中考数学解直角三角形专题卷(附答案)
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中考数学解直角三角形专题卷（附答案）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、选择题
1.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C
处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．2003米 C．2203米 D．100（3+1）米
2.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高
度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
3.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边
形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则sinα的值是（ ）
A．5 B．55 C．12 D．2
5.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中
相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
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A．13 B．12 C．22 D．3
6.在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的13 C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
7.如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=32，则t的值是
（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
8.已知∠A=30°，下列判断正确的是（ ）
A．sinA=12 B．cosA=12 C．tanA=12 D．cotA=12
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立
的是（ ）.
A．a=c•sinB B．a=c•cosB C．a=b•tanB D．b=tanaB
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二、填空题
10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BC-AD=4，则梯形的腰
AB= ．
11.已知点A、B分别在反比例函数y=2x（x＞0），y=﹣8x（x＞0）的图象上，且
OA⊥OB，则tanB为 ．
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12.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在
船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A
在船的北偏东30°方向．请问船继续航行 海里与钓鱼岛A的距离最近？
13.
如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画
第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，
依此类推，则第2017个等腰直角三角形的斜边长是_____________。
14.如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕
EF
的长是____________．
15.如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC，BD相交于点O，P是BC延长线上一点，
AP
交BD于E，交CD于H，OP交CD于F，若EF∥AC，则OF的长为_____________.
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三、解答题
16.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角
分别为8°和10°，大灯A与地面离地面的距离为1m求该车大灯照亮地面的宽度
BC．（不考虑其它因素）（参数数据：sin8°=425，tan8°=17，sin10°=950，
tan10°=528）
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17.
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．点E是BC的
中点，点F是CD上一点，且14CFCD ．求证：∠AEF=90°．
18.（1）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，经过点O的直线交AB于
E，交CD于F.求证：OE＝OF.
（2）南沙群岛是我国固有领土，现在我国南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当
渔船航行至A处时，该岛位于正东方向的B处，为了防止某国巡警干扰，就请求我国C处
的鱼监船前往B处护航，测得C与AB的距离CD为20海里，已知A位于C处的南偏西
60°方向上，B位于C的南偏东45°的方向上， 3≈1.7，结果精确到1海里，求A、B之间
的距离.
19.如图,某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.已知点E离塔的中轴线AB的距离
OE为10米,塔高AB为123米(AB垂直地面BC),在地面C处测得点E的仰角α=45°,从点
C沿CB方向前行40米到达D点,在D处测得塔尖A的仰角β=60°,求点E离地面的高度
EF.(结果精确到0.1米)
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四、计算题
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20.计算：18-|-6×sin45°|-（13）-2+（2016-π）0．
21.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE
和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°，AD=23时，求sin∠AED的值，求∠EAD的正切值．
22.计算：（-2）2•sin60°-（12）-1×12．
23.计算：
（1）（﹣3）2﹣（+423）+（﹣116） （2）123cos304．
答案
1.D. 2.A 4.B． 5.A 6.C 7.C 8.A 9.B． 10.4. 11.12 12.50． 13.（2）2017
14.25 15.106
16.该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4m．
17证明：∵ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°．
设AB=BC=CD=DA=a，
∵E是BC的中点，且CF=14 CD，
∴BE=EC=12 a，CF=14 a，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=54 a2，
同理可得：EF2=EC2+FC2=516 a2，AF2=AD2+DF2=2516 a2，
∵AE2+EF2=AF2，
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF=90°。
18.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC,AB∥CD ，
∴∠OAE＝∠OCF
∵∠AOE＝∠COF ，
∴△OAE≌△OCF
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∴OE＝OF
（2）解：∵CD⊥AB，∠ACD＝60
0 ，∴∠A＝300
∵CD＝20，∴AD＝203
∵CD⊥AB, ∠BCD＝450，∴∠B＝450 ，
∴CD＝BD＝20 ∴AB＝ AD＋ BD＝203＋20(海里)
19.在直角△ABD中，BD===41（米），则DF=BD﹣OE=41﹣10
（米），
CF=DF+CD=41﹣10+40=41+30（米），
则在直角△CEF中，EF=CF•tanα=41+30≈41×1．7+30≈99．7≈100（米）．
答：点E离地面的高度EF是100米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
20.-8.
21.（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到
∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形；
（2）如图，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，构建直角△DEF，在该直角三角形中，
∠F=90°，∠EDF=30°，易求DF的长度．所以通过解Rt△AFE来求tan∠EAD的值．
试题解析：（1）∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°．∴四边形ODEC是矩形．
（2）如图，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
∵AC⊥BD，∠ADB=60°，AD=23，∴OD=3，AO=OC=3．
∵四边形ODEC是矩形，∴DE=OC=3，∠ODE=90°．
又∵∠ADO+∠ODE+∠EDF=180°，∴∠EDF=30°．
在Rt△DEF中，∠F=90°，∠EDF=30°，∴EF=12DE=32．∴DF=332．
在Rt△AFE中，∠DFE=90°，
∴tan∠EAD=EFEFAFADDF=332733232．
22.23.
23.（1）196（2）0
中考数学复习专题15解直角三角形
解直角三角一、单选题1．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB =∴1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．2．（2021·浙江金华市）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD DC =，∵DC co ACα=，∴cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∴24cos BC DC α==，故选：A ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·湖北随州市）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米【答案】C 【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD =CE sin β与AD =AB sin α，两线段作差即可．【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB =CE =10米，∵sin β45===， 在Rt △ECD 中，sin 4105CD CD CE β===，∴CD =410=85⨯， 在Rt △ABD 中，sin 3=105AD AD AB α==，∴310=65AD =⨯，∴AC =CD -AD =8-6=2．故选择C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．4．（2021·湖南株洲市）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】①,,A B E 三点共线，直接计算可得；②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出h ；③方法同②．【详解】如图过E 点作EM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，12////EF l l ∴MEB α∠= 则sin h AM AB BE α==+⨯①当90α=︒时,,,A B E 三点共线， 1.42 3.4 3.3h AE AB BE ==+=+=>∴h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．②当45α=︒时，sin 1.42 1.4 1.41 2.81 2.92h AB BE α=+⨯=+⨯≈+=< ∴h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．③当60α=︒时，sin 1.42 1.4 1.73 3.13 3.1h AB BE α=+⨯=+≈+=> ∴ h 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．综上所述：说法正确的为：①②，共2个．故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键． 5．（2021·湖南衡阳市）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【答案】D 【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ ∵6BC =米∴6100.60.6BC AB ===米故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 6．（2021·天津）tan30︒的值等于（ ）A B C ．1 D ．2【答案】A【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，tan 30︒=，故选：A ． 【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．7．（2021·重庆）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米【答案】D 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，得到四边形DEBF 为矩形，首先根据坡度的定义以及DE 的长度，求出CE ，BE 的长度，从而得到DF =BE ，再在Rt △ADF 中利用三角函数求解即可得出结论．【详解】如图所示，作DF ⊥AB 于F 点，则四边形DEBF 为矩形，∴50DE BF ==,∵斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，∴在Rt △CED 中，15tan 2.412DE C CE ∠===， ∵50DE =，∴120CE =，∴15012030BE BC CE =-=-=，∴30DF =，在Rt △ADF 中，∠ADF =50°，∴tan tan 50 1.19AF ADF DF∠=︒==， 将30DF =代入解得：35.7AF =，∴AB =AF +BF =35.7+50=85.7米，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．8．（2021·云南）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC 和AC 的比值，求出BC ，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC =90°，sin ∠A =BC AC =35，AC =100，∴BC =100×3÷5=60，∴AB ，故选D ．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．9．（2021·山东泰安市）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（ ）（参1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米【答案】A 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，根据坡度求出DF =50，AF =120，从而分别在△BEG 和△CEG 中求解即可．【详解】如图，作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，则四边形DFBG 为矩形，DF =BG ，∵斜坡AD 的坡度1:2.4i =，∴15tan 2.412DF DAF AF∠===， ∵AD =130，∴DF =50，AF =120，∴BG =DF =50，由题意，∠CEG =60°，∠BEG =45°，∴△BEG 为等腰直角三角形，BG =EG =50，在Rt △CEG 中，CG EG∴6505136.BC BG CG ≈=+=+米，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键．10．（2021·重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参考数据：1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m【答案】C 【分析】分别解直角三角形Rt DEF △和Rt MBC ，求出NE 和MB 的长度，作差即可．【详解】解：∵50FE m =，DF 的坡度i =1：1.25，∴:1:1.25DE EF =，解得40m DE =， ∴5258ND DE m ==，∴65NE ND DE m =+=，∵60MCB ∠=︒，30m BC =，∴tan 60MB BC =⋅︒=，∴顶端M 与顶端N 的高度差为6513.1NE MB m -=-≈，故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．