苏教版第九章-中心对称图形知识点
第九章中心对称图形----平行四边形
§9.1 图形的旋转
1、旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
2、旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
3、利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
§9.2 中心对称与中心对称图形
【知识点总结】
1、中心对称的概念
一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个
图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。
这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
例1：如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是关于点O成中心对称的两个图形，试找出它们的对应顶点和对应边。
2、中心对称的性质
一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心
对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，
且被对称中心平分。
例2:如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是成中心对称的两个图形，试找出它们的对称中心。
3、中心对称图形的定义及其性质
把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
例3：任意一条线段是中心对称图形吗？如果是，那么它的对称中心是什么？
4、轴对称图形与中心对称图形的对比
轴对称图形中心对称图形
图形沿对称轴对折（翻折180°）后重合图形绕对称中心旋转180°重合
对称点的连线被对称轴垂直平分对称点的连线经过对称中心，且别
对称中心平分
§9.3 平行四边形
【知识点总结】
1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形
的对角线互相平分。
3、判定平行四边形的条件
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
4、反证法：
反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。
§9.4 矩形、菱形、正方形
【知识点总结】
1、矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。
矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2、判定矩形的条件
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
3、平行线之间的距离及其性质
性质：两条平行线之间的距离处处相等
4、菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平
行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有
一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相
垂直。
5、判定菱形的条件
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
6、正方形的概念、性质和判定条件
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。
它具有矩形和菱形的一切性质。
判定正方形的条件：
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
【误区警示】
误点1 对特殊的平行四边形的性质、判定条件掌握不透彻，导致错误
误点2 不能根据条件画出符合要求的所有的图形，导致错误
§9.5 三角形的中位线
1、三角形中线的概念和性质
连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线平行且等于第三边的一半。
2、三角形的中位线与中线的区别
（1）区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。
（2）联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。
【典例展示】
误点1 不能灵活掌握中位线性质，导致错误
误点2 不能掌握中点四边形的特点，导致错误。
2014下苏教版8年级数学第九章(中心对称图形)讲义及答案
8年级下学期数学讲义05 ( 第九章中心对称图形)知识点：9.1 图形的旋转1.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
9.2 中心对称和中心对称图形2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
9.3 平行四边形3.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。
4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
9.4 矩形、菱形、正方形5.矩形的四个角都是直角，对角线相等。
三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。
6.菱形的四条边相等，对角线互相垂直。
四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
7.有一组领边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。
9.5 三角形的中位线8.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
9.1 图形的旋转试题1．（2013•南昌）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．85°D．90°2．（2013•河池）如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（）A．5对B．4对C．3对D．2对3．（2011•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（）A．45°B．30°C．25°D．15°4．（2009•漳州）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2008•庐阳区）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为___________．7．（2013•吉林）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___________度．8．（2008•厦门）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，则DE=___________cm，△ABC的面积=___________cm2．9．（2011•珠海）如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．10．（2006•三明）已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D在AC上，将△BDC绕点D按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），使△BDC与△ADE重合（如图所示）．（1）求角α；（2）说明四边形EBCD是等腰梯形．9.2 中心对称和中心对称图形试题1．（2013•黔西南州）在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2013•抚顺）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2010•连云港）下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．①②B．②③C．②④D．①④4．把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组：①FRPJLG□②HIO□③NS□④BCKE□⑤VATYWU□，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z请你按原规律补上，其顺序依次为（）A．