全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件 全国版：第七章 立体几何 7.7.1 精品
22
22
又平面BCE的一个法向量为n1 1, 3,2 ,
则AM
n1
3a 2
1
3a 2
3
0.
所以AM n1，又AM 平面BCE， 所以AM 平面BCE.
【规律方法】利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问题
证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证 它们的数量积为零
线面垂直问题
直线的方向向量与平面的法向量共线,或利 用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直
n·m=0 n∥m⇔______ n∥m⇔_n_=_λ__m_
n⊥m⇔_n_=_λ__m__
n·m=0
【特别提醒】
1.直线的方向向量的确定
l是空间一直线,A,B是l上任意两点,则 及与 平行
的非零向量均为直线l的方向向量. AB
AB
2.平面的法向量的确定 设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量, 则求法向量的方程组为
【证明】
易得F( 3 a, 3 a,a)，则DF (1 a, 3 a,a),
22
22
又平面BCE的一个法向量为n1 1, 3,2 ,
则DF
a 2
n1,即DF
n1,
从而DF 平面BCE.
2.若本例中条件不变,点M是CD的中点,证明AM∥平面
BCE.
【证明】
易得M( 3 a, 3 a,0),则AM (3 a, 3 a,0),
N(1 2 ， 2 ，0)， 44
MN (1 2 ， 2 ，1)， 44
OP (0， 2 ， 2)，OD ( 2 ， 2 ， 2).
2
22
设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则
即
n OP 0,n OD 0，
2 2
y 2z
0,
2x 2
2 y 2z 0. 2
取z= 2，解得n=(0,4, )2.
因为 MN n (1
2,
2 ,1)
0，4，2
0，
且MN平面OC4D，4所以MN∥平面OCD.
【易错警示】解答本题有一点容易出错:
只证明 ⊥n,而忽视MN⊄平面OCD的情况就下结论 MN
MN∥平面OCD,而造成步骤不规范的失误.
【规律方法】用向量法证平行问题的类型及常用方法
线线平行 线面平行
PB
＝(0,－1,0)，
FE
＝FG(1,1，－1)，
设 PB＝sFE＋tFG，
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
所以 t 2,解得s＝t＝2.所以
又因为t t
s 与 0,
2,
不共线，所以
与 PB＝共2F面E＋．2FG，
因为PBF⊄E平面FEGFG，所以PB∥平PB面EFFGE，.FG
【解题导引】以点A为坐标原点建立空间直角坐标系, 求平面OCD的法向量及直线MN的方向向量.
【规范解答】作AP⊥CD于点P,连接OP,如图,分别以 AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系, 则 O(0P，(0，02，2 ，20))，，DM((022，，022，，0)1，)，
A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),
所以 =(-2,0,1), =(1,0,2), · =-2+0+2=0,
所以AMM⊥ON. ON
AM ON
答案:垂直
感悟考题 试一试 3.(2016·广州模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2), 平面α的一个法向量为n=(-2,0,-4),则 ( ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交
【解析】(1)由题设知AF⊥AB,且由平面ABEF⊥平面 ABCD,可知AF⊥平面ABCD. 又BD是圆的直径,则AB⊥AD, 因此以点A为原点可建立空 间直角坐标系,如图.由于 AC,BD是圆O的两条互相垂直的直径,且AC=4 ,所以 四
2
边形ABCD是边长为4的正方形,则B(4,0,0),C(4,4,0), O(2,2,0),E(4,0,2),F(0,0,6),N(2,0,4). 因为AB⊥EB,AB⊥BC, 所以 =(4,0,0)是平面EBC的一个法向量.
【证明】因为平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方 形, 所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点, 建立如图所示的空间 直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). =(2,0,-2),
证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量 垂直 ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向 向量平行 ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个 不共线的向量线性表示
面面平行
①证明两平面的法向量平行(即为共线向量) ②转化为线面平行、线线平行问题
易错提醒:用向量结论还原几何结论时,要注意书写规 范,说明定理的条件.
考向二 利用空间向量证明垂直问题 【典例2】(2016·开封模拟)如图,已知AB⊥平面 ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB. 求证:平面BCE⊥平面CDE.
