高二下学期期中考试数学(理)答案

答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1}，∴∁R B={x|-1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）={x|0＜x＜1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵（2a+i）（1+i）=（2a-1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a-1=0，即a=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）===，故选：B．由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）===，得解．本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4.【答案】A【解析】解：函数f（-x）=-xcos（-x）-（-x）3=-xcosx+x3=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）=cos-（）3=-（）3＜0，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2=3a1+a3，变形可得4a1q=3a1+a1q2，即q2-4q+3=0，解得q=1或3；又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，则q=3，a1=1，则a n=3n-1，则有a4=33=27；故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2=3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2-4q+3=0，解得q，又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n=4代入计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A=1，•=-，∴ω=2．再利用五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．为了得到g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）得解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由程序框图可得：m=2a-3，当i的值为1时，m=2（2a-3）-3=4a-9，当i的值为2时，m=2（4a-9）-3=8a-21，当i的值为3时，m=2（8a-21）-3=16a-45，当i的值为4时，m=2（16a-45）-3=32a-93，此时不满足循环条件，输出m=32a-93=67，解得：a=5．故选：C．模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S=2π×12+π×12+π×2+2×2=4+5π．该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.【答案】C【解析】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.【答案】B【解析】解：由f（x）=2x-1+2x+3=0得2x-1=-2x-3，即2x=-4x-6，作出函数y=2x与y=-4x-6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足-2＜x1＜-1，由g（x）=x-x-1=0得x-1=x，作出y=x-1和y=x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2作出h（x）=（）x和y=，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选：B．利用函数与方程的关系，分别转化为y=2x与y=-4x-6的图象，y=x-1和y=x的图象，h（x）=（）x和y=的图象，利用数形结合研究x1，x2，x3的范围即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|=|F1F2|=2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|=|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1E|=b=|MF1|①又|MF1|=|MF2|+2a=2c+2a ②，c2=a2+b2③由①②③可得c2-a2=（）2，即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，b===a，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|=|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=2，是单位向量，且与夹角为60°，∴•（-）=-•=4-2×1×=3，故答案为：3．依题意，利用平面向量的数量积即可求得•（-）的值．本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14.【答案】80【解析】解：（2x-）5的展开式中，通项公式T r+1=（2x）5-r=（-1）r25-r，令5-r=2，解得r=2．∴x2的系数=23=80．故答案为：80．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】（x-2）2+（y-√3）2=4【解析】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|=|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x=-1；设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，依题意，∠AFF′=60°，|FF′|=2，∴|AF′|=2，PA∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2=4x0，∴x0=3，∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x-2）2+（y-）2=4故答案为：（x-2）2+（y-）2=4．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|PA|．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.【答案】200201【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1=1，所以：a n=1+2（n-1）=2n-1，所以：b n=（-1）n-1=，所以：，==，故答案为：首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（Ⅰ）∵∠BAD=60°，∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得：DCsin∠DAC =ACsin∠ADC，∴sin∠ADC=ACDC sin∠DAC=√32，∴∠ADC=120°，或60°，又∠BAD=60°，∴∠ADC=120°（Ⅱ）∵BD=2DC，∴BC=3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2，可得：9DC2=6+3DC2，∴DC=1，BD=2，AC=√3，令∠ADB=θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cosθ，在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos（π-θ），可得：{3=AD2+1+2ADcosθ6=AD2+4−4ADcosθ，∴解得：AD2=2，可得：AD=√2.【解析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC=30°，在△ADC 中，由正弦定理可得sin ∠ADC=，即可解得∠ADC=120°．（Ⅱ）由已知在△ABC 中，由勾股定理可得DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理，即可解得AD 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）∵平面四边形ABCD ，AB ⊥BD ，AB =BC =CD =2，BD =2√2，面ABD ⊥面BCD ，AB ⊥BD ，面ABD ∩平面BCD =BD ，∴AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥CD ，又AC 2=AB 2+BC 2=8，AD 2=AB 2+BD 2=12，AD 2=AC 2+CD 2=12，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∵AC ∩AB =A ，∴CD ⊥平面ABC ．解：（2）AB ⊥面BCD ，如图以B 为原点，在平面BCD中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），A （0，0，2），C （√2，√2，0），D （0，2√2，0），∵E 是AD 的中点，∴E （0，√2，1），∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√2，√2，0），BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，√2，1），令平面BCE 的一个法向量为n⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√2y =0n⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0，取x =1，得n ⃗ =（1，-1，√2）， ∵CD ⊥面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√2，√2，0），∴cos ＜n ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， ∴二面角E -BC =A 的大小为45°．【解析】（1）推导出AB ⊥面BCD ，从而AB ⊥CD ，再求出AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，在平面BCD 中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BC=A 的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X=100）=2+16=0.2，90=0.4，P（X=300）=3690=0.4，P（X=500）=25+7+490∴X的分布列为：E（X）=100×0.2+300×0.4+500×0.4=340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，∴E（Y）=2n×0.4+（900-n）×0.4+（300-n）×0.2=420+0.2n，此时，n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，∴E（Y）=2n×（0.4+0.4）+（300-n）×0.2=60+1.4n，此时，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n=340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340=488不是最大值，n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n 满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n ，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n ，求出E （Y ）=420+0.2n ，当n=500时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n ，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n ，E （Y ）=60+1.4n ，n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n=500时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得{12c ×1=√34a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=3，故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1，证明（Ⅱ）：设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为-k ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线PA 的方程为y +1=k （x -2），即y =kx +1-2k联立{y =kx +1−2k x 26+y 23=1，得（1+2k 2）x 2+4（k -2k 2）x +8k 2-8k -4=0．∴2x 1=8k 2−8k−41+2k 2，即x 1=4k 2−4k−21+2k 2设直线PB 的方程为y +1=-k （x -2），同理求得x 2=4k 2+4k−21+2k 2∴x 2-x 1=-8k 1+2k 2∴y 1-y 2=k （x 1+x 2）+2-4k =8k 1+2k 2，∴直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=1，易知l 与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB 与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.【答案】解：（1）∵f(x)=12x2−2x+mlnx+2，(x＞0)，∴f′(x)=x−2+mx =x2−2x+mx，令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0，令f’（x）=0则x=1±√1−m，当1−√1−m≤0，即m≤0时，令f’（x）＜0则x∈(0，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(1+√1−m，+∞)．此时函数在(0，1+√1−m)上单调递减；在(1+√1−m，+∞)上单调递增．当1−√1−m＞0，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则x∈(1−√1−m，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(0，1−√1−m)∪(1+√1−m，+∞)，此时函数在(1−√1−m，1+√1−m)上单调递减；在(0，1−√1−m)和(1+√1−m，+∞)上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且x1=1−√1−m∈(0，1)，x2=1+√1−m∈(1，2)，又x1，x2是x2-2x+m=0的两个根，则x1+x2=2，m=2x1−x12，∴f(x1)x2=12x12−2x1+2+(2x1−x12)lnx12−x1=12(2−x1)+x1lnx1，令ℎ(t)=12(2−t)+tlnt，t∈(0，1)，则ℎ′(t)=lnt+12，令h’（t）＜0，则t∈(0√e )，令h’（t）＞0，则t∈(√e1)，所以h（t）在(0e )上单调递减；在(e1)上单调递增．∴ℎ(t)≥ℎ(√e )=1−√e，∵ℎ(1)=12；t→0，ℎ(t)→1，∴h（t）＜1，得证．【解析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：（Ⅰ）当θ0=3π4时，联立{θ=3π4ρ=4cosθ得A（-2√2，3π4）；同理得B（2√6，3π4），由极径的几何意义有|AB|=2√6-（-2√2）=2√6+2√2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1=4cosθ，ρ2=4√3sinθ，P为AB的中点，∴ρ=ρ1+ρ22=2cosθ+2√3sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2√3sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-2x-2√3y=0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，√3）．【解析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）={3x −2，x ≥3x +4，−12＜x ＜32−3x ，x ≤−12，其图象为（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m |的解集包含[4，5]，即|2x +1|+|x -3|≥|x -m |在x ∈[4，5]上恒成立，∴|x -m |≤3x -2，即2-3x ≤m -x ≤3x -2，∴2-2x ≤m ≤4x -2，x ∈[4，5]上恒成立，∴-6≤m ≤14，故m ∈[-6，14]．【解析】（1）f （x ）=，画图即可，（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m|的解集包含[4，5]，可得|x-m|≤3x -2在x ∈[4，5]上恒成立，解得即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道常规题．。

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2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试理科数学试题(解析版)

甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡.一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1. 复数2iz=-（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. i-D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2iz=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x，y∈R，且x y+<，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A. x，y都小于0 B. x，y至少有一个大于0C. x，y都大于0 D. x，y至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y都大于0”．故选：C.3. 函数y＝x2cos 2x的导数为（）A. y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB. y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC. y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD. y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.故选：B.4. 函数21ln2y x x=-的单调递减区间为（）A. ()1,1-B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答案〗D〖解析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和．即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答案〗D〖解析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法，故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（）A. B.C.D.〖答案〗A 〖解析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答案〗B 〖解析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点，33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减；当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答案〗B〖解析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法，然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答案〗A〖解析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答案〗B〖解析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答案〗B 〖解析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______．〖答案〗243〖解析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答案〗(e, 1).〖解析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答案〗12a -<<〖解析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）．令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞，则函数g x （）在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（）在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去．当0a < 时，令0gx '=（），解得12x a =-，令0gx '（）＞，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++,()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos xf x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x=-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x aa e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20xax x af x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1. 复数2i z =-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（） A. －1 B. 1C.i -D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2i z=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（） A. x ，y 都小于0 B. x ，y 至少有一个大于0 C. x ，y 都大于0D. x ，y 至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C.3. 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（） A. y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B. y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C. y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD. y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 故选：B.4. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（）A.()1,1- B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答案〗D〖解析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和．即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答案〗D〖解析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法，故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（）A. B.C.D.〖答案〗A 〖解析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答案〗B 〖解析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点， 33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减；当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答案〗B〖解析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法，然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答案〗A〖解析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答案〗B〖解析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答案〗B 〖解析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______．〖答案〗243〖解析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答案〗(e, 1).〖解析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答案〗12a -<<〖解析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）．令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞，则函数g x （）在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（）在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去．当0a < 时，令0gx '=（），解得12x a =-，令0gx '（）＞，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++, ()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x a a e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20x ax x a f x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．。

