2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (57)
2020高考数学模拟试题
（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝
A.{－1，1，2}
B.{1，2}
C.{1，2，4}
D.{0，1，2，4}
2.已知i为虚数单位，复数z＝(1＋i)(2＋i)，则其共扼复数z=
A.1＋3i
B.1－3i
C.－1＋3i
D.－1－3i
3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(
44
sin,cos
33
ππ
)，则cos(π＋α)＝
3
B.1
2
C.
1
2
- D.
3
4.已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|3为坐标原
点)，则该椭圆的离心率为
A.23
3
B.
6
3
C.
2
2
D.
3
3
5.函数
2
()
1
x
x
f x
e
=
-
的图象大致是
6.执行如图所示的程序框图，若输入x的值分别为－2，1
9
，输出y的值分别为a，b，则a＋b
＝
A.－4
B.－2
C.
7
4
- D.
1
4
7.如图，已知△ABC中，D为AB的中点，
1
3
AE AC
=
u u u r u u u r
，若DE AB BC
λμ
=+
u u u r u u u r u u u r
，则λ＋µ＝
A.
5
6
- B.
1
6
- C.
1
6
D.
5
6
8.圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＝0的距离为l的点共有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。
分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形。
若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为 A.
928 B.1928 C.2764 D.37
64
10.关于函数()3sin(2)1()3
f x x x R π
=-
+∈，有下述四个结论：①若f(x 1)＝f(x 2)＝1，则x 1
－x 2＝k π(k ∈Z)；②y ＝f(x)的图象关于点(2,13π)对称；③函数y ＝f(x)在(0,2
π
)上单调递增；④y ＝f(x)的图象向右平移12
π
个单位长度后所得图象关于y 轴对称。
其中所有正确结论的编号是
A.①②④
B.①②
C.③④
D.②④
11.四面体P －ABC 的四个顶点坐标为P(0，0，2)，A(0，0，0)，B(0，0)，C(30)，则该四面体外接球的体积为
A.
323
π
C.20π
12.已知直线y ＝2x 与曲线f(x)＝ln(ax ＋b)相切，则ab 的最大值为 A.
4e B.2
e
C.e
D.2e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)。
若底面圆的弦AB 所对的圆心角为3
π
，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为 。
14.某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球球单打决赛。
假设甲每局获胜的概率为
2
3
，则由此估计甲获得冠军的概率为 。
15.已知函数f(x)＝e |x|＋x 2－e ，则满足不等式f(m －2)≤1的m 取值范围是 。
16.某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售。
现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元。
若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为 元。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生依据要求作答。
(－)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为a 1，且4，a n ，S n 成等差数列。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a n 2＝2n b
，求数列{b n }的前n 项和T n 。
18.(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所又寸的边分a ，b ，c ，且1
cos 2
a C c
b +=。
(1)求角A 的大小；
(2)若a b ＋c 的最大值。
19.(本小题满分12分)
已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关。
现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据，其散点图如下所示：
根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程y＝e bx＋a来拟合，令z＝lny，结合样本数据可知z与温度x可用线性回归方程来拟合。
根据收集到的数据，计算得到如下值：
表中
7
1
1
ln,
7
i i i
i
z y z z
=
==∑。
(1)求z和温度x的回归方程(回归系数结果精确到0.001)；
(2)求产卵数y关于温度x的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26℃～36℃之间(包括26℃与36℃)，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围。
(参考数据：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈568。
)
附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，v n)，其回归直线ˆ
ˆ
ˆvαβω
=+的斜率和截距的
最小二乘估计分别为1
2
1
()()
ˆˆ
ˆ,
()
n
i i
i
n
i
i
v v
a v
ωω
ββω
ωω
=
=
--
==-
-
∑
∑。
20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点(不含B)。
(1)平面AEF与平面PBC是否互相垂直?如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)求二面角B－AF－E的余弦值的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xe x－alnx－ax＋a－e。
(1)若f(x)为单调函数，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)仅一个零点，求a的取值范围。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.[选修4－4，坐标系与参数方程](本小题满分10分)
已知曲线C的参数方程为
2cos
sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
，(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x
的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)P，Q是曲线C上两点，若OP⊥OQ，求
22
22
OP OQ
OP OQ
⋅
+
的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 已知正实数a，b满足a＋b＝3。
(1)求2121a b +++最大值； (2)若不等式|x ＋2m|－|x －1|≤14
a b
+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围。
2020年高考数学(理)必刷试卷4(解析版)
2020年高考必刷卷（新课标卷）04数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B U =（ ） A ．(,1)[2,)-∞-+∞U B ．(,1)[1,)-∞-+∞U C ．[]1,2-D ．(]1,2-【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算． 【详解】由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-，11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]A B =-U ． 故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0． 2．已知复数1i iz +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论． 【详解】21i i(1)1z i ii i+=+==-，1z i =+，其虚部为1． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题．3．已知4log 5a =，()1216log 2b =，sin 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用换底公式化简12b =，而1,01a c ><<，利用sin y x =在[,]2ππ单调性比较c 与12的大小关系，即可求解. 【详解】()112222164log 2log 2log 212b ⎛⎫⎪⎭=== ⎝，44log 5log 41a =>=，5512<,sin 2sin ,662b c a ππ>=∴<<Q . 故选:A 【点睛】本题考查比较数的大小关系，涉及到对数换底公式、对数函数和正弦函数的单调性，属于中档题. 4．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表： 附表：参照附表，下列结论正确的是（ ）．A ．在犯错误的概率不超5%过的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；B ．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”；C ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；D ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”． 【答案】A【解析】试题分析：，故应选．考点：独立性检验5．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f ―x ++=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意首先求出函数的周期为4，从而求出()()20211f f =；再由函数的奇偶性即可求出1(1)3f =，由(1)(3)f f =-，代入解析式即可求解.【详解】因为()()()133f x f x f x +=--=-，故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =； 而()()11f f -=-，由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)(31)3f f log m =-=--=, 解得43m =-． 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性求函数值以及根据函数值求参数值，属于中档题. 6．已知空间中三条不同的直线a 、b 、c 和平面α，下列结论正确的是（ ） A ．若a α⊥，b α⊥，则//a b B ．若//a α，//b α，则//a b C ．若a α⊂，//b α，则//a b D ．若a c ⊥，b c ⊥，则//a b【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，若a α⊥，b α⊥，由直线与平面垂直的性质定理可知//a b ，A 选项正确； 对于B 选项，若//a α，//b α，则a 与b 平行、相交或异面，B 选项错误； 对于C 选项，若a α⊂，//b α，则a 与b 平行或异面，C 选项错误； 对于D 选项，若a c ⊥，b c ⊥，则a 与b 平行、相交或异面，D 选项错误. 故选：A. 【点睛】本题考查空间中线线位置关系的判断，可以充分利用空间中垂直、平行的判定和性质定理来判断，也可以利用模型来判断，考查推理能力，属于中等题.7．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124,,a a a 成等比数列，则3a =（ ） A ．2 B ．6C ．5或6D ．12【答案】B【解析】 【分析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求3a . 【详解】设等差数列的公差为d ，则()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ， 解得122a d =⎧⎨=⎩或150a d =⎧⎨=⎩（舍），故()322316a =+⨯-=，故选：B. 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 8．已知函数()sin()6f x x π=-，若方程4()5f x =的解为1212,(0)x x x x π<<<，则12sin()x x +=（ ） A． B．2C ．12D ．12-【答案】B 【解析】 【分析】 由()sin()6f x x π=-且方程4()5f x =的解为1212,(0)x x x x π<<<，可知12,x x 关于直线3x π=对称，从而可得1223x x π+=，进而可得出答案. 【详解】由()sin()6f x x π=-，可知3x π=是函数的一条对称轴，又方程4()5f x =的解为1212,(0)x x x x π<<<，1223x x π+∴=，即1223x x π+=，所以12sin()x x += 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的对称性，需掌握住正弦函数的对称轴，属于基础题. 9．以下四个命题中，正确的是 （ ）A ．若1123OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则,,P A B 三点共线B ．若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++r r r r r r构成空间的另一个基底C ．()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rD ．ABC △为直角三角形的充要条件是·0AB AC =u u u r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】A,利用向量共线定理即可判断；B,利用共面向量基本定理即可判断；C,向量的数量积运算与实数运算的区别；D ，直角三角形顶点不确定. 【详解】A 错误，115+=1236≠ ，所以,,P A B 三点不共线；B 正确，假设{},,a b b c c a +++r r r r r r 不能构成空间的基底，则存在实数λμ，使得()()a b b c c a λμ+=+++r r r r r r ，即(1)(1)()0a b c μλλμ-+--+=r rr r ，因为{},,a b c r r r 为空间的一个基底，所以,,a b c r r r不共面，则10,10,0μλλμ-=-=+=，无解，故{},,a b b c c a +++r r r r r r构成空间的另一个基底；C 错误，()|cos ,|a b c a b a b c ⋅⋅=⋅⋅⋅r r r r r r r r ；D 错误，直角边不确定. 【点睛】在实数运算中，若,a b ∈R ，则ab a b =⋅，但对于向量,a b r r 却有a b a b ⋅≤⋅r r r r ，当且仅当a b r r ∥时等号成立．这是因为|cos ,|a b a b a b ⋅=⋅⋅r r rr r r ，而cos ,1a b ≤r r . 三点,,P A B 共线，对空间任一点,(1)O OP xOA x OB =+-u u u r u u u r u u u r.10．如图，在ABC ∆中，sin sin BD B CD C =g g ，2BD DC ==2AD =，则ABC ∆的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为,E F ，结合题干条件得到AD 为BAC ∠的平分线，根据角平分线定理得到2AB BDAC DC==，再由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到2AC =，在三角形中应用余弦定理得到sin BAC ∠=. 【详解】过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为,E F ，由sin sin BD B CD C =g g ， 得DE DF =，则AD 为BAC ∠的平分线，∴2AB BDAC DC==， 又cos cos 0ADB ADC ∠+∠=22=，解得2AC =;在ABC ∆中，(222421cos 2428BAC +-∠==⨯⨯，∴sin BAC ∠=1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠=g g . 故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别为BC ，1CC ，11A D ，11C D 的中点，则直线EF ，MN 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】通过做平行线，得到直线EF ，MN 所成角的大小，可转化为111A C BC 与的夹角，三角形11A BC ,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，进而得到结果. 【详解】连接1111,,AC BC A B ，根据E ，F ，M ，N 分别为BC ，1CC ，11A D ，11C D 的中点，可得到MN是三角形111AC D 的中位线，故得到11,MN AC P 同理可得到1BC EF P ，进而直线EF ，MN 所成角的大小，可转化为111A C BC 与的夹角，三角形11A BC ,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，故得到111A C BC 与的夹角为.3π故答案为：C. 【点睛】这个题目考查了异面直线的夹角的求法，常见方法有：通过做平行线将异面直线转化为同一个平面的直线，进而将空间角转化为平面角. 12．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()()()()()()()()()()()1150,0,,112xf x f fg x f x g x f x g x a g x g g -≠-<=+'=-'，则关于x 的方程2502abx +=， ()0,1b ∈有两个不同的实根的概率为（ ） A ．35 B ．25 C ．15 D ．12【答案】B【解析】由已知， ()()()()()()()2'''0f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭，∴函数()()xf x ag x =是减函数，∴01a <<，又()()()()1115112f f ag g a -+=+=-，解得12a =或2a =，∴12a =，方程2502abx +=有两个不等的实根，则5242502ab b ∆=-⨯=->， 25b <，又()0,1b ∈，所以205b <<，因此所求概率为225105P -==-，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(含答案解析)
故选：B.