11．（2021·四川泸州市）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∴3R =，∴S 圆=222163R OA ππππ===⎝⎭． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∴∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∵OD ⊥AB ，AB 为弦，∴AD =BD =122AB =，∴AD =OA cos30°， ∴OA=cos302AD ÷︒==S 圆=2221633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．三、填空题1．（2021·四川广元市）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．【答案】12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键． 2．（2021·浙江衢州市）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可．【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，∵椅面CE 与地面平行，∴MFC AFB ∆∽， ∴54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=，解得：CM =8cm ， ∴CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，∵OA OB =，椅面CE 与地面平行，∴BCE ADM ∠=∠，∵90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，∴AMD BEC ≌，∴DM CE =，∴8MC ED cm ==，∴488832CD cm =--=，∵H 是CD 的中点，∴1162CH HD CD ===， ∵椅面CE 与地面平行，∴COD BOA ∽，∴322483CO CD BO AB ===， 图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ，因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， ∴15CHN DHN ∠=∠=︒，∴2sin15=8.32CD CH cm =︒，∴28.323CO CD OB AB AB =⇔=， 解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．3．（2021·浙江绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上．若30cm AB =，则BC 长为_______cm （结果保留根号）．【答案】303 【分析】根据题意即可求得∠MOD =2∠NOD ，即可求得∠NOD =30°，从而得出∠ADB =30°，再解直角三角形ABD 即可．【详解】解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O ， ∴∠MOD =2∠NOD ， ∵∠MOD +∠NOD =90°，∴∠NOD =30°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∠A =90°，AD =BC ，∴∠ADB =∠NOD =30°，∴()30==303cm tan 30tan 30==AB BC AD 故答案为：【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出∠NOD =30°是解题的关键．4．（2021·湖北武汉市）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．【答案】10.4【分析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，从而得到AC =BC =12,利用sin 60°=AD AC计算AD 即可 【详解】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，∴∠ABC =∠CAB =30°，∴AC =BC =12,∵sin 60°=AD AC ，∴AD =AC sin 60°=122⨯ 1.73610.38≈⨯=≈10.4故答案为：10.4. 【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键． 5．（2021·四川乐山市）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．【答案】12【分析】设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，根据平行线的性质得到∠ABH ＝α，由三角函数的定义得到sin α5BA =，根据相似三角形的性质得到比例式234GB n n +=-，于是得到GB 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，∵BH ∥x 轴，∴∠ABH ＝α，在Rt △ABH 中，AB =,sin α5BA=，即sin α5BA = ∵sinα随BA 的减小而增大，∴当BA 最小时sinα有最大值；即BH 最小时，sinα有最大值，即BG 最大时，sinα有最大值， ∵∠BGC ＝∠ACB ＝∠AFC ＝90°，∴∠GBC +∠BCG ＝∠BCG +∠ACF ＝90°，∴∠GBC ＝∠ACF ，∴△ACF ∽△CBG ，∴BG CG CF AF=， ∵(4,3)A ，()0,C n 即234BG n n +=-，∴BG 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+， ∵23n -<<∴当n 12=时，BG 最大值2516=故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF ∽△CBG 是解题的关键．6．（2021·四川乐山市）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【分析】先根据已知条件得出△ADC 是等腰三角形，再利用AB =sin 60°×AD 计算即可 【详解】解：由题意可知：∠A =30°，∠ADB =60°∴∠CAD =30°∴△ADC 是等腰三角形，∴DA =DC 又DC =5米故AD =5米在Rt △ADB 中，∠ADB =60°∴AB =sin 60°×AD 5= 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键 7．（2021·浙江）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．【答案】12【分析】在直角三角形中，锐角B 的正弦=锐角B 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案． 【详解】解： 90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，1sin ,2AC B AB ∴== 故答案为：12 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．8．（2021·浙江宁波市）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．【答案】2 1【分析】由BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD 证明,BEC FEC ≌再证明,BCN CFD ≌ 可得,BN CD = 再求解2,CD = 即可得BN 的长； 先证明,AFE CBG ∽ 可得：,AE EF CG BG = 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 再列方程，求解,x 即可得到答案． 【详解】解： BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD,BEC FEC ∴≌ 90,ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒90,,,,EBC EFC BEC FEC BE FE BC FC ∴∠=∠=︒∠=∠==,BM BE = ,BEM BME ∴∠=∠ ,FEC BME ∴∠=∠//,EF MN ∴ 90BNC EFC ∴∠=∠=︒， 90,BNC FDC ∴∠=∠=︒90BCD ∠=︒, 90,NBC BCN BCN DCF ∴∠+∠=︒=∠+∠,NBC DCF ∴∠=∠ ,BCN CFD ∴≌ ,BN CD ∴=矩形,ABCD //,//,AB CD AD BC ∴ ,BEM GCM ∴∠=∠,1,BEM BME CMG MG G ∠=∠=∠=为CD 的中点，,GMC GCM ∴∠=∠ 1,2,CG MG CD ∴=== 2.BN ∴=如图，,//,BM BE FE MN EF == 四边形ABCD 都是矩形，,//,90,AB CD AD BC A BCG ∴=∠=∠=︒ ,AEF ABG ∠=∠90,AFE AEF ABG CBG ∠+∠=︒=∠+∠ ,AFE CBG ∴∠=∠,AFE CBG ∴∽ ,AE EF CG BG ∴= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 2,11x x x -∴=+ 解得：x = 经检验：x =x =2AE EF ∴== sin 1.AE AFE EF ∴∠=== 故答案为： 1. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．9．（2021·四川乐山市）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．【详解】解：情形1：60A ∠=︒，则30B ∠=︒，，∵30PCB ∠=︒，∴60ACP ∠=︒，∴ACP △是等边三角形，∴122CP AC AB ===；情形2：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AB ⊥，∴1122AC BC AB CP ⋅=⋅，解得CP =情形3：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AC ==2．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键．10．（2021·浙江杭州市）sin30°的值为_____． 【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 三、解答题1．（2021·青海）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．【答案】1.4米【分析】作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，则EM =BC ，在Rt △ABE 、Rt △CDF 中可求出AE 、BE 、DF 、FC 的长度，进而可得出EF 的长度，再在Rt △MEF 中利用勾股定理即可求出EM 的长，此题得解．【详解】解：作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，如图所示．∵AB =CD ，AB +CD =AD =2，∴AB =CD =1．在Rt △ABE 中，AB =1，∠A =35°，∴BE =AB •sin ∠A=1sin35⨯︒≈0.6，AE =AB •cos ∠A ≈0.8．在Rt △CDF 中，CD =1，∠D =45°，∴CF =CD •sin ∠D ≈0.7，DF =CD •cos ∠D ≈0.7．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CM ，又∵BE =CM ，∴四边形BEMC 为平行四边形，∴BC =EM ，CM =BE ．在Rt △MEF 中，EF =AD -AE -DF =0.5，FM =CF +CM =1.3，∴EM ，∴B 与C 之间的距离约为1.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键．2．（2021·四川成都市）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D 处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN 的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）【答案】8米【分析】过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，可证四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，设MF =EF =x ，可求FB = x +3.5，由tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，解得 6.5x ≈米，可求MN =MF +FN =6.5+1.6≈8米．【详解】解：过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，∵∠EFN =∠FND =∠EDN =∠A =90°， ∴四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，∴FN =ED =AB =1.6米，AD =BE =3.5米，∵∠MEF =45°，∠EFM =90°，∴MF =EF =x ,∴FB =FE +EB =x +3.5，∴tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，∴解得 6.5x ≈米，经检验 6.5x ≈米符合题意， ∴MN =MF +FN =6.5+1.6=8.1≈8米．【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．3．（2021·山东聊城市）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】420米【分析】过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由三角函数可求120CE ≈，160DE ≈．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF ＝140,在Rt △ADF 中，利用三角函数可求DF ＝AF ·tan65°≈299.60.,可求BC ＝BE ＋CE ≈420（米）．【详解】解∶过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由题意得，CDE ∠＝37°．在R △CDE 中∵sin 37,cos37,200CE DE CD CD CD︒=︒==， 200sin372000.60120CE ∴=⋅︒≈⨯=，200cos372000.80160DE =⋅≈⨯=︒．,,AB BC DE BC DF AB ⊥⊥⊥，90B DEB DFB ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE ＝DF ，BF ＝DE ＝160，∴AF ＝AB －BF ＝300－160＝140.在Rt △ADF 中，tan 65DF AF︒=，∴DF ＝AF ·tan65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC ＝BE ＋CE ＝299.60＋120≈420（米）．所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．4．（2021·四川广元市）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为米．（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=tan152︒=．计算结果保留根号）【答案】（1）()30米；（2）()6秒【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE 的值，进而得到DH 的值；（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC 的度数，接着求出∠GF A 的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG 和GF ，进而得到DF 的值，最后除以无人机速度即可．【详解】解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ，∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()245x +-，即(()245x x +=-，解得：x =30，∴DH = 30∴此时无人机的高度为()30米； （2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =30（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++；∵1533tan =453BC CAB AB ∠==，∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°45tan 30GA GF ==,∴=30DF GF DG -=,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为3065（秒）；所以经过()6秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．