2021-2022学年新疆哈密市第一中学高二下学期期中考数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年新疆哈密市第一中学高二下学期期中考数学（理）试题一、单选题1．复数()211i z =-+，则z =（）A ．2B ．3CD ．5【答案】C【分析】根据复数的乘法运算求出复数z ，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】解：()2i 11i 12z =-+=-，所以z =故选：C. 2．函数1y x x=+的导数是（） A ．11x-B ．211x -C ．211x +D ．11x+【答案】B【解析】根据导数的计算公式计算即可. 【详解】解：1y x x=+， 211y x '∴=-. 故选：B .3．()102x e x dx +⎰等于A ．1B ．e -1C ．eD ．e +1【答案】C【分析】由题意结合微积分基本定理求解定积分的值即可. 【详解】由微积分基本定理可得：()()()()121002|110x xex dx e x e e +=+=+-+=⎰.故选C .【点睛】本题主要考查微积分基本定理计算定积分的方法，属于基础题.4．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（）A ．910 B ．45C ．25D ．12【答案】A【分析】先计算一名男同学都没有的概率，再求至少有一名男同学的概率即可.【详解】两名同学中一名男同学都没有的概率为2225110C C =，则2名同学中至少有一名男同学的概率是1911010-=. 故选：A.5．在41x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第二项的系数为（）A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】由二项式展开式的通项公式直接计算即可【详解】41x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的第二项为11411222114414T T C x C x x x -+⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭，所以第二项的系数为4-，故选：B 6．函数()21ln 2f x x x =-的最小值是（） A ．12B ．1C ．0D ．不存在【答案】A【解析】先求出函数的定义域和导数，判断出单调性，即可求出最小值．【详解】函数()21ln 2f x x x =-的定义域为()0,∞+，()()()111x x f x x x x+-'=-=，所以函数()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，故()min 112f f ==．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，属于基础题．7．函数()()3e xf x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，【答案】D【分析】利用f (x )的导数的正负即可求其单调性．【详解】∵()()3e x f x x =-，∴()()()e 3e 2e x x xf x x x '=+-=-，当x ＞2时，()0f x '>，∴f (x )的单调递增区间是()2+∞，．故选：D ．8．设曲线22y ax =+在点x a =处的切线与直线260x y --=平行，则=a A ．1 B ．12±C ．1±D ．-1【答案】C【分析】根据导数的几何意义得到()2'22f a a ==进而求出参数值.【详解】∵()'2f x ax =，根据导数的几何意义得到：()2'22f a a ==，则21a =，1a =±. 故答案为C.【点睛】这个题目考查的是导数的几何意义，导数在某点处的取值即在该点处的斜率值.较为基础.9．函数()3223f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是A ．6B ．5C ．1D ．0【答案】A【分析】令f ′（x ）＝0，可得 x ＝0 或 x ＝6，根据导数在 x ＝0和 x ＝6两侧的符号，判断故f （0）为极大值，从而得到 f （0）＝a ＝6．【详解】∵函数f （x ）＝2x 3﹣3x 2+a ，导数f ′（x ）＝6x 2﹣6x ，令f ′（x ）＝0，可得 x ＝0 或 x ＝1，导数在 x ＝1 的左侧小于0，右侧大于0，故f （1）为极小值．导数在 x ＝0 的左侧大于0，右侧小于0，故f （0）为极大值．f （0）＝a ＝6．故选A ．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，判断f （0）为极大值，f （1）为极小值，是解题的关键．10．已知点()00,P x y 是拋物线()2361f x x x =++上一点，且()00f x '=，则点P 的坐标为（） A ．()1,10 B ．()1,2--C ．1,2D ．()1,10-【答案】B【分析】对()2361f x x x =++求导，然后解方程()00f x '=，可得答案. 【详解】设()2361f x x x =++，则()66f x x '=+，故()00f x '=，即00660,1x x +==- ，则(1)3612f -=-+=-，故()1,2P --，故选：B.11．已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( ) A ．(2,3) B ．(3,+∞) C ．(2,+∞) D ．(-∞,3) 【答案】B【详解】f′(x)=6x 2+2ax+36, 因为f(x)在x=2处有极值, 所以f′(2)=0, 解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).点睛：本题考查的是利用导数研究函数的单调性和极值问题：（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 12．已知函数()f x y x'=的图象如图所示（其中()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数），则以下说法错误的是（）A ．()()110f f ''=-=B ．当=1x -时，函数()f x 取得极大值C ．方程()0xf x '=与()0f x =均有三个实数根D ．当1x =时，函数()f x 取得极小值【答案】C【分析】由图象可判断A ；根据()f x y x'=的符号可判断B,D ；由()f x 的极大值与极小值的大小不确定可判断C.【详解】解：对于A ，由题中函数图象可知，()()110f f ''=-=成立，故A 正确；对于B ，当1x <-时，()0f x x'<，则()0f x '>；当10x -<<时，()0f x x '>，则()0f x '<，故=1x -时，函数()f x 取极大值，故B 正确；对于C ，由于函数()f x 的极大值与极小值的大小不确定，不能确定()0f x =根的个数，故C 错误；对于D ，当01x <<时，()0f x x'<，则()0f x '<；当1x >时，()0f x x'>，则()0f x '>，故1x =时，函数()f x 取极小值，故D 正确. 故选:C.二、填空题13．已知函数f (x )＝1x，则f ′(2)＝________.【答案】14-【详解】()()()()222211000224Xlim lim lim f x f X x x x x xX -∆+∆-+∆-===-∆→∆→∆→∆∆+∆14．若()2622020*N ++=∈n n C C n ，则n =______.【答案】4【分析】根据题意和组合数的运算性质直接计算即可. 【详解】由题意知，因为2622020n n C C ++=*()n N ∈，所以262n n +=+或2620(2)n n +=-+，解得n =-4(舍去)或4n =. 故答案为：415．已知a 是函数()312f x x x =-的极大值点，则a =_______.【答案】2-【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可.【详解】 ()312f x x x =-，∴ ()2312f x x -'=，令()0f x '=，则122,2x x =-=.当(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞时，()f x '＞0，则()f x 单调递增；当()2,2x ∈-时，()f x '＜0，则()f x 单调递减，∴当x=-2时，()f x 的极大值，故()f x 的极大值点是a=-2，故答案：-2.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题. 16．已知函数32()33f x x ax bx =++在2x =处有极值，其图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=，则()f x 的极大值与极小值之差为________．【答案】4【分析】根据给定条件，求出参数a ，b 的值，再求出函数()f x 的极大值与极小值作答. 【详解】依题意，2()363f x x ax b '=++，因()f x 在2x =处有极值，则(2)0f '=，又函数()f x 的图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=，即(1)3f '=-，于是得(2)121230(1)3633f a b f a b =++=⎧⎨=++='-'⎩，解得1a =-，0b =，则2()363(2)f x x x x x '=-=-，当0x <或2x >时，()0f x '>，当02x <<时，()0f x '<，因此函数32()3f x x x =-在0x =处取极大值(0)0f =，在2x =处极小值(2)4f =-，函数()f x 的图象在1x =处的切线31y x =-+符合题意，所以()f x 的极大值与极小值之差为4．故答案为：4三、解答题17．已知复数()22276)=56i R (1a a z a a a a -+--∈-＋．实数a 取什么值时，z 是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？【答案】(1)=6a ；(2)()()()()11,11,66a ∈-∞-⋃-⋃⋃∞，,+； (3)不存在实数a 使得z 是纯虚数【分析】（1）根据实数的定义列出方程，求解参数即可; （2）根据虚数的定义列出方程，求解参数即可; （3）根据纯虚数的定义列出方程，求解参数即可. 【详解】(1)当z 为实数时，有256=0a a --①，且22761a a a -+-有意义，即210a -≠②，解①式得=1a 或=6a ，解②式得1a ≠±， ∴=6a ，所以当=6a 时，z 为实数；(2)当z 为虚数时，有2560a a --≠③，且22761a a a -+-有意义，即210a -≠④ 解③式得1a ≠-且6a ≠，解④式得1a ≠±， ∴1a ≠±且6a ≠，∴当()()()()11,11,66a ∈-∞-⋃-⋃⋃∞，,+时，z 为虚数； (3)当z 为纯虚数时，2222560760110a a a a a a ⎧--≠⎪⎪⎪-+=⎨-⎪⎪-≠⎪⎩解得a 无解， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数 18．设函数()32133f x x x x =+-． (1)求函数()f x 的单调区间和极值； (2)求函数()f x 在[0，3]上的最值．【答案】(1)增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)；减区间为(－3，1)；极大值为9；极小值为－53；(2)最大值为9，最小值为－53。

陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二下学期期中模拟理科数学试题及参考答案

