式，整体难度较⼤，需要有知识和经验的积累。
例题1：⾏测真题解析：分⼦＝前项分⼦＋前项分母，分母＝前项分母＋分⼦；空缺项分⼦为２１＋３４＝（５５），分母为３４＋５５＝（８９）。
本题选C。
例题2：⾏测真题１６，２３，９，３０，２，（）Ａ．３７Ｂ．４１Ｃ．４５Ｄ．４９解析：⽅法⼀，和数列变式。
⽅法⼆，采⽤作差法。
分别为7的1、-2、3、-4、5倍。
本题选A2．图形形式数字推理图形形式数字推理是数字推理的另⼀⼤类型，分布在图形中的数字由于位置不同⽽具有相应的运算关系。
例题3：⾏测真题Ａ．９Ｂ．１０Ｃ．１１Ｄ．１２（⼆）数学运算数学运算有两种考查形式：算术计算题、⽂字应⽤题。
在省公务员考试中，数学运算以⽂字应⽤题为主，需要利⽤必要的数学基础知识列式计算。
题型以传统题为主，其中计算问题、⾏程问题、⼏何问题等出现频率较⾼。
例题1：⾏测真题2011×201＋201100－201.1×2910的值为：Ａ．20110 Ｂ．21010Ｃ．21100 Ｄ．21110解析：原式＝2011×201＋2011×100－2011×291＝2011×（201＋100－291）＝2011×10＝20110。
本题选A。
例题2：⾏测真题ａ⼤学的⼩李和ｂ⼤学的⼩孙分别从⾃⼰学校同时出发，不断往返于ａ、ｂ两校之间。
现已知⼩李的速度为８５⽶／分钟，⼩孙的速度为１０５⽶／分钟，且经过１２分钟后两⼈第⼆次相遇。
问ａ、ｂ两校相距多少⽶？Ａ．１１４０⽶Ｂ．９８０⽶Ｃ．８４０⽶Ｄ．７６０⽶解析：设ａ⼤学和ｂ⼤学之间的距离为ｓ，因为⼩孙和⼩李相遇两次，则两⼈⾛过的路程总共为３ｓ，根据题意可得：１２×（８５＋１０５）＝３ｓ，解得ｓ＝７６０⽶。
公考行测数量关系常用公式汇总
公考行测数量关系常用公式汇总1、平方差公式：(a+b)∙(a−b)= a²−b²2、完全平方公式：(a±b)²−a²±2ab+b²3、完全立方公式：(a±b)³=(a±b) (a²∓ab+b2)4、立方和差：a³+b³=(a±b)(a²∓ab+b²)5、a m∙a n=a m+n a m÷a n=a m−n(a m)n=a mn(ab)n=a n·b n1、S n=n×(a1+a n)2=na1+12n(n−1)d2、 a n=a1+(n−1)d3、项数n=a n−a1d+14、若a,A, b成等差数列，则：2A=a+b5、若m+n=k+i，则：a m+a n=a k+a i6、前n个奇数：1，3，5，7，9，…(2n—1)之和为n2(其中：n为项数，a1为首项，a n为末项，d为公差，s为等差数列前n项的和)1、a n=a1q n−12、 S n=a1∙(1−q n)1−q(q≠1)3、若a,G, b成等比数列，则：G2=ab4、若m+n=k+i，则：a m∙a n=a k∙a i5、 a m−a n=(m−n)d6、a ma n=q(m−n)(其中：n为项数，a1为首项，a n为末项，q为公比，S n为等比数列前n项的和)1、一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)其中：x1=−b+√b2−4ac2a 2a；x2=−b−√b2−4ac2a(b2−4ac≥0)根与系数的关系：x1+x2=−ba ，x1∙x2=ca2、a+b≥2 √ab(ab2)²≥ab a2+b2≥2ab(a+b+c3)3≥abc3、a2+b2+c2≥3abc a+b+c≥33√abc推广：x1+x2+x3+⋯+x n≥n n√x1x2⋯x n4、一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。
2024行测数量关系：行测题型总结
2024行测数量关系：行测题型总结行测中的数量关系部分一直是考生们比较头疼的模块，但只要我们对各种题型有清晰的认识和掌握，就能在考试中更加从容应对。
下面我们就来对行测数量关系中的常见题型进行总结。
一、工程问题工程问题是数量关系中的常见题型，通常涉及工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
其核心公式为：工作总量＝工作效率×工作时间。
在解题时，我们往往需要根据题目中的条件，设出合适的未知数，然后通过列方程来求解。
例如，“一项工程，甲单独做需要10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要几天完成？”我们可以设工作总量为 1（也可以设为 30 等其他数值，目的是为了方便计算），则甲的工作效率为 1/10，乙的工作效率为 1/15，两人合作的工作效率为1/10 ＋ 1/15 ＝ 1/6，所以两人合作完成这项工程需要 6 天。
二、行程问题行程问题也是行测中的高频考点，主要包括相遇问题、追及问题、流水行船问题等。
相遇问题的公式为：相遇路程＝速度和×相遇时间。
比如，“甲、乙两人分别从 A、B 两地同时相向而行，甲的速度为 5 千米/小时，乙的速度为 3 千米/小时，经过 4 小时两人相遇，A、B 两地的距离是多少？”则 A、B 两地的距离为（5 ＋ 3）×4 ＝ 32 千米。
追及问题的公式为：追及路程＝速度差×追及时间。
例如，“甲在乙后面，甲的速度为 8 千米/小时，乙的速度为 6 千米/小时，甲经过 3小时追上乙，开始时两人相距多远？”则开始时两人相距（8 6）×3 ＝6 千米。
流水行船问题要注意顺水速度＝船速＋水速，逆水速度＝船速水速。
比如，“一艘船在静水中的速度为 20 千米/小时，水流速度为 5千米/小时，船顺水航行 100 千米需要多长时间？逆水航行 100 千米又需要多长时间？”顺水航行时间为 100÷（20 ＋ 5）＝ 4 小时，逆水航行时间为 100÷（20 5）＝ 20/3 小时。