【点睛】
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．C
【分析】
取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于 的等式，由 可求得 的值.
【详解】
在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【点晴】
本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
5．B
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为 ，写出圆的标准方程，利用点 在圆上，求得实数 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
23．已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】
由题意可得： ，则 .
故选：A.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．B
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】
由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】
本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
江苏卷08-2020年高考数学必刷试卷(解析版)
江苏卷08-2020年高考数学必刷试卷（解析版）数学试题I一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，4}，则∁U A ＝________． 答案：{3，5}解析：本题考查集合的补集运算2. 若复数z ＝(1＋i)(3－ai)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－3解析：z ＝(3－ai)＋3i －ai 2＝(3＋a)＋(3－a)i ，∴ a ＋3＝0，a ＝－3. 3. 命题：“∃x ∈R ，|x|≤0”的否定是__________________． 答案：∀x ∈R ，|x|＞0解析：含有量词的命题否定要将存在换成任意，p 改成非p.4. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝8x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为______________． 答案：3解析：由定义可知距离1＋p2＝1＋2＝3.5. 设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x ＋y≤3，2x ＋y≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案：7解析：由题设可知线性规划的可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．从而(3x ＋2y)max ＝3×1＋2×2＝7.6. 如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是________．答案：－32解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环体对y ＝12×2－1＝0，|y －x|＝2≥1，x ＝0；第2次循环体对y ＝0－1＝－1，|y －x|≥1，x ＝－1； 第3次循环体对y ＝－32，|y －x|＜1，停止，输出y ＝－32.7. 抽样统计甲、乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：城市空气质量指数(AQI)第1天第2天 第3天 第4天 第5天 甲 109 111 132 118 110 乙110111115132112则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为________(填“甲”或“乙”)． 答案：乙解析：由题设可知甲的数据波动较大，乙的数据波动较小，由观察法知乙方差较小．．8. 在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为______________．(第8题)答案：33解析： V PBCE ＝13S △BCE ·PA ＝13×12×1×2×sin120°×2＝33.9. 将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________． 答案：π3解析：向右平移π6后，解析式f(x)＝sin(2x ＋φ－π3)为奇函数，从而φ－π3＝kπ.又0＜φ＜π，从而φ＝π3.10. 已知等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n .若log 3⎣⎡⎦⎤12a n （S 4m ＋1）＝9，则1n ＋4m的最小值是________． 答案：52解析：由题设a n ＝2×3n －1，S 4m ＋1＝2（1－34m ）1－3＋1＝34m ，∴ 12a n (S 4m ＋1)＝34m ＋n －1.又log 3[12a n (S 4m ＋1)]＝9，∴ 12a n (S 4m ＋1)＝39，即4m ＋n －1＝9，∴ 4m ＋n ＝10.又1n ＋4m ＝110⎝⎛⎭⎫1n ＋4m (4m ＋n)＝110·(17＋4n m ＋4m n )≥52，当且仅当4n m ＝4mn，即m ＝n ＝2时，“＝”成立．11. 若向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，且|a ＋b |≤2a·b ，则cos(α－β)的值是________． 答案：1解析：由题意知a·b ＞0，且a 2＋2ab ＋b 2≤4|a ·b|2，即2＋2ab≤4|a·b|2，从而有2(|a·b|2)－a·b －1≥0，即(2a·b ＋1)(a·b －1)≥0，∴ a ·b ≥1，即|a||b|cos(α－β)≥1，∴ cos(α－β)≥1.又cos(α－β)≤1，∴ cos(α－β)＝1. 12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝alnx 的切线，则当a>0时，实数b 的最小值是______________． 答案：－1解析：不妨设切点P(x 0，y 0)，则f′(x 0)＝ax 0＝1，∴ x 0＝a ，从而y 0＝a ＋b ，y 0＝alna ，即有b ＝alna －a ，a>0.又令b′(a)＝lna ＝0，解得a ＝1，∴ 当a ＝1时，b 取得最小值－113. 已知集合M ＝{(x ，y)|x －3≤y≤x －1}，N ＝{P|PA≥2PB ，A(－1，0)，B(1，0)}，则表示M∩N 的图形面积等于________． 答案：23＋83π解析：设P(x ，y)，由PA 2≥PB 2知(x ＋1)2＋y 2≥2(x －1)2＋2y 2.整理得(x －3)2＋y 2≤8，则集合M∩N 示意图如下图，则S M∩N ＝S △ABN ＋2S 扇BNF .又N(3，0)到AB 距离d ＝2，从而△ABN 为等边三角形，∴ S △ABN ＝34(22)2＝23，2S 扇BNF ＝2×12l·r ＝lr ＝r 2θ＝8×π3＝83π.综上知M∩N 的图形面积为23＋83π.14. 若函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14(a>0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________． 答案：8解析：f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋10a 2＋14－100a(a ＞0)，由题设知原题可以等价于对任意区间[x 1，x 2]，x 2－x 1＝2，函数f(x)在[x 1，x 2]上的最大值与最小值之差大于等于8，不妨设g(x)＝ax 2＋14－100a ，则原题可转化成对任意t ∈R ，g(x)在[t ，t ＋2]上最大值与最小值之差大于等于8， ① 当t≥0时，g(x)在[t ，t ＋2]上递增，从而g max (x)－g min (x)＝g(t ＋2)－g(t)＝a[(t ＋2)2－t 2]≥8，即a(4t ＋4)≥8对t≥0恒成立，从而4a≥8a≥2； ② 当t ＋2≤0时，g(x)在[t ，t ＋2]上递减，从而g max (x)－g min (x)＝g(t)－g(t ＋2)≥8时，对任意t≤－2恒成立，即a(－4t －4)≥8.对任意t≤－2恒成立，从而a(8－4)≥8a≥2；③ 当t ＋1≤0时，g(x)在[t ，0]上递减，在[0，t ＋2]上递增，且g(t ＋2)≥g(t)，从而g max (x)－g min (x)＝g(t ＋2)－g(0)＝a(t ＋2)2≥8，对于任意t≥－1恒成立，从而有a≥8； ④ 同理t ＋1≥0时，也有a≥8，综上知a≥8.二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1＝AB.求证： (1) AB ∥平面D 1DCC 1； (2) AB 1⊥平面A 1BC.证明：(1) 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB 平面D 1DCC 1，CD平面D 1DCC 1，所以AB ∥平面D 1DCC 1.(6分)(2) 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，四边形A 1ABB 1为平行四边形，又AA 1＝AB ，故四边形A 1ABB 1为菱形．从而AB 1⊥A 1B.(9分)又AB 1⊥BC ，而A 1B∩BC ＝B ，A 1B 、BC 平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC.(14分) 16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.(2分) 因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(7分)时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233，S ＝12·absinC ＝23 3.(10分)当cosA≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.(13分)所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.(14分)17. (本小题满分14分)已知a 为实常数，y ＝f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x －a 3x 2＋1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a －1对一切x>0成立，求a 的取值范围．解：(1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)上的单调性即可． f′(x)＝2＋2a 3x3，令f′(x)＝0，得x ＝－a.(2分)② 当a≤0时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，0)上是单调递增．(4分)② 当a>0时，x ∈(－∞，－a)，f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，－a)上是单调递增；x ∈(－a ，0)，f′(x)<0，所以f(x)在区间(－a ，0)上是单调递减．(6分)综上所述，当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；当a>0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a)，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a)．(7分)(2) 因为f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－⎝⎛⎭⎫－2x －a 3x 2＋1＝2x ＋a3x2－1.(9分) ① 当a<0时，要使f(x)≥a －1对一切x>0成立，即2x ＋a 3x 2≥a 对一切x>0成立．而当x ＝－a2>0时，有－a ＋4a≥a ，所以a≥0，这与a<0矛盾．所以a<0不成立．(11分)② 当a ＝0时，f(x)＝2x －1>－1＝a －1对一切x>0成立，故a ＝0满足题设要求．(12分)③ 当a>0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．所以f min (x)＝f(a)＝3a －1>a －1，所以a>0时也满足题设要求．(13分) 综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．(14分) 18.(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF ︵的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD ∥EF ，且点A 、D 在EF ︵上，设∠AOD ＝2θ.(1) 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cosθ的值．解：(1) 设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ.当0<θ<π3时(如图①)，AB ＝4cosθ＋2，AD ＝2×4si nθ，S ＝AB×AD ＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．(3分) 当π3≤θ＜π2(如图②)，AB ＝2×4cosθ，AD ＝2×4sinθ， 故S ＝AB×AD ＝64sinθcosθ＝32sin2θ.综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为S ＝⎩⎨⎧16sinθ（2cosθ＋1），0<θ<π3，32sin2θ，π3≤θ<π2.(7分)(2) 当0<θ<π3时，求导，得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]＝16(4cos 2θ＋cosθ－2)．令S′＝0，得cosθ＝33－18.(10分) 记区间⎝⎛⎭⎫0，π3内余弦值等于33－18的角为θ0(唯一存在)．列表： θ (0，θ0) θ0 ⎝⎛⎭⎫θ0，π3S′ ＋ 0 － S增函数极大值减函数又当π3≤θ<π2时，S ＝32sin2θ在⎣⎡⎭⎫π3，π2上为单调减函数， 所以当θ＝θ0即cosθ＝33－18时，矩形的面积最大．(16分)19. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M 、N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，335，试求直线PA 的方程；(3) 记M 、N 两点的纵坐标分别为y M 、y N ，试问y M ·y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1) 由题意，得 2a ＝（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＋（1＋1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，即a ＝2.(2分) 又c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 因为B ⎝⎛⎭⎫85，335，所以P(－85，－335)．又F(1，0)，所以k AB ＝3，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．(7分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3（x －1），解得A(0，－3)．(9分)所以直线PA 的方程为y ＝－34x －3， 即3x ＋4y ＋43＝0.(10分)(3) 当直线AB 斜率k 不存在时，易得y M y N ＝－9.当直线AB 斜率k 存在时，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则P(－x 2，－y 2)，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，得（x 2＋x 1）（x 2－x 1）4＝－（y 2＋y 1）（y 2－y 1）3，所以（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝－34＝k PA k ，所以k PA ＝－34k.(12分)所以直线PA 方程为y ＋y 2＝－34k(x ＋x 2)，所以y M ＝－34k (x 2＋4)－y 2＝－3（x 2＋4）（x 2－1）4y 2－y 2.因为直线PB 方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.(14分)所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）x 2－4y 22x 2.因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.(16分)20(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1＋a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2＋b 1，a 1＋b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．(1) 求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； (2) 按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n .求满足S n <22 014的最大正整数n.解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＝a 1＋2d ，b 1（b 1q ）＝b 1q 2，（a 1＋2d ）＋（a 1＋b 1q ）＝2[（a 1＋d ）＋b 1]，（a 1＋d ）2＝a 1（b 1q ），解得a 1＝d ＝1，b 1＝q ＝2.故a n ＝n ，b n ＝2n .(6分)(2) 将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有P n ＝n 2（n 2＋1）2＋2n 2＋n ＋1－2.(11分)P 45－22 014＝452（452＋1）2＋22 071－22 014－2>0，P 44－22 014＝442（442＋1）2－21 981(233－1)－2<0.当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 012)时，S n －22 014＝－22 013－2＋452（452＋1）2<0.(13分)当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 013)时，S n －22 014＝－2＋452（452＋1）2>0.可得到符合S n <22 014的最大的n ＝452＋2 012＝4 037.(16分)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值； (2) 求A －1. 解：(1) 由题意得： A α＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2m ＋2＝4⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(5分) (2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12b ＝02a ＋c ＝02b ＋d ＝1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 120－11.(10分) B ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cosθ，y ＝72＋2sinθ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆． (1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．解：(1) 圆M ：⎝⎛⎭⎫x －5322＋(y －72)2＝4，⎝⎛⎭⎫3，π3对应直角坐标系下的点为⎝⎛⎭⎫32，32，⎝⎛⎭⎫2，π2对应直角坐标系下的点为(0，2)，∴ 圆N ：⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1.(5分)(2) PQ ＝MN －3＝4－3＝1.(10分)C ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1，abc≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．(5分)(2) 柯西不等式a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．(10分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．(1) 证明：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x A(4，4)、B(1，－2)， 设A 1⎝⎛⎭⎫m 24，m 、B 1⎝⎛⎭⎫n 24，n ， k AT ＝kA 1T 44－t ＝m m 24－t m 2－4t ＝4m －tm m(m －4)＝t(4－m)m ＝－t A 1⎝⎛⎭⎫t 24，－t ， 同理：B 1(t 2，2t)k ＝3t t 2－t 24＝4t kt ＝4为定值．(5分) (2) 解：A 1B 1：y －2t ＝4t(x －t 2)，令y ＝0得N ⎝⎛⎭⎫t 22，0，而M(2，0)， S 1S 2＝⎪⎪⎪⎪y A y B＝2S 2＝12S 1， S 4S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yA 1TM·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t t －2·t 4＝t 28S 4＝t 28S 1， S 3S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yB 1TM·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（t －2）t －2·2t 4＝t 24S 3＝t 24S 1， S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，∴ t 2＝1而t>0t ＝1.(10分)23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．23. 解：如图以CB 、CA 分别为x 、y 轴，过C 作直线Cz ∥BC 1，以Cz 为z 轴， ∴ B(3，0，0)，C(0，0，0)，A(0，3，0)，C 1(3，0，3)，CB 1→＝CC 1→＋CB →＝(6，0，3)B 1(6，0，3)，CA 1→＝CC 1→＋CA →＝(3，3，3)A 1(3，3，3)．(1) T 是△ABC 1重心T(2，1，1)TA 1→＝(1，2，2)，设平面ABC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，AB →＝(3，－3，0)，AC 1→＝(3，－3，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－3y 1＝03x 1－3y 1＋3z 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0x 1＝y 1取法向量n 1＝(1，1，0)，∴ cos 〈TA 1→，n 1〉＝33·2＝22〈TA 1→，n 1〉＝π4. 设TA 1与平面ABC 1所成的角为αα＝π2－〈TA 1→，n 1〉＝π4.(5分) (2) T 在平面ABC 1内，CT →＝CB →＋BT →＝CB →＋mBC 1→＋nBA →＝(3－3n ，3n ，3m)，即T(3－3n ，3n ，3m)．由TB 1＝TC ，得(3－3n)2＋(3n)2＋(3m)2＝(3n ＋3)2＋(3n)2＋(3m －3)2－2m ＋4n ＝－1， ①设平面CAA 1C 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，CA →＝(0，3，0)，CC 1→＝(3，0，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＝03x 2＋3z 2＝0取n 2＝(1，0，－1)．设平面TA 1C 1法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，C 1A 1→＝(0，3，0)，C 1T →＝(－3n ，3n ，3m －3)，⎩⎪⎨⎪⎧y 3＝0－3nx 3＋（3m －3）z 3＝0取n 3＝(m －1，0，n)． 由平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1，得cos 〈n 2，n 3〉＝m －1－n 2·（m －1）2＋n 2＝0m ＝n ＋1. ②由①②解得n ＝12，m ＝32， ∴ 存在点T ⎝⎛⎭⎫32，32，92，TC ＝3112.(10分)。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (96)
2020高考数学模拟试题（理科）第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则A. 1B.C.D.2.已知集合，则A. B. C. D.3.已知单位向量的夹角为，且，若向量m＝2-3，则|m|＝A. 9B. 10C. 3D.4.下列说法正确的是A. 若命题均为真命题，则命题为真命题B. “若，则”的否命题是“若”C. 在，“”是“”的充要条件D. 命题“”的否定为“”5.已知正项等比数列的前项和为，若，则A. B. C. D.6.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是A. B. C. D.7.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 13 8.曲线的一条切线l 与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为 A.B.C.D.9.已知为实数，，若，则函数的单调递增区间为A. B. C.D.10.定义在R 上的函数()2,10{ ,01x x f x x x -≤<=≤<，且()()()12,2f x f xg x x +==-，则方程()()f x g x =在区间[]5,9-上的所有实数根之和最接近下列哪个数A. 14B. 12C. 11D. 10 11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A ．505B ．507．5011 D ．501912.()f x 是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=，已知当[)0,1x ∈时， ()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的图象关于1x =对称B. ()f x 有最大值1C. ()f x 在[]1,3-上有5个零点D. 当[]2,3x ∈时， ()121x f x -=-第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.在中，已知，若，则周长的取值范围为__________．14.曲线在点（0,0）处的切线方程为______________；15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则_____.16.已知且,则______。
高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)
2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (63)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。
2020年高考数学(理)必刷试卷8(解析版)
