角平分线的性质优质课(PPT)
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新华师大版八年级数学上册《尺规作图3.作已知角的平分线》优质课课件
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
探 究 新 知
活动1 知识准备
如图 13－4－12，OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOB＝ 1 2 ∠AOB＝____ 2 ∠BOC. ∠____ BOC＝____ 2 ∠AOC，∠AOC＝____
图 13－4－12
13.4.3 作已知角的平分线
[归纳总结] (1)作已知角的平分线， 是根据“三边对应相等的 两个三角形全等”和“全等三角形的对应角相等”的原理来解决 的． 1 (2) 在作图步骤的第二步一定要注意是以大于某条线段的 2 长为半径作圆弧的，否则两弧没有交点或两弧交点不明显． (3)通过作图了解三角形三个内角的平分线相交于一点．
13.4.3 作已知角的平分线
图 13－4－14
13.4.3 作已知角的平分线
重难互动探究
探究问题 作已知角的平分线及其运用
例 1 [课本练习第 2 题变式题] 如图 13－4－15 所示， 作出△ABC 三个内角的平分线，并观察你作出的图形，有 什么新的发现？
图 13－4－15
13.4.3 作已知角的平分线
解：图略．发现三条内角平分线相交于同一点．
新 知 梳 理
► 知识点 作已知角的平分线 作法如下： 已知：∠AOB，如图 13－4－14①所示． 求作：射线 OC，使 OC 平分∠AOB. 作法： OD ＝____ OE ； 1．在射线 OA，OB 上，分别截取 OD，OE，使____ 2．分别以点____ D ，____ E 为圆心，以适当长(____ 大于线段 DE 长 内 ，两弧交于点 C； 的一半)为半径作圆弧，在∠AOB____ 3．作射线____ OC ． 射线 OC 就是所要求作的∠AOB 的平分线．如图②所示．
13.4.3 作已知角的平分线
探 究 新 知
活动1 知识准备
如图 13－4－12，OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOB＝ 1 2 ∠AOB＝____ 2 ∠BOC. ∠____ BOC＝____ 2 ∠AOC，∠AOC＝____
图 13－4－12
13.4.3 作已知角的平分线
[归纳总结] (1)作已知角的平分线， 是根据“三边对应相等的 两个三角形全等”和“全等三角形的对应角相等”的原理来解决 的． 1 (2) 在作图步骤的第二步一定要注意是以大于某条线段的 2 长为半径作圆弧的，否则两弧没有交点或两弧交点不明显． (3)通过作图了解三角形三个内角的平分线相交于一点．
13.4.3 作已知角的平分线
图 13－4－14
13.4.3 作已知角的平分线
重难互动探究
探究问题 作已知角的平分线及其运用
例 1 [课本练习第 2 题变式题] 如图 13－4－15 所示， 作出△ABC 三个内角的平分线，并观察你作出的图形，有 什么新的发现？
图 13－4－15
13.4.3 作已知角的平分线
解：图略．发现三条内角平分线相交于同一点．
新 知 梳 理
► 知识点 作已知角的平分线 作法如下： 已知：∠AOB，如图 13－4－14①所示． 求作：射线 OC，使 OC 平分∠AOB. 作法： OD ＝____ OE ； 1．在射线 OA，OB 上，分别截取 OD，OE，使____ 2．分别以点____ D ，____ E 为圆心，以适当长(____ 大于线段 DE 长 内 ，两弧交于点 C； 的一半)为半径作圆弧，在∠AOB____ 3．作射线____ OC ． 射线 OC 就是所要求作的∠AOB 的平分线．如图②所示．
2019中考数学复习尺规作图专题之角平分线和垂直平分线(原创优质课件)
S
如图,有A,B,C三个村庄,现准备修建一所学校, 要求学校到三个村庄的距离相等,请在图中作 出学校的位置.
B
C A
圆内接三角形的画法： (1)如图,作直径AD； (2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B,C两点； (3)连接AB,AC,BC,那么△ABC即为所求的三角形。
如图,校园里有两条路OA,OB在交叉口附近有两块宣传牌 C,D,学校准备在这里(∠AOB内部)安装一盏路灯,要求灯 柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也 一样远,请你帮助画出灯柱的位置P，并说明理由。 A P
B
A
如图,已知直线l的两侧各有一点A,B,在直线l 上求作一点P,使PA=PB.
B
A
如图,电信部门要 在S区修建一座电 视信号发射塔.按 照设计要求,发射 塔到两个城镇A,B 的距离必须相等, 到两条高速公路m 和n的距离也必须 相等.发射塔应修 建在什么位置?在 图上标出它的位置.
m
B O A n
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
l1
D
l3
A
B
l2
C
如图,某地由于居民增多,要在公路l上增加一 个公共汽车站,A,B是路边两个新建小区,这个 公共汽车站建在什么位置,能使两个小区规作图
1角平分线的作法； 2垂直平分线的作法；
练一练 1、如图，为了促进 当地旅游发展，某地要 在三条公路围成的一块 平地上修建一个度假村. 要使这个度假村到三条 公路的距离相等,应在 何处修建? 在确定度假村的位置时,一定 想一想 要画出三个角的平分线吗?你是怎 样思考的?你是如何证明的?
