1998年河北省中考数学试卷
1998年河北省中考数学试卷
一、 单选题(每道小题 3分 共 36分 )
1. 下列运算中，正确的是 [ ]
A．5ab-ab=5 B．x+x=x2
C．x2·x=3x D．x3÷x2=x
2. 若2a与1-a互为相反数，则a等于 [ ]
3. 分解因式x4-1的结果为 [ ]
A．(x2-1)(x2+1) B．(x+1)2(x-1)2
C．(x-1)(x+1)(x2+1) D．(x-1)(x+1)3
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7. 已知：如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，∠DFE等于 [ ]
A．120° B．115° C．110° D．105°
8. 已知：如图弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，且AP=2，PB=3，则是⊙O的半径等
于 [ ]
9. 已知抛物线y=x2+2mx+m-7与x轴的两个交点在点(1，0)两旁，则关于x的
A．有两个正数根 B．有两个负数根
C．有一个正数根和一个负数根 D．无实数根
10. 下列命题中，真命题为 [ ]
A．对角线相等的四边形一定是矩形
B．底角相等的两个等腰三角形一定全等
C．平行四边形的一条对角线分成的两个三角形一定相似
D．有公共顶点和一条公共边的两角，若其和为180°，则这两角互为邻补角
11. 已知：如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，BE切⊙O于B，且BE＝BC，CE交AB于F、
交⊙O于M，连结MO并延长，交⊙O于N．则下列结论中，正确的是 [ ]
12. 已知：k＞1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，则以a、b、c为边的三角形
[ ]
A．一定是等边三角形 B．一定是等腰三角形
C．一定是直角三角形 D．形状无法确定
二、 填空题(每道小题 3分 共 36分 )
1. 计算：1-(-5)=______．
2. 若a＜0，则|a|=______．
4. 将二次三项式x2+2x-2进行配方，其结果等于______．
6. 已知角α和β互补，β比α大20°，则α=______．
8. 若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰的高为_______．
9. 若等腰梯形的周长为80cm，中位线长与腰长相等，则它的中位线长等于______cm．
10. 已知一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角
等于______．
三、 计算题( 5分 )
指出下面一组数据的中位数，并计算这组数据的方差：
11 19 13 17 15
四、 解答题(第1小题 5分, 2-5每题 10分, 共 45分)
2. 从A村到B村的路程为12千米．甲、乙两人同时从A村出发去B村，1小时后，甲在
乙前1千米，甲到达B村比乙早1小时，问甲、乙两人每小时各走几千米？
(1)求抛物线的解析式；
(2)试证明这条抛物线与x轴的两个交点中，必有一点C，使得对于x轴上任意一点D，
都有AC＋BC≤AD＋BD．
4. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B
两种产品共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可
获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润
1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来；
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间
的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是
多少？
5. 如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警
形区域(包括边界)都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，
且AB=100海里．
(1)若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最
初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；
五、 证明题(第1小题 8分, 第2小题 10分, 共 18分)
1. 已知：如图△ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且与BC相切于D，
与AB、AC分别相交于E、F，AD与EF相交于G．
(1)求证：AF·FC＝GF·DC
(2)已知AC＝6cm，DC＝2cm，求FC、GF的长．
2. 已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA到E，延长DC到F，使BE=DF，
AF交BC于H，CE交AD于G．
求证：△AGE≌△CHF．
1998年天津市中考数学试卷
1998年天津市中考数学试卷一、单选题（每道小题3分共36分）1．（3分）把下列各数填在相应的大括号里，填写正确的是（），﹣3.8，0，﹣1，﹣19，0.04，+56．A．正整数集合：{0，+56，…}B．负数集合：{﹣3.8，﹣1，﹣19，…}C．非负数集合：{，0.04，+56，…}D．小数集合：{﹣3.8，0.04，…}2．（3分）一元二次方程ax2+bx+c＝0有一根为零的条件是（）A．b2﹣4ac＝0B．b＝0C．c＝0D．c≠03．（3分）已知直线y＝kx+b过点（0，1）和（2，0），则（）A．k，b＝1B．k，b＝﹣1C．k，b＝1D．k，b＝1 4．（3分）当锐角α＞30°时，则cosα的值是（）A．大于B．小于C．大于D．小于5．（3分）把含盐15%的盐水a千克与含盐20%的盐水b千克混合得到的盐水的浓度是（）A．17.5%B．C．D．6．（3分）在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角为（）A．120°B．30°或120°C．60°D．60°或120°7．（3分）如果a＞0，＜，则的值是（）A．﹣3B．3C．2a+2b+3D．﹣2a+2b﹣5 8．（3分）函数y＝﹣abx+bc（c与a、b不同号）的图象不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（3分）已知正比例函数y1＝ax，反比例函数y2，在同一坐标系中该两个函数的图象没有交点，则a与b的关系是（）A．同号B．异号C．互为倒数D．互为相反数10．（3分）已知半径为R和r的两个圆相外切，则它的外公切线长为（）A．R+r B．C．D．211．（3分）下列说法不正确的是（）A．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点B．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形C．垂直于半径的直线是圆的切线D．有公共斜边的两个直角三角形有相同的外接圆12．（3分）现有四个命题：（1）都有一个内角是100°的两个等腰三角形相似（2）两个三角形面积之比是1：4，那么这两个三角形周长的比是1：2（3）连接两点的线中，直线最短（4）邻边相等的两个平行四边形必相似其中正确命题是（）A．（1）B．（1），（2）C．（1），（2），（3）D．（2），（3），（4）二、填空题（每道小题3分共36分）13．（3分）若a与b互为相反数，则a+b＝．14．（3分）计算：（a2b）2＝．15．（3分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝．16．（3分）若8x2﹣16＝0，则x的值是．17．（3分）已知P点坐标为（3，4），则P点关于x轴对称的点的坐标为．18．（3分）若4y﹣3x＝0，则．19．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是．20．（3分）式子1﹣2sin30°•cos30°的值为．21．（3分）在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4cm，PB＝4cm，CP ＝2cm，那么⊙O的直径为cm．