正切函数的性质和图象.docx
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1?4. 3正切函数的性质和图
象
荥阳市第二高级中学
王青琴
【学习目标】
1 ?通过预习，能根据止切函数定义，诱导公式，止切线从“数”的角度，推出止切函数性质;
2.通过师生合作，能根据止切函数的性质与止切线，画出止切函数的图象；
3.通过师生合作，能根据正切函数的图彖和性质解决相关问题。
【学习重点】
1?正切函数的图象与性质；
2.利用正切函数图象与性质解决问题
【学习难点】
利用正切矗研究正切函数的单调性及值域
【学习方法】自主探究合作交流
【学习思想】类比、数形结合、整体代换、转化
【学习过程】
一、温故知新
1、正切的定义式是什么？
tan a =工（x H 0）
即：角日的终边不能落在y轴上
即：使tan a有意义的角a的集合为 ___________________
2、正弦，弦函数的相关性质有哪些？
思考？正切函数y二tanx是否有这样的性质呢？二、新知探究
探究1：根据正切函数丫二tanx定义，诱导公式，正切线推导正切函数的相关性质。
问题1.正切函数y二tanx的定义域是什么?
结论：正切函数定义域为：___________________ ,
问题2、你能根据诱导公式，判断正切函数是不是周期函数吗？
结论：正切函数的最小正周期为________________
问题3、你能根据诱导公式，判断正切函数的奇偶性吗？
结论：正切函数为____________ 函数
/ It It \
问题4?你能利用正切线，研究正切函数在一个周期内 m 的单调性吗?
结论： _________________________________________
7T 71
问题5.观察正切线：当x 大于一亍冃无限接近一亍时，正切值如何变化？
71 71
当X 小于3 口无限接近3时，正切值又如何变化？
结论：正切函数的值域是 ____________
探究2：利用正切线做出正切函数的图象. 问题1.类比正弦函数图象画法，你能利用正切线，画出y 二tanx 在（-咚，咚 2 2 问题2.根据正切函数周期性，你能画岀在其整个定义域内的图象吗? 利用正切线
作“心，*特的图象
思考？
正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么?
三、利用性质解题
例题1 ?求函数…吟耳）的定义域、周期和单调区间。
变式训练：求函数7 = 3 tan 2/-宁
的定义域,周期，单调区间. \ 4丿
、内的图象吗?
/
小结：运用______ 的数学思想求y = A tan hvx + cp）的定义域，周期，单调性。例题2：比较tan 138°与tan 143°的大小变式训练：比较谕7 g 7大小
小结：比较两正切值大小的方法
(1) 运用三角函数的 __________ 将角转化到同一单调区间内；
(2) 运用 __________ 比较大小关系。
【课堂达标训练】
7T
1、下列断数中，同吋满足⑴在(0, —)上递增，⑵以2龙为周期,(3)是奇函数的是 ( )
2
3、函数y = tan(^- x)的递减区间是 _____________________ 四、课堂小结与收获 1 .正切函数的性质：
定义域： ________________ 值域： ___________________________ 周期性： ________________ 奇偶性： _________________________ 单调性：________________
2?数学思想方法： _______ , _________ , _______ , __________
五、布置作业
1 ?必做题：课木习题A 组第6题、第8题。
2?选做题：课木习题B 组第2题.
六、拓展延伸
1. (1)求函数—-—的定义域 ____________________ tanx —1
(2)函数y 二Jsinx + Vtanx 的定义域为 ________________
2.类比正弦函数，你能得到y = A tan {wx + ?)的周期公式为____________ 对称中心是 ___________ 七、课后反思 (A) y = tan x (B) y = cosx (C) y = tan* 兀 (D) y = - tan x
7T 2^函数y = tan(——兀)的定义域
为
4
(A){x I X H —,X G R} 4
71 (C){x \ x k7r + — ,x e R,k Z} (B){x I X H ---- ,X G R} 4 (D){x \x^kn ，兀 e R,k e Z}
正切函数的图像与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象 整体设计 教学分析 本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法. 通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果. 由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法. 三维目标 1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力. 2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力. 3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心. 重点难点 教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用. 教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学
正切函数的性质与图象
1．4.3正切函数的性质与图象 学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期. 2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性. 3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．
知识点 正切函数的性质 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭ ⎫x ∈R 且x ≠k π＋π 2，k ∈Z 的图象与性质见下表：
1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × ) 提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦ ⎤－π2，π 2上单调递增．( × ) 提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π 2时，y ＝tan x 无意义. 题型一 正切函数的定义域、值域问题
例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ π6－x 4的定义域为________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 ⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪ ⎪ x ≠－4π 3－4k π，k ∈Z 解析 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π 3 －4k π，k ∈Z ， 即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－4π 3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π 3＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域、值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π 2，k ∈Z ， 得x ≠k π3＋π 18 ，k ∈Z ， 所以函数的定义域为⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π3＋π 18 ，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝ ⎛⎭⎫3x ＋π 3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥3 4， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线． (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ tan x ＋1≥0， 1－tan x >0， 即－1≤tan x <1. 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭ ⎫－π4，π 4.
