最新北师大版九年级数学下册单元测试题全套及参考答案
最新北师大版九年级数学下册单元测试题及答案全套 含期中期末试题 第一章检测题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．计算：cos245°＋sin245°＝( )
A.12 B．1 C.14 D.32
2．把△ABC三边的长度都缩小为原来的13，则锐角A的正弦值( ) A．不变 B．缩小为原来的13 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝23，则cos B的值等于( ) A.12 B.22 C.23 D．1
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝23，则边AC的长度是( ) A.5 B．3 C.43 D.13
5．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使顶点C落在C′处，测量得AB＝4，DE＝8，则sin∠C′ED为( )
A．2 B.12 C.22 D.32
,第6题图) ,第8题图) 6．(2017·益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(点A，D，B在同一条直线上)( )
A.hsin α B.hcos α C.htan α D．h·cos α
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的对边分别是a，b，且满足a2－ab－b2＝0，则tan A等于( ) A．1 B.1＋52 C.1－52 D.1±52
8．如图，某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°，已知测倾器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度为( )(参考数据：sin 41.5°≈0.663，cos 41.5°≈0.749，tan 41.5°≈0.885) A．34米 B．38米 C．45米 D．50米
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E在BC边上，且CE＝2，AE与BD交于点F，连接CF，则下列结论不正确的是( )
A．△ABF≌△CBF B．△ADF∽△EBF C．tan∠EAB＝33 D．S△EAB＝63 10．(2017·深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是( )m. A．203 B．30 C．303 D．40
,第9题图) ,第10题图) ,第13题图) ,第14题图) 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．计算：tan245°－1＝________． 12．某坡面的坡度为1∶3，则坡角是________． 13．如图，在坡屋顶的设计图中，AB＝AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h为________米．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70) 14．如图，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则sin α＝________． 15．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC，AE是对角线，则sin∠CAE的值为________．
,第15题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图) 16．如图，小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其倾斜角度为75°，如果拖把的总长为1.80 m，则小明拓宽了行走通道________m．(结果精确到0.01 m，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97) 17．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中________触礁的危险．(填“有”或“没有”) 18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M，N分别在AB，AD边上，若AM∶MB＝AN∶ND＝1∶2.则cos∠MCN＝________． 三、解答题(共66分) 19．(8分)计算：
(1)(－1)2－2cos 30°＋3＋(－2 017)0; (2)3tan 30°－2tan 60°cos 60°＋4sin 60°. 20．(8分)已知锐角α使关于x的一元二次方程x2－2sin α·x＋3sin α－34＝0有两个相等的实数根，求α的度数．
21．(8分)在△ABC中，已知AB＝6，∠B＝45°，∠C＝60°，求AC，BC的长． 22．(9分)如图，某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°(P′为P关于湖面的对称点)．请你计算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？
(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34；sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43) 23．(10分)如图，海中两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(结果用根号表示，不取近似值)
24．(11分)如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处． (1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝35，求AB的长． 25．(12分)小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图所示的是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm. (1)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数．(精确到0.1°) (2)小红的连衣裙挂在衣架后的总长度达到122 cm，垂挂在晒衣架上是否拖落到地面？通过计算说明理由． (结果精确到0.1，参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)
第一章检测题 1．B 2.A 3.C 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.C
10．B 11.0 12.30° 13.3.5 14.32 15.22 16.1.28 17.没有 18.
1314 点拨：如图，连接MN，AC，∵AB＝AD＝6，AM∶MB＝AN∶ND＝1∶2，∴AM＝AN＝2，BM＝DN＝4.
在Rt△ABC与Rt△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠BAC＝∠DAC＝12∠BAD＝30°，MC＝NC，∴BC＝AB·tan 30°＝23，在Rt△BMC中，CM＝BM2＋BC2＝27.∵AN＝AM，∠MAN＝60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN＝AM＝AN＝2，过M点作ME⊥CN于点E，设NE＝x，则CE＝27－x，∴MN2－NE2＝MC2
－EC2，即4－x2＝(27)2－(27－x)2，解得x＝77，∴EC＝27－77＝1377，∴cos∠MCN＝CECM＝137727＝1314
19．(1)2 (2)0 20.由题意，得(2sin α)2－4(3sin α－34)＝0，即4sin2α－43sin α＋3＝0，
解得sin α＝32.∵α为锐角，∴α＝60° 21.BC＝3＋1，AC＝2 22．过点A作AD⊥PP′，垂足为点D，图略，则有CD＝AB＝7米．设PC为x米，则P′C＝x米，PD＝(x－7)米，P′D＝(x＋7)米，在Rt△PDA中，AD＝PDtan 37°≈43(x－7)，在Rt△P′DA中，AD＝P′Dtan 53°
≈34(x＋7)，∴43(x－7)＝34(x＋7)，解得x＝25，则热气球P距湖面的高度PC约为25米 23.过点A作AF⊥CD，垂足为点F，图略，由题意，得∠FCA＝∠ACN＝45°，∠NCB＝30°，∠ADE＝60°，则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∠ADF＝30°，∴AF＝FC＝AN＝NC，设FC＝AF＝x，∵tan 30°＝AFFD，∴xx＋30＝33，解
得x＝15(3＋1)，∵tan 30°＝BNNC，∴BN15（3＋1）＝33，解得BN＝15＋53，∴AB＝AN＋BN＝15(3＋1)＋15＋53＝30＋203，则灯塔A，B间的距离为(30＋203)海里 24.(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD (2)设AP＝x，∴由折叠知BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x.由△AMP∽△BPQ得AMBP＝APBQ，
∴BQ＝x2.由△AMP∽△CQD得APCD＝AMCQ，∴CQ＝2，∴AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，MD＝AD－AM＝x2＋1.∵在Rt△FDM中，sin∠DMF＝35，DF＝DC＝2x，∴2xx2＋1＝35，变形，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝13(不合题意，舍去)，∴AB＝2x＝6 25.
(1)如图，在△OEF中，OE＝OF＝34 cm，EF＝32 cm，作OM⊥EF于点M，则EM＝16 cm，∴cos∠OEF＝EMOE＝1634≈0.471，∴∠OEF≈61.9° (2)小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．理由：∵EF∥BD，
∴∠ABD＝∠OEF≈61.9°.如图，过点A作AH⊥BD于点H.在Rt△ABH中，∵sin∠ABD＝AHAB，∴AH＝AB·sin∠ABD＝136×sin 61.9°≈136×0.882≈120.0(cm)．∵小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122 cm>晒衣架高度120.0 cm，∴会拖落到地面上
第二章检测题 时间：120分钟 满分：120分
九年级下册数学单元测试卷-第三章 圆-北师大版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第三章圆-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE 的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为( )A. B. C.2 D.2、如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得并且则这个油桶的底面半径是（）A. B. C. D.3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD 的延长线于点E，连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A.45°B.50°C.55°D.60°4、如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（）A. B. ﹣2 C. D. ﹣5、已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交6、下列命题中，正确的个数是（）（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形．A.1个B.2个C.3个D.4个7、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是（）A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°8、下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A.①②③④B.②③④C.②④D.③④9、如图，AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连接CF，BF，下列结论中，不正确的是（）A.∠F=B.AB⊥BFC.CE是⊙O的切线D. =10、如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O 相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径的最小值为（）A. B.2 C. D.11、已知P是⊙O内一点，⊙O的半径为15，P点到圆心O的距离为9，则通过P点且长度是整数的弦的条数是（）A.5B.7C.10D.1212、在下列命题中：①三点确定一个圆；②同弧或等弧所对圆周角相等；③所有直角三角形都相似；④所有菱形都相似；其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.313、如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交于C、D，经过点B的直线EF分别与⊙O1、⊙O2交于E、F，且EF∥O1O2.下列结论：①CE∥DF；②∠D＝∠F；③EF＝2O1O2.必定成立的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个14、如图，直线l与半径为10cm的⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB=16厘米，若将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，那么直线l平移的距离为（）A.4cmB.6cmC.4 cm或14cmD.4cm或16cm15、如图，点A,B,P在⊙O上，且∠APB=50°，若点M是⊙O上的动点，要使ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是________17、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________．18、如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为________.19、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是________.20、如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为________cm2．21、如图，在半径为2 的中，点、点是弧的三等分点，点是直径的延长线上一点，，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）.22、如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为________23、如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________ ．24、如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF ∥AB，则EF的长度为________．25、如图，在⊙O中，P为直径AB上的一点，过点P作弦MN，满足∠NPB＝45°，若AP ＝2cm，BP＝6cm，则MN的长是________cm．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧上的一点，连接AE，DE．过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F，若∠CDE＝30°，求CF的长．27、如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.28、平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．29、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长．30、一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、A5、D6、A7、B8、C9、B10、C11、D13、C14、D15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、30、。