22．（3分）已知方程mx2+4x+3＝0有一根是1，另一根是．23．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径的圆交AB于点D，则的度数为度．24．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15cm，则短边的边长为cm．三、解答题（1-2每题5分，3-5每题6分，第6小题8分，共36分）25．（5分）解方程：26．（5分）已知：一函数的图象是一条直线，该直线经过（0，0），（2，﹣a），（a，﹣3）三点，且函数值随自变量x的值的增大而减小，求此函数的解析式．27．（6分）若方程m2x2﹣（2m﹣3）x+1＝0的两个实数根的倒数和是S，求S的取值范围．28．（6分）如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°，已知在该海岛周围6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．29．（6分）一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？30．（8分）已知抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式．四、证明题（每道小题6分共12分）31．（6分）已知：⊙O的半径为R，过⊙O外一点P作割线P AB不过O点．求证：P A•PB＝OP2﹣R2．32．（6分）如图，P A切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连AD 并延长交⊙O于E，已知：BE2＝DE•EA．求证：（1）P A＝PD．（2）2BP2＝AD•DE．1998年天津市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每道小题3分共36分）1．（3分）把下列各数填在相应的大括号里，填写正确的是（），﹣3.8，0，﹣1，﹣19，0.04，+56．A．正整数集合：{0，+56，…}B．负数集合：{﹣3.8，﹣1，﹣19，…}C．非负数集合：{，0.04，+56，…}D．小数集合：{﹣3.8，0.04，…}【解答】解：A、正整数集合：{+56}．故本选项错误；B、负数集合：{﹣3.8，﹣1，﹣19}．故本选项正确；C、非负数集合：{，0，0.04，+56}．故本选项错误；D、小数集合：{，﹣3.8，﹣1，0.04}．故本选项错误．故选：B．2．（3分）一元二次方程ax2+bx+c＝0有一根为零的条件是（）A．b2﹣4ac＝0B．b＝0C．c＝0D．c≠0【解答】解：根据题意知，x＝0满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，则c＝0．故选：C．3．（3分）已知直线y＝kx+b过点（0，1）和（2，0），则（）A．k，b＝1B．k，b＝﹣1C．k，b＝1D．k，b＝1【解答】解：将（0，1）与（2，0）代入y＝kx+b中得：，解得：．故选：C．4．（3分）当锐角α＞30°时，则cosα的值是（）A．大于B．小于C．大于D．小于【解答】解：∵α是锐角，余弦值随着角度的增大而减小，α＞30°，∴cos a＜cos30°．故选：D．5．（3分）把含盐15%的盐水a千克与含盐20%的盐水b千克混合得到的盐水的浓度是（）A．17.5%B．C．D．【解答】解：∵含盐为15%的盐水a千克中含盐15%a千克，含盐为20%的盐水b千克中含盐20%b千克，∴混合得到的盐水的浓度是：100%；故选：B．6．（3分）在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角为（）A．120°B．30°或120°C．60°D．60°或120°【解答】解：根据题意画出相应的图形为：连接OA，OB，在优弧AB上任取一点E，连接AE，BE，在劣弧AB上任取一点F，连接AF，BF，过O作OD⊥AB，则D为AB的中点，∵AB＝5cm，∴AD＝BD cm，又OA＝OB＝5，OD⊥AB，∴OD平分∠AOB，即∠AOD＝∠BOD∠AOB，∴在直角三角形AOD中，sin∠AOD，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，又圆心角∠AOB与圆周角∠AEB所对的弧都为，∴∠AEB∠AOB＝60°，∵四边形AEBF为圆O的内接四边形，∴∠AFB+∠AEB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠AEB＝120°，则此弦所对的圆周角为60°或120°．故选：D．7．（3分）如果a＞0，＜，则的值是（）A．﹣3B．3C．2a+2b+3D．﹣2a+2b﹣5【解答】解：∵a＞0，＜，∴b＜0，∴b﹣a﹣4＜0，a﹣b+1＞0，∴（b﹣a﹣4）﹣（a﹣b+1）＝3．故选：B．8．（3分）函数y＝﹣abx+bc（c与a、b不同号）的图象不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵c与a、b不同号，∴﹣ab＜0，bc＜0，∴函数y＝﹣abx+bc（c与a、b不同号）的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．故选：A．9．（3分）已知正比例函数y1＝ax，反比例函数y2，在同一坐标系中该两个函数的图象没有交点，则a与b的关系是（）A．同号B．异号C．互为倒数D．互为相反数【解答】解：当a＞0时，正比例函数经过一、三象限，当a＜0时，经过二、四象限；b＞0时，反比例函数图象在一、三象限，b＜0时，图象在二、四象限．故该两个函数的图象没有交点，则a、b一定异号．故选：B．10．（3分）已知半径为R和r的两个圆相外切，则它的外公切线长为（）A．R+r B．C．D．2【解答】解：根据勾股定理得：它的外公切线的长是2．故选：D．11．（3分）下列说法不正确的是（）A．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点B．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形C．垂直于半径的直线是圆的切线D．有公共斜边的两个直角三角形有相同的外接圆【解答】解：A、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，根据三角形内心的性质得出，此命题正确，不符合题意；B、每条边都相等的圆内接多边形是正多边形，根据圆内接圆的性质以及正多边形的性质得出，此命题正确，不符合题意；C、垂直于半径并且经过半径外端的直线是圆的切线，故此选项错误，符合题意；D、根据直角三角形斜边即为外接圆的直径，此命题正确，不符合题意．故选：C．12．（3分）现有四个命题：（1）都有一个内角是100°的两个等腰三角形相似（2）两个三角形面积之比是1：4，那么这两个三角形周长的比是1：2（3）连接两点的线中，直线最短（4）邻边相等的两个平行四边形必相似其中正确命题是（）A．（1）B．（1），（2）C．（1），（2），（3）D．（2），（3），（4）【解答】解：（1）根据都有一个内角是100°的两个等腰三角形可以得到两个顶角为100°的等腰三角形相似，故正确；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方，故错误；（3）连接两点的线中，线段最短，故错误；（4）邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定相似，故错误；故选：B．二、填空题（每道小题3分共36分）13．（3分）若a与b互为相反数，则a+b＝0．【解答】解：根据互为相反数的定义，得a+b＝0．14．（3分）计算：（a2b）2＝a4b2．【解答】解：原式＝a4b2．故答案为：a4b2．15．（3分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）．【解答】解：原式＝（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．16．（3分）若8x2﹣16＝0，则x的值是±．【解答】解：移项得，8x2＝16，系数化为1得，x2＝2，开方得，x＝±．17．（3分）已知P点坐标为（3，4），则P点关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣4）．【解答】解：P点坐标为（3，4）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣4），故答案为：（3，﹣4）．