5．（2021·四川资阳市）资阳市为实现5G 网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G 基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i =的斜坡CB 上有一建成的基站塔AB ，小芮在坡脚C 测得塔顶A 的仰角为45︒，然后她沿坡面CB 行走13米到达D 处，在D 处测得塔顶A 的仰角为53︒（点A 、B 、C 、D 均在同一平面内）（参考数据：434sin 53,cos53,tan 53553︒≈︒≈︒≈）（1）求D 处的竖直高度；（2）求基站塔AB 的高．【答案】（1）5米；（2）19.25米【分析】（1）过点D 作DE ⊥CM ，根据坡度及勾股定理求DE 的长度；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形【详解】解：（1）过点D 作DE ⊥CM∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴设DE =x ，则CE =2.4x在Rt △CDE 中，222(2.4)13x x +=解得：x =±5（负值舍去）∴DE =5 即D 处的竖直高度为5米；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形∴GF =DE =5，CE =2.4DE =12，由题意可得：∠ACF =45°，∠ADG =53°设AF =CF =a ，则DG =EF =a -12，AG =AF -GF =a -5∴在Rt △ADG 中，tan 53AG DG ︒=，54123a a -=-解得：a =33 经检验：33a =符合题意，∴DG =33-12=21， 又∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴12.4BG DG =，121 2.4BG =解得：BG =8.75 ∴AB =AF -GF -BG =19.25即基站塔AB 的高为19.25米．【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．6．（2021·江苏宿迁市）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为30°，面向AB 方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B 的俯角为45°，已知建筑物AB 的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1≈1.414≈ =1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程35x x -=+ 【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+解得：x ＝7≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．7．（2021·浙江嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）【答案】（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∴'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∵108DBE ∠=︒，∴''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵6BD =，∴点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==． （2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DG DBD BD'∠=∴sin36 3.54DG BD =⋅︒≈． 在Rt BHE 中，sin EH EBH BE ∠=∴sin72 3.80EH BE =⋅︒≈． ∴ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∵'//BD EF ，∴点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．8．（2021·江苏连云港市）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即 1.2m DH =．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）【答案】（1）8.1m ；（2）4.58m【分析】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，构建Rt ABE △和Rt BFC △，在Rt ABE △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE ,AE ;再用BE EF +求出BF ，在Rt BFC △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC ，用CF AE AD CH ;（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，构建Rt ABM 和Rt BNO ，在Rt ABM 中，根据53°和AB 的长求出BM 和AM ，利用BM +MN 求出BN ，在Rt BNO 中利用勾股定理求出ON ，最后用HN +ON 求出OH ．【详解】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，则AE BF ⊥，垂足为E ． 由cos AE BAE AB∠=，∴cos 22 4.8︒=AE ，∴1516 4.8=AE ，即 4.5AE =， ∴ 4.50.4 4.1=-=-=DE AE AD ，由sin BE BAE AB ∠=，∴sin 22 4.8︒=BE ， ∴38 4.8=BE ，即 1.8BE =，∴ 1.8 1.23=+=+=BF BE EF ． 又tan ∠=BF BCF CF ，∴3tan 37︒=CF ，∴334=CF ，即4CF =， ∴4 4.18.1=+=+=+=CH CF HF CF DE ，即C 到岸边的距离为8.1m ．（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，则AM BN ⊥，垂足为M ． 由cos ∠=AM BAM AB ，∴cos53 4.8︒=AM ，∴35 4.8=AM ， 即 2.88=AM ，∴ 2.880.4 2.48=-=-=DM AM AD ． 由sin ∠=BM BAM AB ，∴sin 53 4.8︒=BM ，∴45 4.8=BM ， 即 3.84=BM ，∴ 3.84 1.2 5.04=+=+=BN BM MN ．∴ 2.1====ON ，∴ 4.58=+=+=OH ON HN ON DM ，即点O 到岸边的距离为4.58m ．【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．9．（2021·浙江绍兴市）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．【答案】（1）106cm ；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；（2）求出端点D 能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ，过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，如图1，143ABC ∠=︒，53CBQ ∴∠=︒，∴在Rt BCQ △中，()sin53700.856CQ BC cm =⋅︒≈⨯=， ()50PQ AB cm ==．//CD l ，()5650106DE CP CQ PQ cm ∴==+=+=．∴手臂端点D 离操作台 l 的高度DE 的长为106cm ．。
中考数学专题 解直角三角形含答案
4、在 ABC 中， C 1350 ,a 2,b 2 求：①c 的长 ②sinA 的值 ③求 AB 边上的高 h
5、如图 8，在 ABC 中，已知 C 900 , AC 6 3,BAC 的平分线 AD=12，求 ABC 其余各边的长，各角的度数和 ABC 的内切圆的半径的长。
6、如图 9，要测铁塔的高 AB，从与铁塔底部在同一水平直线上的 C、D 两处，用测 角仪器测得铁塔顶 B 的仰角分别为 300 和 450 ，C、D 间距离为 14 米，测角仪器的
2
A、 ＞600
B、 ＜600
C、 ＞300
D、 ＜300
13、若 00＜ ＜1800，且 cos 3 ，则角 的度数是：
2
A、300
B、600
C、1500
D、300 或 1500
14、在 ABC 中， A 900 ，AD⊥BC，若 AB＝2AC，则 BC 与 DC 之间的关系为：
A、BC=2DC
A、12, 3 3
B、12, 3
C、 4 3, 3 3
D、 4 3, 3
11、若 , 互为补角，那么以下四个关系式中，不一定成立的是：
A、 sin sin ＞0
B、cos -cos ＞0
C、 sin sin ＝0
D、cos ＋cos ＝0
12、 是直角三角形的一个锐角， cos ＞ 1 则：
为：
A、16 和 9
B、9 和 16
C、16 和 12
D、12 和 16
三、解答题
1、已知 00＜ ＜1800，00＜θ ＜1800，且 cos 3 ,sin 1 ，
2
2
求 tg ctg 的值。
2、 RtABC 中， C ＝900，c=17，内切圆半径 r＝3，求两条直角边 a、b。
中考数学专题特训 解直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900，则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中，∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=h l=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（2012•贵港）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB 的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C，利用A点坐标为（2，1）可得到OC=2，AC=1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C，∵A点坐标为（2，1），∴OC=2，AC=1，∴OA=22OC AC+=5，∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （2012•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°=．思路分析：将cos45°=22，tan30°=33，sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（2012•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （2012•安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．6．思路分析：过C 作CD ⊥AB 于D ，求出∠BCD=∠B ，推出BD=CD ，根据含30度角的直角三角形求出CD ，根据勾股定理求出AD ，相加即可求出答案． 解：过C 作CD ⊥AB 于D ， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD ，∵∠A=30°，AC=23， ∴CD=3， ∴BD=CD=3， 由勾股定理得：AD=22AC CD =3，∴AB=AD+BD=3+3， 答：AB 的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 对应训练3．（2012•重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理． 专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC ，相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵∠BAC=90°，∴∠C=180°-90°-60°=30°， ∴BC=2AB=4，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC=22224223BC AB -=-=， ∴△ABC 的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23． 答：△ABC 的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例 4 （2012•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=32米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；23≈1.73 6≈2.45） （2）求∠ACD 的余弦值． 考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45°2千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB=BC=15千米，∠B=90°∴∠BAC=∠ACB=45°2 又∵∠D=90°∴22 -AC CD 22(152)(32)123-=∴周长23（千米） 面积=S △ABC+18 6 ≈157（平方千米）（2）cos ∠ACD=CD 321AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．对应训练6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC 的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD，∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°，∴AD=60，CD=303，BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（2012•济南）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．解答：解：由图形知：tan∠ACB=21 63 ，故选A．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．2．（2012•滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的3C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．A分析：由于△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变．∴∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°，故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（2012•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD=CD=21 3tan303o=36.33，在Rt△BDC中，BD=CD=7 3tan303o=12.11，则AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）。
中考热点专题15 解直角三角形(含答案)