(完整版)北师大版九年级下册数学第二单元测试卷：有答案
第二单元测试卷满分：120分 时间：90分钟 第Ⅰ卷（共36分) 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线21323y x x =-+-与2y ax =的形状相同，而开口方向相反，则a =（ ） A ．13- B ．3 C ．3- D ．131.D2. 二次函数y ＝－(x ＋1)2－2的顶点坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(－1，－2) C ．(－1，2) D ．(1，2) 2.B3. (2016•石家庄二十八中二模)二次函数y ＝x 2－2x ＋4化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，下列正确的是( )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x －1)2＋3C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x －2)2＋4 3.B4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x 2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．y=3（x+1）2+2B ．y=3（x+1）2﹣2C ．y=3（x ﹣1）2+2D ． y=3（x ﹣1）2﹣24.C5. 抛物线开口向上，顶点坐标是（1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x <C ．1x >D ．1x < 5.D6. 二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ） A ．（-1，-1）B ．（1，-1）C ．（-1，1）D ．（1，1） 6.D7.（2016•资阳）已知二次函数y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且图象过A （x 1，m ）、B （x 1+n ，m ）两点，则m 、n 的关系为（ ） A ．m=n B ．m=n C ．m=n 2D ．m=n 27.D8. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①4ac<b 2；②a＋c>b ；③2a＋b>0.其中正确的有( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 8.B9. 已知二次函数y=x 2-3x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根是（ ） A ．x 1=1，x 2=-1 B ．x 1=1，x 2=2 C ．x 1=1，x 2=0 D ．x 1=1，x 2=3 9.B10. 如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为（ ）A ．1B ．C ．D ．10.D11. 在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 11.B12. 给出三个命题：①点P （b ，a ）在抛物线21y x =+上；②点A （1，3）能在抛物线21y ax bx =++上；③点B （-2，1）能在抛物线21y ax bx =-+上．若①为真命题，则（ ）A ．②③都是真命题B ．②③都是假命题C ．②是真命题，③是假命题D ．②是假命题，③是真命题 12. C第Ⅱ卷(共84分)二、填空题(本题共有6个小题，每小题3分，共18分.)13. 二次函数23y x mx =-+的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是 ．13.414. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为 ．14. 22y x x =+-15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线y=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）15.416. 已知方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根为1 1.3x =和2 6.7x =，那么可知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为 ．16.x=417. 如图所示，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)经过原点和点（-2，0），则2a-3b 0.(＞、＜或＝)17.＞18. 如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x ≥0）与y 2=32x （x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则AEDE= ．18. 3-3三、解答题 (本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(4分)已知二次函数图象的顶点坐标为（1，—1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式.19.解：设二次函数的解析式为y ＝a(x －1)2-1（a ≠0）.∵函数图象经过原点（0，0），∴a(0－1)2-1=0，∴a=1.∴该函数的解析式为y ＝(x －1)2-1或y ＝x 2-2x. 20. (8分) 如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积．20. 解：（1）由已知得，解得b ＝4，c ＝－6，∴这个二次函数的解析式为21462y x x =-+-； (2)配方得 21(4)22y x =--+， ∴对称轴为x ＝4，C(4，0)， ∴AC＝2，OB ＝6，S △ABC ＝12AC OB ×＝6． 21. (8分) 如图，在直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，抛物线２y=x -x-6与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点 C.如果点M 在y 轴右侧的抛物线上，COB AMO S S ∆∆=，求点M 的坐标.21. 解：令y=0，则有：062=--x x ，即（x-3）（x+2）=0， ∴A （-2，0）、B （3，0）、C （0，-6）， ∴15652121=⨯⨯=⨯⨯=∆||||OC AB S COB ，∴,10153232=⨯=∆COB S ∴,10221||21=⨯⨯=⨯⨯=∆h h AO S AOM ∴M 纵坐标为10，则有1062=--x x ，∴0162=--x x ， ∴26512161411±=⨯⨯+±=x .∵x ＞0， ∴2651+=x ， ∴M 点的坐标为（,2651+10）. 22. (9分) 如图所示，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的点A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y ＝a(x －6)2＋h.已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m. (1)当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量x 的取值范围) (2)当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．22. 解：(1)当h ＝2.6时，将点A(0，2)代入y ＝a (x －6)2＋h ，得36a ＋2.6＝2，a ＝－160，∴y 与x 的关系式为y ＝－160(x －6)2＋2.6；(2)当x ＝9时，y ＝2.45＞2.43，∴球能越过球网；令y ＝0，－160(x －6)2＋2.6＝0，解得x 1＝6－239(舍去)，x 2＝6＋239＞18，∴球会出界；(3)将A(0，2)代入y ＝a(x －6)2＋h 得36a ＋h ＝2，a ＝2－h 36；当x ＝9时，y ＝2－h 36(9－6)2＋h ＞2.43①；当x ＝18时，y ＝2－h 36(18－6)2＋h≤0②，由①②得h≥83.23. (9分)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝7 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．(1)如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5 cm? (3)在问题(1)中，当运动时间为多少秒时，△PBQ 的面积最大？23. 解：(1)设x s 后，△PBQ 的面积等于4 cm 2，根据题意，得12×2x(5－x)＝4，解得x 1＝1，x 2＝4，∵当x ＝4时，2x ＝8＞7，不合题意，舍去，∴x ＝1；(2)设x s 后，PQ 的长度等于5 cm ，根据题意，得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴x ＝2；(3)设x s 后，△PBQ 的面积等于y cm 2，根据题意，得y ＝x(5－x)＝－x 2＋5x ，∵a ＝－1＜0，∴当x ＝－b 2a ＝52时，y 有最大值．解析：(1)设运动时间为x s 表示出PB 和BQ ，再用三角形面积计算公式即可；(2)依然是用含x 的代数式先表示出PB 和BQ ，再用勾股定理立方程即可；(3)求最值，对代数式配方即可．24. (9分) (2015•河北)如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l ：y ＝－(x－h)2＋1(h 为常数)与y 轴的交点为C.(1)l 经过点B ，求它的表达式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；(2)设点C 的纵坐标为y C ，求y C 的最大值，此时l 上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中x 1＞x 2≥0，比较y 1与y 2的大小；(3)当线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h 的值．24. 解：(1)把x ＝2，y ＝1代入y ＝－(x －h)2＋1，得h ＝2.∴表达式为y ＝－(x －2)2＋1(或y ＝－x 2＋4x －3)．对称轴为直线x ＝2，顶点B(2，1)；(2)点C 的横坐标为0，则y C ＝－h 2＋1，∴当h ＝0时，y C 有最大值为1.此时，l 为y ＝－x 2＋1，对称轴为y 轴，当x≥0时，y 随着x 的增大而减小，∴x 1＞x 2≥0时，y 1＜y 2；(3)把OA 分1∶4两部分的点为(－1，0)或(－4，0)．把x ＝－1，y ＝0代入y ＝－(x －h)2＋1，得h ＝0或h ＝－2.但h ＝－2时，OA 被分为三部分，不合题意，舍去．同样，把x ＝－4，y ＝0代入y ＝－(x －h)2＋1，得h ＝－5或h ＝－3(舍去)．∴h 的值为0或－5.25. (9分)（2017•河北石家庄一模）某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例关系，种植花卉的利润y 2与投资量x 的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据．（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和数目共获利利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m 的范围．25.解：（1）设y1=kx，由表格数据可知，函数y1=kx的图象过（2，4），∴4=k•2，解得k=2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；∵设y2=ax2，由表格数据可知，函数y2=ax2的图象过（2，2），∴2=a•22，解得a=，故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2=x2（x≥0）；（2）因为种植花卉m万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8﹣m）万元，w=2（8﹣m）+m2=m2﹣2m+16=（m﹣2）2+14，∵a=0.5＞0，0≤m≤8，∴当m=2时，w的最小值是14.∵a=＞0，∴当m＞2时，w随m的增大而增大.∵0≤m≤8，∴当m=8时，w的最大值是32，答：他至少获得14万元利润，他能获取的最大利润是32万元．（3）根据题意，当w=22时，（m﹣2）2+14=22，解得m=﹣2（舍）或m=6，故6≤m≤8．26. (10分)（2017•河北廊坊市安次区二模）如图，已知抛物线y=x2﹣2bx﹣3（b为常数，b ＜0）．发现：（1）抛物线y=x2﹣2bx﹣3总经过一定点，定点坐标为；（2）抛物线的对称轴为直线x= （用含b的代数式表示），位于y轴的侧．思考：若点P（﹣2，﹣1）在抛物线y=x2﹣2bx﹣3上，抛物线与反比例函数y=（k＞0，x ＞0）的图象在第一象限内交点的横坐标为a，且满足2＜a＜3，试确定k的取值范围．探究：设点A是抛物线上一点，且点A的横坐标为m，以点A为顶点做边长为1的正方形ABCD，AB⊥x轴，点C在点A的右下方，若抛物线与CD边相交于点P（不与D点重合且不在y轴上），点P的纵坐标为﹣3，求b与m之间的函数关系式．26. 解：（1）当x=0时，y=x2﹣2bx﹣3=﹣3，所以抛物线经过定点（0，﹣3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣=b，因为b＜0，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧；故答案为（0，﹣3），b，左；思考：把P（﹣2，﹣1）代入y=x2﹣2bx﹣3得4+4b﹣3=﹣1，解得b=﹣1，抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，当a=2时，y=x2+2x﹣3=4+4﹣3=5，当a=3时，y=x2+2x﹣3=9+6﹣3=12，所以二次函数图象与反比例函数的交点在抛物线上的点（2，5），（3，12）之间，所以2×5＜k＜3×12，即10＜k＜36；探究：设A（m，m2+2m﹣3），∵正方形ABCD的边长为1，AB⊥x轴，∴D（m+1，m2+2m﹣3），∴P点的坐标为（m+1，﹣3），把P（m+1，﹣3）代入y=x2﹣2bx﹣3得（m+1）2﹣2b（m+1）﹣3=﹣3，而m+1≠0，∴m+1﹣2b=0，∴b=．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试题(包含答案解析)(5)
