人教A版高中数学必修第二册：8.4.1 平面 学案
【新教材精创】8.4.1 平面 导学案(2)-人教A版高中数学必修第二册
【新教材】8.4.1 平面（人教A版）1.正确理解平面的概念;2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.1.数学抽象:平面概念的理解;2.逻辑推理:点线共面、多点共线,多线共点问题;3.直观想象:点、直线、平面之间的位置关系.重点:1、平面的概念及表示;2、平面的三个基本事实和推论,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点:平面的三个基本事实的掌握与运用.一、预习导入阅读课本124-127页,填写。
1、平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是__________________的.(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成_______,且横边长等于其邻边长的_______.如图(1).②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用_______画出来或者不画.如图(2).(3)平面的表示平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等.2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达点A在直线l上,则_______, 点A在直线l外,则_______;点A在平面α内,则_______, 点A在平面α外,则_______;直线l在平面α内,则_______, 直线l在平面α外,则_______;平面α与平面β相交直线l,则______________.3、平面的基本事实基本事实1的三个推论推论1:经过____________________________,有且只有一个平面. 推论2:经过_____________________,有且只有一个平面.推论3:经过_____________________,有且只有一个平面.1.下列说法:①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为()(A)0 (B)1(C)2 (D)32. 三条直线两两相交,可以确定平面的个数是()(A)1个(B)1个或2个(C)1个或3个(D)3个3.若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则()(A)C∈α(B)C∉α(C)AB⊄α(D)AB∩α=C4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P 与直线DE的位置关系是____________________________.题型一文字语言、图形语言、符号语言的转换例1根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l, P∉α,Q∈l,Q∈α．跟踪训练一1、A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是()(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线AB(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合(D)l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l与n确定唯一平面2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.题型二 点线共面例2 如图,l 1∩l 2=A,l 2∩l 3=B,l 1∩l 3=C,求证直线l 1,l 2,l 3在同一平面内.跟踪训练二1、空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或3题型三 多点共线、多线共点问题例3如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为AB 的中点,F 为AA 1的中点.求证:CE,D 1F,DA 三线交于一点.跟踪训练三1．如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M,则下列结论正确的是( )(A)A,M,O 三点共线(B)A,M,O,A 1不共面(C)A,M,C,O 不共面(D)B,B 1,O,M 共面1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是()(A)a∈α,A⊂a⇒A⊂α(B)a⊂α,A∈a⇒A∈α(C)a∈α,A∈a⇒A⊂α(D)a∈α,A∈a⇒A∈α2.下列图形中不一定是平面图形的是()(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形(D)四边相等的四边形3.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是()4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.5.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P分别是AB, A1D1,BB1的中点.(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.答案小试牛刀1. B2．C3．A4. 点P在直线DE上自主探究例1【答案】见详细解析.【详细解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1),(2),(3)所示.跟踪训练一【答案】1、D.2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.【详细解析】1.选D,D选项的表述有问题.2. 在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.例2【答案】见详细解析．【详细解析】因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.跟踪训练二1、【答案】D．【详细解析】两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D．例3 【答案】见详细解析．【详细解析】连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF12A1B.又因为A1B D1C,所以EF12D1C,所以E,F,D1,C四点共面,可设D1F∩CE=P.又D1F⊂平面A1D1DA,CE⊂平面ABCD,所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,所以据公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.跟踪训练三1．【答案】A.【详细解析】连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.