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标准实用文案大全行测常用数学公式一、工程问题 工作量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作量÷工作时间； 工作时间＝工作量÷工作效率； 总工作量＝各分工作量之和；注：在解决实际问题时，常设总工作量为1或最小公倍数二、几何边端问题（1）方阵问题：1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷4+1）2=N2 最外层人数＝（最外层每边人数－1）×42.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2 ＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。
3.N边行每边有a人，则一共有N(a-1)人。
4.实心长方阵：总人数=M×N 外圈人数=2M+2N-45.方阵：总人数=N2 N排N列外圈人数=4N-4 例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）
×3×4＝84（人）(2)排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人(3)爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬层。NM
三、植树问题 线型棵数=总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔 楼间棵数=总长/间隔-1 （1）单边线形植树：棵数＝总长间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔
（2）单边环形植树：棵数＝总长间隔； 总长=棵数×间隔
（3）单边楼间植树：棵数＝总长间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔
（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。 （5）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段四、行程问题 ⑴ 路程＝速度×时间； 平均速度＝总路程÷总时间
平均速度型：平均速度＝2121
2vvvv
（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间（3）流水行船型： 顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。 顺流行程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间标准实用文案大全 逆流行程=逆流速度×逆流时间=（船速—水速）×逆流时间（4）火车过桥型： 列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度 列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间（5）环形运动型： 反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间 同向运动：环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间
（6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数×（1），（顺行用加、逆行用减）
人梯
u
u
顺行：速度之和×时间=扶梯总长逆行：速度之差×时间=扶梯总长（7）队伍行进型： 对头队尾：队伍长度=（u人+u队）×时间
队尾对头：队伍长度=（u人－u队）×时间
（8）典型行程模型：
等距离平均速度： （U1、U2分别代表往、返速度）2121
2uuuuu
等发车前后过车：核心公式：，2121
2ttttT
1212
ttttu
u
人车
等间距同向反向：2121
uuuut
t
反同
不间歇多次相遇：单岸型： 两岸型： （s表示两岸距2
321sss
213sss
离）
无动力顺水漂流：漂流所需时间=（其中t顺和t逆分别代表船顺溜所需时间和顺逆
顺逆
tt
tt2
逆流所需时间）五、溶液问题
⑴ 溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质÷溶液 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度 ⑵ 浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N，交换质量L后浓度都变成c%，则
⑶ 混合稀释型标准实用
文案大全 等溶质增减溶质核心公式： （其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度）3131
2
2rrrrr
六、利润问题（1）利润＝销售价（卖出价）－成本； 利润率＝＝＝－1；成本
利润
成本销售价－成本成本销售价
（2）销售价＝成本×（1＋利润率）； 成本＝。＋利润率
销售价
1
（3）利息＝本金×利率×时期； 本金＝本利和÷（1+利率×时期）。 本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）=； 期限利率）（本金1
月利率=年利率÷12； 月利率×12=年利率。例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本
