(完整版)圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。

(2) 与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率 k tan , [0, )② 点 到 直 线 的 距 离 d Ax 0 By 0 CA 2B 2tan3)弦长公式直线 y kx b 上两点 A(x 1, y 1), B( x 2 , y 2 )间的距离： AB 1 k 2 x 1 x 2(1 k 2 )[( x 1 x 2)2 4x 1x 2] 或 AB 1 k 12 y 1 y 2 (4)两条直线的位置关系①l 1 l 2 k 1k 2=-1 ② l 1 //l 2 k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：22x y1(m 0,n 0且 m n) mn 距离式方程：(x c)2 y 2 (x c)2 y 22a 参数方程：x acos ,y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k21222标准方程：x y1(m n 0)mn距离式方| (x c)2 y 2 (x c) 2 y 2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：2b；双曲线：2b；抛物线：2 p aa(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2tan2 P 在双曲线上时， S F PF b cot| PF |2 | PF |2 4c 2 uuur uuuur uuur uuuur 其中 F 1PF 2,cos |PF 1||PF 1||P |F P 2F |2 | 4c ,u P u F ur1?u P u Fuur 2|u P uu F r 1 ||uu P u Fur2|cos(6) 、 记 住 焦 半 径 公 式 ： ( 1 )椭圆焦点在 x 轴上时为 a ex 0 ;焦点在 y 轴上时为 a ey 0，可简记为“左加右减，上加下减”(2)双曲线焦点在 x 轴上时为 e|x 0 | a(3) 抛物线焦点在 x 轴上时为 | x 1 | 2p ,焦点在 y 轴上时为 | y 1 | 2p(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2y1的弦 AB 中点则有3如： 已知 F 1、 22F2是椭圆 x4 y3 1的两个焦点， 平面内一个动点 M 足 MF 1MF 2 2 则动点 M 的轨迹是(A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时， S F 1PF 2设 A x 1, y 1B x 2,y 2 ， M a,b 为椭圆 x42 2 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 1， x 2 y 2 1；两式相减得 x 1 x 2y 1 y 24 3 4 3 4 3x 1 x 2 x 1 x 2y 1 y 2 y 1 y 23a4 3kAB =4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到 一个二次方程， 使用判别式 0，以及根与系数的关系， 代入弦 长公式，设曲线上的两点 A( x 1, y 1), B(x 2 , y 2 ) ，将这两点代入曲线方 程得到 ○1 ○2 两个式子，然后 ○1-○2 ，整体消元······，若有两个 字母未知数， 则要找到它们的联系， 消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点 A 、B 、 F 共线解决之。

若有向量的关系，则寻 找坐标之间的关系， 根与系数的关系结合消元处理。

一旦设直线 为 y kxb ，就意味着 k 存在。

例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4x 2 5y 2 80上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点(点 A 在 y 轴正半轴上) .(1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程 ; (2)若角 A 为900，AD 垂直 BC 于 D ，试求点 D 的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦 BC 的斜率，从而写出直线 BC 的方程。

第二问抓住角 A 为900可得 出AB ⊥AC ，从而得 x 1x 2 y 1y 2 14(y 1 y 2) 16 0 ，然后利用联立消元 法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；解：(1)设 B ( x 1, y 1),C(x 2 , y 2 ),BC 中点为 ( x 0,y 0 ),F(2,0)则有2 2 2 2 x 1 y 1 1,x 2 y 220 16 1,2016AC 所成的比为 ，双曲线过 C 、D 、E 三点，且以 A 、B 为焦点当 23时，求双曲线离心率 e 的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念两式作差有(x 1 x 2)(x 1 x 2 )(y 1 y 2)(y 1 y 2)2016 0 x 0 y 0k5 40 (1)F(2,0)为三角形重心，所以由 x 1 x 232， 得x 03，由y13y 2 4 0得2，代入( 1)得 k 65直线 BC 的方程为 6x 5y 28y 02)由 AB ⊥AC 得 x 1x 2 y 1y 2 14(y 1 y 2)162)(4 直 线 BC 方 程 为 y5k 2)x 2 10bkx 5b 2 80 0 kx b,代入 4x 25y 280，得x 110kb5b 2 80x2 4 5k 2 ， x 1x2 4 5k 2y 18ky 24 5k 2 ,y 1y 24b802k代入4 5k 22) 式得29b 232b 164 5k 20，解得 b 4(舍) 或b直线过定点0， 94) ， 设 Dx,y )，则1，即229y 29x 2 32y16 0所以所求点 D 的轨迹方程是 x 2(y4、设而不求法例 2、如图，已知梯形 ABCD 中 AB 2CD ，点 E 分有向线段4y16 2 20)2( 196)2 (290)2(y和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。

