习题课第2、3章 静电场中的导体和电介质

第2、3章 静电场中的导体和电介质（习题课）一、 本章内容提要 要求：理解和掌握各种物理量（概念）的定义和物理含义，掌握各种物理定理（律）的成立条件和基本的运用方法。

1.导体—“微观带电结构”—自由电子q 02.导体静电平衡条件和性质0=内E ，表面表⊥E ，等势体、等势面，净电荷分布在导体表面上。

3.有导体存在时电场和电势分布的计算（A ）电场的基本规律（第1章）（B ）导体静电平衡条件和性质（C ）电荷守恒定律处理“三种对称性”情况，可得到解析表达式。

4.用电场线概念讨论导体的静电平衡问题5.有导体时静电场的唯一性定理和电像法电场空间V ，由若干边界面S i 包围而成，每个S i 都是导体表面（或S ∞）， 若给定每个导体的：a ）电势U i ，或者b) 总电量Q i ， 则空间V 内的电场E 唯一确定。

电像法处理“点电荷与导体板”和“点电荷与导体球”问题。

6.导体空腔内外的电场与静电屏蔽腔内电场：由腔内带电体q 1和S 内（-q 1）唯一决定。

腔外电场：由腔外带电体q 3和S 外（q 2=q 0+q 1+q 感-q 感）唯一决定。

接地导体空腔可隔绝空腔内外电场之间的相互影响。

7.电介质—“分子等效电偶极子”—束缚电荷q s8.电介质的极化位移极化、取向极化，及伴存现象（电致伸缩，压电效应等）极化强度(宏观量)介质中的极化场: （P 线：发自于负束缚电荷，终至于正束缚电荷）9.极化电荷（束缚电荷）（极化场P 的高斯定理）Q 3（nˆ：介质表面外法线方向的单位矢量） 电介质极化产生附加电场s E10.介质的极化规律各向同性线性电介质(宏观电场力和微观束缚力相平衡的状态)电极化率 0>e χ总场强 s E E E+=0各向异性线性电介质（普遍）, 极化率张量 ][e i j χ非线性电介质 电滞现象11.电位移矢量定义电位移矢量场:（D 线：发自于正自由电荷，终至于负自由电荷） 各向同性线性电介质E E E E P E D r eεεεχεεε==+=+=0000相对介电常数（电容率）11>+=e r χε 介电常数r εεε0=12.电位移的高斯定理（普遍）（积分形式）（微分形式）13.有电介质存在时电场和电势分布的计算ss s q P E D S d D σ,Q 0⇒⇒⇒⇒=⋅⎰⎰处理特定问题，如“三种对称性”问题14.孤立导体的电容 U qU U q q U q C ∆∆=∆+∆+== 15.电容器的电容 AB U q C =三种简单电容器 平行板 d SC 00ε=， 圆柱形1200ln 2R R L C πε=，球形R C 04πε= 极板间充满电介质时16.电荷在外电场中的静电势能（W 是指q 与场源电荷∑i Q 之间的相互作用能）17. 带电体系的静电能[]()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇑⇐⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛外力反抗电场力做功静电能电能带电体远的状态相距无穷分散的W 、 18.电荷的相互作用能（点电荷组）U i 是q i 所在点的电势（除q i 以外电荷产生的）19.电荷的固有能（自能）20.计算带电体系静电能的一般公式U 是dq 所在点的电势（由所有电荷共同产生的）●带电面●带电等势面 ●电容器带电时21.电场的能量真空中电场的能量 200121E E 21E w e εε=⋅= （单纯电场能量密度）电介质中电场能量密度E P E E E D w e⋅+⋅=⋅=2121210ε 极化分子增加的内能202)1(21E P 21E w r e εε-=⋅= （电介质的极化能密度） 各向同性线性电介质22.计算电场能量的一般公式23.静电场的基本方程0l d =⋅⎰ E L, 0=⨯∇E （静电场的环路定理） dV V c s S d D ρ⎰⎰⎰⎰⎰=⋅ , cD ρ=⋅∇ （D 的高斯定理） i c 222222ερ-=∂∂+∂∂+∂∂=∆z U y U x U U （有介质的泊松方程）0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zU y U x U U （拉普拉斯方程） 24.电介质分界面的边值关系t t E E 21= ， n n D D 21=j i U U = ， j j i i )nU ()n U (∂∂=∂∂εε 25.静电问题的唯一性定理电场空间V ，划分为若干区域V i ，每个V i 中充满均匀电介质i ε， 若（1） 给定各个区域V i 内的自由电荷分布；（常见情况是电荷处处为零）（2） 在整个电场空间V 的边界S 上给定：（常见情况是以无限远处为边界）i ）电势S U ，或者ii) 电势的法向导数 Sn U ∂∂ （3） 有导体时，给定每个导体的：i ）电势U i ，或者ii) 总电量Q i 。

则各个区域V i 内的电场E i 唯一确定。

各个区域V i 内的电势U i 有唯一的解，满足泊松方程或拉普拉斯方程、满足边值关系、满足边界条件。

二、 基本结果要求：熟练掌握计算方法，能够借用基本结果处理其他问题。

1. 有导体存在时电场和电势分布的计算（1）两块平行金属板（2）金属板接地的含义（3）同心金属球壳、金属圆筒2. 有电介质存在时电场和电势分布的计算（1）真空→充满电介质（2）电介质中均匀带电球面（3）同心电介质球壳、平行板、圆筒3.计算电容C（1）平行板、球形和圆柱形电容器（2）充满/一半空间充有电介质（3）同心金属球壳（电容串并联）4.计算电荷相互作用能、静电能和电场能量（1）电荷处在外电场中的静电势能（2）点电荷组的相互作用能（3）均匀带电球体（4）均匀带电球面（5）带电等势面的静电能（6）电容器带电时的静电能三、典型问题例1.有一半径为R 1、带电量为q 的金属导体球，其外是一同心金属导体球壳，内外半径分别为R 2和R 3，带电量为Q ，求：空间电场分布和两导体的电势。

