人教版九年级上册二次函数一般式的图像和性质精品系列PPT
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数一般式、顶点式、交点式
这节课我们学什么
1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；
2. 会平移二次函数2(0)yaxa的图象得到二次函数2()yaxhk的图象；
了解特殊与一般相互联系和转化的思想；
3. 根据交点求解解析式．
）））））））））） 知识点梳理
1、顶点式：2yaxhk的图像与性质
2、交点式：12()()yaxxxx的图像与性质
1x、2x分别是二次函数与x轴的两个交点坐标，如果二次函数与x轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()yaxxxx，然后再根据条件求出a即可；
3、一般式2yaxbxc的性质
对于一般式：2(0)yaxbxca，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？
将一般式配方成顶点式：
2yaxbxc=2()bcaxxaa=22222()44bbbcaxxaaaa
=222(())()22bbcbaxxaaaa
=222424bbacaxaa
所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2bxa；顶点坐标为2424bacbaa，
1． 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为直线2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．
当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；
2． 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为直线2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．
当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小； 0a 向下 hk， 直线xh xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． ）））））））））
）））））））））） 典型例题分析
1、 二次函数一般式；
例1、抛物线1422xxy的对称轴是直线 ．
人教版九年级数学上册二次函数复习讲义
二次函数复习讲义
知识点1：二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的 .
细节剖析
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为 ，也可以同时都为 ．a 的绝对值 ，抛物线的开口 .
知识点2：二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的 ：当时，开口 ；当时，开口 ；相等，抛物线的 相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线20()yaxbxca≠中，,,abc的作用：
(1)决定
，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线 .由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点 ：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于 ；③，与轴交于 .
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择
二次函数图像与性质完整归纳
-
.
- .word.zl. 二次函数的图像与性质
一、二次函数的根本形式
1. 二次函数根本形式：2yax的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2yaxc的性质：
上加下减。
3. 2yaxh的性质：
左加右减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．
0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．
0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．
0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． -
2024九年级数学上册“第二十二章 二次函数”必背知识点
2024九年级数学上册 “第二十二章 二次函数” 必背知识点
一、二次函数的定义与表达式
定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
三种表达式：
1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。
2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。
二、二次函数的图像与性质
图像：二次函数的图像是一条抛物线。
开口方向与大小：由二次项系数a决定。当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
对称轴：
1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。
2. 顶点式：对称轴为直线x = h。
3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。
顶点坐标：
1. 顶点式直接给出为(h, k)。
2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。
最值：
1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
三、二次函数与一元二次方程
当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。
函数图像与x轴的交点即为该方程的根。
根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：
1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。
2. Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点 （即顶点在x轴上）。
二次函数基本概念-图像及性质
.
. . 二次函数基本概念，图像及性质
定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.
函数2yaxbxc的结构特征： 2．二次⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
3．二次函数的基本形式
(1)二次函数基本形式：2yax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
(2)2yaxc的性质：上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．
0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．
y
x O .
. . (3) 2yaxh的性质：结论：左加右减。
(4)2yaxhk的性质：
4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；
⑤cbxaxy2. 0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．
二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总结
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 二次函数的图像与性质
一、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2yax的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2yaxc的性质：
上加下减。
3. 2yaxh的性质：
左加右减。
4. 2yaxhk的性质： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．
0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．
0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．
0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． 二、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；
⑵ 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：
向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律
九年级上册数学二次函数知识点汇总
九年级上册数学二次函数知识点汇总
新人教版九年级上二次函数知识点总结
知识点一：二次函数的定义
一般地，形如y=ax^2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
知识点二：二次函数的图象与性质
抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点。二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质如下：
1）二次函数基本形式y=ax^2的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2）y=ax^2+c的图象与性质：上加下减。
3）y=a(x-h)的图象与性质：左加右减。
4）二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质：顶点坐标为(h,k)，开口方向由a的正负决定。
知识点三：二次函数的顶点式与标准式的相互转化
二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+bx+c可以通过配方法相互转化。
知识点四：二次函数的平移
二次函数图象的平移可以通过改变顶点坐标实现。具体平移方法如下：
向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。
向右（h>0）或向左（h<0）平移|k|个单位。
知识点五：二次函数的解析式求解
可以通过配方法、公式法、图像法等方式求解二次函数的解析式。
知识点六：二次函数的应用
二次函数在物理、经济、生物等领域中有广泛的应用，如自由落体运动、抛体运动、成本函数、收益函数、生长模型等。
4)根据问题所求，利用函数的性质或图象求解；
5)对结果进行检验和解释，看是否符合实际情况。
例如，某物体从高度为h的地方自由落下，经过t秒后落地，求物体的落地速度v。
建立平面直角坐标系，以落下的方向为正方向，设物体在t秒时下落的距离为s，则有s=1/2gt^2（g为重力加速度），又因为物体从高度为h落下，所以s=h-1/2gt^2.将s与t的关系式代入二次函数y=h-1/2gt^2中，得到二次函数y=h-1/2gt^2，利用函数的性质求出y=0时的t即为物体落地时的时间，再利用s=1/2gt^2求出物体落地时的下落距离，最后利用物理公式v=gt求出物体落地时的速度v。
二次函数的图像与性质
学情分析：
本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的基础，起到承上启下的作用.
