江西省赣州市 八年级(上)期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1.某多边形的内角和是其外角和的4倍，则此多边形的边数是（）

A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

2.如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条

件，不能说明△ABD≌△ACE的是（）

A. ∠B=∠C

B. AD=AE

C. ∠BDC=∠CEB

D. BD=CE

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC

于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，

则DE的长为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4.若式子|x|?2x2+4x+4的值等于0，则x的值为（）

A. ±2

B. ?2

C. 2

D. ?4

5.下列各式运算正确的是（）

A. 3y3?5y4=15y12

B. (ab5)2=ab10

C. (?a3)2=(a2)3

D. (?x)4?(?x)6=?x10

6.已知关于x的分式方程2x?mx+1=2+1x的解是负数，则m的取值范围是（）

A. m≥?3

B. m≤?3

C. m>?3且m≠?2

D. m≥3且m≠?2

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.我国医学界最新发现的一种病毒其直径仅为0.000512mm，这个数字用科学记数法

可表示为______mm．

8.一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是______．

9.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是高，AE是角

平分线，则∠EAD=______度．

10.若a+b=5，ab=3，则2a2+2b2=______．

11.分解因式：m3n-4mn=______．

12.如图，已知△ABC为等边三角形，高AH=5cm，P为AH

上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为

______cm．

三、计算题（本大题共2小题，共15.0分）

13.解方程：32x?2+11?x=3．

14.仔细阅读下面例题：

例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式x+n，得x2+5x+m=（x+2）（x+n），

则x2+5x+m=x2+（n+2）x+2n，

∴n+2=5，m=2n，

解得n=3，m=6，

∴另一个因式为x+3，m的值为6．

依照以上方法解答下面问题：

（1）若二次三项式x2-7x+12可分解为（x-3）（x+a），则a=______．

（2）若二次三项式2x2+bx-6可分解为（2x+3）（x-2），则b=______．

（3）已知二次三项式2x2+9x-k有一个因式是2x-1，求另一个因式以及k的值．四、解答题（本大题共9小题，共69.0分）

15.已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且

AB=DE，BE=CF．

求证：△ABC≌△DEF．

16.先化简（a2a+2-a+2）÷4aa2?4，再从-2，2，4，0中选择一个合适的数代入求值．

17.已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，试判断此三角

形的形状．

18.已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．

（1）求证：AD=CE；

（2）猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；

若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．

19.在直角坐标系中，已知点A（a+b，2-a）与点B（a-5，b-2a）关于y轴对称．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）如果点B关于x轴的对称点是C，在图中标出点A、B、C，并求△ABC的面积．

20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为

D、E．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：ED=AE+BD；

（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交时，请你探究ED、AE、BD三者之间的数量关系．

21.某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款

型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．

（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？

（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T 恤衫商店共获利多少元？

22.在△ABC中，∠A=40°

（1）如图1，若两内角∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，则∠P=______，∠A与∠P之间的数量关系是______．为什么有这样的关系？请证明它；

（2）如图2，若内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P，则∠P=______，∠A 与∠P之间的数量关系是______；

（3）如图3，若两外角∠EBC、∠FCB的角平分线交于点P，则∠P=______，∠A与∠P之间的数量关系是______．

23.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线

段AB向点B运动．

（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=______（s）时，△PBC是直角三角形；

（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q 都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？

（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q 的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

解：设多边形的边数为n，根据题意，得

（n-2）?180=4×360，

解得n=10．

则这个多边形的边数是10．

故选：A．

任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是4×360°．n边形的内

角和是（n-2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．

2.【答案】D

【解析】

解：已知条件中AB=AC，∠A为公共角，

A中∠B=∠C，满足两角夹一边，可判定其全等，A正确；

B中AD=AE两边夹一角，也能判定全等，B也正确；

C中∠BDC=∠CEB，即∠ADB=∠AEC，又∠A为公共角，∴∠B=∠C，所以可得三角形全等，C对；

D中两边及一角，但角并不是夹角，不能判定其全等，D错．

故选：D．

要使△ABD≌△ACE，则需对应边相等，夹角相等，可用两边夹一角，也可用两角夹一边判定全等．

本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，是正确解

题的前提；做题时要按判定全等的方法逐个验证．

3.【答案】A

【解析】

解：∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴∠B=∠DAB，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∵∠C=90°，