利和共是多少元？”2400×（1+10．2％×36） =2400×1．3672 =3281．28（元）
七、年龄问题关键是年龄差不变；①几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄 ②几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差
八、容斥原理 ⑴两集合标准型：满足条件A的个数+满足条件B的个数—两者都满足的个数=总个数—两者都不满足的个数 ⑵三集合标准型：A+B+C-（AB+BC+AC）+ABC=总个数-都不满足的个数,即满足条件A的个数+满足条件B的个数+满足条件C的个数-三者都不满足的情况数
=CBAUUCBACACBBACBAIIIII
⑶三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得以下等式：①W=x+y+z ②A+B+C=x+2y+3z
⑷三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答 ①特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 ②特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 ③标数时，注意由中间向外标记九、牛吃草问题核心公式：y=(N—x)T 标准实用文案大全原有草量＝（牛数－每天长草量）×天数，其中：一般设每天长草量为X
注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃W亩草时”，N用代入，此时N代表单位面积W
M
上的牛数。十、指数增长 如果有一个量，每个周期后变为原来的A倍，那么N个周期后就是最开始的AN倍，一个周
期前应该是当时的。A
1
十一、调和平均数
调和平均数公式：2121
2aaaaa
等价钱平均价格核心公式： （P1、P2分别代表之前两种东西的价格 ）2121
2ppppp
等溶质增减溶质核心公式： （其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度）3131
2
2rrrrr
十二、减半调和平均数核心公式： 2121
aa
aaa
十三、余数同余问题 核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期” 注意：n的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。
十四、星期日期问题 闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28日，记口诀：一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算。 平年与闰年判断方法年共有天数2月天数平 年不能被4整除365天28天闰 年可以被4整除366天29天
★星期推断：一年加1天；闰年再加1天。 大月与小月包括月份月共有天数大月1、3、5、7、8、10、1231天
小月2、4、6、9、1130天 注意：星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每（N+1)天”。标准实用文案大全十五、不等式（1）一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
其中：x1=；x2=（b2-4ac0）aacbb242aacbb2
42
根与系数的关系：x1+x2=-，x1·x2=aba
c
（2） abba2abba2)2(abba222abccba
3)3(
（3） abccba3222abccba33
推广：nnnxxxnxxxx......21321
（4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。
（5）两项分母列项公式：=(—)×)(amm
b
m1am1ab
（6）三项分母裂项公式：=[—]×)2)((amammb)(1amm)2)((1amamab2
十六、排列组合
（1）排列公式：Pmn＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）。 56737A
（2）组合公式：Cmn＝Pmn÷Pmm＝（规定0nC＝1）。
123
3453
5
c
（3）错位排列（装错信封）问题：D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，（4）N人排成一圈有/N种；N枚珍珠串成一串有/2种。NNANNA
十七、等差数列
（1）sn ＝＝na1+n(n-1)d； （2）an＝a1＋（n－1）d； （3）项数n 2
)(1naan
21
＝＋1；d
aan1
（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b； （5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ； （6）前n个奇数：1，3，5，7，9，…（2n—1）之和为n2 （其中：n为项数，a1为首项，an
为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）
十八、等比数列
（1）an＝a1qn－1； （2）sn ＝（q1） （3）若a,G,b成等比数列，则：q
qan11 ·1）－（
G2＝ab； （4）若m+n=k+i，则：am·an=ak·ai ； （5）am-an=(m-n)d