2020届河南省天一大联考高三上学期期末考试理科数学试题(带答案)
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评卷人
得分
二、填空题
13． 的展开式中，含 项的系数为______.
14．设实数 、 满足 ，则 的最大值为______.
15．已知长方体 的体积为 ， ， 平面 ，若点 到直线 的距离与到直线 的距离相等，则 的最小值为______.
16．已知函数 ，若函数 仅有 个零点，则实数 的取值范围为______.
【详解】
依题意 ，
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由题意可知 ，由 得出 ，可得出 ，由此可得出 ，进而得解.
【详解】
由题意可知 ，由 得出 ，
，即 ，因此， .
故选：C.
【点睛】
本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出 ，考查计算能力，属于基础题.
2020届河南省天一大联考高三上学期期末考试
理科数学试题
第I卷（选择题)
， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．设复数 ，则 （）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ， ，则 为（）
A． B． C． D．
4．近年来，随着 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用 的主要用途，随机抽取了 名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足 的大学生使用 主要玩游戏；
③可以估计使用 主要找人聊天的大学生超过总数的 .
其中正确的个数为（）
A． B． C． D．
5．记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则（）
A． B． C． D．
6．已知实数 、 、 满足 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
7．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（）
A． B．
C． D．
8．已知长方体 的表面积为 ， ，则该长方体的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
9．记双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线 的渐近线 上，点 、 关于 轴对称.若 ， ，其中 、 、 分别表示直线 、 、 的斜率，则双曲线 的离心率为（）
评卷人
得分
三、解答题
17．已知 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ， ， ， .
（1）求 的大小；
（2）求 的面积.
18．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.
（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在 （时）内的频率；
（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；
（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在 （时）内的周数为 ，求 的分布列以及数学期望.
19．如图，五面体 中， ，平面 平面 ，平面 平面 . ， ，点P是线段 上靠近A的三等分点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．已知点 、 分别是椭圆 的上、下顶点，以 为直径作圆 ，直线 与椭圆 交于 、 两点，与圆 交于 、 两点.
（1）若直线 的倾斜角为 ，求 （ 为坐标原点）的面积；
（2）若点 、 分别在直线 、 上，且 ，求直线 的斜率.
21．已知函数 ， .
4．C
【解析】
【分析】
根据利用 主要听音乐的人数和使用 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.
【详解】
使用 主要听音乐的人数为 ，使用 主要看社区、新闻、资讯的人数为 ，所以①正确；
23．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据并集的定义可求出集合 .
【详解】
依题意， .
故选：D.
【点睛】
本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算法则将复数 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出 .
因此， .
故选：A.
【点睛】
本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.
7．B
【解析】
【分析】
分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间 上的单调性，由此可得出正确选项.
【详解】
对于A选项，函数 的定义域为 ， ，该函数为奇函数，
A． B． C． D．
10．已知数列 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
11．已知函数 ， ， .若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
12．已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为 ，直线 、 与抛物线 分别交于 、 和 、 两点，其中直线 过点 ， ， .若 ，则当 取到最大值时， （）
A． B． C． D．
【详解】
依题意， ，故 ，即 .
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
6．A
【解析】
【分析】
利用幂函数的单调性得出 、 、 三个数的大小关系，利用对数函数的单调性得出 与 的大小关系，由此可得出 、 、 的大小关系.
【详解】
幂函数 在 上为增函数，且 ，即 ；
对数函数 在 上为增函数， .
使用 主要玩游戏的人数为 ，而调查的总人数为 ， ，故超过 的大学生使用 主要玩游戏，所以②错误；
使用 主要找人聊天的大学生人数为 ，因为 ，所以③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
由 可得出 ，再利用等差数列的基本性质可得出结果.
（1）若 ，判断函数 的单调性并说明理由；
（2）若 ，求证：关 的不等式 在 上恒成立.
22．已知平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且直线 与曲线 交于 、 两点.
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，点 ，求 的值.
高中数学 2022-2023学年河南省天一大联考高一(上)期末数学试卷
2022-2023学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．∀x <0，-x 2+5x -6<0B ．∀x <0，-x 2+5x -6≤0C ．∃x 0<0，−x 02+5x 0−6≤0D ．∃x 0<0，−x 02+5x 0−6<01．（5分）命题“∀x <0，-x 2+5x -6>0”的否定为（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）“xy >0”是“x >0，y >0”的（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.33．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∧（￢q ）C ．（￢p ）∨qD ．p ∧（￢q ）4．（5分）设命题p ：函数f （x ）=2x 在R 上为单调递增函数；命题q ：函数f （x ）=cos 2x 为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．15．（5分）用秦九韶算法计算函数f （x ）=x 4-2x 2+x -1，当x =1时的值，则v 3=（ ）A ．10B ．11C ．12D ．136．（5分）某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161，380]的人数为（ ）A ．X A >XB ，S A >S BB ．X A <X B ，S A >S BC ．X A >X B ，S A <S BD ．X A <X B ，S A <S B7．（5分）如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为X A 、X B ，样本标准差分别为S A ，S B ，则（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.58．（5分）为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如表，并由此计算得到回归直线方程̂y =0.85x −0.25，后来工作人员不慎将下表中的实验数据c 丢失．天数x /天34567繁殖个数y /千个c 34 4.56则上表中丢失的实验数据c 的值为（ ）A ．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B ．12月份人均用电量不低于20度的有500人C ．12月份人均用电量为25度D ．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为1109．（5分）供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A ．（x -1）2+（y -1） 2=4B ．（x -1） 2+（y -1） 2=5C ．（x -1） 2+（y -1） 2=6D ．（x -1） 2+（y -1） 2=810．（5分）在平面直角坐标系中，动圆C ：（x -1）2+（y -1）2=r 2与直线y +1=m （x -2）（m ∈R ）相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）A ．55B ．50C ．45D ．4011．（5分）中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π=3），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ）12．（5分）某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间（分钟）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）人数25501555二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．0.5B ．0.7C ．0.8D ．0.9公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y （元）与乘车时间t （分钟）的关系是y =200+40[t 20]，其中[t 20]表示不超过t20的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为（ ）13．（5分）如图，程序的循环次数为 次．14．（5分）已知椭圆x 281+y 225=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，椭圆上存在点P 使得|PF 1|=2|PF 2|，则|PF 1|= ．15．（5分）2021年夏天由于用电量增多，某市政府鼓励居民节约用电，为了解居民用电情况，在某小区随机抽查了20户家庭的日用电量，结果如表：日用电量（度）45689户数44732则关于这20户家庭的日用电量，下列说法：①中位数是6度；②平均数是6度；③众数是6度；④极差是4度；⑤方差是52．其中说法错误的序号是 ．16．（5分）已知直线y =ax 与圆C ：x 2+y 2-6y +6=0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为 ．17．（10分）根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．（1）焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）；（2）焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6．18．（12分）已知函数f （x ）=x 2+4x +p2+2，正数p 在集合M 上随机取值．（1）设M ={x ∈Z |0<x ≤5}，求方程f （x ）=0有实数根的概率；（2）设M ={x ∈R |0<x ≤5}，求f （x ）≥-1恒成立的概率．19．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185）100.100合计100 1.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．20．（12分）2015年我国将加快阶梯水价的推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本是指保证至少80%的居民用户用水价格不变，为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如图（单位：吨）．（1）从郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（2）设该城市郊区与城区的居民户数比为1：5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变，试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．21．（12分）已知集合A是函数y=lg（20-8x-x2）的定义域，集合B是不等式x2-2x+1-a2≥0（a>0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．22．（12分）设圆C1：(x−3)2+(y+2)2=4，圆C2：(x−5)2+(y+4)2=25，（1）判断圆C1与圆C2的位置关系；（2）点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，求|PA|+|PB|的最小值．。
河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(五)数学(理)试卷(附答案)
