高一数学必修1(北师大版)第3章归纳总结
第三章 ·本章归纳总结
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设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值 1 之差为2，则 a＝( A. 2 B．2 ) C．2 2 D．4
[分析]由 a>1 可知， 函数 f(x)＝logax 在其定义域上为增函数．
[答案]D
[解析]∵a>1， ∴函数 f(x)＝logax 在其定义域上为增函数， 1 1 ∴loga2a－logaa＝ ，∴loga2＝ ，则 a＝4. 2 2
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3．对数的概念及相关性质 (1)对数的定义 如果 a(a>0，a≠0)的 b 次幂等于 N，就是 ab＝N，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数， 记作 logaN＝b， 其中 a 叫作对数的 底数，N 叫作真数．
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1 2 ②当 0<a<1 时，有 y＝logax 为减函数， > >a. a 3 2 2 ∴a<3，结合 0<a<1，故 0<a<3. 2 3 ∴a 的取值范围是{a|0<a<3或 a>2}．
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已知 log2a＋3(1－4a)>2，求 a 的取值范围． [解析]
成才之路· 数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章 指数函数和对数函数
本章归纳总结
第三章 指数函数和对数函数
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知识结构
知识梳理
专题探究 方法警示探究
即时巩固
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数学思想方法归纳
1.数形结合思想的应用 函数的解析式与函数图像是函数的两种不同表现形式， 因此在解决数学问题时，可以通过数与形的相互转化达到 “以形助数，以数解形”的目的，数形结合的思想可以将复 杂问题简单化，抽象问题直观化，此类问题通常是解的个数 的判断和解的范围的确定等．
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(2)指数式与对数式的关系
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(3)对数的性质 根据对数的定义，可以证明：loga1＝0，logaa＝1(a>0， a≠1)，即 1 的对数为零，底的对数等于 1.对数恒等式 alogaN ＝N(a>0，a≠1，N>0)． (4)常用对数和自然对数 通常将以 10 为底的对数叫作常用对数，为了简便，N 的 常用对数 log10N 简记为 lgN；在科学技术中常常使用无理数 e ＝2.71828„为底的对数，以 e 为底的对数叫作自然对数，为 了简便，N 的自然对数 logeN 简记作 lnN.
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4．转化与化归思想 所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时 采用某种手段，将问题通过变换使之转化，归结为在已有的知 识范围内可以解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变 换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易 求解的问题，将未解决的问题变换，转化为已解决的问题．可 以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无一不是在不断 转化中获得解决的，即使是数形结合思想、函数方程思想、分 类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式．
知识结构
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知识梳理
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指数函数、对数函数是重要的基本初等函数，是高中数 学函数部分的主体内容，是历届高考的重点．本章是在初中 学习了整数指数幂及运算性质的基础上，引入了分数指数幂 的概念，然后将分数指数幂推广到实数指数幂，进而研究指 数运算、指数函数的概念及图像性质；对数运算、对数函数 的概念及其图像和性质．另外，函数的实际应用是新课标增 添的内容．但它的研究思想方法，一直是高中数学的重点及 难点之一，也是高考中常见题型．
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[例 3]
如图，二次函数 y＝－mx2＋4m 的顶点坐标为
(0,2)，矩形 ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴上，A、D 在抛物线上， 矩形 ABCD 在抛物线与 x 轴所围成的图形内．
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1 2 所以 AB＋CD＝2y＝2(－ x ＋2)＝－x2＋4， 2 所以 p＝－x2＋4＋4|x|＝－x2＋4|x|＋4. 1 2 1 2 由于 y＝－ x ＋2，令 y＝0，则－ x ＋2＝0， 2 2 1 2 所以 x＝± 2，即抛物线 y＝－ x ＋2 与 x 轴的两个交点分 2 别为(2,0)，(－2,0)． ∴－2<x<0，∴p＝－x2－4x＋4(－2<x<0)．
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1．指数的有关概念与性质 (1)有关概念 根式： a叫根式，其中 n 叫根指数，a 叫被开方数． n 次方根：若 xn＝a，则 x 叫 a 的 n 次方根，其中 n>1，n ∈N＋.当 n 为正整数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根为一个负数；当 n 为正偶数时，正数的 n 次方根(偶 n
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[例 1]
求不等式 x－1<log6(x＋3)的所有整数解．
[解析]设 y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作出 它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标 显然在－3 和－2 之间，另一个交点设为 P.