所以A1,C1,C,A四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M ∈A 1C,所以M ∈平面ACC 1A 1,又M ∈平面AB 1D 1,所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,同理O 也在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,所以A,M,O 三点共线.故选A. 当堂检测1-3. BDD 4. ①③④.5．【答案】（ 1）见详细解析（ 2）43√10.【详细解析】 (1)如图,设M,N,P 三点确定的平面为α,则α与平面ABB 1A 1交于MP. 设MP∩A 1B 1=R,则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线. 设RN∩B 1C 1=Q,则PQ 是α与平面BB 1C 1C 的交线.(2)因为正方体的棱长为8 cm,M,P 分别为AB,BB 1的中点, 所以B 1R=BM=4 cm. 在△RA 1N 中,=,所以B 1Q=412×4=43(cm). 在Rt △PB 1Q 中, PB 1=4 cm,B 1Q= 43cm,所以PQ=√42+（ 43）2=43√10(cm).。
【新教材教案】8.4.1 平面 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
8.4.1 平面本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第三章《立体几何初步》，本节课主要学习三个基本事实及三个结论及其应用。
平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面为例，对它只是加以描述而不不定义。
立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是无限延展性。
为了更精准地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书的三个基本事实，这也是本节的重点。
另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换。
1.教学重点：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；2.教学难点：平面的画法及表示方法，三个基本事实的地位与作用。
多媒体一、情境引入教室里的桌面、黑板面、海平面，它们呈现出怎样的形象？二、探索新知1.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.2.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的.(1)平展性(2)无限延展性(3)没有厚度练习：判断下列各题的说法正确与否：（1）、一个平面长4 米，宽 2 米；( )（2）、平面有边界；( )（3）、一个平面的面积是25 cm 2；( )（4）、菱形的面积是4 cm 2；( )（5）、一个平面可以把空间分成两部分. （）【答案】（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√3.平面的画法：当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45º，且横边长等于其邻边长的2倍。
(1)水平放置的平面：图形语言：图形：图形语言：符号语言：解：().,,1B a A a l ===βαβα().,,,,2P l b P l a b a l ==⊂⊂= βαβα 例2. 如图，已知.//,,,,a PQ b P A b a b a ∈=⋂⊂⊂αα求证：α⊂PQ 。
证明： ∵PQ ∥a ，∴PQ 与 a 确定一个平面β. ∴直线a ⊂β，点 P ∈β. ∵P ∈b ，b ⊂α，∴P ∈α. 又∵a ⊂α，∴α与β重合．∴PQ ⊂α.通过例题讲解，让学生进一步熟悉用数学语言表示点、直线、平面之间的关系，提高学生数学语言的运用能力。
人教A版新教材高中数学第二册学案3：8.4.1平面
8.4.1 平面『知识导学』知识点一平面的概念平面的概念及表示(1)概念：几何里所说的“平面”是从生活中的物体中的，是的．(2)平面的画法：①常用，即平行四边形表示平面．当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成．如图a.②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常，这样可使画出的图形立体感更强一些．如图b.(3)表示法：可以用等来表示；用(表示平面的平行四边形的相对的两个顶点)来表示；用(表示平面的平行四边形的)来表示．知识点二点、线、面之间的关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达知识点三平面的基本性质『新知拓展』1．解决立体几何问题首先应过好文字语言、符号语言和图形语言三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．对于证明几点(或几条直线)共面的问题，先由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．3．证明三点共线通常采用以下方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，由基本事实3可知这些点都在交线上；(2)先由其中任意两点确定一条直线，再证明另一点也在这条直线上．4．证明三线共点，可先由两条直线交于一点，而这个点分别在两个平面内，这两个平面的交线就是第三条直线，由基本事实3可知该点在第三条直线上，即三线共点．『基础自测』1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行四边形是一个平面．()(2)若A∈a，a⊂α，则A∈α.()(3)两个平面的交线可能是一条线段．()(4)经过一条直线和一个点，有且只有一个平面．()2．做一做(1)如图所示，用符号语言表示以下各概念：①点A，B在直线a上：________；②直线a在平面α内：________；③点D在直线b上，点C在平面α内：________.(2)若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A________l；其理由是_____________________．(3) 根据图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.『题型探究』题型一平面概念的理解例1(1)下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽为20 m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________；(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是________．『规律方法』平面概念的理解及特点(1)平面是一个只描述而不定义的原始概念，它是由平时生活中常见的平面抽象出来的，是理想的，是无限延展的，是无厚薄、大小的．(2)要注意平面具有如下特点：①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延展而没有边界的；④平面是由空间的点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．『跟踪训练1』下列四种说法正确的是________．