天一大联考 2018—2019学年高中毕业班阶段性测试（五）数学（理科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A ={0＞,|ln x e y y x=} ,B = {1＜＜1|x x -}，则=B A A.（0，+∞） B.(0,1) C.[0,1) D. [1, +∞)2.已知复数iiz -=12，则z 的共轭复数在复平面对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设n S 为数列{n a }的前n 项和，若332-=n n a S ,则=n a A. 27 B.81 C.93 D.2434.函数||||ln )(x x x x f =的大致图象为5.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等。
某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10,9,8,7环的概率分别为,,,,4321P P P P ，则下列选项正确的是A. 21P P = B. 321P P P =+C.5.04=P D. 3422P P P =+6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为 A. π7 B. π8 C.π9 D. π10 7.有5名学生需从数学建模、程序设计两门课中选择一门，且每门课至少有2名学生选择，则不同的选择方法共有A.10 种B.12种C.15 种D.20种8.已知)2<||0,>0,>()sin()(πϕωϕωA B x A x f ++=的图象如图所示，则函数)(x f 的对称中心可以为A. )0,2(πB. )1,6(πC. )0,6(π- D. )1,6(π-9.已知矩形ABCD 的对角线长为4,若3=，则=⋅ A. -2 B. -3 C. -4 D.-510.已知抛物线C: 82x y =，定点A(0,2)，B(0,-2)，点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则乙的取值范围为 A. ]4,0(πB. )2,4[ππC. ]3,0(πD. )2,3[ππ 11.设等差数列{na }的公差不为 0，其前n项和为 nS ，若2019)1()1(,2019)1()1(3201832018232-=-+-=-+-a a a a ,则=2019aA.OB.2C.2019D. 403812.设)('x f 是函数)(x f 的导函数，若0>)('x f ,且 )22f (<)()(),(,21212121x x x f x f x x R x x ++≠∈∀ , ，则下列选项中不一定正确的一项是A. )(<)(<)2(πf e f fB. )2('<)('<)('f e f f πC. )3(<)3(')('<)2(f f e f f -D. )2('<)2()3(<)3('f f f f - 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥+-≤-0202202y x y x x ,表示的平面区域的面积为 。
河南省天一大联考2024_2025学年高二数学上学期阶段性测试试题二文
河南省天一大联考2024-2025学年高二数学上学期阶段性测试试题（二）文考生留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－5x＋6≥0}，B＝{x|－1≤x<3}，则A∩B＝A.[－1，2]B.[－1，3]C.[2，3]D.[－1，＋∞)2.假如b<a<0，那么下列不等式错误的是A.a3>b3B.|b|>|a|C.ln2a<ln2bD.11 b a <3.命题“∀x∈[2，＋∞)，log2(x－1)>0”的否定为A.∀x∈[2，＋∞)，log2(x－1)<0B.∃x0∈[2，＋∞)，log2(x0－1)≤0C.∀x∈(－∞，2)，log2(x－1)<0D.∃x0∈(－∞，2)，log2(x0－1)≤04.“函数f(x)＝(2a－1)x是增函数”是“a>2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知{a n}是等差数列，且a2，a4038是函数f(x)＝x2－16x－2024的两个零点，则a2024＝A.8B.－8C.2024D.－20246.已知双曲线C，则该双曲线的实轴长为7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(a－b－c)(a－b＋c)＋ab＝0且sinA＝－12，则B＝A.2πB.3πC.4πD.6π 8.已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，点M(2，y 0)在抛物线C 上，⊙M 与直线l 相切于点E ，且∠EMF ＝3π，则⊙M 的半径为 A.23 B.43 C.2 D.83 9.函数y =f(x)的导函数y=f'(x)的图象如右图所示，则y =f(x)的图象可能是10.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，在(0，＋∞)上满意xf'(x)>f(x)，则下列肯定成立的是A.2024f(2024)>2024/(2024)B.f(2024)>f(2024)C.2024f(2024)<2024f(2024)D.f(2024)<f(2024)11.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x －ty ＝0与椭圆E 交于A ，B 两点。
2023-2024学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省天一大联考高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{1，m }，B ＝{2m ﹣2，1}，若A ＝B ，则实数m ＝（ ） A ．0B ．1C ．1或2D ．22．函数f(x)=√x −2+1x 2−1的定义域是（ ） A ．{x |x ≥2} B ．{x |0＜x ＜1或x ≥2} C ．{x |x ＞1}D ．{x |x ≠±1}3．已知命题“∀x ∈R ，x 2+2a ﹣1＞0”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．(−∞，12]C ．(−12，1)D ．(12，+∞)4．“a ＞1”是“函数f （x ）＝a x ﹣a （a ＞0且a ≠1）的图象经过第三象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数f(x)=1|x|−x 的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知函数f （x ）在区间（0，5）上单调递减，且f （x +5）＝f （﹣x +5），则（ ） A ．f （8）＞f （3）＞f （4） B ．f （3）＞f （8）＞f （4） C ．f （3）＞f （4）＞f （8） D ．f （4）＞f （3）＞f （8）7．已知函数f(x)=x 2+ax−3x是奇函数，且在区间[m ﹣1，m ]上的最大值为2，则m ＝（ ） A ．2或﹣1B ．﹣1C ．3D ．3或﹣18．已知函数f （x ）是三次函数且幂函数，g(x)=f(x)+2|x|+12|x|，则g （﹣2023）+g （﹣2022）+g （﹣2021）+…+g （0）+…+g （2021）+g （2022）+g （2023）＝（ ）A ．4047B ．8092C ．8094D ．9086二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知a ＞c ，a +b ﹣c ＝0，则（ ） A ．a +2b ＞c +bB ．ab ＜bcC ．a +b ＞a ﹣bD ．a ﹣2b ＞c ﹣b10．已知函数f （x ）＝（a ﹣1）a x 是指数函数，函数g(x)={f(x)，x ≤0，4x −4，x ＞0，则（ ）A ．f （x ）是增函数B ．g （x ）是增函数C ．g （g （﹣2））＝﹣3D ．满足不等式f （x ）＞g （x ）的最小整数是111．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f(xy)=y 3f(x)+x 3f(y)，f(12)=18，则（ ） A ．f （x ）＝x 3 B ．f （﹣2）＝8 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）为增函数12．已知函数f(x)={|x +1|，x ≤0|2x −2|，x ＞0且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列说法正确的有（ ）A ．f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上单调递减B ．直线y ＝a （a ≥1）与f （x ）的图象总有3个不同的公共点C ．x 1+x 2＝﹣2D ．x 3+x 4＜2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝b x ﹣1+3（b ＞0且b ≠1）的图象过的定点坐标为 ．14．已知幂函数f （x ）满足f(4)f(2)=3，则f(18)= ．15．科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m 与其游动速度v （单位：m /s ）的关系式为m ＝k •9v （k ＞0且k 为常数）．当这种鲑鱼的游动速度为2m /s 时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m /s ，则其耗氧量至少为 个单位．16．已知关于x 的一元二次不等式kx 2﹣2x +2＜0的解集为（a ，b ）（b ＞a ），则4a +b 的最小值为 ． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）已知5m ＝2，5n ＝3，求53m−2n2的值；（2）化简：4a 23b−13÷(−23a−13b−23)×16a−13b−13．18．（12分）已知函数f(x)=x−2x(x∈R+)．（1）用函数单调性的定义证明f（x）是增函数；（2）求不等式f(2x−22x)≥−1的解集．19．（12分）已知关于x的不等式2x2+（m﹣2）x﹣m＜0．（1）当m＞﹣2时，求该不等式的解集A；（2）在（1）的条件下，若集合B＝（m2+2m，m+2），且A∩B＝B，求m的取值范围．20．（12分）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合．已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第x（x∈N*）天每件的销售价格M（单位：元）满足M(x)={x+80，1≤x≤20，−x+120，20＜x≤30，第x天的日销售量N（单位：千件）满足N(x)=a+bx，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件．（1）求N（x）的解析式；（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第x天的日销售利润f（x）（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小．21．（12分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x2﹣x﹣1．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）设函数h（x）＝f（x）+2ag（x）+3a﹣1（a＞0），若对任意的x1∈[1，√2]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝h（x2）成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的图象可由函数y＝a x﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f（2）＝16．（1）求a的值；（2）若函数g(x)=f(x)f(x)+2，证明：g（x）+g（1﹣x）＝1；（3）若函数y1＝|f（x）+m|与y2＝|f（﹣x）+m|在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围．2023-2024学年河南省天一大联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A＝{1，m}，B＝{2m﹣2，1}，若A＝B，则实数m＝（）A．0B．1C．1或2D．2解：由题意可知m＝2m﹣2，解得m＝2．故选：D．2．函数f(x)=√x−2+1x2−1的定义域是（）A．{x|x≥2}B．{x|0＜x＜1或x≥2}C．{x|x＞1}D．{x|x≠±1}解：对于函数f(x)=√x−2+1x2−1，则有{x−2≥0x2−1≠0，解得x≥2，所以，函数f(x)=√x−2+1x2−1的定义域为{x|x≥2}．故选：A．3．已知命题“∀x∈R，x2+2a﹣1＞0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．(0，12]B．(−∞，12]C．(−12，1)D．(12，+∞)解：由题可知命题“∃x∈R，x2+2a﹣1≤0”为真命题，则得：∃x∈R，使得x2≤1﹣2a，因为：x2≥0，故1﹣2a≥0，得：a≤12．故B项正确．故选：B．4．“a＞1”是“函数f（x）＝a x﹣a（a＞0且a≠1）的图象经过第三象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：对于函数f（x）＝a x﹣a（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（0）＝1﹣a＜0，结合指数函数y＝a x（a＞1）的图象特征，可知f（x）的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立；对于函数f（x）＝a x﹣a（a＞0且a≠1），当0＜a＜1时，f（0）＝1﹣a＞0且f（x）单调递减，此时它不经过第三象限，当a＞1时，f（x）为增函数且f（0）＝1﹣a＜0，经过第三象限，故a＞1符合题意，必要性成立．综上所述，“a ＞1”是“函数f （x ）＝a x ﹣a （a ＞0且a ≠1）的图象经过第三象限”的充要条件． 故选：C ． 5．函数f(x)=1|x|−x 的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．解：当x ＞0时，f （x ）=1x−x ， 因为y =1x 和y ＝﹣x 在（0，+∞）上单调递减， 所以f （x ）=1x−x 在（0，+∞）上单调递减，排除选项A ，B ，D ，只有选项C 符合题意． 故选：C ．6．已知函数f （x ）在区间（0，5）上单调递减，且f （x +5）＝f （﹣x +5），则（ ） A ．f （8）＞f （3）＞f （4） B ．