2022-2023学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．z 为复数，若216i z z -=+成立，则z 的虚部为（） A ．6- B ．6i - C ．2D ．2i2．反证法证明命题“若a R ∈，则函数3y x ax b =++至少有一个零点”时，正确的反设为（）A ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++恰好有一个零点 B ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有一个零点 C ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有两个零点 D ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++没有零点3．已知函数()i f x 的导函数为()(1,2,3)i f x i '=，若123()()()f x f x f x 、、的图象如图所示，则（）A ．123()()()f a f a f a '''>>B ．132()()()f a f a f a '''>>C ．213()()()f a f a f a '''>>D ．312()()()f a f a f a '''>>4．若()y f x =是奇函数，则11()f x dx -=⎰（）A ．1B ．0C ．012()f x dx -⎰D ．102()f x dx ⎰5．下列计算不正确．．．的是（）A ．()xxee--'= B ．2(ln(21))21x x +=+' C ．(cos )sin x x '=- D ．1()2x x'=6．用数学归纳法证明“()22,4n nn N n *≥∈≥”时，第二步应假设（）A ．当(),2n k k N k *=∈≥时，22kk ≥成立 B ．当(),3n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 C ．当(),4n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 D ．当(),5n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 7．若函数()y f x =的导函数()()y x f x ϕ=='图象如图所示，则（）A ．3-是函数()f x 的极小值点B ．1-是函数()y f x =的极小值点C ．函数()f x 的单调递减区间为(2,1)-D ．()0x ϕ'<的解集为(,3)-∞- 8．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间是（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2)D ．(,0)-∞和(0,2)9．函数()2()2xf x x x e =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．函数()cos (1)sin 1,[0,2]f x x x x x π=+++∈在点x =（）处取得最小值． A ．32π B ．22π+ C ．2 D ．32π-11．已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈在区间(,)e +∞内有最值，则实数a 的取值范围是（） A ．(,)e +∞ B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,]e -∞D ．(,)e -∞- 12．设2ln 21ln6,,412a b c e ===，则（） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．已知0x >，观察下列不等式：①12x x +≥，②243x x +≥，③3274,x x+≥⋅⋅⋅，则第n 个不等式为_________．14．一个小球作简谐振动，其运动方程为()2sin 3x t t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()x t （单位：cm ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在2t =时的瞬时速度为_________cm/s ．15．设i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列关于复数的命题正确的有_________ ①z z =②若z 是非零复数，0z z +=，则||zi z = ③若12z z =，则2212z z =④若复数z 为纯虚数，则z i ⋅为实数16．如图：在平面直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积21130021212x V dx x πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥．据此类比：将曲线2y x =与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =_________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知复数i z b =（b R ∈，i 是虚数单位），31iz +-是实数．（1）求b 的值；（2）若复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），则糖水变甜了．将这一事实表示为不等式：当0,0b a m >>>时，有a a mb b m+<+，请证明这个不等式．（2）设ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，请利用第（1）问已证不等式，证明：2c a b a b b c c a++<+++． 19．（本小题满分12分）已知函数432()8181f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值． 20．（本小题满分12分）已知函数()sin x f x e a x =-（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数），0为()f x 的一个极值点．（1）求a 的值；（2）证明：()f x x >恒成立． 21．（本小题满分12分）如图，在区间[0,1]上给定曲线2y x =，左边阴影部分的面积为1S ，右边阴影部分的面积记为2S ．（1）当12t =时，求1S 的值；（2）当01t ≤≤时，求12S S +的最小值． 22．（本小题满分12分）已知函数21()ln ()2f x x x mx x m R =--∈．（1）若0m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围．2022-2023学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）模拟试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．当0x >时，()1n n n x n n N x*+≥+∈成立 14．π 15．①④ 16．2π三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其余满分均为12分．）17．（本小题满分10分）解：（1）解法1：∵i z b = ∴33i (3i)(1i)(3)(3)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+ 因为31iz +-是实数，所以解集为30b +=，解得3b =- 解法2：因为31iz +-是实数，则令3()1i z k k R +=∈- 则有3i i b k k +=-由复数相等的概念得3k b k=⎧⎨=-⎩，解得3b =-（2）由（1）可知3i z =-∴()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+ ∵复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限∴289060m m m ⎧--<⎨>⎩，解得09m << 所以实数m 的取值范围为(0,9) 18．（本小题满分12分）解：（1）()()()()()a a m ab m b a m m a b b b m b b m b b m ++-+--==+++ 由00b a a b >>⇒-< 又∵0,0m b >>∴()0()m a b b b m -<+，即a a m b b m+<+得证．（2）ABC △的三边长分别为a ，b ，c根据三边关系有a b c +>由（1）已证不等式可得：c c ca b a b c+<+++ 同理可得,a a a b b b b c b c a c a c a b++<<++++++也成立将以上不等式左右两边分别相加可得：2()2c a b a b c a b b c c a a b c++++<=+++++成立．即命题得证．19．（本小题满分12分）解：（1）()3222()424364694(3)f x x x x x x x x x =-+=-+=-' 切点为(0,1)-，切线的斜率为(0)0k f ='=切所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10y += （2）令()0f x '=，解得0x =，或3x =当0x =时，函数()f x 取得极小值()01f =- 20．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的导函数为()cos xf x e a x '=-0为()f x 的一个极值点，则有0(0)cos00f e a =-=' 解得1a =（2）要证()f x x >，即证sin xe x x >+ 因为sin 1x ≤ 下面先证1xe x ≥+ 构造函数()1xg x e x =--()10x g x e -'==解得0x =当(,0)x ∈-∞时，有()0g x '<，则()g x 在(,0)-∞上单调递减当(0,)x ∈+∞时，有()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增所以当0x =时，()g x 取得最小值(0)0g = 即1xe x ≥+成立（当且仅当0x =时等号成立）又因为1sin x ≥（当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时等号成立）由于等号不具有传递性，所以有sin xe x x >+成立． 21．（本小题满分12分）解：（1）当12t =时，1221014S x dx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰12301143x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭111183812=-⨯= （2）1S 面积等于边长分别为t 与2t 的矩形面积减去曲线2y x =与x 轴、直线x t =所围成的面积，即2231023tS t t x dx t =⨯-=⎰ 2S 面积等于曲线2y x =与x 轴、直线1x t x ==、所围成的面积减去矩形边长分别为1t -与2t 的矩形面积，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰所以阴影部分的面积321241()(01)33S t S S t t t =+=-+≤≤令2()422(21)0S t t t t t =-'=-= 解得0t =，或12t =解不等式()0S t '>得112t <<即()S t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增解不等式()0S t '<得102t <<即()S t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减所以当12t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为1422．（本小题满分12分）解：（1）当0m =时，()ln ,(0,)f x x x x x =-∈+∞()ln 0f x x =='解得1x =解()0f x '>得1x >，即函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞ 解()0f x '<得01x <<，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1) （2）由函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，可知()ln 0f x x mx =-≤'对任意(0,)x ∈+∞恒成立即对任意0x >，都有ln xm x≥恒成立构造函数ln (),0xg x x x => 由21ln ()0xg x x-'==解得x e = 解()0g x '>得0x e <<，即函数()f x 的单调递增区间为(0,)e 解()0g x '<得x e >，即函数()f x 的单调递减区间为(,)e +∞ 所以max ln 1()e g x e e== 所以1m e≥．。

