1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
1988数学三真题答案解析(试卷四)
0
0
（4）若 A 和 B 都是 n 阶非零方阵，且 AB=0，则 A 的秩必小于 n .
（） （） （）
（√）
（5）若事件 A，B，C 满足等式 A C B C, 则 A=B.
（）
三、（本题满分 16 分，每小题 4 分.）
(1) 求极限 lim xx 1 x1 x ln x
解一： 此极限为 0 型未定式，由罗必塔法则，则
于是， 原式=
0
3 2dt 1 t2
3
2 arctan x 0
„„4 分 „„4 分
„„2 分 „„3 分 „„4 分
„„2 分 „„4 分
3；
„„1 分 „„2 分 „„3 分
2 . 3
(4) 求二重积分
6 dy
6
cos
x
dx
.
0
yx
„„4 分
解： 在原式中交换积分次序，得 原式
0 0
0 0
0 1
1 0
0 0
.
1 0 0 0 1 0 0 0
(四) 假设 P( A) 0.4，P( A B) 0.7 ，那么 （1）若 A 与 B 互不相容，则 P（B）= 0.3 .
（2）若 A 与 B 相互独立，则 P（B）= 0.5 .
二、（本题满分 10 分）（每小题，回答正确得 2 分，回答错误得-1 分，不回答得 0 分； 全题最低得 0 分）
六、（本题满分 8 分）
在曲线 y x2(x 0) 上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及 x 轴所围图形的面积为 1 ，试求： 12
(1) 切点 A 的坐标； (2) 过切点 A 的切线方程；
(3) 由上述所围平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积.
考研数学三历年真题：1987年至2018年
n 0
_
.
xn n 1
的收敛域是__
_
.
(3) 齐次线性方程组
x1 x2 x3 0, x1 x2 x3 0, x x x 0 2 3 1
只有零解,则 应满足的条件是__
_
.
(4) 设随机变量 X 的分布函数为
0 , F x A sinx, 1, x 0, 0 x x
HY-2018
(含 31 年共 31 套考研《数学三》历年真题)1987 年—2018 年全国硕士研究生入学统一考试《数学 三》真题试卷及答案
全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题目录（31 套）
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1998考研数学三真题和详解
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设曲线()nf x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ,则lim ()n n f ξ→∞= .(2)2ln 1x dx x -=⎰ .(3) 差分方程121050t t y y t ++-=的通解为 .(4) 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-,其中100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,E 为单位矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,则B = .(5) 设1234,,,X X X X 是来自正态总体()20,2N 的简单随机样本,()2122X a X X =-+()23434b X X -.则当a = ,b = 时,统计量X 服从2χ分布,其自由度为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设周期函数()f x 在(),-∞+∞内可导,周期为 4.又()()011lim1,2x f f x x→--=-则曲线()y f x =在点()()5,5f 处的切线的斜率为 ( ) (A)12(B) 0 (C) 1- (D) 2- (2) 设函数()21lim ,1nn xf x x →∞+=+讨论函数()f x 的间断点,其结论为 ( )(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点1x = (C) 存在间断点0x = (D) 存在间断点1x =-(3) 齐次线性方程组21231231230,0,0x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵0B ≠使得0AB =,则 ( )(A) 2λ=-且||0B = (B) 2λ=-且||0B ≠(C) 1λ=且||0B = (D) 1λ=且||0B ≠ (4) 设()3n n ≥阶矩阵1111a a a a a a A aa a aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 若矩阵A 的秩为1n -,则a 必为 ( ) (A) 1 (B)11n - (C) 1- (D) 11n - (5) 设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数.为使()12()()F x aF x bF x =-是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )(A) 32,55a b ==- (B) 22,33a b == (C) 13,22a b =-= (D) 13,22a b ==-三、(本题满分5分)设arctan22()y xz x y e-=+,求dz 与2zx y∂∂∂.四、(本题满分5分)设(){}22,D x y xy x =+≤,求D.五、(本题满分6分)设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定0t =)就售出,总收入为0()R 元.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为0R R =假定银行的年利率为r ,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求0.06r =时的t 值.六、(本题满分6分)设函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0.f x '≠试证存在,(,),a b ξη∈使得().()b a f e e e f b aηξη-'-=⋅'-七、(本题满分6分)设有两条抛物线21y nx n =+和21(1)1y n x n =+++,记它们交点的横坐标的绝对值为.n a(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n S ； (2) 求级数1nn nS a ∞=∑的和.八、(本题满分7分)设函数()f x 在[1,)+∞上连续.若由曲线(),y f x =直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为2()()(1).3V t t f t f π⎡⎤=-⎣⎦ 试求()y f x =所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件229x y ==的解.九、(本题满分9分)设向量1212(,,,),(,,,)T T n n a a a b b b αβ==都是非零向量,且满足条件0.T αβ=记n 矩阵.T A αβ=求：(1) 2A ；(2) 矩阵A 的特征值和特征向量.十、(本题满分7分)设矩阵101020,101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦矩阵2(),B kE A =+其中k 为实数,E 为单位矩阵.求对角矩阵Λ,使B 与Λ相似,并求k 为何值时,B 为正定矩阵.十一、(本题满分10分)一商店经销某种商品,每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.十二、(本题满分9分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p ；(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q .1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】1e【解析】曲线ny x =在点(1,1)处的切线斜率1x y ='()1nx x='=11n x n x n -===,根据点斜式,切线方程为：1(1).y n x -=-令0y =,代入1(1)y n x -=-,则11x n =-,即在x 轴上的截距为11n n ξ=-, lim ()n n f ξ→∞lim n n n ξ→∞=1lim(1)n n n →∞=-()()11lim(1)x x x --→∞=-1e=.(2)【答案】ln xC x-+【解析】由分部积分公式,2ln 1x dx x -⎰()1ln 1x dx x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()1ln 1x d x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ ln 11(ln 1)x d x x x - -+-⎰分部2ln 11x dx x x-=-+⎰ ln 11x dx x x '-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ln 11x C x x -=--+ln x C x =-+. 【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或者.udv uv vdu =-⎰⎰(3)【答案】51(5)()126tt y C t =-+- 【解析】首先把差分方程改写成标准形式1552t t y y t ++=,其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为50,5,r r +==-故齐次方程的通解为(5),tt Y C C =-为常数.将方程右边的52t 改写成512t t ⋅,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为,t y At B *=+从而1(1),t y A t B *+=++代入原方程,得5(1)5(),2A tB At B t ++++=56,60,2A A B =+=故 55,1272A B ==-.于是通解为 51(5)().126tt t t y Y y C t *=+=-+-(4)【答案】200040002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由题设 *28A BA BA E =-,由于20A =-≠,所以A 可逆.上式两边左乘A ,右乘1A -,得*11128AA BAA ABAA AA ---=-28A B AB E =-(利用公式：*1,AA A E AA E -==) 28A B AB E -=-(移项)()28A E A B E -=-(矩阵乘法的运算法则)将2A =-代入上式,整理得()14E A B E +=. 由矩阵可逆的定义,知E A +,B 均可逆,且()114B E A --=+1102002401040100021002-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦200040002⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(5)【答案】11,,220100【解析】由于1234,,,X X X X 相互独立,均服从2(0,2)N ,所以由数学期望和方差的性质,得2221212(2)0,(2)122220E X X D X X -=-=⨯+⨯=,所以12(2)(0,20)X X N -,同理34(34)(0,100)X X N -.又因为12(2)X X -与34(34)X X -相互独立,且122)(0,1)X X N -344)(0,1)X X N -,由2χ分布的定义,当11,20100a b ==时, 222123411(2)(34)(2)20100X X X X X χ=-+-.即当11,20100a b ==时,X 服从2χ分布,其自由度为2. 严格地说,当10,100a b ==时,2(1)X χ；当1,020a b ==时,2(1)X χ也是正确的.【相关知识点】1、对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数. 2、定理：若2(,)XN μσ,则(0,1)X N μσ-.3、2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则221~()nii Zn χ=∑.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】根据导数定义：()0()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆0(1)(1)lim 2x f f x x →--01(1)(1)lim 2x f x f x →--=-1(1)2f '=1=- 所以 0(1)(1)(1)lim2.x f x f f x→--'==-- 因为()f x 周期为4,()f x '的周期亦是4,即()(4)f x f x ''=+, 所以(5)f '(14)f '=+(1)2f '==-.所以曲线()y f x =在点()5,(5)f 处的切线的斜率为(5)f '(1)2f '==-.选(D). (2)【答案】(B)【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该()f x 的(分段)表达式,然后再讨论()f x 的性质.不能隔着极限号去讨论. 【解析】现求()f x 的(分段)表达式： 当1x >时,21()lim 1n n xf x x →∞+=+2122lim 1n n n n x x x ---→∞+=+()()2122lim 01lim 1n n n n n x x x --→∞-→∞+==+0=； 当1x =时,21()lim1n n x f x x →∞+=+211lim 11n n →∞+=+22=1=；当1x =-时,21()lim1n n x f x x →∞+=+()211lim 11n n →∞-=+-02=0=； 当1x <时,21()lim 1n n x f x x →∞+=+()()2lim 1lim 1n n n x x →∞→∞+=+2011n x x →+ 1x =+. 由此, 0,1,0,1,()1,1,1,1,0,1.x x f x x x x x <-⎧⎪=-⎪⎪=+<⎨⎪=⎪>⎪⎩当当当当当 即0,11,()1,1,1, 1.x x f x x x x ≤->⎧⎪=+ <⎨⎪ =⎩当或当当 再讨论函数()f x 的性质：在1x =-处,()1lim x f x +→-()1lim 1x x +→-=+11=-0=,()()1lim 10x f x f -→-=-=,所以,()()11lim lim 0x x f x f x +-→-→-==,函数()f x 在1x =-处连续,不是间断点.在1x =处,()1lim x f x +→1lim 0x +→=0=；()1lim x f x -→()1lim 1x x -→=+2=； 所以()1lim x f x +→()1lim x f x -→≠,函数()f x 在1x =处不连续,是第一类间断点.故选(B). (3)【答案】(C)【解析】方法1:由0AB =知()()3r A r B +≤,又0,0A B ≠≠,于是1()3,r A ≤<1()3r B ≤<,故0,0A B ==,即2210101011011(1)0111111A λλλλλλλλλλλλ--==--==-=--,得 1.λ=应选(C).方法2:由0AB =知()()3r A r B +≤,又0,0A B ≠≠,于是1()3,r A ≤<1()3r B ≤<,故0B =.显然,1λ=时111111111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有1()3,r A ≤<故应选(C). 