f （3）＞f （8）＞f （4） C ．f （3）＞f （4）＞f （8）D ．f （4）＞f （3）＞f （8）解：因为f （x +5）＝f （﹣x +5），所以f （8）＝f （3+5）＝f （﹣3+5）＝f （2）．因为f （x ）在区间（0，5）上单调递减，所以f （2）＞f （3）＞f （4），即f （8）＞f （3）＞f （4）． 故选：A ． 7．已知函数f(x)=x 2+ax−3x是奇函数，且在区间[m ﹣1，m ]上的最大值为2，则m ＝（ ） A ．2或﹣1B ．﹣1C ．3D ．3或﹣1解：由题可知f （﹣x ）＝﹣f （x ），即x 2−ax−3−x=−x 2+ax−3x，则2ax ＝0，a ＝0，所以f(x)=x −3x ．因为f （x ）在区间[m ﹣1，m ]上单调递增，所以f(m)=m −3m =2，解得m ＝3或﹣1． 故选：D ．8．已知函数f （x ）是三次函数且幂函数，g(x)=f(x)+2|x|+12|x|，则g （﹣2023）+g （﹣2022）+g （﹣2021）+…+g（0）+…+g（2021）+g（2022）+g（2023）＝（）A．4047B．8092C．8094D．9086解：因为f（x）是三次函数且是幂函数，所以f（x）＝x3，所以g(x)=x3+2|x|+12|x|=x32|x|+2．令ℎ(x)=g(x)−2=x32|x|，ℎ(−x)=g(−x)−2=(−x)32|−x|=−x32|x|=−ℎ(x)，则h（x）是奇函数，所以g（﹣2023）+g（﹣2022）+g（﹣2021）+⋯+g（0）+⋯+g（2021）+g（2022）+g（2023）＝h（﹣2023）+h（﹣2022）+h（﹣2021）+⋯+h（0）+⋯+h（2021）+h（2022）+h（2023）+4047×2＝[h（﹣2023）+h（2023）]+[h（﹣2022）+h（2022）]+[h（﹣2021）+h（2021）]+⋯+[h（﹣1）+h（1）]+h （0）+8094＝8094．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知a＞c，a+b﹣c＝0，则（）A．a+2b＞c+b B．ab＜bc C．a+b＞a﹣b D．a﹣2b＞c﹣b解：由a+2b＞c+b可知a+b﹣c＞0，与已知矛盾，所以A错误；由题可知b＝c﹣a＜0，则ab＜bc，所以B正确；a+b＞a﹣b等价于b＞0，与b＜0矛盾，所以C错误；a﹣2b＞c﹣b等价于a﹣c﹣b＞0，因为a＞c，所以a﹣c＞0，且﹣b＞0，所以a﹣c﹣b＞0，所以D正确．故选：BD．10．已知函数f（x）＝（a﹣1）a x是指数函数，函数g(x)={f(x)，x≤0，4x−4，x＞0，则（）A．f（x）是增函数B．g（x）是增函数C．g（g（﹣2））＝﹣3D．满足不等式f（x）＞g（x）的最小整数是1解：由题可知a﹣1＝1，解得a＝2，则f（x）是增函数，所以A正确；g(x)={2x，x≤0，4x−4，x＞0，当x＝0时，2x＝20＝1，4x﹣4＝﹣4，1＞﹣4，所以g（x）不是增函数，所以B错误；g(−2)=2−2=14，g(14)=4×14−4=−3，所以C 正确；由题易知只需考虑x ＞0的情况，将x ＝1代入可得不等式f （x ）＞g （x ）成立，所以最小整数是1，所以D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f(xy)=y 3f(x)+x 3f(y)，f(12)=18，则（ ） A ．f （x ）＝x 3 B ．f （﹣2）＝8 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）为增函数解：根据题意，依次分析选项：对于A ，对于f （xy ）＝y 3f （x ）+x 3f （y ），令x ＝y ＝1可得：f （1）＝f （1）+f （1），即f （1）＝0， 函数f （x ）＝x 3不满足f （1）＝0，A 错误；对于B ，对于f （xy ）＝y 3f （x ）+x 3f （y ），令x ＝y ＝﹣1可得：f （1）＝f （﹣1）+f （﹣1）＝2f （﹣1）， 又由f （1）＝0，则f （﹣1）＝0，再令x ＝﹣2，y =12，有f （﹣1）=18f （﹣2）﹣8f （12），又由f （12）=18，变形可得f （﹣2）＝8，B 正确；对于C ，令y ＝﹣1，有f （﹣x ）＝﹣f （x ）+x 3f （﹣1），则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）为奇函数，C 正确；对于D ，由于f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）不是增函数，D 错误． 故选：BC ．12．已知函数f(x)={|x +1|，x ≤0|2x−2|，x ＞0且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列说法正确的有（ ）A ．f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上单调递减B ．直线y ＝a （a ≥1）与f （x ）的图象总有3个不同的公共点C ．x 1+x 2＝﹣2D ．x 3+x 4＜2解：画出函数f(x)={|x +1|，x ≤0|2x−2|，x ＞0的大致图象，如图所示，A 选项，由图可知f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上单调递减，所以A 正确；B 选项，由图可知，当a ＝1时，直线y ＝a 与f （x ）的图象有3个不同的公共点， 当a ＞1时，直线y ＝a 与f （x ）的图象有2个不同的公共点，所以B 错误； CD 选项，令f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）＝b （0＜b ＜1），可得直线y ＝b 与f （x ）的图象有4个不同的交点，且交点横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4， 由图可知x 1+x 2＝﹣2，2−2x 3=2x 4−2，由基本不等式得，2x 3+2x 4=4≥2√2x 3⋅2x 4=2√2x 3+x 4， 所以x 3+x 4≤2，因为x 3＜x 4，所以x 3+x 4＜2，所以C ，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝b x ﹣1+3（b ＞0且b ≠1）的图象过的定点坐标为 （1，4） ．解：当x ﹣1＝0时，即x ＝1，f （1）＝b 0+3＝4，故f （x ）的图像恒过点（1，4）． 故答案为：（1，4）． 14．已知幂函数f （x ）满足f(4)f(2)=3，则f(18)=127．解：设幂函数f （x ）＝x α，α∈R ， 则f(4)f(2)=4α2α=2α=3，所以f(18)=(18)α=1(2α)3=127． 故答案为：127．15．科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m 与其游动速度v （单位：m /s ）的关系式为m ＝k •9v （k ＞0且k 为常数）．当这种鲑鱼的游动速度为2m /s 时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m /s ，则其耗氧量至少为 2700 个单位．解：由题可知8100＝k •92，解得k ＝100，当v ≥1.5时，m ≥100•91.5＝2700． 故答案为：2700．16．已知关于x 的一元二次不等式kx 2﹣2x +2＜0的解集为（a ，b ）（b ＞a ），则4a +b 的最小值为 9 ． 解：由题可知a ，b 是关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +2＝0的实数根，且k ＞0， 则{a +b =2k ab =2k ，所以a +b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，所以1a +1b =1， 所以4a +b =(4a +b)(1a+1b)=1+4+b a+4a b ≥5+2√b a ⋅4a b=9， 当且仅当b ＝2a ，即a =32，b ＝3时取等号． 故答案为：9．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）已知5m＝2，5n＝3，求53m−2n2的值；（2）化简：4a 23b −13÷(−23a −13b −23)×16a −13b −13． 解：（1）因为5m ＝2，5n ＝3，所以53m−2n2=53m 2−n=(5m )325n=2323=√83=2√23；（2）4a 23b −13÷(−23a −13b −23)×16a −13b −13=4a 23b −13×(−32a 13b 23)×16a −13b −13=4×(−32)×16a 23+13−13b 23−13−13 =−a 23．18．（12分）已知函数f(x)=x −2x(x ∈R +)． （1）用函数单调性的定义证明f （x ）是增函数； （2）求不等式f(2x −22x )≥−1的解集． 证明：（1）设∀x 1，x 2∈R +且x 1＞x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−2x 1)−(x 2−2x 2)=x 1−x 2+2x 2−2x 1=(x 1−x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(1+2x 1x 2)， 因为x 1＞x 2＞0，所以x 1﹣x 2＞0，1+2x 1x 2＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，所以函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增； （2）由（1）知f （x ）是增函数，f （1）＝﹣1， 所以不等式f(2x −22x )≥−1=f(1)转化为2x−22x ≥1， 化简得（2x ）2﹣2x ﹣2≥0，即（2x ﹣2）（2x +1）≥0，解得x ≥1， 所以不等式的解集为[1，+∞）．19．（12分）已知关于x 的不等式2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0． （1）当m ＞﹣2时，求该不等式的解集A ；（2）在（1）的条件下，若集合B ＝（m 2+2m ，m +2），且A ∩B ＝B ，求m 的取值范围． 解：（1）将不等式2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0变形， 可得（x ﹣1）（2x +m ）＜0， 因为m ＞﹣2， 所以−m2＜1， 所以不等式2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0的解集A =(−m2，1)； （2）由题可知B ⊆A ，所以{m 2+2m ＜m +2m 2+2m ≥−m 2m +2≤1，结合m ＞﹣2，解得m ∈∅，故m 的取值范围为∅（满足条件的m 不存在）．20．（12分）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合．已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第x （x ∈N *）天每件的销售价格M （单位：元）满足M(x)={x +80，1≤x ≤20，−x +120，20＜x ≤30，第x 天的日销售量N （单位：千件）满足N(x)=a +bx，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件． （1）求N （x ）的解析式；（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第x 天的日销售利润f （x ）（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小． 解：（1）由题可知{a +b2=13a +b 3=12，解得{a =10b =6．所以N(x)=10+6x (1≤x ≤30，x ∈N ∗)．（2）由题可得每件该产品的销售利润为P(x)={x +60，1≤x ≤20−x +100，20＜x ≤30， 所以第x 天的日销售利润f(x)=N(x)⋅P(x)={(10+6x )(x +60)，1≤x ≤20(10+6x )(−x +100)，20＜x ≤30， 即f(x)={10x +360x +606，1≤x ≤20−10x +600x +994，20＜x ≤30， 当1≤x ≤20时，f(x)=10x +360x +606≥2√10x ⋅360x +606=726，当且仅当10x =360x，即x ＝6时等号成立， 当20＜x ≤30时，f(x)=−10x +600x +994为减函数，所以f （x ）min ＝f （30）＝714＜726．故当x ＝30时，f （x ）取得最小值714，即开幕式后的第30天的日销售利润最小．21．（12分）已知函数f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）+g （x ）＝x 2﹣x ﹣1．（1）求f （x ），g （x ）的解析式；（2）设函数h （x ）＝f （x ）+2ag （x ）+3a ﹣1（a ＞0），若对任意的x 1∈[1，√2]，总存在x 2∈[﹣1，1]，使得f （x 1）＝h （x 2）成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为f （x ），g （x ）分别是偶函数和奇函数，f （x ）+g （x ）＝x 2﹣x ﹣1①，所以f （﹣x ）+g （﹣x ）＝x 2+x ﹣1，即f （x ）﹣g （x ）＝x 2+x ﹣1②，①﹣②可得2g （x ）＝﹣2x ，即g （x ）＝﹣x ，①+②可得2f （x ）＝2x 2﹣2，即f （x ）＝x 2﹣1．所以f （x ）＝x 2﹣1，g （x ）＝﹣x ；（2）由（1）可知h （x ）＝x 2﹣2ax +3a ﹣2，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，又容易得f （x ）＝x 2﹣1在区间[1，√2]上的值域为[0，1]，由题可知，f （x ）的值域[0，1]是h （x ）在区间[﹣1，1]上值域的子集．当0＜a ＜1时，h （x ）在区间[﹣1，a ]上单调递减，在区间[a ，1]上单调递增，所以ℎ(x)min =ℎ(a)=−a 2+3a −2，h （x ）max ＝h （﹣1）＝5a ﹣1．所以{−a 2+3a −2≤05a −1≥1，得25≤a ＜1．当a ≥1时，h （x ）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以h （x ）min ＝h （1）＝a ﹣1，h （x ）max ＝h （﹣1）＝5a ﹣1．所以{a −1≤05a −1≥1，得a ＝1， 所以实数a 的取值范围是[25，1]．22．（12分）已知函数f （x ）的图象可由函数y ＝a x ﹣1+2（a ＞0且a ≠1）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f （2）＝16．（1）求a 的值；（2）若函数g(x)=f(x)f(x)+2，证明：g （x ）+g （1﹣x ）＝1； （3）若函数y 1＝|f （x ）+m |与y 2＝|f （﹣x ）+m |在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m 的取值范围．（1）解：函数y ＝a x ﹣1+2的图象向下平移2个单位长度后得到y ＝a x ﹣1的图象，再向左平移1个单位长度得到y ＝a x 的图象，所以f （x ）＝a x ，因为f （2）＝a 2＝16，所以a ＝4（负值舍去）．（2）证明：由（1）可知f （x ）＝4x ，所以g(x)=4x4x +2， 所以g(x)+g(1−x)=4x 4x +2+41−x 41−x +2=4x 4x +2+44x 44x +2=4x 4x +2+44+2×4x =4x +24x +2=1． （3）解：由（1）可知y 1=|4x +m|，y 2=|4−x +m|，若两函数在区间[1，2]上都是增函数，则{4x +m ≥0(14)x +m ≤0在区间[1，2]上恒成立， 所以{4+m ≥014+m ≤0，解得−4≤m ≤−14； 若两函数在区间[1，2]上都是减函数，则{4x +m ≤0(14)x +m ≥0在区间[1，2]上恒成立， 所以{16+m ≤0116+m ≥0，该不等式组无解， 综上，实数m 的取值范围是[−4，−14]．。
