第五讲 联合平稳随机过程和复随机过程
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第3章 平稳随机过程
上 第三章 平稳随机过程 海 大 上一章讨论的随机过程的数学特征： 学 2 2 E X ( t ) m ( t ) , ( t ) E X ( t ) , ( t ) D X ( t ) , X X X 通 RX ( t1 , t 2 ) , C X ( t1 , t 2 ) , RXY ( t1 , t 2 ) , C XY ( t1 , t 2 ) 。 信 学 1. 它们不仅都是时间的函数，而且相关函数及协方差函数还 院 取决于不同的时刻点。 2 ( t ) 所对应的物理量都是瞬时平均值。 2. 由 mX ( t ) , X ( t ) 和 X 工程上和实际应用中，经常遇到一类广泛存在的所谓“平 稳”随机过程，或在研究相对稳定状态下的物理过程中，其 所 涉及的随机量也都属于“平稳”随机过程。 同样，平稳随机过程是通信系统和各种信号处理中最常遇 到也是最重要的一种特殊类型的随机过程。
一、 互相关函数的性质
（1） RXY (0 ) RYX ( 0 ) （2） RXY ( ) RYX ( ) 2 （3） RXY ( ) RX (0 )RY ( 0 )
1 RXY ( ) [ RX ( 0 ) RY ( 0 )] 2 1 1 2 （4） C XY ( ) [C X (0 ) CY ( 0 )] [ X Y2 ] 2 2
§3.2 平稳过程相关函数的性质
3.2.1 相关函数的性质 设X ( t )为实平稳随机过程，则 EX ( t ) X ( t ) R ( ) （1） R ( ) R ( ) 自相关函数为偶函数。
X
X
X
（2） R ( ) R ( 0 ) ∵ E X ( t ) X ( t ) 0 随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。
一、 互相关函数的性质
（1） RXY (0 ) RYX ( 0 ) （2） RXY ( ) RYX ( ) 2 （3） RXY ( ) RX (0 )RY ( 0 )
1 RXY ( ) [ RX ( 0 ) RY ( 0 )] 2 1 1 2 （4） C XY ( ) [C X (0 ) CY ( 0 )] [ X Y2 ] 2 2
§3.2 平稳过程相关函数的性质
3.2.1 相关函数的性质 设X ( t )为实平稳随机过程，则 EX ( t ) X ( t ) R ( ) （1） R ( ) R ( ) 自相关函数为偶函数。
X
X
X
（2） R ( ) R ( 0 ) ∵ E X ( t ) X ( t ) 0 随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。
平稳随机过程分析
X X (T , ) xT (t )e jt dt
x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T
对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
S X ( )d
9
0t ) ，其中a和0 例：设随机过程 X (t ) a cos( （ 0 ， 皆是实常数， 是服从 2 ） 上均匀分布的随
机变量，求随机过程 X (t ) 的平均功率。
解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
1 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对 可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付 氏变换，即：
12
S X ( ) RX ( )e
j
d
1 RX ( ) 2
S X ( )e
j
d
13
推论：对于一般的随机过程X(t)，有：
S X ( ) A RX (t , t ) e j d
0 0
18
a, 0 皆为 例：设随机过程 Y (t ) aX (t ) sin ，其中 0t X (t )为具有功率谱密度 S X ( )的平稳随机 常数， 过程。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
E[aX(t ) sin 0t aX(t ) sin 0 (t )]
概率论第三章 平稳随机过程
则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程)
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
平稳随机过程
平稳随机过程
现实中更常见的是平稳随机过程，用于表达一种稳态的随机过程，随机过程中变量族分布不随时间变化而变化。
随机过程的统计特征最重要的是均值函数与自相关函数，对宽平稳过程来说其均值函数为常数，自相关函数只与时间间隔有关，通常对于环境没有太大变化的情况下的随机过程都可假设平稳的。
平稳过程如满足各态历性条件，则可以用一个样本的统计特征近似随机过程的统计特征，省去了大样本实验的麻烦，是一种小样本统计的数学工具。
第六章 平稳随机过程.
周期性
S d 常数 T
T 0
t T t
RX t , t E S t S t
S t S t 1 d 1 T T
T 0
S S d
＝＝＝ 1 T
,0,1,2, 。
tn T 和任意实数h
, X tn h
对任意的n n 1,2,
，t1, t2 ,
当t1 h, t2 h,
, tn h T 时,
d
X t , X t ,
1 2
, X tn X t1 h , X t2 h ,
解： (1)因为E( A) E( B) E( AB) 0, E( A2 ) E(B2 ) 2
故 X (t ) E Acost Bsint
E ( A)cost E ( B)sint 0
RX (t1 , t2 ) E[( Acost1 Bsint1 )( Acost2 Bsint2 )]
是平稳序列.