教学目标：
1. 知识与技能目标
(1）能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y= ax2 的性质．
（2）猜想并能作出y=- x2的图象，能比较它与 y= x2的图象的异同．
2.过程与方法目标
（1）经历探索二次函数y= x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
（2）由函数y= x2的图象及性质，对比地学习y=- x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
3.情感、态度与价值观目标
（1）经历探索的过程发现抛物线的性质，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心．
（2）通过小组交流、讨论、比较，研究二次函数y= x2和y=- x2的图象，培养学生合作意识和交流能力．
教学重点：
经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性质的过程，理解二次函数y=ax2的性质．
教学难点：
描点法画y= x2的图象，体会数与形的相互联系。
教学过程：
一、创设情境，提出问题
学生观察：喷泉的水流、篮球的投掷形成的路径，抛物线型拱桥、抛物线型隧道，都与抛掷一个物体形成的路径的曲线类似，由此导入课题.紧接着提出两个问题：
1．我们已经学过哪些函数？研究函数问题的一般步骤是怎样的？
2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？
（设计意图：让学生回顾已学的函数类型、图象及研究函数问题的一般思路，以便学生运用类比的方法研究二次函数的相关问题．）
新人教版九年级数学上册全册课件.
新人教版九年级数学上册全册课件.
一、教学内容
1. 第1章：二次函数
详细内容：二次函数的定义、图像、性质、二次函数的顶点式与一般式之间的转换、最值问题等。
2. 第2章：锐角三角函数
详细内容：锐角三角函数的定义、图像、性质、互化公式、解直角三角形等。
3. 第3章：圆
详细内容：圆的基本概念、圆的方程、圆的性质、直线与圆的位置关系等。
二、教学目标
1. 理解并掌握二次函数、锐角三角函数和圆的基本概念和性质。
2. 学会运用二次函数、锐角三角函数和圆的方程解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点
1. 教学难点：二次函数与锐角三角函数的性质、图像的理解，圆的方程的求解。
2. 教学重点：二次函数的应用、锐角三角函数的互化公式、直线与圆的位置关系。
四、教具与学具准备
1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：课本、练习本、草稿纸、计算器等。 五、教学过程
1. 实践情景引入
通过生活中与二次函数、锐角三角函数和圆相关的实例，激发学生兴趣，引导学生进入学习状态。
2. 例题讲解
（1）二次函数部分：以实际案例为例，讲解二次函数的性质、图像、顶点式与一般式的转换等。
（2）锐角三角函数部分：通过具体例题，讲解锐角三角函数的定义、图像、性质、互化公式等。
（3）圆部分：结合实例，讲解圆的方程、性质、直线与圆的位置关系等。
3. 随堂练习
设计具有针对性的练习题，让学生及时巩固所学知识。
六、板书设计
1. 二次函数：定义、图像、性质、顶点式与一般式的转换。
2. 锐角三角函数：定义、图像、性质、互化公式。
3. 圆：方程、性质、直线与圆的位置关系。
七、作业设计
1. 作业题目：
（2）锐角三角函数：已知直角三角形的两个锐角分别为30°和60°，求第三个锐角的正弦、余弦、正切值。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结
二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。
一、图像特征：
1.开口方向：
-当a>0时，抛物线开口向上；
-当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：
-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；
-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。
3.对称轴（y轴）：
- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；
-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；
-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。
4.最值：
-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；
-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。 5.零点：
- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；
-二次函数可能有0个、1个或2个零点；
- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；
- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；
- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
6.增减性：
-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；
-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。
二、性质总结：
1.函数的解析式：
- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；
-通过解析式可以得到函数的图像特征。
2.零点：
-零点是指函数与x轴的交点；
- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；
- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；
- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。