作为选择题,只需在2λ=-与1λ=中选择一个,因而可以用特殊值代入法.评注：对于条件0AB =应当有两个思路：一是B 的列向量是齐次方程组0Ax =的解；二是秩的信息,即()()r A r B n +≤,要有这两种思考问题的意识. (4)【答案】(B) 【解析】1111100(1)110101101a a a aa aa a a a a A aa a a a aaaa a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1(1)0100(2)00100001n aa a a a a a +-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中(1)变换：将1行乘以(-1)再分别加到其余各行；(2)变换：将其余各列分别加到第1列.由阶梯形矩阵知,当1(1)0n a +-=,即11a n=-时,有()1r A n =-,故应选(B). (5)【答案】(A)【解析】根据分布函数的性质lim ()1x F x →+∞=,即121lim ()()()()x F x F aF bF a b →+∞==+∞=+∞-+∞=-.在所给的四个选项中只有(A)满足1a b -=,故应选(A). 【相关知识点】分布函数()F x 的性质：(1) ()F x 单调不减；(2) lim ()()0,lim ()()1;x x F x F F x F →-∞→+∞=-∞==+∞=(3) ()F x 是右连续的.三、(本题满分5分) 【解析】 arctanarctan2222()()()y y xxdz ed x y x y d e--=+++[]arctan22arctan222arctan22arctan22()(arctan )122()()1(22(2)(2)y xyxy xy xy exdx ydy x y d x y exdx ydy x y d y x x xdy ydx e xdx ydy x x ex y dx y x dy ----⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+-+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦-⎡⎤=+-⋅⎢⎥⎣⎦=++- 由全微分与偏微分的关系可知,其中dx 的系数就是z x∂∂,即arctan (2)yxz x y ex -∂=+∂.再对y 求偏导数,得222arctanarctanarctan 222211(2).1yyyxxxzy xy x e x y ee y x yx x y x ---⎛⎫⎪∂--=-+= ⎪∂∂+ ⎪+⎪⎝⎭四、(本题满分5分)【解析】22{(,)}D x y x y x =+≤表示圆心为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为12的圆及其内部,画出区域D ,如右图. 方法1:{(,)|01,D x y x y =≤≤≤所以, 1102D===⎰⎰⎰,t =,则21x t =-,2dx tdt =-,:10t →所以上式1350122210082(1)(2)4(1)43515t t t t t dt t t dt ⎛⎫=-⋅-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰.方法2:引入极坐标系cos ,sin x r y r θθ= =,于是(,)|,0cos 22D r r ππθθθ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭,3cos cos 2222232048cos .515Dd r drd ππθθπππθθθθ--====⎰⎰⎰⎰⎰其中倒数第二步用了华里士公式：21342cos 1253n n n d n n πθθ--=⋅⋅⋅⋅⋅-⎰,其中n 为大于1的正奇数.五、(本题满分6分)【分析】根据连续复利公式,在年利率为r 的情况下,现时的A (元)在t 时的总收入为()e rt R t A =,反之,t 时总收入为()R t 的现值为()()ertA t R t -=,将0R R =入的现值与窖藏时间t 之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为()e rt A t R -=,而由题设,t年末的总收入0R R =,据此可列出()A t ：0()ert rtA t R R -==,令 dAdt0rtd R dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭00rtR r ⎫=-=⎪⎭, 得惟一驻点 02125t t r ==. 22dA dtd dA dt dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭0rtd R r dt ⎛⎫⎫=⎪⎪⎭⎝⎭00rtrtd d R r R r dt dt ⎛⎫⎫⎫=⋅-+- ⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎭200rt rtR r R⎛⎫⎫=-+⎪⎭⎝ 20rt R r ⎡⎤⎫=-⎢⎪⎭⎢⎣1232502(12.5)0r t td AR e r dt ==-<.根据极值的第二充分条件,知：0t t =是()A t 的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值点.故窖藏2125t r=年出售,总收入的现值最大.当0.06r =时, ()21250.06t =⋅100119=≈(年). 【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值；当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.六、(本题满分6分)【分析】本题要证的结论中出现两个中值点ξ和η,这种问题一般应将含有ξ和η的项分别移到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证()()()()b a f b a e e f e ηξη-''-=-.【解析】方法1: 函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,对函数()f x 在[],a b 上用拉格朗日中值定理,有()()()(),.f b f a f b a a b ξξ'-=-<<又函数()f x 与xe 满足柯西中值定理的条件,将函数()f x 与xe 在[],a b 上用柯西中值定理,有()()(),b a f b f a f a b e e e ηηη'-=<<-,即()()()b a f f b f a e e eηη'-=-（）. 从而有()()()baf f b a e e eηηξ''-=-（）,即(),,(,)()b a f e e e a b f b a ηξξηη-'-=⋅∈'-. 方法2：题中没有限制ξη≠,因此取ξη=,即成为要去证存在(,)a b η∈使.b ae e e b aη-=- 在[],a b 上对函数xe 用拉格朗日中值定理,存在(,)a b η∈使, 1.b a b a e e e e e e b a b aηη---=⋅=--即 再取ξη=,则()1()b a f e e e f b aηξη-'-==⋅'-,原题得证.【相关知识点】1.拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立. 2. 柯西中值定理：如果函数()f x 及()F x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导； (3) 对任一(,)x a b ∈,()0F x '≠, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ,使等式()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-成立.七、(本题满分6分) 【解析】(1)由21y nx n =+与21(1)1y n x n =+++得n a =因图形关于y 轴对称,所以,所求图形的面积为220320112(1)121422(1)(1)33nn a n a n n S nx n x dx n n a a x dx n n n n ⎡⎤=+-+-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=-+=-=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰ (2)由(1)的结果知41411()3(1)31n n S a n n n n ==-++, 根据级数和的定义,111411414lim lim lim 1.31313n nn k n n n n k k n k S S a a k k n ∞→∞→∞→∞===⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑∑∑八、(本题满分7分)【分析】本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线()y f x =等围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积()V t 与包含函数f 的一个恒等式,这正是列方程的依据.【解析】由绕x 轴旋转的旋转体体积公式得21()()tV t f x dx π=⎰,于是,依题意得221()()(1)3t f x dx t f t f ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰,即2213()()(1)tf x dx t f t f =-⎰. 两边对t 求导,化成微分方程223()2()()f t tf t t f t '=+,其中()f t 为未知函数.按通常以x 表示自变量,y 表示未知函数()f t ,于是上述方程可写为2232,x y y xy '=-即23()2().dy y ydx x x=- 这是一阶齐次微分方程.令y ux =,有dy duu x dx dx=+⋅,则上式化为 2()32,duu x u u dx+=- 即 3(1).duxu u dx=- (*) 若0u =,则0,y ux ==不满足初始条件229x y ==,舍弃；若1u =,则,y ux x ==也不满足初始条件229x y ==,舍弃；所以,0u ≠,且1u ≠.由(*)式分离变量得3,(1)du dx u u x =-两边积分得31u Cx u-=.从而方程(*)的通解为3,y x Cx y C -=为任意常数.再代入初值,由229x y==,得1C =-,从而所求的解为 33,,(1).1xy x x y y x x-=-=≥+或 【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则 [][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.九、(本题满分9分)【解析】(1)对等式0Tαβ=两边取转置,有()0TTT αββα==,即0T βα=.利用0Tβα=及矩阵乘法的运算法则,有()22TT T A αβαβαβ==()00T T T T αβαβαβαβ===0=,即2A 是n 阶零矩阵.(2)设λ是A 的任一特征值,(0)ξξ≠是A 属于特征值λ的特征向量,即A ξλξ=.对上式两边左乘A 得2A ξ()()A A λξλξλλξ===2λξ=,由(1)的结果20A =,得220A λξξ==,因0ξ≠,故0λ=(n 重根),即矩阵的全部特征值为零.下面求A 的特征向量：先将A 写成矩阵形式[]1111212212221212,,,n n Tn n n n n n a a b a b a b a a b a b a b A b b b a a b a b a b αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.不妨设110,0a b ≠≠,则有111211221222212221121212(0)1()01(2,,)n n n n n n n n n n n n n i a b a b a b b b b a ba b a b a b a b a b E A a a b a b a b a b a b a b b b b a i i n ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥-=÷-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⨯=行行加到行00000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是得方程组(0)0E A x -=同解方程组11220n n b x b x b x +++=,这样基础解系所含向量个数为(0)1n r E A n --=-.选2,,n x x 为自由未知量,将它们的组值111(,0,,0),(0,,,0),(0,0,,)b b b 代入,可解得基础解系为12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,)n n b b b b b b ξξξ-=-=-=-则A 的属于0λ=的全部特征向量为112211n n k k k ξξξ--+++,其中121,,,n k k k -为不全为零的任意常数.十、(本题满分7分)【分析】由于B 是实对称矩阵,B 必可相似对角化,而对角矩阵Λ即B 的特征值,只要求出B 的特征值即知Λ,又因正定的充分必要条件是特征值全大于零,k 的取值亦可求出. 【解析】方法1：由211112(2)(2)1111E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-----,可得A 的特征值是1232,0.λλλ===那么,kE A +的特征值是2,2,k k k ++,而2()B kE A =+的特征值是222(2),(2),.k k k ++又由题设知A 是实对称矩阵,则,TA A =故222()()()TTTB kE A kE A kE A B ⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎣⎦⎣⎦, 即B 也是实对称矩阵,故B 必可相似对角化,且222(2)000(2)000k Bk k ⎡⎤+⎢⎥Λ=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 当20k k ≠-≠且时,B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.方法2：由2101112(2)(2)1111E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-----,可得A 的特征值是1232,0.λλλ===因为A 是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P 使1220P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,即1A P P -=Λ.那么 221121()()()B kE A kPP P P P kE P ---⎡⎤=+=+Λ=+Λ⎣⎦1121()()().P kE P P kE P P kE P ---=+Λ+Λ=+Λ即12()P BP kE -=+Λ.故222(2)000(2)000k Bk k ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 当20k k ≠-≠且时,B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.【相关知识点】1.特征值的性质：若A 有特征值λ,则A 的特征多项式()f A 有特征值()f λ.2.矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.十一、(本题满分10分)【解析】设Z 表示商店每周所得的利润, 当Y X ≤时,卖得利润为1000Z Y =(元)； 当Y X >时,调剂了Y X -,总共得到利润1000500()500()Z X Y X X Y =+-=+(元).所以,1000, ,500(), .Y Y X Z X Y Y X ≤⎧=⎨+>⎩由题设X 与Y 都服从区间[10,20]上的均匀分布,联合概率密度为1, 1020,1020,(,)1000, x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.由二维连续型随机变量的数学期望定义得1212202020101010202021010()1000(,)500()(,)111000500()100100105()310(20)5(1050)2200005150014166.67().3D D D D yyE Z y f x y dxdy x y f x y dxdyy dxdy x y dxdy dy ydx dy x y dxy y dy y y dy=⋅++⋅=⋅++⋅=++=-+--=+⨯≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰元十二、(本题满分9分)【解析】记事件j B =“第j 次抽到的报名表是女生表”(1,2)j =,i A =“报名表是第i 个地区的”(1,2,3)i =.易见,123,,A A A 构成一个完备事件组,且1112131{}(1,2,3),3375{},{},{}.101525i P A i P B A P B A P B A =====(1) 应用全概率公式,知3111137529{}{}{}()310152590i i i p P B P A P B A ===⋅=++=∑.(2) 12{}q P B B =.需先计算概率12{}P B B 与2{}P B .对事件12B B 再次用全概率公式：3121211377852020{}{}{}()31091514252490i i i P B B P A P B B A ==⋅=⋅+⋅+⋅=∑,由“抽签原理”可知2161()()90P B P B ==, 12122()209020{}906161()P B B q P B B P B ===⋅=. 【相关知识点】1.全概率公式：如果事件1,,n A A 构成一个完备事件组,即它们是两两互不相容,其和为Ω(总体的样本空间)；并且()0,1,2,,i P A i n >=,则对任一事件B 有()1()(|)ni i i P B P A P B A ==∑.。