建f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,建立目标函数f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0 ,化繁为简.解法一：如图，以AB 为垂直平分线为y轴，直线AB 为x轴，建立直角坐标系xOy ，则CD⊥ y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、由点C、E 在双曲线上，将点C、E 的坐标和 e c代入双曲线方a程得e2 4h21 ，b2 1，①e2 42 h22 11 1 b2 1②立直角坐标系xOy ，如图，若设 C c2,h，代入x222yb2 1，求得h L ，进而求得x E L ,y E2L , 再代入x22a22 y2b21，建立目标函数B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称a b a2e 421，③由①式得h2b2将③式代入②式，整理得解得 7 e 10所以双曲线的离心率的取值范围为 7 , 10标表示，回避 h 的计算 , 达到设而不求的解题策略．设 3243得， 32 1 e 23 2 43解得 7 e 10所以双曲线的离心率的取值范围为 7 , 105、判别式法例3已知双曲线C:y 2 x 21，直线l 过点 A 2,0 ，斜率为 k ，当0 k 1 22时，双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ，试求 k 的值及此时点 B 的坐标。

分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因 此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段 . 从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 l 平行的直线，必 与双曲线 C 相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方e 24 441 2132e 134得，2 1 33 3 2 e 2 4故 由题设 23分析：考虑 AE , AC 为焦半径 ,可用焦半径公式 , AE, AC 用 E,C 的横坐 解法二：建系同解法一， x EAEa ex E , ACex C ，，又 A A E C 1 ，代入整理e 231，由题程的判别式0. 由此出发，可设计如下解题思路：l : y k(x 2) 0 k 1直线 l '在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2l': y kx 2k 2 2 2k把直线 l '的方程代入双曲线方程，消去 y ，令判别式解得k 的值解题过程略 .分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ”，相当于化归 的方程有唯一解 . 据此设计出如下解题思路：简解：设点 M(x, 2 x 2) 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直 线l 的距离为：kx 2 x 22k2 k 2 1于是，问题即可转化为如上关于 x 的方程 . 由于 0 k 1，所以 2 x 2 x kx ，从而有0k1转化为一元二次方程根的问题 求解kx 2 x 2 2k kx 2 x 2 2k.于是关于 x 的方程kx 2 x 2 2k 2(k 2 1)22 x 2( 2(k 2 1) 2k kx)2 ,2(k 2 1) 2k kx 02k 2 1 x 2 2k 2(k 2 1) 2k x 2(k 2 1) 2k 2 0, 2(k 2 1) 2k kx 0.由 0 k 1 可知：2方程 k 2 1x 2 2k 2(k 2 1) 2k x 2(k 2 1) 2k 2 0的二根同 正，故 2(k 2 1) 2k kx 0 恒成立，于是 等价于2k 2 1 x 2 2k 2(k 2 1) 2k x 2(k 2 1) 2k 2 0.由如上关于 x 的方程有唯一解，得其判别式0 ，就可解得25k .5 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了 全局观念与整体思维的优越性 .例 4 已知椭圆 C:x 2 2y 2 8和点 P (4，1)，过 P 作直线交椭圆于在曲线的方程 .分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往 往不知从何入手。

其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 . 因 此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表 达，最后通过消参可达到解题的目的 .A 、B 两点，在线段 AB 上取点 Q ，使 APPBAQQB求动点 Q 的轨迹所由于点 Q( x, y)的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率 k 作为参数，如何将 x, y 与k 联系起来？一方面利用点 Q 在P 、Q 四点共线，不难得到 x4(x A x B ) 2x A x B，要建立 x 与k 的关系，只需 8 (x A x B)将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可 .通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于 如何解决本题，已经做到心中有数 .直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件：APPBAQQB来转化.由 A 、B 、在得到 x f k 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参， 目的不过是得到关于 x, y 的方程(不含 k )，则可由 y k(x 4) 1 解得 k y 1 ，直接代入 x f k 即可得到轨迹方程。