一、选择题1．已知二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ） A ．18m >B ．18mC ．18m >-且0m ≠ D ．18m 且0m ≠2．在二次函数2y ax bx c =++中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表 则m 的值为（ ）． x -2 -1 0 1 2 3 4 y72-1-2m27A ．1B ．-1C ．2D ．-23．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m 长的篱笆围成一个矩形（ABCD ）花园，这个花园的最大面积是（ ）A ．18m 2B ．12 m 2C ．16 m 2D ．22 m 24．下列函数：①2y x =-，②3y x=，③2y x ，④234y x x =++，y 是x 的反比例函数的个数有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．将二次函数y ＝2x +6x+2化成y ＝2-x h （）+k 的形式应为（ ） A ．y ＝23x +（）﹣7 B ．y ＝23x -（）+11 C ．y ＝23x +（）﹣11 D ．y ＝22x +（）+4 6．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝07．已知抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线y=3x+1上，且该抛物线与y 轴的交点的纵坐标为n ，则n 的最大值为（ ） A ．134B ．154C ．238D ．2588．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =--的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．二次函数2y ax bx c =++的图像如图，现有以下结论：①0abc >；②42a c b +<；③320b c +<；④()(1)m am b b a m ++<≠-，其中正确结论序号为（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④11．将抛物线()2214y x =--+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A ．()2241y x =-++B ．()2221y x =--+C ．()2246y x =--+D ．()2242y x =--+12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）中的x 和y 满足如表： x … 0 1 2 3 45 …y … 3 0-1 0 m 8 …（2）求出这个二次函数的解析式_____； （3）当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为_____． 14．若点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上，则y 1_____y 2．15．将二次函数245y x x =-+化为()2y x h k =-+的形式，则y =________________．16．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，有下列结论：①240b ac ->；②421a b c -+>-；③132x -<<-；④当m 为任意实数时，2a b am bm -≤+；⑤30a c +<．其中，正确结论的序号是（________）17．已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠），函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表： x… 1-0 1 2 3 4 … y …101y2125…当1时，自变量的取值范围是______．18．若函数2(1)42y a x x a =+-+的图像与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为____． 19．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度()ym 与水平距离()x m 之间的关系为()21184105y x =--+ ，由此可知铅球推出的距离_____ m ．20．已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如表：该二次函数图象向左平移____________个单位，图象经过原点． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…4664…三、解答题21．已知抛物线239y x kx k =-+-．求证：无论k 为何值，该二次函数的图象与x 轴都有交点．22．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值互为相反数；当0x <时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x -≥⎧=⎨<⎩． （1）已知点(1,3)A -在一次函数2y ax =-的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数2283y x x =-+-．①当点(,4)B m -在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当23x -≤≤时，求函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值．23．某公司以30元/千克的价格购进一批藜麦进行销售．若以每千克35元的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元时，日销售量就会减少15千克．设当天藜麦的销售单价为x （元/千克）（30x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），销售量为y （千克），销售利润为w 元． （1）完成下表； 销售单价x （元/千克） 35 36404550日销售量y （千克）450（3）为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为多少？（4）该公司应该如何确定这批藜麦的销售单价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少？24．某旅馆有客房120间，经市场调查发现，客房每天的出租数量y （间）与每间房的日租金x （元）的关系如图所示，为保证旅馆的收益，每天出租的房间数不少于90间． （1）结合图象，求出客房每天的出租的房间数y （间）与每间房的日租金x （元）之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）设客房的日租金总收入为W （元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金定为多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？25．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%,在销售期间发现销售数量y (件）与销售单价x (元）的关系如下表：x32 33 3435y420 410400390()1请你根据表格直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ()2当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元?()3将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w （元)最大?最大利润是多少元?26．新年前夕，信业超市在销售中发现：某服装平均每天可售出20套，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套． （1）要想平均每天在销售服装上盈利1200元，那么每套应降价多少元？ （2）商场要想每天获取最大利润，每套应降价多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，可得△＝221410m m m -⨯->(+)()且0m ≠求解后即可得出结论．【详解】解：∵原函数是二次函数， ∴0m ≠，∵二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则 △＝240b ac ->，即221410m m m -⨯->(+)()， 解得18m >-． ∴m 的取值范围是18m >-且0m ≠． 故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，掌握抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据二次函数的性质，结合题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得c 的值；将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到21y ax bx =+-，通过求解二元一次方程，即可得到a 、b 的值，从而得到二次函数解析式，经计算即可得到答案． 【详解】根据题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得1c =- ∴21y ax bx =+-将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到21y ax bx =+-，得1212a b a b --=⎧⎨+-=-⎩∴1a =，2b =- ∴221y x x =--当2x =时，222211m =-⨯-=- 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．3．A解析：A 【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题． 【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm ，则这个花园的面积是：S=x （12-2x ）=()222122318x x x -+=--+， ∴当x=3时，S 取得最大值，此时S=18， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．4．A解析：A 【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】2y x =-是一次函数，故选项①不符合题意；3y x=是反比例函数，故选项②符合题意； 2yx 是二次函数，故选项③不符合题意；234y x x =++是二次函数，故选项④不符合题意；∴y 是x 的反比例函数的个数有：1个 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解．5．A解析：A 【分析】根据配方法的基本步骤，规范配方，后对照选项作出判断． 【详解】 ∵y ＝2x +6x+2 =2x +6x+226()32-+2 =()23x +﹣7， 故选A ． 【点睛】本题考查了将一般形式的二次函数进行配方化成配方式，熟练掌握配方的基本步骤，规范配方是解题的关键．6．D解析：D 【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断． 【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣2nm＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2bx a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．7．A解析：A 【分析】将抛物线顶点坐标代入一次函数解析式，求出b 与c 的关系，再根据抛物线与y 轴交点的纵坐标为c ，即n c =，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】抛物线2y x bx c =-++的顶点在3+1y x =上，抛物线2y x bx c =-++的顶点标为（2b 、24b c +） ∴23142b bc +=+ 23124b bc ∴=+-抛物线与y 轴交点的纵坐标为c n c ∴=23124b b n ∴=+-()21136944n b b ∴=--++ ()2113344n b ∴=--+ n ∴的最大值为134故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数图像上点坐标的特征，熟练掌握二次函数性质是解题关键．8．D解析：D 【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象． 