北京市东城区2020届高三上学期期末数学试题(解析版)
B．若 ，则 cos cos 2
2
D．若 ，则 cos cos 1 2
【解析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答
案.
【详解】
对于 A 中，因为 ，则 0 ,
2
2 44 2 4
又由 sin sin 2sin cos 2sin cos 2 cos 2 ，
数，
当 x 0 时，函数 y ln x 为 0, 上的单调递增函数，符合题意；
对于 C 中，函数 y 2x 为非奇非偶函数，不符合题意；
对于 D 中， y 1 | x | 为偶函数，当 x 0 时，函数 y 1 x 为单调递减函数，不符合
题意， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单 调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证 能力，属于基础题.
2
2
4
2
2
所以 sin sin 2 是正确的；
对于 B 中，例如
,
，此时 cos
cos
3
2，
66
6
6
所以 cos cos 2 不一定成立，所以不正确；
对于 C 中，因为 ，例如 5 , 时，
2
6 12
5 sin
sin
1
6
2 1，
6 12 2 4
所以 sin sin 1不正确；
题的一个 m 的值为______.
【答案】0
【解析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到
3 m 5 ，求得 m 的取值范围，即可求解.
12 (1)2
【详解】
由题意，圆 x2 y2 4x 2 y 0 的圆心坐标为 (2,1) ，半径为 r 5 ，
若直线 x y m 0 与圆 x2 y2 4x 2 y 0 有两个不同的交点，
S4
6 [1 (1 )4 ] 2
1 1
45 4
.
2
1 45
故答案为： ， .
24
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前 n 项和公式的应用，其中解答中
熟练等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与
运算能力，属于基础题.
11．能说明“直线 x y m 0 与圆 x2 y2 4x 2 y 0 有两个不同的交点”是真命
故选：C
【点睛】 本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构 特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力， 属于中档试题.
二、填空题
9．若双曲线 x2 y2 1与 x2 y2 1 有相同的焦点，则实数 m _________.
何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
10．已知an 是各项均为正的等比数列， Sn 为其前 n 项和，若 a1 6 ， a2 2a3 6 ，
则公比 q ________， S4 _________.
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1 45
【答案】
24 【解析】根据等比数列的通项公式，得到 2q2 q 1 0 ，求得 q 1 再由等比数列的
等于 6，这样的三位数的个数为（ ）
A．7
B．9
C．10
D．13
【答案】C
【解析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1, 4 ，1, 2, 3 ， 2, 2, 2 三种情况，
结合排列、组合和计数原理，即可求解. 【详解】 从数字 1，2，3，4，5 中，取出 3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等 于 6， 可分为三类情况：
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由①可知，即 c 1，所以 2c 2 ，即椭圆的焦距为 2，所以②是正确的；
R
由①可得 a R sin
，c
R tan
，所以椭圆的离心率为 e
c a
tan R
sin tan
cos ，
sin
所以当当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.
【答案】B 【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，对于 A 中，若 m ， m n ，则 n / / 或 n ，所以不正确； 对于 C 中，若 n / / ， m n ，则 m 与 可能平行，相交或在平面 内，所以不正确； 对于 D 中，若 / / ， m ， n ，则 m 与 n 平行、相交或异面，所以不正确；
【点睛】
本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合
计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．设 ， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 sin sin 2
2
C．若 ，则 sin sin 1 2
当 a b 0 时，可得 f a f b ，即 a b 成立， 当 a b ，即 f a f b 时，可得 a b ，所以 a b 0 不一定成立，
所以“ a b 0 ”是“ a b ”的充分而不必要条件.
故选：A. 【点睛】 本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指 数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查
2．复数
在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.
【详解】
，对应点为
，在第三象限.
故答案选 B
【点睛】
本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.
3．下列函数中，是偶函数，且在区间 0, 上单调递增的为（ ）
A． y 1 x
由题意，集合 B {x | (x 2)(x 1) 0} {x | 1 x 2} ，
所以 A B x | 1 x 1 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合 B ，结合集合交集的概念
及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．在平行四边形 ABCD 中，已知 AB AC AC AD ， | AC | 4 ，| BD | 2 ，则四
边形 ABCD 的面积是_______.
【答案】4
uuur uuur
【解析】由 AB AC AC AD ，根据向量的线性运算，得到 AC BD ，进而得到四
对于 D 中，因为 ，例如 2 , 时， cos 2 cos 1 3 1 ，
2
3
6
3
6 22
所以 cos cos 1 不正确，
故选：A. 【点睛】 本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等 变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属
北京市东城区 2020 届高三上学期期末试题
数学
一、单选题
1．已知集合 A x | x 1 ， B {x | (x 2)(x 1) 0} ，那么 A B （ ）
A． x | 1 x 2
B．x | 1 x 1
C．x |1 x 2
D．x | 1 x 1
【答案】D 【解析】求得集合 B {x | 1 x 2} ，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】
3 m
则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即
5 ，解得
12 (1)2
3 10 m 3 10 ，
所以命题为真命题的一个 m 的值为 0 .
故答案为： 0 .
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【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列
出不等式求得 m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4．设 a,b 为实数，则“ a b 0 ”是“ a b ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据函数 f x x 为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，
即可求解. 【详解】
由题意，函数 f x x 为单调递增函数，
OC
2
b2
R2 tan2
R2
R2 1
1 tan2
R2 sin2
，
即 OC 2 b2 a2 ，所以 OC 2 a2 b2 ，
又因为椭圆中 c 2 a 2 b 2 ，所以 OC c ，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确
的；
由 O1O2 4 ，可得 O1O 2 ，又由球的半径为 3 ，即 R 3 ， 在直角 O1OC 中， OC 2 OO1 2 R2 22 ( 3)2 1，
m
32
【答案】4
【解析】结合双曲线的几何性质，得到 m 1 3 2 ，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，双曲线 x2 y2 1与 x2 y2 1 有相同的焦点，
m
32
可得 m 1 3 2 ，解得 m 4 .
故答案为： 4 .
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几
（1）当三个数为1,1, 4 时，共有 C31 3 种排法； （2）当三个数为1, 2, 3 时，共有 A33 6 种排法；
（3）当三个数为 2, 2, 2 时，只有 1 中排法，
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由分类计数原理可得，共有 3 6 1 10 种不同排法，即这样的数共有 10 个.