正切函数和余切函数的图像与性质(二)(学生版)
年级：高一辅导科目：数学课时数：课题正切函数和余切函数的图像与性质 1、让学生掌握正切函数的图像，性质 教学目的 2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等 教学内容 【知识梳理】 正切函数y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线” 2 余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的图象（余切曲线） 正切函数的性质： 1．定义域：x | x k , k z ， 2 2．值域： R 3．当xk , k k z 时y0 ，当x k, k k z 时y 0 22 4．周期性：5．奇偶性：T tan x tan x 奇函数 6．单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增 22 余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的性质： 1．定义域：x R且x k , k z 2．值域： R，
3．当 xk , k k z 时 y 0 ，当 x k , k k z 时 y 0 2 2 4．周期： T 5．奇偶性：奇函数 6．单调性：在区间 k , k 1 上函数单调递减 【典型例题分析】 例 1、用图象解不等式 tan x 3 。 变式练习： tan x 1。 例 2、作出函数 y tan x , x 0,2 且 x , 3 的简图 1 tan 2 x 2 2 例 3、求下列函数的定义域。 cot x cot x csc x 1、 y 2、 y tan x 1
变式练习：求下列函数的定义域。 （1）y cos x tan x； （2） y log2 (cot x1) 1 （ 3）y 1 tan x 例 4、求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 3 变式练习：画出函数y cot( x)tan x 的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。 2
第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版
第8讲 正切函数图像及其性质 知识梳理 1、正切函数的图像： 可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈， 且()2 x k k Z π π≠+ ∈的图像，称“正切曲线”. 由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2 x x k k Z π π≠+∈， （2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞ 当x 从大于 ，时，tan x →-∞. （3）周期性：T π= （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- 2,2ππ()z k k ∈+ 2 π π2 π +π−→−k x ()z k k ∈+ππ 2 ππ k x +−→ −2 x y y x
（5）单调性：在开区间(,), 22 k k k Z ππ π π -++∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0, 2 k k Z π ⎛⎫ ∈ ⎪ ⎝⎭ 2、余切函数的图象： ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - - = ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - = = 2 tan 2 tan cot π π x x x y 即将x y tan =的图象，向左平移 2 π 个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象 由余弦函数图像可知： （1）定义域：{|()} x x k k Z π ≠∈， （2）值域：R （3）周期性：Tπ = （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(,), k k k Z πππ +∈内，函数单调递增.
正切函数的性质和图象.docx
正切函数的性质和图象.docx 1?4. 3正切函数的性质和图 象 荥阳市第二高级中学 王青琴 【学习目标】 1 ?通过预习，能根据止切函数定义，诱导公式，止切线从“数”的角度，推出止切函数性质; 2.通过师生合作，能根据止切函数的性质与止切线，画出止切函数的图象； 3.通过师生合作，能根据正切函数的图彖和性质解决相关问题。 【学习重点】 1?正切函数的图象与性质； 2.利用正切函数图象与性质解决问题 【学习难点】 利用正切矗研究正切函数的单调性及值域 【学习方法】自主探究合作交流 【学习思想】类比、数形结合、整体代换、转化 【学习过程】 一、温故知新 1、正切的定义式是什么？ tan a =工（x H 0） 即：角日的终边不能落在y轴上 即：使tan a有意义的角a的集合为 ___________________ 2、正弦，弦函数的相关性质有哪些？ 思考？正切函数y二tanx是否有这样的性质呢？二、新知探究 探究1：根据正切函数丫二tanx定义，诱导公式，正切线推导正切函数的相关性质。 问题1.正切函数y二tanx的定义域是什么?