【详解】解：∵一次函数经过y 轴上的（0，c ），二次函数经过y 轴上的（0，-c ）， ∴两个函数图象交于y 轴上的不同点，故A ，C 选项错误；当a ＜0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过二、三、四象限，故B 选项错误； 当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、四象限，故D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．9．C解析：C 【分析】根据二次函数的图象可以判断a 、b 、-a b 的正负情况，从而得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点P ，点P 的横坐标为1-， 则有0a <，对称轴在y 轴的左边， ∴02b a-<，且122b a ∴0b <，且a b < ∴0a b -<，∴一次函数()y a b x b =--的图像向下，并且与y 轴交于正半轴， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键．10．A解析：A 【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线的对称性结合点()2,42a b c --+的位置可判断②，由抛物线的图像结合点()1,a b c ++的位置，对称轴方程，可判断③，由函数的最大值可判断④，从而可得答案． 【详解】 解：图像开口向下，12b x a=-=-＜0, b ∴＜0， 函数图像与y 轴交于正半轴，c ∴＞0，abc ∴＞0，故①符合题意； 抛物线与x 轴的一个交点在0~1之间，由抛物线的对称性可得：抛物线与x 轴的另一个交点在3~2--之间，∴ 当2x =-时，42y a b c =-+＞0，4a c ∴+＞2,b 故②不符合题意；12b x a=-=-， 2,b a ∴= 即1,2a b = 当1x =时，y a b c =++＜0，12b bc ∴++＜0， 32b c ∴+＜0，故③符合题意； 当1x =-时，函数有最大值,y a b c =-+当1x m =≠-，2,y am bm c =++2am bm c ∴++＜,a b c -+()m am b b ∴++＜,a 故④符合题意．故选：.A【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-2（x-1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为：y=-2（x-1-3）2+4-2，即y=-2（x-4）2+2；故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ， ∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】（1）先求得对称轴然后根据抛物线的对称性即可求得；（2）把点（03）（10）（30）代入设抛物线解析式利用待定系数法求函数解析式；（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案【详解】解：（1）∵解析：243y xx =-+13y -≤< 【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得；（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式；（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点（1，0），（3，0），∴抛物线对称轴为直线x 132+==2， ∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），∴m ＝3，故答案为3；（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式y ＝ax 2＋bx ＋c 得30930c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得413a c b =⎧==-⎪⎨⎪⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3，故答案为y ＝x 2﹣4x +3；（3）由抛物线的性质得当x=2时，y 有最小值-1，由图表可知抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点（0，3），（3，0），因此当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为是﹣1≤y ＜3．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．14．＜【分析】把AB 两点坐标代入函数关系式再根据已知条件求出的值最后求出答案即可【详解】解：∵点A （﹣y1）B （y2）都在二次函数y ＝﹣x2+2x+m 的图像上∴====∴故答案为：＜【点睛】本题考查了二解析：＜【分析】把A ，B 两点坐标代入函数关系式，再根据已知条件求出21y y -的值，最后求出答案即可．【详解】解：∵点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上， ∴21y y -=224041404111()2[()2()]2021202120212021m m -+⨯+---+⨯-+ =2111(2)2(2)()202120212021--+⨯-+-222021+ =22412124()4()20212021202120212021-+-+-++ =402021> ∴12y y <故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能选择适当的方法求解是解答此题的关键． 15．【分析】利用配方法将原抛物线解析式化为顶点式【详解】解：y=x2-4x+5=x2-4x+4+1∴y=（x-2）2+1故答案是:【点睛】此题主要考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式掌握配方法是关键解析：()221x -+【分析】利用配方法将原抛物线解析式化为顶点式，【详解】解： y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1，∴y=（x-2）2+1，故答案是: ()221x -+．【点睛】此题主要考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是关键． 16．①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等即可判断②错误；根据对称轴为直线得到当x=-1时函数值最小故当x=m 时函数值大于等于解析：①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：132x -<<-，故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等，即可判断②错误；根据对称轴为直线1x =-，得到当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++，即可判断④正确；由对称轴为直线1x =-，得到b=2a ，由图象可得：当x=1时，y>0，故a+b+c>0，代入得到3a+c>0，由此判断⑤错误．【详解】∵函数图象与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，∴240b ac ->，故①正确；∵对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，∴132x -<<-，故③正确；根据抛物线的对称性得到：x=0与x=-2时的函数值相等，∵图象与y 轴的交点纵坐标小于-1，∴421a b c -+<-，故②错误；∵对称轴为直线1x =-，∴当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++， ∴2a b am bm -≤+，故④正确；∵对称轴为直线1x =-， ∴12b a-=-，得b=2a ， 由图象可得：当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，∴3a+c>0，故⑤错误，故答案为：①③④．【点睛】此题考查二次函数的图象，函数图象与x 轴交点问题，利用图象判断式子的正负，函数最值，根据图象得到相关的信息是解题的关键．17．【分析】根据表格中的数据可知抛物线的开口方向对称轴及顶点坐标结合表格及抛物线特征可得当时自变量的取值范围【详解】解：由表格知：抛物线开口向上顶尖坐标为（21）故当x=0时与x=4时函数值相同∴=5当解析：04x <<．【分析】根据表格中的数据可知抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，结合表格及抛物线特征可得当1y y <时，自变量x 的取值范围．【详解】解：由表格知：抛物线开口向上，顶尖坐标为（2，1），故当x=0时与x=4时函数值相同，∴1y =5，当1y y <时，即当y ＜5时，由表格得04x <<．故答案为：04x <<．【点睛】本题考查了二次函数数的特征，解题关键是根据表格得出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．18．或或【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解若为二次函数由抛物线与x 轴只有一个交点时b2−4ac ＝0据此求解可得【详解】解：当a ＋1＝0即a ＝−1时函数解析式为y ＝−4x−2与x 轴只有一个交解析：2-或1-或1【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x 轴只有一个交点时b 2−4ac ＝0，据此求解可得．【详解】解：当a ＋1＝0，即a ＝−1时，函数解析式为y ＝−4x−2，与x 轴只有一个交点； 当a ＋1≠0，即a≠−1时，根据题意知，（−4）2−4×（a ＋1）×2a ＝0，整理，得：a 2＋a−2＝0，解得：a ＝1或a ＝−2；综上，a 的值为−1或−2或1．故答案为：2-或1-或1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y ＝0，即ax 2＋bx ＋c ＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根之间的关系：△＝b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数：△＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．19．10【分析】根据铅球落地时高度y=0实际问题可理解为当y=0时求x 的值即可【详解】解：令函数式中y=00=解得x1=10x2=-2（舍去）即铅球推出的距离是10m 故答案为：10【点睛】本题考查了二次解析：10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】 解：令函数式()21184105y y x ==--+中，y=0， 0=()21184105x --+， 解得x 1=10，x 2=-2（舍去），即铅球推出的距离是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键．20．3【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x 轴另一个交点为（30）可得结论【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x ＝＝∵抛物线与x 轴一个交点为（−20）∴抛物线与x 轴另一个交点为（30）∴该二次解析：3【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x 轴另一个交点为（3，0），可得结论．【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x ＝012+＝12， ∵抛物线与x 轴一个交点为（−2，0），∴抛物线与x 轴另一个交点为（3，0），∴该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移2个单位，图象经过原点．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换−平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决． 三、解答题21．证明见详解．【分析】令y=0，构造一元二次方程239=0x kx k -+-，由1,,39a b k c k ==-=-，判别式()22123660k k k ∆=-+=-≥即可．【详解】解：令y=0，239=0x kx k -+-，∵1,,39a b k c k ==-=-， ()()()222=4139123660k k k k k ∴∆--⨯⨯-=-+=-≥，∴二次函数的图象与x 轴都有交点．【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，掌握二次函数与x 轴交点问题转化为y=0时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．22．（1）-5；（2）①m =22-，m =22+，m =22-；②最大值为3，最小值为-27【分析】（1）先得到2y ax =-的相关函数，再将点A 代入计算即可；（2）①写出二次函数2283y x x =-+-的相关函数，再代入计算；②根据二次函数的最大值和最小值的求法解答．【详解】解：（1）2y ax =-的相关函数为2(0)2(0)ax x y ax x -+≥⎧=⎨-<⎩， 将(1,3)A -代入2y ax =-，得5a =-； （2）①二次函数2283y x x =-+-的相关函数为22283(0)283(0)x x x y x x x ⎧-+≥=⎨-+-<⎩， 当0m <时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+-，得：m =2+m =22-， 当0m ≥时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+，得：m =2m =2∴m =2-m =2+m =2- ②当20x -≤<时，2283y x x =-+-，抛物线的对称轴为2x =，此时y 随x 的增大而增大，∴此时273y -≤<-，当03x ≤≤时，函数2283y x x =-+，抛物线的对称轴为2x =，当2x =有最小值，最小值为-5，当0x =时，有最大值，最大值3y =，∴当23x -≤≤时，函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值为3，最小值为-27．【点睛】本题考查的是互为相关函数的定义，掌握二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．23．（1）420；300；150；0；（2）301500y x =-+；（3）38元/千克；（4）销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元．