2020版高考数学二轮复习专题二三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件理
(2)已知 sinα－cosα＝ 2，α∈(0，π)，则 tanα＝( )
A．－1
B．－
2 2
C．
2 2
D．1
答案 A
解析 因为 sinα－cosα＝ 2，所以(sinα－cosα)2＝2，所以 sin2α＝－1. 因为 α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以 2α＝32π，即 α＝34π，故 tanα＝－1.
2
PART TWO
热点考向探究
考向 1 同角三角关系式、诱导公式 例 1 (1)(2019·临川第一中学等九校高三 3 月联考)已知 α∈(0，π)，且 cosα
＝－1157，则 sinπ2＋αtan(π＋α)＝(
)
A．－1175
B．1175
C．－187
D．187
答案 D
解析 sinπ2＋αtan(π＋α)＝cosαtanα＝sinα， 因为 α∈(0，π)，且 cosα＝－1175， 所以 sinα＝ 1－cos2α＝ 1－－11572＝187.故选 D.
1．解析式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的确定方法
最大值－最小值
(1)A，B 由最值确定，即 A＝
2
，
B＝最大值＋2 最小值.
(2)ω 由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为T2，对
称轴与相邻对称中心之间的距离为T4.
(3)φ 由图象上的特殊点确定，利用五点作图的五个特殊点直接确定．
(2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图 所示，则 f(x)的单调递增区间为________．
答案 －152π＋kπ，1π2＋kπ，k∈Z
解析 由函数的图象可得 A＝ 2，14T＝71π2－π3＝14·2ωπ，解得 ω＝2.再根据 五点作图法可知 2×π3＋φ＝π，φ＝π3，所以 f(x)＝ 2sin2x＋π3.由－π2＋2kπ≤2x ＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，可得－51π2＋kπ≤x≤1π2＋kπ(k∈Z)．
答案 －65 解析 ∵f(tanx)＝sin2x－5sinxcosx＝sins2ixn－2x＋5sicnoxsc2oxsx＝tanta2nx－2x＋5ta1nx，∴ f(x)＝xx22－＋51x，则 f(2)＝－65.
考向 2 三角函数的图象及应用
例 2 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)将函数 f(x)＝sin2x＋ 3cos2x 图象
(3)已知 α 为锐角，且有 2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π ＋β)－1＝0，则 sinα＝( )
35 A. 5
B．37 7
C．3
10 10
D．－3 3 5
答案 C
解析 由已知可得， －2tanα＋3sinβ＋5＝0， ① tanα－6sinβ－1＝0， ② ①×2＋②得 tanα＝3.∵α 为锐角，∴sinα＝31010.故选 C.
2．已知 sin2α＝34，则 tanα＋ta1nα等于(
)
8 A.3
B．130
C．131
D．4
答案 A
解析 由 sin2α＝2sinαcosα＝34，可得 sinαcosα＝38，所以 tanα＋ta1nα＝csoinsαα ＋csoinsαα＝sinα1cosα＝83.故选 A.
3．如果 f(tanx)＝sin2x－5sinxcosx，那么 f(2)＝________.
(3)关于 sinα，cosα 的齐次式，往往转化为关于 tanα 的式子求解．
1．(2019·内江市高三第三次模拟)已知 α∈π2，π，sinα＝45，则 tanα＋π4＝
()
A．7
B．17
C．－7
D．－17
答案 D
解析 ∵α∈π2，π，sinα＝45，∴cosα＝－35，∴tanα＝－43.∴tanα＋π4＝ 1－－－43＋43×1 1＝－17.故选 D.
(1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三 角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－ cosα 这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
2．三角函数图象平移问题处理策略 (1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是 判断移动方向的关键点． (2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看 y＝Asin(ωx ＋φ)中 φ 的正负和它的平移要求． (3)看移动单位：在函数 y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿 x 轴方向的，所以 ω 和 φ 之间有一定的关系，φ 是初相，再经过 ω 的压缩， 最后移动的单位是ωφ .
第二编 讲专题
专题二 三角函数、解三角形与平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质
「考情研析」 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对 称性、周期性． 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的 求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.