结论：正切函数定义域为：___________________ , 问题2、你能根据诱导公式，判断正切函数是不是周期函数吗？ 结论：正切函数的最小正周期为________________ 问题3、你能根据诱导公式，判断正切函数的奇偶性吗？ 结论：正切函数为____________ 函数 / It It \ 问题4?你能利用正切线，研究正切函数在一个周期内 m 的单调性吗? 结论： _________________________________________ 7T 71 问题5.观察正切线：当x 大于一亍冃无限接近一亍时，正切值如何变化？ 71 71 当X 小于3 口无限接近3时，正切值又如何变化？ 结论：正切函数的值域是 ____________ 探究2：利用正切线做出正切函数的图象. 问题1.类比正弦函数图象画法，你能利用正切线，画出y 二tanx 在（-咚，咚 2 2 问题2.根据正切函数周期性，你能画岀在其整个定义域内的图象吗? 利用正切线
高数—10春—07—正切函数图像及其性质—-学生版
高一数学春季班（学生版）
1、角的正切线： 2、正切函数的图像： 可选择⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- 2,2ππ的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈， 且()2 x k k Z π π≠+ ∈的图像，称“正切曲线”. 由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2 x x k k Z π π≠+∈， （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π，2 π +π−→−k x 时，tan x →+∞ 当x 从大于 ()z k k ∈+ππ 2 ，ππ k x +−→ −2 时，tan x →-∞. x y 2π - 2 πy 2 π- π2 3 π2 3-2 πx 正切函数的图像与性质 知识梳理
（3）周期性：T π= （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(, ),2 2 k k k Z π π ππ- ++∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 3、 余切函数的图象： ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y 即将x y tan =的图象，向左平移 2 π 个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象 由余弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}x x k k Z π≠∈， （2）值域：R （3）周期性：T π= （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(,),k k k Z πππ+∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭
正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用； 教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念： （1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot =的函数称为余切函数； y x 2.函数的图像和性质： （1）正切函数的图像： 见正切函数图像课件。 （2）正切函数图像： -
（3）与切函数的图像： 归纳填表格：
例1.求下列函数的周期： （1）tan(3)3y x π =-+； （2）221tgx y tg x = +； （3）cot tan y x x =-； （4）2 2tan 21tan 2 x y x = -； （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭ 例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24 y x π =++；
（2）tan()123x y π =-+-； （3 ）12log cot y x ⎛= ⎝ ⎭ 例3.求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ； （2 ）y = （3 ）y = 例4.（1 ）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域； （2 ）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044x x ππ +-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1 [0,],[0,]34x a π∈∈ 时，函数max y =a 的值；
例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π ∈≠。 求证：1212()()()22f x f x x x f ++>。
完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结
完整版)最全三角函数的图像与性质知识 点总结 三角函数的图像与性质 一、正弦函数、余弦函数的图像与性质 正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是闭区间[-1,1]。正弦函数在2kπ-π≤x≤2kπ和2kπ+π≤x≤2(k+1)π这两个区间内递增，在其余区间内递减；余弦函数在 2kπ≤x≤2kπ+π和2kπ+π≤x≤2(k+1)π这两个区间内递减，在其余区间内递增。正弦函数是奇函数，对称中心为(kπ,0)(k∈Z)，最大值为1，最小值为-1；余弦函数是偶函数，对称中心为(kπ+,0)(k∈Z)，对称轴为x=kπ，最大值为1，最小值为-1.它们的最小正周期均为2π。 二、正切函数的图像与性质
正切函数的定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为实数集R。在kπ-π/2 正切函数 (1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x cos sin --=tanx (其中x ≠k π+2π ,k ∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=x x cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0, 从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π ).利用单位圆中的正切线，通 过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如下图. y=tanx 2.余切函数的图像如下： y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx 注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个 定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切 线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点： (1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2) 正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域. 例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间. 分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像. 解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π ］ -tanx,x ∈(k π-2π ,k π)(k ∈Z) 所以其图像如下图，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π ,k π］ (k ∈Z). 正切函数图像与性质 正切函数图像具有以下特征： 1. 正切函数的图像是一条对称的曲线，其右半部分的负切值的图像与左半部分的正切值的图像是对称的； 2. 正切函数在每个有限点上都是单调递增或单调递减的； 3. 在正切函数的图像上存在许多切线，这些切线都是斜率为1 或-1的直线； 4. 正切函数的图像在有限点处的斜率始终为正无穷或负无穷； 5. 当x=0时，正切函数的y值为0。 正切函数在数学中是一种常用的函数，其定义域是R上的所 有实数，其值域是实数平面上的所有实数。正切函数可以表示为：y = tan(x)，也可以表示为：τ（x）= arcsin(x/r)，其中r> 0。 正切函数的图像具有以上介绍的特征，它的图像是渐近于直线的弧形，其曲线上的有限点处的斜率始终是正无穷或者负无穷，该函数的导数为一个定值，即1。正切函数的应用极其广泛， 可以应用于求反三角函数的值，解决方程，以及求解变化率等问题。 正切函数的作图过程也比较简单，首先可以根据加减性，可以将其分割为正切函数和负切函数两部分，因此可以根据函数的值进行作图。