北京市东城区2020届高三数学上学期期末教学统一检测试题 含答案
与圆柱面和 均相切.给出下列三个结论：
①两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；
②若球心距 O1O2 4 ，球的半径为 3 ，则所得椭圆的焦距为 2 ；
③当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是
(A) ①
(B) ② ③
(C) ① ②
(D) ① ② ③
的物体温度记为 tn ，已知 t1 0 C .已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 k ）. 给
出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为
；(填写模型对应的序号）
① tn1
tn
tn
k 30
；
② tn1 tn k(30 tn ) ；
③ tn+1=k(30 tn ) .
(6)从数字1, 2,3, 4,5 中，取出 3 个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为
13
(7)设， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是
(A) 若 ，则 sin sin 2 2
(C) 若 ，则 sin sin 1 2
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
(5)设, 是两个不同的平面， m, n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是
(A) 若 m ， m n ，则 n∥
(B) 若 ， m ， n ，则 m n
(C) 若 n∥ ， m n ，则 m
(D) 若 ∥ ， m ， n ，则 m∥n
530 人
后期用户
2022 年 1 月及以后
200 人
我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早
2020-2021学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷1(附解析)
2020-2021学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x−1≥0}，B={0,1，2}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {2}D. {1,2}2.已知{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和.若S3=3a1+3，则d=()A. −2B. −1C. 1D. 23.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是()A. y=2−xB. y=lnxC. y=1xD. y=sinx4.将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧(左)视图为()A.B.C.D.5.与圆x2+(y−1)2=5相切于点(2,2)的直线的斜率为()A. −2B. −12C. 12D. 26.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)=()A. −√3B. −√32C. √32D. √37. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线向量，则“a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角”是“a ⃗ ⊥(a ⃗ −b⃗ )”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有( )A. 242种B. 220种C. 200种D. 110种9. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF|=3|FB|，则点A 到y 轴的距离为( )A. 5B. 4C. 3D. 210. 某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：①10人(含)以上团体购票9折优惠；②50人(含)以上团体购票8折优惠；③100人(含)以上团体购票7折优惠；④购票总额每满500元减100元(单张票价不优惠)．现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为( )A. 1090元B. 1171元C. 1200元D. 1210元二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 设i 为虚数单位，则复数3+4i i = ______ ．12. 函数f(x)=√x −1+lnx 的定义域是______ ．13. 已知sinθ=−13，θ∈(π,3π2)，则cosθ= ______ ，cos2θ= ______ ． 14. 已知双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，△ABC 为等边三角形.若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为______ ．15. 已知函数f(x)=2[sinx]+3[cosx]，x ∈[0,2π]，其中[x]表示不超过x 的最大整数.例如：[1]=1，[0.5]=0，[−0.5]=−1．①f(2π3)= ______ ；②若f(x)>x +a 对任意x ∈[0,2π]都成立，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．(Ⅰ)求证：平面ADE⊥平面PCD；(Ⅱ)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．)，ℎ(x)=cosx，再从条件①、条件②这两个条件中选17.已知函数g(x)=sin(x−π6择一个作为已知，求：(Ⅰ)f(x)的最小正周期；]上的最大值．(Ⅱ)f(x)在区间[0,π2条件①：f(x)=g(x)⋅ℎ(x)；条件②：f(x)=g(x)+ℎ(x)．18.为了解果园某种水果产量情况，随机抽取10个水果测量质量，样本数据分组为[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)，其频率分布直方图如图所示：(Ⅰ)用分层抽样的方法从样本里质量在[250,300)，[300,350)的水果中抽取6个，求质量在[250,300)的水果数量；(Ⅱ)从(Ⅰ)中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在[300,350)的水果数量，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如表所示，质量m(单位：克)m<200200≤m<300m≥300等级规格二等一等特等价格(元/个)4710试估计果园该种水果的销售收入．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−2,0)，B(2,0)，且离心率为12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G(E,G不重合)，ET⊥x轴，垂足为T.求证：|TA||TB|=|GA||GB|．20.已知函数f(x)=1−ax2，a∈R．e x(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=x，求该切线方程；(Ⅱ)若a=1，求证：当x>0时，f(x)>0；(Ⅲ)若f(x)恰有两个零点，求a的值．21.给定正整数m，t(m≤t)，若数列A：a1，a2，…，a n，…满足：a i∈(0,1}，a i=a i+t，a1+a2+⋯+a t=m，则称数列A具有性质E(t,m)．对于两个数列B：b1，b2，…，b n，…；C：c1，c2，…，c n，…，定义数列B+C：b1+c1，b2+c2，…，b n+c n，…．(Ⅰ)设数列A具有性质E(4,2)，数列B的通项公式为b n=n(n∈N∗)，求数列A+B 的前四项和；(Ⅱ)设数列A i(i∈N∗)具有性质E(4,m)，数列B满足b1=1，b2=2，b3=3，b4=4且b j=b j+4(j∈N∗).若存在一组数列A1，A2，……，A k，使得A1+A2+⋯+A k+B 为常数列，求出m所有可能的值；(Ⅲ)设数列A i(i∈N∗)具有性质E(t,t−1)(常数t≥2)，数列B满足b1=1，b2=2，…，b t=t且b j=b j+t(j∈N∗).若存在一组数列A1，A2，…，A k，使得A1+A2+⋯+A k+B为常数列，求k的最小值.(只需写出结论)答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|x≥1}，B={0,1，2}，∴A∩B={1,2}．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵S3=3a1+3，∴3a1+3d=3a1+3，则d=1．故选：C．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，y=2−x为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y=lnx为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，y=1为奇函数，但在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；x对于D，y=sinx为奇函数，由正弦函数的图象可知，y=sinx在区间(0,1)上单调递增，符合题意．故选：D．由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：将几何体补充为正方体，如图1所示：则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧(左)视图如图2所示：故选：B．将几何体补充为正方体，结合图形得出该几何体的侧(左)视图．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了直观想象能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，圆x2+(y−1)2=5，其圆心为(0,1)，设圆心为C，切点(2,2)为P，则K PC=2−12−0=12，则切线的斜率k=−2，故选：A．根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C，切点(2,2)为P，求出PC的斜率，由切线的性质分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由图可知，T2=5π12−(−π12)=π2，则T=π，∴ω=2．又2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3．则f(x)=2sin(2x−π3)，∴f(π)=2sin(2π−π3)=2sin(−π3)=−√3．故选：A．由已知函数图象求得T，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f(π)．本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：若a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=|a⃗|(|a⃗|−|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >)=0∵a⃗，b⃗ 是两个不共线向量，∴a⃗≠0⃗，即|a⃗|≠0，∴|a⃗|=|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >，∴cos<a⃗,b⃗ >>0，∵<a⃗,b⃗ >≠0，∴a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，而a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，不妨设a⃗=(1,0),b⃗ =(2,2)，此时a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=−1≠0，故a⃗与(a⃗−b⃗ )不垂直，∴“a⃗与b⃗ 的夹角为锐角”是“a⃗⊥(a⃗−b⃗ )”的必要不充分条件．故选：B．