1998考研数学三真题及超详细答案解析
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】1e【解析】曲线ny x =在点(1,1)处的切线斜率1x y ='()1nx x='=11n x n x n -===,根据点斜式,切线方程为：1(1).y n x -=-令0y =,代入1(1)y n x -=-,则11x n =-,即在x 轴上的截距为11n n ξ=-, lim ()n n f ξ→∞lim n n n ξ→∞=1lim(1)n n n →∞=-()()11lim(1)x x x --→∞=-1e=.(2)【答案】ln xC x-+【解析】由分部积分公式,2ln 1x dx x -⎰()1ln 1x dx x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()1ln 1x d x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ ln 11(ln 1)x d x x x - -+-⎰分部2ln 11x dx x x-=-+⎰ ln 11x dx x x '-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ln 11x C x x -=--+ln x C x =-+. 【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或者.udv uv vdu =-⎰⎰(3)【答案】51(5)()126tt y C t =-+- 【解析】首先把差分方程改写成标准形式1552t t y y t ++=,其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为50,5,r r +==-故齐次方程的通解为(5),tt Y C C =-为常数.将方程右边的52t 改写成512t t ⋅,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为,t y At B *=+从而1(1),t y A t B *+=++代入原方程,得5(1)5(),2A tB At B t ++++=56,60,2A A B =+=故 55,1272A B ==-.于是通解为 51(5)().126tt t t y Y y C t *=+=-+-(4)【答案】200040002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由题设 *28A BA BA E =-,由于20A =-≠,所以A 可逆.上式两边左乘A ,右乘1A -,得*11128AA BAA ABAA AA ---=-28A B AB E =-(利用公式：*1,AA A E AA E -==) 28A B AB E -=-(移项)()28A E A B E -=-(矩阵乘法的运算法则)将2A =-代入上式,整理得()14E A B E +=. 由矩阵可逆的定义,知E A +,B 均可逆,且()114B E A --=+1102002401040100021002-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦200040002⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(5)【答案】11,,220100【解析】由于1234,,,X X X X 相互独立,均服从2(0,2)N ,所以由数学期望和方差的性质,得2221212(2)0,(2)122220E X X D X X -=-=⨯+⨯=,所以12(2)(0,20)X X N -,同理34(34)(0,100)X X N -.又因为12(2)X X -与34(34)X X -相互独立,且122)(0,1)X X N -344)(0,1)X X N -,由2χ分布的定义,当11,20100a b ==时, 222123411(2)(34)(2)20100X X X X X χ=-+-.即当11,20100a b ==时,X 服从2χ分布,其自由度为2. 严格地说,当10,100a b ==时,2(1)X χ；当1,020a b ==时,2(1)X χ也是正确的.【相关知识点】1、对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数. 2、定理：若2(,)XN μσ,则(0,1)X N μσ-.3、2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则221~()nii Zn χ=∑.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】根据导数定义：()0()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆0(1)(1)lim 2x f f x x →--01(1)(1)lim 2x f x f x →--=-1(1)2f '=1=- 所以 0(1)(1)(1)lim2.x f x f f x→--'==-- 因为()f x 周期为4,()f x '的周期亦是4,即()(4)f x f x ''=+, 所以(5)f '(14)f '=+(1)2f '==-.所以曲线()y f x =在点()5,(5)f 处的切线的斜率为(5)f '(1)2f '==-.选(D).(2)【答案】(B)【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该()f x 的(分段)表达式,然后再讨论()f x 的性质.不能隔着极限号去讨论. 【解析】现求()f x 的(分段)表达式： 当1x >时,21()lim 1n n x f x x →∞+=+2122lim 1n n n n x x x ---→∞+=+()()2122lim 01lim 1n n n n n x x x --→∞-→∞+==+0=； 当1x =时,21()lim1n n x f x x →∞+=+211lim 11n n →∞+=+22=1=；当1x =-时,21()lim1n n x f x x →∞+=+()211lim 11n n →∞-=+-02=0=； 当1x <时,21()lim 1n n x f x x →∞+=+()()2lim 1lim 1n n n x x →∞→∞+=+2011n x x →+ 1x =+. 由此, 0,1,0,1,()1,1,1,1,0,1.x x f x x x x x <-⎧⎪=-⎪⎪=+<⎨⎪=⎪>⎪⎩当当当当当 即0,11,()1,1,1, 1.x x f x x x x ≤->⎧⎪=+ <⎨⎪ =⎩当或当当 再讨论函数()f x 的性质：在1x =-处,()1lim x f x +→-()1lim 1x x +→-=+11=-0=,()()1lim 10x f x f -→-=-=,所以,()()11lim lim 0x x f x f x +-→-→-==,函数()f x 在1x =-处连续,不是间断点.在1x =处,()1lim x f x +→1lim 0x +→=0=；()1lim x f x -→()1lim 1x x -→=+2=； 所以()1lim x f x +→()1lim x f x -→≠,函数()f x 在1x =处不连续,是第一类间断点.故选(B). (3)【答案】(C)【解析】方法1:由0AB =知()()3r A r B +≤,又0,0A B ≠≠,于是1()3,r A ≤<1()3r B ≤<,故0,0A B ==,即2210101011011(1)0111111A λλλλλλλλλλλλ--==--==-=--,得 1.λ=应选(C).方法2:由0AB =知()()3r A r B +≤,又0,0A B ≠≠,于是1()3,r A ≤<1()3r B ≤<,故0B =.显然,1λ=时111111111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有1()3,r A ≤<故应选(C). 作为选择题,只需在2λ=-与1λ=中选择一个,因而可以用特殊值代入法.评注：对于条件0AB =应当有两个思路：一是B 的列向量是齐次方程组0Ax =的解；二是秩的信息,即()()r A r B n +≤,要有这两种思考问题的意识. (4)【答案】(B) 【解析】1111100(1)110101101a a a aa aa a a a a A aa a a a aaaa a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1(1)0100(2)00100001n aa a a a a a +-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中(1)变换：将1行乘以(-1)再分别加到其余各行；(2)变换：将其余各列分别加到第1列.由阶梯形矩阵知,当1(1)0n a +-=,即11a n=-时,有()1r A n =-,故应选(B). (5)【答案】(A)【解析】根据分布函数的性质lim ()1x F x →+∞=,即121lim ()()()()x F x F aF bF a b →+∞==+∞=+∞-+∞=-.在所给的四个选项中只有(A)满足1a b -=,故应选(A). 【相关知识点】分布函数()F x 的性质：yxO (1) ()F x 单调不减；(2) lim ()()0,lim ()()1;x x F x F F x F →-∞→+∞=-∞==+∞=(3) ()F x 是右连续的.三、(本题满分5分) 【解析】 arctanarctan2222()()()y y xxdz ed x y x y d e--=+++[]arctan22arctan222arctan22arctan22()(arctan )122()()1()22(2)(2)y xyxy xy xy exdx ydy x y d x y exdx ydy x y d y x x xdy ydx e xdx ydy x x ex y dx y x dy ----⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+-+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦-⎡⎤=+-⋅⎢⎥⎣⎦=++- 由全微分与偏微分的关系可知,其中dx 的系数就是z x∂∂,即arctan (2)yxz x y ex -∂=+∂.再对y 求偏导数,得222arctanarctanarctan 222211(2).1yyyxxxzy xy x e x y ee y x yx x y x ---⎛⎫⎪∂--=-+= ⎪∂∂+ ⎪+⎪⎝⎭四、(本题满分5分)【解析】22{(,)}D x y x y x =+≤表示圆心为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为12的圆及其内部,画出区域D ,如右图. 方法1: {}22(,)|01,D x y x x x y x x=≤≤-≤≤-所以, 221120221x x x xDxdxdy xdx x x x dx x xdx ---==-=-⎰⎰⎰, 1x t -=,则21x t =-,2dx tdt =-,:10t →所以上式1350122210082(1)(2)4(1)43515t t t t t dt t t dt ⎛⎫=-⋅-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰.方法2:引入极坐标系cos ,sin x r y r θθ= =,于是(,)|,0cos 22D r r ππθθθ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭,3cos cos 2222232048cos .515Dd r drd ππθθπππθθθθ--====⎰⎰⎰⎰⎰其中倒数第二步用了华里士公式：21342cos 1253n n n d n n πθθ--=⋅⋅⋅⋅⋅-⎰,其中n 为大于1的正奇数.五、(本题满分6分)【分析】根据连续复利公式,在年利率为r 的情况下,现时的A (元)在t 时的总收入为()e rt R t A =,反之,t 时总收入为()R t 的现值为()()ertA t R t -=,将0R R =代入即得到总收入的现值与窖藏时间t 之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为()e rt A t R -=,而由题设,t年末的总收入0R R =据此可列出()A t ：()ert rtA t R R -==,令 dAdt0rtd R dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭00rtR r ⎫==⎪⎭, 得惟一驻点 02125t t r ==. 22d Adtd dA dt dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭0rtdR r dt⎛⎫⎫=⎪⎪⎭⎝⎭00rtrtd d R r R r dt dt ⎛⎫⎫⎫=⋅-+- ⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎭200rt rtR r R⎛⎫⎫=-+⎪⎭⎝ 20rt R r ⎡⎤⎫=-⎢⎪⎭⎢⎣1232502(12.5)0r t td AR e r dt ==-<.根据极值的第二充分条件,知：0t t =是()A t 的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值点.故窖藏2125t r=年出售,总收入的现值最大.当0.06r =时, ()21250.06t =⋅100119=≈(年). 【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值；当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.六、(本题满分6分)【分析】本题要证的结论中出现两个中值点ξ和η,这种问题一般应将含有ξ和η的项分别移到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证()()()()b a f b a e e f e ηξη-''-=-.