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020届 河南省天一大联考 高三高考全真模拟(三)数学(文)试题(解析版)
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==+>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1【答案】A【解析】通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集. 【详解】对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-，从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U . 故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．【答案】C【解析】先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求. 【详解】 由题意可知3223iz i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.8【答案】A【解析】根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.25⨯+⨯+⨯+⨯.【详解】由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】此题考查根据频率分布折线图求平均数，关键在于熟练掌握平均数的求解公式. 4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．4 B ．2±C ．2D ．2-【答案】C【解析】根据韦达定理，结合等比数列性质2486a a a =即可得解.【详解】∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ，∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==，∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =.故选：C. 【点睛】此题考查等比数列性质，根据韦达定理得两根之积，结合等比数列性质求解指定项，易错点在于漏掉考虑符号. 5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小. 【详解】Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 【详解】当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥； 反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂， 所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．216+C ．20D ．206+【答案】D【解析】在正方体中，根据三视图还原几何体，分别求解各表面的面积即可得解. 【详解】由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E -'， 如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=V .在AED '△中，22125AE ED ==+='22AD '=可计算AD'边上的高为3，∴122362AEDS'=⨯⨯=V，从而可得该几何体的表面积为332634206++++⨯=+.故选：D.【点睛】此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图，借助正方体还原几何体.8．如图，已知圆的半径为1，直线l被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（）A．1142π-B．1132π-C．113π-D．114π-【答案】A【解析】根据面积公式求解阴影部分面积，结合几何概型求解概率.【详解】由题意知222OA OB AB+=，∴2AOBπ∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-.故选：A.【点睛】此题考查几何概型，利用面积关系求解概率，关键在于熟练掌握相关面积公式及求解方法.9．已知实数,a b满足,a b R+∈，且31a b+=，则()1924a b a b+++的最小值为（）A．173B．174C．163D．194【答案】C【解析】由31a b+=得()()283a b a b+++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭ ()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.10．如图，在ABC V 中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD于点M ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则FM =u u u u r（ ）A ．171515a b -r rB ．171515a b +r rC ．241515a b -r rD ．241515a b +r r【答案】A【解析】根据共线定理由E ，M ，A 三点共线，设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，则21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理由D ，M ，C 三点共线，可得()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，建立方程组求解．【详解】连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，由题意知()1133FE CB AB AC ==-u u u v u u u v u u u v u u u v， ()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r. 同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-u u u u r v r ． 故选：A. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，关键在于根据共线定理处理三点共线关系，建立等式求解参数．11．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】设直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合9A B x x =利用韦达定理即可求解直线斜率得到倾斜角. 【详解】由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=， ∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =，∴32Apx=，6Bpx=，∴2523A Bpx x p pk+==+，∴23k=，3k=，∴倾斜角为60°.故选：C.【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系，根据交点坐标，结合韦达定理求解参数是解析几何中常用的处理办法.二、双空题12．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x=_________；乙组的中位数为________.【答案】222.5【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数.【详解】由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x甲，因为=x x甲乙，所以101320232021333032462510x++++++++++=，解得2x=.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=.故答案为：2；22.5.【点睛】本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.三、填空题13．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到,A B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________. 【答案】乙､丁【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果. 【详解】四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地；所以甲、丁一个在A 地，一个在B 地. 又给乙看了丙的分配地， 所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地， 故填乙､丁. 故答案为：乙､丁. 【点睛】本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.14．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120︒，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与x C 的方程为_________.【答案】22y x =或 26y x =【解析】过F 点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线联立，求得y ，进而根据条件列方程可得p 的值，则抛物线方程可求. 【详解】过F 点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y ==y == 从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 故答案为：22y x =或26y x =. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题. 15．已知函数[)21()sin ,0,2f x x x ax x =++∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[)1,-+∞【解析】由题意可知'()cos f x x x a =++，设()cos h x x x a =++，可得'()1sin 0h x x =-≥，求出()h x 的单调性，分1a ≥-，1a <-讨论，求出()f x 的单调性和最值，进而可得答案. 【详解】由题意可知'()cos f x x x a =++， 设()cos h x x x a =++，则'()1sin 0h x x =-≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，(0)1h a =+，（1）当10a +≥，即1a ≥-时，()(0)0h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()(0)0f x f ≥=恒成立；（2）当10a +<，即1a <-，令2x a =-，则()(2)2cos 20h a a -=+->. 又(0)10h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，不合题意. 综上a 得取值范围为{}1a a ≥-. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.四、解答题16．如图，ABC ∆为等边三角形，边长为3，D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（1）求sin ADB ∠的值； （2）求DE 的长. 【答案】（1）32114.（27【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值； （2）在CDE ∆中，应用正弦定理，求出DE . 【详解】（1）由题意可知60,3,2A AB AD =︒==，由余弦定理， 得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 从而7BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD Aθ=，即37sin 3θ=， 得321sin 14θ=； （2）由题意知θ为锐角，所以27cos 1sin 14θθ=-=， 而()3157sin sin 30cos 2E θθθ=+︒=+=， 在CDE ∆中，由正弦定理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin3072sin55714CDDEE⨯⋅︒===.【点睛】本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.17．如图，多面体ABCDE中，CD⊥平面ABC，//AE CD，F为BE的中点，2AB BC CA AE====，1CD=.（1）求证：//DF平面ABC；（2）求点F到平面ABD的距离.