【解题导引】以点A为坐标原点建立空间直角坐标系, 分别求出平面BCE与平面CDE的法向量,根据法向量垂 直来证明面面垂直.
【证明】设 AB a,AD b,AA1 c, 可知
AC AB BC a b， 因EG为 ED1 无D1公G 共 12点b ，12所a 以12EAGC，∥AC， 因为AEGC与⊂A平C面AB1C，所以EG ⊄ 平面AB1C. 所以EG∥平面AB1C.
又因为
=a+c，
AB1 AB AA1
【变式训练】如图,已知AC,BD是圆O的两条互相垂直的
直径,直角梯形ABEF所在平面与圆所在平面互相垂直,
其中∠FAB=∠EBA=90°,BE=2,AF=6,AC=4 ,点N为线段
EF的中点.
2
(1)求证:直线NO∥平面EBC. (2)若点M在线段AC上,且点M在平面CEF上的射影为线段 NC的中点,请求出线段AM的长.
平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平
面α内的是 ( )
A.P(2,3,3)
B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0)
D.P(3,-3,4)
【解析】选A.由题意知,点P在平面α内,只需 MP⊥n,
即 ·n=0即可,逐一验证知选A.
MP
【变式训练】如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是 边长为1的菱形,∠ABC= ,OA⊥底面ABCD,OA=2,M 为OA的中点,N为BC的中 4 点.利用向量方法证明: 直线MN∥平面OCD.
所以 AP B,C即AP⊥BC.
AP BC
(2)由(1)知AP=5, 又AM=3,且点M在线段AP上,
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
直线l1,l2的方向向量分 别为n1,n2
直线l的方向向量为n,平 面α的法向量为m
平面α,β的法向量分 别为n,m
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β
向量表示
n1∥n2⇔_n_1_=_λ__n_2 n1⊥n2⇔_n_1_·__n_2=_0_ n⊥m⇔_______
【解析】如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的 正半轴,以射线OD为y轴正半轴建立空间直角坐标系. (1)O(0,0,0),A(0,-3,0), B(4,2,0),C(-4,2,0), P(0,0,4).
于是 =(0,3,4),
AP
=(-8,0,0),
BC
所以 =(0,3,4)·(-8,0,0)=0,
由n2 CD 0,n2 ED 0可得
ax
2
3ay2
0,即
x
2
3y2 0,
2az2 0,
z2 0.
令y2 1,可得n2 3,1,0 .
因为n1 n2 1 3 1 3 0.
所以n1 n2, 所以平面BCE 平面CDE.
【母题变式】
1.若本例中条件不变,点F是CE的中点,证明DF⊥平面BCE.
FG 因为
FD1
D无1G公共12 c点 ，12 a所 1以2 AFBG1. ∥AB1，
因为AFGB与1⊂A平B1面AB1C，所以FG∥平面AB1C.
又因为FG∩EG=G，所以平面EFG∥平面AB1C.
2.如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD 是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD 的中点. 求证:PB∥平面EFG.
第七节 立体几何中的向量方法 第一课时 利用空间向量证明空间中的
位置关系
【知识梳理】
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所
在直线与直线l_____或_____,则称此向量a为直线l的方
向向量.
平行 重合
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的_方__向__向量a,则 向量a叫做平面α的法向量.
D.3∶2∶4
【解析】
选A.AB (1， 3， 7 )，BC (3，2，0)， 4
因为平面的一个法向量为a x, y,z,
所以a
AB
x
3y
7 4
z
0,
a BC 3x 2y 0,
取y 3,则x 2,z 4.所以x∶y∶z 2∶3∶4.
5.(2016·桂林模拟)已知平面α内有一点M(1,-1,2),
【规范解答】设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的空间 直 角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a), D(a, 3a,0),E(a, a,32a).
合集下载
2018年秋高考数学一轮总复习课件：第七章 立体几何 7-4 精品
为H,连接CH,DH.因为AB⊥平面PCD,所以AB⊥CH,AB⊥DH,
所以∠CHD是二面角α-AB-β的平面角.又PC=PD=1,CD=
,所以CD2=PC2+PD2=2,即∠CPD=90°.在平面四边 形 2PCHD中,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°,所以∠CHD=90°.
故平面α⊥平面β.