18．（3分）若4y﹣3x＝0，则．【解答】解：∵4y﹣3x＝0，∴x y，∴．故答案为：．19．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．20．（3分）式子1﹣2sin30°•cos30°的值为．【解答】解：原式＝1﹣2＝1．故答案为：21．（3分）在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4cm，PB＝4cm，CP ＝2cm，那么⊙O的直径为10cm．【解答】解：∵由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，∴4×4＝2DP，∴DP＝8（cm），∵AP＝BP＝4cm，AB⊥CD，∴CD过O，即CD是⊙O的直径，CD＝2cm+8cm＝10cm，故答案为：10．22．（3分）已知方程mx2+4x+3＝0有一根是1，另一根是．【解答】解：设方程另一根为x，∵mx2+4x+3＝0有一根是1，∴1•x＝x，即m，1+x，则x．故答案为：．23．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径的圆交AB于点D，则的度数为50度．【解答】解：连接CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝90°﹣∠B＝65°，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝65°，∴∠ACD＝180°﹣2∠A＝50°，∴弧AD的度数是50度．24．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15cm，则短边的边长为5cm．【解答】解：已知矩形的两条对角线的夹角为60°，根据矩形的性质可求得由两条对角线的夹角为60°的三角形为等边三角形．又因为一条对角线与短边的和为15cm，所以短边的边长为5cm．故答案为5．三、解答题（1-2每题5分，3-5每题6分，第6小题8分，共36分）25．（5分）解方程：【解答】解：设y，则方程化为y2+y﹣12＝0，解得y1＝3，y2＝﹣4，当y1＝3，即3时，两边平方得（x+9）（x﹣1）＝0，解得x＝﹣9或x＝1，把x＝﹣9或x＝1分别代入原方程检验得原方程成立；当y2＝﹣4时，4，根式无意义．故原方程的解为x1＝1，x2＝﹣9，26．（5分）已知：一函数的图象是一条直线，该直线经过（0，0），（2，﹣a），（a，﹣3）三点，且函数值随自变量x的值的增大而减小，求此函数的解析式．【解答】解：由题意设一次函数解析式为y＝kx，将（2，﹣a），（a，﹣3）代入得：，解得：（舍去）或，则一次函数解析式为y x．27．（6分）若方程m2x2﹣（2m﹣3）x+1＝0的两个实数根的倒数和是S，求S的取值范围．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2，∵S，∴S2m﹣3，∵方程m2x2﹣（2m﹣3）x+1＝0的两个实数根，∴m2≠0且△＝（2m﹣3）2﹣4m2≥0，解得m，∴m的范围为m且m≠0，而m（S+3），∴（S+3）且（S+3）≠0，∴S的范围为S且S≠﹣3．28．（6分）如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°，已知在该海岛周围6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°＝∠CAD，∴BC＝AB＝6，在Rt△CBD中，sin∠CBD，∴CD＝CB•sin60°＝63＜6答：若船继续向东航行，有触礁危险．29．（6分）一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？【解答】解：（1）设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时，根据题意得：，解得x＝48，经检验x＝48符合题意，答：小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时．（2）设救生圈是在y点钟落下水中的，由（1）小题结果，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的，．∵小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时，∴它在中午12点钟到达B港．而救生圈在y点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为（12﹣y）小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的，救生圈沿着航行方向漂流全程的，船与救生圈同向而行，距离拉大，船到B港后立刻掉头去找救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，由此得方程：（12﹣y）（）＝1×（），解得：y＝11，答：救生圈是在上午11点钟掉下水的．30．（8分）已知抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式．【解答】解：（mx）（x﹣3），设y＝0，则x1，x2＝3，∴A（，0），B（3，0），设x＝0，则y＝4，∴C（0，4），①若AC＝BC因为CO垂直BC，所以他也是底边中线所以AO＝BO＝3A（﹣3，0）3∴m；②若BC＝AB由勾股定理得：BC＝5，∴AB＝|3|＝5∴m，m；③若AC＝AB则AC，∴AB＝|3|∴m；∴m，，，∴y x2+4或y x2x+4或y x2x+4或y x2x+4．四、证明题（每道小题6分共12分）31．（6分）已知：⊙O的半径为R，过⊙O外一点P作割线P AB不过O点．求证：P A•PB ＝OP2﹣R2．【解答】证明：如图，过点P作⊙O的切线PC，C为切点，连接OC，∴OC⊥PC，∴PC2＝OP2﹣R2．∵PC2＝P A•PB，∴P A•PB＝OP2﹣R2．32．（6分）如图，P A切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连AD 并延长交⊙O于E，已知：BE2＝DE•EA．求证：（1）P A＝PD．（2）2BP2＝AD•DE．【解答】证明：（1）连接AB，∵BE2＝DE•EA，∴，∵∠E＝∠E，∴△DEB∽△BEA，∴∠DBE＝∠EAB，∵P A切⊙O于A，∴∠P AB＝∠E，∴∠P AB+∠BAE＝∠E+∠DBE，即∠P AD＝∠ADP，∴P A＝PD；（2）证明：∵P A＝PD，P A是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，∴由切割弦定理得：P A2＝PB×PC＝PD2，∵D为PC中点，∴PD＝DC，∴PD2＝PB×2PD，∴PD＝2PB，DC＝PD＝2PB，∵PD＝PB+BD，∴BD＝PB，由相交弦定理得：AD×DE＝BD×DC，∴AD×DE＝PB×2PB，即2PB2＝AD×DE．。
1998年湖州市中考数学试卷
1998年湖州市中考试卷一、选择题（每小题5分，共50分）．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前面的字母填在括号内。
1、|2|-的相反数是（ ）（A ）21 （B ）21-（C ）–2（D ） 2 2、已知21=b a ，则b a a +的值为（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）31 （D ）43 3、计算62⋅，结果应是（ ）（A ）32±（B ）32 （C ）34 （D ） 124、不等式组：⎩⎨⎧>->0212x x 的解是 （ ） （A ）221<<x （B ）21>x （C ）2>x （D ）2-<x 5、若1-=a ，2=b ，则代数式ba b ab +-2的值是 （ ） （A ）5（B ）–5（C ）6（D ）–66、方程组：⎩⎨⎧=-=+23xy y x 的解是 （ ） （A ）⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==12212211y x y x （B ）⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=41142211y x y x（C ）⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=21212211y x y x （D ）⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=12212211y x y x 7、下列命题中，正确的命题是（ ）（A ）矩形的两条对角线互相垂直 （B ）一组邻边相等的矩形是正方形（C ）等腰梯形的对角线互相平分 （D ）菱形的对角线相等且互相垂直8、已知：如图，AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，D 是⊙O 上一点，∠D=400，则∠A 的度数等于 （ ）（A ）1400 （B ）1200 （C ） 1000 （D ） 8009、一个圆锥的底面积是侧面积的61，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 （ ）（A ）1800 （B ）1200 （C ）900 （D ）60010、若二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的顶点在第一象限，且经过点（0，1）和（–1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）（A ）20<<S （B ） 10<<S （C ） 21<<S （D ）11<<-S二、填空题（每小题5分，共50分）。
1998年全国初中数学竞赛试卷(含答案)
1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a ，那么下列式子中正确的是（ ） A 、bc ab B 、c b b a ++ C 、c b b a -- D 、cb c a2、如果方程()0012 p px x =++的两根之差是1，那么p 的值为（ ） A 、2 B 、4 C 、3 D 、53、在ABC ∆中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且CE BD ⊥，4=BD ，6=CE ，那么ABC ∆的面积等于（ ）A 、12B 、14C 、16D 、18 4、已知0≠abc ，并且pba c ac b cb a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限A 、一、二B 、二、三C 、三、四D 、一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧-≥-0809 b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）A 、17个B 、64个C 、72个D 、81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边12=AD ，5=AB ，P 是AD 边上任意一点，BD PE ⊥，ACPF ⊥，E 、F 分别是垂足，那么=+PF PE ___________.27、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB ∆的面积等于___________.8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为cm__________.9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么_______=a .10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是km __________.三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰ABC ∆中，1=AB ，︒=∠90A ，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且BE FE ⊥，求CEF ∆的面积。
1998年全国高中数学联赛精彩试题及详细解析汇报
一、选择题〔此题总分为36分,每一小题6分〕1．假如a> 1, b> 1, 且lg<a+ b>=lg a+lg b, 如此lg<a–1>+lg<b–1> 的值< >〔A〕等于lg2 〔B〕等于1<C > 等于0 <D> 不是与a, b无关的常数2.假如非空集合A={x|2a+1≤x≤3a– 5},B={x|3≤x≤22},如此能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是< >〔A〕{a | 1≤a≤9} <B> {a | 6≤a≤9}<C>{a | a≤9} <D> Ø6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心与正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是< ><A> 57 <B> 49 <C> 43 <D>37二、填空题< 此题总分为54分,每一小题9分> 各小题只要求直接填写结果.1．假如f<x> <x∈R>是以2为周期的偶函数, 当x∈[0,1]时,f<x>=x错误!,如此f<错误!>,f<错误!>,f<错误!>由小到大排列是．2．设复数z=cosθ+i sinθ<0≤θ≤180°>,复数z,<1+i>z,2错误!在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．假如椭圆x2+4<y－a>2=4与抛物线x2=2y有公共点,如此实数a的取值X围是．6．∆ABC中, ∠C=90o,∠B= 30o,AC= 2,M是AB的中点.将∆ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2错误!,此时三棱锥A-BCM的体积等于__________.三、〔此题总分为20分〕复数z=1－sinθ+i cosθ<错误!<θ<π>,求z的共轭复数错误!的辐角主值．四、〔此题总分为20分〕设函数f <x> =ax2 +8x +3 <a<0>．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l<a> ,使得在整个区间[0,l<a>]上, 不等式|f <x>| ≤ 5都成立．问：a为何值时l<a>最大? 求出这个最大的l<a>．证明你的结论.五、〔此题总分为20分〕抛物线y2= 2px与定点A<a, b>, B< –a, 0> ,<ab≠ 0, b2≠ 2pa>．M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时<只要M1, M2存在且M1 ≠M2>,直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试二、〔总分为50分〕设a1,a2,…,a n,b1,b2,…,b n∈[1,2]且错误!a错误!=错误!b错误!,求证：错误!错误!≤错误!错误!a错误!．并问：等号成立的充要条件．三、〔总分为50分〕对于正整数a、n,定义F n<a>=q＋r,其中q、r为非负整数,a=qn＋r,且0≤r＜n．求最大的正整数A,使得存在正整数n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整数a≤A,都有F错误!<F错误!<F错误!<F错误!<F错误!<F错误!<a>>>>>>=1．证明你的结论．一九九八年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题〔此题总分为36分,每一小题6分〕2．假如非空集合A={x|2a+1≤x≤3a– 5},B={x|3≤x≤22},如此能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是< >〔A〕{a | 1≤a≤9} <B> {a | 6≤a≤9}<C>{a | a≤9} <D> Ø[答案]B[解析]A⊆B,A≠Ø．⇒3≤2a+1≤3a－5≤22,⇒6≤a≤9．应当选B．4.设命题P：关于x的不等式a1x2+ b1x2+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集一样;命题Q：错误!=错误!=错误!．如此命题Q< ><A>是命题P的充分必要条件<B>是命题P的充分条件但不是必要条件<C>是命题P的必要条件但不是充分条件<D>既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件[答案]D[解析]假如两个不等式的解集都是R,否认A、C,假如比值为－1,否认A、B,选D．5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,如此二面角C—FG—E的大小是< ><A> arcsin错误!