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(6)对数换底公式 logaN logbN＝ (a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)．利用对数 logab 换底公式可以将不同底数的对数化为同底数的对数，将一般 的对数化为自然对数或常用对数便于查表和计算．
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2．分类讨论思想在解不等式中的应用 解指数不等式与对数不等式是本章常见题型，其解法主 要是“同底法”，通过等价转化，将指数、对数不等式(或方 程)转化为一次或二次不等式(或方程)，若是含有参数的不等 式，结合函数的单调性，一般需利用分类讨论的思想方法判 断．
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[例 2]
2 若－1<loga <1，求 a 的取值范围． 3
2 1 2 [解析]－1<loga <1⇒loga ＝－1<loga <1＝logaa， 3 a 3 1 2 ①当 a>1 时，有 y＝logax 为增函数， < <a. a 3 3 3 ∴a> ，结合 a>1，故 a> . 2 2
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m n mp np
n
n
.
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②有理指数幂的运算性质，同正整数指数幂的运算性质 一样有： aαaβ＝aα＋β(a>0，a≠1，α、β∈Q)； (aα)β＝aαβ(a>0，a≠1，α、β∈Q)； (ab)α＝aαbα(a>0，a≠1，b>0，b≠1，α∈Q)． ③ 0 指数幂与负有理数指数幂的底数都必须大于 0 才有 意义． 2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫作指数函数．
) D．3 个
C．2 个
此类方程是超越方程，只能借助函数图像解决．
[答案] C
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[解析]
在同一坐标系中画出函数 y＝log2(x＋4)及 y＝3x
的图像，如图所示．由图像可知，它们的图像有两个交点， 故选 C.
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(5)对数的运算性质 ①loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)． M ②loga N ＝logaM－logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)． ③logaMn＝n· aM(a>0，a≠1，M>0，n∈R)． log ④loga n 1 M＝nlogaM(a>0，a≠1，M>0，n∈N＋，n>1)．
(7)对数函数的图像及性质
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在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比的 方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的思想 方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、发展过 程中提高运用知识解决问题的能力．
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2a＋3>1 由题意，得 1－4a>2a＋32
，
0<2a＋3<1 或 0<1－4a<2a＋32
，
2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.4.2换底公式学案北师大版必修1(含解析)
3.4．2 换底公式1. 能推导出对数的换底公式．(重点)2. 会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 换底公式阅读教材P 83～P 86有关内容，完成下列问题．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( )(2)log 52＝log －3 2log －3 5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 2. (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 【解析】 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.【答案】 D[小组合作型]1681(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.【精彩点拨】 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．【尝试解答】 (1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.1. 换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．2. 换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m＝m nlog a b .[再练一题]1. 化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) 【解】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎪⎫lg32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝56log 23·32log 32＝54.1836【精彩点拨】 运用换底公式，统一化为以18为底的对数． 【尝试解答】法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a， 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9) ＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18 18×2＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a.法二：∵18b＝5， ∴lo g 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18 5×9log 18 4×9＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.法三：∵log 189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 9×5 lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： 1 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； 2 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； 3 注意一些派生公式的使用.[再练一题]2. 若本例条件不变，求log 92545(用a ，b 表示)．【解】 由18b＝5，得log 185＝b ，∴log 92545＝log 1845log 18925＝log 185＋log 189log 189－log 1825＝b ＋aa －2b.[探究共研型]探究 1 设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板以后的强度值为y .试写出y 关于x 的函数关系式．【提示】 依题意得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ，其中x ≥1，x ∈N .探究 2 探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)【提示】 依题意得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x≤a ×12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ≤12⇒x (2lg 3－1)≤－lg 2⇒x ≥0.301 01－2×0.477 1≈6.572，∴x min ＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下．某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题． (1)写出该城市x 年后的人口总数y (万人)与年数x (年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2)【精彩点拨】 先利用指数函数知识列出y 与x 的函数关系式，再利用对数求值． 【尝试解答】 (1)由题意y ＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x ∈N ＋)． (2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2， ∴x＝log 1.0121.2＝lg 1.2lg 1.012≈0.079 20.005 2≈15，故大约15年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤[再练一题]3. 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e－λ＝0.90，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90)t，两边取常用对数，得lg 12＝ t2lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.【答案】 131. 若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b aB.a bC ．a bD ．b a【解析】 log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .【答案】 B2. log 2125·log 3 18·log 5 19＝________.。
北师大版高中数学必修第一册 第三章 1-《指数幂的拓展》课件PPT
2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
3.0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.