3.如图,已知平面α ,β ,且α ∩β =AB,PC⊥α ,PD⊥β ,
C,D是垂足.那么直线AB与平面PCD的位置关系为_____,
若PC=PD=1,CD= ,则平面α 与平面β 的位置关系为
________.
2
【解析】因为PC⊥α,AB
α,所以PC⊥AB.同理PD⊥
AB.又PC∩PD=P,故AB⊥平面PCD.设AB与平面PCD的交点
在直线垂直于平面β
D.如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那
么 l⊥ γ
【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l
还可能平行于平面β ,也可能在平面β 内.
2.如图,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,
则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为
有了两个直角,这与三角形的内角和为180度相矛盾.
【教材母题巧变式】
题号 源自
1 P56·T7
2 P38·例1
3 P42·T6
1.下列命题中不正确的是
(
)
A.如果平面α ⊥平面β ,且直线l∥平面α ,则直线l⊥平
面β
B.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平
行于平面β
C.如果平面α 不垂直于平面β ,那么平面α 内一定不存
线垂直的直线,则这两条直线都垂于第三个平面,那么
所以∠CHD是二面角α-AB-β的平面角.又PC=PD=1,CD=
,所以CD2=PC2+PD2=2,即∠CPD=90°.在平面四边 形 2PCHD中,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°,所以∠CHD=90°.
故平面α⊥平面β.
3.如图,已知平面α ,β ,且α ∩β =AB,PC⊥α ,PD⊥β ,
C,D是垂足.那么直线AB与平面PCD的位置关系为_____,
若PC=PD=1,CD= ,则平面α 与平面β 的位置关系为
________.
2
【解析】因为PC⊥α,AB
α,所以PC⊥AB.同理PD⊥
AB.又PC∩PD=P,故AB⊥平面PCD.设AB与平面PCD的交点
在直线垂直于平面β
D.如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那
么 l⊥ γ
【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l
还可能平行于平面β ,也可能在平面β 内.
2.如图,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,
则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为
有了两个直角,这与三角形的内角和为180度相矛盾.
【教材母题巧变式】
题号 源自
1 P56·T7
2 P38·例1
3 P42·T6
1.下列命题中不正确的是
(
)
A.如果平面α ⊥平面β ,且直线l∥平面α ,则直线l⊥平
面β
B.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平
行于平面β
C.如果平面α 不垂直于平面β ,那么平面α 内一定不存
线垂直的直线,则这两条直线都垂于第三个平面,那么
2018高三数学(理)一轮总复习课件：第七章 立体几何 7-4
解析：选 B.如图，由题意得，
1 EF∥BD，且 EF＝5BD. 1 HG∥BD，且 HG＝2BD. ∴EF∥HG，且 EF≠HG，又 HG⊂面 BCD， ∴EF∥平面 BCD 且四边形 EFGH 是梯形．
2.(2016· 高考全国丙卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点．
图②
考点一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定
1．直线与平面平行的判定方法 不在平面内的一条直线 判定 定理 与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平 面平行(简记为线线平行 ⇒线面平行) l⊄ α a⊂α l ∥a ⇒l∥α
2.证明线面平行的常用方法 (1)线面平行的判定定理：a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α； (2)面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β； (3)向量法：在直线不在平面内的前提下，①证明直线的方向 向量与平面的法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直 线的方向向量平行；③证明直线的方向向量可以用平面内的两个 不共线向量表示．
1．在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 上的点， 且 AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又 H，G 分别为 BC，CD 的中点， 则( ) A．BD∥平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形 B．EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形 C．HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形 D．EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B.当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能 相交，因而 m∥β α∥β；当 α∥β 时，α 内任一直线与 β 平行， 因为 m⊂α， 所以 m∥β.综上知， “m∥β”是“α∥β”的必要而不 充分条件．
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章 立体几何 7.6 精品
【规范解答】(1)a+6b-8c=(2,0,5)+6(3,1,-2) -8(-1,4,0) =(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0) =(28,-26,-7). 答案:(28,-26,-7)
(2)①因为P是C1D1的中点,
所以
AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋
1 2
D1C1
AA1
AB
BN
1 2
AA1
AB
1 2
AD
1 2
a
b
1 2
c.