热点15 解直角三角形（时间：100分钟 总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．在△ABC 中，∠=90°，cosB 的值为（ ）A ．12B D 2．在Rt △ABC 中，若各边的长度都扩大10倍，那么锐角B 的正切值（ ）A ．扩大10倍B ．扩大5倍C ．保持不变D ．缩小10倍3．在Rt △ABC ，∠C=90°，若∠B=2∠A ，则tanA 等于（ ）A B ．3 C ．2 D ．124．已知a 为锐角，tan （90°-a ），则a 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5．在△ABC 中，sinB=cos （90°-C ）=12，那么△ABC 是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形6．下面语句正确的是（ ）A ．若a 为锐角，一定有sina<cosaB ．若三角形三边之比为12，则三角形是直角三角形C ．Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=34，则a=4，b=3 D 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则sin 2A+cos 2B=17．下列比较大小正确的是（ ）A ．tan47°>cos17°>sin63°B ．tan47°>sin63°>cos17°C ．sin63°>tan47°>cos17°D ．cos17°>tan46°>sin63°8．若∠A 为锐角，且sinA>cosA ，则∠A 的取值范围是（ ）A ．0°<∠A<45°；B ．45°<∠A<90°；C ．30°<∠A<60°；D ．60°<∠A<90°9．如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=35，则BC 的长是（ ）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm（1） (2) (3)10．如果tana=2，则3sin cos4sin2cosa aa a-+的值为（）A．13B．56C．12D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．在Rt△ABC中，三边长之比BC：AC：AB=12：5：13，则tanA=_________．12．若锐角△ABC中，AC=6，BC=10，AB=10，则cosA=_____．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=35，a=2，则b+c=_______．14．计算：tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°=______．15．如图2，矩形ABCD中（AD>AB），AB=a，∠BDA=θ，作AE交BD于E，且AE=AB，•试用a与θ表示AD=________．16．如图3，小明将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，•设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DCF的值为_______．17．当0°<a<90°时，化简．18．在△ABC中，∠C=90°，tanA=125，三角形周长为45，CD是斜边AB上的高，则CD长为_______．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）cos45cos90sin30︒︒︒-tan0sin90︒︒+cos230°+sin245°．（2）cos30°-sin90°+si n250°-tan36°·cot36°+c os250．20．若a为锐角，且2cos2a+7sina-5=0，求a的度数．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°．Array（1）作AB边的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，连结BD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的基础上，若BC=1，则AD=_______，tanA=______．22．已知△ABC的边a、b、c满足关系式（2b2=4（c+a）（c-a），且有5a-3c=0，•求sinA+sinB+sinC的值．23．某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的值．24．在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于F，DF⊥AC于F，设DE=•a，DF=b，且实数a、b满足9a2-24ab+16b2=0，并有a2b=48；若锐角∠A使得方程14x2-•x·sinA+34=0有相等的两个实数根．（1）试求实数a、b的值．（2）试求线段BC的长．25．如图所示，等腰三角形与正三角形的形状有差异，•我们把它与正三角形的接近程序称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等，设等腰三角形的底和腰分别是a、b，底角和顶角分别为α、β，要求“正度”的值是非负数．同学甲认为：可用式子│a-b│表示“正度”，│a-b│的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．同学乙认为：可用式子│α-β│来表示“正度”，│α-β│的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）．（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．答案:一、选择题1．C 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．B 9．A 10．C二、填空题11．125 12．310 13．4 14．1 15．tan a θ 16．45 17．1-cosa 18．9013三、解答题19．解：（1）原式= 0212- 01+2+）2= 315424+= （2）原式=2-1+（si n 250°+cos 250）-1=2-1+1-1=2-1． 20．解：2（1-si n 2a ）+7sina-5=0，2sin 2a -7sina+3=0，∴sina=12或sina=3（舍）． ∴sina=12，故a=30°． 21．解：（1）略．（2）DE 是AB 的垂直平分线⇒AD=BD ⇒∠ABD=15°601DBC BC ⇒∠=︒⎫⇒⎬=⎭BD=2，⇒AD=2， ∴故tanA=BC AC =． 22．解：4b 2+4a 2=4c 2⇒a 2+b 2=c 2，即△ABC 为直角三角形，∠C 为直角．而5a=3c ⇒a=35c ⇒sinA=a c =35，sinB=45b c =，sinC=1． ∴sinA+sinB+sinC=3455+=125． 23．解：延长BC 、AD 交于点E ，则Rt △ABE 中， AE=200cos cos60AB A =︒=400，在Rt △CDE 中，∠E=30°，DE=tan 30CD ︒，CE=100sin 30︒=200．故AD=AE-DE=（m ），BC=BE-CE=（）m ．24．解：（1）9a 2-24ab+16b 2=0⇒（3a-4b ）2=0⇒3a=4b ．由a 2b=48⇒a=4，b=3．（2）14x 2-x ·34=0．∴△=s in 2A 34=0．∴⇒∠A=60°．∴∠B=∠C=60°．∠A=∠B=∠C=60°⇒，⇒． 25．解：（1）乙同学比较合理，因│α-β│越小，则α与β越接近60°，•因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等．同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形“正度”相等，如边长为4，4，2和边长为8，8，4•的两个相似三角形中│2-4│≠│4-8│．（2）对甲同学的方案可改为||a b ka -,||a b kb-等（k 为正数）来表示“正度”． （3）还可用│α-60°│，│β-60°│等来表示“正度”．。
备战2021年四川中考数学必考专题 22 解直角三角形(解析版)
备战2021年四川中考数学必考专题22 解直角三角形一．选择题（共3小题）1．（2019•绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2＝（）A．B．C．D．【点拨】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【解析】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，∴5cosθ﹣5sinθ＝5，∴cosθ﹣sinθ，∴（sinθ﹣cosθ）2．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中．2．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C，则sin B的值为（）A．B．C．D．【点拨】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在R t△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sin B的值．【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD，∴AB2，∴sin B．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB 的长是解题的关键．3．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x ＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．【点拨】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K 为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．【解析】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO，∴，∴OE，∴AE，作EH⊥AB于H．∵S△ABE•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH，∴AH，∴tan∠BAD，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二．填空题（共4小题）4．（2019•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝．【点拨】根据正弦的定义解答．【解析】解：在Rt△ABC中，sin A，故答案为：．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．5．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．【点拨】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC BC•AD＝75或25．故答案为：75或25．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．6．（2019•自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【点拨】给图中相关点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【解析】解：给图中相关点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a a，∴AD a，∴cos（α+β）．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．7．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C．则AB边的长为．【点拨】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解析】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cos C，∴，∴CH，∴AH，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH，故答案为．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共11小题）8．（2019•内江）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）【点拨】作AE⊥BC于E，设BE＝x，利用正切的定义用x表示出EC，结合题意列方程求出x，计算即可．【解析】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴AD＝CE，设BE＝x，在Rt△ABE中，tan BAE，则AE x，∵∠EAC＝45°，∴EC＝AE x，由题意得，BE+CE＝120，即x+x＝120，解得，x＝60（1），∴AD＝CE x＝180﹣60，∴DC＝180﹣60，答：两座建筑物的地面距离DC为（180﹣60）米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【点拨】（1）过D作DE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论；（2）过D作DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，∴DE＝20sin45°＝20，在Rt△BED中，BD＝20，∴sin∠ABD；（2）过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，∴BE40，∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，∴CF＝BC﹣BF＝30，在Rt△CDF中，CD50，∴小岛C，D之间的距离为50nmile．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．10．（2019•广元）如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方向．（以下结果保留根号）（1）求B，C两处之间的距离；（2）求海监船追到可疑船只所用的时间．【点拨】（1）作CE⊥AB于E，则∠C EA＝90°，由题意得：AB＝60×1.5＝90，∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，得出△ACE是等腰直角三角形，∠CBE＝60°，得出CE＝AE，∠BCE＝30°，由直角三角形的性质得出CE BE，BC＝2BE，设BE＝x，则CE x，AE＝BE+AB ＝x+90，得出方程x＝x+90，解得：x＝4545，得出BC＝2x＝9090即可；（2）作DF⊥AB于F，则DF＝CE x＝135+45，∠DBF＝30°，由直角三角形的性质得出BD＝2DF＝270+90，即可得出结果．【解析】解：（1）作CE⊥AB于E，如图1所示：则∠CEA＝90°，由题意得：AB＝60×1.5＝90（海里），∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，∴△ACE是等腰直角三角形，∠CBE＝60°，∴CE＝AE，∠BCE＝30°，∴CE BE，BC＝2BE，设BE＝x，则CE x，AE＝BE+AB＝x+90，∴x＝x+90，解得：x＝4545，∴BC＝2x＝9090；答：B，C两处之间的距离为（9090）海里；（2）作DF⊥AB于F，如图2所示：则DF＝CE x＝135+45，∠DBF＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2DF＝270+90，∴海监船追到可疑船只所用的时间为3（小时）；答：海监船追到可疑船只所用的时间为（3）小时．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．11．（2019•眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．【点拨】由i EC2＝CD2，解得DE＝20m，EC＝40m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，证得AB ＝BC，设AB＝BC＝xm，则AG＝（x﹣20）m，DG＝（x+40）m，在Rt△ADG中，tan∠ADG，代入即可得出结果．【解析】解：在Rt△DEC中，∵i，DE2+EC2＝CD2，CD＝20，∴DE2+（2DE）2＝（20）2，解得：DE＝20（m），∴EC＝40m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，如图所示：则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，∵∠ACB＝45°，AB⊥BC，∴AB＝BC，设AB＝BC＝xm，则AG＝（x﹣20）m，DG＝（x+40）m，在Rt△ADG中，∵tan∠ADG，∴，解得：x＝50+30．答：楼AB的高度为（50+30）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．12．（2019•资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）【点拨】（1）由题意得到∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，得到四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，根据矩形的性质得到BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，求得AH＝x+20，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD40，AD AH＝2020，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（2020）海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．（2019•巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【点拨】过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，根据BE＝DF＝CF，列方程可得结论．【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∵tan∠DAE，∴AE，∴BE＝300，又BF＝DE＝x，∴CF＝414﹣x，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝414﹣x，又BE＝DF，即：300414﹣x，解得：x＝214，故：点D到AB的距离是214m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题的关键．14．（2019•遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）【点拨】过A作AH⊥BC于H，过E作E G⊥BC于G，于是得到四边形EGHA是矩形，求得EG＝AH，GH＝AE＝2，得到AH＝BH，求得BG＝BH﹣HG，得到FG，根据梯形的面积公式求得梯形ABFE的面积乘以大坝的长度即可得到结论．