2
1
4.这里的 是既约分数,即, 互素,否则式子可能会有歧义.例如(-8)6 与(-8)3 意义就不同,前者是一个正数,后
者是一个负数.
即时巩固
1.用根式表示下列各式:
(1)已知5
第三章
§1-2
指数幂的拓展
指数幂的运算性质
学习目标
1.通过对有理指数幂 ( > 0, 且 ≠ 1, , 为整数, 且 > 0)、实数指数幂( > 0, 且 ≠ 1, ∈ )
含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
2.理解根式运算与指数运算的内在联系.
3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.
“整体法”求值时常用的变形公式如下:
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
(1) ± 2 + =( ± ) ;
1
2
1
2
(2) − =( + )( − );
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(3) + =( + )(- + );
1
2
1
2
(4) − =( − )( + + ).(其中 > 0, > 0)
8
−1
-
北师大版数学必修一第三章 5 5.1 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
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二、反函数 指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的 反函数 ；指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1，x>0) 互为反函数 ． 三、画 y＝log2x(x>0)的图像的方法 (1) 描点法 ； (2) 变换法 ．
x＋1>0 解析：(1)要使函数有意义，需 1－x>0 x>－1 ，即 x<1
.
∴－1<x<1，∴函数的定义域为(－1,1)． 5－x>0 (2)要使函数有意义，需x－2>0 x－2≠1 ∴定义域为(2,3)∪(3,5)． x<5 ，∴x>2 . x≠3
∴函数的定义域为{x|0<x<2 且 x≠1}．
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探究二 [典例 2] 写出下列函数的反函数． 求函数的反函数
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1x (1)y＝log 1 x；(2)y＝ln x；(3)y＝( ) ；(4)y＝2x－1. e 6 1 1x [解析] (1)对数函数 y＝log 1 x 的底数是 ，它的反函数是指数函数 y＝( ) . 6 6 6
(2)对数函数 y＝ln x 的底数是 e，它的反函数是指数函数 y＝ex. 1x 1 (3)指数函数 y＝( ) 的底数是 ， 它的反函数是对数函数 y＝log 1 x(x>0)， 即 y＝－ln x(x>0)． e e e (4)由 y＝2x－1 得 2x＝y＋1， ∴x＝log2(y＋1)，
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高中数学 第3章 §4 4.2 换底公式优质课件 北师大版必修1
中
第十一页，共23页。
利用(lìyòng)换底公式证明：
loga b logb c logc a 1(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a lg a lg b lg c
1
第十二页，共23页。
（非1的正数）
第八页，共23页。
知识(zhī shi)探究
思考1: lo与ga b 有l什og么b a关系？
loga
b=
lg lg
b a
log b
a
lg a lg b
互为倒数 (dǎo shù)
第九页，共23页。
思考2: logan N 与 loga N有什么(shén me)关系？
logan N
【提升总结】 换底公式的应用： 1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利用 运算法则进行(jìnxíng)化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计算 器或对数表得到结果.
第十四页，共23页。
【变式练习(liànxí)】
计算(jì
slougàn2 )1：215
log3
1 32
log5
1 3
解:
log2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
3log2 5 (5log3 2) ( log5 3)
3 lg 5 (5) lg 2 (1) lg 3 15 lg 2 lg 3 lg 5
第十五页，共23页。
例2：用科学(kēxué)计算器计算下列对数（精确到0.001）： log248；log310；log8π；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431； log1.0822≈8.795.