①平面的形状是平行四边形；②任何一个平面图形都可以表示平面；③平面ABCD的面积为100 cm2；④空间图形中，后作的辅助线都是虚线．题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例2根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.『规律方法』三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．『跟踪训练2』(1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．①A∉α，a⊂α：________；②α∩β＝a，P∉α且P∉β：________；③a⊄α，a∩α＝A：________；④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.(2)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．①A∈α，B∉α；②l⊂α，m∩α＝A，A∉l；③P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.题型三线共面问题例3已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面．『条件探究』在本例中，若直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，又该如何证明直线a，b，c，l共面？『规律方法』证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．『跟踪训练3』下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内题型四点共线问题例4如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上．『规律方法』点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．『跟踪训练4』如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．题型五线共点问题例5如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2P A1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ 相交于一点．『规律方法』证明线共点问题的步骤证明三线共点的思路是：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题．『跟踪训练5』在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC ＝DH∶HA＝1∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．『随堂达标』1．在空间中，下列结论正确的是()A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()A．0 B．1 C．0或1 D．1或34．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)AC∩BD＝________；(2)平面AB1∩平面A1C1＝________；(3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.5．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点．——★参*考*答*案★——『知识导学』知识点一平面的概念(1)抽象出来向四周无限延展(2)矩形的直观图横向竖向②把被挡住的部分画成虚线或不画(3)希腊字母α，β，γ两个大写的英文字母四个大写的英文字母四个顶点)『基础自测』1．『答案』(1)×(2)√(3)×(4)×2．『答案』(1)①A∈a，B∈a②a⊂α③D∈b，C∈α(2)∈同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上(3)∈∉⊄AC『题型探究』题型一平面概念的理解例1『『解析』』(1)由平面的概念，知它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②、③图形的画法不正确，④中图形的画法正确．『『答案』』(1)1(2)④『跟踪训练1』『答案』②『解析』①错误，通常用平行四边形表示平面，但平面的形状不一定是平行四边形；③错误，平面不能度量；④错误，看不到的线画成虚线.题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例2『解』(1)P∈AB.(2)C∉AB.(3)M∈平面AC.(4)A1∉平面AC.(5)AB∩BC＝B.(6)AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝AB.『跟踪训练2』『答案』(1)①C②D③A④B(2)见『解析』『解析』(2)①点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.②直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.题型三线共面问题例3『证明』∵b∥c，∴不妨设b，c共面于平面α，设a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，即a⊂α，∴三线共面．『条件探究』证明如图所示．∵a∥b，∴a，b可确定一个平面α.又l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，A∈α，B∈α.∴AB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.又b∥c，∴b，c可确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α，β均经过直线b，l，且b和l是两条相交直线，∴l与b确定的平面是唯一的．∴a，b，c，l四线共面．『跟踪训练3』『答案』 D『解析』经过同一条直线上的三点有无数个平面，故A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ACC1D1满足∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A ＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故C不正确；和同一条直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.题型四点共线问题例4『证明』证法一：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC与平面α的公共点．∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点在同一条直线l上．证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．