【解析】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝97，∴S梯形ABFE（2+97）×9，∴共需土石为200＝900（95）立方米．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．15．（2019•成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C（结的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【点拨】作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝AB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．【解析】解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝AB＝20，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，答：起点拱门CD的高度约为6米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（2019•宜宾）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）【点拨】设AM＝x米，根据等腰三角形的性质求出FM，利用正切的定义用x表示出EM，根据题意列方程，解方程得到答案．【解析】解：设AM＝x米，在Rt△AFM中，∠AFM＝45°，∴FM＝AM＝x，在Rt△AEM中，tan∠AEM，则EM x，由题意得，FM﹣EM＝EF，即x x＝40，解得，x＝60+20，∴AB＝AM+MB＝61+20，答：该建筑物的高度AB为（61+20）米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．（2019•广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（参考数据： 1.4， 1.7）【点拨】（1）由∠HFE＝45°知HE＝EF＝10，据此得BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5；（2）设DE＝x米，则DG x米，由∠GFD＝45°知GD＝DF＝EF+DE，据此得x＝10+x，解之求得x的值，代入CG＝DG+DC x+1.5计算可得．【解析】解：（1）在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，∴HE＝EF＝10，∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5，∴古树的高为11.5米；（2）在Rt△EDG中，∠GED＝60°，∴DG＝DE tan60°DE，设DE＝x米，则DG x米，在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，∴GD＝DF＝EF+DE，∴x＝10+x，解得：x＝55，∴CG＝DG+DC x+1.5（55）+1.5＝16.5+525，答：教学楼CG的高约为25米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（2019•达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84. 1.41， 1.73）【点拨】作BF⊥CE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．【解析】解：作BF⊥CE于F，在Rt△BFC中，BF＝BC•sin∠BCF≈3.20，CF＝BC•cos∠BCF≈3.85，在Rt△ADE中，DE 1.73，∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58，由勾股定理得，AB0.6（m），答：AB的长约为0.6m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。
中考专题复习解直角三角形（含答案）
中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。
4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。
5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。
7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。
第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。
依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。
2、应⽤举例：(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。
(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。
⽤字母表⽰，即。
坡度⼀般写成的形式，如等。
把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。
【重点考点例析】考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．对应训练3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）考点四：解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿，其平⾯图如图甲所⽰，⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千⽶，CD=32千⽶，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和⾯积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．对应训练6．超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳⼤道的距离（AC）为30⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度？（计算时距离精确到1⽶，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）【聚焦中考】1．如图，在8×4的矩形⽹格中，每格⼩正⽅形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．32．把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍，则锐⾓A的正弦函数值（）A．不变B．缩⼩为原来的13C．扩⼤为原来的3倍D．不能确定3．计算：tan45°+ 2cos45°= ．4．在△ABC中，若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取⼀点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21⽶，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1⽶，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时，若测得某辆校车从A到B⽤时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．6．如图，某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD，当光线与地⾯的夹⾓是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE；⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时，教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离（B、F、C在⼀条直线上）（1）求教学楼AB的⾼度；（2）学校要在A、E之间挂⼀些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）【备考真题过关】⼀、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．45B．35C．34D．433．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A．4 B．25C．181313D．1213134．2cos60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．12B．22C．32D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则C( ）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°．7．在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中，某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°，此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶，则旗杆的⾼度约为（）A．24⽶B．20⽶C．16⽶D．12⽶8．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1：3，堤坝⾼BC=50m，则应⽔坡⾯AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m1．如图，为测量某物体AB的⾼度，在D点测得A点的仰⾓为30°，朝物体AB⽅向前进20⽶，到达点C，再次测得点A的仰⾓为60°，则物体AB的⾼度为（）A．10⽶B．10⽶C．20⽶D．⽶2．⼩明想测量⼀棵树的⾼度，他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上，如图，此时测得地⾯上的影长为8⽶，坡⾯上的影长为4⽶．已知斜坡的坡⾓为30°，同⼀时刻，⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶，则树的⾼度为（）A．（6+）⽶B．12⽶C．（4﹣2）⽶D．10⽶3．如图，从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶，点A、D、B在同⼀直线上，则AB两点的距离是（）A．200⽶B．200⽶C．220⽶D．100（）⽶⼆、填空题9．在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．tan60°= ．11．若∠a=60°，则∠a的余⾓为，cosa的值为．12．如图，为测量旗杆AB的⾼度，在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°，那么旗杆的⾼度约是⽶（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题13．如图，定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα== ACBC，根据上述⾓的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐⾓，试求ctanA的值．14．⼀副直⾓三⾓板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．15．为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB，如图，在⼭外⼀点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）16.如图，某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m，⾼度C处的飞机，测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°，求隧道AB 的长.17.如图，⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设⼀知输⽔管道．为了搞好⼯程预算，需测算出A ，B 间的距离．⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向，B 位于南偏东24.5°⽅向，前⾏1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°⽅向，B 位于南偏西41°⽅向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由；（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）练习作业：1. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-－ oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4．如图所⽰，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，?求△ABC的⾯积（结果可保留根号）．例5.已知：如图所⽰，在△ABC中，AD是边BC上的⾼，E?为边AC?的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB?sinC的值.。
中考数学一轮复习《解直角三角形及其实际应用》练习题(含答案)
中考数学一轮复习《解直角三角形及其实际应用》练习题（含答案）(建议答题时间：45分钟)1. (2017天津)cos60°的值等于()A. 3B. 1C.22 D.122. (2017聊城)在Rt△ABC中，cosA＝12，那么sinA的值是()A.22 B.32 C.33 D.123. (2017兰州)如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()A. 513 B.1213 C.512 D.1312第3题图第4题图4. (2017河北)如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域．甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能．．是()A. 北偏东55°B. 北偏西55°C. 北偏东35°D. 北偏西35°5. (2017宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误．．的是()A. sinα＝cosαB. tan C＝2C. sinβ＝cosβD. tanα＝1第5题图第6题图6. (2017益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A.hsinαB.hcosαC.htanαD. h·cosα7. (2017百色)如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是()米/秒A. 20(3＋1)B. 20(3－1)C. 200D. 300第7题图第8题图8. (2017深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是()A. 20 3 mB. 30 mC. 30 3 mD. 40 m9. (2017重庆育才三模)小强到某水库大坝游玩，他站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处(点A与大树及其影子在同一平面内)，此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，己知斜坡AB的坡度i＝3∶1，若大坝的高为12 3 米，则大树CD的高约为()米(结果精确到1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)A. 13B. 14C. 15D. 16第9题图第10题图10. “星光隧道”是贯穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住区的重要纽带．图中线段AB表示该工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道一侧的点A出发，沿着坡度i＝1∶2的路线AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为12°，继续飞行到点E，测得点B的俯角为45°，此时点E 离地面高度EF＝700米，则隧道BC段的长度约为()米(结果精确到1米．参考数据：tan12°≈0.2，cos12°≈0.98)A. 2100B. 1600C. 1500D. 154011. (2017重庆西大附中月考)最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3∶4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°，已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为()米(结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)A. 91.1B. 91.3C. 58.2D. 58.4第11题图第12题图12. (2017重庆九龙坡区适应性考试)如图，小明家附近有一斜坡AB＝40米，其坡度i＝1∶3，斜坡AB上有一竖直向上的古树EF，小明在山底A处看古树树顶E的仰角为60°，在山顶B处看古树树顶E的仰角为15°，则古树的高约为()米(结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)A. 16.9B. 13.7C. 14.6D. 15.213. 