空间向量与立体几何PPT课件1 (人教课标版)
叫。做平面
n
⊥ ，如果 n ⊥
的法向量.
，那 么 向 量n
l
给定一点A和一个向量 n ,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 nm0
求法：在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) ,
法 向 量 为 u ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) ,则
l / / a u 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
.若 a ( a 1 , b 1 ,c 1 ) , u ( a 2 , b 2 ,c 2 ) , 则
l a / / u a k u a 1 k a 2 , b 1 k b 2 , c 1 k c 2 .
，
∴ APAB，APAD，又 AB ADA，AP 平面
，
∴ AB是C平D面
的法向量．
AP
ABCD
。|A B |( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 4 ) 22 1|A D |4 2 2 2 0 2 25
。A B A D ( 2 , 1 , 4 ) ( 4 ,2 ,0 ) 6
cos(AB,AD)
存 在 实 数 t 使 得 APtAB
a
P此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量 不仅可以确定直线 l
的位置，还可以具体写出l上的任意一
A
点。
3、平面的法向 量
OPOAta， OPxOAyOB(xy1）
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a k u ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
设 直 线 l 的 方 向 向 量 为 a ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,平 面 的
当 . a2,b 2,c20 时 ,a//u a a 1 2b b 1 2c c1 2 （二）例题探析
例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线， 且 l m,l n. 解 ： 设 直 线 l , m , n 的 方 向 向 量 分 别 为 a , b , c .
任一点 P ,存在实数 t
使得 APtAB
P
或APta
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
O Pxayb
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.对 于 直 线 l 上 的 任 一 点 P,
O a
O Pxayb
这样，点O与向量 a 、b 不仅可以确定平面 的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作
6 3105 2125 105
sinBAD
1 9 105
32 35
S A B C D |A B ||A D |s i n B A D 8 6 P
例3：如图在四棱锥P—ABCD中
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥
F
E
底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
l 与 内 的 任 一 直 线 垂 直 . 即 l .
例2、已知点P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如
果 AB(2,1,4)，AD(4,2,0)，AP(1,2,1)
（1）求证： A P 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ A P A B ( 1 ,2 , 1 )(2 , 1 , 4 ) 0 ， A P A D ( 1 ,2 , 1 )(4 ,2 ,0 ) 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
4、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u k v.
l m ,l n , a b ,a b 0 .同理ac0.
m ,n ,且 m ,n 相 交 ，
内 任 一 向 量 p 可 以 表 示 为 如 下 形 式 ：
。 p x b y c ,x ,y R .
a p a ( x b y c ) x a b y a c 0 ,
C(0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
步骤：⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量
的坐标 a (a1, b1, c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的
方程组
n
a
0
n b 0
(一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量OP 来表示，我们把 向量OP 称为点 P 的条直线 l 的位置可以由 l 上。一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
n
⊥ ，如果 n ⊥
的法向量.
，那 么 向 量n
l
给定一点A和一个向量 n ,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 nm0
求法：在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) ,
法 向 量 为 u ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) ,则
l / / a u 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
.若 a ( a 1 , b 1 ,c 1 ) , u ( a 2 , b 2 ,c 2 ) , 则
l a / / u a k u a 1 k a 2 , b 1 k b 2 , c 1 k c 2 .
，
∴ APAB，APAD，又 AB ADA，AP 平面
，
∴ AB是C平D面
的法向量．
AP
ABCD
。|A B |( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 4 ) 22 1|A D |4 2 2 2 0 2 25
。A B A D ( 2 , 1 , 4 ) ( 4 ,2 ,0 ) 6
cos(AB,AD)
存 在 实 数 t 使 得 APtAB
a
P此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量 不仅可以确定直线 l
的位置，还可以具体写出l上的任意一
A
点。
3、平面的法向 量
OPOAta， OPxOAyOB(xy1）
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a k u ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
设 直 线 l 的 方 向 向 量 为 a ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,平 面 的
当 . a2,b 2,c20 时 ,a//u a a 1 2b b 1 2c c1 2 （二）例题探析
例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线， 且 l m,l n. 解 ： 设 直 线 l , m , n 的 方 向 向 量 分 别 为 a , b , c .
