2020年全国3卷高考理科数学信息卷(二)
2020年全国3卷高考理科数学信息卷（二）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x ∈R|3x −2<0}，B ＝{x ∈R|(x −1)(x +3)>0}，则A ∩B ＝（ ）A.(−3,23)B.(−∞, −3)C.(1, +∞)D.(23,1)2. 在复平面内，已知z =10i3+i ，则下列说法正确的是（ ） A.z 在复平面内对应的点位于第二象限 B.z 的虚部为3iC.z 的共轭复数z =3i −1D.|z|=√103. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4+a 5＝25，S 6＝57，则{a n }的公差为（ ） A.2 B.1 C.4 D.34. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y −4≥0x −y +4≥0x ≤2 ，则z =y−1x+1的最小值为（ ）A.13 B.0 C.3D.535. 在△ABC 中，O 是中线AM 上一个动点，若|AM|=4，则OA →⋅(OB →+OC →)的最小值是（ ） A.−8 B.−4 C.−12 D.−106. 关于两条不同的直线m 、n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（ ） A.m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m // n B.m // α，n // β且α // β，则m // n C.m ⊥α，n // β且α // β，则m ⊥n D.m // α，n ⊥β且α⊥β，则m // n7. 条件p:|x −m|≤2，条件q:−1≤x ≤n ，若p 是q 的充分条件，则n 的最小值为（ ） A.2 B.1 C.4 D.38. 曲线C:x 2+2xy +4＝0的对称性为（ ） A.关于点(−2, 0)成中心对称 B.关于原点成中心对称 C.曲线C 不具有对称性 D.关于直线y ＝x 对称9. 函数f(x)=m x+|x|（其中m ∈R ）的图象不可能是（ ）B.C.D.10. 已知函数f(x)＝x 3+(2−m)x 2−(m 2−1)x +m(m ∈R)，若函数f(x)在区间(−1, 1)上不单调，则实数m 的取值范围是（ ）A.(−4,12) B.(−4, 2) C.(−4,12)∪(12,2) D.(12,2)11. 已知F 是双曲线C:x 28−y 2=1的右焦点，N 是双曲线C 的左支上一点，M(0, 3)，当△MNF 周长最小时，该三角形的面积为（ ） A.607 B.92 C.667D.912. 数列{a n }满足a 2＝1，|a n+1−a n |=1n(n+2)，若a 2n+1>a 2n−1，a 2n+2<a 2n (n ∈N +)，则数列{(−1)n a n }的前2018项的和为（ ） A.10092019 B.20182019C.10082018D.20172018二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）在(x +2)(1x −x)5的展开式中，常数项为________．函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(0)＝棱长都相等的正三棱柱（底面是正三角形、侧棱垂直底面）的所有顶点都在半径为1的球面上，则棱柱的体积为________．如图，汉诺塔问题是指3根杆子A，B，C，B杆上有若干碟子，把所有碟子从B杆移到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面，把B杆上的3个碟子全部移到A杆上，最少需要移动的次数为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A、B、C对边分别为a、b、c，已知cos(A−C)−cosB＝cosA．（1）求角C的大小；（2）若c＝1，求a+b的最大值．2017年“双十一”购物节，京东和天猫的成交额都突破千亿，除了线上电商纷纷出招吸引消费者网购，很多线下实体零售商也积极组织了很多实惠的促销活动．某商场在“双十二”来临之际，矩形有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可获得抽奖机会，抽奖规则如下：从装有3个红球、3个白球（仅颜色不同）的口袋中依次摸出2个球，若全是红球，则获得奖金50元，若有一个红球，则获得奖金10元，其他情况没有奖金和奖品．（1）若顾客甲购买商品后获得3次摸奖机会，求他恰有一次获得50元奖金的概率；（2）某顾客认为口袋中的红球与白球个数相同，不如把口袋中的红球和白球各减少1个，摸球过程还更简单，当他提出新方案后，商场同意了他的新方案，试从数学期望的角度分析该顾客提出的新方案是否对商场有利？如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，AB=BC=12AD=1，∠BAD＝∠ABC＝90∘．（1）证明：PD⊥AB；（2）点M在棱PC上，且PM＝λPC，若二面角M−AB−D的余弦值为√217，求实数λ的值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，抛物线E:x2=4√3y的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(0, 1)的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→=−7恒成立？请说明理由．设函数f(x)=lnx+mx−2x+3．（1）当m＝−1时，求函数f(x)零点的个数；（2）当m＝1时，证明f(x−1)>ee x−2x+5．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=√22t（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=91+8sinθ．（1）求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；（2）点P(−2, 0)，直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]已知a，b，c，d均为正实数，a+2b+3c+4d＝1．（1）证明：1a+12b+13c+14d≥16；（2）求a2+b2+c2+d2的最小值．参考答案与试题解析2020年全国3卷高考理科数学信息卷（二）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】曲常与树程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函数常图陆变化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】进行简根的合情亮理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】三角形射面积公放【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】函数零都问判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020年高考数学全国Ⅲ卷(理)试卷+解析
附：K2=
P（K2≥k） 0.050
0.010
n ad bc2
，
a bc d)a cb d
0.001
k
3.841
10.828
6.635 ．
19．（12 分） 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上，且 2DE ED1 ， BF 2FB1 ． （1）证明：点 C1 在平面 AEF 内； （2）若 AB 2 ， AD 1， AA1 3 ，求二面角 A EF A1
故选：C.