【答案】（1）见解析；（2）32【解析】（1）通过证明//DF GC得证线面平行；（2）根据F ABD D ABFV V--=，利用等体积法求解点到平面距离.【详解】（1）取AB中点G，连接FG，GC，由题意知F为BE中点，∴FG为ABE△的中位线，∴1//,2FG AE FG AE=，而1//,2CD AE CD AE=，∴FGCD为平行四边形，∴//DF GC，而GC⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴//DF平面ABC. （2）∵ABCV为等边三角形，G为AB中点，∴GC AB⊥.又∵AE⊥平面ABC，GC⊂平面ABC，∴GC AE⊥.又AE AB A =I ，∴GC ⊥平面ABE .由（1）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥， 可得12222ABE S =⨯⨯=V ，∴1ABF S =V .在Rt BCD V 中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =V ，而DF CG ==F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅V V ，即d =，∴点F 到平面ABD 的距离是2. 【点睛】此题考查线面平行的证明和求解点到平面的距离，关键在于熟练掌握相关定理推理证明，常用换顶点的方式等体积法求解点到平面距离.18．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ⎛ ⎝⎭在椭（1）求椭圆的标准方程；（2）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF V 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【解析】（1）根据离心率和椭圆上的点建立方程组求解； （2）联立直线和椭圆的方程，得出面积2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=V 求解面积最值. 【详解】（1）由题意得22222131,42,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=， ∵l过()1F，∴0m +=，即m =，∴()222140ky k +--=，∴12y y +=212214k y y k =-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=V== 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t t k -+-++-==+，令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=，∴2ABF V2=. 【点睛】此题考查求椭圆的方程，关键在于准确计算基本量，利用韦达定理处理直线和曲线形成弦长问题，转化为函数问题求解面积最值.19．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；（2）设第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p .【答案】（1）11831728.（2）1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；（2）由第n 次与1n +次的关系，建立递推公式115612n n p p +=+，构造等比数列数列，求出通项公式即可. 【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6， 其概率为7711212⨯=， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为55717511212121728⨯⨯⨯=， 甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=； （2）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类： ①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ， ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭， 从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭，1111262n n p p +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭1111111210,122262n n p p p +--=-=≠∴=-Q ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列1111226n n p -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭，1111262n n p -⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目. 20．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-；（2）(],1-∞- 【解析】（1）求出导函数，结合不等式得函数的单调区间； （2）将问题转化为()()222202xa x e x x --++≥恒成立，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，利用最小值大于等于0求解参数取值范围. 【详解】（1）1a =时()()2112xf x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e =+-+=+-'，若()0f x ¢³，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x ¢<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-. （2）由题意得()2202xaf x e -++≥恒成立， 即()()222202xa x e x x --++≥恒成立.设()()()22222xa h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+，则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e +'=.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数， ①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->，∴在()0,+?上，存在0x 使得()00g x =，从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10aaF a ae a a e =-=->，∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数， 此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意， 综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-. 【点睛】此题考查导函数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，解决不等式的恒成立问题，求解参数，涉及转化与化归，分类讨论思想. 21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤≤)，曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设l 与C 交于,D E 两点(异于原点)，求OD OE +的最大值. 【答案】（1）4cos ρθ=.（2）【解析】（1）展开曲线C 的方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==，从而得曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 【详解】（1）曲线C 可化为2240x x y -+=， 即224x y x +=，也即24cos ρρθ=， 所以4cos ρθ=所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心， 从而2DOE π∠=设()12,,,2D E ρθρθπ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则124cos 4cos 2OD OE ρρθθπ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭4θπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为【点睛】本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题. 22．已知实数,a b 满足0,0a b >>且1a b +=. （1）证明：()()2222119a b a b --≥；（2≤【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）应用,a b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；（2）设t =通过1a b +=可得23t =+，利用基本不等式求得最大值，即可证明. 【详解】（1）解法1： ()()2222911a b a b ---222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++-- ()3224851a a a a =-+- ()()22121a a a =--10,1,01b a a a =->∴<∴<<Q()()221210a a a ∴--≤从而可得()()2222119a b a b --≥； 解法2：220,0,0a b a b >>∴>Q∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1a b +=Q 且0,0a b >>221111a b ⎛⎫⎛⎫∴-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b ab+-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a=++59≥= 当且仅当12a b ==时取等号，得证；（2）设t =()()211t a b =++++1a b +=Q22130,0,24a b t a b ab +⎛⎫∴=+>>∴≤=⎪⎝⎭2336t ∴=+≤+=t ∴≤12a b ==时等号成立，得证. 【点睛】本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.。
河南天一大联考2022-2023学年高三上学期1月期末联考文科数学试题含答案
大联考2022-2023学年高三年级上学期期末考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{21}A x x =-≤≤，{ln()}B x y x ==-，则A B ⋂=（）A ．{01}x x <≤B ．{}20x x -≤<C ．{21}x x -≤≤D ．{2}x x ≥-2．已知在复平面内，复数z 所对应的点为()1,4，则23i z=-（）A ．1011i 1313-+B ．1011i 1313+C ．1011i1313--D ．1011i 1313-3．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，若AB =AF=（）A ．4B ．92C ．5D ．1124．已知向量(,1)m t = ，(2,1)n t =-，若222|2|4m n m n -=+，则2t =（）A B ．1C ．2D ．125．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，1AD ，1A D 交于点O ，则（）A ．OB ⊥平面11ACC A B ．OB ⊥平面11A B CD C ．OB ∥平面11CD B D ．1OB BC ⊥6．为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算2564096⨯时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即25640961048576⨯=．记128log (64598820000000)log 8192a =⨯+，则a ∈（）n123456789102n12481632641282565121024n1112…19202122232425…2n20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…A ．()1,0-B ．()2,1--C ．()3,2--D ．()4,3--7．已知点M ，(0,N -，若在直线:0l mx ny -=（0m >，0n >）上存在点A ，使得||||AM AN -=，则（）A ．m n >+B ．m n <+C ．m >D ．m <8．已知正数a ，b 满足3a b +=，若55a b ab λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．81,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．27,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．81,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．27,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x ≤时， 1.1)1(xf x x =--，则不等式1100411x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞10．已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，228343ABC S b +=△（ABC S △表示ABC △的面积），则cos B =（）A ．314B ．14C ．14-D ．314-11．若函数()(2)ln f x a x x =-在(0,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦B ．1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(,0]-∞D ．