高二选修双曲线和抛物线

双曲线和抛物线
一、知识梳理
1. 双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值为常数2a (122a F F <)的动点P 的轨迹叫双曲线，其中两个定点F 1、F 2叫双曲线的焦点.
当12122PF PF a F F -=<时， P 的轨迹为双曲线; 当12122PF PF a F F -=>时， P 的轨迹不存在;
当12122PF PF a F F -==时， P 的轨迹为以F 1、F 2为端点的两条射线. 2. 双曲线的标准方程和几何性质
a b a b
二、方法归纳
1.(1)求双曲线离心率必须分两种情况，共渐近线的双曲线方程为：λ=-22
22b
y a x )
0(≠λ的形式，它们的渐近线为x a
b
y ±
=. (2)关于双曲线的渐近线，可做如下小结：
若已知双曲线方程为12222=-b y a x 或122
22=-b
x a y ，则它们的渐近线方程只需将常数“1”
换成“0”，再写成直线方程的形式即可；若已知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即
0222
2=-b
y a x 的形式，再设出双曲线方程λ=
-22
22b y a x )0(≠λ. 题型一：双曲线的定义及标准方程
【例1】双曲线方程为，则它的右焦点坐标为
【例2】已知双曲线C 与双曲线22
1164
x y -=有公共焦点，且过点（2）.求双曲线C
的方程.
【适时导练】
1.根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭
⎫
⎝⎛-
5316，Q . （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上.
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点()31
-，P ，且离心率为2的双曲线方程.
2221x y -=
题型二：与渐近线有关的问题
【例1】以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线22
1916x y -
=的渐近线相切的圆的方程是
【例2】已知双曲线的渐近线方程是1
2
y x =±，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为.
【例3】若双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离
心率为
【例4】设双曲线122
22=-b
y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角（锐
角或直角）θ的取值范围是________；
【适时导练】
1. 焦点为（0，6），且与双曲线2
212
x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是
2. 经过点（3，2），且与双曲线2
212
x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是
3.与双曲线x 29－y
216
＝1有公共渐近线且经过点A (－3,23)的双曲线的方程是________．
4.已知双曲线
)0(1222
2>=-b b y x 的左、右焦点分别是21,F F ，其一条渐近线方程为x y =，点P （0,3y )在双曲线上，则 1
⋅2PF =_____________.
题型三：求离心率或离心率的范围
【例1】已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，过1F 且垂直
于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是
变式1．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点
F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长F A 与另一条渐近线交于点B .若FB
＝2FA
，则双曲线的离心率为________．
变式2. 如图所示，F
1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，
以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
变式3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，过双曲
线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若△ABC 为直角三角形，则双曲线E 的离心率为________．
变式4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a 2，则双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心
率为________．
变式5．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双
曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．
变式6．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1
＝4PF 2，则此双曲线离心率的最大值为________．
变式7. 已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 2的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．
题型四：双曲线的综合
1.已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点（4，10-）.若点M （3，m )在双曲线上. （1）求双曲线方程； （2）求证：021=⋅MF MF ； （3）求△21MF F 的面积.
2.已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线的方程为5
5
=x ，离心率5=e . （1）求该双曲线的方程；
（2）如图，点A 的坐标为)0,5(-，B 是圆1)5(22=-+y x 上的点，点M 在双曲线的右支上，求MA+MB 的最小值，并求此时点Ｍ的坐标．
(二)抛物线
一、温故
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线. 2.抛物线的标准方程和几何性质
3.抛物线题型：利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换
二、例题讲解
题型一：抛物线的定义和方程
【例1】动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为.
【例2】设斜率为2的直线过抛物线的焦点F ，且和轴交于点A ，若
P (2,0)F 20x +=P l 2
(0)y ax a =≠y
△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为
【例3】．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.
【例4】．在平面直角坐标系xoy 中，若抛物线24x y =上的点P 到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为
【例5】．顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是________．
【例6】．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．
【适时导练】
1.抛物线的焦点坐标是.
2.若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
213
x y -=的右焦点重合，则P 的值 .
3.抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2
3
＝1相交于A ，B 两点，若△ABF
为等边三角形，则p ＝________. 题型二：抛物线的几何性质
【例1】已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为.
变式：已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．
【适时导练】
1.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是
2.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．
2
8y x =
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF上的射影为点P，则点P的坐标为________．。