Q XZMD B．D MQZX C．Z XMDQ D．Q XZDM5．下列的正方体的平面展开图中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2011•曲靖）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距___________公里．7．（1997•安徽）如右图，线段AB关于点O（不在AB上）的对称线段是A′B′；线段A′B′关于点O′（不在A′B′上）的对称线段是A″B″．那么线段AB与线段A″B″的关系是___________．8．（2012•广陵区二模）如下图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是___________．9．（1）已知实数a，b满足a（a+1）-（a2+2b）=1，求a2-4ab+4b2-2a+4b的值．（2）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长？10．已知：如图所示，E是等腰梯形一腰CD的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：S梯形ABCD=AB•EF．9.3 平行四边形试题1．（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．A B∥DC，AD∥BC B．A B=DC，AD=BC C．A O=CO，BO=DO D．A B∥DC，AD=BC 2．（2013•乐山）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则▱ABCD的周长为（）A．5B．7C．10 D．143．（2013•湖北）若平行四边形的一边长为2，面积为4根号6，则此边上的高介于（）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间4．（2012•包头）如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．2S1=S25．（2009•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．12 D．246．（2012•眉山）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF=___________．7．（2011•天津）如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于___________．8．（2010•海南）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，∠BCD的平分线交AD于点E，则DE=___________cm．9．（2013•玉溪）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF=CE．10．2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．11．（2012•永州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．9.4 矩形、菱形、正方形试题1．（2013•淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°2．（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．133．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相平分4．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12√3 D．16√35．（2012•西宁）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（）A．45°B．120°C．60°D．90°6．（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___________．7．（2013•赤峰）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为___________cm．8．（2013•盐城）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．（1）求证：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．9．（2013•聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．10．．（2013•晋江市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．9.5 三角形的中位线试题1．（2013•西宁）如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为（）A．2B．4C．6D．82．（2013•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）A．9B．10.5 C．12 D．153．（2012•丹东）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm4．（2011•安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10 D．115．（2013•安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．6．（2010•沈阳）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形．7．（2008•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为AB、CD的中点．连接AF并延长，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADF≌△GCF；（2）若EF=7.5，BC=10，求AD的长．答案9.11，解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C．2，解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．故选：B．3，解：由旋转的性质可知，AC=AC′，又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，所以，∠CC′A=45°．∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，∴∠CC′B′=15°．故选D．4，解：根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，即∠AOC=80°，又∵∠A=110°，∠D=40°，∴∠DOC=30°，则∠α=∠AOC-∠DOC=50°．故选C．5，解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置∴∠BCB′=∠ACA′=20°∵AC⊥A′B′，∴∠BAC=∠A′=90°-20°=70°．故选C．6，解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=3.6，∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．故答案为：1.6．7，解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=40°，在△ABB′中，∠ABB′=1/2（180°-∠BAB′）=1/2（180°-40°）=70°，∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB，∴∠BB′C′=90°-∠ABB′=90°-70°=20°．故答案为：20．8，解：∵点G是△ABC的重心，∴DE=GD=1/2GC=2，CD=3GD=6，∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE，∵CD为△ABC的中线，∴S△ACD=S△BCD，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2×1/2×BG×CD=18cm2．