根据向量垂直时数量积为0建立等式，可得到a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，反之不成立，再结合充分条件必要条件的定义可得结论．本题主要考查向量的有关性质，以及充分条件必要条件的判定，同时考查了学生转化的能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，分3步进行分析：对于甲，不选马和羊，有10种选法，对于乙和丙，有1个人选择羊，有2种选法，剩下1人在剩下10个生肖中任选1个，有10种选法，则有10×2×10=200种不同的选法，故选：C．根据题意，分3步进行分析甲乙丙的选法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：焦点F到准线的距离为p=2，过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l 于点E，延长AB交l于点C，则△BCE∽△ACD，所以BCAC =BEAD=BFAF=13，记BC=x，则AC=3x，因为|AF|=3|FB|，所以BF=14AB=12x，AF=3BF=32x，因为CF=BC+BF=32x，F为AC的中点，所以AD=2FG=4，即点A到y轴的距离为4−p2=3．故选：C．根据题意得到p的值，过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，延长AB交l于点C，再利用三角形相似得到BC和AC的关系，从而得到BF，AF，CF 的关系，求出AD=4，即可得到答案．本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．10.【答案】B【解析】解：由于需要购买47张门票，所以不能享受优惠政策中的②和③，若只按优惠政策①购买，则门票费用为47×30×90%=1269元；若将47分为17+17+13，则可享受两次优惠政策④，一次优惠政策①，门票费用为(17×30−100)×2+13×30×90%=1171元，因为1269>1171，所以门票费用最少为1171元．故选：B．分两种情况：只按优惠政策①购买，将47分为17+17+13，两次按优惠政策④，一次按优惠政策①购买，分别计算门票费用，取较小者的方案．本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】4−3i【解析】解：复数3+4i i=−i(3+4i)−i⋅i=4−3i ．故答案为：4−3i ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．12.【答案】[1,+∞)【解析】解：由题意得： {x −1≥0x >0，解得：x ≥1， 故函数的定义域是[1,+∞)， 故答案为：[1,+∞)．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．13.【答案】2√2【解析】解：因为sinθ=−13，θ∈(π,3π2)，可得cosθ=−√1−sin 2θ=−√1−(−13)2=−2√23， 可得cos2θ=2cos 2θ−1=2×(−2√23)2−1=79．故答案为：−2√23，79．由已知利用同角三角函数基本公式可求得cosθ的值，利用二倍角的余弦公式即可求解cos2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：∵双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线， ∴等边△ABC 的边长为4a ，假设点B 在第一象限，则点B 的坐标为(2a,√3a)， 将其代入双曲线M 的方程有，4a 2a 2−3a 2b 2=1，∴a b=1，离心率e =√a 2+b 2a 2=√1+b2a 2=√2． 故答案为：√2．易知，等边△ABC 的边长为4a ，不妨取点B 为(2a,√3a)，将其代入双曲线的方程可得a =b ，再由e =√1+b 2a2，得解．本题考查双曲线的几何性质，包含a 、b 、c 的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．15.【答案】43 (−∞,32−2π]【解析】解：①f(2π3)=2[sin 2π3]+3[cos 2π3]=2[√32]+3[−12]=20+3−1=43；②若f(x)>x +a 对任意x ∈[0,2π]都成立，即为a <f(x)−x =2[sinx]+3[cosx]−x 对任意x ∈[0,2π]都成立， 当x =0或x =2π时，f(x)−x =1+3=4或4−2π； 当x =π2时，f(x)−x =2+1−π2=3−π2； 当x =π时，f(x)−x =1+13−π=43−π； 当x =3π2时，f(x)−x =12+1−3π2=32−3π2；当0<x <π2时，sinx ∈(0,1)，cosx ∈(0,1)， 可得a ≤20+30−π2=2−π2；同理可得当π2<x <π时，可得a ≤20+3−1−π=43−π； 当π<x <3π2时，可得a ≤2−1+3−1−3π2=56−3π2；当3π2<x <2π时，可得a ≤2−1+30−2π=32−2π． 综上可得，a 的取值范围是(−∞,32−2π]． 故答案为：43；(−∞,32−2π]．①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及[x]的定义，可得所求值；②由题意可得a <f(x)−x =2[sinx]+3[cosx]−x 对任意x ∈[0,2π]都成立，分别讨论x 在各个象限和坐标轴的取值情况，结合[x]的定义，可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义[x]的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，因为底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥CD ， 因为PD ∩CD =D ， 所以AD ⊥平面PCD ， 又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面PCD ； (Ⅱ)解：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ， 因为底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥CD ，如图建立空间直角坐标系D −xyz ，因为PD =4，底面ABCD 是边长为2的正方形，所以P(0,0，4)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(0,0，0)，E(1,1，2)，F(0,1，2)， 则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,2)， 设平面ADE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{2x =0x +y +2z =0，所以m⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ，则sinθ=|cos <BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√9×√5=4√515， 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为4√515．【解析】(Ⅰ)利用直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理进行分析证明即可；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，将直线与平面所成的角转化为两个向量的夹角进行求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理的应用，用向量法求解空间角时，关键是建立合适的空间直角坐标系，准确求出所需点的坐标．17.【答案】解：选择条件①：f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，(Ⅰ)f(x)=sin(x−π6)cosx=(√32sinx−12cosx)cosx=√32sinxcosx−12cos2x=√32×12sin2x−1+cos2x2=√34sin2x−14cos2x−14=12sin(2x−π6)−14，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)因为x∈[0,π2]，可得2x−π6∈[−π6,5π6]，所以sin(2x−π6)∈[−12,1]，可得12sin(2x−π6)−14∈[−12,14]，当2x−π6=π2，即x=π3时，f(x)有最大值14．选择条件②：f(x)=g(x)+ℎ(x)，(Ⅰ)f(x)=sin(x−π6)+cosx=(√32sinx−12cosx)+cosx=√32sinx+12cosx=sin(x+π6)，所以f(x)的最小正周期T=2π1=2π．(Ⅱ)因为x∈[0,π2]，可得x+π6∈[π6,2π3]，所以sin(x+π6)∈[12,1]，当x+π6=π2，即x=π3时，f(x)有最大值1．【解析】选择条件①：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=1 2sin(2x−π6)−14，利用正弦函数的周期公式即可求解；(Ⅱ)由已知可求2x−π6∈[−π6,5π6]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．选择条件②：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=sin(x+π6)，利用正弦函数的周期公式即可求解；(Ⅱ)由已知可求得x+π6∈[π6,2π3]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的周期公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)质量在[250,300)，[300,350)的该种水果的频率分别为0.008×50= 0.4，0.004×50=0.2，其比为2：1，所以按分层抽样从质量在[250,300)，[300,350)的这种水果中随机抽取6个，质量在[250,300)的该种水果有4个；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，6个水果中有2个质量在[300,350)，所以X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 42C 21C 63=35，P(X =2)=C 41C 22C 63=15，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×15+1×35+2×15=1；(Ⅲ)二等品的频率为(0.002+0.002)×50=0.2， 一等品的频率为(0.003+0.008)×50=0.55， 特等品的频率为(0.004+0.001)×50=0.25，则20000个水果中共有二等品4000个，一等品11000个，特等品有5000个， 则销售收入约为4000×4+11000×7+5000撑10=143000元．【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图得到质量在[250,300)，[300,350)的该水果的频率，按照比例抽取即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)得到X 的所有可能取值，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望即可；(Ⅲ)根据频率分布直方图，得到该水果的频率，然后估计20000个水果中各等级的个数，求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列、频率分布直方图的相关知识，也考查了学生处理数据的能力．解题的关键是正确读取频率分布直方图中的信息． 19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{a =2e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得：a 2=4，b 2=3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y =kx +m(m ≠0)， {y =kx +m x 24+y 23=1，整理可得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，由题意可得△=0，即64k 2m 2−16(3+4k 2)(m 2−3)=0，解得：m 2=3+4k 2设G(x1,0)，E(x0,y0)则x1=−mk ，x0=−4km3+4k2=−4km，因为ET⊥x轴，所以T(−4km,0)，|TA| |TB|=|−4km+2||2−(−4km)|=|−4k+2m||2m+4k|=|m−2k||m+2k|，又因为|GA||GB|=|−2+mk||2+mk|=|m−2k||m+2k|，所以可证：|TA||TB|=|GA||GB|．