<B> 错误!+arccos错误!<C> 错误!－arctan错误!<D> π－arccot错误!6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心与正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是< ><A> 57 <B> 49 <C > 43 <D>37[答案]B[解析]8个顶点中无3点共线,故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴体中心为中点：4对顶点,6对棱中点,3对面中心；共13组；⑵面中心为中点：4×6=24组；⑶棱中点为中点：12个．共49个,选B．二、填空题< 此题总分为54分,每一小题9分> 各小题只要求直接填写结果.1．假如f<x> <x∈R>是以2为周期的偶函数, 当x∈[0,1]时,f<x>=x错误!,如此f<错误!>,f<错误!>,f<错误!>由小到大排列是．2．设复数z=cosθ+i sinθ<0≤θ≤180°>,复数z,<1+i>z,2错误!在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________.[答案]3[解析]错误!=错误!+错误!+错误!=错误!+错误!－错误!+错误!－错误!=错误!+错误!－错误!=<1+i>z+2错误!－z=iz+2错误!=<2cosθ－sinθ>+i<cosθ－2sinθ>．∴ |OS|2=5－4sin2θ≤9．即|OS|≤3,当sin2θ=1,即θ=错误!时,|OS|=3．4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.[答案]8[解析]设其首项为a,项数为n．如此得a2+<n－1>a+2n2－2n－100≤0．SQPR xO y△=<n －1>2－4<2n 2－2n －100>=－7n 2+6n +401≥0．∴n ≤8．取n=8,如此－4≤a ≤－3．即至多8项．<也可直接配方：<a +错误!>2+2n 2－2n －100－<错误!>2≤0．解2n 2－2n －100－<错误!>2≤0仍得n ≤8．>6．∆ABC 中, ∠C=90o ,∠B= 30o ,AC= 2,M 是AB 的中点.将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2错误!,此时三棱锥A －BCM 的体积等于．[答案]错误![解析]由,得AB=4,AM=MB=MC=2,BC=2错误!,由△AMC 为等边三角形,取CM 中点,如此AD ⊥CM ,AD 交BC 于E ,如此AD=错误!,DE=错误!,CE=错误!．折起后,由BC 2=AC 2+AB 2,知∠BAC=90°,cos ∠ECA=错误!．∴AE 2=CA 2+CE 2－2CA ·CE cos ∠ECA=错误!,于是AC 2=AE 2+CE 2．⇒∠AEC=90°．∵AD 2=AE 2+ED 2,⇒AE ⊥平面BCM ,即AE 是三棱锥A －BCM 的高,AE=错误!． S △BCM =错误!,V A —BCM =错误!．三、〔此题总分为20分〕四、〔此题总分为20分〕 设函数f <x > =ax 2+8x +3 <a <0>．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l <a > ,使得在整个区间[0,l <a >]上, 不等式|f <x >| ≤ 5都成立．问：a 为何值时l <a >最大? 求出这个最大的l <a >．证明你的结论．五、〔此题总分为20分〕抛物线y 2= 2px 与定点A <a , b >, B < – a , 0> ,<ab ≠ 0, b 2≠ 2pa >.M 是抛物线上的点,设直线AM ,BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2．求证：当M 点在抛物线上变动时<只要M 1, M 2存在且M 1 ≠M 2.>直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.第二试一、〔总分为50分〕如图,O 、I 分别为△ABC 的外心和内心,AD 是BC 边上的高,I 在线段OD 上.求证：△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径.注：△ABC 的BC 边上的旁切圆是与边AB 、AC 的延长线以与边BC 都相切的圆. 2223222EB C A M D23222AE M D C B[解析] 由旁切圆半径公式,有r a =错误!=错误!,故只须证明错误!=错误!即可.连AI 并延长交⊙O 于K ,连OK 交BC 于M ,如此K 、M 分别为弧BC 与弦BC 的中点.且OK ⊥BC .于是OK ∥AD ,又OK=R ,故错误!=错误!=错误!=错误!,故只须证错误!=错误!=错误!．作IN ⊥AB ,交AB 于N ,如此AN=错误!<b +c －a >,而由⊿AIN ∽⊿BKM ,可证错误!=错误!成立,故证.二、〔总分为50分〕设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n ∈[1,2]且错误!a 错误!=错误!b 错误!, 求证：错误!错误!≤错误!错误!a 错误!．并问：等号成立的充要条件． AB C OI D K M N三、〔总分为50分〕对于正整数a、n,定义F n〔a〕=q＋r,其中q、r为非负整数,a=qn＋r,且0≤r＜n．求最大的正整数A,使得存在正整数n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整数a≤A,都有F错误!<F错误!<F错误!<F错误!<F错误!<F错误!<a>>>>>>=1．证明你的结论．[解析]将满足条件"存在正整数n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整数a≤B,都有F错误! <F错误!<…<F错误!<a>…>=1〞的最大正整数B记为x k显然,此题所求的最大正整数A即为x6.⑴先证x1=2．事实上,F2<1>=F2<2>=1,所以x1≥2,又当n1≥3时,F错误!<2> =2,而F2另一方面,假如取n1=错误!+2,由于错误!=错误!·n1+错误!对于每个a≤错误!,令a=qn1+r,那么或者q=错误!,r≤错误!；或者q≤错误!－1,r≤n1－1=错误!+1.两种情况下均有q+r≤x k,因此x k+1=错误!.此外,因为x k为偶数,假如4|x k,由2|x k+6可得8|x k<x k+6>,假如x k≡2<mod4>,由x k+6≡0<mod 4>也可得8|x k<x k+6>．因此x k+1也是偶数.于是完成了归纳证明x k+1=错误!．由x1=2逐次递推出x2=4,x3=10,x4=40,x5=460,x6=53590．即所求最大整数A=53590．。
2000年河北省中考数学试题(含答案)
2000年河北省初中升学统一考试数学试题一、填空题（本大题共10个小题；每小题2分，共20分）2．分解因式：2x3y+8x2y2+8xy3=______．3．已知：如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD相交于点O，那么，图中全等三角形共有______对．5．已知∠A是它补角的3倍，则∠A=______．6．已知A、B两地相距s千米，甲、乙两人的速度分别是a千米/时、b千米/时，若甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，那么，到他们相遇时，所用的时间是______小时．7．已知：如图2，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB=10cm，PB=4cm，PC=2cm，贝则OC的长等于______cm．8．已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值等于______．9．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．10．已知：如图3，CD是⊙O的直径，AE切⊙O的于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A=20°，则∠DBE=______．二、选择题（本大题共10个小题；每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把符合题目要求的选项前的字母填写在题后括号内）1．