证：E Yn ak E X n k 0
又自相关函数RY n, n m E YnYnm
N N E ak X n k a j X n m j j 0 k 0
即：F x1 , x2 , F x1 , x2 ,
, xn ; t1 , t2 ,
tn , tn h
3
则称随机过程 X t , t T 具有平稳性，
, xn ; t1 h, t2 h,
称此过程为严平稳随机过程，简称严平稳过程。
严平稳过程的数字特征： 设严平稳过程 X t , t T 是二阶矩过程，则
S d 常数 T
T 0
t T t
RX t , t E S t S t
S t S t 1 d 1 T T
T 0
S S d
＝＝＝ 1 T
,0,1,2, 。
tn T 和任意实数h
, X tn h
对任意的n n 1,2,
，t1, t2 ,
当t1 h, t2 h,
, tn h T 时,
d
X t , X t ,
1 2
, X tn X t1 h , X t2 h ,
解： (1)因为E( A) E( B) E( AB) 0, E( A2 ) E(B2 ) 2
故 X (t ) E Acost Bsint
E ( A)cost E ( B)sint 0
RX (t1 , t2 ) E[( Acost1 Bsint1 )( Acost2 Bsint2 )]
是平稳序列.
证：E Yn ak E X n k 0
又自相关函数RY n, n m E YnYnm
N N E ak X n k a j X n m j j 0 k 0
即：F x1 , x2 , F x1 , x2 ,
, xn ; t1 , t2 ,
tn , tn h
3
则称随机过程 X t , t T 具有平稳性，
, xn ; t1 h, t2 h,
称此过程为严平稳随机过程，简称严平稳过程。
严平稳过程的数字特征： 设严平稳过程 X t , t T 是二阶矩过程，则
随机过程课件chapter8平稳过程.pptx
称 X t S t 为随机相位周期信号，讨论其平稳性.
解 由假设， 的概率密度为
f
1 T
,
0＜＜T ,
0, 其它,
于是，均值函数
E［X
t ］
1 T
T
0
S
t
d
1 T
t T
t
S
d
1 T
T
0
S
d
常数
上面的第三个等号用到 S t 的周期性.
BUPT
8
1 平稳过程的概念
解：（续）同样，利用 S S 关于 的周期性，可得
BUPT
14
2.2自相关函数的性质
(4) 若平稳过程 X t 满足条件 X t X t l ，则称它
为周期过程，其中 l 为过程的周期. 周期平稳过程的自相关函 数必是以 l 为周期的周期函数. 因为:
RX l E［X t X t l］ E［X t X t ］ RX .
(5 ) RX 是非负定的，即对任意的 t1,t2 ,tn T 及任意
无关而只与 有关，则称X t,t T为宽(弱、广义)平稳过
程，并称 X 为它的均值， RX 为它的自相关函数.特别地.
一般来说，宽平稳过程不一定是严平稳过程.反过来，严 平稳过程一般也未必是宽平稳过程，因为它的二阶矩不一定 存在.
BUPT
6
1 平稳过程的概念
例 1.2 如果 Xn, n 0, 1, 2, 为互不相关的随机变
(3) RXY 2 RX 0 RY 0 .
这是由于
RXY 2 E［X t Y t ］2 E［X 2 t ］E［Y 2 t ］ RX 0 RY (0)
(4) | RXY( )| 12［RX (0) RY(0)］.