2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，若()2i i 2i a b +=+，则i a b +=（）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】A【分析】结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案. 【详解】依题意()2i i 2i 2i a a b +=-+=+，所以2222b a a b -==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以i a b +==故选：A2．下列函数的求导不．正确的是（） A ．()232x x --'=-B ．()cos cos sin x x x x x '=-C ．()1ln1010'=D ．()22x x e e '=【答案】C【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断. 【详解】对于A ：由幂函数的导数公式得：()232x x --'=-.故A 正确；对于B ：由导数的四则运算得：()cos cos sin x x x x x '=-.故B 正确；对于C ：因为常值函数的导数为0，所以()ln100'=.故C 错误；对于D ：由导数的四则运算得：()22x x e e '=.故D 正确. 故选：C.3．利用反证法证明“已知12345100a a a a a ++++≥，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（） A ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 均不大于20 B ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20 C ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不都大于20 D ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 至多有一个小于20 【答案】B【分析】根据量词的否定即可求解.【详解】1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20的否定是: 1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20.故选:B4．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞ C ．(],0-∞ D ．[]1,0-【答案】C【分析】设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，求出导数，即可求出切线方程，从而得到0ln 1a x =+，0b x =-，即可得到a b +的表达式，构造函数，利用导数求出函数的单调性与最大值，从而得解；【详解】解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-，所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞，所以()111x g x x x-'=-=，所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞；故选：C5．在“2022年北京冬奥会知识竞赛”活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测．甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最低的是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】分别假设甲、乙、丙、丁说的是真的，从而推理出正确答案.【详解】甲说：丁>乙；乙说：甲>丙；丙说：丙>丁；丁说：丙>乙.若甲的成绩最低，甲说的是真，乙丙丁说的是假，则丁>乙>丙>甲，符合题意. 若乙的成绩最低，乙说的是真，丁说的是假，即丙<乙，与乙的成绩最低矛盾，不符合题意.若丙的成绩最低，丙说的是真，即丙>丁，与丙的成绩最低矛盾，不符合题意. 若丁的成绩最低，丁说的是真，丙说的是假，即丙<丁，与丁的成绩最低矛盾，不符合题意. 故选：A6．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x 万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y （单位：万元）与贷款x 满足关系式12ln 9y x x x=--+，要使年利润最大，小李应向银行贷款（） A ．3万元 B ．4万元 C ．5万元 D ．6万元【答案】B【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意12ln 9y x x x=--+，且010x <≤， ()()2'22243112121x x x x y x x x x -++-++=-+==，所以函数12ln 9y x x x=--+在()'0,4,0y >，函数递增；在()'4,10,0y <，函数递减.所以当4x =万元时，函数取得最大值. 故选：B7．在二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；在三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W 为 A ．44r π B ．43r πC ．42r πD ．4r π【答案】B【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W V '=，求出所求．【详解】由题知，,S l V S ''==，所以类比推理，猜想，W V '=，因为312V r π=，所以43W r π=，故选B ．【点睛】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力．8．函数()sin sin cos f x x x x =+在[],ππ-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可排除错误答案，从而得解；【详解】解：因为()sin sin cos f x x x x =+，[],x ππ∈-，所以()()()()()sin sin cos sin sin cos f x x x x x x x f x -=-+--=--=-，所以()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D ；又sin sin cos 102222f ππππ⎛⎫=+⋅=> ⎪⎝⎭，故排除A ，又3313316sin sin cos 133332f ππππ⎛⎫=+⋅=>= ⎪⎝⎭，故排除C ；故选：B9．利用数学归纳法证明不等式()211112321nf n +++⋅⋅⋅+<-（*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（） A ．k 项 B ．22k 项 C ．12k -项 D ．232k ⋅项【答案】D【分析】由数学归纳法，可知增加的项，由分母的改变量即可求解. 【详解】n k =时,左边为()211112321kf k +++⋅⋅⋅+<-，当1n k =+时，左边为()2222211111111123212212221kk k k k ++++⋅⋅⋅+++++-++-左边增加了()2222111112212221k k k k +++++++- ，共有()()2122212132k k k +⎡⎤---=⋅⎣⎦. 故选：D10．已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内有极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,18B ．()2,18C ．(][)218-∞⋃∞,,+ D ．[]2,18 【答案】B【分析】求出导函数，得到函数在()0,+∞上的单调性，列不等式，即可得到答案.【详解】()2,0.af x x x x '=->当a ≤0时, ()0.f x '>恒成立,故函数在(1,3)内单调递增,不符合题意;当a >0时,令()0.f x '>可得：22a x >；令()0f x '<，可得：202a x <<，所以要使函数()f x 在()1,3内有极值点，只需2132<<a,解可得,2<a <18. 故选：B11．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】C【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的各项为1，6，15，28，45，... 所以1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ， 452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，所以111121231a =⨯=. 故选：C12．若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（） A ．(]12ln2e 3--, B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎥⎝⎦, C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,【答案】D【分析】由方程12ln 0x x x mx -+-=分离常数m ，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】依题意关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，12ln 1m x x =+-，构造函数()112ln 1e e x x x x f ⎛⎫+-<< ⎝=⎪⎭，()'221221x f x x x x-=-+=，所以()f x 在区间()()'11,,0,e 2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.122ln 2112ln 22f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 1e 21e 3e f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11e e 21e e f +=+-=，所以()12ln 2e 3m -∈-,. 故选：D 二、填空题13．(12x dx =⎰________【答案】14π+【详解】因11(2(2)x dx x dx =+⎰⎰，而122(2)101x dx =-=⎰，2222000111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t πππππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+．14．已知复数12z =-，则z z =______．【答案】12-【分析】先求出z ，再利用复数的四则运算直接求解. 【详解】因为复数12z =-，所以复数12z =-，所以21212z z ⎛⎫- ⎪==-⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-15．已知函数()()21e e e e 2x x f x a a x =+--（其中R,e a ∈为自然对数的底数）在x ＝1处取得极小值，则a 的取值范围是______．【答案】()e,∞-+【分析】先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，结合()f x 在1x =处取得极小值来求得a 的取值范围.【详解】()()()()'2e e e e e e e x x x xf x a a a =+--=+-，当0a ≥时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意. 当0a <时，由e 0x a +=解得()ln x a =-，①当()ln 1,e 0a a -<-<<时，()f x 在区间()()()()'ln ,1,0,a f x f x -<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.②当()ln 1,e a a -≥≤-时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞>递增，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是()e,∞-+. 故答案为：()e,∞-+16．已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立．则11b a ++的最大值为______．【答案】12e【分析】由不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤进行转化，先利用特殊值求得11b a ++的取值范围，再利用导数求得11b a ++的最大值. 【详解】依题意：不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即()()ln 2e 1121x x a x b +-≤+-+①对任意的()0,x ∈+∞恒成立， ln 2e 1y x x =+-在()0,∞+上递增，则10a +>，由①，令1e x =得()()111ln 2e 1121e e e a b +⋅-≤+⋅-+，整理得1112eb a +≤+.当13e 1,2a b =-=时，1112eb a +=+，此时，①即ln 2e 13e 3x x x +-≤-，只需ln e 20x x -+≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()()'e 1ln e 20,x f x x x x f x x-+=-+>=，所以()f x 在区间()()'10,,0,e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'1,,0,e f x f x ⎛⎫+∞< ⎪⎝⎭递减，所以()111ln e 20e e e f x f ⎛⎫≤=-⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：12e【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，主要步骤是先化简不等式，然后通过构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等来进行求解. 三、解答题17．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值. 【答案】(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=. （2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（1）设0a b ≥>，用综合法证明：3322a b a b ab +≥+．（2）设0a >，求证：2211a a a a+≥+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作差可得33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-，由0a b >，可得2()0a b -，可得2()()0a b a b +-，即可得证；（2）运用分析法，考虑去分母和因式分解，由条件和不等式的性质，即可得证．【详解】（1）证明如下：33223232()()()()a b a b ab a a b b ab +-+=-+- 22()()a a b b b a =-+-222()()()()a b a b a b a b =--=+-又0a >，0b >，∴0a b +>，而()20a b -≥， ∴()()20a b a b +-≥，故3322()()0a b a b ab +-+≥，即3322a b a b ab +≥+．（2）证明：要证2211a a a a+≥+，只要证431a a a +≥+，只要证43(1)0a a a ---≥，只要证3(1)(1)0a a a ---≥，只要证()31(1)0a a --≥，只要证()22(1)10a a a -++≥，因为2(1)0a -≥，22131024a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以()22(1)10a a a -++≥成立，所以0a >时，2211a a a a+≥+成立． 19．已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线所在的直线方程；(3)若抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，求点M 的坐标和最短距离．【答案】(1)1a =，2b =，1c =- (2)420x y --=(3)()1,2M 【分析】（1）对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把P 点坐标代入两个函数式，可解得,,a b c ；（2）由（2）得切线斜率，从而得公切线方程；（3）由抛物线的导数值等于4可得M 点坐标，再由点到直线距离公式可得结论．【详解】(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是()()()332100lim lim 3x x x x a x x x ax y y x a x x∆→∆→+∆++∆-+∆'===+∆∆． ()()()22200lim lim 2x x x x b x x c x bx c y y x b x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+∆∆．将()1,2P 分别代入两曲线方程得到21a =+，21b c =++．又213y x a '=+，22y x b '=+，则32a b +=+，解得1a =，2b =，1c =-． (2)由（1）知3y x x =+，2131y x '=+；当1x =时，14y '=，故切线方程为()412y x =-+，即420x y --=．由（1）知221y x x =+-，222y x '=+，当1x =时，24y '=，故切线方程为()412y x =-+，即420x y --=．综上所述，公切线所在的直线方程为420x y --=．(3)要使抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，则抛物线在点M 处的切线斜率应该与直线45y x =-相同，则()()()2200lim lim 224x x x x b x x c x bx c y y x x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+=∆∆，解得1x =．又因为点M 在抛物线上，解得()1,2M ，所以最短距离即d 为点M 到直线45y x =-的距离，代入点到直线的距离公式得d =20．新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e 7.39≈，3e 20.09≈） (1)当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？ (2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？【答案】(1)6.67万元 (2)20.09万件【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.【详解】(1)当5x =时,()212055455 6.6733p =-⨯+⨯-=≈,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元(2)因为利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩故当()221107,()456373x p x x x x <<=-+=--+-,此时当max 6,()7x p x ==.当7x ≥时,()3e 12ln ,p x x x =-- ()3322e e ,1x xx p x x -'=-+=当37e ,()0,x p x '≤≤> 此时()p x 单调递增,当3e ,()0,x p x '><此时()p x 单调递减，故当3e 20.09x =≈时，33max3e ()12ln e 12318ep x =--=--=综上，当20.09x =时，所获月利润最大.21．已知函数()e xf x =，()cosg x x =-．(1)讨论函数()()()g x F x f x =的单调性；(2)设函数()()()G x f x g x ax =+-（R a ∈），若()G x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)增区间π3π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，减区间3π7π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭(2)π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()F x 的单调区间.（2）由()'0G x ≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，分离常数a ，通过构造函数法，结合导数求得a的取值范围. 【详解】(1)()()()cos e xg x xF x f x -==，()F x 的定义域为R .()'sin cos πsin e 4x x x F x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，设Z k ∈， ππ3π2π2ππ,2π2π444k x k k x k <+<+-<<+， π3π7π2ππ2π2π,2π2π444k x k k x k +<+<++<<+，所以()F x 在区间()()'π3π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'3π7π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭递减.(2)()()()e cos xG x f x g x ax x ax =+-=--，π2x ≥-，()'e sin 0x G x x a =+-≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，e sin x a x ≤+在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，令()πe sin 2xh x x x ⎛⎫=+≥- ⎪⎝⎭，当ππ22x -≤≤时，()'cos 0,e cos 0x x h x x ≥=+>；当π2x >时，e 1cos 1x x >≥≥-，()'e cos 0xh x x =+>，所以()h x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，()ππ22ππe cos e 22h x h --⎛⎫⎛⎫≥-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2e a -≤，即a 的取值范围是π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】由函数()f x 在区间上的递增（或递减）来求参数的取值范围，可利用()'f x ≥（或()'0f x ≤）恒成立来建立不等关系式，然后通过分离常数法，再次结合导数来求得参数的取值范围.22．如图，()111,P x y 、()222,P x y 、⋅⋅⋅、(),n n n Px y （120n y y y <<<⋅⋅⋅<）是曲线C ：y =上的n 个点，点(),0i i A a （i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是等腰直角三角形，其中i P 为直角顶点，0A 是坐标原点．(1)写出1a 、2a 、3a ；(2)猜想点(),0n n A a （*n ∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】(1)12a =，26a =，312a = (2)证明见解析【分析】（1）推导出()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，结合0a 的值，可求得1a 、2a 、3a 的值；（2）结合1a 、2a 、3a 的值可猜想得出()()*1n a n n n =+∈N ，然后利用数学归纳法结合()()()2*112n n n n a a a a n ---=+∈N 和{}n a 为单调递增数列，可证得猜想成立.【详解】(1)设00a =，则依题意，可得12n nn a a x -+=，11122nn n n n n a a a a y a ---+-=-=，代入y x =1122n n n n a a a a ---+= 即()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，由图可知{}n a 为单调递增数列，所以，1n n a a +>，所以12a =，26a =，312a =．(2)由（1）可猜想：()()*1n a n n n =+∈N ．下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当n k =时猜想成立，即有()1k a k k =+，则当1n k =+时，由()()2112k k k k a a a a ++-=+得()()211121k k a k k k k a ++-+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()()2211211120k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()112k a k k +=++（()11k k a k k a +=-<不符合题意，舍去），即当1n k =+时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即()()*1n a n n n =+∈N ．。