填：2，18．9，（1）解：∵∠ABC=120°，∴∠CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°，∴旋转角为60°；（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB，∠C=∠C1，由（1）知，∠ABA1=60°，∴△A1AB是等边三角形，∴∠BAA1=60°，∴∠BAA1=∠CBC1，∴AA1∥BC，∴∠A1AC=∠C，∴∠A1AC=∠C1．10，解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵△BDC与△ADE重合，∴∠DBC=∠A=36°，∠AED=∠C=72°，∴∠ADE=∠BDC=180°-（72°+36°）=72°，∴α=180°-∠BDC=180°-72°=108°．（2）由（1）∠ADE=∠C=72°，∴DE∥BC，又BE与CD不平行，∴四边形EBCD是梯形，∵∠ABC=∠C=72°，∴四边形EBCD是等腰梯形．9.21，解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．故选：B．2，解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选A．3，解：由正多边形的对称性知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．4，解：①不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q；（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．故选D．5，解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、是中心对称图形，不是轴对称图形；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形；D、不是中心对称图形，是轴对称图形．故选A．6，解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，∴他们两家相距：4公里．故答案为：4．7，解：中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是：平行且相等．故线段AB与线段A″B″的关系是：平行且相等．故答案为：平行且相等．8，解：如图，把标有数字3的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故答案为3．9，解：（1）∵a（a+1）-（a2+2b）=1，∴等式变形得：a-2b=1；原式=（a-2b）2-2（a-2b）=12-2=-1；（2）设AC=x，AB=2x，BB′=4x，在Rt△ABC中AB2=AC2+BC2，∴（2x）2=x2+12，解得：x=±√3/3（负数舍去），∴AB=2×√3/3=2√3/3，∴BB′=4√3/3．10，证明：如图，连接AE交BC的延长线于G点，连接BE，∵AD∥CG，∴∠D=∠ECG，在△ADE和△GCE中∠D=∠ECG；DE=EC；∠DEA=∠CEG∴△ADE≌△GCE（ASA），∴AE=GE，∴可得：S△ABG=S梯形ABCD=2S△ABE=AB×FE．9.31，解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；故选D．2，解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥=AB，AD∥=BC，∵E为CD的中点，∴DE为△FAB的中位线，∴AD=DF，DE=1/2AB，∵DF=3，DE=2，∴AD=3，AB=4，∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）=14．故选D．3，解：根据四边形的面积公式可得：此边上的高=4√6÷2=2√6，2√6介于4与5之间，则则此边上的高介于4与5之间；故选B．4，解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中；AD=BC，AB=CD，BD=DB∴△ABD≌△CDB，即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．故选C．5，解：通过观察结合平行四边形性质得：S阴影=1/2×6×4=12．故选C．6，解：如图，∵AE平分∠DAB，∴∠1=∠2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2=∠3，∠1=∠F，又∵∠3=∠4（对顶角相等），∴∠1=∠3，∠4=∠F，∴AD=DE，CE=CF，∵AB=5，AD=3，∴CE=DC-DE=AB-AD=5-3=2，∴CF=2．故答案为：2．7，解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为15．8，解：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，DC=AB，∴∠DEC=∠BCE，又CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∴∠DCE=∠DEC，即DE=DC=AB=6cm，故此题应填6．9，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE=CF．∴四边形AECF是平行四边形．∴AF=CE．10，（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵在△ADE与△BFE中，∠1=∠2，∠DEA=∠FEB，AE=BE∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE．由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF．11，证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠C，∵GF=GC，∴∠GFC=∠C，∴∠GFC=∠B，∴AB∥GF，又∵AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形．9.41，解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．故选B．2，解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=1/2BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=1/2AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选C．3，解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．4，解：如图，连接BE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°，∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°-60°=60°，在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2√3，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2√3×8=16√3．故选D．5，解：将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，即∠AOB是旋转角，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO=∠ABO=45°，∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，即旋转角是90°，故选D．6，解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE=√62+82=10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．7，解：设AB=x，则可得BC=10-x，∵E是BC的中点，∴BE=1/2BC=10−x/2，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+（10−x/2）2=52，解得：x=4．即AB的长为4cm．故答案为：4．