2006年高考第一轮复习数学133函数的极限
13.3 函数的极限
?知识梳理 大时，函数f (x )的极限是a,记作lim f (x ) =a,也可记作当x ^^时，f (X )T a.
(2) 一般地，当自变量 x 无限趋近于常数X 0 (但x 不等于X 0)时，如果函数f (x )无 限趋近于一个常数 a,就说当x 趋近于X 。时，函数f (x )的极限是a,记作lim f (x ) =a 也可 记作当x T X Q 时，f ( X )T a.
(3) 一般地，如果当 x 从点x=x o 左侧(即x v X 。)无限趋近于X 。时，函数f (x )无限 趋近于常数a,就说a 是函数f (x )在点X o 处的左极限，记作lim f (x ) =a.如果从点x=x o 右侧(即x > X 。)无限趋近于X o 时，函数f (X )无限趋近于常数 a,就说a 是函数f (x )在 点x o 处的右极限，记作 lim f (x ) =a.
2.极限的四则运算法则：
如果 lim f (x ) =a, lim g (x ) =b,那么
Xf
X —x o
f (x) a
lim [f
(x )± g (x ) ]= a ± b; lim [f (x ) ? g (x ) ]=a ? b; lim
=— (b ^ o ) x —o
X 內
x >X o g(x) b
特别提示
(1) 上述法则对x ^m 的情况仍成立； (2) lim [Cf (x ) ]=C lim f (x ) (C 为常数)；
X %
Xf
(3) lim [f (x ) ]n =[ lim f (x ) ]n (n € N *).
x —
?点击双基
1. lim f (x ) = lim f (x ) =a 是 f (x )在 x o 处存在极限的 x 旳 x ―r x o — A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 答案:C
2x x ^1.
"丄、人一匚口
2. f (x ) = J
下列结论正确的是
0 x <1,
i ?函数极限的概念:
(1)如果 lim f (x )
x _
=a 且lim f (x ) =a,那么就说当
x :
x 趋向于无穷
A. lim f (x)= lim f (x)
X 1 X―1 一
B. lim f (x) =2 , lim f(x)不存在
C. lim f (x)=0, lim f (x)不存在
x ：1 - x 1-
D. lim f (x)丰 lim f (x)
x 1 - x 1 -
答案:D
3?函数f ( x)在x o处连续是f (x)在点x o处有极限的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案:A
答案:3
2
x ax 3
5. -------------- 若lim 2 =2,贝H a=
x 1x2 3
解析:lim =2,
x 1x 3
a 4 =2. /? a=4.
4
答案:4
?典例剖析
【例1】求下列各极限:
x . x cos sin
2 2
剖析若f (x)在X o处连续，则应有lim f (x) =f (x o),故求f (x)在连续点X o处
x f
的极限时，只需求f (x0)即可；若f (X)在x0处不连续，可通过变形，消去x —x0因式, 转化成可直接求f ( X0)的式子.
4. ( 2005年西城区抽样测试)
x2x -2 lim 2 ----
x 1x—x
解析:
x2x -2
=lim
(x-1)(x 2)
x(x -1)
=3.
\17
1
lim
x“2
(4)
n
cosx
解: (1)原式=lim
4
_(
x
2)
-
X T 1 2
2 x . 2 x cos sin -
2 2 「 / x
x 、 而
f (x)
=1, lim =5,求f ( x )的表达式. x 刃 x
=b, lim f (x ) = lim ( 1+2x )
=2,
x )0 …
x )0-
故b=2时，原极限存在. ，且 lim
x 护
x
?可设 f (x ) =4x 3+x 2+ax+b (a 、b 为待定系数) 又? ?「 f (x) 乂? lim =5,
i x
2
b 即 lim ( 4x +x+a+
) =5,
x )0
x
??? a=5,b=0,即 f (x ) =4x 3+x 2+5x.
评述：(1)函数在某点处有极限，与其在该点处是否连续不同 (2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值
言,求极限就是求函数值，使极限运算大大简化.
2n
1 —X
【例3】 讨论函数f (x ) = lim 站x ( 0< x v +s)的连续性，并作出函数
图象
=lim (cos +sin )= . 2 . x . x x n 2 2
cos sin
迄
2 2
思考讨论
数列极限与函数极限的区别与联系是什么?
3
(x )为多项式，且 lim f (x) —4x
x 护
X
(2)原式 (a b)x ab
=lim
x 「x 2 (a b)x ab ——=a+b.
x (3)因为
x lim - x 0
|x|
所以lim
x _0 X =
x
lim =1,而=lim = — 1, X —0 ' | X | J 0 _| x|
X 丰 lim , x —0-|XI
X 一 不存在.
|X| 【例
2】
2x b (1)设 f (x ) = 0
x 0,
x = 0,试确定b 的值,使lim f (x)存在;；
1 2x
x :::
0, 当且仅当b=2时，lim f
x 0 ■
(X )= lim f
^_0 -
-1
p lim x-4 x _.2 x 2
(4)原式=lim
n
x
3
(2) f 解：(1)
lim f ( x ) = lim
( 2x+b
^x !=1,
(2)由于f (x )是多项式
，也就是对初等函数而
n T^1 +x
部析:应先求出f (X)的解析式，再判断连续性
解:当0w x v 1 时，f (x) = li m
MM
?lim f (x)不存在.
X 1
? ?? f (x)在x=1处不连续，f (x)在定义域内的其余点都连续图象如下图所示?
评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性?闯关训练
夯实基础
1.已知函数f (x)是偶函数，且lim f (x)
X 、P
(x)是偶函数,f (-x) =f (x).
又lim f (x) =a,
x ■-
答案：B
2. ( 2004年全国n.理2) lim
x T 冷
x 2
等于
x24x - 5
2n
1 -x
27 x=x；
x
当x> 1时，f (x) = lim上笃
n Y1 +x2n -x=
-4-1
lim - ? x= —
x;
W1
x
当x=1 时，f (x) =0. ??? f (x) = 0 I-X (0 沁：：：
1),
(x =1), i
(x 1).
T lim f (x) = lim x_1 ?xj - (—x)= —1,lim f (x) = lim x=1,
x_1 . . x -
=a,则下列结论一定正确的是
A MJ B. lim—f (x) =a
x :.
C. x im：：f(x)=|a|
D. lim f (x) =|a|
x :,.
lim f (—x) =a,f
X—?
(x) =f (- x),
lim f (- x)= x J ：：J im J (x)=a.
O -
1