下列运算中正确的是[ ]A．x2·x3=x6．B．（x2）3=x5．D．3x2-2x（x+1）=-x2-2x．2．0.00813用科学记数法表示为[ ]A．8.13×10-3． B．81.3×10-4．C．8.13×10-4．D．81.3×10-3．3．已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是[ ]A．三角形． B．四边形．C．五边形．D．六边形．4．已知矩形的对角线长为10cm，那么，顺次连结矩形四边中点所得的四边形周长为[ ] A．40cm．B．10cm．C．5cm．D．20cm．5．已知点M（1-a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是[ ]A．a＞-2．B．-2＜a＜1．C．a＜-2． D．a＞1．6．已知y=（a-1）x a 是反比例函数，则它的图象在[ ] A ．第一、三象限． B ．第二、四象限．C ．第一、二象限． D ．第三、四象限．7.用换元法解方程06151=+⎪⎭⎫⎝⎛+++x x x x时，若设y x x =+1则原方程可化为[ ] A ．y 2+6y+5=0． B ．5y 2+y+6＝0．C ．y 2+5y+6=0． D ．6y 2+5y+1=0．8．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的[ ] A ．2倍．B ．3倍．C ．4倍．D ．5倍．9．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则该等腰梯形的面积为[ ] A ．16cm 2． B ．32cm 2。
1998年江西省中考数学试卷
1998年江西省中考数学试卷一、单选题（每道小题3分共24分）1.（3分）下列运算正确的是（）A.x2+x2=x4B.x x4=x4C.x6-^-x2=x4D.（ab）2=ab12.（3分）如图，己知AB=AC,AE^AD,那么图中全等三角形共有（）A.0对B.1对C.2对D.3对3.（3分）如果两圆的半径分别是3cm和4cm,圆心距为5cm,那么两圆公切线的条数是（）A.1条B.2条C.3条D.4条4.（3分）下列四个式子：①—1—3=1；②2°=1；③3一2=：；④寸〒=2,其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.（3分）用配方法解关于x的方程J+px+qM时，方程可变形为（）a.b.2 424C. D.（.4=^124 2 46.（3分）方程x2 -3x+2=0的两根之和与两根之积分别是（）A.3,-2B.3,2C.-3,-2D.-3,27.（3分）下列图形：其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）M0O®A.4个B.3个C.2个D.1个8.（3分）甲、乙两队学生绿化校园.如果两队合作，6天可以完成；如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需多少天完成？若设甲队单独工作需x天完成，则依题意得到的方程是（）x x+5x x-5x x+56x x-56二、填空题（每道小题3分共36分）9.（3分）-3与-7的大小关系是.10.（3分）计算：|一2|=.11.（3分）函数、=后！中，自变量x的取值范围是.12.（3分）用科学记数法表示51098,应记作.13.（3分）一个面积为0.64平方米的正方形桌面，它的边长是.Y2-2x14.（3分）分式方程土仝=0的增根是____.x—215.（3分）已知一元二次方程x2+2x-1=0,它的根的判别式的值△=.16.（3分）抛物线>=2（x+3）2-5的顶点坐标是.17.（3分）一个角的补角是这个角的5倍，这个角的度数是度.18.（3分）在AABC■中，AB=AC,£8=25。
1998年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案
一九九八年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、 填空题1.设15+=m ,那么mm 1+的整数部分是 . 2.在直角三角形ABC 中,两条直角边AB,AC 的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米. 3.已知013=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是 .4.已知m ,n 是有理数,并且方程02=++n mx x 有一个根是25-,那么n m +的值是 .5. 如图,ABCD 为正方形,A,E,F ,G 在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF =3厘米,那么FG = 厘米.6.满足19982+2m =19972+2n )19980(<<<n m 的整数对),(n m ,共有 个.7.设平方数2y 是11 个相继整数的平方和,则y 的最小值是 .8.直角三角形ABC 中,直角边AB 上有一点M ,斜边BC 上有一点P , 已知BMP BC MP ∆⊥,的面积等于四边形MPCA 的面积的一半, BP =2厘米, PC =3厘米,那么直角三角形ABC 的面积是__________平方厘米.9.已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E , F 分别为边AB , BC 上的点, AF , CE 相交于点G ,并且ABF ∆的面积为5平方厘米,BCE ∆的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积是____________平方厘米.10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.11.设),(b a 为实数,那么b a b ab a 222--++的最小值是__________.12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A 与B 乘积的最大值是____________.14.直线AB 和AC 与圆O 分别为相切于B ,C 两点,P 为圆上一点,P 到AB ,AC 的距离分别为4厘米,6厘米,那么P 到BC 的距离为 厘米.15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J 是检查号码.令S =10A +9B +8C +7D +6E +5F +4G +3H +2I ,r 是S 除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r .(若r =0,则规定J =0;若r =1,规定J 用x 表示)现有一本书的书号是962y 707015,那么y = .第二试1.求所有正实数a ,使得方程043=+-a ax x 仅有整数根.2.已知P 为▱ABCD 内一点,O 为AC 与BD 的交点,M 、N 分别为PB,PC 的中点,Q 为AN 与DM 的交点,求证:(1)P ,Q,O 三点在一条直线上;(2)PQ =2OQ .3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.一 九 九 八 年第 一 试1．3 15+=m ，4151511-=+=m ， ∴ 435451+=+m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m .2．322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，1==AB AE ，2=EB ，又C D A ∆∽CBE ∆，32==CE AC EB AD ，∴32232==EB AD . 3．22)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x22)1()1(22=+--+--=x x x x x .4．3因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理.得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .5．316 由原图 AEFG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EFAE FG -=23163352=-=(厘米). 6．1647175399522⨯⨯==-m n ,47175))((⨯⨯=+-m n m n .