另外，如果（1）用导线将内球和外球壳连在一起；（2）将外球壳接地；（3）外球壳离地很远，且将内球接地；在上述三种情况下空间电场分布和两导体的电势又如何？解：三个均匀带电球面，R 1：q ，R 2：-q ，R 3：q+Q ，金属导体内场强为零，等电势。

内球与外壳之间：r r q E ˆ420πε= 外壳以外： r r Q q E ˆ420πε+= 外壳：无限远处为电势零点。

⎰⎰⎰∞∞∞+=+==⋅=3333020244R R R R Q q dr r Q q Edr r d E U πεπε 内球：⎰⎰⎰⎰+=+=⋅=∞∞21321122014R R R R R R U dr r q Edr Edr r d E U πε3021014)11(4R Q q R R q U πεπε++-=（1）三球面，R 1：O ，R 2：O ，R 3：q+Q ，金属导体内、内球与外壳之间，场强都为零，等电势。

（2）三球面，R 1：q ，R 2：-q ，R 3：O ，金属导体内、外壳以外，场强都为零，外壳电势为零。

（3）三球面，R 1：q ，，R 2：-q ，，R 3：q ，+Q ，金属导体内场强为零，内球电势为零，与无穷远处等电势。

04)11(4302101=+'+-'=R Q q R R q U πεπε 先求出q ，，再代入前面的公式即可。

例2. 有一半径为R 1、带电量为Q 的金属导体球，球外有一同心电介质球壳，内外半径分别为R 2和R 3，相对介电常数为r ε，求：（1）空间电位移D 和电场E 分布；（2）电介质球壳内、外表面上的极化电荷q s 。

解：（1）三个均匀带电球面，R 1：Q 自由电荷，R 2：-q s2，束缚电荷,R 3：q s3，束缚电荷,电位移D 和电场E 具有球对称性，取同心球面计算D 的通量：24r D S d D sπ⋅=⋅⎰⎰金属内球以外：空气和电介质中: r r QD ˆ42π= 空气中：r r DE ˆ4Q200πεε==电介质球壳中：r r D E r r ˆ4Q200επεεε==金属内球内: 电位移D 和电场E 都为零。

（2）电介质球壳内表面（r =R 2）rR q E r ˆ42202επε=，202)1(E P r -=εε 22222s P )r (ˆ-=-⋅=⋅= P n P σ （方向相反）Q )1(4222s 2s rr R q εεπσ--=⋅=电介质球壳外表面（r =R 3）rR q E r ˆ42303επε=，303)1(E P r -=εε 33333s P r ˆ=⋅=⋅= P n P σ （方向相同，夹角0度） Q )1(4233s 3s rr R q εεπσ-=⋅=例 3. 有一平行板电容器，极板间为真空，使两极板分别带电Q ±，这时极板间电压为U 0，如果保持极板上带电量不变，将极板间一半空间充以各向同性均匀电介质r ε，忽略边缘效应，且极板的线度远大于极板间距，d S 〉〉，求： （1）极板间电压变为多少？（2）电介质表面极化电荷 面密度。

解：（1）充入电介质前，极板均匀带电Q ±，SQ=0σ， 000εσ=E ，d E U 00=左半边充入电介质后，极板上自由电荷Q ±的分布改变。

左、右半边自由电荷按均匀分布处理，设面密度分别为1σ、2σ。

电介质极化后，电介质的上、下表面出现极化电荷。

左半边：按照无穷大均匀带电平面处理，取一圆柱面，计算D 的通量，SD S d D S d D s∆=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰1介底由D 的高斯定理： S S D ∆=∆11σ11σ=Drr D E εεσεε01011== ①右半边：22σ=D02022εσε==D E ②左、右两半边电势差相等：d E d E 21= ③电荷守恒：S S0212)(σσσ=+ ④四个方程联立求解可得：00112σσεεσ>+=r r， 00212σσεσ<+=r022112E E E r <⋅+===εσεεσ （2）电介质上、下表面的极化电荷0101211)1(σεεεε⋅+-=-=r r r E P 上表面： 11s ˆP n P -=⋅=上上σ （方向相反） 下表面： 11s ˆP n P =⋅=下下 σ （方向相同）例4. A 是半径为R 1的金属导体球；B 是一同心金属导体球壳，内外半径分别为R 2和R 3；C 是半径为R 4的同心金属导体球面。

求（1）A 、C 之间的电容C AC ；（2）如果将半径为R 1的金属导体球接地，C AC 又如何？ 解：（1）由定义式计算A （R 1）：+Q ；C （R 4）：-Q R 2：-Q ； R 3：+Q 四个均匀带电球面金属导体内、球面C 以外， 场强都为零。

R 1和R 2之间、R 3和R 4之间r rQ E ˆ420πε=)1111(4432104321R R R R Q Edr Edr r d E U R R R R CA AC -+-=+=⋅=⎰⎰⎰πε[]143210)1111(41--+-==R R R R U Q C AC AC πε由电容串并联计算C AC 是两个球形电容器C AB 和C BC 的串联122104R R R R C AB-=πε，344304R R R R C BC -=πε)1111(4111143210R R R R C C C BC AB AC -+-=+=πε （2）由定义式计算或电容串并联计算均可。