2021-2022学年四川省泸县第五中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年四川省泸县第五中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（） A ．2 B ．2i C ．2- D ．2i -【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出z ，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为(12)5z i +=，所以55(12)12(12)(12)i z i i i -==++-5(12)125i i -==-，所以复数z 的虚部为2-. 故选：C2．命题“2,10x R x x ∀∈++≥”的否定是 A ．2,210x R x x ∀∈++< B ．2,210x R x x ∀∉++< C ．2,210x R x x ∃∉++< D ．2,210x R x x ∃∈++<【答案】D【详解】试题分析：由命题的否定可知选D 【解析】命题的否定3．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势【答案】D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ．4．函数3()f x x x =+在点1x =处的切线方程为（） A ．420x y -+= B ．420x y --= C ．420x y ++= D ．420x y +-=【答案】B【分析】首先求出函数()f x 在点1x =处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．．【详解】∵()231f x x ='+，∴切线斜率()14k f ='=，又∵()12f =，∴切点为()1,2， ∴切线方程为()241y x -=-，即420x y --=．故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．y =B ．y x =C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】B【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>即c a =.又c a ==2212b a =，b a =.则其渐近线方程为y x =，故选B. 6．已知a 、R b ∈，则使得a b >成立的一个充分不必要条件为（） A ．22a b > B ．a b π>+ C ．a b π>- D ．a b x x >【答案】B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合特殊值法、不等式的基本性质判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，取2a =-，1b =，则22a b >，但a b >不成立，A 不合乎要求；对于B 选项，a b b π>+>，则a b a b π>+⇒>，但a b a b π>⇒>+/，如取2a =，1b =，B 满足要求；对于C 选项，取2a =，3b =，则a b π>-成立，但a b >不成立，C 不合乎要求；对于D 选项，若01x <<，由a b x x >可得a b <，D 不合乎要求. 故选：B.7．函数()321132f x x x =+的单调递增区间是（）A ．()(),1,0,∞∞--+B ．()(),10,∞∞--⋃+C ．()1,0-D ．()(),0,1,-∞+∞【答案】A【分析】利用导数的性质进行求解即可.【详解】由()()32211(1)0032f x x x f x x x x x x '=+⇒=+=+>⇒>，或1x <-，故选：A8．如图给出的是计算111124620++++的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A ．10i >B ．10i <C ．20iD ．20i ≤【答案】D【分析】根据循环程序的功能进行判断即可.【详解】因为该循环结构是先判断后执行，所要计算的式子中最后一项的分母是20，所以最后一次循环时22i =，这时需要退出循环，因此判断语句为20i ≤，故选：D9．已知积分()101kx dx k +=⎰，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】A【分析】先求出被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理即可得出答案．【详解】因为()101kx dx k +=⎰，所以21102kx x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以12k ＋1＝k ，所以k ＝2. 故选：A10．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,8)B ．[2,8]C ．(,2][8,)-∞⋃+∞D ．[2,8)【答案】A【分析】求导得()22x a f x x -'=，等价于()22g x x a =-在区间()1,2的函数值有正有负，解不等式组()()120280g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩即得解.【详解】解：()222a x af x x x x='-=-，令()22g x x a =-，由于函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数，则()22g x x a =-在区间()1,2的函数值有正有负，而二次函数()22g x x a =-开口向上，对称轴为y 轴，所以()22g x x a =-在区间()1,2上递增，所以()()120280g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得28a <<.所以实数a 的取值范围是()2,8. 故选：A .11．已知直线()10ax y a R -+=∈是圆22:124C x y 的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（）A B C D ．【答案】C【分析】根据圆的对称性，结合圆的切线性质、两点间距离公式、勾股定理进行求解即可.【详解】由圆22:124C x y ，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆22:124C x y 的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上，所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以AC ==所以AB ==故选：C12．定义域为R 的可导函数y=f(x)的导函数为'()y f x =，且满足()()0f x f x '+<，则下列关系正确的是A ．2(1)(0)(1)f f f e e<<- B ．2(0)(1)(1)f f f e e-<< C ．2(0)(1)(1)f f f e e -<< D ．2(0)(1)(1)f f f e e -<< 【答案】C【分析】根据题意构造函数并求导()()()',0x g x e f x g x =<，可得到函数的单调性，通过赋值得到结果.【详解】构造函数()()()()()'',0x x x g x e f x g x e f x e f x ==+<，故函数()g x 是单调递减的函数，故得到()()()()()()1101101g g g f f ef e->>⇔->> 化简得到2(0)(1)(1)f f f e e -<< 故答案为C.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，对于比较大小的题目，可以直接代入函数表达方式中，直接比较大小，如果函数表达式比较复杂或者没有函数表达式，则可以研究函数的单调性或者零点进而得到结果. 二、填空题13．已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为_______ 【答案】23-【详解】两直线平行则斜率相等，所以23m-=，解得23m =-14．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7y x a =-+，则a 等于___【答案】214【分析】首先求出x ，y 的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a 的一元一次方程，解方程即可．【详解】：14x =（1+2+3+4）＝2.5，14y =（4.5+4+3+2.5）＝3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是ˆy=-0.7x +a ，可得3.5＝﹣1.75+a ，故a ＝214．故答案为214【点睛】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题15．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74.若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨一颗下．珠，再从四个档中随机选择两个不同档位各拨一颗上．珠，则所表示的数字小于400的概率为__________【答案】180.125 【分析】先求出在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同挡位各拨一颗上珠，共1244C C n ==24种，再分两种情况讨论利用古典概型的概率公式得解.【详解】解：由题意，在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同挡位各拨一颗上珠，共1244C C n ==24种，①当在个、十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同挡位各拨一颗上珠时，得到的数字小于400，有1222C C =2个；②当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同挡位各拨一颗上珠时，得到的数字小于400，有22C =1个．所以所拨数字小于400的概率为P 211248+==．故答案为：18．16．已知函数2ln ()2,()e x x af xg x x x=+=-，若()()f x g x ≤在(0,)+∞恒成立，实数a 的取值范围为____.【答案】(],1-∞【分析】构造不等式构造新函数，利用导数的性质进行求解即可. 【详解】由()()f x g x ≤2ln 2e x x ax x⇒+≤-，因为,()0x ∈+∞，所以由2222ln 2e ln 2e ln(e )e x x x x x ax x x a x x a x x+≤-⇒+≤-⇒≤-，令2e x x t =，当,()0x ∈+∞时，令222()e ()e 2e 0x x x g x x g x x '=⇒=+>，所以函数()g x 是增函数，所以有()(0)00g x g t >=⇒>，所以ln t t a ≤-在(0,)t ∈+∞上恒成立，ln ln t t a a t t ≤-⇒≤-，令()ln h t t t =-，即11()1t h t t t-'=-=，当1t >时，()0,()h t h t '>单调递增，当01t <<时，()0,()h t h t '<单调递减，所以min ()(1)1h t h ==，所以要想ln t t a ≤-在(0,)t ∈+∞上恒成立，只需1a ≤，故答案为：(],1-∞【点睛】关键点睛：构造函数利用导数的性质是解题的关键. 三、解答题17．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为(cos sin )3ρθθ-=．（1）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；（2）设直线2l 过点(1,0)P -与曲线C 交于不同两点A ，B ，AB 的中点为M ，1l 与2l 的交点为N ，求||||PM PN ．【答案】（1）曲线C ：22(1)(2)9x y -++= ；直线1l 的直角坐标方程30x y --=；（2）8.【分析】（1）直接利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+即可化曲线C 与直线1l 的极坐标方程为直角坐标方程；（2）直线2l 的参数方程1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），将其代入曲线C 的普通方程，利用根与系数的关系可得M 的参数为122(cos sin )2t t αα+=-，设N 点的参数为3t ，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=求得34cos sin t αα=-．则||||PM PN 可求．【详解】解：（1）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+，即22(1)(2)9x y -++=，1:(cos sin )3l ρθθ-=，即1:cos sin 3l ρθρθ-=，所以直角坐标方程为：30x y --=；（2）直线2l 的参数方程1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），将其代入曲线C 的普通方程并整理得24(cos sin )10t t αα---=，设A ，B 两点的参数分别为1t ，2t ，则124(cos sin )t t αα+=-．M 为AB 的中点，故点M 的参数为122(cos sin )2t t αα+=-，设N 点的参数为3t ，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=，整理得34cos sin t αα=-．∴1234||||2cos sin 82cos sin t t PM PN t αααα+==-=-．【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.18．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“33+”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A 、B 、C 、D 、E 五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．【答案】（1）90分；（2）76，77，78；（3）25．【分析】（1）小明原式分所在分值区间，结合频率直方图计算出该分值区间的人数占比，结合已知赋分规则，即可确定小明历史成绩的最后得分.（2）由赋分规则计算出赋分为90分、80分的人数，结合茎叶图及小明原始分大概分值，即可知小明的原始成绩的可能值.（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为A 、a 、b 、c 、d ，列举出五科中任选两科的所有可能组合，应用古典概型求概率的方法即可求概率.【详解】（1）∵此次考试历史成绩落在(]80,90，(]90,100内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的历史成绩为82分，大于80分，处于前15%， ∴小明历史成绩的最后得分为90分．（2）40名学生中，地理赋分为90分有4015%6⨯=人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分有4035%14⨯=人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分别为76，76，77，78；∵小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分， ∴小明的原始成绩的可能值为76，77，78．（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为A 、a 、b 、c 、d ，∴小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共10种，而其中包括地理的有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d 共4种，∴小明选考科目包括地理的概率为：42105P ==． 19．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值. 【答案】(1)1,12a b ==-；(2)-4.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b ='+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值故有(2)0{(2)16f f c ==-'即120{8216a b a b c c +=++=- ，化简得120{48a b a b +=+=-解得1{12a b ==- （2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x ='-令()0f x '= ，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数．由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=，(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '==0，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（1）根据函数()f x =x 3-3ax 2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a ，b 的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．20．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x 、y 的相关系数r （计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若[]0.75,1r ∈，则x 、y 相关性很强；若[)0.3,0.75r ∈，则x 、y 相关性一般；若[]0,0.25r ∈，则x 、y 相关性较弱．） 57.47≈．参考公式：()()()1122211ˆˆˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑，，相关系数()()niix x y y r --=∑．【答案】（1） 3.229.8y x =-+；（2）相关系数为0.97-，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【解析】（1）结合已知数据和参考公式求出a 、ˆb这两个系数，即可得回归方程；（2）根据相关系数的公式求出r 的值，再结合r 的正负性与r 的大小进行判断即可．【详解】（1）由题意得，2345645x ++++==，2222171410175y ++++==，()()()()()()()()()51522222212515001327ˆ 3.221012iii ii x x y y b x x ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆ17 3.2429.8a y bx=-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为 3.229.8y x =-+；（2）()()0.97niix x y y r --==≈-∑，0r ∴<，说明x 、y 负相关，又[]0.75,1r ∈，说明x 、y 相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【点睛】本题考查线性回归方程的求法、相关系数的计算与性质，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8．（1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【解析】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =，当直线l 的斜率不存在时，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已知弦长可求得结果；（2）设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，根据几何方法求出圆的半径，根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径，可得圆的方程. 【详解】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，此时248MN p ==≠，不满足，舍去；当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则216160k ∆=+>，且212224k x x k ++=由抛物线定义得122222122444||||||(1)(1)22x k k MN MF NF x x x k k ++=+=+++=++=+= 即22448k k+=，解得1k =± 因此l 的方程为1y x =-或1y x =-+.（2）由（1）取1,k =直线l 的方程为1y x =-，所以线段MN 的中点坐标为(3，2)，所以MN 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，该圆的圆心到直线l 的距离为d，则d ===因为该圆与准线1x =-相切，所以()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩, 当圆心为(3,2)时，半径为4，当圆心为(11,6)-时，半径为12，因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【点睛】关键点点睛：第（1）问，利用韦达定理和抛物线的定义求出抛物线的弦长是关键；第（2）问，根据几何方法求出圆的半径，利用直线与圆相切列式是解题关键. 22．设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.。