随机过程的功率谱密度
Rˆ X
(
)
1 2T
T
x(t ) x(t )dt
T
一、联合分布
二维联合分布函数：
FXY (x1, y1,t1,t1' ) P{X (t1) x1,Y (t1' ) y1}
二维联合概率密度：
f XY (x1, y1, t1, t1' ) 2FXY (x1, t1, y1, t1' )
x1y1
性质：
RXY (t1, t2 ) RXY ( ), t1 t2
RXY ( ) RYX ( ) KXY ( ) KYX ( )
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
K XY
( )
2
2 X
2 Y
若 X (t)与Y (t)是联合平稳旳，则 Z (t) X (t) Y (t) 是平稳旳。
K X (0)KY (0)
XY
广义联合平稳旳定义：
mX (t) mX , mY (t) mY , RXY (t1, t2 ) RXY ( ), t1 t2
随机过程旳功率谱密度 作业：2.31, 2.36, 2.39
功率谱定义：GX
(
)
E[lim T
1 2T
XT () 2 ]
平稳随机过程：维纳－辛钦定理 RX ( ) GX ()
2 4 10 2
9
求有关函数。
例3、若平稳过程X(t)旳功率谱密度为
GX
(
)
[1
1
2
]2
求有关函数。
二、平稳随机序列旳功率谱密度
对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度
GX ()
RX (m)e jm
m
傅里叶 变换对
平稳过程
, xn ; t1 , t2 ,
, tn ) , tn )
, xn , t1 , t2 ,
则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计 算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机 过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一 特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及 数字特] (t ) f ( )d
0 T
T
0
1 S (t ) d T
1 t T 1 T E [ X (t )] S ( )d S ( )d 常数 T t T 0
又∵
RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E [ X (t ) X (t )] E [ S (t ) S (t )] S (t ) S (t ) f ( )d
定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如
果
且
E [ X (t )] M X 常数
E [ X 2 (t )] , RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] RX ( )
t2 t1
则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。
显然由宽平稳定义可知，要求 E [ E (t )], RX (t1 , t2 )
1 RX (t1 , t2 ) xk (t1 ) xk (t2 ) n k 1 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过 程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数 xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于 是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 xi (t ), i 1, 2,
性质4.2
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。
一.严平稳随机过程1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1<t2<…<tn ，（ti ∈T ）时刻的n 个状态的n 维概率密度，不随时间平移Δt 而变化。
(Δt 为任意值)12121212(,,...,;,,...,)(,,...,;,,...,)X n n X n n f x x x t t t f x x x t t t t t t =+Δ+Δ+Δ则称该过程为严平稳随机过程（或狭义平稳过程）。
因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。
a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间进程中不变化。
则此过程就可以认为是平稳的。
例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。
1212121212121212222(,)(,;)()(,)()()(,;)()()(0)(0)[()]X X X X XX X X X XX X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x mx m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=⋅==−−==−=−==∫∫∫∫∞<)]([2t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。
即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。
因此，工程中平稳过程的定义如下：二、宽平稳过程1、定义若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。
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《随机信号分析》教学组
3
设有两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ),它们的概率密度 , , tm ) 分别为 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ), fY ( y1 , y2 , , ym ; t1 , t2
两个过程的是相互独立的，联合概率密度函数 满足:
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一 两个随机过程的联合概率分布
设有两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ),它们的概率密度 , , t m ) 分别为 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ) , fY ( y1 , y2 ,, ym ; t1, t2 定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数：
,, tm ) FXY ( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ; t1 ,, tn ; t1
) y1 ,..., Y (tm ) ym ] P[ X (t 1) x1 ,..., X (tn ) xn ; Y (t1
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2
定义两个过程的(n+m)维联合概率密度为：
已知两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的m+n维联合 分布条件下，可以通过求出各自的边缘分布，然 后使用前面介绍的单个随机过程中的方法求的各 自的数字特征。
为了描述两个随机过程之间的相互联系，需 要引入新的数字特征。最常用且最重要的数字特 征是两个过程的互相关函数。
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( x mX (t1 ))( y mY (t2 )) f XY ( x, y; t1, t2 )dxdy
X (t1 ) 和 Y (t 2 )
mX (t1 ) 和 mX (t2 ) 分别是随机变量 式中，
的数学期望。 此式也可以写成
K XY (t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 )