2020-2021学年北师大版高一数学必修1课件：第三章5对数函数
3．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是( A ) A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜b C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b
解析
5.2+5.3 刷基础
题型1 对数函数的图像
4．函数
f
x=
x x
loga
x0
a
1
的图像大致为(
B
)
解析
5.2+5.3 刷基础
题型1 对数函数的图像
5．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式： ①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b.其中可能成立的关系式是_②__④__⑤___．
解析
5.2+5.3 刷基础
15．
(C )
解析
5.1 对数函数的概念 刷易错
易错点2 忽视指数函数与对数函数的反函数关系而致错
16．已知函数 f x=log1 x2 的定义域为(1，7]，则它的反函数f－1(x)的定义域为[_－__2_，__－__1．)
3
解析
5.2+5.3 刷基础
题型1 对数函数的图像
1．[江苏七校联盟2019高一期中]函数y＝log2(x＋1)的图像大致是( C )
5.1 对数函数的概念 刷易错
易错点1 忽视指数、对数运算而致错
13．与函数y＝10lg(x－1)相等的函数是( A )
解析
5.1 对数函数的概念 刷易错
易错点1 忽视指数、对数运算而致错
14．
1
＝___2_____.
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结全文编辑修改
精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －x-1；可采用 法；⑤ y ＝x －21x -；可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有 ；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性 质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时；______； 当x <0时；________ 当x >0时；________； 当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0；＋∞)上是增函数 在(0；＋∞)上是减函数共点性 图像过点______；即log a 1＝0函数值 特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。
北师大版高中数学选择性必修第一册 第三章 4.3 第1课时 空间中的角
.
4
答案
5
解析 以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空
间直角坐标系 D-xyz,设 AB=1.则 B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),
1 ·1
-4
4
1 =(0,1,-2),1 =(-1,0,2),cos<1 , 1 >=
16
∴二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为25.
(3)解 设 D(x,y,z)是直线 BC1 上一点,且=λ1 ,
∴(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).
解得 x=4λ,y=3-3λ,z=4λ,
∴=(4λ,3-3λ,4λ).
由 ·1 =0 得 9-25λ=0,解得
9
λ=25.
A1B与平面BDE所成的角为(
π
A.6
π
B.3
π
C.2
5
D.6π
)
答案 B
解析 以 D 为原点建立空间直角坐标系,可求得平面 BDE 的法向量 n=(1,-1,2),
1+2
3
而1 =(0,-1,1),所以 cos θ=
= ,则 θ=30°,故直线 A1B 与平面 BDE 成
2
2 3
60°角.
探究三
探究一
利用向量方法求两异面直线所成的角
例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,
∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.
分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数
§4对数知识点一对数的有关概念[填一填](1)一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lg N.(3)以e为底的对数叫作自然对数，N的自然对数记作ln N.[答一答]1．对数概念的理解？提示：(1)对数是一种数，对数式log a N可看作一记号，表示关于x的方程a x＝N(a>0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．(2)对数符号log a N只有在a>0，a≠1，且N>0时才有意义，而对数值b＝log a N，可以为任意的实数．知识点二对数的运算性质[填一填]如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n·log a M(n∈R)．[答一答]2．如何正确运用对数的运算法则？ 提示：(1)运算中常见的错误有： log a (MN )＝log a M ·log a N . log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n .log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．(2)注意前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价．(3)要注意运算法则的逆用． 知识点三 换底公式[填一填]log b N ＝log a N log a b(a 、b >0，a 、b ≠1，N >0)．[答一答]3．如何准确的应用换底公式？提示：(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①log a b ＝1log b a ，②log am b n ＝nmlog a b .1．对数log a N 中规定a >0，a ≠1的原因2.对对数的三点说明(1)对数式是指数式的另一种表现形式，是求指数式中幂指数的一种运算方式，因此指数式和对数式之间可以互相转化，即a b ＝N ⇔b ＝log a N .