任一点 P ,存在实数 t
使得 APtAB
P
或APta
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
O Pxayb
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.对 于 直 线 l 上 的 任 一 点 P,
O a
O Pxayb
这样，点O与向量 a 、b 不仅可以确定平面 的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作
6 3105 2125 105
sinBAD
1 9 105
32 35
S A B C D |A B ||A D |s i n B A D 8 6 P
例3：如图在四棱锥P—ABCD中
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥
F
E
底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
l 与 内 的 任 一 直 线 垂 直 . 即 l .
例2、已知点P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如
果 AB(2,1,4)，AD(4,2,0)，AP(1,2,1)
（1）求证： A P 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ A P A B ( 1 ,2 , 1 )(2 , 1 , 4 ) 0 ， A P A D ( 1 ,2 , 1 )(4 ,2 ,0 ) 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
4、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u k v.
l m ,l n , a b ,a b 0 .同理ac0.
m ,n ,且 m ,n 相 交 ，
内 任 一 向 量 p 可 以 表 示 为 如 下 形 式 ：
。 p x b y c ,x ,y R .
a p a ( x b y c ) x a b y a c 0 ,
C(0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
步骤：⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量
的坐标 a (a1, b1, c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的
方程组
n
a
0
n b 0
(一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量OP 来表示，我们把 向量OP 称为点 P 的条直线 l 的位置可以由 l 上。一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
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第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)
2
2
1
3
1
+ − ＝ − − ，
2
2
2
1
1
3
1
3
1
2
所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
1
1
1
3
1
1
1
2
2
· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
3
2
2
6
2
1
1
+ + ＝－ − + .因为＝
3
6
6
2
1
1
+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
3
6
6
1
−
2
−
问题式预习
2
1
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1
+ − ＝ − − ，
2
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所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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2
2
· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
3
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1
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+ + ＝－ − + .因为＝
3
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+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
3
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−
2
−
问题式预习
高一必修2《空间向量与立体几何》第一课时PPT
[答案] B
[ 解析 ] → BB′.
→ 由四边形 ABB′A′ 是平行四边形，可得 AA′ ＝
→ → → → → 但是由AA′＝BB′， 只能说明AA′与BB′是相等向量， AA′ → 与 BB′ 所在的直线可能平行或共线，并不一定构成平行四边形 ABB′A′，所以 M 是 N 的必要不充分条件．
性的数学体系.
18世纪末，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表
示复数 a ＋ bi ，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的 运算，把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表 示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学 会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样进入了
数学工具．
链接生活：
1．空间向量的概念
向量是既有大小又有方向的量，如果把问题的研究范围限 定在同一个平面上，称之为平面向量；如果把问题的研究范围 扩大到空间中，称之为空间向量． 既有大小又有方向 的量叫作空间向量． 即空间中___________________ 2．空间向量的表示
与平面向量一样，空间向量也有两种表示法．一种是用有向 → 线段AB表示，A 叫作向量的起点，B 叫作向量的终点；一种用 a， b，c 表示，也可用 a 、 b 、 c 表示．
平面．平行于同一平面的一组向量叫作共面向量．
不共面向量：不平行于同一平面的一组向量叫作不共面向 量．
1 ．空间向量是平面向量概念的拓展，只有大小和方向两
个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任 意一点，只要保证它的大小和方向不改变，它是可以自由平移 的，与起点无关． 2 ．空间中的所有向量的方向不都是一定的，例如零向量
[答案] D
3．下列有关向量的命题是真命题的是( A．所有的单位向量的模为 1 且共线
人教版高中数学课件- 空间向量与立体几何
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
空間向量的正交分解及其座標表示
单位正 三个有公共起点 O 的__兩__兩__垂__直___的单位向量 e1，e2，e3 称为 交基底 单位正交基底
空间直 角坐标 系
以 e1，e2，e3 的_公__共__點___为原点，分别以e_1_，__e_2，__e_3__的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1， ∴x＋y＝2，
2x－y＝－1，
此方程组无解，
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
所以作为基底的向量组有②③④⑤. 答案： ②③④⑤
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
空間向量基本定理及應用
如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC，M，N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上， 且M→G＝2G→N，用基底向量O→A，O→B，O→C表示向量O→G.