1
PART ONE
核心知识回顾
1.同角关系式与诱导公式
(1)同角三角函数的基本关系： □01 sin2α＋cos2α＝1
，□02 csoinsαα＝tanα
.
(2)诱导公式：在k2π＋α，k∈Z 的诱导公式中
“ □03 奇变偶不变，符号看象限”．
2．三种三角函数的性质
3．函数 y＝sinx 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的 步骤
上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，所得函数的一个对称中心可以是( )
A.－π3，0 C.π6，0
B．(0,0) D．π3，0
答案 A
解析 f(x)＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin2x＋π3，将横坐标伸长到原来的 2 倍， 所得函数为 g(x)＝2sinx＋π3，令 x＋π3＝kπ(k∈Z)⇒x＝kπ－π3(k∈Z)，则对称中 心为kπ－π3，0，k∈Z，令 k＝0，则其中一个对称中心为－π3，0.故选 A.
2020高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考点文1
(6)若求出2x －的范围，再求函数的最值，同样得分．1．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2＝2sin ＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin ＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．类型二 学会审题[例2] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ＝，求cos 的值．审题路线图(1)条件：f x 图象上相邻两个最高点距离为π(2)条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝343．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C)，且m∥n.(1)若b2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－的值域．解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin Bcos C ＝2sin(B ＋C)－sin C ，即2sin Bcos C ＝2sin Bcos C ＋2cos Bsin C －sin C ， 在△ABC 中，sin C≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝.又b2＝ac ，b2＝a2＋c2－2accos B ，因而ac ＝a2＋c2－2accos ，即(a －c)2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2cos2A －sin2A1＋sin A cos A＝1－2cos A(cos A －sin A)＝sin 2A －cos 2A＝sin ，由已知条件B ＝知A∈.所以，2A －∈.因而所求函数的值域为(－1，]．4．已知函数f(x)＝2sinsin ，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若A ＝，c ＝2，且锐角C 满足f ＝，求△ABC 的面积S.解：(1)由题意得，。
高考数学(理)二轮ppt课件：三角函数、解三角形、平面向量
要点回扣
易错警示
查缺补漏
要点回扣
1.α 终边与 θ 终边相同(α 的终边在 θ 终边所在的射线上)⇔α＝θ ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的 角不一定相等. 任意角的三角函数的定义：设 α 是任意一个角，P(x，y)是 α 的终边上的任意一点 ( 异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ y x y 2 2 x ＋y >0，那么 sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0)，三角 r r x 函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关.
π 0， 2
.
[ 问 题 3] 函 数 π 5 kπ－ ，kπ＋ π(k∈Z) ________________________. 12 12
π y ＝ sin －2x＋ 的 递 减 区 间 是 3
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
[问题6]
下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；
②若 |a| ＝ |b| ，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a∥b ，则
|a|＝ |b|；④若 a＝ 0，则－ a＝ 0.其中正确命题是
________. ④
7.向量的数量积 |a| ＝a ＝a· a，
＝kπ，k∈Z； 对称中心： y＝ sin x， (kπ， 0)， k∈Z； y ＝ cos x，
kπ π kπ＋ ，0，k∈ Z；y＝tan x， ，0 ，k∈Z. 2 2
(3)单调区间：
π π y＝sin x 的增区间：－ ＋2kπ， ＋2kπ 2 2 π 3π 减区间： ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)； 2 2
2020版高三数学新课标大二轮增分攻略数学(理) 专题一三角函数与解三角形第一讲 三角函数的图象与性质
第三篇 重点热点、突破篇第一讲 三角函数的图象与性质[高考导航]1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题．2．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质．考点一 同角三角关系式及诱导公式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．1．(2019·广东惠州二调)已知sin x ＋cos x ＝15，x ∈[0，π]，则tan x 的值为( )A ．－34B ．－43C ．±43D ．－34或－43[解析] ∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝125，即1＋2sin x cos x ＝125.∴2sin x cos x ＝－2425<0.∵x ∈[0，π]，∴sin x >0，cos x <0. ∴sin x －cos x >0.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，∴sin x －cos x ＝75. 又知sin x ＋cos x ＝15，∴sin x ＝45，cos x ＝－35，则tan x ＝sin x cos x ＝－43，故选B. [答案] B2．(2019·福州质检)已知P (sin40°，－cos140°)为锐角α终边上的点，则α＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°[解析] ∵P (sin40°，－cos140°)为角α终边上的点，因而tan α＝－cos140°sin40°＝－cos (90°＋50°)sin (90°－50°)＝sin50°cos50°＝tan50°，又α为锐角，则α＝50°，故选B.[答案] B3．(2019·唐山五校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－15 B.15 C.25 D ．－25 [解析] cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝－15.[答案] A4．(2019·河北六校第三次联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.54[解析] ∵方程5x 2－7x －6＝0的两根分别为x 1＝2和x 2＝－35，∴sin α＝－35.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α＝53，故选B. [答案] B5．(2019·云南师大附中月考)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( )A.195B.165C.2310D.1710[解析] 解法一：sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan θ＋tan 2θtan 2θ＋1，将tan θ＝2代入，得原式＝2310，故选C.