【解析】(Ⅰ)由题意及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意开始直线l的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设G，E的坐标，由题意可得G，E用直线的参数表示的坐标，进而求出|TA||TB|与|GA||GB|的表示，可证得|TA||TB|=|GA||GB|．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为f′(x)=ax(x−2)e x，所以f′(1)=−ae=1，故a=−e，所以f(1)=1−ae=2，所以切线方程为y−2=x−1，即y=x+1．(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2e x ，f′(x)=x(x−2)e x，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)=1−4e2>0，故x>0时，f(x)>0．(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2e x，a∈R，①当a≤0时，f(x)>0，f(x)没有零点，②当a>0时，f(x)=ax(x−2)e x，当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0,2)上单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，所以f(0)=1是函数的极大值，f(2)=1−4ae2是f(x)的极小值，因为√a )=1−a(−√a)2e−1√a=1−1e−1√a=1−1√a<0，所以f(x)在(−∞,0)上有且只有一个零点，由f(2)=1−4ae2，①若f(2)>0，即a<e24，f(x)在区间(0,+∞)上没有零点．②若f(2)=0，即a=e24，f(x)在区间(0,+∞)上只有一个零点．③若f(2)<0，即a>e24，由于f(0)=1，所以f(x)在区间(0,2)上有一个零点．由(Ⅱ)知，当x>0时，e x>x2，所以f(4a)=1−16a 3e4a =1−16a3(e2a)2>1−16a3(2a)2=1−1a>0，故f(x)在区间(2,4a)上有一个零点，因此a>e24时，f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点，综上，当f(x)有两个零点时，a=e24．【解析】(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)，由导数的几何意义可得k切=f′(1)，进而由点斜式写出切线的方程．(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2e x，对f(x)求导得f′(x)，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，进而可得f(x)的最小值f(2)=1−4e2>0，即可证明．(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2e x，a∈R，分两种情况①当a≤0时，②当a>0时，分析f(x)的单调性，最值，进而得函数f(x)的零点．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．21.【答案】解：(I)数列A+B的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，为2+ 10=12，(II)由题知m≤4，数列A i(i∈N∗)满足a i=a i+4，b j=b j+4(j∈N∗)，故只要考虑数列A i，B j的前四项，取A1，A2，…A5，A6为1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0，；0，0，1，0，可使A1+A2+⋯+A6+B的前四项为4，4，4，4，所以m=1成立；取A1，A2，A3为1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使A1+A2+A3+B的前四项为4，4，4，4，所以m=2成立；取A1，A2，…A5，A6为1，1，1，0；1，1，1，0； 1，1，0，1；1，1，1，0；1，0，1，1；1，1，0，1，可使A1+A2+⋯+A6+B的前四项为7，7，7，7，所以m=3成立；当m=4时，A i的前四项是1，1，1，1，所以对任意的k，A1+A2+⋯+A k+B不会是常数列，综上，m=1，2，3．t(t−1)．(III)12【解析】(I)数列A+B的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，代入可求；(II)由题知m≤4，a i=a i+4，b j=b j+4，只要考虑数列A i，B j的前四项，分情况检验即可求解满足条件的m，(III)结合已知条件代入直接求解．本题以新定义为载体，主要考查了数列性质的综合应用，考查了考生的逻辑推理的能力．。
(附加20套期末模拟试卷)北京市东城区2020届高三(上)期末教学统一检测数学(理)试卷及答案
北京市东城区2020届高三（上）期末教学统一检测数学（理）试卷及答案本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于331侧（左）视图1俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << （5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞（7）过抛物线220)y pxp =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ①()B ②()C ③（D ）④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = . （10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ；()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--． （Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()n nx y n N +=∈. （Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n nx y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。
北京市东城区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B = （）A.{}|12x x -<< B.{}|11x x -≤<C.{}|12x x ≤< D.{}|11x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，所以A B = {}|11x x -<≤.故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第三象限C.第二象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)--，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3.下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（）A.1y x=B.ln ||y x = C.2xy = D.1||y x =-【答案】B 【解析】【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意，故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5.设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若m α⊥，m n ⊥，则//n αB.若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n⊥C.若//n α，m n ⊥，则m α⊥ D.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B 【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确；对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确；对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立，故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A.7B.9C.10D.13【答案】C 【解析】【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（）A 若2παβ+<，则sin sin αβ+< B.若2παβ+<，则cos cos αβ+<C.若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D.若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A 【解析】【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos 2sin cos 22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<是正确的；对于B 中，例如,66ππαβ==，此时cos cos 66ππ+=>，所以cos cos αβ+<不一定成立，所以不正确；对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sin sin 2124ππ-+=+<，所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 1622ππ+=-+<，所以cos cos 1αβ+>不正确，故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =2；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A.①B.②③C.①②D.①②③【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=，在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，即222OC b a +=，所以222OCa b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =，即R =在直角1O OC ∆中，22222121OCOO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====，所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4【解析】【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________.【答案】(1).12(2).454【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案.【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去），又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-.故答案为：12，454.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______.