【小结】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2.复数 1 的虚部是（ 1 3i
A. 3 10
【答案】D
）
B. 1 10
1
C.
10
3
D.
10
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求出 z 即可.
【详解】因为 z 1 1 3i 1 3 i ， 1 3i (1 3i)(1 3i) 10 10
设数列{an}满足 a1=3， an1 3an 4n ． （1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前 n 项和 Sn．
18．（12 分）
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的
人次，整理数据得到下表（单位：天）：
1．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国III卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 6解：有下列（1，7）（2，6）（3，8）（4，4）2.复数113i -的虚部是 A. 310- B. 110- C. 110D. 310解：1131313101010i z i i +===+-3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ==== 解：B4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531--=+t K I t e，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69()()()()()0.23530.23530.2353-10.951100511====1995951930010.2353=3,53132323153136623解：则，则------==++--===+≈t t t KI t Kee e t t t5. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)=>C y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)1212222122212124y y 0又由点在曲线2上y =4,y =4(y y )16,y y 44,1OD OEOD OE y px p p P p p →→⊥•=+====-=-=6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b += A. 3135-B. 1935-C. 1735D. 1935222解：（）=++2253612497()19cos(,)5735a b a b a b a b a a b a a a ba ab a a b+•=+-=+=•+•+•+===⨯+7. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 23222222222解：由余弦定理得：AB =AC +BC -2AC BC cos 216924393AB 3由余弦定理得：AB AC3341cosB=23392AB BCC BC=+-⨯⨯⨯==+-+-==⨯⨯8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+表面积122221222sin 602323S VAB S VAC S ABC S VBC S ∆∆∆∆===⨯⨯==⨯⨯⨯= 9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 222221tan 解：原式=2tan 71tan 则2tan -2tan -1-tan 77tan 则2tan -8tan +8=0则tan -4tan +4=（tan 2)0则tan 2θθθθθθθθθθθθθ+-=-=--==10.若直线l 与曲线y x =2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+设00000000000设的切点P(x ,x )(x 0)111,,则切线方程为：y-x (x )222化为：-2x 0x 1又与圆相切则：d=x 114x 511直线方程为：y=22y x y k x 解：xx x x x y x =>'===-+==⇒=+∴+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．82222121212121222212121212222222222解：,则+=（2c)414,82又-=2a,-24164,4又5,54,1,1PF PF PF PF cS PF F PF PF PF PFPF PF PF PF PF PF PF PFc a c ace c a a a a aa∆⊥=====+-=-=-===⇒=-===12. 已知5458<，45138<，设5a log3=，8b=log5，13c log8=，则A. a b c<<B. b a c<<C. b c a<<D. c a b<<5445544588131381381325822222解;58,138,则log5log8,log13log8445log54,45log8;log5,log8,则55lg3lg5lg3lg8lg5log3log5lg5lg8lg5lg8lg3lg8lg24lg252lg5lg30,lg80,lg3lg8()()()()lg52222c ba b<<<<<<<>>•--=-=-=•+>>•<=<== 0,a b a b-<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.答案：C2.(1+i)(2﹣i)=( )A.﹣3﹣iB.﹣3+iC.3﹣iD.3+i解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.答案：D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A.B.C.D.解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.答案：A4.若sinα=13，则cos2α=( ) A.89 B.79C.﹣79D.﹣89解析：∵sinα=13，∴cos2α=1﹣2sin 2α=192719-⨯=. 答案：B5.