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
判斷三個向量能否作為基底的方法 判斷三個向量能否作為基底，關鍵是判斷它們是否共面， 若從正面判斷難以入手，可以用反證法結合共面向量定理或者 利用常見的幾何圖形幫助，進行判斷．
数学 选修2-1
人教版高中数学课件- 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．如圖所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1所有的棱中，可 作為直線A1B1的方向向量的有( )
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個
解析： 共四個：AB，A1B1，CD，C1D1. 答案： D
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
特殊向量
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
理解特殊向量應注意的幾個問題 (1)零向量和單位向量均是從向量模的角度進行定義的，|0| ＝0，單位向量e的模|e|＝1. (2)零向量不是沒有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的書寫，必須是0這種形式． (4)兩個向量不能比較大小．
数学 选修2-1
第三章 空究 课堂互动
高效测评 知能提升
(1)熟練掌握好空間向量的概念，零向量， 單位向量，相等向量，相反向量的含義以及向量加減法的運算 法則和運算律是解決問題的關鍵；只要兩個向量的方向相同、 模相等，這兩個向量就相等，起點和終點未必對應相同，即起 點和終點對應相同是兩個向量相等的充分不必要條件．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
高效測評 知能提升
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
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空间向量与立体几何PPT课件
⑶∵已知点 A、B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
• 2.直观想象：向量运算的几何意义；
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
高二数学ppt课件 空间向量与立体几何课件1
●教学流程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示结束
课 标 解 读
1.理解空间向量的概 念．(难点) 2．掌握空间向量的线性 运算．(重点) 3．掌握共线向量定理、 共面向量定理及推论的 应用．(重点、难点)
空间向量的概念
【问题导思】 → 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量OA， → → OB，OC，它们和以前所学的向量有何不同？ → → → 【提示】 OA，OB，OC是不同在一个平面内的向量，
【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、 相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同． 2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量 有关概念问题时，通常抓住这两点来解决． 3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何 向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
3．1
空间向量及其运算
3．1.1 空间向量的线性运算
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 理解空间向量的概念，会用图形说明空间向量的线性运 算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立 体几何问题．
2．过程与方法 学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究 内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验 数学概念的形成过程． 3．情感、态度与价值观 培养学生的空间观念和系统学习概念的意识．
1．化简向量表达式一定要观察立体图形，运用向量的三 角形法则或平行四边形法则，把空间向量转化为平面向量解 决． 2．在空间向量式的化简中还经常用到以下两个结论： → → (1)A1A2＋A2A3＋„＋ An An＋1 ＝ A1 An＋1 (封口向量)；
→ ＝OB → －OA → (O 为空间任意一点)． (2) AB
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
空间向量与立体几何 人教课标版精品课件
的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的
方程组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
4、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
O a
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人……或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？
PA 1,0,1
，
EG
1 ,0, 2
1 2
2
，所以
2
PA 2EG,及PA// EG
而EG 平面EDB，且PA
平面EDB，因此PA//平面
EDB。
(B2（)证1，明1；，依0）题P意B 得 1,1,1,
所以 PB DE
又DE 0，1，1 ，故PB
2019年最新-人教版高中数学选修空间向量与立体几何ppt课件
(四)空间向量运算的坐标表示
(1)若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z).
(2)设{i，j，k}为单位正交基底，向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) λa＝(λx1，λy1，λz1) a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
归纳整理
（一）基本概念 6. 相等向量：模相等且方向相同的向量叫 做相等向量． 7. 相反向量：模相等且方向相反的向量叫 做相反向量．
8.如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这 些向量叫做共线向量或平行向量。
9.平行于同一平面的向量，叫做共面向量
10.平面的法向量：如果表示向量 的有向线段n 所在直线垂直于平面 ，则
a//b a⊥b
x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R) x1x2＋y1y2＋z1z2 ＝0
|a|＝ x12
c o sa ,b
y12
z12
x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
x 1 2 y 1 2 z 1 2 x 2 2 y 2 2
z 2 2
d A B ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质.
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a 的//充b 要条件是存在实数 使
a b
2、平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，