故x 1 , y 1, z 1 .
2
2
【规律方法】 1.用基向量表示指定向量的方法 (1)应结合已知和所求向量观察图形. (2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边 形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用 已知基向量表示出来.
答案: 2
3
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:
A1O－
1 2
AB－
1 2
AD.
(2)用 AB, AD, AA1表示OC1.
(3)设E是棱DD1上的点,且
DE＝
2 3
DD1，
若 EO＝xAB＋yAD＋zAA1， 试求x,y,z的值.
【解析】(1)因为 AB＋AD＝AC，
3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a, a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即 (a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P97习题3.1A组T2改编)如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设 AB =a, AD=b, AA1=c,则下列向量中与 C1M 相等的向量是 ( )
2018版高中数学(理)一轮全程复习(课件)第七章 立体几何 7.7
二、必明 2●个易误点 1．利用空间向量证明空间平行与垂直关系时，书写步骤时 一定明确判定定理的条件，否则，会犯步骤不规范的失误． 2．进行空间向量相关的坐标运算时，一定要准确无误，必 要时，可将立体问题转化为平面问题再计算.
[授课提示：对应学生用书第 126 页] 考向一 利用空间向量证明平行问题
→ ＝(6，－2，－3)，AC → ＝(x－4,3，－6) 解析：AB →· → ＝0. 由题意知AB AC → |＝|AC → |,6(x－4)－6＋18＝0. |AB 可解得 x＝2. 答案：2
[知识重温] 一、必记 4●个知识点 1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段 所在直线与直线 l 平行或重合，则称此向量 a 为直线 l 的方 向向量． (2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向 量 a 叫做平面 α 的法向量．
[小题热身] 1．若直线 l1，l2 的方向向量分别为 a＝(2,4，－4)，b＝(－6， 9,6)，则( ) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1 与 l2 相交但不垂直 D．以4×9＋6×(－4)＝0， ∴a⊥b，从而 l1⊥l2. 答案：B
2．若直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，有可能 使 l∥α 的是( ) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
答案：B
5．设平面 α 与向量 a＝(－1,2，－4)垂直，平面 β 与向量 b ＝(2,3,1)垂直，则平面 α 与 β 的位置关系是________．
解析：由题知 a，b 分别为平面 α，β 的法向量， 又 a· b＝(－1)×2＋2×3＋(－4)×1＝0， ∴a⊥b，∴α⊥β. 答案：垂直
2018高考数学(理)一轮复习课件 第七章 立体几何 第7讲 课件
辨明两个易误点 (1)求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答
π 案而忽视了夹角范围为0， 2 .
(2)求直线与平面所成角时，注意求出两向量夹角的余弦值的 绝对值应为线面角的正弦值．
1．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向 1 量，若 cos〈m，n〉＝－ ，则 l 与 α 所成的角为( 2 A．30° C．120° B．60° D．150°
(2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则 |e· n| 有 sin φ＝|cos θ|＝____________ ． |e||n|
(3)求二面角的大小 a．如图①，AB，CD 是二面角 α β 两个半平面内与棱 → → 〈AB，CD〉． l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝____________ l
【解】 (1)证明：如图，连接 BD，设 BD∩AC＝G，连接 EG，FG，EF.
在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1. 由∠ABC＝120°， 可得 AG＝GC＝ 3. 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE＝EC． 又 AE⊥EC，所以 故 DF＝ . 2
a a → → → 则CA＝(2a，0，0)，AP＝－a，－2，2，CB＝(a，a，0)．
设平面 PAC 的法向量为 n，易知可取 n＝(0，1，1)， → CB·n a 1 → 则 cos〈CB，n〉＝ ＝ ＝ . 2 → 2a · 2 2 |CB||n| → 所以〈CB，n〉＝60°， 所以直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90°－60°＝30°.
n＝－
2018年秋高考数学一轮总复习课件：第七章 立体几何 7-3 精品
C.存在两条平行直线a,b,a D.存在两条异面直线a,b,a
【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊈α,a⊈β,a∥α, a∥β,故排除A.若α∩β=l,a α,a∥l,则a∥β, β,b∥l,则
故排除B.若α∩β=l,a α,a∥l,b a∥β,b∥α,故排除C.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是DD1的中点,则BD1与 平面ACE的位置关系为__________.