解法二：tan θ＝2＝21，在平面直角坐标系xOy 中，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上取点P (1,2)，则|OP |＝5，由三角函数的定义，得sin θ＝25，cos θ＝15，所以sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝25＋1525＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝2310，故选C.[答案] C6．(2019·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在单位圆O 上，设∠xOP ＝α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，则x 0的值为________．[解析] ∵点P (x 0，y 0)在单位圆O 上，且∠xOP ＝α，∴cos α＝x 0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴x 0＝cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210. [答案] －210(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．考点二 三角函数的图象及变换1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．2．两种图象变换【例1】 (1)(2019·南昌调研)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度得到 B ．向右平移π2个单位长度得到 C ．向左平移π4个单位长度得到 D ．向右平移π4个单位长度得到(2)(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图象如图所示，则φ＝________.[解题指导] (1)化f (x )为正弦形式→转化为x 上的变化量→确定结果(2)由对称中心及对称轴得周期T→由T ＝2πω得ω→利用f ⎝⎛⎭⎪⎫1112π＝－2及φ的范围得φ值[解析] (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝ sin ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π4，∴只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可得到f (x )的图象．故选C.(2)由T 4＝1112π－23π＝π4，得T ＝π，又知T ＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝－1.∴116π＋φ＝2k π＋32π(k ∈Z )． ∴φ＝2k π－π3(k ∈Z )，又∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3. [答案] (1)C (2)－π3解决三角函数图象问题的策略(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．1．(2019·广东揭阳一模)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标先伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z [解析] 解法一：将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ＋φ，再向左平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ＋ωπ6＋φ＝sin x ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12ω＝1，ωπ6＋φ＝2k π，k ∈Z ，又－π2≤φ<π2，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故选C.解法二：将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C.[答案] C2．(2019·太原3月联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1B.12C.22D.32[解析] 由题图知A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又因为点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象的上升段上，所以－π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，可知在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上，函数f (x )的图象关于x ＝π12对称，因为x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.[答案] D考点三 三角函数的性质1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 角度1：研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性【例2】 (2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 [解题指导]由奇函数确定φ→由伸缩变换确定g (x )的解析式→由g (x )的周期确定ω→由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2确定A[解析] ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π，∴φ＝0，∴f (x )＝A sin ωx ，则g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x .由g (x )的最小正周期T ＝2π，得ω2＝2πT ＝1，∴ω＝2.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝2，故选C.[答案] C角度2：求三角函数的单调区间及最值【例3】 (2019·石家庄二中月考)已知函数f (x )＝(23cos ωx ＋sin ωx )sin ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2＋ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．[解题指导] (1)化简函数解析式→利用周期性和对称性求ω值→写出f (x )解析式→求f (x )单调递增区间(2)由x 范围求出角整体范围→利用f (x )单调性和图象求出值域[解] (1)f (x )＝23cos ωx ·sin ωx ＋sin 2ωx －cos 2ωx ＝3sin2ωx －cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由f (x )图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为π4，知14·2π2ω＝π4，即ω＝1.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 即函数f (x )的值域为[－1,2]．三角函数性质问题的解题策略(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．(2)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A >0，ω<0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝－A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在某一区间的最值时，将ωx ＋φ视为整体，借助正弦函数的图象和性质求解．1．(2019·太原一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称[解析] ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6， ∴A 、C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． [答案] B2．