考研数学高数中值定理的详解

考研数学高数中值定理的详解考研数学高数中值定理的详解

七大定理的归属。

零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。

对使用每个定理的体会

学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。

1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。

2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。

3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：

(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;

(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;

(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函

数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;

(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值

定理的区间应当不同;

(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。我

们总感觉证明题无从下手，我认为证明题其实不难，因为证明题的

结论其实是对你的提示，只要从证明结论入手，逐步分析，必然会

找到证明方法。

4、积分中值定理其实是微分中值定理的推广，对变上限函数使

用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于

泰勒定理的形式。因此看到有积分形式，并且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用

积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使

用积分中值定理;当结论中有积分与被积函数的导数时，一般需要展

开变上限积分为泰勒展开式。

?在文字叙述题上下功夫

考生一方面多做些题目，尤其是文字叙述的题目，逐渐提高自己分析问题的能力。另一方面花点时间准确理解概率论与数理统计中

的基本概念。考生在复习过程中可以结合一些实际问题理解概念和

公式，也可以通过做一些文字叙述题巩固概念和公式。只要针对每

一个基本概念准确的理解，公式理解的准确到位，并且多做些相关

题目，再遇到考卷中碰到类似题目时就一定能够轻易读懂和正确解答。

?会用公式解题

?对概率论与数理统计的考点整体把握

考研中，概率论的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。所以对于第一条中所讲的古典概型与几何概型这部分，只要掌握一些简单的'概率计算就可，把大量精力放在随机变量

的分布上。数理统计的考查重点在于与抽样分布相关的统计量的分

布及其数字特征。

?心理上要重视

如果你相信自己，那么概率复习起来是简单的，考试中有关概率的题目也是容易的，数学满分不是没有可能的。那么，从现在开始，在心理上告诉自己：概率并不难!

在认真熟悉教材上的原理与概念，深刻了解基本概念、基本性质。在同学们以后的复习过程中注意以下几个问题，通过做题来检验自

己的复习程度。

概念不清，只会背不会运用;

不能正确地选择概率公式去证明和计算;

不能熟练地应用有关的定义、公式和性质进行综合分析、运算和证明。

分析有误，概率模型搞错。

?一、区别

数学一：针对对数学要求较高的理工类

(1)考试内容：

a.高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数

与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程);

b.线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值

和特征向量、二次型);

c.概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中

心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。

(2)适用专业：

a.工学门类的力学，机械工程，光学工程，仪器学与技术，冶金工程，动力学工程及工程物理，电气工程，电子科学与技术，信息与通信工程，控制科学与工程，计算机科学与技术，土木工程，水利工程，测绘科学与技术，交通运输工程，船舶与海洋工程，航空宇航科学与技术，兵器科学与技术，核科学与技术，生物医学工程等一级学科中所有的二级学科，专业。

b.工学门类的材料与工程，化学工程与技术，地质资源与地质工程，矿业工程，石油与天然气工程，环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科，专业。

c.管理学门类中的管理科学与工程一级学科。

数学二：针对对数学要求低一些的农、林、地、矿、油等专业

(1)考试内容：

a.高等数学(函数、极限、一元函数微积分学、常微分方程);

b.线性代数(行列阵、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量)。

(2)适用专业：工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程第一级学科中所有的二级学科、专业。

数学三：针对管理、经济等方向

(1)考试内容：

a.微积分(函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);

b.线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);

c.概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中

心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。

(2)适用专业：

a.经济学门类的理论经济学一级学科中的所有二级学科、专业;

b.经济学门类的应用经济学一级学科中的统计学科、专业、统计学、数量经济学、国民经济学、区域经济学、财政学(含税收学)、

金融学(含保险学)、产业经济学、财政学(含税收学)、金融学(含保

险学)、产业经济、国际贸易学、劳动经济学、国防经济。

d.管理学门类的农林经济管理一级学科中的所有二级学科、专业。

?二、难度系数

数一考得比较全面，高数，线代，概论都考，而且题目偏难。数二不考概论，而且题目较数一容易。数三考得也很全面，题目的难

度不比数一简单多少。