(2)对数通过符号log a N 表达，log a N 是一个整体，不是表示log a 和N 的乘积，字母a 和N 都有相应的意义和范围要求．(3)对数表示的是一个可正、可负也可为零的实数.类型一 对数式与指数式的互化【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19； (2)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；【解】 (1)log 319＝－2.规律方法 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式log a N ＝x 与指数式a x ＝N (a >0，且a ≠1)的互化过程中，要特别注意a ，x ，N 的对应位置．将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625; (2)；(3)3a ＝27; (4)log 101 000＝3. 解：(1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(3)∵3a ＝27，∴log 327＝a . (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000. 类型二 利用对数的运算法则进行计算【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)(lg5)2＋lg2·lg50.【思路探究】 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值；②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．【解】 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg2＋1－lg2＝1.(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝1.规律方法(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．解：类型三换底公式的应用【例3】已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值．(用含a，b的式子表示)【思路探究】(1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．【解】 解法1：因为18b ＝5，所以log 185＝b ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .解法2：因为log 189＝a ，所以18a ＝9.又因为18b ＝5， 所以45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b .令log 3645＝x ， 则36x ＝45＝18a ＋b ，即36x ＝(183×183)x ＝18a ＋b ，所以(1829)x ＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a. 规律方法 用已知对数表示未知对数，就是把表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质，但应注意运用性质只有在同底的情况下才能运算．(1)log 916·log 881的值为( C ) A ．18 B.118 C.83D.38解析：原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.解析：＝lg2lg3＋lg5lg3＝1lg3＝log 310. (3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． 解：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83) ＝⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39·⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28＝⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32·⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54. 类型四 对数方程的解法 【例4】 解下列方程： (1)log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1； (2)3lg x －2－3lg x ＋4＝0；【思路探究】 根据对数方程的特点，将对数方程化为一般代数方程并求解． 【解】 (1)由原方程得log 2(x ＋1)＝log 4(x ＋4)＋1， ∴log 2(x ＋1)2＝log 2[4(x ＋4)]，∴(x ＋1)2＝4(x ＋4)，解得x ＝5或x ＝－3， 经检验x ＝－3为增根，应舍去． 故原方程的解为x ＝5. (2)设3lg x －2＝y ，则原方程可化为y －y 2＋2＝0，解得y ＝－1或y ＝2. ∵3lg x －2≥0，因此，y ＝－1为增根，应舍去． 由3lg x －2＝2，得lg x ＝2，∴x ＝100.经检验，x ＝100为原方程的解．(3)等式两边取常用对数得[(lg x )3－2lg x ]lg x ＝lg0.1，(lg x )4－2(lg x )2＋1＝0，∴[(lg x )2－1]2＝0，(lg x )2＝1，lg x ＝±1， ∴x ＝10或x ＝110.规律方法 解对数方程就是将其转化成同底的对数式，或利用换元法将其转化成一元二次方程求解，在转化或化归的过程中，不是同解变形的，必须把所求的解代入原方程进行检验．对数方程的题型与解法： 名称 题型解法基本型 log a f (x )＝b 将对数式转化为指数式f (x )＝a b 同底数型 log a f (x )＝log a φ(x ) 转化为f (x )＝φ(x )(必须验根)需代换型F (log a x )＝0换元，令t ＝log a x 转化为关于t 的代数方程解下列关于x 的方程： (1)log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )； (2)12(lg x －lg3)＝lg5－12lg(x －10)； 解：(1)由log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )得2x ＋1＝3x ， 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x ＋1>0,3x >0.