八年级数学上册13.5.3角平分线省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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基础扎实 ➢第二阶
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◆关键点导 航
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北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线 第二课时【优质课件】
1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村 坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其 到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离 之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )
角平分线的性质定理及其逆定理(公开课)名师制作优质教学资料
×
A C
D
∴ DB = DC ( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
D C
×
A B
(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
√ 不必再证全等
三、定理应用 1、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上 的一个动点，若PA=2，则 （1）P到OM距离是多少？ （2）PQ的最小值为多少？
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA, PE⊥OB，垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. A ∵PD OA, PE OB D 证明： ODP OEP 90
C
OC平分AOB 1 2
1 2
P
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。
∴PD=PE （角平分线上的点 到这个角的两边的距离相等）
定理的作用（两组等量转化的秘密通道）：
一组角相等 转化成一组线段相等
深入理解定理
B
(1)∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ DB = DC ( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ) (2)∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
我们应该从哪些方面来研究角平分线的性质定理2复习旧知1角平分线的概念2点到直线距离一条射线一条射线把一个角把一个角分成两个相等的角分成两个相等的角这条射线叫做这个角的平分线
一、自觉思考
1、激发好奇心
角平分线的性质定理(第一课时)
学问，学问，首先学“问”！
对于角平分线，你已经知道了什么？ 你还想知道什么？
华师大版八年级数学上册第13章第5节《角平分线》优质课件
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B.两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
P2
P1 P3
l3
l1
P4
l2
3、如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC
A
N
M
O
B
C
GD
下课了!
小结
这节课我们学到了什么？
①掌握了角平分线的性质定理及其 逆定理. ②利用角平分线性质定理证明两条 线段相等.
∴BD = DC
(
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。
)
B
A
D
C
随堂练习
如图，在Rt△ABC 中，BD是角平分线 ，
DE⊥AB，垂足为E，DE与DC 相等吗？
为什么？ 答： DE=DC。
∵ BD是∠ABC的平分线
B
且DE⊥BA， DC⊥BC，
∴ DE=DC。
EA D C
思考
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认
识?
角平分线的性质，为我们证明两条线段 相等 又提供了新的方法与途径。
角平分线上的点 逆命题 角的内部到角两边的距
到角两边的距离
离相等的点在角的平分
相等。
线上.
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE．
题设∵PD=PE
PD⊥OA，
PE⊥OB
求证：点P在∠AOB的平分线上．结论 ∴ OC平分 ∠AOB
∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.）
《角的平分线的性质》优质公开课1
选做：随堂检测思考题 证导明入一 新个课文：字为叙什述么命∠1题=∠，2？一原般理需？要几个步骤？
则BD的长为（ ） 证周明年一 华个诞文献字上叙了述一命份题厚，礼一，般抗需击要疫几情个期步间骤，？
证周明年一 华个诞文献字上叙了述一命份题厚，礼一，般抗需击要疫几情个期步间骤，？
4我、国在自△主A研BC发中的，各AD种是机∠型BA大C的显角身平手分。线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB，AC，垂足为E,F，求证：EB=FC。 的导平入分 新线课上：，为如什何么用∠1角=∠平2？分原尺理画？出这个角
生活中有数学
导入新课：为什么∠1=∠2？原理？
C
A
1
O2
B
受此启发 尺规作图 如何作呢？
观察中找规律 角平分线性质探究
角的平分线上的点到角的两边距离相等
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，
PD⊥OA于D，PE⊥OB于E
求证: PD=PE
A
D
2
P
C
1
O
EB
如何用符号语言描述性质？
观察中找规律
小结中促提高 会作图
会证明 会应用
积极参与
合作交流
积极表现
集中精力
角 平 分 线 性 质
必做：课本P51 第2、4、5题 选做：随堂检测思考题
思考题：
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB
＝6 cm，AC＝8 cm，则S△ABD∶S△ACD＝____，
BD∶CD＝
．
周 的年平华分诞 线献 上上 ，了 如一 何份 用厚 角礼平， 分抗 尺击 画疫 出情 这期 个间 角，
则PE=__________cm.
A
C
则BD的长为（ ） 证周明年一 华个诞文献字上叙了述一命份题厚，礼一，般抗需击要疫几情个期步间骤，？
证周明年一 华个诞文献字上叙了述一命份题厚，礼一，般抗需击要疫几情个期步间骤，？
4我、国在自△主A研BC发中的，各AD种是机∠型BA大C的显角身平手分。线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB，AC，垂足为E,F，求证：EB=FC。 的导平入分 新线课上：，为如什何么用∠1角=∠平2？分原尺理画？出这个角
生活中有数学
导入新课：为什么∠1=∠2？原理？
C
A
1
O2
B
受此启发 尺规作图 如何作呢？
观察中找规律 角平分线性质探究
角的平分线上的点到角的两边距离相等
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，
PD⊥OA于D，PE⊥OB于E
求证: PD=PE
A
D
2
P
C
1
O
EB
如何用符号语言描述性质？
观察中找规律
小结中促提高 会作图
会证明 会应用
积极参与
合作交流
积极表现
集中精力
角 平 分 线 性 质
必做：课本P51 第2、4、5题 选做：随堂检测思考题
思考题：
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB
＝6 cm，AC＝8 cm，则S△ABD∶S△ACD＝____，
BD∶CD＝
．
周 的年平华分诞 线献 上上 ，了 如一 何份 用厚 角礼平， 分抗 尺击 画疫 出情 这期 个间 角，
则PE=__________cm.
A
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