2021-2022学年山西省怀仁市第一中学校高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年山西省怀仁市第一中学校高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．在()624x -的展开式中，第二项为（） A ．5768x - B ．5768x C ．43840x - D ．43840x【答案】A【分析】由二项式的展开式的通项公式可得答案.【详解】()()616C 24kk kk T x -+=⋅-，第二项是1k =，即()()611156C 24768x x -⋅-=-．故选：A ．2．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X ，则表示“放回4个球”的事件为（） A ．4X = B ．5X =C ．6X =D ．4X ≤【答案】B【分析】“放回4个球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得X 的值.【详解】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故5X =. 故选：B .3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值()()E X E X =甲乙，方差分别为()11D X =甲，() 3.4D X =乙.由此可以估计（）A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较【答案】B【分析】可以用样本的方差估计总体的方差，方差越小，分蘖越整齐. 【详解】解：已知样本方差：()=3.4D X 乙，()=11D X 甲由此估计，乙种水稻的方差约为3.4，甲种水稻的方差约为11. 因为3.411<所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐故选：B.4．解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（） A ．10种 B ．21种 C ．24种 D ．36种【答案】A【分析】利用分类加法计数原理计算即可. 【详解】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有34310++=（种）．故选：A ．5．某人家里有3个卧室1个大门，共有4把钥匙，其中仅有一把能打开大门，但他忘记是哪把钥匙．如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第四次才能打开门的概率为（） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】C【分析】题意相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的概率,根据古典概率可得答案.【详解】由题意知，此人第一、二、三次不能打开门，第四次打开门，相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的概率.因此他第四次才能打开门的概率为3344A 1A 4P ==．故选：C6．某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A 站在前排正中间位置，B ，C 两人也站在前排并与A 相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（） A ．88A 种 B ．2020A 种 C ．231031810A A A 种D ．218218A A 种【答案】D【分析】先安排A ，再排B ，C 两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案. 【详解】先安排A ，只有1种选择；再排B ，C 两人，有22A 种选择；最后排其他人，有1818A 种选择．故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有218218A A 种选择．故选：D.7．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布()2,30N μ和()2280,40N ，则下列选项错误的是（）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈．A ．若红玫瑰日销量的范围在()30,280μ-的概率是0.6827，则红玫瑰日销量的平均数约为250B ．红玫瑰日销量比白玫瑰日销量更集中C ．白玫瑰日销量比红玫瑰日销量更集中D ．白玫瑰日销量的范围在()280,320的概率约为0.34135 【答案】C【分析】根据正态曲线的性质一一判断可得；【详解】解：对于选项A ，由日销量的范围在()30,280μ-的概率是0.6827，所以30280μ+=，则250μ=，故A 正确；对于选项B ，C ，利用σ越小越集中，30小于40，故红玫瑰日销量比白玫瑰日销量更集中，即B 正确，C 不正确；对于选项D ，()()12803200.68270.341352P X P X μμσ<<=<<+≈⨯=，故D 正确．故选：C ． 8．已知()202222022012202213x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则20221222022333a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】B【分析】设()()202213f x x =-，利用赋值法可得出()20221222022103333a a a f f ⎛⎫++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，即可得解.【详解】设()()202213f x x =-，则()001a f ==，202212022022103333a a a a f ⎛⎫++++== ⎪⎝⎭，故()202212220221013333a a a f f ⎛⎫+++=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B.9．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则()80P X ≥-=（） A ．27128B ．243256C ．43256D ．83128【答案】B【分析】先求得该产品能销售的概率，易知X 的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后利用二项分布求解.【详解】由题意得该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，易知X 的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()43C 4kk P k ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭414k-⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()22243127802C 44128P X P ξ⎛⎫⎛⎫=-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31343140(3)44P X P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2764=， 40443181(160)(4)C 44256P X P ξ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()()808040P X P X P X ≥-==-+=+()160P X =， 27278124312864256256=++=，故选：B ．10．从装有1n +个不同小球的口袋中取出m 个小球（0,,m n m n N <≤∈），共有1mn C +种取法．在这1mn C +种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有01m n C C ⋅种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有111m n C C -⋅种取法．显然011111m m m n n n C C C C C -+⋅+⋅=，即有等式：11m m mn n n C C C -++=成立．试根据上述想法，下面式子1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅（其中1,,,k m n k m n N ≤<≤∈）应等于A ．mn k C + B ．+1m n k C + C ．+1m n k C + D ．kn m C +【答案】A【详解】分析：从装有1n +个不同小球的口袋中取出m 个小球（0,,m n m n N <≤∈），共有1m n C +种取法．在这1mn C +种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，第二类是某指定的小球被取到，即有等式：11m m mn n n C C C -++=成立，题中的式子表示的是从装有n k +个球中取出m 个球的不同取法数mn k C +，从而得到选项.详解：在1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅+⋯+⋅中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n 个白球，k 个黑球的袋子里，取出m 个球的所有情况取法总数的和，故答案为从装有n k +个球中取出m 个球的不同取法数mn k C +，故选A.点睛：该题考查的是有关球的取法问题，涉及到的是有关组合数的性质，认真分析题中式子的关系，最后求得结果.11．盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为（） A ．4413025B ．4411025C ．5121D ．3411 【答案】A【分析】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球()0123i =,,,，分别求出其概率，再由全概率公式求解即可.【详解】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球()0123i =,,,，B 表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有()330312C 1C 220P A ==，()21391312C C 27C 220P A ==，()12392312C C 108C 220P A ==，()393312C 84C 220P A ==，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为()()()()()()()()()33398700112233333121212C C C 12710884220C 220C 220C 22P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++=⨯+⨯+⨯+36312C 441C 3025=. 故选：A.12．设10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5=105，随机变量1ξ取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2，随机变量2ξ取值122x x +、232x x +、342x x +、452x x +、512x x+的概率也均为0.2，若记1D ξ、2D ξ分别为1ξ、2ξ的方差，则（） A ．1D ξ>2D ξ B ．1D ξ=2D ξ C ．1D ξ<2D ξD ．1D ξ与2D ξ的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关【答案】A【分析】根据随机变量1ξ、2ξ的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答.【详解】由随机变量1ξ、2ξ的取值情况，它们的期望分别为：1234151()5x x E x x x ξ++++=， 234512345112234511()()5222225x x x x x x x x E x x x x x x x ξ+++=++++++++++=，即21E E ξξ=，22222111213141511[()()()()()]5D x E x E x E x E x E ξξξξξξ=-+-+-+-+-2222221234511()()5x x x x x E ξ=++++-，同理3422222223455121221[()()()()()]()522222x x x x x x x x x D E x ξξ+++++++-+=+，而322222234115452()()()()()22222x x x x x x x x x x +++++++++222221234512233445512()222224x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++=2222222222222221234512345123452()2()4x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++<=++++，所以有12D D ξξ>. 故选：A 二、填空题13．若k *∈N ，且40k ≤，则(50)(51)(52)(79)k k k k ---⋅⋅⋅-用排列数符号表示为__________．【答案】3079k A -【分析】逆用排列数公式可得结果.【详解】从50k -到79k -一共有()7950130k k ---+=个数相乘，相邻30个自然数相乘，且最大的自然数是79k -，所以用排列数符号表示为3079k A -．故答案为：3079k A -14．51(1)(1)x x+-的展开式中4x 的系数为_________．【答案】4【分析】将代数式变形为55511(1)(1)(1)(1)x x x x x+-=-+-，写出展开式的通项，令x 的指数为4，求得参数的值，代入通项即可求解.【详解】由5(1)x -展开式的通项为()()rrr r rr r T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅⋅515511，令4r =，得5(1)x -展开式中4x 的系数为()C -⋅=44515. 由51(1)x x -展开式的通项为()()k k k k k k k T C x C x x --+=⋅⋅⋅-=-⋅⋅51155111，令5k =，得51(1)x x -展开式中4x 的系数为()C -⋅=-55511. 所以51(1)(1)x x+-的展开式中4x 的系数为()+-=514.故答案为：4.15．昆明市的市花为云南山茶花，又名滇山茶，国家二级保护植物．为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D （单位：厘米）作为样本，通过数据分析得到()2~12.5,4.5D N ，若将21.5D ≥的植株建档重点监测，则10000株滇山茶中建档的约有______株．（结果取整数）（附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）【答案】228【分析】由()()21.52P D P D μσ≥=≥+，根据正态分布求出其概率，从而得出答案. 【详解】由题意知，()()()12210.954521.520.0227522P D P D P D μσμσμσ--≤≤+-≥=≥+=≈=，故100000.02275227.5⨯=，所以10000株滇山茶中建档的约有228株．故答案为：22816．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都35．比赛结束时恰好打了6局的概率为______．【答案】582 3125【分析】求出比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率和乙获胜的概率，相加即为结果.【详解】比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为4415323486C5553125P⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，恰好打了6局，乙获胜的概率为1412532296C5553125P⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以比赛结束时恰好打了6局的概率为1248696582 312531253125P P P=+=+=．故答案为：582 3125三、解答题17．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【答案】(1)0.0345(2)此次品由甲车间生产的概率为：2569，由乙车间生产的概率为：2869，由丙车间生产的概率为：16 69【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.【详解】(1)取到次品的概率为0.250.050.350.040.40.020.0345⨯+⨯+⨯=(2)若取到的是次品，则：此次品由甲车间生产的概率为：0.250.050.012525 0.03450.034569⨯==.此次品由乙车间生产的概率为：0.350.040.01428 0.03450.034569⨯==.此次品由丙车间生产的概率为：0.40.020.00816 0.03450.034569⨯==.18．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．(1)若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？ (2)若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？【答案】(1)24种 (2)21种【分析】（1）由题意得甲、乙两人其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，即可求解；（2）甲比乙先下地铁的情形有两类：第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，结合组合数公式和分类加法计数原理，即可求解．【详解】(1)解：若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，共有211234C 24A A =（种），故甲、乙下地铁的方案共有24种.(2)若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，有1135C C 15=（种）；第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四站至第七站分别为4567,,,P P P P ，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形： ①甲4P 站下，乙下地铁方式有13C 种； ②甲5P 站下，乙下地铁方式有12C 种；③甲6P 站下，乙只能从7P 下地铁，共有1种方式，共有1132C C 16++=（种），依据分类加法计数原理，得15621+=（种），故甲比乙先下地铁的方案共有21种．19．已知2mx⎛ ⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12．(1)求m 的值；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．【答案】(1)7； (2)114﹒ 【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12列出关于m 的方程，解方程即可求得m ；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【详解】(1)展开式的通项为()152222122rrm m rrr rr mm T C x x C x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， ∴展开式中第4项的系数为332mC ⋅，倒数第4项的系数为332m m m C --⋅，33332122m m m m C C --⋅∴=⋅，即611,722m m -=∴=． (2)展开式共有8项，由(1)可得当522rm -为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 114A A A =． 20．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验：方法一：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；方法二：一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为1ξ，方法二抽取的不合格产品数为2ξ. （1）求1ξ，2ξ的分布列；（2）比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）均值相等，理由见解析.【分析】（1）由题意，1ξ，2ξ分别服从二项分布和超几何分布，利用对应的概率公式计算概率，列出分布列即可；（2）利用二项分布和超几何分布的期望公式计算对应的期望，即得解【详解】（1）随机变量1ξ的可能取值为0，1，2，且13~2,10B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，()02012374901010100P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1111237211101050P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2021237921010100P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此1ξ的分布列为1ξ0 1 2P4910021509100随机变量2ξ的可能取值为0，1，2，且2ξ服从参数为10，3，2的超几何分布，()023*********C C P C ξ===，()113722107115C C P C ξ===，()203722101215C C P C ξ===.因此2ξ的分布列为2ξ0 1 2P715 715 115（2）由（1）知，方法一中1332105E ξ=⨯=，方法二中2233105E ξ⨯==，因此12E E ξξ=，所以两种方法抽到的不合格产品数的均值相等.21．自2021年秋季学期以来，义务段教育全面落实“双减”工作．为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了100名教育工作者的答卷（满分：100分），统计得分情况后得到如图所示的频率分布直方图．(1)若这100名教育工作者的答卷得分X 服从正态分布()2,N μσ（其中μ用样本数据的均值x 表示，2σ用样本数据的方差2s 表示），求()67.889.4P X <<；(2)若以这100名教育工作者的答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取3人的答卷得分，记Y 为这3人的答卷得分不低于70分且低于90分的人数，试求Y 的分布列，数学期望()E Y 和方差()D Y ．7.2≈，()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈．【答案】(1)0.8186 (2)分布列见解析，()125E Y =，()1225D Y =【分析】（1）先根据频率分布直方图求出均值和方差，再结合正态分布计算概率即可；（2）按照二项分布列出分布列，根据公式计算期望和方差即可. 【详解】(1)由频率分布直方图可知，5536512757285895575100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，()()222222203101207210820552100s-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯==，所以75x =，252s =，所以()75,52XN ．因为7.2σ=≈，则67.8μσ=-，89.42μσ=+，所以()()67.889.42P X P X μσμσ<<=-<<+()()()11220.68270.95450.818622P X P X μσμσμσμσ=-<<++-<<+≈⨯+=⎡⎤⎣⎦； (2)从这100名教育工作者中任意选取1名，其答卷得分不低于70分且低于90分的概率为72841005+=．由题意知，43,5YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()31105125P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2134112155125P Y C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， ()2234148255125P Y C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()346435125P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以Y 的分布列为所以()412355E Y =⨯=，()411235525D Y =⨯⨯=．22．已知一种动物患某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病.多只该种动物化验时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验． (1)求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率．(2)现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案，方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：混合在一起化验．请问：哪一种方案最合适（即化验次数的均值最小）？【答案】(1)0.19(2)方案三混合在一起化验最合适【分析】（1）先求解2只该种动物的混合血样呈阴性的概率，再用对立事件求概率公式求解；（2）分别求出三种方案的化验次数的均值，进而作出判断. 【详解】(1)设ξ为2只该种动物中血液呈阳性的数量，则()~2,0.1B ξ，这2只动物中只要有一只动物的血样呈阳性，则它们的混合血样呈阳性，所以所求的概率为()()()2110110.10.19P P ξξ≥=-==--=．即2只该种动物的混合血样呈阳性的概率为0.19． (2)方案一：4只动物都得化验，所需化验次数为4．方案二：设所需化验的次数为X ，则X 的所有可能取值为2，4，6，()20.810.810.6561P X ==⨯=，()420.810.190.3078P X ==⨯⨯=，()60.190.190.0361P X ==⨯=，所以()20.656140.307860.0361 2.76E X =⨯+⨯+⨯=．方案三：设所需化验次数为Y ，则Y 的所有可能取值为1，5，由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为40.90.6561=，所以()10.6561P Y ==，()510.65610.3439P Y ==-=，所以()10.656150.3439 2.3756E Y =⨯+⨯=．因为2.3756 2.764<<，所以混合在一起化验最合适．。