【解析】方法1: 函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,对函数()f x 在[],a b 上用拉格朗日中值定理,有()()()(),.f b f a f b a a b ξξ'-=-<<又函数()f x 与xe 满足柯西中值定理的条件,将函数()f x 与xe 在[],a b 上用柯西中值定理,有()()(),b a f b f a f a b e e e ηηη'-=<<-,即()()()b a f f b f a e e eηη'-=-（）. 从而有()()()baf f b a e e eηηξ''-=-（）,即(),,(,)()b a f e e e a b f b a ηξξηη-'-=⋅∈'-. 方法2：题中没有限制ξη≠,因此取ξη=,即成为要去证存在(,)a b η∈使.b ae e e b aη-=- 在[],a b 上对函数xe 用拉格朗日中值定理,存在(,)a b η∈使, 1.b a b a e e e e e e b a b aηη---=⋅=--即 再取ξη=,则()1()b a f e e e f b aηξη-'-==⋅'-,原题得证.【相关知识点】1.拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立. 2. 柯西中值定理：如果函数()f x 及()F x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导； (3) 对任一(,)x a b ∈,()0F x '≠, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ,使等式()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-成立.七、(本题满分6分) 【解析】(1)由21y nx n =+与21(1)1y n x n =+++得n a =因图形关于y 轴对称,所以,所求图形的面积为220320112(1)121422(1)(1)33nn a n a n n S nx n x dx n n a a x dx n n n n ⎡⎤=+-+-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=-+=-=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰ (2)由(1)的结果知41411()3(1)31n n S a n n n n ==-++, 根据级数和的定义,111411414lim lim lim 1.31313n nn k n n n n k k n k S S a a k k n ∞→∞→∞→∞===⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑∑∑八、(本题满分7分)【分析】本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线()y f x =等围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积()V t 与包含函数f 的一个恒等式,这正是列方程的依据.【解析】由绕x 轴旋转的旋转体体积公式得21()()tV t f x dx π=⎰,于是,依题意得221()()(1)3t f x dx t f t f ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰,即2213()()(1)tf x dx t f t f =-⎰. 两边对t 求导,化成微分方程223()2()()f t tf t t f t '=+,其中()f t 为未知函数.按通常以x 表示自变量,y 表示未知函数()f t ,于是上述方程可写为2232,x y y xy '=-即23()2().dy y ydx x x=- 这是一阶齐次微分方程.令y ux =,有dy duu x dx dx=+⋅,则上式化为 2()32,duu x u u dx+=- 即 3(1).duxu u dx=- (*) 若0u =,则0,y ux ==不满足初始条件229x y ==,舍弃；若1u =,则,y ux x ==也不满足初始条件229x y ==,舍弃；所以,0u ≠,且1u ≠.由(*)式分离变量得3,(1)du dx u u x =-两边积分得31u Cx u-=.从而方程(*)的通解为3,y x Cx y C -=为任意常数.再代入初值,由229x y==,得1C =-,从而所求的解为 33,,(1).1xy x x y y x x-=-=≥+或 【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则 [][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.九、(本题满分9分)【解析】(1)对等式0Tαβ=两边取转置,有()0TTT αββα==,即0T βα=.利用0Tβα=及矩阵乘法的运算法则,有()22TT T A αβαβαβ==()00T T T T αβαβαβαβ===0=,即2A 是n 阶零矩阵.(2)设λ是A 的任一特征值,(0)ξξ≠是A 属于特征值λ的特征向量,即A ξλξ=.对上式两边左乘A 得2A ξ()()A A λξλξλλξ===2λξ=,由(1)的结果20A =,得220A λξξ==,因0ξ≠,故0λ=(n 重根),即矩阵的全部特征值为零.下面求A 的特征向量：先将A 写成矩阵形式[]1111212212221212,,,n n Tn n n n n n a a b a b a b a a b a b a b A b b b a a b a b a b αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.不妨设110,0a b ≠≠,则有111211221222212221121212(0)1()01(2,,)n n n n n n n n n n n n n i a b a b a b b b b a ba b a b a b a b a b E A a a b a b a b a b a b a b b b b a i i n ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥-=÷-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⨯=行行加到行00000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是得方程组(0)0E A x -=同解方程组11220n n b x b x b x +++=,这样基础解系所含向量个数为(0)1n r E A n --=-.选2,,n x x 为自由未知量,将它们的组值111(,0,,0),(0,,,0),(0,0,,)b b b 代入,可解得基础解系为12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,)n n b b b b b b ξξξ-=-=-=-则A 的属于0λ=的全部特征向量为112211n n k k k ξξξ--+++,其中121,,,n k k k -为不全为零的任意常数.十、(本题满分7分)【分析】由于B 是实对称矩阵,B 必可相似对角化,而对角矩阵Λ即B 的特征值,只要求出B 的特征值即知Λ,又因正定的充分必要条件是特征值全大于零,k 的取值亦可求出. 【解析】方法1：由y 20211112(2)(2)1111E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-----, 可得A 的特征值是1232,0.λλλ===那么,kE A +的特征值是2,2,k k k ++,而2()B kE A =+的特征值是222(2),(2),.k k k ++又由题设知A 是实对称矩阵,则,TA A =故222()()()TTTB kE A kE A kE A B ⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎣⎦⎣⎦, 即B 也是实对称矩阵,故B 必可相似对角化,且222(2)000(2)000k Bk k ⎡⎤+⎢⎥Λ=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 当20k k ≠-≠且时,B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.方法2：由2101112(2)(2)1111E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-----, 可得A 的特征值是1232,0.λλλ===因为A 是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P 使1220P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,即1A P P -=Λ.那么 221121()()()B kE A kPP P P P kE P ---⎡⎤=+=+Λ=+Λ⎣⎦1121()()().P kE P P kE P P kE P ---=+Λ+Λ=+Λ即12()P BP kE -=+Λ.故222(2)000(2)000k Bk k ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 当20k k ≠-≠且时,B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.【相关知识点】1.特征值的性质：若A 有特征值λ,则A 的特征多项式()f A 有特征值()f λ. 2.矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.十一、(本题满分10分)【解析】设Z 表示商店每周所得的利润,当Y X ≤时,卖得利润为1000Z Y =(元)； 当Y X >时,调剂了Y X -,总共得到利润1000500()500()Z X Y X X Y =+-=+(元).所以,1000, ,500(), .Y Y X Z X Y Y X ≤⎧=⎨+>⎩由题设X 与Y 都服从区间[10,20]上的均匀分布,联合概率密度为1, 1020,1020,(,)1000, x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.由二维连续型随机变量的数学期望定义得1212202020101010202021010()1000(,)500()(,)111000500()100100105()310(20)5(1050)2200005150014166.67().3D D D D yyE Z y f x y dxdy x y f x y dxdyy dxdy x y dxdy dy ydx dy x y dxy y dy y y dy=⋅++⋅=⋅++⋅=++=-+--=+⨯≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰元十二、(本题满分9分)【解析】记事件j B =“第j 次抽到的报名表是女生表”(1,2)j =,i A =“报名表是第i 个地区的”(1,2,3)i =.易见,123,,A A A 构成一个完备事件组,且1112131{}(1,2,3),3375{},{},{}.101525i P A i P B A P B A P B A =====(1) 应用全概率公式,知3111137529{}{}{}()310152590i i i p P B P A P B A ===⋅=++=∑.(2) 12{}q P B B =.需先计算概率12{}P B B 与2{}P B .对事件12B B 再次用全概率公式：3121211377852020{}{}{}()31091514252490i i i P B B P A P B B A ==⋅=⋅+⋅+⋅=∑,由“抽签原理”可知2161()()90P B P B ==, 12122()209020{}906161()P B B q P B B P B ===⋅=. 【相关知识点】1.全概率公式：如果事件1,,n A A 构成一个完备事件组,即它们是两两互不相容,其和为Ω(总体的样本空间)；并且()0,1,2,,i P A i n >=,则对任一事件B 有()1()(|)ni i i P B P A P B A ==∑.。
考研数三(1987-1997年)历年真题
六、(本题满分 6 分)
设函数 f (x) 在[0, ) 上连续、单调不减且 f (0) 0 ,试证函数
F
(
x)
1 x
x tn f (t)dt,
0
若x 0,
0,
若x 0,
在[0, ) 上连续且单调不减(其中 n 0 ).
七、(本题满分 6 分)
从点 P1(1, 0) 作 x 轴的垂线,交抛物线 y x2 于点 Q1(1,1) ；再从 Q1 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P2 ,然后又从 P2 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一系列的点 P1,Q1; P2,Q2; ; Pn,Qn; .
1 n
(D) 若级数 un 收敛,且 un vn (n 1, 2, ) ,则级数 vn 也收敛
n1
n1
(3) 设 n 阶矩阵 A 非奇异( n 2 ), A 是矩阵 A 的伴随矩阵,则
()
(A) ( A ) A n1 A (C) ( A ) A n2 A
2
PY 1 1 ,则下列各式中成立的是
2
()
(A) PX Y 1
2
(B) PX Y 1
(C) PX Y 0 1
4
(D) PXY 1 1
4
三、(本题满分 6 分) 在经济学中,称函数
Q(x)
A[
K
x
(1
) L x
1
]x
x2 y24t2
2
九、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 为 n 维列向量, b 为常数.记分块矩阵
1998考研数学三真题
1998考研数学三真题1998考研数学三真题1998年的考研数学三真题是一道具有一定难度的数学问题，涉及到了多个数学概念和方法。
通过对这道题目的分析和解答，我们可以深入理解数学的应用和推理过程。
这道题目是关于概率统计的，题目中给出了一个实验，该实验的结果可以用一个1到9的整数表示。
根据实验结果的不同，我们可以得到一组数据。
题目要求我们根据这组数据计算出一个概率。
首先，我们需要了解概率的基本概念和计算方法。
概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0到1之间的数表示。
对于这道题目来说，我们需要计算的是某个特定事件发生的概率。
题目中给出的实验结果是一个1到9的整数，这意味着我们需要考虑的可能性有9种。
我们可以通过列举所有可能的结果，然后计算出特定事件发生的次数，最后用次数除以总次数来得到概率。
然而，题目中并没有给出实验结果的具体数据，而是给出了一些限制条件。
这就需要我们利用这些条件来推导出实验结果的可能性和概率。
题目中提到了两个条件：第一，实验结果是一个奇数；第二，实验结果不是9。
根据这两个条件，我们可以得出实验结果的可能性。
首先，根据第一条条件，实验结果是一个奇数，那么实验结果只能是1、3、5、7、9中的一个。
这样我们就将可能的结果缩小到了5种。
然后，根据第二条条件，实验结果不是9，那么实验结果只能是1、3、5、7中的一个。
这样我们就将可能的结果进一步缩小到了4种。
现在，我们已经得到了实验结果的可能性，接下来我们需要计算出特定事件发生的次数。
题目中要求的是实验结果为偶数的概率。
根据我们的计算，实验结果为偶数的可能性只有两种，即2和4。
所以，我们只需要计算出实验结果为2和4的次数，然后将其相加，再除以总次数，就可以得到概率。
假设实验总次数为n，那么实验结果为2的次数为n/9，实验结果为4的次数也为n/9。
所以，特定事件发生的次数为2n/9。
将特定事件发生的次数除以总次数n，就可以得到概率。
即(2n/9)/n=2/9。
考研数学三1988
一、填空题（本题满分20分，每小题4分）
（1）若 上的连续函数，则
（2）若
（3）设f（x）是连续函数，且
（4）
（5）
二、选择题:（本题满分20分，每小题4分）.