8，证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠EAD；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB，∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴AB=AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．9，证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，在△BCF和△CDE中，∠BCF=∠D，∠CBE=∠BFC=90°，BC=CD，∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．10，证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵在△ABF和△CBE中，AF=CE，∠A=∠C，AB=CB，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF=BE．9.51，选A．2，解：∵E和F分别是AB和CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=1/2（AD+BC），∵EF=6，∴AD+BC=6×2=12．故选C．3，解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO，又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=1/2AB=1/2×6=3cm．故选A．4，解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC=√BD2+CD2=5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG=1/2BC=EF，EH=FG=1/2AD，∵AD=6，∴EF=HG=2.5，EH=GF=3，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（2.5+3）=11．故选D．5，（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2√3，∴菱形的面积为4×2√3=8√3．6，证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点∴AE=1/2AB，AF=1/2AD （2分），又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴AE=AF （4分），又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴O为BD的中点，∴OE，OF是△ABD的中位线．（6分）∴OE∥AD，OF∥AB，∴四边形AEOF是平行四边形（8分），∵AE=AF，∴四边形AEOF是菱形．7，（1）证明：∵AD∥BC，（AD∥BG）∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．（2分）∵DF=CF，∴△ADF≌△GCF．（4分）（2）解法一：由（1）得△ADF≌△GCF，∴AF=FG，AD=CG．（5分）∵AE=BE，∴EF为△ABG的中位线．∴EF=1/2BG．（6分）∴BG=2×7.5=15．（7分）∴AD=CG=BG-BC=15-10=5．（8分）。
八年级数学下册 9.2 中心对称与中心对称图形 中心对称
中心对称与中心对称图形知识点运用一、基础知识归纳1.中心对称与中心对称图形的意义中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做对称中心．中心对称图形：把一个图形绕着中心旋转1800后能与自身重合，我们把这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心.2.中心对称与中心对称图形的区别与联系（1）区别：①图形个数不同．中心对称涉及两个图形，是指两个全等图形之间的相互位置关系；而中心对称图形只对一个图形而言，是指具有特殊形状的一个图形．②对称点位置不同．成中心对称的两个图形中，其中一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之亦然；而中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上，（2）联系：①如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形是中心对称图形．②如果把一个中心对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们是中心对称．二、知识运用例1、已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于O点对称.分析：要画四边形ABCD关于点O的对称图形，只要画A、B、C、D四点关于点O的对称点，再顺次连接各点即可.画法：1、连接AO并延长到A'，使OA'=OA得到点A的对称点A'（如图1）.图12、同样画B、C、D的对称点B'、C'、D'3、顺次连接A'、B'、C'、D'各点,四边形A′B′C′D′就是所求的四边形小结：从本例可看出，画与已知图形成中心对称的图形的问题，思路较为简捷，只需画出多边形的各个顶点关于点O的对称点，也就是将问题转化为点关于点的对称点问题.例2、下列说法：（1）全等的两个图形成中心对称；（2）成中心对称的两个图形必须重合；（3）成中心对称的两个图形全等；（4）旋转后能够重合的两个图形成中心对称，其中说法正确的序号是____________．分析：本题主要考查中心对称的概念、性质和判定，由中心对称的判定知，全等的两个图形不一定成中心对称，故（1）错；成中心对称的两个图形旋转1800后能重合，但未旋转时它们不是必须重合，故（2）错；旋转后能重合的两个图形，也不一定成中心对称，关键是要旋转1800后能重合，故4）错；由中心对称的性质知（3）对．［答案］（3）小结：解此题易出现下列思维障碍：①中心对称与中心对称图形不分；②不会灵活运用中心对称的判定和性质．排除障碍采取下列方法：①熟悉定义，中心对称是针对两个图形而言，中心对称图形是一个图形内部的性质；②深刻理解中心对称的判定和性质，分清定理的条件和结论．熟能生巧．例3、如图2：在△ABC中，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，则S△DEF与S△ADE +S△BDF的大小关系为 .图2分析：利用图形转换，作△ADE关于D点的对称图形.解：将△ADE绕D逆时针旋转1800到△BDH ，则H、D、E共线，且D是EH中点，四边形HBFD是凸四边形，于是S△DEF =S△DHF < S四边形HBFD=S△BDH+S△BDF=S△ADE+S△BDF例4、已知：图A，图B分别是6×6正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别是S A，S B（网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请观察图形并解答下列问题．（1）填空：S A:S B的值是________________；（2）请在图C的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形．分析（1）因为每张图的上、下成轴对称图形，所以只要数出每张图的上半部的阴影部分占有格子的数目即可．图A为9格，图B为11格，故S A:S B=9:11；（2）图3为参考答案．小结：利用轴对称、中心对称设计图案是十分有趣的实践活动．本题给了学生充分发挥主动性和创造性的机会，让他们有创意地设计漂亮的图案，真切地感受图形变换的乐趣和数学的美感，同时也考查了数学的基础知识．图3。
中心对称图形复习(1)课件全面版
条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行
四边形的选法有（ B ）种.
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
已知平行四边形两条邻边的高分别是6cm和4cm
它们的周长为40cm,则它的面积为-------( C )
A.12cm2 B.24cm2 C.48cm2 D.72cm2
如图平行四边形ABCD的对角线相交于点O，
菱形，那么原来的四边形的对角线
（ C）
A、互相平分
B、互相垂直
C、相等
D、相等且互相平分
例题讲解 2.已知:如图,E为正方形ABCD的边BC的中
点,AE平分∠BAF.
求证:AF=BC+CF.