2020年高考必刷卷08数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，然后利用交集的定义可求出集合A B I . 【详解】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺【答案】B 【解析】 【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边. 【详解】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10x -尺，由勾股定理可得：()222310x x +=-，可得 4.55x =尺. 故选：B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.5．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论. 【详解】22()11xf x x=-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C . 故选:B 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（ ） A ．16B ．12C ．23D ．56【答案】D 【解析】 【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案. 【详解】设{A =两门至少有一门被选中}，则{A =两门都没有选中}，A 包含1个基本事件，则2411()6P A C ==，所以15()166P A =-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．若向量,a b r r 满足||1,||2a b ==r r ，且||3a b -=r r，则向量,a b r r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B 【解析】 【分析】由||3a b -=r r ,平方求出a b ⋅r r,代入向量夹角公式,求出,a b r r 的夹角余弦值,即可得结果.【详解】设,a b r r的夹角为θ||3,a b -=r r 2222||()2523,a b a b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅=r r r r r r r r r r11,cos ,0,23a b a b ab πθθπθ⋅⋅=∴==≤≤∴=r rr r r r故选:B 【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D 【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -====101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.9．以n S ?,?T n 分别表示等差数列{}{}n ,?b n a 的前n 项和，若S 73n n n T n =+，则55a b 的值为 A ．7 B ．214C ．378D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的性质，当n 为奇数时，12n n s na +=，即可把55a b 转化为99S T 求解.【详解】因为数列是等差数列，所以211(21)n n S n a ++=+，故55955997921==9934a a Sb b T ⨯==+,选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和的性质，属于中档题.10．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得2a =，1b =，可得椭圆的方程．【详解】解：22||3||AF BF =Q ，2||4||AB BF ∴=， 又125BF BF =，又12||||2BF BF a +=，23||aBF ∴=， 2||AF a ∴=，1||53BF a =，12||||2AF AF a +=Q ，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=， 在△12BF F 中，由余弦定理可得222154()()33cos 223a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得21320a a a-+=，解得22a =， 222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：2212x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题．11．设函数431,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 A ．(23－2，32⎤⎥⎦B ．(－23－2，23－2)C ．(32，＋∞) D ．(23－2，＋∞)【答案】A 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，利用()f x 图像，利用换元法，将方程()()22()30fx a f x -++=恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，令()f x t =，则方程()()22()30fx a f x -++=转化为()2230t a t -++=，由图可知，要使关于x 的将方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则方程()2230t a t -++=在(]1,2内有两个不同的实数根，所以()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得32322a -<≤. 故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且AB 、AC 、AD 两两夹角都为60︒，若2BD =，则该球的体积为（ ）A ．32πB ．233π C ．34π D ．22π 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可分析四面体A BCD -是正四面体，各条棱长均为2，依据正四面体外接球半径的求法即可得解. 【详解】由题：在四面体A BCD -中，,60AB AC AD BAC BAD CAD ==∠=∠=∠=o，所以,,BAC BAD CAD ∆∆∆均为等边三角形，且边长均为2， 所以四面体A BCD -是正四面体，棱长为2，如图：根据正四面体特征，点A 在底面正投影1O 是底面正三角形的中心，外接球球心O 在线段1AO 上，设外接球半径为R ，取CD 中点E 过点,,B C D 的截面圆的半径1223623323r O B BE ===⨯⨯=， 在△1O AB 中，2211223233O A BA BO =-=-=， 则球心到截面BCD 的距离1233d OO R ==- 在△1O OB 中，22211O B OO OB +=，22262333R R ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 解得32R =， 所以球的体积3433322V ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关系求出半径即可求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (22)
2020高考数学模拟考试（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1.设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A. {}22x x -≤<B. {}2x x ≥-C. {}2x x <D.{}12x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果.【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<Q{}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.设函数23()x xf x e -=（e 为自然底数），则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 01x <<B. 04x <<C. 03x <<D.34x <<【答案】A 【解析】 【分析】由()1f x <可得：03x <<，结合充分、必要条件的概念得解. 【详解】()1f x <⇔ 231x xe -<⇔230x x -<解得：03x <<又“01x <<”可以推出“03x <<” 但“03x <<”不能推出“01x <<”所以“01x <<”是“()1f x <” 充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题。
3.已知命题p ：“,[]1e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=””若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (1,4]B. (0,1]C. [1,1]-D.(4,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】通过判断命题p 和q 的真假，从而求得参数的取值范围. 【详解】解：若命题p ：“,[]1e ∀∈，ln a x >，为真命题， 则ln 1a e >=，若命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=”为真命题， 则1640a ∆=-≥，解得4a ≤， 若命题“p q ∧”为真命题， 则p ，q 都是真命题， 则14a a >⎧⎨≤⎩， 解得：14a <≤． 故实数a取值范围为(1,4]．故选：A ．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键．4.方程ln 40x x +-=的实根所在的区间为（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()ln 4f x x x =+-，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案。
2020高考数学必刷题含解析
专题突破练(1) 函数的综合问题一、选择题1．函数f (x )＝Error!的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7 D ．0 答 B解 解法一：由f (x )＝0得Error!或Error!解得x ＝－2或x ＝e ． 因此函数f (x )共有2个零点． 解法二：函数f (x )的图象如图所示， 由图象知函数f (x )共有2个零点．故选B ．2．已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则的最大值为( ) y2xA ．B ．1C ．D ． 185472答 C解 由题意，得线段AB ：y －1＝(x －4)⇒y ＝－2x ＋9(2≤x ≤4)，所以＝5－12－4y2x＝－1＋≤，当x ＝2时等号成立，即的最大值为．故选C ． －2x ＋92x 92x 54y 2x 543．若变量x ，y 满足|x |－ln ＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )1y答 B解 由|x |－ln ＝0得y ＝＝Error!画出图象可知选B ．1y 1e|x |4．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4 答 C解 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．而在x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，所以f (－6)＝－f (6)＝－[log 2(2＋6)－1]＝－(log 28－1)＝－2．故选C ．5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (－2)＝0，则满足xf (x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，2)B ．(－2，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2) 答 A解 因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，0]上单调递增，又f (－2)＝0，所以f (2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f (x )＜0；在区间(－2，2)上，f (x )＞0，所以xf (x )＞0等价于Error!和Error!即得x <－2或0<x <2．故选A ．6．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x1＋|x |x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(2，3)C ．(－∞，2)D ．(3，＋∞) 答 A解 易得函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝＝1－为单x1＋x11＋x调增函数，故函数f (x )在R 上为增函数，依题意得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3．故选A ．7．(2018·佛山质检一)已知函数f (x )＝Error! 则下列函数为奇函数的是( ) A ．f (sin x ) B ．f (cos x ) C ．xf (sin x ) D ．x 2f (cos x ) 答 C解 易知f (x )为偶函数，即满足∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立．研究g (x )＝xf (sin x )，g (－x )＝－xf [sin(－x )]＝－xf (－sin x )＝－xf (sin x )＝－g (x )，故g (x )＝xf (sin x )为奇函数．故选C ．8．(2019·青岛质检)已知a ＞b ＞1，则下列结论正确的是( ) A ．a a ＜b b B ．a ln b ＞b ln a C ．a ln a ＞b ln b D ．a b ＜b a 答 C解 取a ＝e ，b ＝，则B 项明显错误；对于D 项，若a b ＜b a 成立，则ln a b ＜ln b a ，e 则b ln a ＜a ln b ，由B 项错误得D 项错误；因为a ＞b ＞1，所以ln a ＞ln b ＞0，由同向不等式相乘得a ln a ＞b ln b ，进一步得ln a a ＞ln b b ，所以a a ＞b b ，所以A 项错误，C 项正确．故选C ．9．若x ，y ∈R ，且满足Error!则x ＋y ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 答 B解 函数f (t )＝t 3＋2018t (t ∈R )是奇函数，且在R 上是增函数，故若f (u )＋f (v )＝130，则必有u ＋v ＝0，本题中，u ＝x ＋4，v ＝y －1，∴x ＋4＋y －1＝0⇒x ＋y ＝－3．故选B ．10．(2018·长沙统考)函数f (x )＝2x ＋的图象大致为( )x x ＋1答 A 解 f (x )＝2x ＋＝2x －＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u (x )x x ＋11x ＋1＝2x ，v (x )＝－．由于u (x )和v (x )都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以1x ＋1f (x )在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C ，D ；又当x 趋向负无穷时，2x 趋近于0，－趋近于0，所以f (x )接近于1，所以选A ． 