第一讲习题作业

17 x y x y z x y z x y z 第一讲习题作业

《工程电磁场（第 2 版）》教材习题 1

1-5 设u (M) = 3x 2 + z 2 - 2 yz + 2xz ，求： u (M) 在点 M 0 (1.0, l = yx e x + zx e y + xy e z 方向的方向导数。

2.0,

3.0) 处沿矢量

（1-5 参考答案 14 ）

1-8 求下列标量场的?u

1） u = 2xy ；2） u = x 2 + y 2 ；3） u = e x sin y ； 4） u = x 2 y 3 z 4 ； 5） u = 3x 2 - 2 y 2 + 3z 2 （1-8 参考答案 1） 2 y e x + 2x e y

2） 2x e x + 2 y e y

3） e x sin y e + e x

cos y e ）

1-11 设 r = x e x + y e y + z e z , 1）求?r 2 , ?r n , ?f (r )

r = r , n 为正整数，

2）证明?（a ? r ) = a ,(a 是常矢量）

（1-11 参考答案 1） 2r ； nr n -2 r ； f '(r )r / r ）

1-15 求矢量场 A 从内穿出所给闭曲面 S 的通量：

1） A = x 3e + y 3e +

z 3

e , S 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 2） A = （x - y + z )e + ( y - z + x )e + (z - x + y )e 2

, S 为椭球面 + y

2 + z 2

= 。

x y z

a 2

b 2 c

2

1 （1-15 参考答案 1） 12πa 5

/ 5 2） 4πabc ）

1-17 求div A 在给定点处的值：

1） A = x 3e + y 3e + z 3

e 在M （1.0，0.0，-1.0)处； 2） A = 4x e - 2xy e + z 2

e ,在M （1.0，1.0，3.0）处；

3） A = xyz r (r = x e x + y e y + z e z ) 在M （1.0，3.0，2.0）处。 （1-17 参考答案 1）6 2）8 3）36 ）

1-18 求标量场u = x 3 y 4 z 2

的梯度场的散度。

（1-18 参考答案 2xy 2 (3y 2 z 2 + 6x 2 z 2 + x 2 y 2 ) ）

x

x y z

x y z 1-23 设矢量场 A = ( x + y )e + ( y - x )e ，求该矢量场沿椭圆周 ： x 2 + y 2

= 与 z 轴

x

y

成右手关系方向的环量。 a

2

b

2

1

（1-23 参 考 答 案 -2πab ）

1-24

求下列空间矢量场的旋度：

1） A = (2z - 3y )e x + (3x - z )e y + ( y - 2x )e z

2） A = (3x 2 - 2 yz )e + ( y 3 + yz 2 )e + ( xyz - 3xz 2

)e （1-24 参考答案 1） 2e x + 4e y + 6e z 2） ( xz - 2 yz )e + (-2 y - yz + 3z 2

)e + 2z e ）

1-25 试证明矢量恒等式? ? （?u ) = 0 和? ? (? ? A ) = 0 。 （1-25 参考答案 略；提示：直接在直角坐标系展开 ）

C