D
FC
D
FC
G
G
E
E
A
B
A
B
例题讲解
3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且
AD＞BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出
直线EF过点O分别交BC、AD于点E、F，G、
H分别为OB、OD的中点,四边形EHFG是平
行四边形吗？
AF 2D
H
O
1G
B
EC
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点所得的
四边形是
（ C）
A、平行四边形
B、矩形
C、
菱形
D、正方形
如果顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是
若一个平行四边形的一边长是8,一条对角 线 长是6,则另一条对角线a的取值范围 是_1_0_＜_a_＜__2_2 _.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平行四边形ABCD周长为16cm,AC、BD相交 于点O, OE⊥AC交AD于E,则△DCE的周长 是_8_c_m___
苏教版八年级下册数学[中心对称与中心对称图形--知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中心对称与中心对称图形--知识讲解【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称【388635：中心对称与中心对称图形的区别与联系】1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：要点诠释：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称和中心对称图形【388635：例3及练习】1.（2015春•鄄城县期末）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】中心对称的两个图形全等，则①②④正确；对称点到对称中心的距离相等，故③正确；故①②③④都正确．故选D．【总结升华】中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.举一反三【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【388635：经典例题2】2. 我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.【答案与解析】【总结升华】线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是重要的几种对称几何图形，要了解其性质特点更要熟记.类型二、作图3.（2016•聊城）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．【思路点拨】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．【答案与解析】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．举一反三【388635：例5及练习】【变式】如图①， 1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．【答案】图①：13O O 或24O O 或AC 或BD;图②：5O M 或4O A类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明4.已知：如图，三角形ABM 与三角形ACM 关于直线AF 成轴对称，三角形ABE 与三角形DCE 关于点E 成中心对称，点E 、D 、M 都在线段AF 上，BM 的延长线交CF 于点P ． （1）求证：AC=CD ；（2）若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案． 【答案与解析】（1）证明：∵△ABM 与△ACM 关于直线AF 成轴对称， ∴△ABM ≌△ACM ， ∴AB=AC ，又∵△ABE 与△DCE 关于点E 成中心对称，1o 2o3o 4oCB D A 图① 图② 1o 2o 3o 4o 5o A BC E D∴△ABE ≌△DCE ， ∴AB=CD ， ∴AC=CD ；（2）解：∠F=∠MCD ．理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE ，∠CMA=∠BMA ， ∵∠BAC=2∠MPC ，∠BMA=∠PMF ，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α， 设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β， ∴∠F=∠CPM ﹣∠PMF=α﹣β， ∠MCD=∠CDE ﹣∠DMC=α﹣β， ∴∠F=∠MCD ．【总结升华】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键． 举一反三【 388635：例4及练习】【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】4.。
(完整版)苏科版八年级下册第九章中心对称图形章节知识点§9.1~9.5,推荐文档
例2图
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
A. B. C. D.
顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所后的图案。
BC 绕点B
.O 建议收藏下载本文，以便随时学习！
是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形
A.．．．
例5图A.．．．
A．．
．．
：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
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A.．．．
上。
图形中除了□ABCD外，
例1图
例3
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的周长相等，且∠BAD=60°，
的位置，并要求扩建后的鱼塘为一个平行四边形。
请问小飞家能实现这个梦想吗？如能，请你设计并画
例3图
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AC于点F
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上的一个动点，例8图
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苏教版九年级数学上册《中心对称图形》课件(共28张PPT)
转过120°时,传送 带上的物体A平移
A
的距离为______.
例2.小红准备自己动手用纸板制作圆锥 形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半 径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他 们计算制作一个这样 的生日礼帽需要纸板 的面积为_________.
.9cm
练习
如图有一圆锥形粮堆,其正视图为
边长是6m的正三角形ABC,粮堆
·2
r = nr
180 n r 2
扇形的面积公式为： S=
360
因此扇形面积的计算公式为
S=
n r 2 或 S= 360
1 2
lr
知识梳理
十、圆锥的侧面积和全面积 P
l h
A
O
B
r
l2 h2r2
典型例题
例1 扇形AOB的半径为12cm,
∠AOB=120°,求AB的长和扇形
的面积及周长.