1x ＋111．(2018·大庆质检一)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )<0．若a ＝f ln ，b ＝f ln －，c ＝f (e 0．1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )121e 1e2A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <a <b D ．a <c <b 答 C解 依题意，有f (x )在[0，＋∞)上单调递减，而且f (x )是定义在R 上的奇函数，则由其图象知f (x )在(－∞，0]上单调递减，从而奇函数f (x )在R 上单调递减．则由ln －1e ＝ln 1－<ln ＝－1，0>ln >ln ＝－1，e0．1>0，知ln －<ln <e 0．1，从而结合1e 21e 1e 1e 121e 1e 1e 212f (x )的单调性，有f ln －>f ln >f (e 0．1)，即c <a <b ．故选C ．1e 1e 21212．(2018·长沙统考)设平行于x 轴的直线l 分别与函数y ＝2x 和y ＝2x ＋1的图象相交于点A ，B ，若函数y ＝2x 的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线l ( )A ．不存在B ．有且只有一条C ．至少有两条D ．有无数条 答 B解 如图，设直线l 的方程为y ＝a (a ＞0)，则点A (log 2a ，a )，B (log 2a －1，a )． 因为直线AB 平行于x 轴，所以|AB |＝1．取AB 中点D ，连接CD ，因为△ABC 是等边三角形，所以CD ⊥AB ，且|AD |＝，|CD |＝，所以点C log 2a －，a －．因为点C 在y ＝2x12321232的图象上，所以a －＝2log2a －＝，解得a ＝，所以直线l 只有一条．故选B ．3212a232－2二、填空题13．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解，则实数a 的取值范围是________．答 (－∞，－2)解 不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈[1，4]，∴g (x )≤g (4)＝－2，∴a <－2．14．若存在b ∈[1，2]，使得2b (b ＋a )≥4，则实数a 的取值范围是________． 答 [－1，＋∞)解 由题可得2b (a ＋b )≥4⇒a ＋b ≥4b ⇒a ≥4b －b ，即存在b ∈[1，2]使得a ≥4b (12)(12)(12)－b ，因为y ＝4x－x 在R 是单调递减的，所以4b－b 在区间[1，2]上的范围为[－1，(12)(12)1]，则a ≥－1，故填[－1，＋∞)．15．已知函数g (x )的图象与函数f (x )＝log 3x (x >0)的图象关于直线y ＝x 对称，若g (a )·g (b )＝3(其中a >0且b >0)，则＋的最小值为________． 1a 4b答 9解 依题意可知g (x )＝3x ，∴g (a )·g (b )＝3a ·3b ＝3a ＋b ＝3即a ＋b ＝1，∴＋＝1a 4b·(a ＋b )＝5＋＋≥9当且仅当a ＝，b ＝取“＝”． (1a ＋4b )b a 4a b 132316．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log x ，y22＝x ，y ＝x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D1232的坐标是________．答 ，12916解 由2＝log x 可得点A ，2，由2＝x 可得点B (4，2)，因为4＝，所以点C22121232916的坐标为4，，所以点D 的坐标为，．91612916三、解答题17．(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，满足f (mn )＝f (m )＋f (n )(m ，n >0)，且当x >1时，有f (x )>0．(1)求证：f ＝f (m )－f (n )；(mn)(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)比较f与的大小．(m ＋n2)f (m )＋f (n )2解 (1)证明：∵f (m )＝f ＝f ＋f (n )，(m n ·n )(mn)∴f＝f (m )－f (n )． (mn)(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ．(x 2x1)∵0<x 1<x 2，∴>1，∴f >0，x 2x1(x 2x 1)∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)f－(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝f ＋f － 12(m ＋n 2)12(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝＋ 12[f (m ＋n 2)－f (m )]12[f (m ＋n2)－f (n )]＝f ＋f12(m ＋n 2m )12(m ＋n 2n )＝f12[(m ＋n )24mn ]∵≥1，∴f≥0，(m ＋n )24mn [(m ＋n)24mn ]故f≥． (m ＋n 2)f (m )＋f (n )218．(2018·浙江宁波统考)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝x |x －a |． (1)若g (x )为奇函数，求a 的值并判断g (x )的单调性(单调性不需证明)；(2)对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在唯一的x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求正实数a 的取值范围．解 (1)∵g (x )为奇函数，∴g (x )＋g (－x )＝x (|x －a |－|x ＋a |)＝0恒成立． ∴a ＝0．此时g (x )＝x |x |，在R 上单调递增． (2)x 1∈[1，＋∞)，f (x )＝log 2(x ＋1)， ∴f (x 1)∈[1，＋∞)，g (x )＝Error!①当a ≤2时，g (x 2)在[2，＋∞)上单调递增， ∴g (2)＝4－2a ≤1，a ≥，∴≤a ≤2．3232②当2<a <4时，g (x 2)在[2，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增． ∴g (2)＝－4＋2a <1，a <，∴2<a <．5252③当a ≥4时，g (x 2)在2，上单调递增，在，a 上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递a 2a2增．∴g ＝－2＋<1，－2<a <2，不成立．a2a 2a 22综上可知≤a ＜．325219．(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间满足关系：P ＝Error!(其中c 为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0．1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品．)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解 (1)当x >c 时，P ＝，23∴T ＝x ·2－x ·1＝0；1323当1≤x ≤c 时，P ＝，16－x∴T ＝·x ·2－·x ·1＝．(1－16－x )(16－x )9x －2x 26－x综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为T ＝Error! (2)由(1)，当x >c 时，每天的盈利额为0，∴1≤x ≤c ，①当3≤c <6时，T ＝＝15－2(6－x )＋≤15－12＝3(当且仅当x ＝3时取等9x －2x 26－x 96－x 号)，T max ＝3，此时x ＝3；②当1≤c <3时，由T ′＝＝知函数T ＝在[1，3]上2x 2－24x ＋54(6－x )22(x －3)(x －9)(6－x )29x －2x 26－x递增，∴当x ＝c 时，∴T max ＝．9c －2c 26－c综上，若3≤c <6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润； 若1≤c <3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．20．(2018·天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为y ＝x 3－x ＋8(0<x <120)．1128000380(1)当x ＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2)若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解 (1)当x ＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时， 100642516要耗油×643－×64＋8×＝11．95(升)． 11280003802516(2)设22．5升油能使该型号汽车行驶a 千米，由题意得， x 3－x ＋8×＝22．5， 1128000380ax 所以a ＝，22.51128000x 2＋8x －380设h (x )＝x 2＋－， 11280008x 380则当h (x )最小时，a 取最大值， h ′(x )＝x －＝，1640008x 2x 3－80364000x 2令h ′(x )＝0⇒x ＝80，当x ∈(0，80)时，h ′(x )<0，当x ∈(80，120)时，h ′(x )>0，故当x ∈(0，80)时，函数h (x )为减函数，当x ∈(80，120)时，函数h (x )为增函数， 所以当x ＝80时，h (x )取得最小值，此时a 取最大值为＝200．22.51128000×802＋880－380所以若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．专题突破练(1) 函数的综合问题一、选择题1．函数f (x )＝Error!的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7 D ．0 答 B解 解法一：由f (x )＝0得Error! 或Error!解得x ＝－2或x ＝e ． 因此函数f (x )共有2个零点．解法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．故选B ．2．已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则的最大值为( )y2xA ．B ．1C ．D ． 185472答 C解 由题意，得线段AB ：y －1＝(x －4)⇒y ＝－2x ＋9(2≤x ≤4)，所以＝5－12－4y2x＝－1＋≤，当x ＝2时等号成立，即的最大值为．故选C ． －2x ＋92x 92x 54y 2x 543．若变量x ，y 满足|x |－ln ＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )1y答 B解 由|x |－ln ＝0得y ＝＝Error!画出图象可知选B ．1y1e |x |4．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4 答 C解 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．而在x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，所以f (－6)＝－f (6)＝－[log 2(2＋6)－1]＝－(log 28－1)＝－2．故选C ．5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (－2)＝0，则满足xf (x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，2)B ．(－2，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2) 答 A解 因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，0]上单调递增，又f (－2)＝0，所以f (2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f (x )＜0；在区间(－2，2)上，f (x )＞0，所以xf (x )＞0等价于Error!和Error!即得x <－2或0<x <2．故选A ．6．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x1＋|x |x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(2，3)C ．(－∞，2)D ．(3，＋∞) 答 A解 易得函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝＝1－为单x1＋x11＋x调增函数，故函数f (x )在R 上为增函数，依题意得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3．故选A ．7．(2018·佛山质检一)已知函数f (x )＝Error!则下列函数为奇函数的是( ) A ．f (sin x ) B ．f (cos x ) C ．xf (sin x ) D ．x 2f (cos x ) 答 C解 易知f (x )为偶函数，即满足∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立．研究g (x )＝xf (sin x )，g (－x )＝－xf [sin(－x )]＝－xf (－sin x )＝－xf (sin x )＝－g (x )，故g (x )＝xf (sin x )为奇函数．故选C ．8．(2019·青岛质检)已知a ＞b ＞1，则下列结论正确的是( ) A ．a a ＜b b B ．a ln b ＞b ln a C ．a ln a ＞b ln b D ．a b ＜b a 答 C解 取a ＝e ，b ＝，则B 项明显错误；对于D 项，若a b ＜b a 成立，则ln a b ＜ln b a ，e 则b ln a ＜a ln b ，由B 项错误得D 项错误；因为a ＞b ＞1，所以ln a ＞ln b ＞0，由同向不等式相乘得a ln a ＞b ln b ，进一步得ln a a ＞ln b b ，所以a a ＞b b ，所以A 项错误，C 项正确．