第三章 守恒定律与质点系动力学-3

t0
t
I z = ∫ Fz dt = mvz − mvz0
t0
t
的铁锤，从高h=1.5 m处 自由 例、质量为m = 3×103 kg的铁锤，从高 处 下落打击在锻件上， 下落打击在锻件上，如果打击时间 ∆t = 10−3 s ， 求锻件受到的平均冲力。 求锻件受到的平均冲力。 解：(一) 一
v = g(t − t0 ) = 2gh
§3、机械能和机械能守恒 、
一、质点系的功能原理
A外 + A保 + A非保内 = Ek − Ek 0
∵ ∴
A保内 = −(Ep − Ep0 )
A外 + A非保内 = (Ek + Ep ) − (Ek0 + Ep0 ) = E − E0
质点系总的机械能
E = Ek + Ep
二、机械能守恒定律
A 保内 = 0 非
r r r I = mv − mv0
r r r I = mv − mv0
作用在质点上合外力的冲量等于该段时间内 质点动量的增量，称之为质点的动量定理。 质点动量的增量，称之为质点的动量定理。
I x = ∫ Fx dt = mvx − mvx0
t0
t
I y = ∫ Fy dt = mvy − mvy0
1 mv 2 M = V 2 2M
1 2 mv − mgR 2
* 本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。 本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。
一、动量和冲量，质点动量定理 动量和冲量，
r r r dv F = ma = m dt
r r d(mv) F= → dt
r r P = mv
r r d(mv) F= dt
∫
t
t0
r r v r r r F dt = ∫r d(mv) = mv − mv0 v0
冲量
r tr I = ∫ F ⋅ dt
t0
例、劲度系数为k的弹簧下挂一质量为 的砝码后达到 劲度系数为 的弹簧下挂一质量为m的砝码后达到 的弹簧下挂一质量为 平衡，试证明： 平衡，试证明：砝码在平衡位置附近沿竖直方向位移
∵ 长度为a， 长度为 ，重力势能和弹性势能的总增量为
1 2 ka 2
证明
1 2 Epe = kx + C 2
x = l0
见图，质量为m的人站在质量为 的车上， 的人站在质量为M的车上 例. 见图，质量为 的人站在质量为 的车上， 开始时一起以速率 v0 沿光滑水平面向右 运动，现在人以相对于车为u 的速率向左跑， 运动，现在人以相对于车为 的速率向左跑， 试求车的速率。 试求车的速率。
由于车在水平方向不受外力， 解: 由于车在水平方向不受外力，因此车和人组成的系统 r 在该方向动量守恒。在地面参照系中， 在该方向动量守恒。在地面参照系中，取 v0 方向为正 设人跑动后车的速率为v 设人跑动后车的速率为
解：重力只对小球做功 m M R
∆W重力 = mg∆s cosϕ = mg∆h
W重力 = mgR
水平方向无外力， 水平方向无外力，系统保持 水平方向动量守恒。 水平方向动量守恒。
∆h
mg
∆s ϕ
mv + M = 0 V
1 1 2 2 W重力 + W = M + mv V 内力 2 2
2 2
对M，内力所做的功 ， 对m，内力所做的功 ，
（二）开始就用动量定理
∆P = 0 = ∫ mgdt + ∫
t0 t
t
t +∆t
(mg − F冲)dt
= mg[(t − t0 ) + ∆t] − F冲dt
mg(t − ∆t) F冲 = + mg ∆t
F ′ = F冲
（三）此题也可用牛顿第二定律解
mg − F冲 = ma ⇒ a = (mg − F冲) / m = Const
A 保内 = 0 非
A外 = E − E0
A =0 外
E − E0 = 0
E = E0 = Const
外力和非保守内力对体系都不做功时， 外力和非保守内力对体系都不做功时，则质点 系的机械能守恒。这时质点系内部动能、 系的机械能守恒。这时质点系内部动能、势能 可以互相转化。 可以互相转化。机械能也可以从一个质点转移 到另一个质点，但机械能的总量保持不变， 到另一个质点，但机械能的总量保持不变，此 即质点系的机械能转换和守恒定律。 即质点系的机械能转换和守恒定律。
t0 iy i iy
t
i iy0
∫ ∑F dt = ∑m v − ∑m v
t0 iz i iz
t
i iz0
r ∑Fi = 0
∑m v = ∑m v