________.
【解析】在正方体中,AB是正方体的对角线,M,N,P为所
在棱的中点,取MN的中点F,连接PF,则易知PF∥AB,故由
线面平行的判定定理可知直线AB与平面PN、面面平行的基本问题
▲夯基练透
【技法点拨】 解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意事项 (1)关注判定定理与性质定理中易忽视的条件.
β ,则“a⊥b”
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当α∥β时,因为a⊥α,且α∥β,所以
a⊥β,又因为b
β,所以a⊥b,则“a⊥b”是
“α∥β”的必要条件;
当a⊥b时,若α∩β=b,则满足条件,但此时α∥β不成
立,即“a⊥b”不是“α∥β”的充分条件.故“a⊥b” 是“α∥β”的必要不充分条件.
A.若α ⊥β ,则l∥m
C.若l∥β ,则m⊥α
B.若l⊥m,则α ∥β
D.若α ∥β ,则l⊥m
【解析】选D.由题意得,A中l与m位置不确定,故A错 误,B中α 与β 可能相交,故B错误,C中m与α 的位置不确 定,故C错误.
5.(2015·北京高考)设α ,β 是两个不同的平面,m是直
线且m
与α内的直线平行或异面;C错误,两个平面可能相交;D 正确,由a∥α,可得a平行于经过直线a的平面与α的交 线c,即a∥c,又a∥b,所以b∥c,b⊈α,c b∥α. α,所以
高考数学一轮总复习教学课件第七章 立体几何与空间向量第7节 利用空间向量求空间距离
|·|
||
=.
考点三 用空间向量求线线、线面、面面的距离
[例3] 在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中
点,则平面ADE与平面B1C1F之间的距离为
.
解析:以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接AB1,
||
=
|-|
+
=3 .
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
→
(3)求向量:求出相关向量的坐标( ,α内两个不共线向量,平面
α的法向量n).
→
|·|
(4)求距离:d=
.
||
[针对训练] 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,
如图,已知平面α的法向量为 n,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一
点.过点 P 作平面α的垂线 l,交平面α于点 Q,则 n 是直线 l 的方向向
→
→
量,且点 P 到平面α的距离就是在直线 l 上的投影向量 的长度,
→
因此 PQ=|·
→
·
||
|=|
||
→
|=
|·|
||
× )
)
2.平面α的法向量n=(1,-1,2),点B在α上且B(2,2,3),则P(-2,1,3)
到α的距离为
.
→
→
解析:因为 =(4,1,0),故 P(-2,1,3)到α的距离 d=
|(,,)·(,-,)|
2018版高考一轮总复习数学理课件 第7章 立体几何 7-2
二、小题快练
1． [2017· 南昌模拟] 如图， 在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P－BCD 的正 视图与侧视图的面积之比为 ( A．1∶1 B．2∶1 ) D．3∶2 C ．2∶3
Байду номын сангаас 解析
根据题意，三棱锥 P－ BCD 的正视图是三角形，
开图的面积． 2．旋转体的侧面展开图及其表面积与侧面积
考点 2
空间几何体的体积
Sh 1．柱体：V＝_____ (S 为底面面积，h 为高)，
特别地， V
πr h (r 为底面半径，h 为高)； 圆柱＝_____
2
1 Sh (S 为底面积，h 为高)， 2．锥体：V＝_____ 3 1 2 πr h (r 为底面半径，h 为高)； 特别地， V 圆锥＝_____ 3
板块二 典例探究· 考向突破
考向
几何体的表面积
例1
[2016· 全国卷Ⅱ] 上图是由圆柱与圆锥组合而成的几 ) D．32π B ．24π C ．28π
何体的三视图，则该几何体的表面积为( A．20π
[ 解析 ] 4，∴ S
底 圆锥侧
由三视图可得圆锥的母线长为 ＝ π×2×4＝ 8π.又 S
圆柱侧
且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图 是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的 高．故三棱锥 P－ BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶ 1.