故选C ．9．若x ，y ∈R ，且满足Error!则x ＋y ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 答 B 解 函数f (t )＝t 3＋2018t(t ∈R )是奇函数，且在R 上是增函数，故若f (u )＋f (v )＝130，则必有u ＋v ＝0，本题中，u ＝x ＋4，v ＝y －1，∴x ＋4＋y －1＝0⇒x ＋y ＝－3．故选B ．10．(2018·长沙统考)函数f (x )＝2x ＋的图象大致为( )x x ＋1答 A 解 f (x )＝2x ＋＝2x －＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u (x )x x ＋11x ＋1＝2x ，v (x )＝－．由于u (x )和v (x )都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以1x ＋1f (x )在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C ，D ；又当x 趋向负无穷时，2x 趋近于0，－趋近于0，所以f (x )接近于1，所以选A ． 1x ＋111．(2018·安徽合肥一模)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 答 A解 令x －1＝t ，t ∈[－2，2]，则y ＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，显然函数y ＝(t 2－1)sin t ＋t 为奇函数，其最大值与最小值之和为0，故函数y ＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2的最大值与最小值之和为4，即M ＋m ＝4，故选A ．12．(2018·大庆质检一)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )<0．若a ＝f ln ，b ＝f ln －，c ＝f (e 0．1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )121e 1e2A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <a <b D ．a <c <b 答 C解 依题意，有f (x )在[0，＋∞)上单调递减，而且f (x )是定义在R 上的奇函数，则由其图象知f (x )在(－∞，0]上单调递减，从而奇函数f (x )在R 上单调递减．则由ln －1e ＝ln 1－<ln ＝－1，0>ln >ln ＝－1，e0．1>0，知ln －<ln <e 0．1，从而结合1e 21e 1e 1e 121e 1e 1e 212f (x )的单调性，有f ln －>f ln >f (e 0．1)，即c <a <b ．故选C ．1e 1e 212二、填空题13．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解，则实数a 的取值范围是________．答 (－∞，－2)解 不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈[1，4]，∴g (x )≤g (4)＝－2，∴a <－2．14．若存在b ∈[1，2]，使得2b (b ＋a )≥4，则实数a 的取值范围是________． 答 [－1，＋∞)解 由题可得2b (a ＋b )≥4⇒a ＋b ≥4b ⇒a ≥4b －b ，即存在b ∈[1，2]使得a ≥4b (12)(12)(12)－b ，因为y ＝4x －x 在R 是单调递减的，所以4b －b 在区间[1，2]上的范围为[－1，(12)(12)1]，则a ≥－1，故填[－1，＋∞)．15．已知函数g (x )的图象与函数f (x )＝log 3x (x >0)的图象关于直线y ＝x 对称，若g (a )·g (b )＝3(其中a >0且b >0)，则＋的最小值为________．1a 4b答 9解 依题意可知g (x )＝3x ，∴g (a )·g (b )＝3a ·3b ＝3a ＋b ＝3即a ＋b ＝1，∴＋＝1a 4b·(a ＋b )＝5＋＋≥9当且仅当a ＝，b ＝取“＝”． (1a ＋4b )b a 4a b 132316．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log x ，y22＝x ，y ＝x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D 1232的坐标是________．答 ，12916解 由2＝log x 可得点A ，2，由2＝x 可得点B (4，2)，因为4＝，所以点C22121232916的坐标为4，，所以点D 的坐标为，．91612916三、解答题17．(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，满足f (mn )＝f (m )＋f (n )(m ，n >0)，且当x >1时，有f (x )>0．(1)求证：f＝f (m )－f (n )； (mn)(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)比较f与的大小．(m ＋n2)f (m )＋f (n )2解 (1)证明：∵f (m )＝f ＝f ＋f (n )， (m n ·n )(mn)∴f＝f (m )－f (n )． (mn)(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ．(x 2x1)∵0<x 1<x 2，∴>1，∴f >0，∴f (x 2)>f (x 1)，x 2x1(x 2x 1)∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)f－(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝f ＋f － 12(m ＋n 2)12(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝＋ 12[f(m ＋n 2)－f (m )]12[f (m ＋n2)－f (n )]＝f ＋f 12(m ＋n 2m )12(m ＋n 2n )＝f 12[(m ＋n )24mn ]∵≥1，∴f≥0， (m ＋n )24mn [(m ＋n )24mn ]故f≥．(m ＋n 2)f (m )＋f (n )218．(2018·浙江宁波统考)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝x |x －a |． (1)若g (x )为奇函数，求a 的值并判断g (x )的单调性(单调性不需证明)；(2)对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在唯一的x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求正实数a 的取值范围．解 (1)∵g (x )为奇函数，∴g (x )＋g (－x )＝x (|x －a |－|x ＋a |)＝0恒成立． ∴a ＝0．此时g (x )＝x |x |，在R 上单调递增． (2)x 1∈[1，＋∞)，f (x )＝log 2(x ＋1)， ∴f (x 1)∈[1，＋∞)，g (x )＝Error!①当a ≤2时，g (x 2)在[2，＋∞)上单调递增， ∴g (2)＝4－2a ≤1，a ≥，∴≤a ≤2．3232②当2<a <4时，g (x 2)在[2，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增． ∴g (2)＝－4＋2a <1，a <，∴2<a <．5252③当a ≥4时，g (x 2)在2，上单调递增，在，a 上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递a 2a2增．∴g ＝－2＋<1，－2<a <2，不成立． a2a 2a 22综上可知≤a ＜．325219．(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间满足关系：P ＝Error!(其中c 为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0．1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品．)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解 (1)当x >c 时，P ＝，23∴T ＝x ·2－x ·1＝0；1323当1≤x ≤c 时，P ＝， 16－x∴T ＝·x ·2－·x ·1＝．(1－16－x )(16－x )9x －2x 26－x综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为T ＝Error! (2)由(1)，当x >c 时，每天的盈利额为0，∴1≤x ≤c ，①当3≤c <6时，T ＝＝15－2(6－x )＋≤15－12＝3(当且仅当x ＝3时取等9x －2x 26－x 96－x 号)，T max ＝3，此时x ＝3；②当1≤c <3时， 由T ′＝＝知函数T ＝在[1，3]上递增，2x 2－24x ＋54(6－x )22(x －3)(x －9)(6－x )29x －2x 26－x∴当x ＝c 时，∴T max ＝．9c －2c 26－c综上，若3≤c <6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润； 若1≤c <3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润． 20．(2019·广州模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2＋a ．1x(1)当a ＝5时，解不等式f (x )>0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差12不超过1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝5时，f (x )＝log 2＋5，1x由f (x )>0得log 2＋5>0，1x∴＋5>1，即＋4＝>0，1x 1x 4x ＋1x解得x >0或x <－，14∴不等式的解集为xx >0或x <－．14(2)由f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，得 log 2＋a －log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，1x即＋a ＝(a －4)x ＋2a －5>0，①1x∴(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0， 即(x ＋1)[(a －4)x －1]＝0．②当a ＝4时，方程②的唯一解为x ＝－1，满足①式； 当a ＝3时，方程②有两个相等的实数解， 即x ＝－1，满足①式；当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝－1或x ＝， 1a －4若x ＝－1满足①式，则－1＋a ＝a －1>0，即a >1， 若x ＝满足①式，则a －4＋a ＝2a －4>0，即a >2， 1a －4∴要使满足①式的解有且仅有一个，则1<a ≤2．综上，若方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是{a |1<a ≤2或a ＝3或a ＝4}．(3)∵函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减， ∴f (t )－f (t ＋1)≤1， 即log 2＋a －log 2＋a ≤1，1t 1t ＋1∴log 2＋a ≤log 2＋a ＋1，1t 1t ＋1∴＋a ≤2＋a ， 1t 1t ＋1∴a ≥－＝在区间，1上恒成立，1t 2t ＋11－t t (t ＋1)12∴a ≥max ，t ∈，1．1－tt (t ＋1)12设1－t ＝r ，即t ＝1－r ，则0≤r ≤，12∴＝＝， 1－tt (t ＋1)r(1－r )(2－r )rr 2－3r ＋2当r ＝0时，＝0．rr 2－3r ＋2当0<r ≤时，＝，12rr 2－3r ＋21r ＋2r－3∴y ＝r ＋在(0，)上递减，2r2∴y ＝r ＋在r ＝时最小，2r 12∴r ＋≥＋4＝，2r 1292∴＝≤＝， rr 2－3r ＋21r ＋2r －3192－323∴实数a 的取值范围是aa ≥．23专题突破练(2) 利用导数研究不等式与方程的根一、选择题1．(2019·佛山质检)设函数f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，若x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )＝f (x )－λx 的两个极值点，现给出如下结论：①若－1＜λ＜0，则f (x 1)＜f (x 2)；②若0＜λ＜2，则f (x 1)＜f (x 2)；③若λ＞2，则f (x 1)＜f (x 2)．其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答 B解 依题意，x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g ′(x )＝3x 2－6x ＋2－λ的两个零点，则Δ＝12(λ＋1)>0，即λ>－1，且x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝．研究f (x 1)<f (x 2)成立的充要条2－λ3件：f (x 1)<f (x 2)等价于(x 1－x 2)[(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2]<0，因为x 1<x 2，所以有(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2＝－>0，解得λ>2．从而可知③正确．故选B ． 2－λ32．(2018·乌鲁木齐一诊)设函数f (x )＝e x x ＋－3－，若不等式f (x )≤0有正实数3x ax解，则实数a 的最小值为( )A ．3B ．2C ．e 2D ．e 答 D解 因为f (x )＝e x x ＋－3－≤0有正实数解，所以a ≥(x 2－3x ＋3)e x ，令g (x )＝(x 23x ax－3x ＋3)e x ，则g ′(x )＝(2x －3)e x ＋(x 2－3x ＋3)e x ＝x (x －1)e x ，所以当x >1时，g ′(x )>0；当0<x <1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝e ，所以a ≥e．故选D ．