(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析：由二项式定理得(x 2+2x )5的展开式的通项为：()()5210315522rrr rr rr xT Cx C x--+==，由10﹣3r=4，解得r=2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为5222C =40.答案：C6.直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8]232，D.[2232，] 解析：∵直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，4+4=22∵点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，∴设P ()2co 2s sin 2θθ+，，∴点P 到直线x+y+2=0的距离：()2sin 42cos sin 242222d πθθθ+++++==，∵()sin 4πθ+∈[﹣1，1]，∴d= ()22sin 44πθ++∈[232，]， ∴△ABP 面积的取值范围是：[11222223222⨯⨯⨯⨯，，6].答案：A7.函数y=﹣x 4+x 2+2的图象大致为( )A.B.C.D.解析：函数过定点(0，2)，排除A ，B.函数的导数f′(x)=﹣4x 3+2x=﹣2x(2x 2﹣1)，由f′(x)＞0得2x(2x 2﹣1)＜0，得x ＜﹣或0＜x ＜，此时函数单调递增，排除C.答案：D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)＜P(X=6)，则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 解析：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B(10，p)，P(x=4)＜P(X=6)，可得()()644466101011C p p C p p --＜，可得1﹣2p ＜0.即12p ＞. 因为DX=2.4，可得10p(1﹣p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去). 答案：B9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为2224a b c +-，则C=( )A.2πB.3πC.4πD.6π解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.△ABC 的面积为2224a b c +-，∴S △ABC =222s 1in 42a b c ab C +-=，∴sinC=2222a b c bc +-=cosC ，∵0＜C ＜π，∴C=4π.答案：C10.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为( )A.B.C.D.543解析：△ABC 为等边三角形且面积为93，可得2393AB ⨯＝，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：()222362342323O C OO '=='=-=，，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31361833=答案：B11.设F 1，F 2是双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D.2解析：双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的一条渐近线方程为b y x a =， ∴点F 2到渐近线的距离22bcd b a b ==+，即|PF 2|=b ，∴2222222cos bOP OF PF c b a PF O c =-=-=∠=，， ∵|PF 16|OP|，∴|PF 16a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|·|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，∴6a 2=b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×bc =4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3(c 2﹣a 2)，即3a 2=c 2， 即3a=c ，∴3c e a ==.答案：C12.设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( ) A.a+b ＜ab ＜0 B.ab ＜a+b ＜0 C.a+b ＜0＜ab D.ab ＜0＜a+b解析：∵a=log 0.20.3=lg 0.3lg 5-，b=log 20.3=lg 0.3lg 2，∴()5lg 0.3lg lg 0.3lg 5lg 2lg 0.3lg 0.32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+-=＝＝，10lg 0.3lg lg 0.3lg 0.33lg 2lg 5lg 2lg 5ab ⋅-⋅＝＝，∵105lg lg 32＞，lg 0.3lg 2lg 5＜，∴ab ＜a+b ＜0.答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)，c =(1，λ).若c ∥(2a b +)，则λ=____. 解析：∵向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)， ∴2a b +=(4，2)，∵c =(1，λ)，c ∥(2a b +)，∴142λ＝， 解得λ=12.答案： 1214.曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，则a=____.解析：曲线y=(ax+1)e x ，可得y′=ae x +(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3. 答案：﹣315.函数f(x)=cos(3x+6π)在[0，π]的零点个数为____.解析：∵f(x)=cos(3x+6π)=0， ∴362x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=193k ππ+，k ∈Z ，当k=0时，x=9π，当k=1时，x=49π，当k=2时，x=79π，当k=3时，x=109π，∵x ∈[0，π]，∴x=9π，或x=49π，或x=79π，故零点的个数为3. 