显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).7．1111个相继整数的平方和为22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x22)10(11y x =+=,则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .8．39∵ MBP ∆∽CBA ∆，3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=∆ABC S . 9．27204 ∵72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE , 由原图，连BG .记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，解之得 2728=b ， 27100=c . ∴ )(2720427128平方厘米==+=c b S BEGF . 10．13由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n 2)1(321+=++++n n n ≤100, ∴ n ≤13，所以至多有13人.11．-1b a b ab a 222--++b b a b a 2)1(22-+-+= 412343)21(22--+-+=b b b a 1)1(43)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 021=-+b a ，01=-b ， 即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1. 12．73 对 ))((22m n m n m n x -+=-=(1≤m <n ≤98 m ,n 为整数)因为n +m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.13．15设算式∴ A ≤6.35876543219)(2=++++++=++B A .∴ 8=+B A .欲令A ·B 最大，取A =5，B =3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.14．62如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P ,Q ,C ,N 四点共圆，P ,Q ,B ,N 四点共圆,NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-︒∠=∠-︒=∠180180，QNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，∴ MPQ ∆∽QPN ∆， NPPQ PQ MP =， 62=⋅=NP MP PQ (厘米).15．7213047506778296109⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y S∴ S 被11除所得的余数等于17+y 被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5=6，因此7y 被11除所得余数为6-1=5, ∴y =7第 二 试一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，a c fB b e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +c +f =10+Bb +e =9+A则⎩⎨⎧>=>=+04,0a xy a y x2a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 42-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .于是25=a 或18或16均为所求.说明 没有说明理由，仅指出a 的每一个正确值给4分.二、证明 如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q . 在PAC ∆中，∵OC AO =，NC PN =，∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =在PDB ∆中，∵BO DO =，MP BM =，∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ PQ 2=.三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一）以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4为满足要求的三个数.第二步：设a ,a +2,a +3,a +4为满足条件的四个数，则a 可被2,3,4整除.取a =12，得满足条件的四个数12，14，15，16.第三步：设b ,b +12,b +14,b +15,b +16.取12,14,15,16的最小公倍数为b .即b =1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.。
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一九九八年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、 填空题1.设15+=m ,那么mm 1+的整数部分是 . 2.在直角三角形ABC 中,两条直角边AB,AC 的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米. 3.已知013=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是 .4.已知m ,n 是有理数,并且方程02=++n mx x 有一个根是25-,那么n m +的值是 .5. 如图,ABCD 为正方形,A,E,F ,G 在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF =3厘米,那么FG = 厘米.6.满足19982+2m =19972+2n )19980(<<<n m 的整数对),(n m ,共有 个.7.设平方数2y 是11 个相继整数的平方和,则y 的最小值是 .8.直角三角形ABC 中,直角边AB 上有一点M ,斜边BC 上有一点P , 已知BMP BC MP ∆⊥,的面积等于四边形MPCA 的面积的一半, BP =2厘米, PC =3厘米,那么直角三角形ABC 的面积是__________平方厘米.9.已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E , F 分别为边AB , BC 上的点, AF , CE 相交于点G ,并且ABF ∆的面积为5平方厘米,BCE ∆的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积是____________平方厘米.10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.11.设),(b a 为实数,那么b a b ab a 222--++的最小值是__________.12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A 与B 乘积的最大值是____________.14.直线AB 和AC 与圆O 分别为相切于B ,C 两点,P 为圆上一点,P 到AB ,AC 的距离分别为4厘米,6厘米,那么P 到BC 的距离为 厘米.15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J 是检查号码.令S =10A +9B +8C +7D +6E +5F +4G +3H +2I ,r 是S 除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r .(若r =0,则规定J =0;若r =1,规定J 用x 表示)现有一本书的书号是962y 707015,那么y = .第二试1.求所有正实数a ,使得方程043=+-a ax x 仅有整数根.2.