i i
i i0
= Const
质点系的动量守恒定律
* 有一些问题，由于内力 外力，外力可以忽略， 有一些问题，由于内力>>外力 外力可以忽略， 外力， 而内力不影响体系的总动量， 而内力不影响体系的总动量，此时可近似用动量守 恒来解决体系内动量的转换问题。 恒来解决体系内动量的转换问题。说明内力虽不改 变总动量，但却影响动量在体系内的分布。如爆炸、 变总动量，但却影响动量在体系内的分布。如爆炸、 打击时的重力作用（外力）。 打击时的重力作用（外力）。
(M + m)v0 = Mv + m(v − u)
m v = v0 + u M +m
凹圆柱面（ 例：有一面为1/4凹圆柱面（半径 ）的物体（质量 有一面为 凹圆柱面 半径R）的物体（ M）放置在光滑水平面，一小球（质量 ），从静 ），从静 ）放置在光滑水平面，一小球（质量m）， 止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图）， ），小球从 止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），小球从 水平方向飞离大物体时速度 v ，求：1）重力所做 ） 的功； ）内力所做的功。 的功；2）内力所做的功。
∑ ∑
r Fi =
r d(mvi ) ⇒ dt
∫∑
t0 i
t
r Fi ⋅ dt =
∑
i
r mi vi −
∑
i
r mivi0
质点系所受合外力的冲量， 质点系所受合外力的冲量，等于相应时间内 质点系的总动量的增量， 质点系的总动量的增量，质点系的动量定理
∑m v ∑m的总动量
t 时刻质点系的总动量
①内力的冲量与体系动量的变化无关。并非内力无 内力的冲量与体系动量的变化无关。 冲量，只是内力成对出现，冲量亦相互抵消。 冲量，只是内力成对出现，冲量亦相互抵消。 ②将动量定理在直角坐标系中分解
∫ ∑F dt = ∑m v − ∑m v
t0 ix i ix
t
i ix0
∫ ∑F dt = ∑m v − ∑m v
t →t + ∆t
∆P = −mv = −mg(t − t0 )
=∫
t t +∆t
(mg − F )dt = (mg − F )∆t 冲 冲
F冲 = [mg(t − t0 ) + mg∆t] / ∆t = mg( 2h g + ∆t) / ∆t = mg(550 +1) = 1.6×107 N & &
∑F
ix
=0
∑m v − ∑m v
i ix
i ix0
= Const
= Const
∑F
∑F
iy
=0
= 0,
∑m v − ∑m v
i iy
i iy0
iz
∑m v − ∑m v
i iz
i iz0
= Const
1. 动量守恒不一定是整个体系的总动量的守 恒，可以其中某个分量守恒 2. 通用范围：同一惯性系中的质点系 通用范围：
二、质点系的动量定理和动量守恒定律
质点系由N个质点构成 质点系由 个质点构成 Fi ·i fi · j· Pi· · · · fj j
i
·
r r r r r dvi d(mivi ) F + fi = miai = mi = i dt dt
r ∑ fi = 0
r r d(mi vi ) ∑Fi = ∑ dt i i
v = v0 + ∫
t t +∆t
a dt = v0 +
mg − F冲 m
∆t
v0 = g(t − t0 )
F冲 = (mv0 + mg∆t) / ∆t = [mg(t − t0 ) + mg∆t] / ∆t
讨论： 讨论：∵ F冲 = 1.6 ×107 N >> mg = 2.94 ×104 N & 重力可以忽略不计
Ep0 = 0
1 2 C = − kl0 2
1 2 1 2 ∴ Epe = kx − kl0 2 2
①向下伸a， 向下伸 ， ∵ ∴
x1 = l0 + a
∆Ep = ∆Epe + ∆Eg
1 2 1 2 ∆Ep = [( kx1 − kl0 ) − 0] + [(−mga) − 0] 2 2 1 1 2 2 = k(l0 + a) − kl0 − mga 2 2
∵
kl0 = mg
1 2 ∴ ∆Ep = ka 2
①向上压a 向上压
x2 = l0 − a
1 2 1 2 ∆Ep = [( kx2 − kl0 ) − 0] + [−mg(−a) − 0] 2 2
1 1 2 1 2 2 = k(l0 − a) − kl0 + mga = ka 2 2 2
即证
§4、动量守恒定律 、