答案：316.已知点M(﹣1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB =90°，则k=____.解析：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1，0)， ∴过A ，B 两点的直线方程为y=k(x ﹣1)，联立()241y x y k x ⎪-⎧⎪⎨⎩＝＝可得，k 2x 2﹣2(2+k 2)x+k 2=0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则212242k x x k ++=，x 1x 2=1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣2)=4k ，y 1y 2=k 2(x 1﹣1)(x 2﹣1)=k 2[x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1]=﹣4，∵M(﹣1，1)，∴MA =(x 1+1，y 1﹣1)，MB =(x 2+1，y 2﹣1)， ∵∠AMB=90°=0，∴0MA MB ⋅= ∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1﹣1)(y 2﹣1)=0，整理可得，x 1x 2+(x 1+x 2)+y 1y 2﹣(y 1+y 2)+2=0，∴24124420k k ++--+=，即k 2﹣4k+4=0，∴k=2. 答案：2三、解答题：共70分。
020年全国3卷高考理科数学仿真试卷(二)答案及解析
13．充要
14． 3 10 10
15． 3 4
16． 2016
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．【答案】（1） A π ；（2）4．
4 【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理得 sin Asin B sin B cos A 0 ．······1 分
即 sin B sin A cos A 0 ，又角 B 为三角形内角， sin B 0 ，
理科数学试卷答案 第 2页（共 6页）
B 款单车的利润Y 的分布列为：
∴ E Y 300 0.15 200 0.4 700 0.35 1200 0.1 400 （元）．······11 分
以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择 B 款车型．········12 分
19．【答案】（1）证明见解析；（2） 2 57 ． 19
又 PA CD ， CD CE C ， PA 平面 CDE ，···········5 分
又 PA 平面 P A B ，平面 P A B 平面 CDE ．···········6 分 （ 2 ） AB//CD ， PA CD PA AB ， 又 AB AD ， PA AD A ， AB 平 面
PAD ． CD 平 面 PAD CPD 为 PC 与 平 面 PAD 所 成 的 角 ， 即 CPD 45 ， CD AD ．
以 A 为原点，建系如图，设 AD 4 ，则 B 8,0,0 ， P 0, 2, 2 3 ， D 0, 4,0 ，
E 4,1, 3 ，···········8 分
【解析】（1）散点图如图所示：
···········1 分
y
1113 16 15 6
20
21
16
2020年高考理科数学全国3卷(word版,含答案)
1.【ID:4002701】已知集合，，则中元素的个数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：集合，，．中元素的个数为．故选：C．2.【ID:4002702】复数的虚部是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，复数的虚部是．故选：D．3.【ID:4002703】在一组样本数据中，，，，出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：选项A：，所以；同理选项B：，；选项C：，；选项D：，；故选：B．4.【ID:4002704】模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：C．5.【ID:4002705】设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：将代入抛物线，可得，，可得，即，解得，所以抛物线方程为：，它的焦点坐标．故选：B．6.【ID:4002706】已知向量，满足，，，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：向量，满足，，，可得，．故选：D．7.【ID:4002707】在中，，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：在中，，，，由余弦定理可得；故；，故选：A．8.【ID:4002708】右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，，、、两两垂直，故，几何体的表面积为：，故选：C．9.【ID:4002709】已知，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由，得，即，得，即，即，则，故选：D．10.【ID:4002710】若直线与曲线和圆都相切，则的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：直线与圆相切，那么直线到圆心的距离等于半径，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：与联立可得：，此时：无解；对于D选项：与联立可得：，此时解得；直线与曲线和圆都相切，方程为，故选：D．11.【ID:4002711】设双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，设，，可得，，，，可得，可得，解得．故选：A．12.【ID:4002712】已知，．设，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，；，，，；，，，，综上，．故选：A．13.