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为( )e 636e 749e 864A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答 C解 构造函数f (x )＝，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，f ′(x )＝，当e xx 2x e x (x －2)x 4x >2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增，故f (8)>f (7)>f (6)，即c >b >a ．故选C ．4．(2018·合肥质检二)已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，f (x )＋2＞f ′(x )，f (0)＝1，则不等式ln (f (x )＋2)－ln 3＞x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞) 答 A解 构造函数g (x )＝，则g ′(x )＝f (x )＋2e x＜0，则g (x )在R 上单调递减，且g (0)＝＝3．从而原不等式f ′(x )－(f (x )＋2)e xf (0)＋2e 0ln＞x 可化为＞e x ，即＞3，即g (x )＞g (0)，从而由函数g (x )的单调f (x )＋23f (x )＋23f (x )＋2e x性，知x ＜0．故选A ．5．(2018·郑州质检一)若对于任意的正实数x ，y 都有2x －ln ≤成立，则实数my e y x xm e 的取值范围为( )A ．，1B ．，1C ．，eD ．0， 1e 1e 21e 21e 答 D解 因为x >0，y >0，2x －ln ≤，所以两边同时乘以，可得2e －ln ≤，令＝y e y x x m e e x y x y x 1m yx t (t >0)，令f (t )＝(2e －t )·ln t (t >0)，则f ′(t )＝－ln t ＋(2e －t )·＝－ln t ＋－1t 2et1．令g (t )＝－ln t ＋－1(t >0)，则g ′(t )＝－－<0，因此g (t )即f ′(t )在(0，＋2et1t 2et 2∞)上单调递减，又f ′(e)＝0，所以函数f (t )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (t )max ＝f (e)＝(2e －e)ln e ＝e ，所以e≤，得0<m ≤．故选D ．1m 1e6．(2018·郑州质检三)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，对任意的x 1，x 2∈[0，1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a －2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[e 2，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．[2，e]D ．[e ，e 2] 答 A解 f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，令g (x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，则g ′(x )＝a x (ln a )2＋2>0，所以函数g (x )在[0，1]上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝a 0×ln a ＋2×0－ln a ＝0，即f ′(x )≥0，则函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (0)＝a －ln a ≤a －2，解得a ≥e 2．故选A ．二、填空题7．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答 (－2，2)解 由f (x )＝x 3－3x ＋a ，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝0时，x ＝±1，易知f (x )的极大值为f (－1)＝2＋a ，f (x )的极小值为f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f (－1)＝2＋a >0，且f (1)＝a －2<0，即－2<a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，2)．8．若不等式2x (x －a )>1在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答 (－∞，－1]解 不等式2x (x －a )>1在(0，＋∞)上恒成立，即a <x －2－x 在(0，＋∞)上恒成立．令f (x )＝x －2－x (x >0)，则f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (0)＝－1，所以a ≤－1，即a ∈(－∞，－1]．三、解答题9．(2018·合肥质检二)已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数，a ∈R )．(1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有1个极值点；当0<a <时，f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，12在(ln 2a ，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点；当a ＝时，f (x )在R 上单调递增，∴f (x )没有极值点；12当a >时，f (x )在(－∞，0)上单调递增，12在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点；综上所述，当a ≤0时，f (x )有1个极值点； 当a >0且a ≠时，f (x )有2个极值点；12当a ＝时，f (x )没有极值点．12(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x ，得x e x －x 3－ax 2－x ≥0， 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤对∀x >0恒成立， e x －x 2－1x 设g (x )＝(x >0)，e x －x 2－1x则g ′(x )＝．(x －1)(e x －x －1)x 2设h (x )＝e x －x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －1． ∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，∴g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e－2． ∴a 的取值范围是(－∞，e －2]．10．(2018·郑州质检一)已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)，a ∈R 在(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求f (x )的单调区间；(2)若存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )－＋2x ＋>k (x －1)成立，求k 的取值x 2212范围．∵f ′(x )＝－a ，1x∴f ′(1)＝1－a ＝0，∴a ＝1，∴f ′(x )＝－1＝，1x 1－xx令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x >1，∴f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)不等式f (x )－＋2x ＋>k (x －1)可化为ln x －＋x －>k (x －1)，x 2212x 2212令g (x )＝ln x －＋x －－k (x －1)(x >1)，x 2212则g ′(x )＝－x ＋1－k ＝，1x －x 2＋(1－k )x ＋1x令h (x )＝－x 2＋(1－k )x ＋1(x >1)，h (x )的对称轴为直线x ＝， 1－k2①当≤1，即k ≥－1时，易知h (x )在(1，x 0)上单调递减， 1－k2∴h (x )<h (1)＝1－k ，若k ≥1，则h (x )≤0，∴g ′(x )≤0， ∴g (x )在(1，x 0)上单调递减， ∴g (x )<g (1)＝0，不符合题意； 若－1≤k <1，则h (1)>0，∴必存在x 0，使得x ∈(1，x 0)时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(1，x 0)上单调递增， ∴g (x )>g (1)＝0恒成立，符合题意． ②当>1，即k <－1时，易知必存在x 0，使得h (x )在(1，x 0)上单调递增， 1－k2∴h (x )>h (1)＝1－k >0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(1，x 0)上单调递增， ∴g (x )>g (1)＝0恒成立，符合题意． 综上，k 的取值范围是(－∞，1)．11．(2018·山西考前适应性测试)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ．12(1)当a <1时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若不等式f (x )＋(a ＋1)x ≥＋x a ＋1－e 对于任意x ∈[e －1，e]成立，求正实数ax 22的取值范围．f ′(x )＝x －(a ＋1)＋＝a x x 2－(a ＋1)x ＋ax＝，(x －a )(x －1)x若0<a <1，则当0<x <a 或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当a <x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；若a ≤0，则当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当0<a <1时，函数f (x )在(a ，1)上单调递减，在(0，a )和(1，＋∞)上单调递增．(2)不等式f (x )＋(a ＋1)x ≥＋x a ＋1－e 对任意x ∈[e －1，e]成立等价于对任意x ∈x 221e ，e ，有－a ln x ＋x a ≤e－1成立， 设g (x )＝－a ln x ＋x a ，a >0， 所以g (x )max ≤e－1，g ′(x )＝＋ax a －1＝， －axa (x a －1)x令g ′(x )<0，得0<x <1；令g ′(x )>0，得x >1， 所以函数g (x )在，1上单调递减，1e 在(1，e]上单调递增，g (x )max 为g ＝a ＋e －a 与g (e)＝－a ＋e a 中的较大者．1e设h (a )＝g (e)－g ＝e a －e －a －2a (a >0)，1e 则h ′(a )＝e a ＋e －a －2>2－2＝0，e a ·e －a 所以h (a )在(0，＋∞)上单调递增，故h (a )>h (0)＝0， 所以g (e)>g ，1e从而g (x )max ＝g (e)＝－a ＋e a ，所以－a ＋e a ≤e－1，即e a －a －e ＋1≤0， 设φ(a )＝e a －a －e ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝e a －1>0，所以φ(a )在(0，＋∞)上单调递增．又φ(1)＝0，所以e a －a －e ＋1≤0的解为a ≤1．因为a >0，所以正实数a 的取值范围为(0，1]．12．(2018·石家庄二中模拟)已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，g (x )＝x e 1－x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若不等式f (x )>0对于一切x ∈0，恒成立，求a 的最小值；12(2)若对任意的x 0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．解 (1)由题意得(2－a )(x －1)－2ln x >0在0，上恒成立，即a >2－在0，上122ln x x －112恒成立．令h (x )＝2－，x ∈0，，2ln x x －112则h ′(x )＝，x ∈0，，2ln x ＋2x－2(x －1)212设φ(x )＝2ln x ＋－2，x ∈0，，2x 12则φ′(x )＝－＝<0， 2x 2x 22(x －1)x2所以φ(x )>φ＝2ln ＋2>0，1212则h ′(x )>0，因此h (x )<h ＝2－4ln 2，12则a ≥2－4ln 2，即a 的最小值为2－4ln 2． (2)因为g ′(x )＝(1－x )e 1－x ，所以g (x )＝x e 1－x 在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，由g (0)＝0，g (1)＝1，g (e)＝e 2－e ∈(0，1)， 得g (x )＝x e 1－x 在(0，e]上的值域为(0，1]， 因为f ′(x )＝，(2－a )x －2x所以当a ≥2时，易得f (x )在(0，e]上单调递减； 当2－≤a <2时，易得f (x )在(0，e]上单调递减，2e 不符合题意．当a <2－，此时f (x )在0，上单调递减，2e 22－a 在，e 上单调递增， 22－a令m (a )＝f＝a －2ln a <2－， 22－a 22－a 2e则m ′(a )＝，易得m (a )在(－∞，0)上单调递增， －a2－a在0，2－上单调递减，m (a )≤m (0)＝0，2e注意到，当x →0时，f (x )→＋∞，所以欲使对任意的x 0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使f (x i )＝g (x 0)成立，则需满足f (e)≥1， 即a ≤2－， 3e －1又因为2－－2－＝>0，2e 3e －1e ＋2e (e －1)所以2－>2－，所以a ≤2－，2e 3e －13e －1综上，a ∈－∞，2－． 3e －113．(2018·湖北八市联考)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝． 1x －a(1)设函数F (x )＝f (x )＋g (x )，试讨论函数F (x )零点的个数；(2)若a ＝－2，x >0，求证：f (x )·g (x )>＋．x ＋1x 2－82x ＋4解 (1)函数F (x )的定义域为(－∞，a )∪(a ，＋∞)． 