【分析】（1）根据题意，填写表格即可；（2）设y kx b =+，将(35,450)、(40,300)代入，可得出k 、b 的值，继而得出y 与x 的函数关系式；（3）每天的总利润=每天的销量⨯每千克的利润，从而可得一元二次方程，利用配方法求解最值即可；（4）由（3）知，日销售利润()()()23015003030403000w x x x =-+-=--+，据此求解即可．【详解】解：（1）根据题意，填表如下：设其函数表达式为y kx b =+．则40300500k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得30k =-，1500b =．∴所求的函数表达式为301500y x =-+．（3）日销售利润为()()()3030150030w y x x x =-=-+-，由题意，得()()301500302880x x -+-=．整理，得28015960x x -+=．解得142x =，238x =．∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，∴舍去142x =，保留238x =．答：为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为38元/千克．（4）由（3）知，日销售利润()()30150030w x x =-+-，即()222(302400450003080150030403000)w x x x x x =-+-=--+=--+． ∵300-<，∴当40x =时，3000w 最大值=元．故这批藜麦的销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得出利润w 与售价x 的函数关系式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 24．（1）32165y x =-+，160210x ≤≤；（2）每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元【分析】（1）首先假设出一次函数解析式，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数，再利用配方法求出二次函数的最值即可．【详解】解：(1)设客房每天的出租数量y （间)与每间房的日租金x （元)之间的函数关系式(0)y kx b k =+≠．把(160,120)，(170,114)代入得160120170114k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得35216k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴ 32165y x =-+， 由题意得：321690532161205x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ ∴160210x ≤≤∴自变量x 的取值范围是160210x ≤≤（2）由题意得：()2332161801944055W y x x x x ⎛⎫=⋅=-+⋅=--+ ⎪⎝⎭∵305-＜，160210x ≤≤ ∴当180x =时，19440w =最大．答：每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，得出客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数是解题关键． 25．()110740y x =-+3248x ≤≤（）；()240元；()3销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 最大，最大利润是4680元【分析】（1）根据图表信息可知销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，利用原销售件数减去减少的件数即为所求；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x-30)(-10x+740)=3400，然后解方程后利用 x 的范围确定销售单价；（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到 w =(x-30)(-10x+740),再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】解：（1）由题意得，y ＝420﹣10（x ﹣32）＝﹣10x +740；即y 与x 之间的函数关系式为： 10740y x =-+3248x ≤≤（）； ()2由题意，可列出方程为：(30)(10740)3400x x 整理并化简得，210425600x x解得，1240,64x x3248x ≤≤答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；(3)(30)W x y2-10104022200x x2-10(52)4840x 100a =-<，∴开口向下，522b a， ∴当3248x ≤≤时，W 随x 的增大而增大∴当48x =时，=4680W 最大答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 最大，最大利润是4680元．【点睛】本题考查了二次函数的应用:利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围，也考查了一元二次方程的应用．26．（1）应降价20元；（2）每套应降价15元【分析】（1）设每件衬衫应降价x 元，利用每件利润×总销量=总利润，列方程求解即可； （2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x 元，根据题意，得()()402021200x x -+=，整理，得22604000x x -+=，解得110x =，220x =．∵尽快减少库存， ∴20x答：应降价20元．（2）解：设每件衬衫应降价x 元，总利润为W 元，根据题意，得．()()40202W x x =-+2260800x x =-++，当152b x a=-=时，利润最大， ()()4015202151250W =-+⨯=最大利润．【点睛】此题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用，正确利用每件利润×总销量=总利润得出关系式是解题关键．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》检测(答案解析)
一、选择题1．如图，A B C D 、、、是O 上的点，180AOD BOC ∠+∠=︒．若2,6AD BC ==，则BOC ∆的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 2．如图，ABC 是O 的内接三角形，BD 为O 的直径．若10BD =，2ABD C ∠=∠，则AB 的长度为（ ）A ．4B ．5C ．5.5D ．63．如图，在半径为1的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB 恰好与OB 、OA 相切，则劣弧AB 的长为（ ）A ．12πB ．13π C ．14π D ．16π 4．如图，30MAN ∠=︒，O 是MAN ∠内部一点，O 与MAN ∠的边AN 相切于点B ，与边AM 相交于点C ，D ，52AB =，作OE CD ⊥于E ，3OB OE =，则弦CD 的长是（ ）A ．22B ．23C ．4D ．265．探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm ．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA 的值最接近的是（ ）A ．8cmB ．7 cmC ．6 cmD ．5 cm6．下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）A ．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B ．存在一个正多边形，它的外角和为720︒C ．任何正多边形都有一个外接圆D ．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形7．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，30,3ACD AD ∠=︒=，下列说法错误的是（ ）A ．30B ∠=︒B ．60BAD ∠=︒C ．23BD =D ．23AB =8．如图，O 的直径为10，弦AB 的长为6，P 为弦AB 上的动点，则线段OP 长的取值范围是（ ）A ．35OP ≤≤B ．45OP <<C ．45OP ≤≤D ．35OP <<9．如图，P 是正方形ABCD 内的一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转到与△CBP '重合，若PB ＝3，则点P 经过的路径长度为（ ）A ．23B ．32C ．32πD ．34π 10．如图，O 是ABC 的外接圆，BC 的中垂线与AC 相交于D 点，若60A ∠=︒，70B ∠=︒，则AD 的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．20︒D ．3011．如图，CD 是Rt ABC 斜边AB 上的高，8AC =，6BC =，点O 是CD 上的动点，以O 为圆心作半径为1的圆，若该圆与ABC 重叠部分的面积为π，则OC 的最小值为（ ）A．54B．43C．75D．5312．如图，从一块半径是2米的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点,,A B C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）米．A．32B．33C．36D．2二、填空题13．圆锥的底面半径是1，高是3，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是_____．14．如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC=AC，连接线段AB，与⊙O交于点D，若AC=4cm，则阴影部分的面积为=_________15．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径55，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是_____．16．如图，PA，PB是圆O的切线，切点为A、B，∠P＝50°，点C是圆O上异于A，B的点，则∠ACB 等于_____．17．如图，等边△ABC 内接于☉O ，BD 为⊙O 内接正十二边形的一边，CD=52，则图中阴影部分的面积等于_________．18．如图，圆锥的母线长l 为10cm ，底面圆半径r 为4.5cm ，则该圆锥的侧面积为_______2cm ．19．如图，点A 、B 的坐标分别为()3,0A ，()0,4B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则的最大值为________．20．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九章算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R ．此时圆内接正六边形的周长为6R ，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为_______．（参考数据：sinl5°＝0.26）三、解答题21．如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别是()0,2A ，()3,3B ，()2,1C ． （1）画出ABC 关于原点对称的111A B C △，并直接写出1C 的坐标；（2）画出ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°后得到的222A B C △，并求出线段AB 扫过的面积．22．如图，已知AB ．（1）试用尺规作图确定AB 所在圆的圆心O （保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB 的度数为120°，AB 的长是8π，求AB 所在圆的半径的长．23．如图1，AB 为O 的直径，AB CD ⊥于点M ，点E 为CM 上一点，AE 的延长线交O 于点F ，AE DE =．点N 为AF 的中点，连接ON ．（1）判断ADF 的形状，并说明理由；（2）求证：OM ON =；（3）如图2，连接FB 并延长，过点D 做DG FB ⊥，交FB 的延长线于点G ，求证：DG 是O 的切线．24．如图，AB是O的弦，AC是O的直径，将AB沿着AB弦翻折．恰好经过圆心O．若O的半径为6，求图中阴影部分的面积．25．在学了“过任意三角形的三个顶点都可以作一个外接圆”之后，张华同学对“过任意四边形的四个顶点能否作一个外接圆？”进行了探究，下面是他的探究过程，请帮他补充完整．（1）动手实践：张华先画出了3个不同的四边形，如图所示．接着，他在所画出的图①，图②中，分别任选三个顶点用尺规各作了一个圆．请仿照张华的作法在图③中任选三个顶点作一个圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）观察、发现： 观察所作的图形，你发现：过任意四边形的四个顶点 能作一个外接圆；（选填“一定”或“不一定”）（3）测量、猜想：分别测量（1）中3个不同四边形的各个内角，猜想：如果过一个四边形的四个顶点能作一个圆，那么它相对的两个内角之间存在怎样的数量关系？请写出你的猜想．（4）证明你的猜想．26．如图，AB 为O 的直径，点C 为AB 上方的圆上一动点，过点C 作O 的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，交O 于点D ，连接OC ，CD ，BC ，BD ，且BD 与OC 交于点E ．（1）求证：CDE CBE ≅△△； （2）若6AB =，填空：①当CD 的长是________时，OBE △是等腰三角形；②当BC =________时，四边形OADC 为菱形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】作出辅助线延长BO 交O 于点E ，连接CE ，由此构建圆心角AOD COE ∠=∠，根据圆周角与弧长和弦长的关系得到2AD CE ==，再据此求出BEC △的面积，经由OB OE =即可求出BCE 的面积.【详解】解：如图延长BO 交O 于点E ，连接CE ，∵B O E 、、三点共线∴180COE BOC ∠+∠=︒，90BCE ∠=︒，∴CE BC ⊥，∵180AOD BOC ∠+∠=︒，∴AOD COE ∠=∠，∴AD CE =，∴2AD CE ==,∵6BC =， ∴1162622S BC CE ==⨯⨯=△BCE ， ∵OB OE =，∴116322S S ==⨯=△BOC △BEC . 故选A.【点睛】本题主要考查圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，关键在于作出OB 的延长线OE ，来构造出圆心角相等，以此来解决问题. 