(1) 的图形在点(0,1)处切线与x轴交点的坐标是（）
(A) (B) (C) (D)
(2)若 ( )
设 上有连续导数，且
（1）求
（2）证明
极值点
极值
凹 区间
凸 区间
拐点
渐近线
五、（本题满分8分）
将长为 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形。问着两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？
六、（本题满分10分）
设函数 满足微分方程 且图形在点 处的切线与曲线 在该点的切线重合，求函数 。
七、（本题满分6分）
设
八、（本题满分6分）
(B) 中任意两个向量都线性无关
(C) 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出
(D) 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出
三、（本题满分15分，每小题5分）
（1）已知 并写出它的定义域。
（2）知
（3）求微分方程 的通解（一般解）。
四、（本题满分12分）
作函数 的图形，并填写下表。
单调增区间
单调减区间
(A) (B)
(C) (D)
(3)若函数 时，该函数在 处的微分 是( )
(A)与 等阶的无穷小(B)与 同阶的无穷小(C)与 低阶的无穷小(D)与 高阶的无穷小
(4)曲线 与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 维向量组 线性无关的充分必要条件是( )
1988年考研数学三真题及解析
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一．(本题满分15分，每小题5分)(1) 求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域. 解：因11(3)1(1)3lim lim 33,(3)3(1)33n n n n n nx n n x x x n n ++→∞→∞-+⋅=-=--+⋅故131063x x -<<<即时，幂级数收敛.……3分 当0x =时，原级数成为交错级数11(1)nn n∞=-∑，是收敛的. ……4分 当6x =时，原级数成为调和级数11n n ∞=∑，是发散的.……5分所以，所求的收敛域为[)0,6.(2) 已知f(x)= e2x ,f []()x ϕ=1-x,且 ϕ(x)≥0.求 ϕ(x)并写出它的定义域.解：由2[()]1x e x ϕ=-，得()x ϕ=.……3分 由ln(1)0x -≥，得11x -≥即0x ≤.……5分所以()x ϕ=，其定义域为(,0).-∞(3)设S 为曲面1222=++z y x 的外侧，计算曲面积分⎰⎰++=sdxdy z dxdx y dydz x I 333. 解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有2223()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰（其中Ω是由S 所围成的区域）……2分 212203d sin d r r dr ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰……4分 125π=.……5分二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1) 若f(t)=∞→x lim t tx x2)11(+，则()f t '=2(21)t t e +(2) 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(]1,1-上的定f(x)= {1,210,3≤<-≤<x x x ,则f(x)的付立叶级数在x=1处收敛于23.(3) 设f(x)是连续函数，且⎰-=13,)(x x dt t f 则f(7)=112.(4) 设4*4矩阵A=),(4,3,2γγγα，B=),(4,3,2γγγβ，其中，4,32,,,γγγβα均为4维列向量， 且已知行列式 ,1,4==B A 则行列式B A +=.40.三、选择题 ( 本题满分15分，每小题3分)(1) 若函数y=f(x)有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函x=0x 处的微分dy 是 (B) (A) 与x ∆等价的无穷小 (B) 与x ∆同阶的无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小(2) 设()y f x =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若()0f x >，且0)(0='x f ，则函数()f x 在点0x (A)(A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加(D) 某个邻域内单调减少(3) 设有空间区域 22221:R z y x ≤++Ω,;0≥z 及22222:R z y x ≤++Ω,,0,0,0≥≥≥z y x 则 (C)(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv(B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv(C) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv zdv(D) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv(4) 若nn n x a )1(1-∑∞=在x=-1处收敛，则此级数在x=2处 (B)(A) 条件收敛(B) 绝对收敛 (C) 发散(D) 收敛性不能确定(5) n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是 (D)(A) 有一组不全为0的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k ααα+++≠ . (B) 12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关.(C) 12,,,s ααα 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)12,,,s ααα 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四．(本题满分6分)设)()(xyxg y x yf u +=，其中f,g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.解：.u x y y y f g g x y x x x ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分 22231.u x y y f g x y y x x ⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ ……3分 222.u xx y y f g x y y y xx ⎛⎫∂⎛⎫''''=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ……5分 所以2220u ux y x x y∂∂⋅+⋅=∂∂∂.……6分五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程,223x e y y y =+'-''且图形在点(0，1)处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，求函数).(x y y = 解：对应齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+.……2分 设原方程的特解为*,x y Axe = ……3分 得2A =-.……4分 故原方程通解为2212()2x x x y x C e C e xe =+-.……5分 又已知有公共切线得00|1,|1x x y y =='==-，……7分 即12121,21c c c c +=⎧⎨+=⎩解得121,0c c ==.……8分所以2(12).x y x e =-六、(本题满分9分)设位于点(0，1)的质点A 对质点M 的引力大小为2r k(k>0为常数，r 为质点A 与M 之间的距离—)，质点M 沿曲线22x x y -=自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A 对质M 点的引力所做的功.解：{0,1}MA x y =--……2分r =因引力f的方向与MA 一致，故3{,1}k f x y r =--. ……4分从而 3[(1)]BO kW xdx y dy r=-+-⎰ ……6分(1k =⋅. ……9分七、(本题满分6分)已知PB AP =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B 求A 及5A .解：先求出1100210411P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. ……2分因PB AP =，故1100100100210000210211001411A PBP -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪==-- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 100100100200210200201411611⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……4分从而555111511A AAAAA PBP PBP PBP PB P PBP A -----===个个（）()()==. ……6分八、(本题满分8分)已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，(1) 求x 与y ； (2) 求一个满足B AP P =-1的可逆矩阵P .解：(1) 因A 与B 相似，故||||λλ-=-E A E B ，即……1分20020001000101yx λλλλλλ---=---+，亦即22(2)(1)(2)((1))x y y λλλλλλ---=-+--.比较两边的系数得0,1x y ==.此时200001010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200010001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……3分 (2) 从B 可以看出A 的特征值2,1,1λ=-. ……4分 对2λ=，可求得A 的特征向量为1100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=，可求得A 的特征向量为2011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=-，可求得A 的特征向量为3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……7分因上述123,,p p p 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令123100(,,)011011p p p ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则P 可逆，且有B AP P =-1.……8分九、(本题满分9分)设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且在),(b a 内有0)(>'x f .证明：在),(b a 内存在唯一的ξ，使曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积1s 是曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积2s 的3倍.证：存在性 在[,]a b 上任取一点t ，令⎰⎰---=btt adx t f x f dx x f t f t F )]()([3)]()([)(()()()3()()()t ba t f t t a f t dx f x dx f tb t ⎡⎤⎡⎤=-----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰…3分 则()F t 在[,]a b 上连续.又因0)(>'x f ,故()f x 在[,]a b 上是单调增加的. 于是在(,)a b 内取定点c ，有()3[()()]3[()()]3[()()]bcbaacF a f x f a dx f x f a dx f x f a dx =--=----⎰⎰⎰[]113[()()]3()()()0,bcf x f a dx f f a b c c b ξξ≤--=---<≤≤⎰..()[()()][()()][()()]bcbaacF b f b f x dx f b f x dx f b f x dx =-=-+-⎰⎰⎰[()()]caf b f x dx ≥-⎰[]22()()()0,f b f c a a c ξξ=-->≤≤.……5分 所以由介值定理知，在(,)a b 内存在ξ,使0)(=ξF ，即.321S S =……6分 唯一性 因()()[()3()]0F t f t t a b t ''=-+->，……8分 故)(t F 在(,)a b 内是单调增加的.因此，在(,)a b 内只有一个ξ, 使.321S S =……9分十、填空题(共6分，每个2分)(1) 设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为13.(2) 在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725.(3) 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知)(x Φ=du e u x 2221-∞-⎰π，9938.0)5.2(=Φ，则X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度函数为)1(1)(2x x f x +=π，求随机变量31X Y -=的概率密度函数)(y f Y .解：因Y 的分布函数()()Y F y P Y y =<……1分3{1}1}{(1)}P y P y P X y ==>-=>-……2分333(1)(1)211arctan ar (ctan(11))2y y dx x y x ππππ+∞+∞--⎡⎤===--⎢⎥+⎣⎦⎛⎜⎠. ……4分 故Y 的概率密度函数为)(y f Y 363(1)()1(1)Y d y F y dy y π-==+-. ……6分数 学（试卷二）一．(本题满分15分，每小题5分) (1) 【 同数学一 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第一、(3) 题 】二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】三、选择题(本题满分15分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第三、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第三、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第三、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题 】 (5) 【 同数学一 第三、(5) 题 】四．(本题满分18分，每小题6分) (1) 【 同数学一 第四题 】 (2) 计算dy yxdx dy y xdx x xx⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinππ.解：dy y x dx dy y x dx x x x ⎰⎰⎰⎰+422212sin 2sin ππ221sin 2y y x dy dx y π=⎰⎰ ……3分 212cos cos 22y y dy πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰. ……4分 33284cos ()(2)2y t tdt t ππππππ=-==+⎰令. ……6分。
1988考研数学一、二、三真题+答案【无水印】(2)