【答案】0【解析】【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<，求得m的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =，若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，<33m <<+所以命题为真命题的一个m 的值为0.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅，||4AC = ，||2BD = ，则四边形ABCD 的面积是_______.【答案】4【解析】【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅ ，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥uuu r uu u r ，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中，AB AC AC AD ⋅=⋅，可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅= ，所以AC BD⊥uuu r uu u r 所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC = ，||2BD = ，所以面积为14242S =⨯⨯=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________．【答案】2或10【解析】【分析】令2sin()x ωϕ+=，解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=，即sin()2x ωϕ+=，解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质，可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =.或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =.故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①130n n n kt t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-.在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与bc的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空）【答案】(1).②(2).>【解析】【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-，当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==，当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =，当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =，可是111,,,0543a mb mc m m ===>，又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯，即a b 与b c 的大小关系是a b >b c.故答案为：②，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C +=.（1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π∠=（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C =，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为sin cos 0c A C +=，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C +=，即tan C =又因为0C π<<，所以23C π∠=.（2）由正弦定理，可得32sin 12sin 2b C B c ⨯===，又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G 的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至202l 年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，P D，即可得到结论.得到七概率为()【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为X012P0.180.490.33故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B MB Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A NA B的值（用含λ的代数式表示）.【答案】（1）证明见解析（2）3π（3）1λ-【解析】【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ，又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C .又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC .因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥，又1111A B B C B = ，所以1BC ⊥平面11A B C.（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -，由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B .所以()12,0,2B C =- ，()10,2,2A B =--.所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==.故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-.设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=---因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R .（1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析【解析】【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解.【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+，由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-，又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，即32000222303x x x a b -+-+=，设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解，过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）,0,,7447⎛⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是22，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.①直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=- .依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅> ，即211271081k F M F N k -⋅=>- .解得217k >或218k <.综上，直线l 的斜率的取值范围是7227,0,,7447⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N .（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析【解析】【分析】（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++== ，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2t m b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++== ，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++ 此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =++++++ ()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++ ，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项，所以n 的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。
北京市东城区2020届高三上学期期末教学统一检测数学试题答案(pdf版)
东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 2020.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）C （3）B （4）A （5）B （6）C （7） A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）4（10）14524（11）0（答案不唯一） （12）4（13）2或10（14）② >三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin sin =0C A C A +.因为sin 0A >，所以tan C =又因为0C <∠<π, 所以2π=3C ∠. ..................................................................................................7分 （Ⅱ）由正弦定理得2sin 1sin =2b C B c ==, 又因为03B π<∠<， 所以ππ,66B A BC ∠=∠=π-∠-∠=. 所以△ABC的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=. ...............................................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.810001000+=. .............................3分 （II ）由题意X 的所有可能值为0,1,2.记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件，A B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X=P AB ==--=，(1)()()()()(1())(1()()0.610.5510.6)0.550.49P X P AB+AB P AB P AB P A P B P A P B ===+=-+-=⨯-+-⨯=（）（，()()0.60.550.33.P X=2P AB ==⨯=所以X 的分布列为故X 的数学期望00.1810.4920.33 1.15（）E X =⨯+⨯+⨯=. ……………10分 （III ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02.C P D C =≈回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，由于1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ．又1BB ⊂平面11B BCC ， 所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥， 所以1111A B B C ⊥． 所以11A B ⊥平面11B BCC ． 