天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含解析)

天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2．对变量x ,y 有观测数据，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据,得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关3．设，则“且”是“”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件4．的展开式中，系数最大的项是( )项B.第n 项C.第项D.第n 项与第项5．已知随机变量X 服从正态分布，且，则( )A.0.6B.0.3C.0.2D.0.16．设X 为随机变量，，若随机变量X 的数学期望，则等于( ){}1,2,3,4U ={}1,2A ={},32B =()U A B ð{}1,3,4{}3,4{}3{}4(),i i x y ()1,2,,10= i (),i i u v ()1,2,,10i = ,x y ∈R 2x ≥2y ≥224x y +≥()2*1()n x n +∈N 1+1n +1n +()22,N σ()40.8P X <=()02P X <<=1,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭()2E X =()2P X =7．某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则( )8．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A.-40 B.-20 C.20 D.409．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243 B.252 C.261 D.279二、填空题10．的展开式中的系数为________.11．命题,的否定是________.12．已知，则________.13．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则________.14．三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有种________.15．某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第，则小李第二天去乙家餐厅的概率为________.三、解答题16．（1）证明：组合数性质；（2）计算：（用数字作答）.17．已知集合，若()|P A B =512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭822x y :p x ∀∈R 210x +>7270127(12)x a a x a x a x -=++++ 1357a a a a +++=,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}20,,a a b +20242024a b +=()1*1C C C ,m m n n n m n π-+=+∈N 2222234100C C C C ++++ {}23100A x x x =--≤（1），，求实数m 的范围；（2），，求实数m 的范围；（3），，求实数m 的范围.18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(x 吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据：（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式(参考数值：)19．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多.（1）根据以上数据填写列联表；关系？参考公式：B A ⊆{}121B x m x m =+≤≤-A B ⊆{}621B x m x m =-≤≤-B A ={}621B x m x m =-≤≤-ˆybx a =+ˆb=ˆy =-3 2.543546 4.566.53242526286⨯+⨯+⨯+⨯=+++=22⨯2K =参考数据：，，，.20．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列；(Ⅱ)求X 的数学期望E(X).2( 2.072)0.15P K ≥=2( 2.706)0.10P K ≥=2( 3.841)0.05P K ≥=()2 5.0240.025P K ≥=参考答案1．答案：D解析：易知，则，故选：D.2．答案：C解析：变量x 与中y 随x 增大而减小，为负相关；u 与v 中，u 随v 的增大而增大，为正相关.3．答案：A解析：试题分析：若且，则，，所以，即；若，则如满足条件，但不满足且.所以“且”是“”的充分而不必要条件.故选A.4．答案：C解析：在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有项，可得第项的系数最大，故选C.5．答案：B解析：由题意，随机变量X 服从正态分布，则正态分布曲线关于对称，又由，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以，故选B.6．答案：A解析：因为，得，即.所以故选A 7．答案：A解析：由题意可知{}1,2,3A B = {}()4U A B = ð2x ≥2y ≥24x ≥24y ≥228x y +≥224x y +≥224x y +≥()2,2--2x ≥2y ≥2x ≥2y ≥224x y +≥()()2*1x n n +∈N 1r +1r +21n +1n +22,N σ（）2x =(4)0.8P X <=(0)(4)1(4)0.2P X P X P X ≤=≥=-<=1(02)(0)0.50.20.32P X P X <<=-≤=-=()123E X n ==6n =16,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2426112C 133P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2265211C C C P B +==()26211C C AB ==所以故选：A.8．答案：D解析：令得.故原式=.的通项，由得,对应的常数项，由得,对应的常数项，故所求的常数项为40，故选D 9．答案：B解析：由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有，组成无重复数字的三位数共有，因此组成有重复数字的三位数共有.10．答案：70解析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知.令，解得，的展开式中的系数为.11．答案：,或,解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论，所以命题,的否定是：,故答案为：,12．答案：-1094解析：令，则，，()()()|P AB P A B P B ==1x =1a =5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭521552155C (2)()C (1)2r r r r rr r r T x x x ----+=-=-521r -=2r =80=521r -=-3r =80=-91010900⨯⨯=998648⨯⨯=900648252-=822x y 1r +()811882222188C 1C rrr rr r r r r r T xy x y x y -----+--++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭822r r -+-=4r =∴822x y ()4481C 70-=0x ∃∈R 2010x +≤x ∃∈R 210x +≤:p x ∀∈R 210x +>0x ∃∈R 2010x +≤0x ∃∈R 2010x +≤()7270127()12f x x a a x a x a x =-++++= 0127(1)1a a a a f ++++==- 701273(1)32187a a a a f a -++--==-=所以.故答案为：-109413．答案：1解析：因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为，所以，即，则，即或，当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾，故，，.故答案为：1.14．答案：60解析：若每个村去一个人，则有种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有种分配方法，所以共有60种不同的分配方法.解析：设“第1天去甲餐厅用餐“，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去甲餐厅用餐”，“第2天去乙餐厅用餐”，根据题意得，则则由全概率公式得：，即1357(1)(1)10942f f a a a a --==-+++,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,0,a a b +a ≠0=0b =21a =1a =1a =-1a ={1,0,1}{1,1,0}1a =-0b =202420241a b +=34A 24=1234C A 36⨯=1A =1B =2A =2B =1122()()()()P A P B P A P B ====()21|A A =()21|P A B =21(|)P B A =()()()21211|P A B A B P B ==()214152P A B =⨯=()()()2112225|12P A B P B A P A ===()22|B A =21222121222()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+212113()252510P B =⨯+⨯=16．答案：（1）证明见解析；（2）166650解析：（1）证明：；（2）＝.17．答案：（1）；（2）（3）不存在满足题意的实数m解析：（1）；当时，满足，则，解得：；当时，由得：，解得：；综上所述：实数m 的取值范围为.（2）由得：，解得：，即实数m 的取值范围为.（3），，方程组无解，不存在满足题意的实数m .18．答案：（1）见解析；（2）；()()1!!!!(1)!C 1!C m m n n n n m n m m n m -+---++=()()()()()!1!1!!1!!1!!1!n n m n n m m n mm n m m n m m n m -+-++=+=-+-+-+()()11!!(1)C !(1)!!1!m n n n n m n m m n m +++===-+-+3223102222223223410044041300C C C C C C C C C C C =+++=+++++++ 22323310010010515100C C 10110099C C C 16665032C ⨯⨯==+++==+=⨯ (],3-∞[]3,4{}()(){}{}2310052025A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤B =∅B A ⊆121m m +>-2m <B ≠∅B A ⊆12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23m ≤≤(],3-∞A B ⊆62126521m m m m -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪≤-⎩34m ≤≤[]3,4A B = 62215m m -=-⎧∴⎨-=⎩∴ˆ0.70.35yx =+（3）19.65吨解析：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下；（2）由对照数据，计算得，，，，回归方程的系数为，，所求线性回归方程为；（3）由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为（吨，吨，预测比技改前降低了19.65吨标准煤.19．答案：（1）答案见解析；（2）有关系解析：（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：1(3456) 4.54x =⨯+++=1(2.534 4.5) 3.54y =⨯+++=4222221345686ii x==+++=∑413 2.543546 4.566.5iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑∴266.54 4.5 3.5ˆ0.7864 4.5b -⨯⨯==-⨯ 3.50.7 4.5ˆ0.35a =-⨯=∴ˆ0.70.35yx =+0.71000.3570.35⨯+=)9070.3519.65∴-=22⨯由（1）中的的列联表，可得，所以有充分的理由认为假设不成立，即认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关，这种判断出错误的概率不超过0.10.20．答案：(Ⅰ)见解析；解析：(Ⅰ)X 的可能取值有：3，4，5，6.故，所求X 的分布列为22⨯()220.10226943 2.7641 2.7061210139K K ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯3539C (3)C P X ===215439C C (4)C X ===125439C C (5)C P X ===3439C (6)C P X ===()51051345642211421E X ⨯+⨯+⨯+⨯==。

江苏省泰州市姜堰区2022高二数学下学期期中试题理(含解析)

【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）建立空间坐标系分别求得直线DP和BM的方向向量，进而得到异面直线的夹角；（2）分别求两个平面的法向量，再由向量夹角的计算公式得到结果.
【详解】（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．
【详解】（1）从5本科普书中选2本有种选法，从4数学书中选2本有种选法，再把4本书给4位同学有种，
所以科普书和数学书各选2本，共有种不同的送法.
（2）因为科普书甲和数学书乙必须送出，所以再从其余7本书选2本有种，再把4本书给4位同学有种，所以共有种不同的送法.
（3）选出4本科普书有种，选出3本科普书有种，再把4本书给4位同学有种，所以至少有3本科普书的送法为种.
8. 的展开式中的常数项为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【详解】的展开式的通项公式为Tr+1 •（﹣1）r• •x10﹣5r，
令10﹣5r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项为 •5﹣1＝2，
详解：
在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
(2) ，设平面的一个法向量为．
则，得，取，得，，
故平面的一个法向量为．
于是，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
9.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．

衡水金卷河北衡水中学2017-2018年高二下学期期中考试数学(理)试卷(含精品解析)

理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用极坐标的表示方法，即可得出结果．详解：点在直角坐标系中表示点，而点在直角坐标系中表示点，所以点和点表示不同的点，故选B．点睛：本题主要考查了极坐标的表示方法，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2. 给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．考点：综合法和分析法的特征.3. 设复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以,的共轭复数为，故选D.4. 用反证法证明命题“若，则且”时，下列假设的结论正确的是（）A. 或B. 且C. 或D. 且【答案】A【解析】试题分析：反证法要假设所要证明的结论的反面成立，本题中要反设成立考点：反证法5. 方程（为参数）表示的曲线是（）A. 双曲线B. 双曲线的上支C. 双曲线的下支D. 圆【答案】B【解析】由题意得，方程，两式相减，可得，由，所以曲线的方程为，表示双曲线的上支，故选B.考点：曲线的参数方程.6. 若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用定积分，将已知化简，即可比较大小．详解：由题意，可得，，，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7. 老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有甲、乙、丙个柱子，在甲柱上现有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束.在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的此时要多，此四个操作的此时要少，相当与操作三个的时候，最上面的那衣蛾动了几次，就会增加几次，故选C. 考点：归纳推理.8. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：利用从平面图形到空间图形的类比推理，即可得到结论．详解：建立从平面图形到空间图形的类比，与可得类比得到，故选B．点睛：本题主要考查了从平面图形到空间的类比推理，着重考查了学生的知识量和知识的迁移，类比的基本能力，解答的关键是掌握好类比推理的概念与应用．9. 设函数，则函数的所有极大值之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数，∴，∵时，时，，∴时原函数递增，时，函数递减，故当时，取极大值，其极大值为，又，∴函数的各极大值之和．故选D．10. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的动点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点到的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把曲线的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程为，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式，即可求得最大值．详解：由曲线的极坐标方程为，可得曲线的直角坐标方程为，由曲线的参数方程，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式可得，当时，取得最大值，此时最大值为，故选B．点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力．11. 已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A. B. ， C. D. ，【答案】D【解析】分析：结合函数的图象求出成立的的取值范围，即可得到结论．详解：结合函数的图象可知：和时，，又由，则，令，解得，所以函数的递减区间为，故选D．点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到，进而得到的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用导数得函数的单调性并求得最值，求解方程得到或，画出函数的图象，结合图象即可求解．详解：设，则，令，得，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以当时，函数取得极大值也是函数的最大值，由方程，可得或，画出函数的图象，如图所示，结合图象可得实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了利用导数求解函数的单调性与函数的最值，其中把根的存在性与根的个数问题转化为函数的图象的交点问题是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及数形结合思想的应用，试题属于中档试题．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 复数（为虚数单位）的虚部为__________．【答案】【解析】分析：利用复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部．详解：由题意，复数，所以复数的虚部为．点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数的基本概念，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14. 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．【答案】【解析】分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离即可．详解：把直线的方程化为直角坐标方程得，点的直角坐标为，由点到直线的距离公式，可得．点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是__________．【答案】甲【解析】试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．考点：逻辑推理．16. 已知实数，满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，则最小值表示与直线平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解．详解：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，所以最小值表示与直线平行的切线之间的距离，因为，所以，令，解得，所以，所以曲线过点的切线方程为，即，所以直线与直线间的距离为，即最小值．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距离公式的应用，其中解答中把最小值转化为直线平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设复数，其中为虚数单位，当实数取何值时，复数对应的点：（1）位于虚轴上；（2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上.【答案】（1）（2）（3）或【解析】分析：（1）根据题设条件得到复数对应点坐标，当复数位于虚轴上时，实部为零，虚部不为零，即可求解；（2）当复数位于一、三象限时，复数满足实部和虚部之积大于零，即可求解；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上时，满足，即可求解．详解：（1）复数对应的点位于虚轴上，则.∴时，复数对应的点位于虚轴上.（2）复数对应的点位于一、三象限，则或.∴当时，复数对应的点位于一、三象限.（3）复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上，则或.∴或时，复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上.点睛：本题主要考查了复数表示，解答中根据题设条件求出复数对应点的坐标，结合点的位置列出不等式组或关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．18. 已知数列的前项和为，且满足，.（1）写出，，，并推测数列的表达式；（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.【答案】（1），，.（2）见解析【解析】分析：（1）利用，代入计算，即可得到的值，猜想；（2）利用数学归纳法进行证明，检验当时等式成立，假设是命题成立，证明当时，命题也成立即可．详解：（1）将，，分别代入，可得，，.猜想.（2）①由（1），得时，命题成立；②假设时，命题成立，即，那么当时，，且，所以，所以，即当时，命题也成立.根据①②，得对一切，都成立.点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列归纳、猜想、证明，对于数学归纳法的证明，一般分三步：（1）验证成立；（2）假设是命题成立，证明当时，命题也成立，从而得证，这是数列通项的一种求解方法，着重考查了推理与论证能力．19. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与曲线交于，两点，且，求实数的值.【答案】（1）,（2）或.【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程，利用将曲线（Ⅱ）先将直线参数方程转化为（为参数，），再根据直线参数方程几何意义由得，最后将直线参数方程代入，利用韦达定理得关于的方程，解得的值.试题解析: （Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，由曲线的极坐标方程为,∴∴,即曲线的直角坐标方程.（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知，又由可得，即或∴当时，有，符合题意．当时，有，符合题意．综上所述，实数的值为或．20. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级的对应关系，如下表所示（假设该区域空气质量指数不会超过）：级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年某天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校年月、、日将作为高考考场，若这三天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这三天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）110（2）见解析【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为（天）．（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，，，，则：，．的分布列为（元）．21. 已知抛物线的焦点为椭圆：的右焦点，点为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）借助题设条件，运用直线与椭圆的位置关系，通过研究坐标之间的关系进行分析探求：(1)由已知可得的焦点坐标为，设，则，解得，所以，由点在椭圆上，得，即，又，解得，所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为，由，得，则，，当时，直线的方程为，由，得.即，所以，所以，设，则，则，由于，在上为增函数，，则，当时，的中点为，则，，综上，，故的取值范围是.点睛：椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高中数学的重要知识点与高考的必考考点。