当x ∈(a ，＋∞)时，e x >0，>0， 1x －a∴F (x )＝e x ＋>0，即F (x )在(a ，＋∞)上没有零点； 1x －a当x ∈(－∞，a )时，F (x )＝e x ＋＝， 1x －a e x (x －a )＋1x －a令h (x )＝e x (x －a )＋1(x <a )， 只要讨论h (x )的零点即可．h ′(x )＝e x (x －a ＋1)，h ′(a －1)＝0，则当x ∈(－∞，a －1)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(a －1，a )时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， ∴h (x )在(－∞，a )上的最小值为h (a －1)＝1－e a －1．显然，当a ＝1时，h (a －1)＝0，∴x ＝a －1是F (x )的唯一的零点； 当a <1时，h (a －1)＝1－e a －1>0，∴F (x )没有零点；当a >1时，h (a －1)＝1－e a －1<0，且当x →－∞或x →a 时，h (x )→1，∴F (x )有两个零点．(2)证明：若a ＝－2，x >0，要证f (x )·g (x )>＋，x ＋1x 2－82x ＋4即要证e x >(x ＋2)＋x 2－4，x ＋112∵<＝＋1，x ＋1x 24＋x ＋1x2下证e x >(x ＋2)＋1＋x 2－4， x212设M (x )＝e x －(x ＋2)＋1－x 2＋4x 212＝e x －x 2－2x ＋2，则M ′(x )＝e x －2x －2，令φ(x )＝e x －2x －2， 令φ′(x )＝e x －2＝0，解得x ＝ln 2，∴φ(x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， ∵φ(1)φ(2)<0，φ(－1)φ(0)<0，∴M ′(x )在(0，＋∞)上只有一个零点x 0且1<x 0<2， 则e x 0－2x 0－2＝0，∴M (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．∴M (x )≥M (x )min ＝M (x 0)＝e x 0－x －2x 0＋2＝4－x >0，2020∴e x >(x ＋2)＋1＋x 2－4，x 212∴e x >(x ＋2)＋x 2－4，x ＋112∴f (x )·g (x )>＋得证．x ＋1x 2－82x ＋414．(2018·河南六市联考一)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－2kx (k ∈R )．12(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)<－．32解 (1)f (x )＝ln x ＋x 2－2kx ，x ∈(0，＋∞)，12所以f ′(x )＝＋x －2k ＝，1x x 2－2kx ＋1x①当k ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当k >0时，令t (x )＝x 2－2kx ＋1，当Δ＝4k 2－4≤0，即0<k ≤1时，t (x )≥0恒成立， 即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当Δ＝4k 2－4>0，即k >1时，x 2－2kx ＋1＝0， 则t (x )的两根为k ±，k 2－1所以当x ∈(0，k －)时，f ′(x )>0， k 2－1当x ∈(k －，k ＋)时，f ′(x )<0， k 2－1k 2－1当x ∈(k ＋，＋∞)时，f ′(x )>0，k 2－1故当k ∈(－∞，1]时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当k ∈(1，＋∞)时，f (x )在(0，k －)和(k ＋，＋∞)上单调递增，在(k －k 2－1k 2－1，k ＋)上单调递减．k 2－1k 2－1(2)证明：f (x )＝ln x ＋x 2－2kx (x >0)，12f ′(x )＝＋x －2k ，1x由(1)知当k ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时f (x )无极值，当k >1时，f ′(x )＝＋x －2k ＝，由f ′(x )＝0得x 2－2kx ＋1＝0，1x x 2－2kx ＋1xΔ＝4(k 2－1)>0，设x 2－2kx ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1，其中0<x 1＝k －<1<x 2＝k ＋，k 2－1k 2－1f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．从而f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，f (x 2)＝ln x 2＋x －2kx 2122＝ln x 2＋x －(x 1＋x 2)x 2122＝ln x 2＋x －＋x 2x 21221x 2＝ln x 2－x －1，122令g (x )＝ln x －x 2－1(x >1)，12则g ′(x )＝－x <0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递减，1x且g (1)＝－，故f (x 2)<－．3232专题突破练(2) 利用导数研究不等式与方程的根一、选择题1．(2019·佛山质检)设函数f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，若x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )＝f (x )－λx 的两个极值点，现给出如下结论：①若－1＜λ＜0，则f (x 1)＜f (x 2)；②若0＜λ＜2，则f (x 1)＜f (x 2)；③若λ＞2，则f (x 1)＜f (x 2)．其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答 B解 依题意，x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g ′(x )＝3x 2－6x ＋2－λ的两个零点，则Δ＝12(λ＋1)>0，即λ>－1，且x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝．研究f (x 1)<f (x 2)成立的充要条2－λ3件：f (x 1)<f (x 2)等价于(x 1－x 2)[(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2]<0，因为x 1<x 2，所以有(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2＝－>0，解得λ>2．从而可知③正确．故选B ． 2－λ32．(2018·乌鲁木齐一诊)设函数f (x )＝e x x ＋－3－，若不等式f (x )≤0有正实数3x ax解，则实数a 的最小值为( )A ．3B ．2C ．e 2D ．e 答 D 解 因为f (x )＝e x x ＋－3－≤0有正实数解，所以a ≥(x 2－3x ＋3)e x ，令g (x )＝(x 23x ax－3x ＋3)e x ，则g ′(x )＝(2x －3)e x ＋(x 2－3x ＋3)e x ＝x (x －1)e x ，所以当x >1时，g ′(x )>0；当0<x <1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝e ，所以a ≥e．故选D ．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为( )e 636e 749e 864A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答 C解 构造函数f (x )＝，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，f ′(x )＝，当e xx 2x e x (x －2)x 4x >2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增，故f (8)>f (7)>f (6)，即c >b >a ．故选C ．4．(2018·合肥质检二)已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，f (x )＋2＞f ′(x )，f (0)＝1，则不等式ln (f (x )＋2)－ln 3＞x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞) 答 A解 构造函数g (x )＝，则g ′(x )＝f (x )＋2e x＜0，则g (x )在R 上单调递减，且g (0)＝＝3．从而原不等式f ′(x )－(f (x )＋2)e xf (0)＋2e 0ln＞x 可化为＞e x ，即＞3，即g (x )＞g (0)，从而由函数g (x )的单调f (x )＋23f (x )＋23f (x )＋2e x性，知x ＜0．故选A ．5．(2018·郑州质检一)若对于任意的正实数x ，y 都有2x －ln ≤成立，则实数my e y x xm e 的取值范围为( )A ．，1B ．，1C ．，eD ．0， 1e 1e 21e 21e 答 D解 因为x >0，y >0，2x －ln ≤，所以两边同时乘以，可得2e －ln ≤，令＝y e y x x m e e x y x y x 1m y x t (t >0)，令f (t )＝(2e －t )·ln t (t >0)，则f ′(t )＝－ln t ＋(2e －t )·＝－ln t ＋－1t 2et1．令g (t )＝－ln t ＋－1(t >0)，则g ′(t )＝－－<0，因此g (t )即f ′(t )在(0，＋2et1t 2et2∞)上单调递减，又f ′(e)＝0，所以函数f (t )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (t )max ＝f (e)＝(2e －e)ln e ＝e ，所以e≤，得0<m ≤．故选D ．1m 1e6．(2018·郑州质检三)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，对任意的x 1，x 2∈[0，1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a －2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[e 2，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．[2，e]D ．[e ，e 2] 答 A解 f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，令g (x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，则g ′(x )＝a x (ln a )2＋2>0，所以函数g (x )在[0，1]上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝a 0×ln a ＋2×0－ln a ＝0，即f ′(x )≥0，则函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (0)＝a －ln a ≤a －2，解得a ≥e 2．故选A ．二、填空题7．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答 (－2，2)解 由f (x )＝x 3－3x ＋a ，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝0时，x ＝±1，易知f (x )的极大值为f (－1)＝2＋a ，f (x )的极小值为f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三。
2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】 【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+42B. 4+42C. 6+23D. 4+23【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C r n r rr n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】23π 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：3433V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 33 37空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-， 设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，37cos ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7cos 7θ=，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为427. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：()2283111405185185811d⨯--⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ=++-=∴APQ面积为：1518522185=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可. 【详解】（1）因为'2()3f x x b =+， 由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ 则34b =-； （2）由（1）可得33()4f x x x c =-+， '2311()33()()422f x x x x =-=+-， 令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'()0f x <，得1122x -<<， 所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增， 且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+， 若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <， 即14c >或14c <-. 当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>， 又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<， 又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。