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学Ⅰ一、（每小题5，本题满分15分）（1）求幂级数133nnn x n的收敛域.（2）已知 2x f x e ， 1f x x，且 0x .求 x 并写出它的定义域.（3）设S 为曲面2221x y z 的外侧，计算曲面积分333SI x dydz y dzdx z dxdy.二、填空题：（本题满分12分，每小题3分）（1）若 21lim 1t xx f t t x，则 f t（2）设 f x 是周期为2的周期函数，它在区间 1,1 上定义为 32,10,01x f x x x ，则 f x 的傅里叶级数在1x 处收敛于.（3）设 f x 是连续函数，且31x f t dt x，则7f .（4）设4阶矩阵 234,,,A ， 234,,,B ，其中，234,,,, 均为4维列向量，且已知行列式4A ，1B ，则行列式A B.三、选择题（每小题3分，满分15分）（1）若函数 y f x 有 012f x ，则当0x 时，该函数在0x x 处的微分dy 是（ ）（A ）与x 等价的无穷小 （B ）与x 同阶的无穷小 （C ）比x 低阶的无穷小 （D ）比x 高阶的无穷小（2）设()y f x 是方程240y y y 的一个解，若()0f x ，且0()0f x ，则函数()f x 在点0x （A ）取得极大值（B ）取得极小值（C ）某个邻域内单调增加（D ）某个邻域内单调减少（3）设有空间区域22221:,0x y z R z 及22222:x y z R ，0,0,0x y z ，则（ ） （A ）124xdv xdv（B ）124ydv ydv（C ）124zdv zdv（D ）124xyzdv xyzdv（4）若11nn n a x在1x 处收敛，则此级数在2x 处（ ）（A ）条件收敛 （B ） 绝对收敛（C ）发散（D ）收敛性不能确定（5）n 维向量组 12,,,3s s n 线性无关的充分必要条件是（ ）（A ）有一组不全为0的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k （B ）12,,,s 中任意两个向量都线性无关（C ）12,,,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 （D ）12,,,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出四、（本题满分6分）设x y u yf xg y x，其中,f g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y .五、（本题满分8分）设函数 y y x 满足微分方程322x y y y e ，且图形在点 0,1处的切线与曲线21y x x 在该点的切线重合，求函数 y y x .六、（本题满分9分）设位于点 0,1的质点A 对质点M 的引力大小为2kr 0k 为常数，r 为质点A 与M 之间的距离），质点M 沿曲线y 2,0B 运动到 0,0O .求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所做的功.七、（本题满分6分）已知AP PB ，其中100000001B ，100210211P，求A 及5A .八、（本题满分8分）已知矩阵20000101A x与2000001B y相似，（1）求x 与y ，（2）求一个满足1P AP B 的可逆矩阵P .九、（本题满分9分）设函数 f x 在区间 ,a b 上连续，且在 ,a b 内有 0f x .证明：在 ,a b 内存在唯一的 ，使曲线 y f x 与两直线 y f ，x a 所围平面图形面积1S 是曲线y f x 与两直线 y f ，x b 所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题（每小题2分，满分6分）（1）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为（2）在区间 0,1中随机地取两个数，则事件“两数之和小于65”概率为（3）设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知22u xx du， 2.50.9938 ，则X 落在区间 9.95,10.05内的概率为十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21()1X f x x，求随机变量1Y 的概率密度函数()Y f y .一、（本题满分15分，每小题5分） （1）【同数学Ⅰ第一（1）题】 （2）【同数学Ⅰ第一（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第一（3）题】二、填空题（本题满分12分，每小题3分） （1）【同数学Ⅰ第二（1）题】 （2）【同数学Ⅰ第二（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第二（3）题】 （4）【同数学Ⅰ第二（4）题】三、选择题（本题满分15分，每小题3分） （1）【同数学Ⅰ第三（1）题】（2）【同数学Ⅰ第三（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第三（3）题】 （4）【同数学Ⅰ第三（4）题】 （5）【同数学Ⅰ第三（5）题】四、（本题满分18分，每小题6分） （1）【同数学Ⅰ第四题】 （2）计算2421222xxxdx dy dx dyyy（3）求椭球面2222321x y z 上某点M 处的切平面 的方程，使平面 过已知直线6321:212x y z l .五、（本题满分 8 分）【同数学Ⅰ第五题】六、（本题满分 9 分）【同数学Ⅰ第六题】 七、（本题满分 6 分）【同数学Ⅰ第七题】 八、（本题满分 8 分）【同数学Ⅰ第八题】九、（本题满分 9 分）【同数学Ⅰ第九题】一、填空题（每小题4分，满分20分）（1）若 sin cos ,02,0x e x x x f x x a x 是 , 上的连续函数，则a（2）【同数学Ⅰ第二（1）题】 （3）【同数学Ⅰ第二（3）题】 （4）0lim tanxx（5）4二、选择题（每小题4分，满分20分）（1）3211()6132f x x x x 的图形在点 0,1处切线与x 轴交点的坐标是（ ）（A ）1,06（B ） 1,0 （C ）1,06（D ）1,0（2）若()f x 与()g x 在 , 上皆可导，且()()f x g x ，则必有（ ）（A ）()()f x g x （B ）()()f x g x （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x （D ）()()xxf t dtg t dt（3）【同数学Ⅰ第二（1）题】（4）曲线 32sin ,0y x x 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转体体积是（ ） （A ）43（B ）43（C ）223（D ）23（5）【同数学Ⅰ第三（5）题】 三、（本题满分15分，每小题5分） （1）【同数学Ⅰ第一（2）题】（2）已知1xy y xe ，求0y x 及0y x （3）求微分方程2111y y x x x的通解（一般解）. 四、（本题满分12分） 作函数2624y x x 的图形，并填写下表.单调增区间单调减区间极值点极值凹 区间凸 区间拐 点渐近线五、（本题满分8分）将长为a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六、（本题满分10分）【同数学Ⅰ第五题（分值不同）】 七、（本题满分7分） 设1x ，求11||xt dt .八、（本题满分8分）设 f x 在 , 上有连续导数，且 m f x M .（1）求 201lim4aaa f t a f t a dt a；（2）证明1,02aa f t dt f x M m a a.数学Ⅳ一、填空题（本题满分12分，每空1分）（一）已知函数 212xt f x edt，x（1） f x （2） f x 的单调性：（3） f x 的奇偶性：（4） f x 图形的拐点：（5） f x 图形的凹凸性：（6） f x 图形的水平渐近线：（二）1110110110110111（三）10001001001001000（四）假设 0.4P A ， 0.7P A B ，那么（1）若A 与B 互不相容，则 P B （2）若A 与B 相互独立，则 P B二、判断题（本题满分10分，每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分）（1）若极限 0lim x x f x 与 0lim x x f x g x 都存在，则极限 0lim x x g x 必存在.（ ）（2）若0x 是函数 f x 的极值点，则必有 0f x .（ ）（3）等式aaf x dx f a x dx，对任何实数a 都成立.（ ）（4）若A 和B 都是n 阶非零方阵，且0AB ，则A 的秩必小于n .（ ） （5）若事件A ，B ，C 满足等式A B B C ，则A B .（ ）三、计算下列各题（每小题4分，满分16分）（1）求极限 11limln x x x x x （2）已知uu e xy ，求2ux y.（3）求定积分3（4）求二重积分66cos yxdy dx x四、（本题满分6分，每小题3分）（1）讨论级数111!n n n n的敛散性（2）已知级数21nn a与2ii nb都收敛，试证明级数1n nn a b绝对收敛.五、（本题满分6分）已知某商品的需求量D 和供给量S 都是价格P 的函数： 2aD D p p， S S p bp ，其中0a 和0b 是常数；价格P 是时间t 的函数且满足方程 dpk d p s p dt，（k 是常数），假设当0t 时价格为1，试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格e P ； （2）价格函数 P t ；（3）极限lim t P t六、（本题满分8分）在曲线 2,0y x x 上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程：（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.七、（本题满分8分）已给线性方程组123412341213412342231363315351012x x x x x x x x x x k x x x x x x k，问1k 和2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.八、（本题满分7分）已知向量组 12,,,2s a a a s 线性无关，设112a a ，223a a ，…，11s s s a a ，1s s a a ，讨论向量组12,,,s 的线性相关性.九、（本题满分6分）设A 是三阶方阵，A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式12A，求行列式 132A A 的值. 十、（本题满分6分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率是0.8,0.1,0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察4只，若无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 .十一、（本题满分6分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X 的概率分布；（2）利用棣莫佛拉普拉斯定理.求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. （附：(2.5)0.994,(1.5)0.993 ）十二、（本题满分6分）假设随机变量X 在区间 1,2上服从均匀分布.试求随机变量2x Y e 的概率密度 f y .数学Ⅴ一、【同数学Ⅳ第一题】 二、【同数学Ⅳ第二题】三、（每小题４分，满分16分）（１）求极限21lim 1tan 2x xx （２）已知xyu e ，求2ux y（３）【同数学Ⅳ第三（3）题】 （４）【同数学Ⅳ第三（4）题】 四、（本题满分6分）确定常数a 和b ，使函数 2,1,1ax b x f x x x处处可导.五、（本题满分8分）【同数学Ⅲ第五题】 六、（本题满分8分）【同数学Ⅳ第六题】 七、（本题满分8分）【同数学Ⅳ第七题】 八、（本题满分6分）已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2320A A E ,E 是单位矩阵.证明A 可逆并求出其逆矩阵1A .九、（本题满分7分）【同数学Ⅳ第八题】十、（本题满分7分）【同数学Ⅳ第十题】 十一、（本题满分7分） 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只：若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望与方差.十二、（本题满分5分）【同数学Ⅳ第十二题】1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一．(本题满分15分，每小题5分)(1) 求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域. 解：因11(3)1(1)3lim lim 33,(3)3(1)33n n n n n nx n n x x x n n ++→∞→∞-+⋅=-=--+⋅故131063x x -<<<即时，幂级数收敛.……3分当0x =时，原级数成为交错级数11(1)nn n∞=-∑，是收敛的. ……4分 当6x =时，原级数成为调和级数11n n ∞=∑，是发散的.……5分所以，所求的收敛域为[)0,6.(2) 已知f(x)= e2x ,f []()x ϕ=1-x,且 ϕ(x)≥0.求 ϕ(x)并写出它的定义域.解：由2[()]1x e x ϕ=-，得()x ϕ=.……3分 由ln(1)0x -≥，得11x -≥即0x ≤. ……5分所以()x ϕ=，其定义域为(,0).-∞(3)设S 为曲面1222=++z y x 的外侧，计算曲面积分⎰⎰++=sdxdy z dxdx y dydz x I 333. 解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有2223()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰（其中Ω是由S 所围成的区域）……2分 212203d sin d r r dr ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰……4分 125π=.……5分二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1) 若f(t)=∞→x lim t tx x2)11(+，则()f t '=2(21)tt e +(2) 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(]1,1-上的定f(x)= {1,210,3≤<-≤<x x x ,则f(x)的付立叶级数在x=1处收敛于23.(3) 设f(x)是连续函数，且⎰-=13,)(x x dt t f 则f(7)=112.(4) 设4*4矩阵A=),(4,3,2γγγα，B=),(4,3,2γγγβ，其中，4,32,,,γγγβα均为4维列向量， 且已知行列式 ,1,4==B A 则行列式B A +=.40.三、选择题 ( 本题满分15分，每小题3分)(1) 若函数y=f(x)有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函x=0x 处的微分dy 是 (B) (A) 与x ∆等价的无穷小 (B) 与x ∆同阶的无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小(2) 设()y f x =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若()0f x >，且0)(0='x f ，则函数()f x 在点0x (A)(A) 取得极大值(B) 取得极小值(C) 某个邻域内单调增加(D) 某个邻域内单调减少(3) 设有空间区域 22221:R z y x ≤++Ω,;0≥z 及22222:R z y x ≤++Ω,,0,0,0≥≥≥z y x 则 (C)(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv(B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv(C) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv zdv(D) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv(4) 若nn n x a )1(1-∑∞=在x=-1处收敛，则此级数在x=2处(B)(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛(C) 发散 (D) 收敛性不能确定(5) n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是(D)(A) 有一组不全为0的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k ααα+++≠ .(B) 12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关.(C) 12,,,s ααα 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)12,,,s ααα 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四．(本题满分6分)设)()(xyxg y x yf u +=，其中f,g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.解：.u x y y y f g g x y x x x ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分 22231.u x y y f g x y y x x ⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ ……3分 222.u xx y y f g x y y y xx ⎛⎫∂⎛⎫''''=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ……5分 所以2220u ux y x x y∂∂⋅+⋅=∂∂∂.……6分五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程,223x e y y y =+'-''且图形在点(0，1)处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，求函数).(x y y =解：对应齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+.……2分 设原方程的特解为*,x y Axe = ……3分 得2A =-.……4分 故原方程通解为2212()2x x x y x C e C e xe =+-.