例2 如图,当半径为30cm的转动轮
(7)BC=CD
(8)S四边形ABCD=AC·BD/2 (9)△ABC≌△ADC (10)AB2+CD2=BC2+DA2
典型例题
内含 相交
外离
八、圆与圆的位置关系
0 R－r
R＋r
内切
外切
名称 公共点 两圆位置 圆心距和半径的关系
一圆在另一
外离 0
圆的外部
d>R+r
外切
1
一圆在另一
圆的外部
d=R+r
线的距离d 称
圆的交
与圆的半
点个数
径r的关系
d﹥r
——
0
d=r
切线
1
d﹤r
割线
苏教版八年级下册 第9章：中心对称图形～平行四边形重难点题型训练 【含答案】
苏教版八年级下册第9章：中心对称图形——平行四边形重难点题型训练1．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）如图2，延长BC和DE相交于点G，不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．（除四边形ABCD和四边形OCED外）2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE．（1）求证：AF＝EF；（2）已知AB＝2，若AB＝2DE，求AE的长．3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．4．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF 的周长．5．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．6．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝，求▱ABCD的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．8．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、平行四边形时，相应的四边形EFGH一定是“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：四边形ABCD菱形矩形平行四边形四边形EFGH （2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？当 时，四边形EFGH是矩形；当 时四边形EFGH是菱形．9．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是点M、N（1）求证：AE＝MN；（2）若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．10．如图，△ABC≌△DBC，AD平分∠BAC，AD交BC于点O．（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若∠AFO＝∠ADC，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．（1）若BF⊥AE，①求证：BF＝AE；②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）14．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．15．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：△AEF≌△DEC；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，OC＝AC，∵DE＝AC，∴OC＝DE，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD；（2）图中所有的平行四边形有：四边形AOED，四边形ACGD，四边形OBCE．由AO DE可得四边形AOED是平行四边形；由AC∥DG，AD∥CG可得四边形ACGD是平行四边形；由OE∥BC，OB∥CE可得四边形OBCE是平行四边形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，∵2DE＝AC，∴DE＝OA，又∵DE∥AC，∴四边形OADE是平行四边形，∴AF＝EF；（2）解：连接CE，∵DE∥OC，DE＝OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∴∠OCE＝90°，又∵AB＝2DE＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，AO＝AC＝1，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝，∴在Rt△ACE中，AE＝＝．3．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（2）解：由BE＝AB，∠BEA＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB＝AE＝4，又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，∴BF＝＝2，∵∠DAE＝∠E，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝×4×2＝4．4．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，又∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴BD＝EF＝BF＝ED，又∵BD＝CD＝6，∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．5．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+EC）•GF＝（5+）×＝36．7．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO＝∠AOC＝90°，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴AH＝OE＝2，∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，，∴Rt△AHE≌Rt△OEF，∴∠AEH＝∠EFO，∵∠EFO+∠FEO＝90°，∴∠AEH+∠FEO＝90°，∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接EG交FH于K．∵HE＝EF，∴AH2+AE2＝EO2+OF2，∴AH2+16＝4+25，∴AH＝，∴H（﹣，6），∵KH＝KF，∴K（﹣，3），∵GK＝KE，∴G（﹣5﹣，4）．8．解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形；故答案为：矩形；菱形；平行四边形；（2）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．故答案为：对角线互相垂直（AC⊥BD）；对角线相等（A C＝BD）．9．（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM＝∠CME＝∠CNE＝90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN＝CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠CBE．在△ABE和△CBE中∵，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE＝EC．∴AE＝MN．（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE＝2，∠DAE＝30°，∴EF＝AE＝1，AF＝AE•cos30°＝2×＝．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF＝45°，∴DF＝EF＝1，∴AD＝AF+DF＝+1，即正方形的边长为+1．10．（1）证明：∵△ABC≌△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD，∴∠BAD＝∠BDA，∠CAD＝∠CDA，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∠ADC＝∠ADC，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵∠AFO＝∠ADC＝∠ADB，又∵∠AFO+∠EFO＝180°，∴∠EFO+∠EDO＝180°，∴∠FED+∠FOD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD⊥BC，∴∠FEO＝∠FOD＝90°，∵BE＝ED，∴AB＝AD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠EBF＝∠ABD＝30°，在Rt△BEF中，BF＝2EF，∵∠FBA＝∠FAB＝30°，∴FA＝FB，在Rt△AFC中，CF＝2AF＝4EF，综上所述，长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF，AF，CF．11．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；（2）存在，t＝4或12；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10解得：t＝4或12∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．12．解：（1）①如图1①，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE；②OD＝AB．证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，∵△ABE≌△BCF，∴BE＝CF．∵E为BC的中点，∴CF＝BE＝BC＝DC，∴CF＝DF．∵DG∥BC，∴∠DGF＝∠CBF．在△DGF和△CBF中，，∴△DGF≌△CBF，∴DG＝BC，∴DG＝AD．∵BF⊥AE，∴OD＝AG＝AD＝AB；（2）①若点F在CD上，如图2①，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠AOB＝90°．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2．∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BO，∴BO＝＝＝．②若点F在AD上，如图2②，在Rt△ABE和Rt△BAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），∴∠BAE＝∠ABF，∴OB＝OA．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠AEB＝∠EBF，∴OB＝OE，∴OA＝OB＝OE．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2，∴OB＝AE＝．综上所述：BO的长为或．13．（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝∠ADC，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠M，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE和△DME中，∴△ABE≌△DME（AAS），∴AB＝DM＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝CD＝3，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．14．（1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，∵DE＝FB，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵DE＝EF＝BF，AE⊥BD，∴AD＝AF＝2，∴BD＝＝＝2，∴BF＝BD＝．15．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（AAS）；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形；∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形．。
八年级数学下册第9章平行四边形：中心对称与中心对称图形pptx课件新版苏科版
连接；
知3－讲
(2)延长：将以上连线延长找对称点，使得对称点 与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
(3)连接：将对称点按原图形的形状顺次连接起来， 即可得出关于对称中心对称的图形 .