因为1BC ⊂平面11B BCC ， 所以111.A B BC ⊥ 又因为12BB BC ==， 所以11B C BC ⊥． 又11A B 11B C B =,所以1BC ⊥平面11A B C ． …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥．如图建立空间直角坐标系B xyz -．由题意得(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，1(0,2,2)A ，1(0,0,2)B ．所以1(2,0,2)B C =-uuu r，1(0,2,2)A B =--uuu r ．所以1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅〈〉==uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ．故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π． …………9分（Ⅲ）易知平面11A ACC 的一个法向量为(1,1,0)=n ，由11B MB Cλ=，得(2,0,22).M λλ- 设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--， 则(2,22,22)MN λμλμ−−→=---因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN −−→⋅=n ， 即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=， 解得1μλ=-． 所以111A NA Bλ=-． …………14分（18）（共13分） 解：(Ⅰ) 因为 321()33f x x x ax =-+， 所以 ()223f x x x a '=-+.由()f x 在1x =-时，有极值得 ()11230f a '-=++= ， 解得 1a =- .经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上，1a =-. ……………4分（Ⅱ）不妨设在直线1x =上存在一点(1,)P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为00(,)x y ， 则切线l 方程为32200000013(23)()3y x x ax x x a x x -+-=-+-.又直线l 过(1,)P b ，有32200000013(23)(1)3b x x ax x x a x -+-=-+-，即3200022+2303x x x a b --+=. 设322()2233g x x x x a b =-+-+， 22'()2422(1)0g x x x x =-+=-≥.所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增， 所以()0g x =至多有一个解.过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条.故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切. ………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，，解得22a =.所以椭圆C 的方程为22 1.2x y +=…………4分 （Ⅱ）由已知直线l 的斜率不为0.设直线l 方程为()1y k x =-.直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y .由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式0∆>恒成立，且22121222422,.2121k k x x x x k k -+==++① 直线1F A 的方程为()1111y y x x =++，令0x =，则11(0,)1yM x +. 同理可得22(0,)1y N x +. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++uuu u r uuu r()()()()222212121212121212121111111k x x k x x kk x x x x x x x x x x x x ++-+++-++⎡⎤⎣⎦=+=++++++.将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-uuu u r uuu r . 依题意，1MF N ∠我锐角，所以110F M F N ⋅>，即211271081k F M F N k -⋅=>-uuu u r uuu r . 解得217k >或218k <. 综上，直线l斜率的取值范围是(,(,0)(0,(,)7447-∞--+∞U U U . ....................14分 （20）（共13分）解：（Ⅰ）{}=3567910T ，，，，，. …………………………………………………………………3分（Ⅱ）假设存在i j *∈N ，，使得()=1024S i j ，，则有 1102422(1)2(1)()L L i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同， 所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥， 所以1024必有大于等于3的奇数因子， 这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在i j *∈N ，，使得()=1024S i j ，成立. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明n a n =时，对任意的m *∈N 都有2tm b t *≠∈N ，.若,i j *∃∈N ，使得：(1)()(1)22L t j i i j i i j -++++++==，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所以1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除2()tt ∈N 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和. 若正整数2(21)t h k =+，其中t ∈N ，k *∈N . 当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：(21)222=(2)(21)2(21)(2)t t t t t t t tk h k k +=+++-++-+++++个L L L 144444424444443此时结论成立. 当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：2(21)(21)(21)=(21)(1)(1)(2)(2),t t t h k k k k k k k k k =++++++-+++-++++++++个L 14444444444444244444444444443L L此时结论成立.对于数列22n a n =-. 此问题等价于数列0123n ，，，，，，L L ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数248163264128256512，，，，，，，，不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001. .............................13分。
北京市东城区2020届高三上学期期末教学统一检测数学试题(pdf版)
(11) 能说明“直线 x y m 0 与圆 x2 y2 4x 2 y 0 有两个不同的交点”是真命题的一个 m 的值为 .
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
(12) 在平行四边形 ABCD 中，已知 AB AC AC AD ， AC 4 ， BD 2 ，则四边形 ABCD 的面积是____．
(C) 若 n∥ ， m n ，则 m
(D) 若 ∥ ， m ， n ，则 m∥n
(6)从数字1, 2,3, 4,5 中，取出 3 个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为
(A) 7
(B) 9
(C) 10
(D)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
(7)设， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(3)下列函数中，是偶函数，且在区间 (0，+) 上单调递增的为
(A) y 1 x
(C) y 2x
(B) y ln x (D) y 1 x
(4)设 a, b 为实数，则“ a b 0 ”是“ a b ”的
( (0,1)) ，点 N
在线段 A1B 上，
若 MN ∥
平面
A1 ACC1
，求
A1N A1B
的值(用含 的代数式表示)．
(18)（本小题 13 分） 已知函数 f (x) 1 x3 x2 3ax (a R) . 3
（Ⅰ）若 f (x) 在 x 1时，有极值，求 a 的值；
其中，所有正确结论的序号是
(A) ①
(B) ② ③
北京市东城区2020届高三第一学期期末数学试题(word版含答案)
北京市东城区2020届第一学期末统一检测 高三数学 2020.1本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{|1}A x x =≤，()(){|210}B x x x =-+<，那么A B =I (A){|12}x x -<< (B){|11}x x -<≤ (C){|12}x x <≤(D){|11}x x -<≤(2)复数z=i(i 1)-在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)∞，上单调递增的为 (A)1y x=(B)ln y x = (C)2xy -=(D)1y x =-(4)设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b π>π”的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A)若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥(B) 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ (C)若n α∥，m n ⊥，则m α⊥(D)若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为 (A)7 (B) 9(C)10(D)13(7)设αβ，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)若2αβπ+<，则sin sin αβ+<若2αβπ+<，则cos cos αβ+<(C)若2αβπ+>，则sin sin 1αβ+>(D)若2αβπ+>，则cos cos 1αβ+>(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论： ①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) ① (B)②③ (C) ① ② (D) ① ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2020届高三上学期期末教学统一检测数学试题(pdf版)_PDF压缩