2．B解析：B【分析】连接OA ，首先求出∠ACB=30°得∠AOB=60°，从而证得△AOB 是等边三角形，进一步得出结论．【详解】解：∵BD 是圆O 的直径，且BD=10∴OB=5连接OA ，如图，∵BD 是圆O 的直径，∴90ACB ABD ∠+∠=︒又2ABD C ∠=∠∴3∠C=90°，即∠C=30°，∴∠AOB=60°∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=5故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键． 3．A解析：A【分析】如图画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A ，根据题意可得O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA ，且OB=OA=O ＇B=O ＇A,得到四边形O ＇BOA 是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图：画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A∵AB 恰好与OA 、OB 相切∴O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA∵OB=OA=O ＇B=O ＇A,∴四边形O ＇BOA 是正方形∴∠O=90°∴劣弧AB 的长为9011801802n r πππ︒⨯⨯==︒． 故选择：A ．【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．4．C解析：C【分析】延长BO 交AM 点F ，计算BF ，后计算OB ，OC ，OE ，最后，运用垂径定理计算即可.【详解】如图，延长BO 交AM 点F ，连接OC ，∵O 与MAN ∠的边AN 相切，∴∠ABF=90°，∵30MAN ∠=︒，AB =∴，∠AFB=60°，∠FOE=30°，设EF=x ，则OF=2x ，， ∵OB =， ∴OB=3x ，∴BF=OB+OF=5x ，∴，∴ ∴，，∵OE CD ⊥，∴在直角三角形OCE 中，，根据垂径定理，得CD=2CE=4，故选C.【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，垂径定理，会用延长线段BO构造特殊的直角三角形是解题的关键.5．B解析：B【分析】先计算出QA的长，由于图甲测得PC=12cm，即圆的半径等于12cm，在图乙中直角三角形OAQ中利用30度角的三角函数可求得tan30°=3=12AQ，解得AQ的值为43．先估计3的近似值，再求解．【详解】解：如图甲，连结OP，并设⊙O与x轴相切于点D，图乙，连结OQ、OA，并设⊙O与x 轴相切于点E，∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD是正方形，∴OQ=OP=PC=12cm，由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC）÷2=60°，∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，∴tan∠QOA=AQ÷OQ，即tan30°=3=12 AQ，解得AQ=∵1.52，∴6＜8．故选B．【点睛】本题考查的是切线的性质，解直角三角形和无理数的估算．估算无理数的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．6．C解析：C【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答案．【详解】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，故选：C．【点睛】本题考查正多边形的性质、中心对称图形、轴对称图形的定义及多边形外角和定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．7．C解析：C【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，再利用互余可计算出∠BAD的度数，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BD、AB的长即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=30°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，故选项A、B不符合题意，在Rt△ADB中，，故选项C 符合题意，选项D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．C解析：C【分析】由垂线段最短可知当OP ⊥AB 时最短，当OP 是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【详解】解：如图，连接OA ，作OP ⊥AB 于P ，∵⊙O 的直径为10，∴半径为5，∴OP 的最大值为5，∵OP ⊥AB 于P ，∴AP=BP ，∵AB=6，∴AP=3，在Rt △AOP 中，OP=222594OA AP -=-=；此时OP 最短，所以OP 长的取值范围是4≤OP≤5．故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是确定OP 的最小值，所以求OP 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+（2a ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 9．C解析：C【分析】根据旋转的性质，可得BP′的长，∠PBP′的度数，得到P 点运动轨迹为四分之一圆，圆的半径为3，根据弧长公式即可求解．【详解】由旋转的性质，得BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°，P 点运动轨迹为四分之一圆，圆的半径为3，∴弧PP ' =90331801802n r πππ⨯⨯== 故选C ．【点睛】此题考查旋转的性质、正方形的性质、弧长公式，重点是熟记弧长公式． 10．C解析：C【分析】首先连接OB ，OC ，AO ，设DO 交BC 于点E ，由∠B ＝70°，∠A ＝60°，又由△ABC 的边BC 的垂直平分线与△ABC 的外接圆相交于点D ，根据圆周角定理，即可求得∠AOB 与∠BOE 的度数，继而求得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OC ，AO ，设DO 交BC 于点E ，∵OD 是△ABC 的边BC 的垂直平分线，∴∠BOE ＝12∠BOC ， ∵∠BAC ＝12∠BOC ， ∴∠BOE ＝∠BAC ，∵∠A ＝60°，∠B ＝70°，∴50∠=°ACB ，∴∠BOE ＝∠BAC ＝60°，∴∠BOD ＝180°−∠BOE ＝180°−60°＝120°，∵∠AOB ＝2∠ACB ＝100°，∴AB 的度数为：100°，∴AD 的度数为：120°−100°＝20°．故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．11．D解析：D【分析】根据勾股定理求出AB=10，由OC 取最小值时，O 与BC 相切，证明△OCP ∽△BCD ∽△BAC 得出::3:4:5OP PC CO =，从而求出OC 的最小值．【详解】解：2S r ππ==∵圆O 的半径为1，且圆与ABC 重叠部分的面积为π，∴此圆全部在△ABC 内，如图，在Rt ABC 中，8AC =，6BC =， ∴2210AB AC BC +=若OC 取最小值时，O 与BC 相切，设切点为P ，连接OP ，则OP ⊥BC∵CD ⊥AB∴∠OPC=∠CDB∵∠OCP=∠BCD∴△OCP ∽△BCD同理可证△BAC ∽△BCD∴△OCP ∽△BCD ∽△BAC∵::6:8:103:4:5BC AC AB ==∴::3:4:5OP PC CO =又∵OP=1∴OC= 15533⨯=故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及直线与圆的位置关系，证明△OCP ∽△BCD ∽△BAC 是解答此题的关键． 12．B解析：B【分析】连接OA ，作OD ⊥AB 于点D ，利用三角函数即可求得AD 的长，则AB 的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．【详解】解：连接OA ，作OD ⊥AB 于点D ．在直角△OAD 中，OA ＝2，∠OAD ＝12∠BAC ＝30°， 则AD ＝OA•cos30°3则AB ＝2AD ＝3则扇形的弧长6023π⨯23， 设圆锥的底面圆的半径是r ，则2π×r 23，解得：r 3 故选：B ．【点睛】 本题考查了垂径定理，锐角三角函数，弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．二、填空题13．180°【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为2进而求得展开图的弧长然后根据弧长公式即可求解【详解】解：设圆锥的母线为a 根据勾股定理得：a ＝＝2设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°根据题意得2π•1解析：180°【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为2，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【详解】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得：a ()2213+2，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n °，根据题意得2π•1＝2180n π⋅⋅，解得n ＝180， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°．故答案为：180°．【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.14．【分析】阴影部分面积等于根据切线的性质圆周角定理和等腰直角三角形的性质分别求出相关线段的长是或角的度数是解题关键【详解】解：连接ODCD ∵AC 为⊙O 的直径BC 为⊙O 的切线∴AC ⊥BC ∠ADC=90°解析：6π-【分析】阴影部分面积等于=ABC AOD OCD S S S S ∆∆--阴扇形，根据切线的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的性质分别求出相关线段的长是或角的度数是解题关键．【详解】解：连接OD ，CD ，∵AC 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，∴AC ⊥BC ，∠ADC=90°，∵BC=AC=4cm ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠CAD=45°，AO=OC=OD=2cm ，OD ⊥AC ，∴∠COD=2∠CAD=90°，211902==4422622360ABC AOD OCD S S S S ππ∆∆⨯--⨯⨯-⨯⨯-=-阴扇形， 故答案为：6π-．【点睛】本题主要考查求不规则图形的面积，切线的性质，圆周角定理等．掌握割补法是解题关键．15．6【分析】连接OB 如图利用垂径定理得到AC=BC=2则利用勾股定理可计算出OC=11利用垂线段最短当OC 经过点D 时点D 到AB 的距离的最小然后计算出OD 的长从而得到点D 到AB 的距离的最小值【详解】解：解析：6【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC=BC=2，则利用勾股定理可计算出OC=11，利用垂线段最短，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．【详解】解：连接OB，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=1AB=2，2在Rt△OBC中，2222-=-=，OB BC(55)211当OC经过点D时，点D到AB的距离最小，∵22+，43∴点D到AB的距离的最小值为11-5=6．故答案为6．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．16．65°或115°【分析】连接OAOB进而求出∠AOB=130°再分两种情况：当C在劣弧AB上当C在劣弧AB上理由圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】解：如图连接OAOB∵PAPB分别切解析：65°或115°．【分析】连接OA，OB，进而求出∠AOB=130°，再分两种情况：当C在劣弧AB上，当C在劣弧AB 上，理由圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可得出结论．【详解】解：如图，连接OA、OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP＝∠OBP＝90°；在四边形APBO中，∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°①当点C在优弧AB上时，∠ACB＝12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠ACB＝65°；当点C在劣弧AB上时，记作C'，由①知，∠ACB＝65°，∵四边形ACBC'是⊙O的内接四边形，∴∠AC'B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣65°＝115°，故答案为：65°或115°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠AOB是解本题的关键．17．【分析】首先连接OBOCOD由等边△ABC内接于⊙OBD为内接正十二边形的一边可求得∠BOC∠BOD的度数则证得△COD是等腰直角三角形并利用勾股定理求得圆的半径最后利用S阴影=S扇形OCD-S△O解析：2525 42π-【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，则证得△COD是等腰直角三角形，并利用勾股定理求得圆的半径，最后利用S阴影=S扇形OCD-S△OCD进行计算后即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，OD，∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，∴∠BOC ＝13×360°＝120°，∠BOD ＝112×360°＝30°， ∴∠COD ＝∠BOC−∠BOD ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝45°，∴OC 2+ OD 2＝CD 2．