2021-2022学年陕西省榆林市第十中学高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年陕西省榆林市第十中学高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．从分别标有数字1､2､3､…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和为8的概率是（） A ．121B ．27C ．17D ．114【答案】C【分析】根据两张卡片和为8的情况有：1与7；2与6；3与5共3种情况，总的情况有27C 种，由古典概率公式可得选项.【详解】两张卡片和为8的情况有：1与7；2与6；3与5共3种情况，总的情况有27C 种，所以27317P C ==，故选：C.2．在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项是第（）项.A ．3B ．5C ．4D ．6【答案】B【分析】由通项化简，根据x 的指数等于0可得.【详解】621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中第1r +项()621231661C C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭由1230r -=可得4r =，所以常数项为展开式中的第5项. 故选：B3．6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（） A ．720 B ．360 C ．240 D ．120【答案】C【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.【详解】先将甲､乙两人排成一排共222A =种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有55120A =种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有2120240⨯=种排法.故选：C4．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是 A ．481B ．881C ．427D ．827【答案】D【详解】分析：利用二项分布的概率计算公式：概率222422133P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可得出．详解：：∵每次投篮命中的概率是23，∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率22242281.3327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是827．故选D.点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题． 5．下列说法错误的是（）A ．在回归直线方程ˆ0.85 2.3yx =-+中，y 与x 具有负线性相关关系 B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =-中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小【答案】D【分析】根据回归方程的性质，相关系数的性质判断A ，B ，C ，再由独立性检验的知识判断D.【详解】因为回归直线方程ˆ0.85 2.3yx =-+的斜率为负数，所以y 与x 具有负线性相关关系，A 对，由相关系数性质可得相关系数的绝对值就越接近于1，线性相关性越强，B 对，因为回归直线方程为0.2.8ˆ0y x =-，所以当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy平均增加0.2个单位，C 对，对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，D 错，故选：D.6．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 7．已知51ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为243，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．-2【答案】B【分析】运用代入法进行求解即可.【详解】令1x =，则()51243132a a a +=⇒+=⇒=，故选：B8．设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E (η)等于（）A ．76 B ．176C ．173D ．323【答案】D【解析】先求E (ξ)，进一步求出E (η).【详解】E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323.故选：D.9．某校共有500名高二学生，在一次考试中全校高二学生的语文成绩X 服从正态分布()()2110,0>N σσ，若()1001100.3≤≤=P X ，则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为 A ．70 B ．80 C ．90 D ．100【答案】D【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布()2110,N σ，得到考试的成绩关于110ξ=对称，根据()1001100.3P ξ≤≤=，得到()1200.2P ξ≥=根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数.【详解】考试的成绩ξ服从正态分布()2110,N σ，∴考试的成绩关于110ξ=对称，()1001100.3P ξ≤≤=，()()()112010010.320.22P P ξξ∴≥=≤=-⨯= ∴该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为0.2500100⨯=，故选D.【点睛】本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.10．不等式288A 6A x x -<⨯的解集为（）A ．[]28,B ．()7,12C ．{712,}xx x N <<∈∣ D ．{}8 【答案】D【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.【详解】因为288A 6A x x -<⨯，所以88!6(8)!(10)!x x <⨯--！，所以(10)(9)6x x --<，所以(7)(12)0x x --<，又28x ≤≤，x ∈N ，所以8x =，所以不等式288A 6A x x -<⨯的解集为{}8，故选：D.11．二项式42(12)x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数是-70，则实数a 的值为（）A ．-2B ．2C ．-4D ．4【答案】D【分析】先得出4(12)x -的展开式的通项公式，然后分别求出4(1)22x -⨯展开式中3x 项的系数和4(12)x x a⨯-展开式中3x 项的系数，从而可得答案.【详解】由4442(12)(122)(12)x x x x x a a =⨯⎛⎫---⨯- ⎝⎭-⎪4(12)x -的展开式的通项公式为()()14422rrrr r r T C x C x +=-=-，0,12,3,4r =，所以4(1)22x -⨯展开式中3x 项的系数是()3342264C ⨯-=- 4(12)x x a ⨯-展开式中3x 项的系数是()2241242C a a⨯-= 所以246470a--=-，解得4a = 故选：D12．下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =； ④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+. A ．①②③ B ．②③④ C ．②③ D ．①③【答案】A【解析】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.【详解】解：命题①：设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；命题②：∵ξ服从正态分布()22,N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =，()()()40.9400.1P X P X P X <=⇒>=<=， ()()02240.4P X P X ∴<<=<<=，正确；命题③：设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()()34443!43,44P AB P B ⨯⨯==，所以()()()29P AB P A B P B ==，正确；命题④：()()2323E X E X +=+正确，()()232D X D X +=错误，应该为()()234D X D X +=，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等；若命题正确，则应能给出证明；若错误，则应能给出反例. 二、填空题13．5名同学排成一排，若甲只能站在最左端，则不同的排法种数为_______.（用数字作答）【答案】24【分析】先排甲，再排余下的同学，由分步乘法计数原理求总排法数即可. 【详解】满足条件的排法可分两步实现，第一步，先排甲，有1种排法，第二步，排余下4位同学，有44A 种排法，所以满足条件的排法共有24种，故答案为：24.14．()61x +的展开式中所有二项式系数的最大值是_____（用数字作答）．【答案】20【分析】由题意利用二项式系数的性质，得出结论．【详解】解：6(1)x +的展开式中，所有二项式系数的最大值是3620C =，故答案为：20．15．若关于实数x 的不等式53x x a -++>解集为R ，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,8)-∞【分析】由已知不等式()min 53x x a -++>，再由绝对值三角不等式求()min53x x -++，由此可得a 的取值范围.【详解】因为不等式53x x a -++>解集为R ，所以()min 53x x a -++>，又53538x x x x -++≥---=，当且仅当35x -≤≤时等号成立，所以()min 53=8x x -++，所以实数a 的取值范围是(,8)-∞，故答案为：(,8)-∞.16．现要从抗击疫情的5名志愿者中选3名志愿者，分别承担“防疫宣传讲解”、“站岗执勤”和“发放口罩”三项工作，其中志愿者甲不能承担“防疫宣传讲解”工作，则不同的选法有_____种．（结果用数字作答）【答案】48【分析】根据分步乘法原理求解即可. 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①对于“防疫宣传讲解”，甲不能承担该工作，有4种情况， ②对于“站岗执勤”，在剩下4人选择1人即可，有4种情况， ③对于“发放口罩”，在剩下3人选择1人即可，有3种情况，则有44348⨯⨯=种不同的选法；故答案为：48．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{[)()cos 3sin 0,2x y θθθπ==∈，曲线2C 的参数方程为122(x t t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)． ()1求曲线1C ，2C 的普通方程；()2求曲线1C 上一点P 到曲线2C 距离的取值范围．【答案】(1) 2219y x +=0y ++=. （2）[0,.【分析】（1）利用平方和代入法，消去参数,t θ，即可得到曲线12,C C 的普通方程；（2）由曲线1C 的方程，设(cos ,3sin )P αα，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解．【详解】（1）由题意，cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），则cos sin 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，平方相加，即可得1C ：22y x 19+=，由122(32x t t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），消去参数，得2C ：()y 3x 2=-+，即3x y 230++=.（2）设()P cos α,3sin α，P 到2C 的距离3cos α3sin α23d 2++=π23sin α2362⎛⎫++ ⎪⎝⎭=， ∵[)α0,2π∈，当πsin α16⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即πα3=，max d 23=，当πsin α16⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即4πα3=，min d 0=.∴取值范围为0,23⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，其中解答中合理利用平方和代入，正确化简消去参数得到普通方程，再利用椭圆的参数方程，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．18．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】（1）4960；（2）分布列见解析，()65E X =．【详解】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．随机变量X 的分布列为X123X随机变量X 的数学期望．19．某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这件服装件数x （件）之间有如下数据：服装件数x （件）3456789某周内获纯利y （元） 66 69 73 81 89 90 91(1)求,x y ；(2)若纯利y 与每天销售这件服装件数x 之间是线性相关的，求回归方程；（保留2位小数）(3)若该店每天至少要获利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？【答案】(1)6x =，6797y =；(2)回归方程为ˆ 4.7551.36yx =+； (3)若该店每天至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件.【分析】(1)根据平均数公式求,x y ；(2)利用最小二乘法公式求回归方程；(3)根据回归方程，进行预测即可.【详解】(1)服装件数的平均数()1345678967x =++++++=，纯利的平均值()16666973818990917977y =++++++= (2)由已知可得71366469573681789890991=3487i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑，72222222213456789280i i x==++++++=∑，27252x =，73354x y ⋅=，纯利y 与每天销售这件服装件数x 之间的回归方程为ˆˆˆybx a =+，由最小二乘法可得7172217348733544.752802527ˆi ii ii x y x ybxx ==-⋅-===--∑∑，61ˆˆ=792851.3672ay bx =--≈，所以纯利y 与每天销售这件服装件数x 之间的回归方程为ˆ 4.7551.36yx =+ (3)由(2)可得当ˆ200y=时，200 4.7551.36x =+，所以31.29x ≈，所以若该店每天至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件. 20．已知函数()|24||1|f x x x =-++，x ∈R ．（1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++．【答案】（1）803x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析．【分析】（1）先将函数解析式写成分段函数的形式，分2x >，12x -≤≤，1x <-三种情况，求解不等式，即可得出结果；（2）根据函数单调性，确定()f x 的最小值，得到223a b +=，再由22222211111[(2)(1)]21216a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯ ⎪++++⎝⎭展开后利用基本不等式即可求出最小值，从而可得结论成立.【详解】（1）易知33,2()2415,1233,1x x f x x x x x x x ->⎧⎪=-++=--≤≤⎨⎪-+<-⎩，因为()5f x ≤，所以2335x x >⎧⎨-≤⎩，或1255x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1335x x <-⎧⎨-+≤⎩ 所以823x <≤，或02x ≤≤，或∅，所以803x ≤≤，所以不等式的解集为803x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）由（1）知33,2()2415,1233,1x x f x x x x x x x ->⎧⎪=-++=--≤≤⎨⎪-+<-⎩，所以()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴()f x 的最小值为(2)3M f ==，所以223a b +=，所以22222211111[(2)(1)]21216a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯ ⎪++++⎝⎭22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭12263⎛≥+⨯= ⎝，当且仅当22221221b a a b ++=++，即21a =，22b =时取等号．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.(1)若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？(2)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(1)3个人中至少有2个人接受挑战的概率是12；(2)没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”.【分析】(1) 设3个人中接受挑战的人数为ξ，求出ξ的分布列，根据分布列求事件3个人中至少有2个人接受挑战概率；(2) 根据22⨯列联表，得到2K 的观测值，与临界值比较，即可得到结论.【详解】(1)设3个人中接受挑战的人数为ξ，则随即变量ξ的所有可能值为0，1，2，33031(0)C 281P ξ⎛⎫ ⎪===⎝⎭，3133(1)C 281P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 3233(2)C 281P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3331(3)C 281P ξ⎛⎫ ⎪===⎝⎭ ∴随即变量ξ的分布列是事件3个人中至少有2个人接受挑战可表示为2ξ≥，又311(2)882P ξ≥=+=，所以事件3个人中至少有2个人接受挑战的概率为12，(2)假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关，根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为：()2210045152515 1.78660407030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为1.786 2.706<，2( 2.706)0.1P K ≥=，所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”.22．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（I ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．【答案】（Ⅰ）分布列见解析，期望为2312；（Ⅱ）16【详解】试题分析：解：（1）ξ的可能取值为0，1，2，31111(0)43224P ξ==⨯⨯=;3111211111(1)4324324324P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=; 32112131111(2)43243243224P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;3211(3)4324P ξ==⨯⨯=ξ∴的分布列为1111123()012324424412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B则32132123331211211211()()4324334333P A C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 11231211()()43318P AB C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭ ∴1()118(|)1()63P AB P B A P A === 【解析】分布列及其数学期望；概率点评：求随机变量的分布列和数学期望是常考题型，解决这种题目关键是求出随机变量对应的概率．。

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