(2019·豫南九校4月联考)已知函数f (x )＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值． [解] (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x － 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |[解析] 对于选项A ，作出y ＝|cos2x |的部分图象，如图1所示，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，且最小正周期T ＝π2，故A 正确．对于选项B ，作出f (x )＝|sin2x |的部分图象，如图2所示，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，且最小正周期T ＝π2，故B 不正确． 对于选项C ，∵f (x )＝cos|x |＝cos x ，∴最小正周期T ＝2π，故C 不正确．对于选项D ，作出f (x )＝sin|x |的部分图象，如图3所示．显然f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.[答案] A2．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π[解析] f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. [答案] A3．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③[解析] f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，故f (x )是偶函数，①正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 单调递减，②不正确； 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，f (x )＝2sin x 有两个零点，当x ∈[－π，0)时，f (x )＝－2sin x 仅有一个零点，故③不正确；当x ≥0时，f (x )＝sin x ＋|sin x |，其最大值为2，又f (x )是R 上的偶函数，故f (x )在R 上的最大值为2，④正确．综上，①④正确，②③不正确．故选C. [答案] C4．(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．[解] (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos2x －32sin2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在6～12或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．专题强化训练(十一)一、选择题1．(2019·菏泽一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A ．－255B ．－55 C.55 D.255[解析] 由题意知cos α＝25＝255，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.[答案] A2．(2019·桂林一模)已知sin(5π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＋2cos α＝( )A.225 B.－25 C ．－2 2 D ．－2[解析] 由sin(5π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得sin α＝－3cos α，所以tan α＝－3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＋2cos α＝22(cos α－sin α)sin α＋2cos α＝22(1－tan α)tan α＋2＝22×4－1＝－2 2.故选C.[答案] C3．(2019·湖南湘中高三联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) [解析] 因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sin φ<0，所以φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56π，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故选C.[答案] C4．(2019·廊坊省级示范性高中联合体联考(一))已知函数f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝－π12对称B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝－π12对称C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝－π6对称D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝－π6对称[解析] f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，3x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，可得函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，又由3x ＋π4＝0，解得x ＝－π12，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称．故选A.[答案] A5．(2019·湖南省四校联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．1，3π4B ．2，π4 C ．π，3π4D ．2π，π4[解析] 由题图知最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以ω＝2πT ＝π，所以f (x )＝2sin(πx ＋φ)，把⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，即π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝3π4，故选C.[答案] C6．(2019·福州质量检测)若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0 [解析] 将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故选A. [答案] A 二、填空题7．(2019·河北沧州模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________.[解析] 设点P (a,2a )(a ≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝yx ＝2，再根据诱导公式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.[答案] 28．(2019·安徽六安一中3月月考)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0<ω<1)在区间(π，2π)内有最值，则ω的取值范围为________．[解析] 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0<ω<1)取最值时，ωx ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3(k ∈Z )，因为f (x )在区间(π，2π)内有最值，所以1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3∈(π，2π)时，k 有解，所以1<1ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋13<2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω<k ＋13，k 2＋16<ω⇒k 2＋16<ω<k ＋13.由k 2＋16<k ＋13得k >－13.当k ＝0时，16<ω<13，当k ＝1时，结合0<ω<1，得23<ω<1，所以ω的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 9．