即2OC 2=50，∴OC=5， ∴S 阴影=S 扇形OCD -S △OCD=90251252555360242ππ-⨯⨯=-． 故答案为：252542π-． 【点睛】此题考查了正多边形与圆、扇形面积的计算等知识，掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用是解题的关键． 18．【分析】根据圆锥的侧面积计算公式求解即可【详解】解：∵圆锥的母线长是10cm 底面圆半径为∴圆锥的侧面积：S=（cm2）故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的计算解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化解析：45π【分析】 根据圆锥的侧面积计算公式求解即可．【详解】解：∵圆锥的母线长是10cm ，底面圆半径r 为4.5cm∴圆锥的侧面积：S=112=102 4.5=4522l r πππ⨯⨯⨯（cm 2）， 故答案为：45π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化． 19．3【分析】根据同圆的半径相等可知：点C 在半径为1的⊙B 上通过画图可知C 在BD 与圆B 的交点时OM 最小在DB 的延长线上时OM 最大根据三角形的中位线定理可得结论【详解】解：如图∵点C 为坐标平面内一点BC ＝ 解析：3【分析】根据同圆的半径相等可知：点C 在半径为1的⊙B 上，通过画图可知，C 在BD 与圆B 的交点时，OM 最小，在DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：如图，∵点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，∴C 在⊙B 上，且半径为1，取OD ＝OA ＝3，连接CD ，∵AM ＝CM ，OD ＝OA ，∴OM 是△ACD 的中位线，∴OM ＝12CD ， 当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大，∵OB ＝4，OD ＝3，∠BOD ＝90°，∴BD ＝5，∴CD ＝6，∴OM ＝12CD ＝3，即OM 的最大值为3； 故答案为：3．【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM 为最大值时点C 的位置是关键，也是难点．20．12【分析】连接根据正十二边形的性质得到=30°作OM ⊥A₁A₂于M 根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A₁OM=15°A₁A₂＝2A₁M 设圆的半径R 解直角△A₁OM 求出A₁M 进而得到正十二边形的周长解析：12【分析】连接1OA 、2OA ，根据正十二边形的性质得到12A OA =30°，作OM ⊥A₁A₂于M ，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A₁OM=15°，A₁A₂＝2A₁M ，设圆的半径R ，解直角△A₁OM ，求出A₁M ，进而得到正十二边形的周长L ，那么圆周率≈2L R． 【详解】解：如图，设半径为R 的圆内接正十二边形的周长为L ，连接1OA 、2OA ，∵十二边形1212A A A 是正十二边形， ∴123603012AOA ︒∠==︒， 作OM ⊥A₁A₂于M ，又OA₁＝OA₂，∴∠A₁OM=15°，A₁A₂＝2A₁M ，在直角△A₁OM 中，111sin 0.26A M OA AOM R =⋅∠=， ∴A₁A₂=2A₁M=0.52R ，∴L=12A₁A₂=6.24R ，∴圆周率≈6.24 3.1222L R R R==， 故答案为：3.12．【点睛】 本题考查直角三角形的应用、正多边形和圆、等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长Ｌ是解题的关键．三、解答题21．（1）图见解析，()12,1C --；（2）图见解析，5π2【分析】（1）按照中心对称的性质作图即可；（2）按照旋转的性质作图即可；求出A 点为圆心，AB 长为半径并且圆心角为90°的扇形面积即可．【详解】解：（1）111A B C △如图所示，()12,1C --．（2）222A B C △如图所示；线段AB 扫过的图形是一个以A 点为圆心，AB 长为半径并且圆心角为90°的扇形， 根据扇形的计算公式可求解． 223110AB =+=，线段AB 扫过的面积为：()290π105π3602⨯⨯=． 【点睛】本题考查了网格中作中心对称和旋转变换以及扇形面积公式，解题关键是熟练运用中心对称和旋转的性质作图，发现AB 扫过的图形是扇形．22．（1）作图见解析；（2）12【分析】（1）在弧上任取一点C ，连接AC ，BC ，作弦AC 、弦BC 的垂直平分线即可（2）根据弧长公式计算即可；【详解】（1）在弧上任取一点C ，连接AC ，BC ，作弦AC 、弦BC 的垂直平分线即可，点O 即为所求；（2）如图，连接AO ，BO ，∵弧AB 的度数为120︒，∴120AOB ∠=︒，又∵弧AB 的长是8π，∴1208180r ππ=， 解得：12r =，∴AB 所在圆的半径的长是12．【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键．23．（1）等腰三角形，见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据垂径定理定理和圆周角定理可得C ADC ∠=∠，F C ∠=∠，然后根据已知AE DE =可以得到 EAD ADC ∠=∠，得到F EAD ∠=∠，得到结果（2）连接OE ，OD ，可证AOE DOE ≌△△．可得AEO DEO ∠=∠．利用角平分线的性质求出OM ON =（3）由题意可得AOE DOE ∠=∠，NOE MOE ∠=∠根据180AOE MOE ∠+∠=︒得到180DOE NOE ∠+∠=︒， 证出N 、O 、D 三点共线，证出矩形DNFG ，可证DG OD ⊥，结论得证．【详解】（1）等腰三角形证明：如图1 连接AC∵AB 为O 的直径，AB CD ⊥于点M∴C ADC ∠=∠∵F C ∠=∠（同弧所对圆周角相等）∵AE DE =，∴EAD ADC ∠=∠∴F EAD ∠=∠，∴AD DF =．∴ADF 是等腰三角形（2）如图2 连接OE ，OD ， 在AOE △与DOE △中AE DE EO EO OA OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴AOE △≌DOE △∴AEO DEO ∠=∠∵OM DE ⊥ 点N 为AF 的中点∴ 90ONE OME ∠=∠=︒利用角平分线的性质得OM ON =．（3）∵AOE △≌DOE △∴AOE DOE ∠=∠∵90ONE OME ∠=∠=︒，AEO DEO ∠=∠∴NOE MOE ∠=∠又∵180AOE MOE ∠+∠=∴180DOE NOE ∠+∠=∴N 、O 、D 三点共线∵DG FB ⊥，90ONE ∠=，90AFG ∠=∴四边形DNFG 为矩形∴90GDN ∠=∴DG 是O 的切【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的判定等概念，熟练掌握知识点是解题的关键. 24．3 【分析】 根据翻折的意义，垂径定理的性质，直径上的圆周角是直角，扇形的面积等，把阴影的面积等量转化为三角形OBC 的面积求解即可．【详解】解：如图，连接OB ，BC ．过点O 作OD ⊥AB ，垂足为E ，连接BD ，根据题意，得OE=ED=12OD=12OB ， ∴∠ABO=∠OAB=30°，∵AC 是圆的直径，∴∠ABC=90°，∠ACB=60°，∴△OBC 是等边三角形，△OBD 是等边三角形，∴弓形OnB 的面积＝弓形BmC 的面积，∴=S S △OBC 阴影＝3×26＝93．【点睛】本题考查了垂径定理，直径上的圆周角，阴影部分的面积，熟练掌握圆的基本性质，把阴影面积合理转型为三角形的面积是解题的关键．25．（1）见解析；（2）不一定；（3）猜想：如果过一个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角互补；（4）见解析【分析】（1）作两边的垂直平分线找到圆心，再以这点到其中一边任意一个端点的距离为半径，作圆即可；（2）通过作图可发现过任意四边形的四个顶点不一定能作一个外接圆；（3）根据度量的对角的度数，进行猜想即可；（4）先写出已知，求证，再根据圆周角的性质证明即可．【详解】解：（1）作图如下：图③（2）不一定（3）猜想：如果过一个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角互补 （4）如图，已知四边形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 均在O 上．求证：180A C ∠+∠=︒．证明：连接BO 、DO ． 112A ∠=∠，122C ∠=∠ 1(12)2A C ∴∠+∠=∠+∠ 12360∠+∠=︒，180A C ∴∠+∠=︒．【点睛】本题考查了过不在同一直线上的三点作圆，圆周角的性质，解题关键是根据题意准确画图，合理猜想，并能够正确证明．26．（1）见解析；（2）①34π；②3【分析】（1）根据题意可证//OC AD ，OC BD ⊥，再结合垂径定理即可证明（2）①根据等腰三角形的性质，结合（1）得CD CB =根据等弦对等弧得CD BC =，再根据弧长公式求解即可；②根据菱形的性质即可求解【详解】解：（1）∵过点C 作O 的切线l ， ∴OC l ⊥，∵AD l ⊥，∴//OC AD ，∵AB 为O 的直径，点D 为AB 上方的圆上一点， ∴AD BD ⊥，∴BD OC ⊥90CED CEB ∴∠=∠=︒，∴点E 为BD 中点，∴BE DE =，∴在CDE △和CEB △中DB BE CED CEB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CDE CBE SAS ≅；（2）①若OBE △为等腰三角形，OC BD ⊥ ∴OBE △为等腰直角三角形∴45EOB EBO ∠=∠=︒CDE CBE ≅△△CD CB ∴=CD BC ∴=6345331801804AB OB n r BC πππ=∴=⨯∴=== 34CD π∴= ∴当34CD π=时OBE △为等腰三角形 ②若四边形OADC 为菱形132AO OC CD DA AB ∴===== CD BC =3BC ∴=∴当3BC=时OADC为菱形【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上性质和定理是解题关键．。
2019-2020北师大版九年级数学下册单元测试题及答案全套
北师大版九年级数学下册单元测试题及答案第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．cos 30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．如图，已知Rt △BAC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( ) A ．2 B ．8 C ．2 5 D ．45(第2题) (第3题)3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD 等于( ) A.53 B.23 C.253 D.524．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( )A ．14.7°B ．14°7′C ．75.3°D ．75°3′6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB ＝a ，BD ＝b ，则下列求旗杆CD 长的式子中正确的是( )A ．CD ＝b sin 33°＋aB ．CD ＝b cos 33°＋aC ．CD ＝b tan 33°＋a D ．CD ＝b tan 33°＋a(第6题) (第7题)7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC的正切值是( )A ．2 B.255 C.55 D.128．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝2(1＋3)，则BC 等于( )A ．2 B. 6 C ．2 2 D ．1＋ 39．如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m 到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( )A ．82 mB ．163 mC ．52 mD ．30 m(第9题) (第10题)10．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°二、填空题(每题3分，共30分)11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________． 12．若反比例函数y ＝k x的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，则k ＝________．13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝23，则AB＝________.14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m的牌子，当他沿山坡前进50 m时，他又看见一个标注海拔70 m的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．16．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，23)，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__________．(第16题) (第17题) (第18题)(第19题) (第20题)17．如图，一棵树的枝叶部分AB在太阳光下的投影CD的长是5.5 m，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB的长约为__________ (结果精确到0.1 m．参考数据：sin 52°≈0.79，tan 52°≈1.28)．18．如图，秋千链子的长度OA＝3 m，静止时秋千踏板处于A位置，此时踏板距离地面0.3 m，秋千向两边摆动，当踏板处于A′位置时，摆角最大，此时∠AOA′＝50°，则在A′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)．19．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20 n m i l e 的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h 后到达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25°方向上，则灯塔C 与码头B 的距离约是________n m i l e(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．