如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高CB为10米，坡面CA的坡比为1∶ 3.为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的坡角为18°，问离原坡脚(点A)15米的花坛E，与新坡脚(点D)的距离DE大约为()米(结果精确到0.01米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，2≈1.41，3≈1.73)A. 2.05B. 1.50C. 1.05D. 2.50第13题图第14题图14. 如图，我校临江园前河坝横断面迎水坡AB长40 m，坡比是1∶3，BC为坝高．某同学在临江园B处测得江中迎面匀速驶来的小船在M处的俯角为14°，他立刻朝万象楼方向走17 m到D处，并向上到达楼顶E处，共用时60 s，在E 处测得小船在N处的俯角为58°，已知万象楼高DE＝25 m，江水深FH＝9 m，若小船的航行方向和该同学的行走方向与河坝横断面在同一平面内，则小船的行驶速度为()m/s(结果精确到0.01.参考数据：3≈1.73，sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60)A. 0.24B. 0.64C. 0.65D. 0.7015. (2017烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A2＝________.16. (2017广州)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝________.第16题图第17题图17. (2017山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE ＝1.5米，则这棵树的高度为________米．(结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764) 18. (2017德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3 (i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．第18题图第19题图19. (2017苏州)如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到A、B所用时间相等，则v1v2＝________．(结果保留根号)20. (2017海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)第20题图21. (2017郴州)如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73)第21题图22. (2017上海)如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sinB的值；(2)现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．第22题图23. (2017鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B、C、D三点在同一直线上．(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度．第23题图答案1. D2. B3. C4. D【解析】如解图，∵两船等速且不能相撞，∴甲与乙所行路程不能相等，∴△ABC不能是等腰三角形，∴∠CBD≠35°，∴乙的航向不能是北偏西35°.第4题解图5. C 【解析】∵网格中每一个小正方形的边长均为1，则AD ＝2，BD ＝2，CD＝1，AB ＝AD 2＋BD 2＝22，AC ＝AD 2＋CD 2＝5，∴sin α＝BD AB ＝22，cosα＝AD AB ＝22，∴sin α＝cos α，故A 正确；tanC ＝AD CD ＝2，故B 正确；sin β＝CD AC ＝55，cos β＝AD AC ＝255，∴sin β≠cos β，故C 错误；tan α＝BD AD ＝1，故D 正确．6. B 【解析】∵AC ⊥BC ，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠BCD ＝∠CAD ＝α，在Rt △BCD 中，∵CD ＝h ，cos ∠BCD ＝CD BC ，即cos α＝h BC ，∴BC ＝h cos α. 7. A 【解析】如解图，作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝200，∠CBD ＝45°，∠ABD ＝60°，∴AC ＝DC ＋AD ＝200＋2003，∴动车的平均速度是(200＋2003)÷10＝20＋203＝20(1＋3)米/秒．第7题解图8. B 【解析】∵在Rt △CDE 中，DE ＝10 m ，CD ＝20 m ，∴∠DCE ＝30°，∵矩形AFDE 中，DF ∥AE ，∴∠CDF ＝∠DCE ＝30°，又∵∠BDF ＝30°，∴∠BDC ＝60°，又∵∠BCA ＝60°，∴∠BCD ＝90°，∴BC ＝3CD ＝20 3 m ，∵在Rt△ABC 中，∠ACB ＝60°，∴AB ＝32BC ＝30 m .9. C 【解析】如解图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，在Rt △AGB 中，AG ＝123米，∵AB 的坡度i ＝3∶1，∴∠ABG ＝60°，BG ＝12，∵∠CBD ＝60°，∴∠DBA ＝60°，∵AE ∥BC ，∴∠EAB ＝∠ABG ＝60°，∵∠EAD ＝15°，∴∠DAB ＝45°，∵∠CBD ＝∠ABD ＝60°，∴DF ＝DC ，设DC ＝x ，在Rt △ADF 中，∠DAF ＝45°，∴AF ＝DF ＝x ，∵AB ＝AG 2＋BG 2＝24，则BF ＝24－x ，在△BDF 中，∵DF ＝BF ·tan 60°，∴x ＝3(24－x )，解得，x ＝36－123，约为15米．第9题解图10. C【解析】在Rt△BEF中，∵∠EBF＝45°，∴BF＝EF＝700 m，∵i＝EFAF＝CD AC＝12，设CD＝x m，∴AC＝2x m，AF＝2EF＝1400 m，∴AB＝AF＋BF＝2100m，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝12°，∴BC＝CDtan12°≈x0.2＝5x m，∴AB＝AC＋BC＝2x＋5x＝7x m，则7x＝2100，∴x＝300 m，BC＝5x＝1500 m.11. B【解析】如图，过点C作CF⊥DE于F，作CM⊥BE于M. 依题意，设CF＝3x, 则DF＝4x，∴ME＝CF＝3x, CM＝EF＝4x＋400.∵∠BCM＝45°，∴BM＝CM＝4x＋400，∴AM＝BM－AB＝4x＋400－200＝4x＋200.∵∠ACM＝30°，∴tan∠ACM＝AMCM＝4x＋2004x＋400＝33，∴x＝25(3－1)≈25×0.73＝18.25，则CD＝（3x）2＋（4x）2＝5x＝18.25×5＝91.25≈91.3.第11题解图12. A【解析】如解图，过点B作BD∥AC交AE于点D，过点E作EG⊥AB于点G，延长EF与AC相交于点H，∵tan∠BAC＝i＝13＝33，∴∠BAC＝30°，∴∠DBA＝∠BAC＝30°，∠BAE＝∠CAE－∠CAB＝30°，∠EFG＝∠AFH＝60°，∵∠EBD＝15°，∴∠EBG＝45°，则EG＝BG，设EG＝BG＝x m，在Rt△AEG中，AG＝EGtan30°＝3x m，∴AB＝AG＋BG＝(3＋1)x m＝40 m，解得，x＝(203－20) m ，在Rt △EFG 中，EF ＝EG sin 60°≈16.9 m . 第12题解图13. C 【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝10米，∵坡面AC 的坡比为1∶3，∴∠BAC ＝30°，∵tan 30°＝BC AB，∴AB ＝103≈17.3 m ，∴BE ＝AB ＋AE ≈17.3＋15＝32.3 m ，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝18°，BC ＝10 m ，∵tan 18°＝BC BD ，∴BD ＝BC tan 18°≈31.25 m ，∴DE ＝BE －BD ≈32.3－31.25＝1.05 m . 14. B 【解析】如解图，∵i AB ＝1∶3，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ＝20 m ，∵CG ＝FH ＝9 m ，∴DK ＝BG ＝20－9＝11 m ，∴EK ＝DE ＋DK ＝25＋11＝36 m ，在Rt △EKN 中，∠ENK ＝58°，∴NK ＝EK tan 58°≈361.6＝22.5m ，在Rt △BGM 中，∠BMG ＝14°，∴GM ＝BG tan 14°≈110.25＝44 m ，∴MK ＝KG ＋GM ≈17＋44＝61 m ，∴MN ＝MK －NK ≈61－22.5＝38.5 m ，∴小船行驶的速度为38.5÷60≈0.64 m /s .第14题解图15. 12 16. 1717. 15.3 【解析】根据题意得CD ＝BE ＝10米，BD ＝CE ＝1.5米， ∠ACD ＝54°，∴AD ＝CD ·tan 54°＝10×tan 54°≈13.8米，∴这棵树的高度AB ＝AD ＋BD ≈13.8＋1.5＝15.3米．18. 12 【解析】在Rt △ABE 中，∠α＝45°，AB ＝62，则AE ＝6，DF ＝AE ＝6，在Rt △DFC 中，DF ＝6，DF ∶FC ＝1∶3，∴∠C ＝30°，∴DC ＝2DF ＝12.19. 2【解析】如解图，过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝4 km，∴CD＝2 km，在Rt△CDB中，∠CBD＝45°，CD＝2，∴BC＝22，∵游船开往A和开往B所用时间相等，设时间为t，则v1＝ACt，v2＝BCt，∴v1v2＝AC BC＝422＝ 2.第19题解图20. 解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，AB＝BCtan50°≈BC1.2＝5BC6＝56x，在Rt△EBD中，∵i＝DB∶EB＝1∶1，∴BD＝BE，∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x＝4＋56x，解得x＝12，即BC＝12，答∶水坝原来的高度为12米．21. 解：不会穿越保护区．理由如下：如解图，过点P作PD⊥AC于点D，设BD＝x，∵在Rt△BDP中，∠PBD＝90°－30°＝60°，∴PD＝BD·tan∠PBD＝3BD＝3x，∵在Rt△ADP中，∠P AD＝90°－60°＝30°，∴AD＝PDtan∠PAD＝3PD＝3x，∵AB＝AD－BD＝120，∴3x－x＝120，解得x＝60，∴PD＝603≈103.8＞100，∴计划修建的这条高速铁路不会穿越保护区．第21题解图22. 解：(1)在Rt △ABD 中，∵BD ＝DC ＝9，AD ＝6， ∴AB ＝BD 2＋AD 2＝92＋62＝313，∴sinB ＝AD AB ＝6313＝21313. (2)∵EF ∥AD ，BE ＝2AE ，∴EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23，∴EF 6＝BF 9＝23，∴EF ＝4，BF ＝6，∴DF ＝3，在Rt △DEF 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝42＋32＝5.23. 解：(1)∵∠ACB ＝30°，∠ECD ＝60°，∴∠ACE ＝90°，∵AF ∥BD ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠EAC ＝60°，在Rt △ABC 中，AB ＝2, ∠ACB ＝30°，∴AC ＝4，在Rt △ACE 中，∵AC ＝4，∠EAC ＝60°，∴AE ＝8；∵在Rt △AEF 中，∠EAF ＝30°，AE ＝8，∴EF ＝4，∴DE ＝EF ＋DF ＝4＋2＝6.即树DE的高为6米；(2)如解图，延长NM交DB延长线于点G，在Rt△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30°，∴BC＝23，在Rt△ECD中，DE＝6，∠ECD＝60°，∴CD＝DEtan60°＝23，∵∠NDB＝45°，∴NG＝GD＝AM＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋43，∴MN＝NG－MG＝3＋43－2＝43＋1.第23题解图。
2022年中考解直角三角形的应用专题-含答案
2022年中考解直角三角形的应用专题1．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m，（1）求点E到建筑物AC的距离；．（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．2．某学校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动，如图，她在山坡脚A处测得这座楼房顶B点的仰角为60°，沿山坡向上走到C处再测得B点的仰角为45°，已知OA＝200m，山坡的坡度i＝，且O、A、D在同一条直线上．求：（1）楼房OB的高度；（2）小红在山坡上走过的距离AC（结果保留根号）3．小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A＝30°．已知楼房CD高21米，且与树BE之间的距离BC＝30米，求此树的高度约为多少米．（结果保留两个有效数字，≈1.732）．4．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．5．环球国际金融中心（图中AB所示）是目前上海市的标志性建筑、小明家住在金融中心附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出环球国际金融中心的高度、他先在自己家的阳台（图中的点Q处）测得金融中心的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P处），测得点A的仰角为45°．又点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你在答题纸上画出示意图，并根据上述信息求出环球国际金融中心（AB）的高度．（备用数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）6．著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶E的仰角为37°；再从点B沿BF方向走了97米到达D处（即BD＝97米），在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与塔顶E恰好在一条直线上，已知AB＝CD＝1.5米，测得DM＝1米，点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，根据测量示意图求该塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）7．如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图，从地面A处放飞的风筝几分钟后飞至C处，此时，点B与旗杆PQ的顶部点P以及点C恰好在一直线上，PQ⊥AB于点Q．（1）已知旗杆的高为10米，在B处测得旗杆顶部点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A、B之间的距离；（2）此时，在A处测得风筝C的仰角为75°，设绳子AC在空中为一条线段，求AC的长．（结果保留根号）8．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．9．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30°，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60°，求楼AB的高．10．如图，为测量一座地标性高楼的高度，小明在A点处测得楼顶D点的仰角为60°，在B点处测得楼顶D点的仰角为30°，A、B、C三点在一条直线上，已知AB＝40m，小明的眼睛离地面为1.6m，求楼的高度．11．小军家附近有一棵侧柏，小军和小明计划利用所学过的知识测量侧柏的高度．阳光明媚的周末，小军和小明带着测量工具来到侧柏前．测量方法如下：如图，首先，小军沿侧柏的影子BD移动，当恰好移动到C处时发现小军的影子顶端与侧柏的影子顶端D重合，测得小军身高CE＝1.6米，影长CD＝2.4米．然后，小军在C处半蹲，小明在BC上竖立高2米的标杆，并沿BC移动，当标杆移动到点H时，小军的眼睛F、标杆顶端G与侧柏顶端A恰好在一条直线上，此时测得小军眼睛到地面的距离CF＝1米，HC＝1.4米．已知点B、H、C、D在一条直线上，点E、F、C在一条直线上，AB、GH、EC均垂直于BD，请你根据题中提供的相关信息，求出这棵侧柏的高AB．12．如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A点处测得古树顶端D的仰角为30°，在这棵古树的正前方C处，测得古树顶端D的仰角为60°，在A点处测得C点的俯角为30°．已知BC为4米，且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求平房AB的高度；（2）请求出古树DE的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）13．揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点A为揽月阁的顶部，点B为揽月阁的底部，小明在点C处放一水平的平面镜，然后沿着BC方向向前走0.5米，到达点D处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端A的像．接下来小明不动，小丽在C处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端P、揽月阁的顶端A、小明的眼睛E在一条直线上，此时测得测量杆的高度CF ＝1.98米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离DE＝1米，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BD，CF ⊥BD，DE⊥BD，求揽月阁的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）14．如图，某中学操场边有一旗杆A，小明在操场的C处放风筝，风筝飞在图中的D处，在CA的延长线上离小明30米远的E处的小刚发现自己的位置与风筝D和旗杆的顶端B在同一条直线上，小刚在E 处测得旗杆顶点B的仰角为α，且tanα＝，小明在C处测得旗杆顶点B的仰角为45°．（1）求旗杆的高度．（2）此时，在C处背向旗杆，测得风筝D的仰角（即∠DCF）为48°，求风筝D离地面的距离．（结果精确到0.1米，其中sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）15．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，AC的坡度i ＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．16．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）17．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．（1）求坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）．18．每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）19．如图：某水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高BH为20米，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡角为45°．求（1）斜坡AB的坡角；（2）坝底宽AD（精确到1米）．（参考数据：，）20．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡比为i＝12：5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗？（tan48.8°≈1.14）21．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，象利用所学的解直角三角形的知识测量某大楼高度，如图所示，大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡长CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，他们先在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求楼AB的高度（结果保留根号）．22．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度i1＝1：3，斜坡CD的坡度i2＝1：1．（1）求斜坡AB的长（结果保留根号）；（2）求坝底AD的长度；（3）求斜坡CD的坡角α．23．如图，学校教学楼前方50米A处有一个坡度i＝1：的斜坡，为了测学校教学楼MN的高度，小明沿着斜坡向上前进了6米到达点B，在点B处用测角仪测得楼的顶部N的仰角为37°，已知测角仪BC 的高度为1.2米，求教学楼MN的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°．计算结果保留根号）24．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了20m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1：，沿着斜坡前进40m到达F处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i＝1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE 的比）．（1）求斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为多少米？（2）求建筑物BC的高度为多少米？（3）现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为2（+3）m/s，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？然后在水平地面上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i＝1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE 的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取＝1.732，结果精确到0.1m）．26．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，求建筑物AB的高度．（精确到个位）（参考数据：sin＝27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）然后在水平地面上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，请你计算出该建筑物BC的高度．（取＝1.732，结果精确到0.1m）28．如图，AB，CD表示两栋建筑，小明想利用建筑CD玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB的高度，首先他在建筑AB的底部A处用测角仪测得其顶部B在建筑CD玻璃幕墙上的反射点E的仰角为α，然后他沿AC前进了10米到达点F处，再用测角仪测得建筑AB的顶部B在建筑CD玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β，已知tanα＝，sinβ＝，测角仪置于水平高度1.5米的M、N处．试求建筑AB的高度．2022年中考解直角三角形的应用专题参考答案与试题解析一．解答题（共28小题）1．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m，（1）求点E到建筑物AC的距离；．（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．【解答】解：（1）∵∠BEC＝60°，∠BDE＝30°，∴∠DBE＝60°﹣30°＝30°，∴BE＝DE＝20，∴CE＝BE＝10m；∴点E到建筑物AC的距离是10m；（2）在Rt△BEC中，BC＝BE•sin60°＝20×＝10≈17.3（米），∴AB＝BC﹣AC＝17.3﹣12＝5.3（米），答：旗杆AB的高度为5.3米．2．某学校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动，如图，她在山坡脚A处测得这座楼房顶B点的仰角为60°，沿山坡向上走到C处再测得B点的仰角为45°，已知OA＝200m，山坡的坡度i＝，且O、A、D在同一条直线上．求：（1）楼房OB的高度；（2）小红在山坡上走过的距离AC（结果保留根号）【解答】解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO＝60°，OA＝200m．∵tan60°＝，即＝，∴OB＝OA＝200（m）．（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．则OE＝CH，EC＝OH．根据题意，知i＝＝，可设CH＝x，AH＝x．在Rt△BEC中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE，即OB﹣OE＝OA+AH．∴200﹣x＝200+x．解得x＝200（2﹣）．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴AC2＝（x）2+x2＝4x2．∴AC＝2x＝2×200（2﹣）＝400（2﹣）（m）．答：高楼OB的高度为200m，小玲在山坡上走过的距离AC为400（2﹣）m．3．小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A＝30°．已知楼房CD高21米，且与树BE之间的距离BC＝30米，求此树的高度约为多少米．（结果保留两个有效数字，≈1.732）．【解答】解：根据题意可得：AC＝＝21，则AB＝AC﹣BC＝21﹣30．故树高BE＝AB×tan30°＝（21﹣30）×tan30°≈3.7（米）．4．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．【解答】解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，∴CD＝，由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，∴△BCG∽△EDG，∴，即，∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×，∴BC＝14，∴这座建筑物的高BC为14米．5．环球国际金融中心（图中AB所示）是目前上海市的标志性建筑、小明家住在金融中心附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出环球国际金融中心的高度、他先在自己家的阳台（图中的点Q处）测得金融中心的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P处），测得点A的仰角为45°．又点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你在答题纸上画出示意图，并根据上述信息求出环球国际金融中心（AB）的高度．（备用数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）【解答】解：过点Q作QE⊥AB，交AB于点E．根据题意，得：∠AQE＝37°，∠APB＝45°，CQ＝60，CP＝84，设AB＝x（米）．则AE＝（x﹣60），QE＝CB＝x+84．在Rt△APB中，得：PB＝AB＝x，在Rt△AQE中，AE＝QE•tan37°，即．解得：x＝492．答：环球国际金融中心（AB）的高度约为492米．6．著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶E的仰角为37°；再从点B沿BF方向走了97米到达D处（即BD＝97米），在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与塔顶E恰好在一条直线上，已知AB＝CD＝1.5米，测得DM＝1米，点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，根据测量示意图求该塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝DF，FH＝AB＝CD＝1.5米，AC＝BD＝97米，DM＝1米，∠EAH＝37°，∵CD⊥BD，EF⊥MF，∴CD∥EF，∴△CDM∽△EFM．∴＝，∴＝，∴EH＝1.5CH，在Rt△EAH中，∠EAH＝37°，∴tan37°＝，∴≈0.75，∴4EH＝291+3CH，∴4EH＝291+2EH，∴EH＝145.5（米），∴EF＝EH+HF＝145.5+1.5＝147（米），答：该塔的高度EF为147米．7．如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图，从地面A处放飞的风筝几分钟后飞至C处，此时，点B与旗杆PQ的顶部点P以及点C恰好在一直线上，PQ⊥AB于点Q．（1）已知旗杆的高为10米，在B处测得旗杆顶部点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A、B之间的距离；（2）此时，在A处测得风筝C的仰角为75°，设绳子AC在空中为一条线段，求AC的长．（结果保留根号）【解答】解：（1）∵PQ⊥AB，∴∠BQP＝∠AQP＝90°，在RT△BPQ中，∵PQ＝10，∠BQP＝90°，∠B＝30°，∵tan B＝，∴＝，∴BQ＝10，在RT△APQ中，∠AQP＝90°，∠P AB＝45°，∴APQ＝90°﹣∠P AB＝45°，AQ＝PQ＝10，∴AB＝BQ+AQ＝10+10．答：A、B之间的距离为（10+10）米．（2）如图作AE⊥BC于E．在RT△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝30°，AB＝10+10，∴AE＝AB＝5+5，∵∠CAD＝75°，∠B＝30°，∴∠C＝45°，在RT△CAE中，sin C＝，∴＝，∴AC＝（5+5）＝5+5，答：AC的长为（5+5）米．8．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE，在Rt△CDE中，DE＝CE•tan∠DCE＝6×tan30o＝2（米），∴点F到地面的距离为2米；（2）∵斜坡CF的坡度为i＝1：1.5．∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），∴FD＝EG＝（3+6）（米）．在Rt△BCE中，BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60o＝6（米），∴AB＝AD+DE﹣BE＝3+6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）．答：宣传牌的高度约为4.3米．9．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30°，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60°，求楼AB的高．【解答】解：在Rt△ABC中，设AB＝x，则AC＝2x，BC＝＝x，则BD＝（x﹣20）米，在Rt△ABD中，＝tan60°，＝，∴x＝10．答：楼AB的高为10米．10．如图，为测量一座地标性高楼的高度，小明在A点处测得楼顶D点的仰角为60°，在B点处测得楼顶D点的仰角为30°，A、B、C三点在一条直线上，已知AB＝40m，小明的眼睛离地面为1.6m，求楼的高度．【解答】解：在Rt△DEF中，∵∠DFE＝60°，∴EF＝DE，在Rt△DEG中，∵∠DGE＝30°，∴EG＝DE，∴GF＝EG﹣EF＝DE﹣DE＝（﹣）DE，又∵GF＝AB＝40m，∴（﹣）DE＝40，解得：DE＝60，∴DC＝DE+EC＝60+1.6＝61.6（米），即楼的高度为61.6米．11．小军家附近有一棵侧柏，小军和小明计划利用所学过的知识测量侧柏的高度．阳光明媚的周末，小军和小明带着测量工具来到侧柏前．测量方法如下：如图，首先，小军沿侧柏的影子BD移动，当恰好移动到C处时发现小军的影子顶端与侧柏的影子顶端D重合，测得小军身高CE＝1.6米，影长CD＝2.4米．然后，小军在C处半蹲，小明在BC上竖立高2米的标杆，并沿BC移动，当标杆移动到点H时，小军的眼睛F、标杆顶端G与侧柏顶端A恰好在一条直线上，此时测得小军眼睛到地面的距离CF＝1米，HC＝1.4米．已知点B、H、C、D在一条直线上，点E、F、C在一条直线上，AB、GH、EC均垂直于BD，请你根据题中提供的相关信息，求出这棵侧柏的高AB．【解答】解：过F点作FM⊥AB于M，交HG于点N，则MF＝BC，NF＝HC＝1.4，MB＝CF＝NH＝1，NG＝HG﹣NH＝1，∵∠AMF＝∠GNF，∠AFM＝∠GFN，∴△AMF∽△GNF，∴，即，∴BC＝1.4AB﹣1.4．∵∠ABD＝∠ECD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴，即，∴3AB＝2BC+4.8，∴3AB＝2（1.4AB﹣1.4）+4.8，∴AB＝10，∴这棵侧柏的高AB为10米．12．如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A点处测得古树顶端D的仰角为30°，在这棵古树的正前方C处，测得古树顶端D的仰角为60°，在A点处测得C点的俯角为30°．已知BC为4米，且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求平房AB的高度；（2）请求出古树DE的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝4m，∠ACB＝30°，∴tan30°＝，∴AB＝m．（2）在Rt△ACB中，易知AC＝2AB＝m，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠DAC＝60°，∴CD＝AC＝8，在Rt△CDE中，sin60°＝，∴DE＝4m．13．揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点A为揽月阁的顶部，点B为揽月阁的底部，小明在点C处放一水平的平面镜，然后沿着BC方向向前走0.5米，到达点D处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端A的像．