(2019·江西南昌重点中学段考测试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<ω<3，|φ|<π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，则f (π)＝________. [解析]解法一：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－πω12＋φ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5πω12＋φ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－π12ω＋φ＝k 1π，5π12ω＋φ＝k 2π(k 1，k 2∈Z )，两式相减得，12ω＝k 2－k 1(k 1，k 2∈Z )．因为0<ω<3，且k 2－k 1是整数，所以ω＝2.将点⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0看作“五点”中的第一点，则－π6＋φ＝0，所以φ＝π6，满足|φ|<π2.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (π)＝12. 解法二：设f (x )的最小正周期为T ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＝0可得x＝－π12和x ＝5π12是函数f (x )的两个零点，所以k 1·T 2＝512π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π2(k 1∈N )，即T ＝πk 1(k 1∈N )，又知T ＝2π|ω|(ω>0)，所以2πω＝πk 1(k 1∈N )，所以ω＝2k 1(k 1∈N )，又0<ω<3，所以当k 1＝1时，ω＝2.所以f (x )＝sin(2x＋φ)．由f ⎝⎛⎭⎪⎫－π12＝0，得－π6＋φ＝k 2π(k 2∈Z )，所以φ＝k 2π＋π6(k 2∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (π)＝12.[答案] 12 三、解答题10．(2019·北京西城二模)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值． [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z . (2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4. 整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12.因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4； 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，即β＋π4＝π3，即β＝π12.所以β＝π12或β＝3π4.11．(2019·云南曲靖一中模拟)已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若f (x )－m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3恰有一实数根，求m 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＋3sin 2x＋sin x cos x＝2cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x －3cos 2x ＋3sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 故函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象如下．∵f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝0，∴当方程f (x )－m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3恰有一实数根时，m 的取值范围为[－3，0)∪{2}．12．(2019·山东济南一模)已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值．[解] (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋3＝12sin2x －32cos2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )， 故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6.由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， 即0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32≤2＋32.故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.。
2020高考数学(文科)专题复习课标 通用版(课件)： 专题2 三角函数、解三角形和平面向量 专题2 第1讲
)
函 的 象 其 换
数 图 及 变
直观 想象 数学 运算
2018·江苏卷，7 2017·全国卷Ⅰ，9 2016·全国卷Ⅰ，6 2016·全国卷Ⅱ，3
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵 坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长 度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵 坐标不变，再把得到的曲线向左平移1π2个单位长
则 g(x)的最小正周期 T＝22π＝π，故 A 项错误；gπ6＝ cos2×6π＝cos π3＝12，故 B 项错误；g3π＝cos2×π3＝cos 23π＝－12≠±1，即 x＝π3不是 g(x)图象的一条对称轴，故 C 项错误；g(－x)＝cos(－2x)＝cos 2x＝g(x)，即 g(x)是偶函 数，故 D 项正确．故选 D 项．
表所示.
x＋π6 －56π －π2
0
π 2
π
7π 6
x
－π
－23π
－π6
π 3
5π 6
π
y －1 －2 0 2 0 －1
所 以 函 数 f(x) 在 区 间 x∈[ － π ， π] 上 的 图 象 如 图 所 示．
题型二 三角函数的性质
1．在三角函数性质有关问题中主要是整体思想的 应用，在求解y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、单调性、对称 性 及 已 知 区 间 上 的 最 值 问 题 时 ， 往 往 将 ωx ＋ φ 看 作 整 体，利用y＝Asin x的图象与性质进行求解．
(1)试求 ω 的值； (2)先列表，再作出函数 f(x)在区间 x∈[－π，π]上的 图象．
解析 (1)因为点－6π，0是函数 f(x)图象的一个对称 中心，所以－ω3π＋π6＝kπ，k∈Z，所以 ω＝－3k＋12.
高考数学二轮专题突破配套专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲课件ppt.pptx
12 3 4
解析 由于f(x)的最小正周期为π， ∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，
又当 x＝23π时，2x＋φ＝43π＋φ＝2kπ－2π(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－116π(k∈Z)，又 φ>0， ∴φmin＝π6， 故 f(x)＝Asin(2x＋π6).于是 f(0)＝12A，
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热点分类突破 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
(1)三角函数：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.各象限角的三角函数 值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦. (2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，csoins αα＝tan α. (3)诱导公式：在k2π＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符 号看象限”.
再把图象沿 x 轴向右平移8π个单位后得到 y＝3sin 2(x－8π)＝ 3sin(2x－π4). 答案 B
(2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 为常数，A>0，ω>0,0<φ<π) 的图象如图所示，则 f(3π)的值为________.