『跟踪训练4』证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又M ∈直线CD ，N ∈直线AB ，CD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD .∴M ，N ∈平面ABCD ，∴MN ⊂平面ABCD .∴Q ∈平面ABCD .同理，可得EF ⊂平面ADD 1A 1，∴Q ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝AD ，∴Q ∈直线AD ，即D ，A ，Q 三点共线.题型五线共点问题例5『证明』 如图，连接PQ .由B 1P ＝2P A 1，C 1Q ＝2QA 1，得PQ ∥B 1C 1，且PQ ＝13B 1C 1. 又BC 綊B 1C 1，∴PQ ∥BC ，且PQ ＝13BC ， ∴四边形BCQP 为梯形，∴直线BP ，CQ 相交，设交点为R ，则R ∈BP ，R ∈CQ .又BP ⊂平面AA 1B 1B ，CQ ⊂平面AA 1C 1C ，∴R ∈平面AA 1B 1B ，且R ∈平面AA 1C 1C ，∴R 在平面AA 1B 1B 与平面AA 1C 1C 的交线上，即R ∈AA 1，∴直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．『跟踪训练5』证明 如图所示，连接GE ，HF .∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点，∴GE ∥AC .又DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝1∶3，∴HF ∥AC ，∴GE ∥HF ，∴G ，E ，F ，H 四点共面．又GE ＝12AC ，HF AC ＝DF DC ＝14， ∴EF 与GH 不平行，∴EF 与GH 相交．延长EF ，GH ，设交点为O ，则O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴O ∈BD .即EF ，GH ，BD 交于一点O .『随堂达标』1．『答 案』 A『解 析』 空间四边形不能确定一个平面，因此B 错误；若点在直线上，则有无数个平面，因此C 错误；若两条直线重合，则有无数个平面，因此D 错误．2．『答 案』 C『解 析』 若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．3．『答 案』 D『解 析』 当三条互相平行的直线共面时，可确定1个平面；当三条互相平行的直线不共面时，可确定3个平面．4．『答 案』 (1)O (2)A 1B 1 (3)B 1『解 析』 (1)AC ，BD 同在平面ABCD 中，交于点O .(2)平面AB 1与平面A 1C 1相交，交线为A 1B 1.(3)A 1B 1，B 1B ，B 1C 1三条直线交于一点B 1.5．证明 如图所示，∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1与BC 确定一个平面，记为平面β.同理，将C 1A 1与CA 所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ＝C1C.∵△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，∴AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β，∴P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，∴P∈C1C，∴AA1，BB1，CC1交于一点．。
高中数学必修二(人教A版)《8.4.1平面》【教案匹配版】最新中小学课程
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实: 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
图形语言： α A l B
利用基本事实2可以判 断直线是否在平面内
符号语言： A∈ l ，B∈ l,且A∈α, B∈α l α.
基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延 伸”刻画平面的“无限延展”.
(C)圆心和圆上两点可确定一个平面
(D)梯形可确定一个平面
四、巩固练习
3.不共面的四点可以确定几个平面?请画出图形说明你的结论. A
4
4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形:
B
D
C
(1) 点A在平面α内，点B在平面α外； A∈α，B∉α
同理可证，N、K也在直线l上.
所以，M、N、K三点共线.
A
R Q
P
N
B
D
C
K
四、课堂小结
1.平面的含义： (1)平面的特征： ①平 ②无厚薄 ③无限延展的
(2)平面的表示： ①用希腊字母表示：平面a、平面β、平面γ. ②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC.
长期观察与实践总结出来的, 是几何推理基本依据,也是我 们进一步研究立体图形的基础
8.4.1 平面
（第一课时）
主讲人：
学习目标
1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面. 2.掌握并应用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面. 3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换.
一、平面的含义 在初中,由现实事物直观感觉抽象得到了点和直线,那下图中的桌
面、黑板面、平静的水面给我们以什么样的直观感觉？
也可以简单说成:“不共线的三点确定一个平面”.
学新教材高中数学第八章立体几何初步平面教学用书教案新人教A版必修第二册
8．４空间点、直线、平面之间的位置关系8．４．１平面素养目标·定方向素养目标学法指导１．理解并掌握平面的基本事实及推论.（逻辑推理）２．会用基本事实及推论解决有关问题.（逻辑推理）要充分利用长方体以及身边的生活中的物品认识空间点、直线、平面，要类比初中平面几何中点、直线去认识空间中的点、直线、平面，逐步过渡与抽象，并确定它们之间的关系.必备知识·探新知知识点１平面１．平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周__无限延展__的.２．平面的画法我们常用矩形的直观图，即__平行四边形__表示平面，它的锐角通常画成__４５°__，且横边长等于其邻边长的__２__倍，如图１.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用__虚线__画出来，如图２.３．平面的表示法图１的平面可表示为__平面α__、平面ABCD、__平面AC__或平面BD.知识点２点、线、面之间的位置关系１．直线在平面内的概念如果直线l上的__所有点__都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.２．一些文字语言与符号语言的对应关系：文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上__A∈l__点A在直线l外__A∉l__点A在平面α内__A∈α__点A在平面α外__A∉α__直线l在平面α内__l⊂α__直线l在平面α外__l⊄α__直线l，m相交于点A l∩m＝A平面α，β相交于直线lα∩β＝l知识点３平面的基本性质及应用１．