另外，由于正切函数具有特殊的性质，因此可以利用已知的部分信息来求出未知的参数。例如，由于正切函数中每隔π/2就会发生一次拐点，因此我们可以利用已知的拐点 位置，与坐标轴的垂直平分线来求出函数图像的形状。 正切函数的应用也是多种多样的，可以用于对三角形的求解以 及求出变化率等问题。而且，正切函数的应用也不仅局限于几何数学中的绘图，它的应用也是广泛的，例如在自动控制、机械工程、统计学等学科中，都可以看到它的身影。因此，学习和了解正切函数是非常必要的。 《正切函数的性质与图象》基础梳理 一、 正切函数的性质 1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值 域为R ． 2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内 都是增函数． 练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －π4，π4上的值域为[－1，1]． 思考应用 1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？ 解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝ π4，x 2＝5π 4 ，x 1 2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以 得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π 2 (k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋ π 2 (k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线． 3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2 ，π2上的简图． 1.4.3 正切函数的性质与图像 编者: 审核：学生： 学习目标 会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。 学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。 自学导引 正切函数的图象和性质 (1)图象：如下图所示． (2)性质：如下表所示 函数 性质 y＝tan x 定义域 值域 周期 奇偶性________函数 单调性增区间______________(k∈Z) 减区间无 仔细观察正切函数的图象，完成下列问题． (1)正切函数的图象有________条渐近线，它们的方程为x＝__________(k∈Z)．相邻两条渐 近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． (2)正切函数的图象是中心对称图形，对称中心有________个，它们的坐标是__________ (k∈Z)；正切函数的图象不是轴对称图形，不存在对称轴． (3)函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________. 典例剖析 与正切函数有关的定义域问题 例1求函数y＝tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 规律方法求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线． 变式训练1求下列函数的定义域． (1)y ＝1 1＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )． 正切函数的单调性及周期性 例2 求函数y ＝tan 1()24 x π - +的单调区间及周期． 规律方法 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－ π 2 ＋k π<ωx ＋φ<π 2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 变式训练2 求函数y ＝tan 23x π⎛⎫ - ⎪⎝ ⎭ 的单调区间及周期． 比较正切函数值的大小 例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小． (1)tan 65π⎛⎫- ⎪⎝⎭与tan 137 π ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ ；(2)tan 2与tan 9. 规律方法 比较两个函数值的大小， 只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为, 2 2k k π π ππ⎛⎫ -++ ⎪⎝⎭ ，k ∈Z .故在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭和3,22ππ ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上都是增函数． 变式训练3 比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280°)与tan 1 680°；(2)tan 1，tan 2，tan 3. 第 14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ωϕ=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1 ） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y [].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0tan167与0tan173； ② 11tan 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭与13tan 5π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3y x π=+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4y x π =-的单调区间 考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1()lg tan 1x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知34x ππ- ≤≤,2()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且求相 应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4tan(π -=x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,42π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,4 3ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,42ππ 讲解新课：正弦、余弦函数的图象 （1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线 第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角 6 , 0π ， 3π，2 π ,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象. 把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨 迹就是正 弦函数y=sinx 的图象. （2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移 2 π 单位即得余弦函数y=cosx 的图象. y=cosx y=sinx π 2π 3π 4π 5π 6π-π -2π -3π -4π -5π -6π -6π -5π -4π -3π -2π -π 6π5π 4π 3π 2π π -1 1 y x -11 o x y （3）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π ,-1) (2,0) 余弦函数y=cosx x [0,2]的五个点关键是哪几个(0,1) ( 2 π ,0) (,-1) ( 2 3π ,0) (2,1) 讲解范例： 例1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx 探究 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象 小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 探究 如何利用y=cos x ，x ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ， x ∈〔0，２π〕的图象 小结：这两个图像关于X 轴对称。 探究 如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象 小结：先作 y=cos x 图象关于x 轴对称的图形，得到 y ＝-cosx 的图象， 再将y ＝-cosx 的图象向上平移2个单位，得到 y ＝2-cosx 的图象。 