21,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦12．已知正四棱锥S ABCD -的外接球半径为3，底面边长为2，2SA >．若SC 垂直于过点A 的平面α，则平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面面积为（）A ．3B ．3C ．3D ．83二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：h ）统计后制成如图所示的统计图，则a =______．14．已知函数()sin 3f x x ωπω⎛⎫=+⎪⎝⎭，()sin 3g x x ωπω⎛⎫=-⎪⎝⎭，0ω>，若()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，则ω的一个值为______．15．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题．如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为A ，B ，C ，||2AC =，||AB =，||4BC =．现移动边AC ，使得点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，则||OB （点O为坐标原点）的最大值为______．16．过动点A 作直线l 与圆22:2210C x y x y +--+=相切于点B ，若|||AB AO =（O为坐标原点），且||AB λ≤，则实数λ的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长．现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示．第x 年12345从业人数y （万人）58111115（Ⅰ）若y 与x 线性相关，求y 与x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅱ）已知甲、乙、丙、丁、戊5名大学生今年毕业，其中3人的就业意向为电商行业，其余2人的就业意向为金融行业，若从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的就业意向为电商行业的概率．参考公式：在线性回归方程ˆˆˆya =中，1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，ˆˆˆay bx =-．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41216a a +=，728S =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足43nnn a a b =，且{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式31n n a T ⋅->的n 的值．19．（12分）如图所示，在四棱锥S ABCD -中，BC AD ∥，M 为棱AD 的中点，1112222BC SC AD SD AB =====，90ABC ∠=︒，平面SCM ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：SC ⊥平面SAD ；（Ⅱ）求点M 到平面SCD 的距离．20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（a >b >0）的离心率为12，过右焦点且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N两点，且||MN =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若过点的直线l '与椭圆C 交于P ，Q 两点，点R的坐标为(0x ，且QR x ⊥轴，探究：直线PR 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数32()e 2()2xx f x x ax a =+--∈R ．（Ⅰ）设函数()2()f x axm x x+=，判断()m x 的单调性；（Ⅱ）若当0x ≥时，关于x 的不等式3()cos 2x f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,3x t y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(1cos2)2sin ρθθ+=，点P 的极坐标为28,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）记M 为直线l 与曲线C 的一个交点，其中4OM <，求OMP △的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|2||4|f x x m x =++-，2()243g x x x =-+．（Ⅰ）若3m =，求不等式()7f x >的解集；（Ⅱ）若1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使得()()12f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围．2022-2023学年高三年级上学期期末考试文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案B命题意图本题考查函数的定义域及集合的运算．解析依题意，{0}{0}B x x x x =->=<，则{20}A B x x ⋂=-≤<．2．答案A命题意图本题考查复数的几何意义、复数的四则运算．解析依题意，14i (14i)(23i)1011i 23i 23i (23i)(23i)1313z +++===-+---+．3．答案D命题意图本题考查抛物线的定义与方程．解析不妨设点A 在第一象限，则A ，代人22y px =中，解得3p =，故311||4222A p AF x =+=+=．4．答案D命题意图本题考查平面向量的数量积及其应用．解析依题意，()(22, 22, 1)(, 1)4m n t t t -=--=，故2221614441t t t +=+++，则212t =．5．答案C命题意图本题考查空间线面的位置关系．解析作出图形如图所示，连接BD ，因为11BD B D ∥，1OD B C ∥，所以平面OBD ∥平面11CD B ，故OB ∥平面11CD B ，其他三个选项易知是错误的．6．答案B命题意图本题考查对数的运算、数学文化．解析因为645988(524288,1048576)∈，20000000(16777216,33554432)∈，故2log 645988(19,20)∈，2log 20000000(24,25)∈，则2log (64598820000000)(43,45)⨯∈，则128143log (64598820000000)log (64598820000000)15,33⎛⎫⨯=-⨯∈--⎪⎝⎭，而222log 8192log 2log 409613=+=，故42,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故选B ．7．答案C命题意图本题考查双曲线的定义与性质．解析由题可知点A 在双曲线22:162y x C -=的下支上，故直线l 与曲线C 有交点．而曲线C的渐近线为y =，直线:m l y x n =，故mn>，即m >．8．答案B命题意图本题考查基本不等式．解析依题意，44a b b aλ+≥．而44554444()33a b a b a b a b b a a b b a b a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭+==≥()222442242()2733124a b a b a ba b ++++=≥=，当且仅当a b =，即32a =，32b =时前后两个不等号中的等号同时成立，所以λ的取值范围为27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．9．答案B命题意图解析当0x ≤时，() 1.1ln1.11ln1.110xf x '=-≤-<，故()f x 在(,0]-∞上单调递减．又()f x 为奇函数，故()f x 在R 上单调递减．而10(1)11f -=，则10(1)11f =-，故11010(1)4104114x x x f f f x -⎛⎫⎛⎫+>⇔>⇔<⇔> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10．答案C命题意图本题考查余弦定理、三角形的面积公式．解析由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-①，又2243ABC S b +=△，即()22189sin 122ABC S b a bc A =-=△②，①代人②可得()22289124b b c bc bc ⎡⎤-+-=⎣⎦，整理可得22690b bc c -+=，则3b c =，此时a ==，由余弦定理可得2227cos 214a cb B ac +-==-．11．答案D命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析依题意，2()ln 1af x x x'=--，令()0f x '≤，则2(ln 1)a x x ≤+．令()(ln 1)h x x x =+，则()ln 2h x x '=+．令()0h x '=，则21e x =，故当210,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当21,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，故()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故212e a ≤-，则212e a ≤-，故实数a 的取值范围为21,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．12．答案A命题意图本题考查空间几何体的表面积与体积．解析设正四棱雉S ABCD -的高为h ，其外接球的半径为R ．因为22()2R h R =-+，解得h =63h =．当63h =时，2623SA ==<，不符合题意；当h =SA AC SC ===，所以SAC △为等边三角形．取SC 的中点E ，连接AE ，则AE SC ⊥，且AE =α⋂直线SB F =，平面α⋂直线 S D H =，则EF SC ⊥，EH SC ⊥．在SBC △中，由余弦定理可得3cos4BSC ∠==，所以cos 3SE SF BSC ==∠．在SBD △中，FH BD ∥，故23FH SF BD SB ==，故233FH BD ==．在四边形AFEH中，AE FH⊥，故1142432233AFEH S AE FH =⋅==．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案0.08命题意图本题考查频率分布直方图．解析依题意，(0.020.040.102) 2.51a a ++++⨯=，解得0.08a =．14．答案32（其他符合条件的答案也给分）命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析因为 ()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，所以()33k k ωπωππ=-+∈Z ，故3()2k k ω=∈Z ，因为0ω>，故()*32kk ω=∈N15．答案1+命题意图本题考查数学文化．解析如图，取AC 的中点E ，因为OAC △为直角三角形，故1||||12OE AC ==．由于ABC △为直角三角形，故||BE ==，显然||||||OB OE BE ≤+，当且仅当O ，B ，E 三点共线时等号成立，故||OB的最大值为1+．16．答案[2)++∞命题意图本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系．解析圆C 的方程可化为22(1)(1)1x y -+-=．22||||||12||AB AO AC AO =⇒-=，设,()A x y ，则()2222(1)(1)12x y x y -+--=+，化简得22(1)(1)3x y +++=，故点A 的轨迹是以()1,1--为圆心、为半径的圆，设该圆的圆心为M ，则max ||||AC MC ==，故max ||2AB =+，则实数λ的取值范围为[2)++∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查回归直线方程、古典概型．解析（Ⅰ）依题意，3x =，58111115105y ++++==，而51516334475173i ii x y==++++=∑，521149162555i i x ==++++=∑，故515222151735310ˆ 2.355535i ii ii x yx ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆ10 2.33 3.1a=-⨯=，故所求回归直线方程为ˆ 2.3 3.1yx =+．（Ⅱ）就业意向为金融行业的2人记为A ，B ，就业意向为电商行业的3人记为a ，b ，c ．任取3人，所有的情况为（A ，B ，a ），（A ，B ，b ），（A ，B ，c ），（A ，a ，b ），（A ，a ，c ），（A ，b ，c ），（B ，a ，b ），（B ，a ，c ），（B ，b ，c ），（a ，b ，c ），共10种，其中满足条件的为（A ，a ，b ），（A ，a ，c ），（A ，b ，c ），（B ，a ，b ），（B ，a ，c ），（B ，b ，c ），（a ，b ，c ），共7种，故所求概率710P =．18．命题意图本题考查等差数列的通项公式、错位相减法、数列的性质．解析（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则41217121416,72128,a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩解得11a d ==，故n a n =．（Ⅱ）依题意，43n nn b =，故2311231433333n n n n n T --⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭ ，则2341112314333333n n n n n T +-⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭，两式相减可得2311111121111463344213333333313n n n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=⋅++++-=⋅-=- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，解得2333n nn T +=-．