……5分 又已知有公共切线得00|1,|1x x y y =='==-，……7分 即12121,21c c c c +=⎧⎨+=⎩解得121,0c c ==. ……8分所以2(12).x y x e =-六、(本题满分9分)设位于点(0，1)的质点A 对质点M 的引力大小为2r k(k>0为常数，r 为质点A 与M 之间的距离—)，质点M 沿曲线22x x y -=自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A 对质M 点的引力所做的功.解：{0,1}MA x y =--……2分r =因引力f的方向与MA 一致，故3{,1}k f x y r =--.……4分从而 3[(1)]BO kW xdx y dy r=-+-⎰ ……6分(1k =⋅.……9分七、(本题满分6分)已知PB AP =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B 求A 及5A .解：先求出1100210411P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. ……2分因PB AP =，故1100100100210000210211001411A PBP -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪==-- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100200210200201411611⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……4分从而555111511A AAAAA PBP PBP PBP PB P PBP A -----===个个（）()()==. ……6分八、(本题满分8分)已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，(1) 求x 与y ； (2) 求一个满足B AP P =-1的可逆矩阵P .解：(1) 因A 与B 相似，故||||λλ-=-E A E B ，即……1分20020001000101yx λλλλλλ---=---+，亦即22(2)(1)(2)((1))x y y λλλλλλ---=-+--.比较两边的系数得0,1x y ==.此时200001010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200010001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……3分 (2) 从B 可以看出A 的特征值2,1,1λ=-. ……4分对2λ=，可求得A 的特征向量为1100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=，可求得A 的特征向量为2011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=-，可求得A 的特征向量为3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……7分因上述123,,p p p 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令123100(,,)011011p p p ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则P 可逆，且有B AP P =-1.……8分九、(本题满分9分)设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且在),(b a 内有0)(>'x f .证明：在),(b a 内存在唯一的ξ，使曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积1s 是曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积2s 的3倍.证：存在性 在[,]a b 上任取一点t ，令⎰⎰---=btt adx t f x f dx x f t f t F )]()([3)]()([)(()()()3()()()t ba t f t t a f t dx f x dx f tb t ⎡⎤⎡⎤=-----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰…3分 则()F t 在[,]a b 上连续.又因0)(>'x f ,故()f x 在[,]a b 上是单调增加的. 于是在(,)a b 内取定点c ，有()3[()()]3[()()]3[()()]bcbaacF a f x f a dx f x f a dx f x f a dx=--=----⎰⎰⎰[]113[()()]3()()()0,bcf x f a dx f f a b c c b ξξ≤--=---<≤≤⎰..()[()()][()()][()()]bcbaacF b f b f x dx f b f x dx f b f x dx=-=-+-⎰⎰⎰[()()]caf b f x dx ≥-⎰[]22()()()0,f b f c a a c ξξ=-->≤≤.……5分 所以由介值定理知，在(,)a b 内存在ξ,使0)(=ξF ，即.321S S =……6分 唯一性 因()()[()3()]0F t f t t a b t ''=-+->，……8分 故)(t F 在(,)a b 内是单调增加的.因此，在(,)a b 内只有一个ξ, 使.321S S =……9分十、填空题(共6分，每个2分)(1) 设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为13.(2) 在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725.(3) 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知)(x Φ=du e u x 2221-∞-⎰π，9938.0)5.2(=Φ，则X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度函数为)1(1)(2x x f x +=π，求随机变量31X Y -=的概率密度函数)(y f Y .解：因Y 的分布函数()()Y F y P Y y =<……1分3{1}1}{(1)}P y P y P X y ==>-=>-……2分 333(1)(1)211arctan ar (ctan(11))2y y dx x y x ππππ+∞+∞--⎡⎤===--⎢⎥+⎣⎦⎛⎜⎠. ……4分故Y 的概率密度函数为)(y f Y 363(1)()1(1)Y dy F y dyy π-==+-. ……6分数 学（试卷二）一．(本题满分15分，每小题5分) (1) 【 同数学一 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第一、(3) 题 】二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】三、选择题(本题满分15分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第三、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第三、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第三、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题 】 (5) 【 同数学一 第三、(5) 题 】四．(本题满分18分，每小题6分) (1) 【 同数学一 第四题 】 (2) 计算dy yxdx dy y xdx x xx⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinππ.解：dy yx dx dy y x dx x x x ⎰⎰⎰⎰+422212sin 2sin ππ221sin2y y xdy dx y π=⎰⎰……3分 212cos cos 22y y dy πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰.……4分 33284cos ()(2)2y t tdt t ππππππ=-==+⎰令. (6)分(3) 求椭球面2132222=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使平面π过已知直线2121326:--=-=-z y x l . 解：令222(,,)2321,F x y z x y z =++-则2,4,6.x y z F x F y F z ===椭球面在点000(,,)M x y z 处的切平面π的方程为0000002()4()6()0x x x y y y z z z -+-+-=,即0002321x x y y z z ++=.……2分 因为平面π过直线L ，故L 上的任两点，比如点17(6,3,)(0,0,)22A 、B 应满足π的方程，代入有000366212x y z ++= (1)02z = (2)又因 2220002321,x y z ++= (3)于是有0000003,0,21,2,2x y z x y z ======及.……4分 故所求切平面π的方程为274+621x z x y z +=+=和.……6分五、（本题满分8分）【 同数学一 第五题 】 六、（本题满分9分）【 同数学一 第六题 】 七、（本题满分6分）【 同数学一 第七题 】 八、（本题满分8分）【 同数学一 第八题 】 九、（本题满分9分）【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题 (本题满分20分，每小题4分)(1) 若⎩⎨⎧≤+>+=0,20),cos (sin )(2x x x x x e x f α是),(∞-∞上的连续函数，则=α1.(2) 【 同数学一 第二、（1）题 】 (3) 【 同数学一 第二、（3）题 】 (4)0tgxx →+=1.(5)4=⎰22(1)e +二、选择题 (本题满分20分，每小题4分)(1) 162131)(23+++=x x x x f 的图形在点（0，1）处切线与x 轴交点的坐标是 (A)(A) 1(,0)6- (B) (1,0)-(C) 1(,0)6- (D) (1,0)(2) 若)(x f 与)(x g 在),(∞-∞上皆可导，且)(x f 〈)(x g ，则必有(C)(A) ()()f x g x ->-(B) ()()f x g x ''< (C) 0lim ()lim ()x x x x f x g x →→<(D)()()Xxf t dtg t dt<⎰⎰(3) 【 同数学一 第二（1）题 】(4) 曲线)0(sin 23π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转(B)(A)43(B)43π (C)223π(D)23π【B 】(5) 【 同数学一 第三（5）题 】三、(本题满分15分，每小题5分) (1) 【 同数学一第一、（2）题 】(2) 已知xy xe y +=1，求0='x y 及0=''x y . 解： 显然0x =时，1y =.……1分 2()(1)xy xy xy y xe xy y e e x y xy '''=++=++.……2分 因此001x y e ='==；……3分而22(2)(1)(1)xy xy y e x y xy xy y e x y xy xy ''''''''=+++++++，……4分 即得000|2x y e e =''=+=.……5分(3) 求微分方程)1(112+=+'x x y x y 的通解（一般解）. 解：1121(1)dx dx x xy e e dx C x x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦⎰……3分 2111dx C x x ⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦⎰……4分 []1arctan x C x=+，其中C 是任意常数. ……5分四、(本题满分12分) 作函数4262+-=x x y 的图形，并填写下表其图形为：五、(本题满分8分)将长为a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？解： 设圆形的周长为x ，则正方形的周长为a x -，而两面积之和为222244216816a x x a a A x x ππππ-+⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……3分 4088a A x ππ+'=- （令），得4a x ππ=+. ……5分 408A ππ+''=>.……7分 故当圆的周长为4a x ππ=+时，正方形的周长为44aa x π-=+时，A 之值最小.……8分六、(本题满分10分)【 同数学一 第五题（分值不同）】 七、(本题满分7分) 设1-≥x ，求dt t x)1(1⎰--.解：当10x -≤<时，11(1||)(1)xxt dt t dt---=+⎰⎰……1分 211(1)2xt -=+……2分 21(1)2x =+. ……3分当0x ≥时，011(1||)(1)(1)xxt dt t dt t dt---=++-⎰⎰⎰……5分 211(1)2x =--.……7分八、(本题满分8分)设)(x f 在),(∞-∞上有连续导数，且M x f m ≤≤)(. (1) 求[]dt a t f a t f a aaa ⎰-+→--+)()(41lim20； (2) 证m M x f dt t f aaa -≤-⎰-)()(21)0(>a . 解：(1) 由积分中值定理和微分中值定理有201lim [()()]4aaa f t a f t a dt a +-→+--⎰01lim [()()]2a f a f a aξξ+→=+--()a a ξ≤≤ ……2分 ****0lim ()lim ()(22)a f f a a a a ξξξξξξ+→→''==-≤-<<+≤=(0)f '. ……4分 (2) 证：由()f x 的有界性及积分估值定理有……5分 1()2aam f t dt M a -≤≤⎰,……6分 又 ()M f x m -≤-≤-，……7分故有 1()()()2aa M m f t dt f x M m a ---≤-≤-⎰， 即1()()2aa f t dt f x M m a--≤-⎰. ……8分数 学（试卷四）一、填空题（本题满分12分，每空1分） (一) 已知函数∞<<-∞=⎰-x dt ex f xt ,)(0212.（1）=')(x f 221t e-.（2）)(x f 的单调性： 单调增加 . （3）)(x f 的奇偶性： 奇函数 . （4）)(x f 图形的拐点：（0，0） （5）)(x f 图形的凹凸性：0x <时上凹（下凸）,0x >时下凹（上凸）. （6）)(x f图形的水平渐近线近线：y y ==(二)=11101101101101113-.(三) =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10001001001001000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000. (四) 假设()0.4()0.7P A P A B == ，，那么（1）若A 与B 互不相容，则P （B ）=0.3. （2）若A 与B 相互独立，则P （B ）=0.5.二、（本题满分10分）（每小题，回答正确得2分，回答错误得-1分，不回答得0分；全题最低得0分）（1）若极限)(lim 0x f x x →与)(lim 0x f x x →)(x g 都存在，则极限)(lim 0x g x x →必存在.（⨯） （2）若0x 是函数)(x f 的极值点，则必有0)(0='x f . （⨯） （3）等式⎰⎰--=aadx x a f dx x f 0,)()(对任何实数a 都成立.（⨯） （4）若A 和B 都是n 阶非零方阵，且AB=0，则A 的秩必小于n .（√）（5）若事件A ，B ，C 满足等式,A C B C ⋃=⋃ 则 A=B. （⨯）三、（本题满分16分，每小题4分.）(1) 求极限 11limln x x x x x→-解一： 此极限为0型未定式，由罗必塔法则，则11(ln 1)=lim lim 1ln 1x x x x x x x x →→+==+原式.……4分 解二： 令ln t x x =，则x tx e =.由于当1x →时，0t →，可见001=lim lim 1t t t t e e t→→-==原式.……4分 (2) 已知Ｕ＋xy e u=，求yx u ∂∂∂2.解：由于11u uu y u xx e y e∂∂==∂+∂+，， ……2分 可见221(1)u u u u e yeu u y x y y x e ∂+-∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂+⎝⎭……3分 311(1)uu u xye e e =-++. ……4分 (3) 求定积分)1(30x x dx+⎰.解一：2d =，可见原式0=⎛⎜⎠……2分23π=. ……4分 解二：2,2t x t dx tdt ===，；当0x =时，0t =；当3x =时，t =；……1分于是，22=1dt t +原式……2分2arctan =……3分23π=. ……4分(4) 求二重积分66cos yxdy dx xππ⎰⎰. 解： 在原式中交换积分次序，得 原式60cos xxdx dy xπ=⎰⎰……2分60=cos xdx π⎰601=sin 2x π=……4分.四、（本题满分６分，每小题３分） (1) 讨论级数∑∞=++11)!1(n n n n 的敛散性 解：由111211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)n n n n n n n u n n n n n u n n n n n n+++++++++=⋅=⋅=++++++⋅，有 11lim lim 21111(11)n n n n n n eu u n n+→∞→∞++=+=+<⋅， ……2分故由级数收敛的比值判别法，知∑∞=++11)!1(n n n n 收敛. ……3分(2) 已知级数∑∞=12n a和2ii nb∞=∑都收敛，试证明级数∑∞=1n nn ba 绝对收敛.