∴3∠CAD=90°，

∴∠CAD=30°，

∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，

∴CD=DE=BD，

∵BC=3，

∴CD=DE=1，

故选：A．

由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，

本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

4.【答案】C

【解析】

解：由题意可知：

解得：x=2

故选：C．

根据分式的值为0的条件即可求出答案．

本题考查分式的值为0，解题的关键是正确理解分式的值为0的条件，本题属于基础题型．

5.【答案】C

【解析】

解：A、3y3?5y4=15y7，故原题计算错误；

B、（ab5）2=a2b10，故原题计算错误；

C、（-a3）2=（a2）3故原题计算正确；

D、（-x）4?（-x）6=x10故原题计算错误；

故选：C．

根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．

此题主要考查了单项式乘法和同底数幂的乘法、幂的乘方，关键是掌握各计算法则．

6.【答案】C

【解析】

解：分式方程去分母得：2x2-mx=2x2+2x+x+1，

整理得：（m+3）x=-1，

当m+3≠0，即m≠-3时，x=-，-≠-1且-≠0，

由分式方程解为负数，得到-＜0，且m≠-2，m≠-3，

解得：m＞-3且m≠-2，

故选：C．

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可．

此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7.【答案】5.12×10-4

【解析】

解：0.000512mm，这个数字用科学记数法可表示为5.12×10-4mm，

故答案为：5.12×10-4．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

8.【答案】7或9

【解析】

解：设第三边长为x，

则8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11．

又∵x为奇数，

∴x=7或9，

故答案为7或9．

本题可先求出第三边的取值范围．再根据8+3为奇数，周长为偶数，可知第三边为奇数，从而找出取值范围中的奇数，即为第三边的长．

本题主要考查的是三角形的三边关系和特殊解，注意：偶数加偶数为偶数，奇数加奇数为偶数，难度适中．

9.【答案】10

【解析】

解：∵∠B=50°，∠C=70°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，

∵AD是角平分线，

∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，

∵AE是高，

∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°

故答案为：10．

根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．

本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．

10.【答案】38

【解析】

解：原式=2（a2+b2）=2[（a+b）2-2ab]=2[52-2×3]=38．

故答案为：38．

2a2+2b2=2（a2+b2），然后根据a2+b2=（a+b）2-2ab进行计算即可．

本题主要考查的是完全平方公式的应用，依据完全平方公式将a2+b2变形为（a+b）2-2ab是解题的关键．

11.【答案】mn（m-2）（m+2）

【解析】

解：m3n-4mn

=mn（m2-4）

=mn（m-2）（m+2）．

故答案为：mn（m-2）（m+2）．

先提取公因式mn，再利用平方差公式分解因式得出即可．

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．

12.【答案】5

【解析】

解：连接PC，

∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，AH⊥BC，

∴CD=AH=5cm，

∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=5cm．

故答案为5．

连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线．

此题主要考查有关轴对称--最短路线的问题，注意灵活应用等边三角形的性质．

13.【答案】解：方程两边同乘以2（x-1），

得：3-2=6（x-1），

整理得：1=6x-6，

解得：x=76．

经检验：x=76是原方程的解．

【解析】

因为2x-2=2（x-1），1-x=-（x-1），所以方程最简公分母为：2（x-1），故方程同乘

以最简公分母化为整式方程求解．

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

14.【答案】-4 -1

【解析】

解：（1）∵（x-3）（x+a）=x2+（a-3）x-3a=x2-7x+12，

∴a-3=-7，

解得：a=-4；

故答案是：-4

（2）∵（2x+3）（x-2）=2x2-x-6=2x2+bx-6，

∴b=-1．

故答案是：-1．

（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x-k=（2x-1）（x+n），

则2x2+9x-k=2x2+（2n-1）x-n，

∴2n-1=9，-k=-n，

解得n=5，k=5，

∴另一个因式为x+5，k的值为5．

（1）将（x-3）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；

（2）（2x+3）（x-2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；

（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x-k=（2x-1）（x+n），可知2n-1=9，-k=-n，继而求出n和k的值及另一个因式．

本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．

15.【答案】证明：∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEF

∵BE=FC，

∴BC=EF，

在△ABC和△DEF中

AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

【解析】

直接利用全等三角形的判定方法得出答案．

此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪

一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹

角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

16.【答案】解：原式=（a2a+2-a2?4a+2）÷4a(a+2)(a?2)