知3－讲
特别提醒 作一个图形关于某点成中心对称的图形，要运用中心
2. 中心对称与轴对称的关系
知1－讲
中心对称
轴对称
有一个对称中心
有一条对称轴
区别
图形绕对称中心旋转 180°
图形沿对称轴折叠
旋转后与另一个图形 折叠后与另一个图形
重合
重合
相同点
都是两个图形之间的关系，并且变换前、后 的两个图形全等
知1－讲
特别解读 1. 中心对称是特殊的旋转，其旋转角为180° . 2. 中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形. 3. 中心对称的两个图形，只有一个对称中心 . 这个对称中
心可能在图形的外部，也可能在图形的内部或边上 .
知1－练
例 1 [月考·扬州] 北京 2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩” 成为了互联网的“顶流”，它呆萌的形象受到了人 们的青睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选 出能够和如图9.2-1所示的图片成中心对称的是( )
解题秘方：紧扣中心对称的定义求解．
知2－讲
2. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，
则该中点为对称中心； 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点
就是对称中心 .
特别解读
知2－讲
1. 由性质可以得到如下结论：
(1)对称中心在一对对称点的连离相等 .
2. 全等的图形不一定成 中心对称，而成中心对称的两个图
苏科版数学八年级下册第9章中心对称图形——平行四边形教材解读
教材解读八年级下册第9章中心对称图形——平行四边形一、本章的地位与作用本章是在小学已学过四边形的一些初步知识以及在七年级学习过“平面图形的认识（一）”、“平面图形的认识（二）”、“证明”，八年级刚学习过“轴对称图形”及“图形的全等”的基础上来学习的，从中心对称的角度引导学生对平行四边形认识的进一步深化．在已积累了研究方法和已有知识的基础上来进一步研究本章知识，学生已完全能够在老师的指导策略下研究和学习，对老师和学生也提出了更高的的要求和挑战．本章由3个单元组成．第一单元：探索图形的旋转、中心对称与中心对称图形的性质；第二单元：探索、确认平行四边形的中心对称性，探索并证明平行四边形的性质定理和判断定理，在此基础上探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理；第三单元：利用图形的旋转，研究三角形中位线．学好本章知识是学好平面图形的关键，也是为研究“圆”的对称性打好基础，在整个初中数学教学中起到了承上启下的作用．学生无论在认识图形方面还是思考、说理推理的表达能力上面将有很大提高．本章知识不仅在八年级下册中占重要地位也是整个初中阶段的重要内容，因此搞好本章教学显得犹为重要二、本章的重点、难点及突破策略重点：以中心对称为主线，开展对平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定以及三角形中位线性质的探索和研究．难点：1．认识旋转、中心对称、中心对称图形的有关性质．学生对图形的变换、变化过程的认识、图形的有关基本性质存在困难，教师可以充分利用好教学资源，运用现代化信息技术手段，生动活泼地展现变化过程和图形特征，以此丰富拓展学习资源，积累学习经验与方法．教师还要充分调动学生积极性，让学生主动参与、经历观察、操作、画图、思考、交流、归纳总结等活动加深对知识的理解．2．以中心对称为主线，探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质及判定方法．首先要注重平行四边形的教学，因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的．它们的探索方法，也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承．三角形中位线的性质，也都是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用．另外，平行四边形的有关定理，也常常是证明两条线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据，所以掌握平行四边形的概念、性质和判定，并能应用这些知识解决问题，是学好本章的关键．在教学中注重探索平行四边形的定义、性质、判定方法．注意发挥学生的主观能动性，注意培养发散性思维，让学生在自主探索的过程中积累探索特殊四边形的经验，要有条理性、从研究图形的边、角、对角线到对角线把图形分成的三角形特征，从整体到局部，从一般到特殊，特殊到一般的解决问题的方法．并用好类比的方法去进一步研究特殊四边形的有关性质与判定方法．三、本章教学建议1．