东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 2020.1 本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{|1}A x x =≤，()(){|210}B x x x =-+<，那么A B =(A) {|12}x x -<< (B) {|11}x x -<≤(C) {|12}x x <≤ (D) {|11}x x -<≤(2)复数z=i(i 1)-在复平面内对应的点位于(A) 第一象限 (B) 第二象限(C) 第三象限 (D) 第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)∞，上单调递增的为 (A) 1y x =(B) ln y x = (C) 2x y -=(D) 1y x =-(4)设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b π>π”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(5)设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是(A) 若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥ (B) 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥(C) 若n α∥，m n ⊥，则m α⊥ (D) 若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为(A) 7 (B) 9(C) 10 (D) 13(7)设αβ，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A) 若2αβπ+<，则sin sin αβ+< (B) 若2αβπ+<，则cos cos αβ+< (C) 若2αβπ+>，则sin sin 1αβ+> (D) 若2αβπ+>，则cos cos 1αβ+> (8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =，则所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是(A) ① (B) ② ③(C) ① ② (D) ① ② ③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
高三数学专题--2020年北京市东城区高三理科数学期末试卷及答案
东城区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则A. B.C.D.（2）函数图像的两条相邻对称轴之间的距离是A. B.C.D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B.C. D.（4）若满足，则的最小值为A. B.C.D.（5）已知函数，则的A.图像关于原点对称，且在上是增函数B. 图像关于轴对称，且在上是增函数C. 图像关于原点对称，且在上是减函数D. 图像关于轴对称，且在上是减函数（6）设为非零向量，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A. B.C. D.（8）现有个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是A. 若，则甲有必赢的策略B. 若，则乙有必赢的策略C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若复数为纯虚数，则实数.（10）在的展开式中，的系数等于 .（11）已知是等差数列，为其前项和，若，则.（12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为 .（13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是 .（14）如图1，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，等边三角形的中心称为勒洛三角形的中心.如图2，勒洛三角形夹在直线和直线之间，且沿轴滚动，设其中心的轨迹方程为，则的最小正周期为；对的图像与性质有如下描述：①中心对称图形；②轴对称图形；③一条直线；④最大值与最小值的和为2.其中正确结论的序号为 .（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分。
学2020届高三数学上学期期末考试试题文(含解析)_3
学2020届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合，集合，故选．【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】log2（2x﹣3）＜1，化为0＜2x﹣3＜2，解得．∴“log2（2x﹣3）＜1”是“”的充分不必要条件．3.小张刚参加工作时月工资为元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元，则目前小张的月工资为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的，从而可求得月工资.【详解】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：元则目前的月就医费为：元目前的月工资为：元本题正确选项：【点睛】本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题.4.中所在的平面上的点满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】已知，由向量的减法可得，再化简运算即可.【详解】解：因为，所以，所以，故选D．【点睛】本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题.5.函数的图像大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数为偶函数排除；再根据当时，，排除得到答案.【详解】，偶函数，排除；当时，，排除故选【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.6.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，以及和，即可求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式进行化简求解.7.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r 2故cos，sin∴sin cos.故选B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．8.已知双曲线的离心率为，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.【详解】因为离心率为，所以①；因为点(4，1)在双曲线上，所以②；因为③；联立①②③可得，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.9.数列中，已知且则A. 19B. 21C. 99D. 101【答案】D【解析】【分析】利用累加法及等差数列的求和公式可求.【详解】因为，所以，，.上面各式相加可得，故选D.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.10.将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. 函数最大值为B. 函数的最小正周期为C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在区间上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式，依次判断的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数向右平移个单位长度得：横坐标伸长到原来的倍得：最大值为，可知错误；最小正周期为，可知错误；时，，则不是的对称轴，可知错误；当时，，此时单调递增，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.11.已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由和都是定义在上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.【详解】因为都是定义在上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.12.已知函数，若，都大于0，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导，判断函数单调性，由此得到，，变形化简，即可得到的取值范围．【详解】，，当时，，当时，；因为，都大于0，且，所以，即，，变形有，，所以，即，故，选A．【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及单调性定义的应用，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】10【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解．【详解】作出不等式组表示的平面区域如下：作出直线，当直线往下平移时，变大，当直线经过点时，【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题．14.若向量(，1)，(1，﹣3)，则在方向上的投影为_____．【答案】【解析】【分析】分别求出和，利用即可计算出结果.【详解】，，∴在方向上的投影为：．故答案为：【点睛】本题考查平面向量的投影及其计算，考查学生对投影的理解和计算，属基础题.15. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）【答案】26【解析】【分析】由勾股定理，代入数据即可求得．【详解】解：∵，，∵寸，∴寸，在中，∵，∴，∴寸，∴圆柱底面的直径长是寸．故答案为26．【点睛】考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．【答案】【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，由抛物线的定义可设：，由勾股定理可知：，由梯形中位线的性质可得：，则：.当且仅当时等号成立.即的最小值为.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率.【答案】(1)4300；(2) （i）平均数为5.2，方差为1.36.（ii）【解析】【分析】（1）根据系统抽样的特征,各个编号成等差数列,根据等差数列的首项与公差即可求得前10项的和.（2）根据分层抽样特征可知抽出的样本中A题目的成绩有6个,B题目的成绩有4个.求出10名学生的总成绩,即可得10名学生的平均成绩.根据所给A题目和B题目的平均数和方差,将方差公式变形,即可求得10名学生的成绩方差.从选取的成绩可知,A题目中超过平均成绩的有3人,B题目超过平均值的有2人,根据古典概型概率求法,用列举法把所有情况列举出来,即可得解.【详解】（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以25为首项,以90为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前10项之和,所以.（2）（i）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中A 题目的成绩有6个,按分值降序分别记为,,…,；B题目的成绩有4个,按分值降序分别记为,,,.记样本的平均数为,样本的方差为.由题意可知,,,所以,估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.（ii）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5,易知样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别为,,,B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别为,.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法,为：,,,,,,,,,,其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为：,,,,,,记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件,所以.【点睛】本题考查了简单随机抽样中的系统抽样与分层抽样的方法与特征,平均数及方差的求法,古典概型概率的求法.方差公式的应用与变形是解决问题的关键,属于中档题.18.如图，菱形ABCD的边长为a，∠D＝60°，点H为DC边中点，现以线段AH为折痕将△DAH折起使得点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点.（1）求证：平面PBC∥平面EFH；（2）若三棱锥P﹣EFH的体积等于，求a的值.