2018版高考数学大一轮复习第七章不等式第3讲基本不等式及其应用试题理新人教版

2018版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第3讲 基本不等式及其应用试题

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基础巩固题组

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1.下列不等式一定成立的是( )

A.lg ? ????x2＋14>lg x (x >0)

B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )

C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )

D.1x2＋1＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ? ??

??x2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有

1x2＋1＝1，故选项D 不正确. 答案 C

2.若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )

A.[0，2]

B.[－2，0]

C.[－2，＋∞)

D.(－∞，－2]

解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，所以2

x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2

，所以x ＋y ≤－2. 答案 D 3.(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则? ????1＋b a ·? ??

??1＋4a b 的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10

解析 ∵a ，b 都是正数，∴? ????1＋b a ? ????1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b

＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C.

答案 C

4.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2

D.a 2＋b 2≥8 解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥1

4，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab

≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立.

答案 D

5.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A.2 B.2 C.22 D.4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab

，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立. 因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab

，即ab ≥22， 所以ab 的最小值为22，故选C.

答案 C

6.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.4

3 B.53

C.2

D.54 解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy

＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.

答案 C

7.(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b

的最小值为( )

A.4

B.22

C.8

D.16 解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝

a ＋

b ab ，得ab ＝1， 则1a ＋2b ≥2

1a ·2b ＝22.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22

，b ＝2时等号成立.故选B. 答案 B 8.(2017·福州六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.1

2 B.3

2 C.1 D.2

解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a

x ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号.所以???2－2a ＝0，2a ＋2＝4，

解得a ＝1. 答案 C

二、填空题

9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.

解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，

解得ab ≥3，即ab ≥9.