接下来小明不动，小丽在C处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端P、揽月阁的顶端A、小明的眼睛E在一条直线上，此时测得测量杆的高度CF ＝1.98米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离DE＝1米，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BD，CF ⊥BD，DE⊥BD，求揽月阁的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）【解答】解：延长AE交BC的延长线于H，由题意知∠ACF＝∠ECF，∵AB⊥BD，CF⊥BD，DE⊥BD，∴∠BCF＝∠DCF＝∠ABC＝∠EDC＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∵CD＝0.5，DE＝1，∴＝，∴AB＝2BC，∵AB⊥BD，CF⊥BD，DE⊥BD，∴ED∥FC∥AB，∴△HFC∽△HAB，△HED∽△HFC，∴＝，＝，设BC＝x，HD＝y，则AB＝2x，HB＝x+y+0.5，HC＝y+0.5，，解得：x＝49.5，∴AB＝99（米）答：揽月阁的高度AB为99米．14．如图，某中学操场边有一旗杆A，小明在操场的C处放风筝，风筝飞在图中的D处，在CA的延长线上离小明30米远的E处的小刚发现自己的位置与风筝D和旗杆的顶端B在同一条直线上，小刚在E 处测得旗杆顶点B的仰角为α，且tanα＝，小明在C处测得旗杆顶点B的仰角为45°．（1）求旗杆的高度．（2）此时，在C处背向旗杆，测得风筝D的仰角（即∠DCF）为48°，求风筝D离地面的距离．（结果精确到0.1米，其中sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∵tanα＝＝，∴设AB＝xm，则AE＝2xm，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝xm，∴EC＝AE+AC＝30，即：2x+x＝30，解得：x＝10，答：求得旗杆高度为10米；（2）过D作DG⊥AF于点G，在Rt△DEG中，tanα＝＝，设DG＝ym，则EG＝2ym，∴CG＝2y﹣30，∵tan∠DCG＝，∴DG＝CG×tan∠DCG，∴y＝（2y﹣30）×tan48°，∴y＝1.11×（2y﹣30），解得：y≈27.3，答：求得风筝D离地面的距离为27.3米．15．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，AC的坡度i＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．【解答】解：（1）如图，设DE＝x米，∵AB＝DF＝2米，∠ACB＝30°，∴EF＝（x﹣2）米，AC＝2AB＝4（米），∵∠ECD＝60°，∴△ACE是直角三角形，∵AF∥BD，∴∠CAF＝30°，∴∠CAE＝60°，∠AEC＝30°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝2AC＝8（米），在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，∴EF＝AE＝4（米），即x﹣2＝4，解得x＝6，即树DE的高度为6米；（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM＝BP＝3米，由（1）知CD＝CE＝×AC＝2（米），BC＝2（米），∴PD＝BP+BC+CD＝（3+2+2）米＝（3+4）米，∵∠NDP＝45°，且∠NPD＝90°，∴NP＝PD＝（3+4）米，∴NM＝NP﹣MP＝（3+4﹣2）米＝（1+4）米，即食堂MN的高度为（1+4）米．16．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）【解答】解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF＝BC＝10米，∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴AE＝50米，∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF＝＝20≈35米，∴AD＝AE+EF+FD＝95米；（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100＝105000米3．17．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．（1）求坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）．【解答】解：（1）设AE＝5x米，∵斜坡AB的坡比为i＝1：，∴BE＝12x米，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴BE＝12x＝24（米）；（2）过点F作FG⊥AD于G，则四边形FGEB为矩形，∴FG＝BE＝24米，BF＝GE，在Rt△AFG中，∠F AG＝53°，∴AG＝≈≈18.0（米），由（1）可知，AE＝10米，∴BF＝GE＝AG﹣AE≈8（米），答：BF至少是8米．18．每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）【解答】解：（1）在Rt△ADB中，AB＝30m，∠ABC＝60°，sin∠ABC＝，∴AD＝AB•sin∠ABC＝30×sin60°≈26.0（m）答：AD等于26.0米；（2）在Rt△ADB中，cos∠ABD＝，∴DB＝AB•cos∠ABD＝30×cos60°＝15（m），连接BE、过E作EN⊥BC于N，∵AE∥BC，∴四边形AEND为矩形，NE＝AD≈26.0，在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当EBN＝45°时，BN＝EN＝26.0，∴AE＝ND＝BN﹣BD＝11.0（m），答：AE至少是11.0 m．19．如图：某水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高BH为20米，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡角为45°．求（1）斜坡AB的坡角；（2）坝底宽AD（精确到1米）．（参考数据：，）【解答】解：（1）斜坡AB的坡角是∠A，即tan∠A＝i．（1分）∵i＝1：，∴tan∠A＝．（1分）∴∠A＝30°．（1分）（2）过点C作CG⊥AD，垂足为点G．由题意可知：BH＝CG＝20（米），BC＝HG＝6（米）．（2分）。
中考专题训练(解直角三角形应用题)—解析版
答：这两座建筑物顶端 C 、 D 间的距离为 20 39m ．
【解答】解：过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，由题意得： BCD = 30 ，设 BC = x ，则：
在 RtBCD 中， BD = BC sin 30 = 1 x ， CD = BC cos 30 = 3 x ；
2
2
AD = 30 + 1 x ， 2
则 AD = AE + EB = 20 3 + 20 = 20( 3 + 1)(m) ，
在 RtADC 中， A = 30 ， DC = AD = (10 + 10 3)m ．
2 答：塔高 CD 为 (10 + 10 3)m ．
测得屋檐 E 点的仰角为 60 ，房屋的顶层横梁 EF = 12m ， EF / /CB ， AB 交 EF 于点 G （点 C ， D ， B 在同一
∴tan30°＝ x ， x+6
解得 x≈8.22， 根据题意可知： DM＝MH＝MN+NH， ∵ MN＝AC＝10， 则 DM＝10+8.22＝18.22， ∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）． 答：建筑物 CD 的高度约为 19.8m．
9．（2020·四川眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为 20 米的发射塔 AB ，如 图所示，在山脚平地上的 D 处测得塔底 B 的仰角为 30 ，向小山前进 80 米到达点 E 处，测得塔顶 A 的仰角为 60 ，求小山 BC 的高度．
AD2 + CD2 = AC 2 ，即： (30 + 1 x)2 + ( 3 x)2 = 702 ，
2019-2020年九年级数学中考专题练习 解直角三角形50题(含答案)
2019-2020年九年级数学中考专题练习解直角三角形50题（含答案）一、选择题：1.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )A.20米B.10 米C.15 米D.5 米2.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（）A. B. C. D.3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关5.当锐角α>30°时，则cosα的值是（）A.大于B.小于C.大于D.小于6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为（）A.1B.C.D.7.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A.2mB.2mC.(2﹣2)mD.(2﹣2)m8.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A. B. C. D.10.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米211.已知∠A为锐角，且sinA≤0.5，则（）Ａ.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90°12.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（）A.0.4B.C.0.6D.0.813.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A.22.48B.41.68C.43.16D.55.6314.2sin60°的值等于（）A.1B.C.D.15.在Rt△ABC中，∠ABC=90°、tanA=，则sinA的值为（）A. B. C. D.16.已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α＜90°17.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端O点30米的B处，测得树顶4的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )A.米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米18.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA的值为（）A. B. C. D.19.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.kmB.kmC.kmD.km20.如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为35°,高CD长为3米,则斜梁AC长为（）米．A. B. C.3sin35° D.二、填空题：21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin= ．22.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）23.如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为米．（保留根号）24.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．25.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．26.如图，李明在一块平地上测山高，现在B出测得山顶A的仰角为30°，然后再向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为60°，那么山高AD为米．27.如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=5,BC=6,则sinC= ．28.某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米，那么他上升的高度是米．29.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为米.30.同角三角函数的基本关系为：(sinα)2+(cosα)2=1, =tanα.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα=2,则= ．31.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan ∠OBC为32.如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处．使斜边CD∥AB，则∠a的余弦值为__________．33.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosC= ．34. (1)如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=，tanβ=，则ɑ+β= ；(2)如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ-β.此时ɑ-β= 度.35.如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为．36.在△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AB=13，则sinA= ．37.如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则sinB的值是．38.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF.以下结论：(1)△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为12.其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．39.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为．40.如图,等腰△ABC中,AB=AC，tan∠B=，BC=30,D为BC中点,射线DE⊥AC.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A′,点B的对应点为B′）,射线A′B′分别交射线DA、DE于M、N.当DM=DN时,DM长为．三、解答题：41.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=，求sinC的值．42.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）43.先化解,再求值:，已知，.44.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小刘在与BC相距24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小刘的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）45.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1．6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0．8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）46.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．47.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）48.如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面32米处要再盖一栋30米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为37°时，求新楼的影子在居民楼上有多高？（参考数值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）49.如图，在东西方向的海岸线l有一长为2km的码头AB，在码头的西端A的正西29km处有一观测站P，某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于P的南偏西30°，且与P相距30km 的C处；经过1小时40分钟，又测得该轮船位于P的南偏东60°，且与P相距10的D处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么该轮船能否正好行至码头AB靠岸？请说明理由．50.在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由参考答案1.A2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.D9.D10.D11.C12.D13.B14.C15.A16.B17.C18.C19.B20.D21.答案为：0.5．22.答案为：（5+5）．23.答案为：10．24.答案为：。