故31n n a T ⋅->可转化为(23)13nn n +>．令(23)3n n n n d +=，则2111(1)(25)(23)4250333n n n n n n n n n n n d d ++++++--+-=-=<，故1n n d d +<，即{}n d 单调递减．注意到31d =，所以满足条件的n 的值为1，2．19．命题意图本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的体积．解析（Ⅰ）因为12BC AD =，12AM AD =，BC AD ∥，所以BC AM ∥且BC AM =．而90ABC ∠=︒，故四边形ABCM 为矩形，则AD CM ⊥．因为平面SCM ⊥平面ABCD ，且平面SCM ⋂平面ABCD CM =，所以AD ⊥平面SCM ．又SC ⊂平面SCM ，SM ⊂平面SCM ，故AD SC ⊥且AD SM ⊥．因为2SC =，4CM =，SM ==所以222CM SM SC =+，即SM SC ⊥．而SM AD M ⋂=，故SC ⊥平面SAD ．（Ⅱ）记点M 到平面SCD 的距离为h ．如图，过点S 作SQ CM ⊥，垂足为Q ，则SQ ⊥平面ABCD ．因为SM SC MC SQ ⋅=⋅，故SQ =因为SC ⊥平面SAD ，所以SC SD ⊥．所以14242SCD S =⨯⨯=△，12442MCD S =⨯⨯=△．因为M SCDS MCD V V --=，即114433h ⨯⨯=⨯⨯h =20．命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．解析（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c （0c >）．依题意，12c e a ===，故2234b a =①．联立22221,,x y a bx c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2b y a =±，故22||b MN a ==②．联立①②，解得a =，b =，故椭圆C 的方程为22186x y +=．（Ⅱ）当直线PR 的斜率不存在时，方程为0x =．若直线PR 过定点，则该定点在y 轴上．当直线PR 的斜率存在时，设直线PQ的方程为y kx =+联立221,86y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理，得()2243160k x ++-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1228243x x k -+=+，1221643x x k -=+，(2R x ．所以直线PR的方程为()121232y y x x x x --=--．令0x =，得2121232x y y x x -+=+-1211232x x y x x -=-(12112x kx x x -+=-112212322x kx x x x x --=-．因为)121221643k kx x x x k -==++，所以)1122112212121212x x kx x y x x x x x x -+----====---．所以此时直线PR过定点．直线0x =也过点．综上，直线PR经过定点．21．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析（Ⅰ）由题可知2e ()2x x m x x x =-+，0x ≠，则22(1)e e ()(1)(1)1xx x m x x x x x ⎛⎫-'=+-=-+ ⎪⎝⎭，故当0x <时，()0m x '<，当01x <<时，()0m x '<，当1x >时，()0m x '>，故()m x 在(,0)-∞和()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（Ⅱ）依题意，当0x ≥时，2e cos 20(*)x x x ax ---≥恒成立．令2()e 2cos x g x x ax x =---，[0,)x ∈+∞，则()e 22sin x g x x a x '=--+．令()e 22sin x h x x a x =--+，[0,)∈+∞，则()e cos 2x h x x '=+-．令()e cos 2x r x x =+-，[0,)x ∈+∞，则()e sin 0x r x x '=->，故()r x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0r x r ≥=，故()h x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)12h x h a ≥=-．当12a ≤时，()(0)120h x h a ≥=-≥，此时()g x 单调递增，从而()(0)0g x g ≥=，满足题意．当12a >时，令()e e x s x x =-，则()e e x s x '=-，当(,1)x ∈-∞时，()0s x '<，()s x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0s x '>，()s x 单调递增，所以()(1)0s x s ≥=，即e e x x ≥，当且仅当1x =时取等号．所以()e 22sin (e 2)12x g x x a x x a '=--+>---，从而1212(e 2)120e 2e 2a a g a ++⎛⎫'>-⋅--= ⎪--⎝⎭．又(0)120g a '=-<，()g x '在[0,)+∞上单调递增，故存在唯一的实数0120,e 2a x +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当()00,x x ∈时，()0(0)g x g <=，不合题意，舍去．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．22．命题意图本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程之间的转化．解析（Ⅰ）由直线l 的参数方程可得直线l 6y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=cos sin 2cos 66πθρθρθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故直线l 的极坐标方程为cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．而曲线:(1cos2)2sin C ρθθ+=，即22cos2sin ρθθ=，则22cos sin ρθρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =．（Ⅱ）由260,,y y x +-==⎪⎩可得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩．因为4OM <，所以点M ，转化为极坐标为3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭．由于点P 的极坐标为28,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故OMP △的面积18sin 1223S π=⨯⨯=．23．命题意图本题考查绝对值不等式的求解．解析（Ⅰ）依题意，24|37|x x ++->．当32x <-时，2347x x --+->，解得2x <-，故2x <-；当342x -≤≤时，2347x x ++->，解得0x >，故04x <≤；当4x >时，2347x x ++->，解得83x >，故4x >．综上所述，不等式()7f x >的解集为{20}x x x <->或．（Ⅱ）依题意，()|2||4||4|422m m f x x m x x x =++-≥++-≥+，当2m x =-时，取“=”，故min ()42m f x =+．22()2432(1)1g x x x x =-+=-+．因为1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使得()()12f x g x ≥成立，故412m +≥，故412m +≤-或412m +≥，则10m ≤-或6m ≥-，故实数m 的取值范围为(,10][6,)-∞-⋃-+∞．。
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题及答案
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．8- B ．7-C ．72-D ．72答案：B求出直线方程，令0y =可得结论． 解：由题意直线方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=，令0y =得7x =-， 所以直线在x 轴上截距为7-． 故选：B ．2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3答案：D由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，根据补集、交集定义即可求出.解：由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，{}3B x R x =∈>，{}3U B x R x ∴=∈≤,(){}0,1,2,3U B A ∴⋂=.故选：D.3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()f x =()2g x =D ．()1f x =，()0g x x =答案：A两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数.解：A.两个函数的定义域相同，并且函数()lg10xg x x ==，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；B.函数()211x f x x -=+的定义域是{}1x x ≠-，函数()1g x x =-的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；C.函数()f x =R ，函数()2g x =的定义域是[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；D.函数()1f x =的定义域是R ，函数()0g x x =的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数； 故选：A4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（ ）A B ．C ．D ．6答案：B根据空间直角坐标系中的对称性写出P '坐标，然后计算线段长．解：由题意(1,1,1)P '---，∴PP '== 故选：B ．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π答案：C由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 解：由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．点评：关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．6．已知ln 2a =，b =21log c e=，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>答案：D根据对数函数的单调性求出,a c 范围即可比较. 解：0ln1ln 2ln 1e =<<=，01a ∴<<，1b =>，22110log log c e=<=， b a c ∴>>.故选：D.7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：A证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 解：∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．点评：思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-答案：B令()23x x a g ax -+=，则可得()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解出即可. 解：令()23x x a g ax -+=，其对称轴为2a x =， 要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，则应满足()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解得44a -<≤.故选：B.9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c 被圆222x y +=所截得的弦长为（ ） A ．22B 2C ．2D ．22答案：C求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．解：∵222+=a b c （0c ≠），圆心O 到直线的距离为1d ==，圆半径为r =所以弦长为2l ===． 故选：C ．10．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断答案：A利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 解：∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m= -2或m=3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m=3（m= -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>． 故选：A点评：(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．11．已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B在平面直角坐标系中作出曲线24y x =-，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论． 解：曲线24y x =-是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率， 由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．