垂径定理及其推论优秀课件
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3.3 垂径定理 2018届课件(共30张PPT)
第三章 圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
情境引入 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
讲授新课
一 垂径定理及其推论
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为
内容
推论 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于 弦; ③平分弦（不是直径）; ④平 分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的 劣弧.满足其中两个条件就可以推 出其它三个结论（“知二推三”）
辅助线 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定理 变 式 图 形 计算或建立方程.
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足 为P. 求证：AP=BP，A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
证明：连接OA、OB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵CD⊥AB， ∴AP=BP，∠AOC=∠BOC.
·O
从而∠AOD=∠BOD. ∴A⌒D =B⌒D，A⌒C =B⌒C.
R2 3002 R 902 .
解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m.
针对训练 若一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半
径为7cm，则弓形的高为＿2c＿m＿或_1_2_c_m＿.
C C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
当堂练习
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 5cm . 2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦 AC= 10 3 cm .
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
情境引入 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
讲授新课
一 垂径定理及其推论
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为
内容
推论 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于 弦; ③平分弦（不是直径）; ④平 分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的 劣弧.满足其中两个条件就可以推 出其它三个结论（“知二推三”）
辅助线 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定理 变 式 图 形 计算或建立方程.
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足 为P. 求证：AP=BP，A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
证明：连接OA、OB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵CD⊥AB， ∴AP=BP，∠AOC=∠BOC.
·O
从而∠AOD=∠BOD. ∴A⌒D =B⌒D，A⌒C =B⌒C.
R2 3002 R 902 .
解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m.
针对训练 若一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半
径为7cm，则弓形的高为＿2c＿m＿或_1_2_c_m＿.
C C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
当堂练习
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 5cm . 2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦 AC= 10 3 cm .
垂径定理优秀课件
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
初中数学《垂径定理》公开课课件
C
O
AE
F
B
P
D
A
B
O
自我评价 本节课堂自我评价
评价项目及评价结果 优
良
合格
不合格
课前预习的主动性以及 效果
课堂活动的参与度
独立回答问题以及解决 问题的准确性
对整节课所学知识以及 数学思想方法的认识与 体会
较之上节课的学习表现 是
否
是否有了进步
备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价,并写在相应的栏目下面。
E
连半径 建模思想
F
●
D
O
用勾股 方程思想
解这个方程,得R 545.
牛刀小试
1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦 值是 。
0
A
B
辅助线：作垂直，得平分，用勾股
大显身手
2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的
距离是 2cm或14cm .
.
3.分类讨论思想
1.实际生活中的应用价值
2.自主探索和团队合作精神
当堂检测
必做题
1.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么
OP长的取值范围是______。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
O
A
PB
O.
AC
DB
当堂检测
动手操作
折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的
直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·
可以发现：圆是_轴__对__称_ 图形，任何一条直__径__所__在__的__直__线 都是它的对称轴，它有__无__数__条对称轴。
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册
*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
数学公开课优质课件精选《垂径定理》
解析
要证明FM垂直于FN， 只需证明角MFN等于 90度。根据抛物线的 性质可知AF = AM， BF = BN。因此，角 AFM和角BFN均为45 度。所以角MFN等于 90度，即FM垂直于FN
。
例题6
已知椭圆C： (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1 (a > b > 0)的左、右焦点分别 为F1、F2，过F1的直 线l与椭圆C交于A、B 两点。若|AF1| = 3|F1B|，且|AB| = 4√3 ，求椭圆C的方程。
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
Hale Waihona Puke 。判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
03
利用垂径定理可以解决与线段中点相关的各种问题，如求线段
的长度、证明线段的平行或垂直等。
应用场景
在解决三维几何问题中，如计算球面上两点的最短距离、 判断点到球面的位置关系等问题时，可应用三维空间中的 垂径定理。
垂径定理与其他知识点的联系
与勾股定理的联系
在直角三角形中，垂径定理可视 为勾股定理的特殊情况，当直角 三角形的两条直角边相等时，斜
边上的中线即为垂径。
与圆的性质的联系
垂径定理与圆的性质密切相关，如 圆心角、弧长、弦长等概念在证明 垂径定理时均有涉及。
解决角平分线问题
1 2 3
利用垂径定理构造角平分线
通过构造以角为顶点的圆，利用垂径定理可求得 角的平分线。
判定角平分线的性质
根据垂径定理，若一条射线是某圆的切线，且切 点是角的顶点，则该射线是角的平分线，从而可 判定角平分线的性质。
垂径定理》PPT课件
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂径定理推论ppt课件
④A⌒C = B⌒C,
⑤
A⌒D
=
⌒
BD.
C
A
B
M└
●O
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
D
精品课件
6
判断
⑴垂直于弦的直径线平分弦，并且平分弦所对的弧( × )
⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 (√ )
⑶圆的不与直径两垂条直直的径弦必不被这条直径平分 ( × ) 不是直径
⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (× )
⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
精品课件
7
（1）平分不弦是的直直径径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直直径线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
O
D
(1) B
•O
A
B
(2) D
精品课件
•O
A
B
(3) D
8
1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. 2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分. B•O来自DCA
(5)
精品课件
C
•O
E
A
B
D (6)
9
平分已知弧AB
已知：弧AB 求作：弧AB的中点
A
C
E
B
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
D
点E就是所求弧AB的中点。
⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为(
)C
A
C
A.1.5cm
B
D
O