【ID:4002713】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】7【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由解得，如图，当直线过点时，目标函数在轴上的截距取得最大值时，此时取得最大值，即当，时，．故答案为：．14.【ID:4002714】的展开式中常数项是________（用数字作答）．【答案】24015.【ID:4002715】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】【解析】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线，底面半径，则其高，不妨设该内切球与母线切于点，令，由，则，即，解得，，故答案为：．16.【ID:4002716】关于函数有如下四个命题：①的图象关于轴对称．②的图象关于原点对称．③的图象关于直线对称．④的最小值为．其中所有真命题的序号是________．【答案】②③【解析】解：对于①，由可得函数的定义域为，故定义域关于原点对称，由；所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；对于③，由，所以该函数关于对称，③对；对于④，令，则，由双勾函数的性质，可知，，所以无最小值，④错；故答案为：②③．17. 设数列满足，．（1）【ID:4002717】计算，，猜想的通项公式并加以证明．【答案】见解析【解析】解：，，，，由此可猜测的通项公式为．证明：当时，左边，右边，等式成立．假设当时等式成立，即，则当时，，等式成立．综上所述，对都成立．（2）【ID:4002718】求数列的前项和．【答案】，【解析】解：由得，，，①，②，得：，综上，数列的前项和，．18. 某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：（1）【ID:4002719】分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率．【答案】见解析【解析】解：设表示事件“该市一天的空气质量等级”．由表格数据得：；；；．（2）【ID:4002720】求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【答案】【解析】由题意得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估值一天中到该公园锻炼的平均人次的估值为．（3）【ID:4002721】若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或．则称这天“空气质量不好”，根据所给数据，完成下面的列联表．并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：，【答案】见解析【解析】由题意得：(空气质量好，人数)；(空气质量好，人数)；(空气质量不好，人数)；(空气质量不好，人数)；，可以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．（1）【ID:4002722】证明：点在平面内．【答案】见解析【解析】解：连接，；取的三等分点，，且，四边形为平行四边形，，又长方体性质易得：，，，，，在同一平面内，在平面内．（2）【ID:4002723】若，，，求二面角的正弦值．【答案】【解析】解：以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，在长方体内建立空间直角坐标系，易得：，，，，，，，，设平面的法向量，则，，令，则可以为，设平面的法向量，，，令，则可以为，，二面角的正弦值为．20. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）【ID:4002724】求的方程．【答案】【解析】，，，，即，的方程为．（2）【ID:4002725】若点在上，点在直线上，且，，求的面积．【答案】【解析】设，，，则，，①，又，②，由①，，代入②式：，，，不妨设，代入①：，时，；时，；，或，，①，，，：，即，且，，．②，，，：，即，且，，，综上所述，．方法：由，设，点，根据对称性，只需考虑的情况，此时，，，有①，又，②，又③，联立①②③得或，当时，，，，同理可得当时，，综上，的面积是．21. 设函数，曲线在点处的切线与轴垂直．（1）【ID:4002726】求．【答案】【解析】解：，，．（2）【ID:4002727】若有一个绝对值不大于的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于．【答案】见解析【解析】，，令，，，，，，，时，，，，，，，若，，则，则，，，，所有零点都在上．解法：设为的一个零点，根据题意，，且，则，由，令，，当时，，当时，可知在，上单调递减，在上单调递增．又，，，，．设为的零点，则必有，即，，得，即．所有零点的绝对值都不大于．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，与坐标轴交于，两点．（1）【ID:4002728】求．【答案】【解析】解：与坐标轴交于，，则令或，即或，则或(舍)或或(舍)，，，，，，，则，坐标为，，．（2）【ID:4002729】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．【答案】【解析】：，即，由，，则直线极坐标方程为：．23. 设，，，，．（1）【ID:4002730】证明：．【答案】见解析【解析】解：，且，，．（2）【ID:4002731】用表示，，的最大值，证明：．【答案】见解析【解析】不妨设为最大值，，则由，，，，，即．。
2020年全国三卷高考数学真题及答案（仅供参考）
2020年全国三卷高考数学真题及答案（仅供参考）（完整的真题图片，请看微头条内容）
2020年三卷数学，谈谈我最大的感受，这套数学题用了大量初中的平面几何知识，如5、7、10，乃至20题解析几何第二问，用割补法就可以求出面积，基本没用传统的设而不求法，着实有点意外。
我觉得出的比较好的两个题，第3题，考察方差的基本数学定义，肯定要考倒一片人，你要是挨着去算方差，恭喜你做了一个大题。
此外12题也还可以，用了类比思想，考察知识迁移，技巧性也还不错。
至于三卷的压轴题，导函数，其实就是分类讨论思想，画出每一类的大致图像，还是能很快的做出来的。
整体来说，今年的三卷还算基础，比去年难度有所降低，而且降得不算少。
高考理科数学(3卷)：答案详细解析(最新)
C．1
D．2
【解析】2 tan
tan(
)
2 tan
1 tan
7
，化简得 tan2
4 tan
4
0
，
4
1 tan
解得 tan 2 .