点评：方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D作出函数()f x 的图象，设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，由图象的性质 求得12+2x x =-，341x x ⋅=，再利用双勾函数求得34522x x <+≤，代入可得选项． 解：作出函数()f x 的图象如下图所示：设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，且()12+212x x =⨯-=-，当2324log log x x =时，即2324log log x x -=，所以()2324234log +log log 0x x x x ⋅==，所以341x x ⋅=，当2log 1x =时，解得312x =，42x =，所以412x <≤ 设34441t x x x x =+=+，又函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增， 所以44111521+2+122t x x =<=+≤=，即34522x x <+≤， 所以123452+22+2x x x x -<+++≤-，即1234102x x x x <+++≤， 故选：D ．点评：关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围． 二、填空题 13．函数()21f x x =--的定义域为______.答案：[2,3)(3,)⋃+∞． 求得使函数式有意义的x 的范围．解：由题意020210x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠．故答案为：[2,3)(3,)⋃+∞．14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.答案：16或-2讨论0a >和0a ≤两种情况讨论，解方程，求a 的值. 解：当0a >时，2log 416a a =⇒=，成立，当0a ≤时，1422aa ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，成立， 所以16a =或2-. 故答案为：16或2-15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______. 答案：2求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得化切线的条数．解：圆1O 标准方程是22(1)(2)25x y -++=，1(1,2)O -，半径为5R =，圆2O 标准方程是22(2)(4)36x y ++-=，2(2,4)O -，半径为6r =，又12O O ==∵12R r OO R r -<<+，∴两圆相交，公切线有2条． 故答案为：2．点评：结论点睛：本题考查两圆公切线问题，根据两圆位置关系可得公切线条数： 相离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：无公切线． 16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.答案：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭分析出函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得出()()log 31a f f ≥，可得出lg lg3a ≤且1a ≠，利用对数函数的单调性解此不等式即可得解.解：函数()()1ln 11f x x x=+-+的定义域为R ， ()()()()11ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=+-+，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，函数()()1ln 1ln 1y x x =+=+单调递增，函数21111y x x ==++单调递减，所以，函数()()1ln 11f x x x=+-+在[)0,+∞上单调递增， 由()()log 31a f f ≥可得()()log 31a f f ≥，则log 31a ≥，即lg31lg a≥，可得lg lg3a ≤，所以，1lglg3lg lg33a =-≤≤，解得133a ≤≤且1a ≠.因此，实数a 的取值范围是(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 故答案为：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.点评：方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、解答题 17．设集合1,202xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若AC C =，求t 的取值范围.答案：（1）{}1x x e ≤≤（2）2t ≤.（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，化简集合A,B ，再利用集合的交集运算求解. （2）根据AC C =，则C A ，然后分C =∅和 C ≠∅两种情况讨论求解.解：（1）因为集合{}14A y y =≤≤，{}1B x x e =≤≤， 所以AB {}1x x e =≤≤；（2）因为A C C =，则C A ，当C =∅时，12t t +≥，解得 1t ≤，当 C ≠∅时，则 121124t t t t +<⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，解得 12t <≤，综上：实数t 的取值范围是2t ≤.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l的距离为+a b 的值.答案：（1）220x y +-=；（2）7．（1）求出12,l l 交点坐标，再由垂直得斜率（可设出直线方程），从而得直线方程；（2）由点到直线距离公式列出关于,a b 的方程解之可得．解：（1）由31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，即两直线交点为()2,6-， 由l 与直线230x y --=垂直，则2l k =-，∴l 方程为62(2)y x -=-+，即220x y +-=；（2）∵第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，所以2b =，0a >，又P 到直线l的距离为=，5a =（∵0a >），∴7a b +=． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB平面ACM；（2）求三棱锥P ACM-的体积.答案：（1）证明见解析；（2）23．（1）连接BD交AC于点O，由中位线定理得//OM PB，从而得证线面平行；（2）由M是PD中点，得12M ACD P ACDV V--=，求出三棱锥P ACD-的体积后可得．解：（1）如图，连接BD交AC于点O，连接OM，则O是BD中点，又M是PD中点，∴//OM PB，又PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以//PB平面ACM；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACDV S PA-=⋅=⨯⨯=△，又M是PD中点，所以1223M ACD P ACDV V--==，所以23P ACM P ACD M ACDV V V---=-=．点评：思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？答案：（1）()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧=⎨+->⎩；（2）131 （1）根据题意分别求出0100x ≤≤和100x >时的解析式即可；（2）可判断100x >，利用（1）中解析式即可求出.解：（1）由题可得当0100x ≤≤，0.05y x =，当100x >时，()()221000.05log 10015log 99y x x =⨯+-+=+-，()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧∴=⎨+->⎩； （2）105>，100x ∴>，则()25log 9910x +-=，解得131x =，所以他的年销售利润是131万元.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π．（1）设BD C O =，由1//AC OE ，得证线面平行；（2）证明BD ⊥平面1ACC ，可得证面面垂直；（3）证明EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，求出此角即可．解：（1）证明：设BD C O =，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点， ∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥，∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角， 由已知112CC AA AB ==，而2AC AB =，,E O 分别是1,CC AC 中点， ∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．点评：关键点点睛：本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．22．已知圆22:2410C x y x y +--+=.（1）若过点()0,5A 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.答案：（1）13±；（2）341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，由圆心到切线的距离等于半径求得k 值得切线方程；（2）设(,)P x y ，由已知求出P 点轨迹方程，得P 轨迹是直线，要使PM 最小，则只要PC 最小，因此只要有PC 与轨迹直线垂直即可，由此可求得P 点坐标．解：（1）圆C 标准方程是22(1)(2)4x y -+-=，圆心为(1,2)C ，半径为2r ， 过A 所作圆C 的切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，即50kx y -+=，2=，解得13k =± （2）设(,)P x y ，则由PM PA =得．=，化简得：3120x y -+=，此即为点P 的轨迹方程，轨迹是直线． 要使得PM 最小，则只要PC 最小即可，所以CP l ⊥，设(,)P m n ，则3120231m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得3104110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点评：关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，考查切线长最短问题．直线与圆相切的一般解法是圆心到切线的距离等于圆的半径，只要设出切线方程，由此列式可求得参数值，切线长最短，根据切线长的求法，只要圆外的点到圆心距离最小，则切线长最短．再利用圆外点的轨迹河得求解方法．。
天一大联考2024-2025学年高三上学期阶段性测试(四)语文试题(含答案)
天一大联考2024—2025 学年高中毕业班阶段性测试(四)语文试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1 ~5题。
发现阿尔茨海默病的是100多年前的阿尔茨海默医生。
20世纪初，他解剖了一名去纟者的大脑。
解剖结果令他震惊，死者不仅大脑严重萎缩，掌管记忆、思考和语言功能的大鼠层也基本报废，取而代之的是坏死的脑细胞和异常的沉积物。
现在，科学家已经了解到避异常沉积物的主要成分是一种被称为β淀粉样蛋白(Amyloidβ，简称Aβ)的蛋白质。
这种白质会对大脑造成损害，由此科学家提出了阿尔茨海默病病因假说——β-淀粉样蛋白理：此外，科学家还发现了阿尔茨海默病的另一种标志：神经元纤维缠结。
围绕这两种物质弱了许多病因假说，至今众说纷纭，莫衷一是。
不过，有一点却比较明显：容易患病的老人，很可能有相似的基因型。
科学家发现，想为长寿基因的ApoE也许和阿尔茨海默病有很大的关联。
Apo-E是一种负责运载脂类的“快递小哥”蛋白，编码该蛋白的基因为 ApoE。
ApoE 等位基因有三种亚型：ε2、ε3、ε4，注的区别在于和Aβ蛋白的亲疏。
这三种等位基因亚型可组成6种基因型，包括三种纯(ε2/2,e3/3,e4/4)和三种杂合子(ε2/3,ε2/4,e3/4)。
一般ApoE 基因等位基因亚型是se3型时，Apo-E蛋白和Aβ的结合力比较强能较好地清除和消解 Aβ沉淀。
那些精神矍铄、耳聪目明的老人往往都是这种基因型。
84型则相反。
不过，就算体育着p4这个“恐怖分子”，也不一定就会发病。
天一大联考2019-2020学年高中毕业班阶段性测试(五)理科综合试卷带答案
天一大联考2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（五）理科综合考生注意：l．答题前。
考生务必将自己的娃名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用列的相对原子质量：H1 C12 O16 Fe56一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国科研人员发现线粒体外膜蛋白FUNDC1能够介导衰老、受损的线粒体通过自噬方式清除，在维持细胞线粒体稳态中发挥关键作用。
线粒体自噬可以抑制炎症小体的激活从而抑制肝癌的发生。
下列有关叙述错误的是A．线粒体外膜蛋白FUNDC1在真核细胞中普遍存在B．FUNDC1缺失公引起受损线粒体在肝脏细胞中的积累C．与线粒体自噬过程密切相关的细胞器有溶酶休和线粒体等D．通过敲除小鼠细胞内的FUNDC1基因可以抑制小鼠肝癌的发生2．人细胞内的原癌基因可以控制细胞的生长和分裂进程，下图是导致正常细胞成为癌细胞的三种途径。
下列有关说法错误的是A．原癌基因发生突变或移位均可能导致细胞发生癌变B．若图示的三个过程发生在体细胞中，则癌症一般不会遗传给后代C．图示三个过程都会导致基因表达发生改变从而使细胞无限增殖D．原癌基因需要在致癌因子的诱发下才能进行表达3．真核细胞的DNA片段有一富含TATA序列的启动子，转录过程中，一些蛋白质先与启动子相连接产生蛋白质—DNA复合物，随后RNA聚合酶就被安置在启动子上开始进行转录。
下列有关分析正确的是A．转录过程中RNA聚合酶最先与启动子结合，然后沿DNA分子移动B．富含TA TA序列的启动子经诱变发生缺失不会影响转录的正常进行C．转录合成的RNA与模板DNA链相应区域的碱基互补配对D．RNA聚合酶作用的底物是DNA单链，产物是RNA分子4．细胞外信号分子（配体）能与相应的受体发生特异性结合，从而引起相应生理活动。