基本事实内容图形符号作用基本事实１过不在一条直线上的三个点，__有且只有__一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据基本事实２如果一条直线上的__两个点__在一个平面内，那么这条直线在__这个平面内__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒__l⊂α__既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的基本事实３如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__公共直线__P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l１判定两平面相交的依据２判定点在直线上推论１__经过一条直线和这条直线外一点__，有且只有一个平面.推论２__经过两条相交直线__，有且只有一个平面.推论３__经过两条平行直线__，有且只有一个平面.[知识解读] １．平面的几个特点（１）平面是平的；（２）平面是没有厚度的；（３）平面是无限延展而没有边界的.２．从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系（１）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示.（２）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示.（３）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示.３．准确认识三个基本事实的意义和作用（１）基本事实１意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.作用：１确定平面；２证明点、线共面.（２）基本事实２意义：说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”.作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法.利用基本事实１和基本事实２，再结合“两点确定一条直线”，可推出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面.（３）基本事实３意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.作用：１判断两个平面是否相交；２确定两个平面的交线；３证明若干点共线问题.关键能力·攻重难题型探究题型一三种语言的相互转化典例１根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.（１）点P与直线AB；（２）点C与直线AB；（３）点M与平面AC；（４）点A１与平面AC；（５）直线AB与直线BC；（6）直线AB与平面AC；（7）平面A１B与平面AC.[解析] （１）点P∈直线AB；（２）点C∉直线AB；（３）点M∈平面AC；（４）点A１∉平面AC；（５）直线AB∩直线BC＝点B；（6）直线AB⊂平面AC；（7）平面A１B∩平面AC＝直线AB.[归纳提升] 三种语言的转换方法（１）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.（２）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.【对点练习】１（１）若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为__M∈a，a⊂α，M∈α__；（２）根据图，填入相应的符号：A__∈__平面ABC，A__∉__平面BCD，BD__⊄__平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝__AC__；（３）用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC.[解析] （３）符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示：如图所示.题型二点共线问题典例２已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P、Q、R 三点共线.[分析] （１）P、Q、R三点分别在哪几个平面上？（２）在两个相交平面上的点，有什么特点？[解析] 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理３可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P、Q、R三点共线.证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.[归纳提升] 点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实３，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.【对点练习】２如图，正方体ABCD—A１B１C１D１中，对角线A１C与平面BDC１交于点O，AC，BD交于点M，求证：C１、O、M三点共线.[解析] 由AA１∥CC１，则AA１与CC１确定一个平面A１C.∵A１C⊂平面A１C，而O∈A１C，∴O∈平面A１C.又A１C∩平面BC１D＝O，∴O∈平面BC１D.∴O点在平面BC１D与平面A１C的交线上.又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC１D且M∈平面A１C.又C１∈平面BC１D且C１∈平面A１C，∴平面A１C∩平面BC１D＝C１M，∴O∈C１M，即C１、O、M三点共线.题型三线共面问题典例３已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.[证明] 如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B ∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.[归纳提升] 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：（１）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.（２）同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.【对点练习】３已知：如图所示，l１∩l２＝A，l２∩l３＝B，l１∩l３＝C.求证：直线l１，l２，l３在同一平面内.[证明] 法一（纳入法）∵l１∩l２＝A，∴l１和l２确定一个平面α.∵l２∩l３＝B，∴B∈l２．又∵l２⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l３，C∈l３，∴l３⊂α.∴直线l１，l２，l３在同一平面内.法二（同法一、重合法）∵l１∩l２＝A，∴l１，l２确定一个平面α.∵l２∩l３＝B，∴l２，l３确定一个平面β.∵A∈l２，l２⊂α，∴A∈α.∵A∈l２，l２⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l１，l２，l３在同一平面内.