证： 由于级数∑∞=12n a 和2ii n b ∞=∑都收敛，所以2211()2i i n a b ∞=+∑收敛. ……2分而221()2n n n n a b a b ≤+， 故由比较判别法，知级数1||n nn a b∞=∑收敛，即∑∞=1n n n b a 绝对收敛.……3分五、（本题满分8分）已知某商品的需求量Ｄ和供给量都是价Ｐ的函数：2()aD D p p ==，()S S p bp ==，其中a>0和b>0是常数：价格p 是时间t 的函数且满足方程()],()([p s p d k dtdp-=k 是常数），假设当t=0时价格为1.试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格e P ； （2）价格函数)(t p ； （3）极限)(lim t p t ∞→.解：(1) 当需求量等于供给量时，有2a bp p =，即3a p b=. 故13()e a p b =.……1分(2) 由条件知322[()()][][]dp a b ak D p S p k bp k p dt p p b=-=-=-.因此有332[]e dp b k p p dt p=-，即233e p dp kbdt p p =--. ……3分 在该式两边同时积分得333kbt e p p ce -=+.……5分故由条件(0)1P =，可得31e c p=-.于是价格函数为13333()[(1)]kbt e ep t p p e-=+-. ……6分(3) 13333lim ()lim[(1)]kbt e e et t p t p p ep-→∞→∞=+-=……8分六、（本题满分8分）在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112，试求： (1) 切点A 的坐标； (2) 过切点A 的切线方程；(3) 由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设切点A 的坐标为2(,)a a ，则过点A 的切线方程的斜率为|2x a y a ='=，切线方程为22()y a a x a -=-，即22y ax a =-.……2分可见，切线与x 轴的交点为2(,0)2a . 故曲线、x 轴以上及切线这三者所围图形的面积为33332043412a a a a a S x dx =-=-=⎰.……4分 而由题设知112S =，因此1a =. ……5分于是，切点A 的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为21y x =-. ……6分旋转体的体积为11222102()(21)30V x dx x dx πππ=--=⎰⎰. ……8分七、（本题满分8分）已给线性方程组1234123412341234231231231231x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩，问1k 和2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.解： 以A 表示方程组的系数矩阵，以(|)A B 表示增广矩阵，因121112331361(|)33115151012k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A B 1211123101214002250003k k ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-+ ⎪ ⎪+⎝⎭……2分故当12k ≠时，()(|)4R R ==A A B ，方程组有唯一解；……3分当12k =时，有2211112311231101210121(|)42000200015100030000k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B ……4分这时，若21k ≠，则()3(|)4R R =<=A A B ，故方程组无解；若21k =，则()(|)34R R ==<A A B ，故方程组有无穷多组解，此时有 ……6分112311004010008012110121101203(|)000120001200012000000000000000⎛⎫⎛⎫⎛-⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B ……7分相应的方程组为12348;322.x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，取3x c =（c 为任意常数），得方程组的一般解：12348,32,,2x x c x c x =-=-==.……8分综上所述：当12k ≠时，方程组有唯一解；当12k =而21k ≠时，方程组无解；当12k =且21k =时，方程组有无穷多组解，其一般解为12348,32,,2x x c x c x =-=-==，其中c 为任意常数.八、（本题满分7分）已知向量组1,2,,s a a a （S ≥2）线性无关，设11222311,,,,s s s s a a a a a a a ββββ-=+=++=+ ，讨论向量组12,,,s βββ 的线性相关性.解：假设12,,,s k k k 是一数组，满足条件11220s s k k k βββ+++= ……1分那么，有111221()()()0s s s s k k k k k k ααα-++++++= .由于,,2,1s a a a 线性无关，故有1122310000s s s k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ （*）……3分此方程组的系数行列式为s 阶行列式：110001112,1(1)011000,011s D +⎧==+-=⎨⎩若s 为奇数若s 为偶数……5分若s 为奇数，则20D =≠，故方程组（*）只有零解，即12,,,s k k k 必全为0.这时，向量组12,,,s βββ 线性无关.若s 为偶数，则0D =，故方程组（*）有非零解，即存在不全为0的数组12,,,s k k k ， 使11220s s k k k βββ+++= .这时，向量组12,,,s βββ 线性相关,……7分九、（本题满分6分）设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式.21=A 求行列式*--A A 2)3(1的值. 解： 因 111(3)3--=A A ， ……2分 故 *111||2--=⋅=A A A A ， ……3分 所以 311111122(3)2||||333A A -*----⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭A A A A……5分 1627=-.……6分十、（本题满分7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率是8.0，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察4只，若无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求：(1) 顾客买下该箱的概率α； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率β. 解：设i B ＝｛箱中恰有i 件残品次品｝（0,1,2i =），A ＝｛顾客买下所察看的一箱｝.……1分由题意知012()0.8,()0.1,()0.1P B P B P B ===；419014204(|)1,(|)5C P A B P A B C ===；418242012(|)19C P A B C ==.……3分(1) 由全概率公式20.4 1.2()()(|)0.80.94519i i i P A P B P A B α====++≈∑； ……5分 (2) 由贝叶斯公式000()(|)0.8(|)0.85()0.94P B P A B P B A P A β==≈≈.……7分 十一、（本题满分6分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1) 写出X 的概率分布；(2) 利用棣莫佛拉普拉斯定理，求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 解：(1) X 服从二项分布，参数100,0.2n p ==，其概率分布为100100{}0.20.8(0,1,100)kk kP X k C k -=== .……2分 (2) 由(,)X B n p 知，20,(1)16EX np DX np p ===-=,……4分故根据棣莫佛－拉普拉斯定理，有{1430}P X P ≤≤=≤≤201.5 2.54X P -⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ……5分 (2.5)( 1.5)(2.5)[1(1.5)]≈Φ-Φ-=Φ--Φ0.994[10.933]0.927=--=. ……6分十二、（本题满分6分）假设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量xe Y 2=的概率密度f(y).解：由条件知，X 的密度函数为1,12()0,x p x <<⎧=⎨⎩若其他……1分记(){}F y P Y y =≤为Y 的分布函数，则有21ln 242140,2(),31,4yy e F y dx e y e y e ⎧≤⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩⎰若……分若……分若……分因此22440,1()(),20,y e f y F y e y e yy e⎧<⎪⎪'==<<⎨⎪⎪>⎩若若若于是（当24,y e e =时，补充定义()0f y =），得2441,2()0e y eyf y y e ⎧<<⎪=⎨⎪>⎩若若. ……6分数 学（试卷五）一、 【 同数学四 第一题 】 二、 【 同数学四 第二题 】 三、（本题满分16分，每小题4分.） (1) 求极限x tgx x 2)1(lim 21π-→.解：211lim cot2x xxπ→-=原式……1分212limsin 22x x x ππ→-=⋅-……3分4π=. ……4分(2) 已知x yu e =，求yx u∂∂∂2. 解： 1xyu e x y∂=∂，……1分22211xxy y u x e e x y y y y ⎛⎫∂=-+- ⎪∂∂⎝⎭……3分3.xy x ye y+=-……4分(3) 【 同数学四 第三、（3）题 】 (4) 【 同数学四 第三、（4）题 】四、（本题满分6分）确定常数a 和b ，使函数2,1(),1ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩，处处可导.解：当1x ≠时，显然()f x 可导；……1分为使1x =时，导数()f x '存在，()f x 在1x =处必须连续， 故有(10)(10)(1)f f f +=-=，……2分由此可得1a b +=.……3分 又由(10),(10)2,f a f ''+=-=……4分 以及()f x 在1x =处的可导性，有(10)(10)f f ''+=-.由此得2a =， ……5分 从而1b =-.……6分五、（本题满分8分.）【 同数学三 第五题 】 六、（本题满分8分.）【 同数学四 第六题 】 七、（本题满分8分.）【 同数学四 第七题 】 八、（本题满分6分.）已知n 阶方阵A 满足矩阵方程0232=--E A A ，其中A 给定，而E 是单位矩阵. 证明A 可逆，并求出其逆矩阵1-A .解一：由2320--=A A E ，可见232-=A A E ，(3)2-=A A E E .在上式两端同取行列式，得|(3)||2|-=A A E E ；|||(3)||2|20n ⋅-==≠A A E E ……3分由此可见||0≠A ，从而A 可逆. ……4分 在(3)2-=A A E E 两端同时左乘112-A ，得11(3)2-=-A A E . ……6分解二：由2320--=A A E ，可见232-=A A E . 从而有1(3)2⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦A A E E 及1(3)2⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦A E A E .……3分 记1(3)2B =-A E ，则==AB BA E . 由逆矩阵的定义知A 可逆，且B 是A 的逆矩阵：11(3)2-==-A B A E .……6分 九、（本题满分7分.）【 同数学四 第八题 】 十、（本题满分7分.）【 同数学四 第十题 】 十一、（本题满分7分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则倒掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望和方差.解： 以X 表示在取到正品前已取出的废品数. 知X 是一随机变量，其有3个可能的取值：0,1,2.……1分（1）分布：8{0}0.810P X ===；288{1}10945P X ==⋅=； 2181{2}109845P X ==⋅⋅=.……4分 （2）数学期望：81200.81245459EX =⨯+⨯+⨯=.……5分 （3）方差：222281400.812454515EX =⨯+⨯+⨯=，……6分 2288()405DX EX EX =-=. ……7分十二、（本题满分5分.）【 同数学四 第十二题 分值不同 】。
[实用参考]1988年考研数学试题答案及评分参考
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学（试卷一）一．(本题满分15分，每小题5分)(G 3)n(1)求幂级数的收敛域.nn1 n 3解：因 (n 1)3n 1,故1即0G 6时，(G 3)nn n 3(n1)n3n 幂级数收敛.……3分1当G 0时，原级数成为交错级数(1)n，是收敛的.……4分n1 n1当G 6时，原级数成为调和级数，是发散的.……5分n1 n所以，所求的收敛域为0,6.(2)已知f(G)=e G 2,f (G )=1-G,且(G)0.求(G)并写出它的定义域.解：由e [(G )]21G ，得(G )……3分ln(1G ). 由ln(1G )0，得1G 1即G 0.……5分所以(G)ln(1G)，其定义域为(,0).(3)设S为曲面G 2P 2z 21的外侧，计算曲面积分I G3dPdz P3dGdG z3dGdP.s 解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有I 3(G2P 2z2)dv （其中是由S所围成的区域）……2分213 0dd0r 2r2sindr……4分12. ……5分51988年•第1页二、填空题：(本题满分12分，每小题3分)(1 )若f(t)=limt(11)2tG，则2tGf(t )(2t1)eG2,1G0(2 )设f(G)是周期为2的周期函数，它在区间1,1上的定f(G)=G3,0G1,则f(G)的付立叶级数在G=1处收敛于2.3G 311(3 )设f(G)是连续函数，且f(t)dt G,则f(7)=.12(4)设4G4矩阵A=(,2,3,4)，B=(,2,3,4)，其中，,,2,3,4均为4维列向量，且已知行列式A4, B1,则行列式A B=. 40.三、选择题(本题满分15分，每小题3分)(1 )若函数P=f(G)有f(G)1，则当G0时，该函G=G处的微分dP是(B) 02(A)与G等价的无穷小(B)与G同阶的无穷小(C)比G低阶的无穷小(D)比G高阶的无穷小(2 )设P f(G)是方程P2P4P0的一个解，若f(G )0，且f(G0)0，则函数f(G)在点G0(A)(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某个邻域内单调增加(D)某个邻域内单调减少(3)设有空间区域:G2P 2z 2R2,z0;及:G2P 2z 2R2,G0,P0,z0,则(C)1 2(A)Gdv4Gdv (B)Pdv 4Pdv 1 2 1 2(C)zdv 4zdv (D)GPzdv 4GPzdv 1 2 1 2(4 )若a n(G1)n在G=-1处收敛，则此级数在G=2处(B) n1(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组1,2,,s (3s n)线性无关的充分必要条件是(D)(A)有一组不全为0的数k1,k2,,k s,使k 11k 22k s s0.(B)1,2,,s中任意两个向量都线性无关.(C)1,2,,s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)1,2,,s中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四．(本题满分6分)1988年•第2页设u Pf(G )Gg(P)，其中f,g具有二阶连续导数，求G2uP2u. P G G2GP解：u GPPPfgg.G P2u1Gf2PGPG2u G G P Pfg.GP P 2 G 2PG所以G 2u P 2u 0.G 2GP……2分……3分 ……5分 ……6分五、(本题满分8分)设函数P=P(G)满足微分方程P3P2P 2e G ,且图形在点(0，1)处的切线与曲线P G 2G1在该点的切线重合，求函数P P(G).解：对应齐次方程的通解为P Ce G Ce2G. ……2分1 2设原方程的特解为P G AGe G, ……3分得A 2.……4分故原方程通解为P(G )Ce G Ce2G2Ge2G.……5分1 2又已知有公共切线得P|G 01,P|G 01，……7分c c1 ,即1 2 解得c 11,c20. ……8分c 12c 21所以P (12G)e2G.六、(本题满分9分)k设位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为r2(k>0为常数，r为质点A与M之间的距离—)，质点M沿曲线P2G G2自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A对质M点的引力所做的功.解：MA {0G ,1P} ……2分r G 2(1P)2.因引力f的方向与MA一致，故f k{G ,1P}.……4分r31988年•第3页。