教学中，在呈现具体内容的基础上，教师向学生提供丰富而又生动的现实情景，通过操作、实验、观察、思考、交流等数学活动，让学生经历探索特殊四边形的过程，，丰富学生的数学活动经验，有意识地培养学生积极的情感态度．激发学生的学习积极性，为学生自主探索提供广阔的平台．2．教学中，要充分展示“观察、操作——猜想、探索——说理（有条理地表达）”的认识过程，使学生能在直观的基础上学习说理，注重合情推理与演绎推理的有机融合，引导学生不断理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性，促进学生形成科学地、能动地认识客观世界的良好品质．激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法证明的信心．3．图形的概念揭示了图形的本质属性．教学中，要引导学生理解：图形的概念具有两方面的含义，它既是判别图形的条件，又是图形的一个性质．4．合理渗透数学思想方法（1）本章内容中，较多地应用转化的思想去处理问题．研究四边形的问题，经常是通过辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题．例如，通过连接对角线，把平行四边形分割成两个全等的三角形，由全等三角形的性质得出平行四边形的性质．反过来，在研究三角形的中位线时，又通过构造出平行四边形，利用平行四边形的性质得出三角形的中位线定理．对于梯形中位线的问题，则是转化为三角形中位线的性质进行研究．把未知转化为已知，用已经掌握的知识来解决新问题，提高学生分析问题解决问题的能力．（2）运用类比的方法．在已经探索了平行四边形的有关问题后可用类比的方法学习矩形、菱形、正方形的有关性质与判定条件．从而积累研究图形的方法与经验．（3）分类思想．本章的概念比较多，概念之间联系密切，关系复杂，对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法．通过分类可以帮助学生更好地掌握概念，同时也学习一些分类的方法．在本章的小结中，教科书通过图示给出了本章主要概念之间的关系，要让学生注意这些概念之间的区别和联系，进一步体会分类的思想．（4）本章内容渗透了特殊与一般的关系．教学中要引导学生在把握图形本质属性的基础上，帮助他们理解：在图形不断特殊化的过程中，图形的性质越来越多，而判断它的要求则越来越高，加深学生对特殊与一般关系的认识，领会特殊事物的本质属性与特殊性质的关系．5．在探索平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判别四边形是特殊四边形的条件的过程中，应鼓励学生探索方式、表述方式的多样化，为学生提供个性化学习的时间和空间．6．教学中，要充分运用现代信息技术手段，丰富学生的学习资源，生动活泼地展示图形．。
苏科版八年级数学下册第九章中心对称图形复习课件 (共19张PPT)
例4：如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC 于E，对角线AC、BD交于O，若∠OAE＝15°。（1） 试说明：OB＝BE；（2）求∠BOE的度数.
解： （1）在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴ ∠BAE=45 ° ∴AB=BE ∵∠OAE＝15° ∴ ∠BAO=60 ° ∵矩形ABCD中，OA=OB ∴△OAB是等边三角形 ∴ AB=OB ∴OB=BE （2）∵ △OAB是等边三角形 ∴ ∠ABO=60 ° ∴ ∠OBC=30 ° ∵ OB=BE ∴ ∠BOE=75 ° A O B E C D
例5：如图，正方形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在AC上， 连接BE，作AG⊥BE，垂足为G，且交直线BD于F。 （1）试说明：OE＝OF； （2）若点E在AC的延长线上，其余条件不变，（1）的结论还 成立吗？画出图形，并说明理由。 解：(1)在正方形ABCD中， A D
AO=BO,∠AOF= ∠BOE=90 °
例1：如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形 的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得 到△ A1B1C1 ，再△ A1B1C1把绕点C1顺时针旋转 90°，得到△ A2B2C2，请你画出△ A1B1C1和△ A2B2C 2（不要求写画法） A
B A1 B1
B2
C
A2
C1
例2： 如图，平行四边形 ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．
第九章中心对称图形（一） 复习
复习回顾
图形的旋转
A
旋转1800
中心对称
A
B
成中心对称的两 个图形，对称点 连线都经过对称 A' 中心，并且被对 称中心平分
B'