【答案】（1）见解析；（2）a＝2【解析】【分析】（1）分别证明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC，再由EF∩EH＝E，即可证明结论；（2）根据条件求出AH，DH＝PH＝CH，然后证明PH⊥平面ABCH，又点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，故VH－PEF＝VH－AEF，则，据此计算求解即可.【详解】（1）证明：菱形ABCD中，∵E，H分别为AB，CD 的中点，∴BE∥CH，BE＝CH，∴四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，又EH⊄平面PBC，∴EH∥平面PBC，又点E，F分别为AB，AP的中点，则EF∥BP，又EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，由EF∩EH＝E，∴平面EFH∥平面PBC；（2）在菱形ABCD中，∠D＝60°，则△ACD为正三角形，∴AH⊥CD，AH，DH＝PH＝CH，折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，从而PH⊥平面ABCH．在△PAE中，点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，∴VH－PEF＝VH－AEF，而VH－PEF+VH－AEF＝VH－PAE，∴，∴a3＝8，即a＝2．故a＝2．【点睛】本题考查面面平行和椎体体积的相关问题，面面平行证明的关键是在一个平面中找两条相交的直线，它们都平行于另一个平面，属中档题.19.设数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，将代得：，由两式作商得：，问题得解．（2）利用（1）中结果求得，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解．【详解】（1）由n＝1得，因为，当n≥2时，，由两式作商得：（n＞1且n∈N*），又因为符合上式，所以（n∈N*）．（2）设，则bn＝n＋n·2n，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．所以，即．【点睛】本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题．20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.【答案】（1）；（2）3，1.【解析】【分析】（1）由圆与直线相切可得圆心到直线的距离等于半径，求出，根据椭圆离心率，求出a，进而求出b，得到椭圆得方程．（2）分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数得最值，确定当直线MN与x轴垂直时的面积最大．【详解】（1）设，，则直线的方程为：，即.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解之得.∵椭圆的离心率为，即，所以，所以，∴椭圆的方程为.（2）由（1）得，，由题意得直线的斜率不为0，故设直线的方程为：，代入椭圆方程化简可得，恒成立，设，，则，是上述方程的两个不等根，∴，.∴的面积设，则，，则，.令，则恒成立，则函数在上为减函数，故的最大值为，所以的面积的最大值为，当且仅当，即时取最大值，此时直线的方程为，即直线垂直于轴，此时，即.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想．圆与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进行判断．21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数有最小值，求的值域.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）先求出，分和两种情形，利用导数的符号判断函数的单调性即可.（2）求出并将其化简为，构建新函数，利用（1）的单调性及零点存在定理可得有唯一的，它就是函数最小值点，利用导数可求该最小值的值域.【详解】解：（1）定义域为，.令，①，当时，，，即且不恒为零，故单调递增区间为，，当时，，方程①两根为，，由于，.故，因此当时，，单调递增，，，单调递减，，，单调递减，，，单调递增，综上，当时，在单调递增，单调递增，当时，在单调递增，，单调递减；在单调递增.（2），设，由（1）知，时，在单调递增，由于，，故在存在唯一，使，，又当，，即，单调递减，，，即，单调递增，故时，，.又设，，，故单调递增，故，即，即.【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．（2）求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，有时导数的零点不易求，则需要虚设零点，利用零点满足的方程化简函数的极值（或最值）．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，若，求值．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得和，根据直线参数方程参数的几何意义可知，代入可求得结果.【详解】（1）由，得，即（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得：设是方程的根，则：，∴，又或【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于的方程，属中档题．23.已知函数，.（1）求函数的值域；（2）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化简得到分段函数f(x)，再求出分段函数的值域得解；（2）对a分类讨论，根据得到实数a的取值范围.【详解】（1）函数可化简可得当时，.当时，.当时，.故的值域.（2）当时，，，，所以不符合题意.当时，因为，所以函数的值域，若，则，解得或，从而符合题意.当时，因为，所以函数的值域，此时一定满足，从而符合题意.综上，实数取值范围为.【点睛】本题主要考查绝对值函数的值域的求法，考查集合之间的关系和参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.学2020届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合，集合，故选．【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】log2（2x﹣3）＜1，化为0＜2x﹣3＜2，解得．∴“log2（2x﹣3）＜1”是“”的充分不必要条件．3.小张刚参加工作时月工资为元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元，则目前小张的月工资为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的，从而可求得月工资.【详解】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：元则目前的月就医费为：元目前的月工资为：元本题正确选项：【点睛】本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题.4.中所在的平面上的点满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】已知，由向量的减法可得，再化简运算即可.【详解】解：因为，所以，所以，故选D．【点睛】本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题.5.函数的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数为偶函数排除；再根据当时，，排除得到答案.【详解】，偶函数，排除；当时，，排除故选【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.6.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，以及和，即可求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式进行化简求解.7.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r2故cos，sin∴sin cos.故选B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．8.已知双曲线的离心率为，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.【详解】因为离心率为，所以①；因为点(4，1)在双曲线上，所以②；因为③；联立①②③可得，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.9.数列中，已知且则A. 19B. 21C. 99D. 101【答案】D【解析】【分析】利用累加法及等差数列的求和公式可求.【详解】因为，所以，，.上面各式相加可得，故选D.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.10.将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. 函数最大值为B. 函数的最小正周期为C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在区间上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式，依次判断的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数向右平移个单位长度得：横坐标伸长到原来的倍得：最大值为，可知错误；最小正周期为，可知错误；时，，则不是的对称轴，可知错误；当时，，此时单调递增，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.11.已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由和都是定义在上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.【详解】因为都是定义在上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.12.已知函数，若，都大于0，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导，判断函数单调性，由此得到，，变形化简，即可得到的取值范围．【详解】，，当时，，当时，；因为，都大于0，且，所以，即，，变形有，，所以，即，故，选A．【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及单调性定义的应用，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】10【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解．【详解】作出不等式组表示的平面区域如下：作出直线，当直线往下平移时，变大，当直线经过点时，【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题．14.若向量(，1)，(1，﹣3)，则在方向上的投影为_____．【答案】【解析】【分析】分别求出和，利用即可计算出结果.【详解】，，∴在方向上的投影为：．故答案为：【点睛】本题考查平面向量的投影及其计算，考查学生对投影的理解和计算，属基础题.15. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）【答案】26【解析】【分析】由勾股定理，代入数据即可求得．【详解】解：∵，，∵寸，∴寸，在中，∵，∴，∴寸，∴圆柱底面的直径长是寸．故答案为26．【点睛】考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．【答案】【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，由抛物线的定义可设：，由勾股定理可知：，由梯形中位线的性质可得：，则：.当且仅当时等号成立.即的最小值为.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；。