题型四线共点问题典例４已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G 在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝１︰２．求证：直线EF、BD、HG交于一点.[分析] 先证EF、HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上.[解析] 连接EH、AC、FG.∵E、H分别为BC、AB的中点，∴EH错误!AC.∵DF︰FC＝１︰２，DG︰GA＝１︰２，∴FG∥AC，FG＝错误!AC，∴EH∥FG且EH≠FG，∴E、F、G，H四点共面且EF GH.∴EF与GH相交.设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点.[归纳提升] 三线共点的证明方法：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.【对点练习】４三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行.求证：a、b、c三条直线必过同一点.[解析] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，设a∩b＝P，∵P∈a，a⊂β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，即a、b、c三条直线过同一点.易错警示对于条件所给的点的位置关系考虑不全面典例５已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？[错解] 因为A、B、C、D共面，所以点A在B、C、D所确定的平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E也在B、C、D所确定的平面内，所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内，即A、B、C、D、E五点一定共面.[错因分析] 错解忽略了公理２中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B、C、D三点还可能共线.[正解] （１）如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面.（２）如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面.【对点练习】５如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（ B ）Ａ．A，B，C，D四点中必有三点共线Ｂ．A，B，C，D四点中不存在三点共线Ｃ．直线AB与CD相交Ｄ．直线AB与CD平行[解析] 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.。
8.4.1平面教学设计(2课时)-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
1.在教学方法上，可以进一步丰富教学手段，如增加更多实际案例和问题解决，增强学生的实际应用能力。
2.在教学策略上，可以进一步引导学生进行深入思考和探究，鼓励学生提出更多问题和观点，拓展学生的思维空间。
3.在教学管理上，可以进一步关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况进行个别辅导和指导，提高教学的针对性和有效性。
简要回顾本节课学习的平面知识，强调重点和难点。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的平面知识，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
知识点梳理
本节课的主要教学内容为“8.4.1平面教学设计”，涉及到的是立体几何中的平面知识，具体内容包括以下几个方面：
首先，通过引导学生理解和掌握平面的基本性质和表示方法，培养学生的数学抽象能力，使其能够从具体的事物中抽象出平面的概念，并理解平面的抽象表示方法。
其次，通过分析和探究平面与直线、点的关系，培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用已有的知识，通过归纳、演绎等逻辑推理方法，得出平面的性质和定理。
再次，通过让学生参与平面教学设计的实践过程，培养学生的数学建模能力，使其能够将平面的理论知识应用到实际问题中，解决实际问题。
针对以上学情分析，本节课的教学设计和教学策略将注重以下几个方面：
1.结合学生的已有知识，通过复习和引导，帮助他们更好地理解和掌握平面的基本性质和表示方法。
2.通过实际问题和案例，激发学生的学习兴趣，培养他们的数学抽象能力和逻辑推理能力。
3.通过实践操作和合作学习，培养学生的数学建模能力和直观想象能力。
-数学教学资源库
信息化资源：
【新教材】8.4.1平面课件-人教A版高中数学必修第二册
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.
.B
(1)
(2)
(3)
新教材新高考
解题技能(三种语言转换的注意事项)
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，第一仔细视察图 形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文 字语言表示，再用符号语言表示.
新教材新高考
1.数学抽象：平面概念的理解； 2.逻辑推理：点线共面、多点共线，多线共点问题； 3.直观想象：点、直线、平面之间的位置关系.
自主预习， 答 题
阅读课本124-127页，思考并完成以下问题
1、平面的概念是什么?怎样表示一个平面? 2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达? 3、平面有哪些基本事实?
图(1)
新教材
②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部
分用 虚线 画出来.如图(2).
图(2)
(3)平面的表示 图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α.注意：“平 面”二字不能省略。
2.点、ห้องสมุดไป่ตู้线、平面之间的位置关系及语言表达
文字语言表达 点A在直线1上 点A在直线1外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线1在平面α内
新教材新高考
图形语言
符号语言
A,B,C三点不共 线→存在唯一的 平面α,使A,B, C∈α
A∈1,B∈1,且 A∈α,B∈α→ 1
Cα
基本事
个不重合的 有 共点，
0
头3
_ 有一条
的
线
β Q
新教材
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.4.1 平面
是 P∈l
.
123456
5.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定
3 个平面.
解析 三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图所示,直线a,b,c相交于 点A,直线a,b确定平面α,直线b,c确定平面β,直线a,c确定平面γ,共3个平面.