【答案】D
10．（解析几何）若直线 l 与曲线 y
x
和
x2
y2
1 5
都相切，则
l
的方程为
A．y=2x+1
B．y=2x+ 1
2
C．y= 1 x+1
2
D．y= 1 x+ 1
2020 年高考理科数学（全国 3 卷）答案详解及试题
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（III 卷）答案详解
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1．（集合）已知集合 A {(x, y) | x, y N* , y x}，B {(x, y) | x y 8}，则 A B
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2020 年高考理科数学（全国 3 卷）答案详解及试题
点 A(2,1)时，直线在 y 轴上的截距最大，即 z 有最大值，所以 zmax=7.
图 A13
【答案】7
14．（概率统计）
x2
2 x
6
的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
解法一：构造不等式： 34
53
， 54
83
，同理可得
a
log5
3
3 4
，
b
log8
5
3 4
.
2020全国3卷高考理数试题答案解析
可得 ，即
由
故 .
故选：A.
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
A. 60B. 63C. 66D. 69
将 代入函数 结合 求得 即可得解.
【解析】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故选：C.
5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A. （ ，0）B. （ ，0）C. （1，0）D. （2，0）
2020全国3卷高考理数试题
1.已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
采用列举法列举出 中元素的即可.
【解析】由题意， 中的元素满足 ，且 ，
由 ，得 ，
所以满足 的有 ，
故 中元素的个数为4.
故选：C.
【拓展】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【答案】B
根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点 的坐标，代入方程求得 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
(全国III卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷总分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 62.复数113i的虚部是（ ） A. 310B. 110C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p B. 14230.4,0.1p p p p C. 14230.2,0.3p p p pD. 14230.3,0.2p p p p4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69机密★启用前5.设O 为坐标原点，直线2x 与抛物线C ：22(0)y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. 1,04B. 1,02C. (1,0)D. (2,0)6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （ ） A. 3135B. 1935C.1735D.19357.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.238.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 210.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +1211.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1B. 2C. 4D. 812.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A .a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d ，19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． [选修4—5：不等式选讲]（10分） 23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．理科数学参考答案12020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.D3.B4.C5.B6.D7.A8.C9.D 10.D 11.A 12.A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.7 14.240 15.316.②③ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ， 证明如下：当1n 时，13a 成立； 假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.机密★启用前理科数学参考答案2则对任意的*n N ，都有21n a n 成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n231325272(21)2(21)2n n n S n n ，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？理科数学参考答案3附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22 列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100，等级为2的概率为510120.27100 ，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100理科数学参考答案4（3）22 列联表如下：221003383722 5.820 3.84155457030K，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；理科数学参考答案5（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，理科数学参考答案6设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由00m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ， 设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z， 由1100n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7. 因此，二面角1A EF A的正弦值为7. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；理科数学参考答案7（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率4c e a ， 解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y，即221612525x y ； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图理科数学参考答案8||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又 90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ △△，221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时， 故532MB ，PMB BNQ △△，理科数学参考答案9||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d， 根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点为(3,1) 时， 故5+38MB ，PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图理科数学参考答案10(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522， 综上所述，APQ 面积为：52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）34b ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f ，解方程即可；理科数学参考答案11（2）由（1）可得'2311()32()422f x x x x，易知()f x 在11(,22上单调递减，在1(,2 ，1(,)2上单调递增，且111111(1),(,(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b则34b； （2）由（1）可得33()4f x x x c， '2311()33()()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,)22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c或14c . 当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ， 即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ， 又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，理科数学参考答案12即()f x 在(1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120 【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)B.AB （2）由（1）可知12030(4)AB k，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .理科数学参考答案13由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 . 【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bcbc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ，22212ab bc ca a b c. 1,,,abc a b c 均不为0，则2220a b c ，222120ab bc ca a b c ； （2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c时，取等号，a，即max{,,}a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.理科数学参考答案14选填题解析1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i的虚部是（ ） A. 310B. 110C.110D.310【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ， 所以复数113z i 的虚部为310. 故选：D.理科数学参考答案15【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p B. 14230.4,0.1p p p p C. 14230.2,0.3p p p p D. 14230.3,0.2p p p p【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60B. 63C. 66D. 69理科数学参考答案16【答案】C 【解析】 【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合0.95I t K 求得t 即可得解. 【详解】0.23531t KI t e，所以 0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t ，解得353660.23t. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.设O 为坐标原点，直线2x 与抛物线C ：22(0)y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. 1,04B. 1,02C. (1,0)D. (2,0)【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,E D 两点，且OD OE ， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx，所以 2,2D ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （ ）理科数学参考答案17A. 3135B. 1935C.1735D.1935【答案】D 【解析】 【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a ab a a b a a b. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】 在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB由22299161 cos22339 AB BC ACBAB BC故1 cos9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDBS S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB理科数学参考答案18ADB△是边长为根据三角形面积公式可得：211sin60222ADBS AB AD△该几何体的表面积是：632.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan74，tan12tan71tan，令tan,1t t，则1271ttt，整理得2440t t，解得2t ，即tan2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l与曲线y和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1 D.y=12x+12【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.理科数学参考答案19理科数学参考答案20【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数yy，则直线l的斜率k， 设直线l的方程为 0y x x，即00x x ， 由于直线l 与圆2215x y两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍）， 则直线l 的方程为210x y ，即1122y x . 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ， 12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ， 12F P F P ， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.理科数学参考答案21【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b ，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg522lg 5lg 25lg5a b，a b ； 由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b； 由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c . 综上所述，a b c . 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.理科数学参考答案2213.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y ，当322x zy经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x ，得12x y，(1,2)A ，所以max 31227z . 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】理科数学参考答案23写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】 622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r r C x当1230r ，解得4r622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r rr n T a b ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】3【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，理科数学参考答案24由于AM，故122S△ABC ， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】理科数学参考答案25利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f， 所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称，111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x， 所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
2020年高考全国三卷理科数学试卷
3A ・ Pl = Pq = 0・ 1， p 2 = p 2t =0.4B ・ P i = P 4 = 0 4, Pr = p 3 = 0」C ・ P ∖ = ∕λ⅜ = 0・2， Pl = “3 = °・3D. P X =Pq= 0.3, p 2 = “3 = 0.24. LOgiStiC 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。
有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计•确诊病例数/(/)(/的单位：天)的LOgiStiC 模型：/(/)=—：”,其中K为最 1 + e大确诊病例数。
当W) = O.95K 时，标志着已初步遏制疫情，贝忖约为(hl9≈3)A. 60B. 63C. 66D. 695. 设O 为坐标原点，直线x = 2与抛物线C∙.y 2=2px(p>O)交于D 、E 两点,若OQ 丄OE,则C 的 焦点坐标为A.(丄,0)B.(丄,0)C. (IQ)D. (2,0)426. 已知向量“、方满足l“l=5,l 〃l=l, a-b = -6f 贝IJ cos(a,a +b)=31 19 17 19 A.B.—丄匕C.工D ・工3535 35352020年普通高等学校招生全国统一考试(In 卷)理科数学2020.7一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1 ・已知集合 A = {(x, y)∖x,ye N ∖ y ≥ x} B = {(x,y)∣x + y = 8},则AnB 中元素的个数为 A. 2 B. 3 C.4 2.复数丄的虚部是 l-3i A. B. C.— 10 10 10 D. 6 3.在一组样本数据中，1、2、3、4出现的频率分别为p, P v P r 久，且∑Λ=1,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是2 7.在ΔABC l l q T COSC = —τ AC = 4, BC = 3,贝IJCOSB =A. 一B. 一C. 一9 3 28.右图为某儿何体的三视图，则该儿何体的表面积是A. 6 + 4>∕2B. 4 + 4√2C. 6 + 2√3D・4 + 2√J9.已矢U 2 tan θ - tan(^ + —) = 7 T 则tan θ =4A.-2B.-1C. 1D. 210.若直线/与曲线y =長和圆x2 + y2=-都相切，则/的方程为A. y = 2x+∖B. y = 2x + -C. y = ∙!-x + l D・ y = -X+ —" 2 2 2 211.设双曲线C:4-21 = 1(6/>0,/7>0)的左、右焦点分别为门、F2,离心率为詰。