不相关 若两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 对任意两个时刻 t1, t2都具有 K XY (t1 , t2 ) 0 或 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
则称 X (t ) 和Y (t )不相关。
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15
推论 1) 如果两个随机过程相互独立，且他们的二阶 矩都存在，则必互不相关。 2) 正态过程的不相关与相互独立等价。
2 2 0 0 0 * 0 0 2 0 2 0 2
其中
Z Z mZ ( X jY ) (mX jmY ) ( X mX ) j (Y mY ) X j Y
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13
3
随机过程的联合遍历性（宽遍历）
两个随机过程 X (t ) 和 Y (t )是联合宽平稳 (前提)
定义时间互相关函数为：
1 XY (t ) X (t )Y (t ) lim T 2T
T
T
X (t )Y (t )dt
若 XY ( )依概率1收敛于互相关函数 RXY ( ) 即
, , tm ) FXY ( x1 , , xn ; y1 , , ym ; t1 , , tn ; t1 , , tm ) FX ( x1 , , xn ; t1 , , tn ) FY ( y1 , , ym ; t1
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4
二 两个随机过程的数字特征（互相关函数）
RX (0) 0
RY (0) 0
1 RXY ( ) RX (0) RY (0) [ RX (0) RY (0)] 因此 2 （任何正数的几何平均小于算术平均）
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12
（4）互相关系数
当两个随机过程联合平稳时，它们的互协方差为：
K XY (t1 , t2 ) K XY (t2 t1 ) K XY ( )
（2）互相关函数仅为时间差 的函数，与 时间t无关，即 RXY (t1 , t2 ) RXY ( ) t2 t1 则称 X (t ) 和 Y (t ) 为联合宽平稳或宽平稳相依。
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9
联合宽平稳随机过程互相关函数的性质
(1) RXY ( ) RYX ( )
K XY ( ) KYX ( )
证明：RXY ( ) E[ X (t )Y (t )] E[Y (u ) X (u )] RYX ( )
说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。
互相关函数的影像关系 《随机信号分析》教学组
10
(2) RXY ( ) 2 RX (0) RY (0),
5
1 定义 设两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) ，它们在任意两个 Y (t 2 ) 则定义它 时刻t1，t2的取值为随机变量 X (t1 ) 和 们的互相关函数为：
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf XY ( x, y; t1, t2 )dxdy
正交的。对于其它 值是不相交的。
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17
X(t)和Y(t)的均值分别为：
mX (t ) E[ X (t )] E[cos(t )] 0 mY (t ) E[Y (t )] E[sin(t )] 0
X(t)和Y(t)的互协方差函数为：
式中 f XY (t1 , t2 ) ( x, y; t1 , t2 ) 是随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的二维联合概率密度。
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6
随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的中心化互相关函数 （互协方差函数）定义为：
K XY (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]
2
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11
(3)
1 RX (0) RY (0) 2 1 1 2 2 K XY ( ) K X (0) KY (0) X Y 2 2得 2 R XY ( ) R X (0) RY (0)
注意到
c) FXY ( x1 ,, xn , t1 c,, tn c, y1,, ym , t1 c, , tm
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8
联合宽平稳（联合宽平稳相依）
两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) ，如果满足： （1） X (t )和 Y (t ) 分别宽平稳随机过程；
要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，
则方程的系数应该满足 B 2 4 AC 0 ,则有
( 2RXY ( )) 2 4 RX (0) RY (0) 0
所以， RXY ( ) RX (0) RY (0)
2 2 同理， K XY ( ) K X (0) K Y (0) X Y 2
,, tm ) f XY ( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ; t1 ,, tn ; t1
) n m FXY ( x1 , , xn ; y1 , , ym ; t1 ,, tn ; t1,, tm x1 xn y1 ym
注 1）若两个过程的n+m维联合概率分布给定，则它们的 全部统计特性也确定了。 2）可以由高维联合分布求出相应低维联合概率分布。
7
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2 两个随机过程的平稳性（严平稳和宽平稳）
联合严平稳（联合严平稳相依） 若两个随机过程 X (t )和Y (t )的联合概率分布 不随时间平移而变化，即与时间的起点无关, 则 称此二个过程为联合严平稳或严平稳相依。
) FXY ( x1 ,, xn ; t1 ,, tn ; y1, , ym ; t1, , tm
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16
例 设两个平稳随机过程 X (t ) cos(t ), Y (t ) sin(t ) 试问:X(t)和Y(t)是否平稳相依？是否正交、不相关、 统计独立？ 解 平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数为：
RXY (t , t ) E[ X (t )Y (t )] E[cos(t ) sin(t )] 1 1 1 E[sin(2t 2) sin ] sin E[sin(2t 2)] 2 2 2 1 sin RXY ( ) 故两个随机过程是平稳相依的。 2 1 R ( t , t ) sin ，它仅在 n (n 0, 1, 2,...) 由于 XY 2 时等于零，这时X(t)和Y(t)的取值（随机变量）才是
1.4 联合平稳随机过程
引入：前面对单个随机过程的统计特性进行了详细的研究， 但在实际中常常需要同时研究两个或两个以上的随 机过程的统计特性。 如：研究同时作用于接收机信号和噪声两个随机过程 所构成的过程的统计特性。为了能从噪声中恢复出信 号，除了信号和噪声各自的统计特性外，还应该研究 两个过程的联合统计特性。 主要研究：联合分布函数(概率密度函数)和互相关函数。
FZ ( z ) P[ X x, Y y] FXY ( x, y)
即由X，Y的联合概率分布描述。
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20
3 数字特征
(1) 数学期望
mZ E[ Z ] E[ X jY ] E[ X ] jE[Y ] mX jmY
(2) 方差
DZ D[Z ] E[| Z | ] E[Z Z ]E[ X Y ] E[ X ] E[Y ] DX DY
2 K XY ( ) K X (0) KY (0) X Y2
2
为任意实数 证明： 由于 E[(Y (t ) X (t )) 2 ] 0 ，