故x ＝1. (2)原方程可化为lgx3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0， 解得x ＝15或x ＝－5，检验：当x ＝－5时，x3<0，x －10<0，此时根式无意义，舍去；当x ＝15时，满足题意，故x ＝15.——易错误区—— 因忽略真数的范围致误【错解】 0或4或2【正解】 4 由已知得lg(xy )＝lg(x －2y )2， 从而有xy ＝(x －2y )2整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，所以x ＝y 或x ＝4y . 但由x >0，y >0，x －2y >0① 得x >2y >0.所以x ＝y 应舍去，故xy ＝4.【错因分析】 1.在①处忽略对数式本身的限制条件导致得到增解0. 2．在②处，计算时因对数的运算法则不熟导致运算错误． 【防范措施】 1.注意对数运算法则的适用条件对数运算法则的适用条件是同底且真数均大于零，如本例中真数“x －2y >0”，隐含着x >2y .2．熟练掌握对数的运算法则已知2log 3x －y 2＝log 3(xy )(x >y >0)，则xy＝3＋2 2. 解析：由题意有x >y ，xy >0且(x －y2)2＝xy .所以x 2－6xy ＋y 2＝0，所以(x y )2－6(x y )＋1＝0.所以xy ＝3±2 2.因为x >y >0，所以x y >1，所以xy＝3＋2 2.一、选择题1．当a >0，a ≠1时，下列结论正确的是( C ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①② B ．②④ C ．②D ．①②③④解析：①M ≤0时不对；②正确；③应为M ＝±N ；④M ＝0时不对． 2．已知x ，y 为正实数，则( D )解析：10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y 故A 错，B 、C 公式不对，D 项10ln x y ＝10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y .选D.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析：log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A.二、填空题4．2log 525＋3log 264－8ln1＝22.解析：原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 5．log 6[log 4(log 381)]＝0.解析：log 6[log 4(log 381)]＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0.三、解答题6．求下列各式的值．(1)log 1627·log 8132； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)． 解：(1)原式＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516.。
第三章-§3-指数函数高中数学必修第一册北师大版
根据在轴右侧③的图象在④的图象上方可知 > ；根据在轴左侧①的图象在②的
图象下方可知 > .
综上可知 < < 1 < < .
方法2 作直线 = 1（如图3-3-3），则直线 = 1与题中四个函数图象
例12 若方程 3 − 1 = 有一解，则的取值范围为_____________.
【解析】函数 = 3 − 1 的图象是由函数 = 3 的图象向下平
移一个单位长度后，再把位于轴下方的图象沿轴翻折到轴上
方得到的，函数图象如图3-3-6所示.
当 = 0或 ≥ 1时,直线 = 与函数 = 3 − 1 的图象有唯一的
所以2 − 3 + 3 = 1，解得 = 2或 = 1，又 > 0且 ≠ 1，所以 = 2.
题型2 求指数型函数的定义域或值域
例7 ［教材改编P91 A组T1］求下列函数的定义域和值域：
（1） = 1 − 3 ；
【解析】要使函数式有意义，则1 − 3 ≥ 0，即3 ≤ 1 = 30 .
1 −4
2
2
− 4 ≥ −4,
= 16.
0,所以函数 =
2
1 −2−3
的值域为(0,16].
2
题型3 指数函数的图象及应用
例8 利用函数 = = 2 的图象，作出下列各函数的图象：
（1） − 1 ；（2） ；（3） − 1；
（4）− ；（5） − 1 ．
【解析】作出函数 = |3 − 1| − 1的图象如图3-3-8所示.
由图象知 ≤ −1,
北师大版高一数学必修第一册3.3.2指数函数的图象和性质课件
归纳小结
问题4 本节课研究指数函数的图象和性质的方法是什么？
从哪几方面概括了指数函数的性质？分别是什么？
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）0.
73可看作函数y＝1.
解： （2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，
本节课选取了大量不同的底数a，在同一直角坐标系中画出相应的指 答案：图象已在前面问题3中给出，此处略去．函数
有哪些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写
出指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇
偶性，等等．
新知探究
选取底数a的若干值，例如a＝3，a＝4，
a＝1 ， 3
a＝ 14
，利用信息技术
画出图象，如图．
发现指数函数y＝ax的图 象按底数a的取值，可分 为0＜a＜1和a＞1两种类 型．因此指数函数的性 质也可以分0＜a＜1和a ＞1两种情况进行研究， 设计的表格如右表．
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
73可看作函数y＝1.
例1 比较下列各题中两个值的大小：
在同一直角坐标系中画出函数
和
的图象，并说明它们的关系．
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y＝2x的图象，画出
的图象．如右图所示．
73可看作函数y＝1.
（（21））根据解图，象：，估；计（该城3市）人口由每翻一指番所数需的函时间（数倍增的期）特； 性知1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
例1 比较下列各题中两个值的大小：
体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图．