讲解新课： 正弦、余弦函数的性质(一) 1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有： f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2 （一般称为周期）；从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =， x R ∈的最小正周期为2π； 要点：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2|| T πω= 5．4.3 正切函数的性质与图象 [目标]y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题． [重点] 正切函数的性质． [难点] 正切函数的图象、性质及其应用． 知识点一 正切函数y ＝tan x 的图象 [填一填] 正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线． [答一答] 1．正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π 2 ，k ∈Z 有公共点吗？ 提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π 2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成 的． 2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π. 3．观察正切函数曲线，写出满足以下条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为{x |x ＝k π，k ∈Z }． (2)满足tan x <0的集合为{x |k π－π 2 知识点二 正切函数y ＝tan x 的性质 [填一填] (1)定义域是{x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z }． (2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是奇函数． (5)单调性：正切函数在开区间(k π－π2，k π＋π 2 )，k ∈Z 内是增函数． (6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是(k π 2 ，0)(k ∈Z )，正切函数无对称轴． [答一答] 4．y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？ 提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π，π 2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数，但在整个定义域上 不具有单调性． 5．正切函数图象与x 轴有无数个交点，交点的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，这种说法对吗？ 提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π，0)对称，还关于点(π 2＋k π，0)(k ∈Z )对称， 因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π 2 ，0)(k ∈Z )． 类型一 利用正切函数图象求定义域及值域 [例1] 求以下函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭ ⎫x ＋π 4；(2)y ＝3－tan x . [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π 4 ，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪ ⎪⎭ ⎬⎫ x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3. 结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2 正切函数的性质与图象 【学习目标】 1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】 要点一：正切函数的图象 正切函数R x x y ∈=tan ， 且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象， 称“正切曲线” （1）复习单位圆中的正切线： A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2 ,2(π π- 的图象 步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π -的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8 π ）.分别在单位圆中作出正切线； ③把横坐标从2π-到2 π 也分成8份 ④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线． 由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2 ,2(π π-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2 π ）的图象. 要点二：正切函数的性质 1．定义域：⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ ， 2．值域：R 由正切函数的图象可知，当()2 x k k z π π< +∈且无限接近于 2 k π π+时，tan x 无限增大，记作 tan x →+∞ （tan x 趋向于正无穷大）；当()2 x k k z π π>-+∈，tan x 无限减小， 记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2 x k k z π π=+ ∈为正切函数的渐进线． 3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释： 观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心， 正切函数图象没有对称轴 5．4.3正切函数的性质与图象 考点学习目标核心素养正切函数的定义域与值域掌握正切函数的定义域、值域数学抽象 正切函数的单调性及应用 会利用正切函数图象研究其单调 性， 并利用单调性解决其相应问题 直观想象、 逻辑推理 正切函数的周期性与奇偶性掌握正切函数的周期性及奇偶性 逻辑推理、 数学运算 问题导学 预习教材P209－P212，并思考以下问题： 1．如何借助单位圆画正切函数图象？ 2．正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？ 3．正切函数在定义域内是不是单调函数？ 函数y＝tan x的图象与性质 解析式y＝tan x 图象 定义域 ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ x⎪⎪x≠ π 2＋kπ，k∈Z 值域R 最小正 周期 π 奇偶性奇函数 单调性在开区间 ⎝ ⎛ ⎭ ⎫ － π 2＋kπ， π 2＋kπ(k∈Z)上都是增函数 对称性对称中心 ⎝ ⎛ ⎭ ⎫ kπ 2，0(k∈Z) ■名师点拨 (1)正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内是增函数．不能说函数在其定 义域内是单调递增函数，无单调递减区间． (2)画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指(－π4，－1)，(0，0)，(π 4，1)，“两线” 是指x ＝－π2和x ＝π2，大致画出正切函数在(－π2，π 2)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲 线． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭ ⎫x ＋π 6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π－π 2，k ∈Z B ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z } C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π 6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π 3，k ∈Z 答案：D 函数y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π 4的最小正周期为( ) A.π 2 B ．π C ．2π D ．3π 答案：A 函数f (x )＝tan x 在[－π3，π 4]上的最小值为________． 答案：－ 3正切函数图象
正切函数图像与性质
正切函数的性质与图象基础梳理
正切函数图象与性质
正切函数图像及性质
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
知识讲解_正切函数的性质和图象_提高
5.4.3 正切函数的性质与图象