123456
6.用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)点A在平面α内,点B不在平面α内; (2)直线l在平面α内,直线m不在平面α内.
过关自诊 1.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)平面的形状是平行四边形. (2)任何一个平面图形都是一个平面. (3)两个平面相交的画法中,一个平面被另一个平面遮住时,被遮部分的线 段应画成虚线或不画. (4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面.
解 (1)不正确.平面常用平行四边形表示,但不是平行四边形,平面是无限延 展的. (2)不正确.平面图形与平面是两个不同的概念,平面图形具有大小、面积 等属性,而平面则没有,平面是无限延展的,不可度量的. (3)正确.符合直观图画法的规则. (4)正确.三角形、圆、平行四边形都是平面图形,都可以表示平面.
本节要点归纳
1.知识清单: (1)平面的概念. (2)基本事实. (3)共面、共线、共点问题. 2.方法归纳:同一法、纳入法. 3.常见误区:自然语言、符号语言、图形语言的相互转换出错.
成果验收·课堂达标检测
1.下列说法正确的是( D ) A.镜面是一个平面 B.一个平面长10 m,宽5 m C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍 D.所有的平面都是无限延展的 解析 镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小, 所以选项B和选项C都不正确,故选D.
基本 内容
事实
8.4.1平面(2)教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
（3）素质层面：学生在团队合作、表达交流、自主学习等方面表现出不同的特点。部分学生具有较强的合作意识和表达能力，能够主动参与课堂讨论；而部分学生则相对内向，需要教师引导和鼓励。
内容逻辑关系
① 平面几何的基本概念
- 平面的定义
- 平面与点、直线的位置关系
② 平面几何的基本性质
- 平面与平面之间的平行和垂直关系
- 平面与直线的位置关系
③ 平面几何在实际中的应用
- 平面几何在建筑设计中的应用
- 平面几何在艺术创作中的应用
- 平面几何在日常生活用品设计中的应用
板书设计：
1. 平面几何的基本概念
在学生方面，我发现他们在知识、技能、情感态度等方面都有了一定的收获和进步。他们对平面几何的基本概念和性质有了更深入的理解，能够运用所学知识解决实际问题。在技能方面，他们的逻辑思维能力和数学运算能力得到了提高。在情感态度方面，他们对平面几何产生了浓厚的兴趣，愿意主动探索和应用。
针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：在教学方法上，我需要更加注重激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度；在教学内容上，我需要更加贴近学生的生活实际，提高案例的针对性；在教学评价上，我需要更加注重学生的表达能力培养，提高他们的综合素质。
在学生小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为我对小组讨论的引导不够充分，或者是因为讨论主题的选择不够吸引人。在课堂展示与点评环节，我发现有些学生的表达能力还有待提高，这可能是因为我在平时的教学中对学生的表达能力培养不够重视。在课堂小结环节，我感觉自己的总结还可以更加精炼，以便于学生更好地把握本节课的重点。
高中数学人教A版2019必修第二册 8 4 1 平面 练习(解析版)
8.4.1 平面一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面2．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M a N b ∈∈,，且M l N l ∈∈,，那么( ) A ．l α⊂B ．l α⊄C ．l M α=D ．l N α=3． 下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面4．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，则( )A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上C ．P 一定在直线AC 或BD 上D ．P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上5．（多选题）下面说法中(其中A ，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)：A.因为A ⊂α，B ⊂α，所以AB ⊂α；B.因为A ∈α，B ∈α，所以AB ∈α；C.因为A ∉a ，a ⊂α，所以A ∉α；D.因为A ∉α，a ⊂α，所以A ∉a.其中错误的说法是 ( )6．（多选题）如图，α∩β＝l ，A ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AD∩l ＝D ，A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过（ ）A．点A B．点BC．点C D．点D二、填空题7．若直线l与平面α相交于点O、A、B∈l、C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是____.8．如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．如果EF∩GH ＝Q，那么Q在直线________上．9．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.10．有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交.其中真命题的序号是________.直线l在平面α内，用数学符号表示为。