解析 根据图象可知，A＝2，34T＝1112π－π6， 所以周期T＝π，
因此 f(π6)＝2sinπ3＝ 3.
(2)将函数 y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数 y＝
g(x)的图象，求函数 g(x)的单调递增区间.
解 将 f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到 f(x－π6)的图象， 所以 g(x)＝f(x－6π)＝2sin[2(x－π6)]＝2sin(2x－π3). 当 2kπ－2π≤2x－3π≤2kπ＋π2(k∈Z)， 因即此kπg－(x1)π的 2≤单x≤调k递π＋增51区π2(间k∈为Z[)k时π－，1πg2(，x)k单π＋调51递π2]增(k，∈Z).
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
所以 ω＝－16＋23k，k∈Z， 所以 ω＝52，f(x)＝sin 52x＋π4＋2， 所以 fπ2＝sin 54π＋π4＋2＝1. 故选 A.
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专题一 三角函数和解三角形
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2．(2022·全国甲卷)设函数 f(x)＝sin ωx＋π3在区间(0，π)恰有三个极
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【解析】 f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以 f(x) 在区间0，π2和32π，2π上 f′(x)>0，即 f(x)单调递增；在区间π2，32π上 f′(x)<0， 即 f(x)单调递减，又 f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋2，f32π＝－32π＋1＋1＝－ 32π，所以 f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－32π，最大值为π2＋2.故选 D.
值点、两个零点，则 ω 的取值范围是
( C)
A．53，163
B．53，169
C．163，83
D．163，169
专题一 三角函数和解三角形
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【解析】 依题意可得 ω>0，因为 x∈(0，π)，所以 ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，
又 y＝sin x，x∈π3，3π的图象如下所示：
则52π<ωπ＋π3≤3π，解得163<ω≤83，即 ω∈163，83.故选 C.
专题一 三角函数和解三角形
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3．(2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sin ωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是 ( C )
高三数学第二轮复习资料 专题三： 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
专题三 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tanα＝y x .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 23． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x 值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4. 3． (·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且 f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)． 审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝⎛⎭⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －3π4 答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.又f ⎝⎛⎭⎫－π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4，选B. 题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3 ＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sin t ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图， 由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y ＝－k在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调区间． 解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π3，π2.变式训练4 (·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x ≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分] 又∵f (x )过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3. [5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.[7分] 将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14. [12分]评分细则 (1)将点⎝⎛⎭⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43答案 D解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x ) ( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数，选B. 5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A.3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4时的值域为( )A ．[－1,0] B.⎣⎡⎦⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为 ( )A.π8B.38πC.34πD.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ) 得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1. 第二讲 三角变换与解三角形1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4． 正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π. (2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B .1． (·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34C ．－34D ．－43答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2． (·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 的大小为 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.3． (·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． (·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于 ( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 B解析 利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.5． (·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.题型一 三角恒等变换例1 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( ) A.22 B.33C. 2D. 3 (2)已知α，β ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 审题破题 (1)利用同角三角函数关系式先求sin α或cos α，再求tan α；(2)注意角之间的关系⎝⎛⎭⎫α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 答案 (1)D (2)－5665解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.(2)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以α＋β＝⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos(α＋β)>0.易得cos(α＋β)＝45. 又π2<β－π4<3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4<0， 易得cos ⎝⎛⎫β－π4＝－513. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665.反思归纳 (1)公式应用技巧：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②常用切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．变式训练1 (1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. (2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)．∵sin α＝12＋cos α，∴cos α－sin α＝－12，两边平方得1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＋sin α＝(cos α＋sin α)2＝ 1＋34＝72，∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－142.题型二 解三角形例2 △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .审题破题 (1)利用正弦定理，化去角B 的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B 的值，进而求出角B . 