已知P 为▱ABCD 内一点,O 为AC 与BD 的交点,M 、N 分别为PB,PC 的中点,Q 为AN 与DM 的交点,求证:(1)P ,Q,O 三点在一条直线上;(2)PQ =2OQ .3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.一 九 九 八 年第 一 试1．3 15+=m ，4151511-=+=m ， ∴ 435451+=+m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m . 2．322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，1==AB AE ，2=EB ，又C D A ∆∽CBE ∆，32==CE AC EB AD ，∴32232==EB AD . 3．22)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x22)1()1(22=+--+--=x x x x x .4．3因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理.得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .5．316 由原图 AEFG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EFAE FG -=23163352=-=(厘米).6．1647175399522⨯⨯==-m n ,47175))((⨯⨯=+-m n m n .显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).7．1111个相继整数的平方和为22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x22)10(11y x =+=,则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .8．39∵ MBP ∆∽CBA ∆，3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=∆ABC S . 9．27204 ∵72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE , 由原图，连BG .记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，解之得 2728=b ， 27100=c . ∴ )(2720427128平方厘米==+=c b S BEGF . 10．13由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n2)1(321+=++++n n n ≤100, ∴ n ≤13，所以至多有13人.11．-1 b a b ab a 222--++b b a b a 2)1(22-+-+= 412343)21(22--+-+=b b b a 1)1(43)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 021=-+b a ，01=-b ， 即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1. 12．73 对 ))((22m n m n m n x -+=-=(1≤m <n ≤98 m ,n 为整数)因为n +m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.13．15设算式∴ A ≤6.35876543219)(2=++++++=++B A .∴ 8=+B A .欲令A ·B 最大，取A =5，B =3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.14．62如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P ,Q ,C ,N 四点共圆，P ,Q ,B ,N 四点共圆,NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-︒∠=∠-︒=∠180180，a c fB b e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +c +f =10+Bb +e =9+AQNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，∴ MPQ ∆∽QPN ∆， NPPQ PQ MP =， 62=⋅=NP MP PQ (厘米).15．7213047506778296109⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y S∴ S 被11除所得的余数等于17+y 被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5=6，因此7y 被11除所得余数为6-1=5, ∴y =7第 二 试一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，则⎩⎨⎧>=>=+04,0a xy a y x 2a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 42-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .于是25=a 或18或16均为所求.说明 没有说明理由，仅指出a 的每一个正确值给4分.二、证明 如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q . 在PAC ∆中，∵OC AO =，NC PN =，∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =在PDB ∆中，∵BO DO =，MP BM =，∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ.PQ2三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一）以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4为满足要求的三个数.第二步：设a,a+2,a+3,a+4为满足条件的四个数，则a可被2,3,4整除.取a=12，得满足条件的四个数12，14，15，16.第三步：设b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
1998年广西中考数学试卷
1、若a、b为实数，且|a - 1| + √(b - 1) = 0，则(a + b)²⁰⁹⁹的值为A. 0B. 1C. 2D. 2²⁰⁹⁹解析：由于|a - 1|和√(b - 1)都是非负数，且它们的和为0，那么它们各自必须为0。
因此，a - 1 = 0得a = 1，b - 1 = 0得b = 1。
所以，(a + b)²⁰⁹⁹ = (1 + 1)²⁰⁹⁹ = 2²⁰⁹⁹，但由于任何数的0次方都是1（除了0的0次方在数学中是未定义的），这里的指数实际上是1+1的2099-1次方后再平方，即2¹×²⁰⁹⁹ = 2。
（答案）C2、下列说法中，正确的是A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C. 不相等的角不是对顶角D. 两条直线平行，同旁内角互补解析：A选项错误，因为两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，需要两直线平行才相等；B选项错误，因为直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做点到直线的距离；C选项虽然对顶角相等，但反过来说“不相等的角不是对顶角”逻辑上不完全正确，因为可能存在其他情况使得两个角不相等但也不是对顶角；D选项正确，根据平行线的性质，两条直线平行时，同旁内角互补。
（答案）D3、若关于x的一元二次方程x² - 2(k - 1)x + k² - 1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A. k < 1B. k > 1C. k < 0D. k > 0解析：一元二次方程有两个不相等的实数根，需要满足判别式Δ = b² - 4ac > 0。
对于方程x² - 2(k - 1)x + k² - 1 = 0，其中a = 1, b = -2(k - 1), c = k² - 1。