2．[2017· 合肥模拟]某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为( A．12＋4 2 C．28 ) B．18＋8 2 D．20＋8 2
A．1.2
B．1.6
C ．1.8
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第七章 立体几何 7.1
答案：B
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
3．(2017·合肥一模)某几何体的三视
图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2
8 B.3
C．3
10 D. 3
第三十页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
解析：该几何体为一个横放的直三棱柱切去一个三棱锥后
的图形．原直三棱柱的体积为V1＝
1 2
×2×2×2＝4，切去的三棱
锥的体积为V2＝13×12×2×2×1＝23，则该几何体的体积为V＝V1
－V2＝4－23＝130.故选D.
答案：D
第三十一页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
4．(2017·江西南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的 正视图与侧视图的面积之比为( )
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[通·一类]——
2．(2016·课标全国卷Ⅲ)如图，网格 纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的表
面积为( )
A．18＋36 5 B．54＋18 5
C．90
D．81
解析：由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方 形，高为6，侧棱长为3 5 ，则该几何体的表面积S＝2×32＋ 2×3×3 5＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.
——[悟·技法]—— 空间几何体结构特征的解题策略
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特 征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型 中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判 定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是 错误的，只要举出一个反例即可．
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
3．(2017·合肥一模)某几何体的三视
图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2
8 B.3
C．3
10 D. 3
第三十页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
解析：该几何体为一个横放的直三棱柱切去一个三棱锥后
的图形．原直三棱柱的体积为V1＝
1 2
×2×2×2＝4，切去的三棱
锥的体积为V2＝13×12×2×2×1＝23，则该几何体的体积为V＝V1
－V2＝4－23＝130.故选D.
答案：D
第三十一页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
4．(2017·江西南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的 正视图与侧视图的面积之比为( )
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[通·一类]——
2．(2016·课标全国卷Ⅲ)如图，网格 纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的表
面积为( )
A．18＋36 5 B．54＋18 5
C．90
D．81
解析：由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方 形，高为6，侧棱长为3 5 ，则该几何体的表面积S＝2×32＋ 2×3×3 5＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.
——[悟·技法]—— 空间几何体结构特征的解题策略
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特 征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型 中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判 定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是 错误的，只要举出一个反例即可．
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章 立体几何 7.4 精品
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
【知识梳理】 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
平面外一条直线 判 与_此__平__面__内__的一 定 条直线平行,则该 定 直线与此平面平 理 行(线线平行⇒线
面平行)
图形语言
符号语言
因为_l∥__a_,_
_a_⊂_α__,_l_⊄_α__, 所以l∥α
【特别提醒】 1.两个平面平行的有关结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α, a⊥β,则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β, β∥γ,则α∥γ. 2.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否 则会出现错误.
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P61练习改编)下列命题中正确的是 ( ) A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何 平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直 线平行
考向一 直线与平面平行的判定与性质
【考情快递】
命题方向
命题视角
证明直线与平面 主要考查利用线面平行的判定定理或
平行
利用面面平行的性质证明线面平行
线面平行性质定 主要考查利用线面平行性质定理得出
理的应用
线线平行,进而求解其他问题
【考题例析】 命题方向1:证明直线与平面平行 【典例1】(2015·山东高考改编题)如图,在三棱台DEFABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平 面FGH.
感悟考题 试一试
3.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是
直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
【知识梳理】 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
平面外一条直线 判 与_此__平__面__内__的一 定 条直线平行,则该 定 直线与此平面平 理 行(线线平行⇒线
面平行)
图形语言
符号语言
因为_l∥__a_,_
_a_⊂_α__,_l_⊄_α__, 所以l∥α
【特别提醒】 1.两个平面平行的有关结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α, a⊥β,则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β, β∥γ,则α∥γ. 2.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否 则会出现错误.
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P61练习改编)下列命题中正确的是 ( ) A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何 平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直 线平行
考向一 直线与平面平行的判定与性质
【考情快递】
命题方向
命题视角
证明直线与平面 主要考查利用线面平行的判定定理或
平行
利用面面平行的性质证明线面平行
线面平行性质定 主要考查利用线面平行性质定理得出
理的应用
线线平行,进而求解其他问题
【考题例析】 命题方向1:证明直线与平面平行 【典例1】(2015·山东高考改编题)如图,在三棱台DEFABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平 面FGH.
感悟考题 试一试
3.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是
直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件