解 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 又a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a .所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，又0°<B <180°，得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12.又cos B >0，故cos B ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°.反思归纳 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．变式训练2 (·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a ＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A <π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.题型三 解三角形的实际应用例3 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝14，BC ＝10，AC ＝16，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由．审题破题 首先借助余弦定理列式，通过等量关系求出角C 的大小，进而求AB 的长度；然后借助正弦定理比较三角形的面积大小，并作出判断． 解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ．①在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得， AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝142＋142－2×142cos C ．② 由①②得：142＋142－2×142cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ，整理可得cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以∠C ＝60°.又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形， 即AB 的长度是14.(2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，∠C ＝∠D ，所以S △ABD >S △ABC .又已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC 建造环境标志费用较低． 即小李的设计使建造费用较低．反思归纳 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．变式训练3 (·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．典例 (12分)已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6.(1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC＝3，求a 的值． 规范解答解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6.[3分] 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6＝±1， 即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1.[5分]∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .[7分](2)f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1， 在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π，∴A ＋π6＝π2，A ＝π3.由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4.[9分]由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13，故a ＝13.[12分]评分细则 (1)f (x )没有化成sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的得1分；(2)k ∈Z 没写的扣1分；(3)得出A ＝π3的给1分．阅卷老师提醒 (1)三角形和三角函数的结合是高考命题的热点，灵活考查分析、解决问题的能力．(2)此类问题的一般解法是先将三角函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用三角函数求值确定三角形的一个角，然后和正、余弦定理相结合解题． (3)解题中要充分注意在三角形中这个条件，重视角的范围．1． 已知cos (π－2α)sin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α等于( )A ．－72 B.72 C.12D ．－12答案 D解析 cos (π－2α)sin (α－π4)＝－cos 2αsin (α－π4)＝sin (2α－π2)sin (α－π4)＝2cos(α－π4)＝2cos α＋2sin α＝－22，∴sin α＋cos α＝－12，故选D.2． (·江西)已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则 ( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析 将函数整理，利用奇函数性质求解．由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2， 令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋12， 则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 3． (·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010B.105C.31010D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.4． 设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.33答案 C解析 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)，∵β为锐角，∴cos β＋sin β≠0，因此有cos α＝sin α， 从而tan α＝1.5． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为( )A.π6 B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， 得a 2＋c 2－b 22ac ＝32·cos B sin B ，即cos B ＝32·cos B sin B，∴sin B ＝32.又∵0＜B ＜π，∴角B 为π3或2π3.故选D.6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C ．当3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4取最大值时，A 的大小为 ( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.2π3答案 A解析 由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4，所以B ＝3π4－A .于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵0<A <3π4，∴π6<A ＋π6<11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.故选A.专题限时规范训练一、选择题1． 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 2． (·四川改编)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是( )A. 3 B ．2 3 C.32 D.12答案 A解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 3． 已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°答案 B解析 由题意知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝32.又0°<C <90°，∴C ＝60°.4． 在△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定答案 B解析 由0<tan A ·tan B <1，可知tan A >0，tan B >0，即A ，B 为锐角，tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B>0，即tan(π－C )＝－tan C >0，所以tan C <0，所以C 为钝角，所以△ABC为钝角三角形，选B.5． 已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于 ( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255答案 A解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为( )A.1574B.1572C.574D.572答案 A解析 cos A ＝34，cos C ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解之得：BD ＝7x ＝327，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.7． 函数f (x )＝sin 2x －4sin 3x cos x (x ∈R )的最小正周期为( )A.π8B.π4C.π2D ．π答案 C解析 f (x )＝sin 2x －2sin 2x sin 2x ＝sin 2x (1－2sin 2x )＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ，所以函数的周期为T ＝2πω＝2π4＝π2，选C.8． 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题。
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质课件
例 1 若 sin θ＝－54，tan θ＞0，则 cos θ＝________． 解析：由已知 sin θ＝－45，tan θ＞0，知 θ 在第三象限， ∴cos θ＝－ 1－sin2 θ ＝－ 1－－452＝－35. 答案：－35
(1)三角函数线是研究三角函数性质的主要依据，在函 数值大小比较时经常运用．
则 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ccooss22θθ＋－ssiinn22θθ＝11＋－ttaann22θθ
＝－35.