=4a+2?(a+2)(a?2)4a

=a?2a，

因为a≠±2,a≠0,

把a=4代入，原式=4?24=12．

【解析】

根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合分式有意义的a的值，即4代入计算可得．

本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则是解题的关键．

17.【答案】解：∵a2+2b2+c2-2b（a+c）=0

∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0

（a-b）2+（b-c）2=0

∴a-b=0且b-c=0

即a=b=c，故该三角形是等边三角形．

【解析】

把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．

当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形的形状．

18.【答案】解：（1）∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，

∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，

即∠ABD=∠CBE，

∴△ABD≌△CBE，

∴AD=CE．

（2）垂直．延长AD分别交BC和CE于G和F，

∵△ABD≌△CBE，

∴∠BAD=∠BCE，

∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，

又∵∠BGA=∠CGF，

∴∠AFC=∠ABC=90°，

∴AD⊥CE．

【解析】

（1）要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论．

（2）延长AD，根据（1）的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE．

利用等腰三角形的性质，可以证得线段和角相等，为证明全等和相似奠定基础，从而进行进一步的证明．

19.【答案】解：（1）∵点A（a+b，2-a）与点B（a-5，b-2a）关于y轴对称

∴a+b+a?5=02?a=b?2a

解得：a=1b=3

∴点A、B的坐标分别为：（4，1）、（-4，1）；

（2）

∵点B关于x轴对称的点是C，

∴C点坐标为：（-4，-1）

∴△ABC的面积为：12×BC×AB=12×2×8=8．

【解析】

（1）根据在平面直角坐标系中，关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得出方程组求出a，b即可解答本题；

（2）根据点B关于x轴的对称的点是C，得出C点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可．

本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．

20.【答案】（1）证明：∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中

∠EAC=∠DCB∠AEC=∠BDCAC=BC

∴△AEC≌△CDB（AAS），

∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CE+CD，

∴ED=AE+BD；

（2）解：ED=BD-AE，

理由是：∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中

∠EAC=∠DCB∠AEC=∠BDCAC=BC

∴△AEC≌△CDB（AAS），

∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CE-CD，

∴ED=BD-AE．

【解析】

（1）根据垂直定义求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，

∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根据AAS推出△AEC≌△CDB，根据全等三角形的性质推出CE=BD和AE=CD即可；

（2）根据垂直定义求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，

∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根据AAS推出△AEC≌△CDB，根据全等三角形的性质推出CE=BD和AE=CD即可．

本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，

能求出△AEC≌△CDB（是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．

21.【答案】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有

78001.5x+30=6400x，

解得x=40，

经检验，x=40是原方程组的解，且符合题意，

1.5x=60．

答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；

（2）6400x=160，

160-30=130（元），

130×60%×60+160×60%×（40÷2）-160×[1-（1+60%）×0.5]×（40÷2）

=4680+1920-640

=5960（元）

答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．

【解析】

（1）可设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解；（2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．

本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

22.【答案】110°∠P=90°+12∠A20°∠P=12∠A70°∠P=90°-12∠A

【解析】

解：（1）∠ABC+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°

∴（∠ABC+∠C）=×140°=70°，

∴∠P=180°-（∠ABC+∠C）=110°．

∠A与∠P之间的数量关系是∠P=90°+∠A；

（2）∵∠ACE=∠ABC+∠P，

∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠P，

∴（40°+∠ABC）=∠ABC+∠P，

∴∠P=20°．

∠A与∠P之间的数量关系是∠P=∠A；

（3）∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，

∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，

∴∠PBC+∠PCB=90°+∠A．

又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°，

∴90°+∠A+∠P=180°，即∠P=90°-∠A．

（1）根据三角形内角和定理求出∠B和∠C，再根据角平分线的性质和三角形内角和是180°求出∠P=180°-（∠B+∠C）；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和以及叫平分线的性质可求出∠P，可得∠A与∠P之间的数量关系；

（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求得：

∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，在△BCP中根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求解．

①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；

②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；

③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

23.【答案】32

【解析】

解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，

∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，

所以t=（2分）

（2）当∠BPQ=90°时，BP=0.5BQ，

3-t=0.5t，所以t=2；

当∠BQP=90°时，BP=2BQ，

3-t=2t，所以t=1；

所以t=1或2（s）（4分）

（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，

所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，

又因为∠A=60°，

所以AD=2AP，2t+t=3，

解得t=1（s）；（2分）

（4）相等，如图所示：

作PE⊥AD于E，QG⊥AD延长线于G，则PE∥QG，则易知∠G=∠AEP，

∠A=∠ACB=∠QCG=60°，

在△EAP和△GCQ中，

因为，

所以△EAP≌△GCQ（AAS），

所以PE=QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．

（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；（2）因为∠B=60°，可选取∠BPQ=90°或∠BQP=90°，然后根据勾股定理计算出BP长，即可算出t的大小；

（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD 是直角三角形，即可根据题意求出t的值；

（4）面积相等．可通过同底等高验证．

本题主要考查对于勾股定理的应用和等腰三角形的判定，还要注意三角形面积的求法．