例 2 设向量 a＝sin2π＋4 2x，cos x＋sin x，b＝(4sin x，cos x－sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知常数 ω>0，若 y＝f(ωx)在区间－π2 ，23π上是增函 数，求 ω 的取值范围；
(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的 化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式及公式的 应用条件．
1．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重
合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝(B)
A．－45
B．－53
3
4
C.5
D.5
解析：∵角 θ 的终边在直线 y＝2x 上，∴tan θ(x)＝Asin(ωx ＋φ)的解析式．
解析：由图象，知最大值为 3.则 A＝ 3.12T＝21π，故 ω
＝2.所求解析式为 y＝ 3sin(2x＋φ)．
∵点 Mπ3 ，0在图象上，∴φ＝－23π＋2kπ(k∈Z)．
取 φ＝－23π，∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.
根据三角函数的图象特征转化为求函数的周期、最值、 单调区间问题，并且用代数式表示．
2．已知 ω>0，0＜φ＜π，直线 x＝π4 和 x＝5π 4 是函数 f(x)＝sin(ωx
高考数学新课标全国二轮复习课件3.三角函数、解三角形及平面向量2
2������-������ = 0, ������ 2 + ������ 2 = 0, ������ = ������ =
5 5 或 2 5 5
解得
,
������ = ������ = -
5
5 2 5 5
, ,
所以|x+2y|= 5.
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)(a+b)· a=0,所以 a· b=-a2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|������ |· =- ,所以夹角为 120°. |������ | 2 答案:(1) 5 (2)120°
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2 向量的模及夹角问题
(1)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|= (2)向量(a+b)与a垂直,且|b|=2|a|,则a与b的夹角为 解析:(1)因为m⊥b,所以m· b=2x-y=0. 又m为单位向量,所以x2+y2=1. . .
由
①a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0. ②a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0.
③向量的夹角 cos θ=|������ ||������ | =
������ · ������
������ 1 ������ 2 +������1 ������2
2 +������ 2 ������ 2 +������ 2 ������ 1 1 2 2
系.
(5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量的概念与运算 (1)要准确理解平面向量的概念 ①零向量的模为 0,方向是任意的,它与任何非零向量都共线;② 与 a 共线的单位向量为±|������ |;③方向相同或相反的向量叫做共线向量 (或平行向量);④向量的夹角:已知非零向量 a 与 b,作������������=a,������������=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫向量 a 与 b 的夹角;⑤向量的投影:设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)平面向量数量积的概念:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹 角为 θ,则 a· b=|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积).规定 0· a=0.
文理通用江苏省2020高考数学二轮复习专题一三角函数平面向量与解三角形第1讲三角函数的图象与性质课件
考法二 求三角函数的解析式 [例 2] (1)数 f(x)＝sin(πx＋θ)|θ|<π2的部分图象如图所示， 且 f(0)＝－12，则图中 m 的值为________．
(2) 已 知 函 数 f(x) ＝ 2sin(ωx ＋ φ) x∈－1π2，23π，
φ∈0，π2
的图象如图所示，若
f(x1)＝f(x2)，且
由 f(x1) ＝ f(x2) ， 得 sin 2x1＋π6 ＝ sin 2x2＋π6
x1，x2∈－1π2，23π，x1≠x2，
因为 x∈－1π2，23π，所以 0≤2x＋π6≤32π，
所以 2x1＋π6＋2x2＋π6＝π，所以 x1＋x2＝π3，
所以 f(x1＋x2)＝2sin56π＝1.
[答案]
[答案]
3 (1)2
(2)－1
[解题方略] 1．求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(A， ω，φ 为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令 ωx＋φ＝z，则 y＝ Asin z(或 y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得． (2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断三角函数对称中心与对称轴的方法 利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心一定是函数值等于零的点这一性质，通过检 验 f(x0)的值进行判断．
解析：由题意得 fπ3＝sin23π＋φ＝±1， ∴23π＋φ＝kπ＋π2，k∈Z ，∴φ＝kπ－π6，k∈Z .
∵φ∈－π2，π2，∴φ＝－π6. 答案：－π6
4．(2019·全国卷Ⅰ改编)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述 四个结论：