20．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________.三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 019)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12；(2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.22．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，2a ＝3b ，求∠B 的正弦、余弦和正切值．23．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．(第23题)24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 和C ，在B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在C 处测得点A 在西北方向上，如图，量得BC 长为200 m ，求该河段的宽度(结果保留根号)．(第24题)25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n m i l e/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)(第25题)26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：3≈1.7)(第26题)答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7.D 8.A 9.A10．C 点拨：∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°. ∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°. ∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.二、11.1 12.36 13.9 14.3 3 m 15．3∶4 16.(8，23) 17．7.0 m 点拨：过点B 作BE ∥CD ，交AD 于点E . ∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的，∴tan 52°＝AB BE，BE ＝CD ＝5.5 m. ∴AB ＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．18．1.37 点拨：如图，作A ′D ⊥OA 于点D ，A ′C 垂直地面于点C ，延长OA 交地面于点B .(第18题)易得四边形BCA ′D 为矩形，∴A ′C ＝DB .∵∠AOA ′＝50°，且OA ＝OA ′＝3 m ，∴在Rt △OA ′D 中，OD ＝OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.642 8≈1.93(m)． 又AB ＝0.3 m ，∴OB ＝OA ＋AB ＝3.3 m. ∴A ′C ＝DB ＝OB －OD ≈1.37 m.19．2420．23点拨：延长CA 到F 使AF ＝AE ，连接BF ，过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G .根据题干条件证明△BAF ≌△BAE ，得出∠E ＝∠F ，然后在Rt △BGF 中，求出tan F 的值，进而求出tan E 的值．三、21.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12； (2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2.22．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32. 设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k . ∴sin B ＝bc ＝2k 13k＝21313， cos B ＝a c ＝3k 13k＝31313， tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23. 23．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2.∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x .在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴AC CD＝2. ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45. 由AB ＝2，得x ＝25， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455. 24．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .(第24题)根据题意知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°， ∴∠CAD ＝45°.∴∠ACD ＝∠CAD .∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD .在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD， ∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝300－1003(m)．答：该河段的宽度为(300－1003)m. 25．解：如图，过点A 作AP ⊥BC ， 垂足为P ，设AP ＝x n mi l e.(第25题)在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°， ∠PAC ＝90°－60°＝30°，∴tan ∠PAC ＝CP AP ＝33.∴CP ＝33x n mi l e.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°， ∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x n mi l e.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(n mi l e)，∴33x ＋x ＝15.解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝15（3－3）2n mi l e.∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(h)．答：该渔船从B 处开始航行3－34h ，离观测点A 的距离最近．26．解：(1)如图，连接PA.(第26题)由已知得AP＝39 m，在Rt△APH中，PH＝AP2－AH2＝392－152＝36(m)．答：此时汽车与点H的距离为36 m.(2)由题意，隔音板位置应从P到Q，在Rt△ADH中，DH＝AHtan 30°＝1533＝153(m)；在Rt△CDQ中，DQ＝CQsin 30°＝3912＝78(m)．∴PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－153≈114－15×1.7≈89(m)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m长．第二章达标测试卷1．下列函数属于二次函数的是( )A．y＝5x＋3 B．y＝1x2C．y＝2x2＋x＋1 D．y＝x2＋12．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是( ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋43．一小球被抛出后，距离地面的高度h (m)和飞行时间t (s)满足的函数表达式为h＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )A．1 m B．5 m C．6 m D．7 m4．下列抛物线中，开口向下且开口最大的是( )A．y＝－x2B．y＝－23x2C．y＝13x2D．y＝－3x25．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：x－1 0 1 2 3y 5 1 －1 －1 1 则该二次函数图象的对称轴为( )A．y轴B．直线x＝52C．直线x＝2 D．直线x＝326．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( ) A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜－27．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的函数表达式为( )A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－38．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ax与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是( )9．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1 C．b≥2 D．1≤b≤210．如图是抛物线y 1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝m x＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是( )A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤二、填空题(每题3分，共30分)11．当a ＝________时，函数y ＝(a －1)xa 2＋1＋x －3是二次函数．12．已知抛物线y ＝－2(x －3)2＋1，当x 1>x 2>3时，y 1________y 2(填“＞”或“＜”)． 13．某一型号飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)与滑行时间x (单位：s)之间的函数表达式是y ＝60x －1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行距离为__________时才能停下来． 14．如图是二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2－1的图象，则a ＝________．15．已知二次函数的图象经过原点及⎝⎛⎭⎪⎫－12，－14，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为________________________．16．若抛物线y ＝kx 2－7x －7和x 轴有交点，则k 的取值范围是__________________． 17．抛物线y ＝x 2－2kx ＋4k 通过一个定点，这个定点坐标是____________．18．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－140x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏警示灯的水平距离EF约是________m(结果精确到1 m，5≈2.236)．19．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 k g；销售单价每涨1元，月销售量减少10 k g，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大．20．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为__________．三、解答题(21～24题每题9分，其余每题12分，共60分)21．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：求：(1)这个二次函数的表达式；(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．22.如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．23．如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)若抛物线的顶点为D，求四边形AEDB的面积．24．已知函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴总有交点．(1)求m的取值范围；(2)当函数图象与x轴两交点的横坐标的倒数和等于－4时，求m的值．25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润为6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次．26．有一个例题：有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m．解答下列问题：(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；(2)与上面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明理由．答案一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7．D8．C 点拨：由y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，得a ＜0；由图象，得－b2a＞0；由不等式的基本性质，得b ＞0. ∵a ＜0，∴y ＝a x的图象位于第二、四象限． ∵b ＞0，∴y ＝bx 的图象经过第一、三象限． 9．A10．C 点拨：对于抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，对称轴为直线x ＝－b 2a ，∴－b2a＝1，∴2a＋b ＝0，①正确；由图象可知a ＜0，c ＞0，x ＝－b2a＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，②错误；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与直线y ＝3只有一个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，③正确；设抛物线与x 轴的另一个交点是(x 2，0)，由抛物线的对称性可知4＋x 22＝1，∴x 2＝－2，即抛物线与x 轴的另一个交点是(－2，0)，④错误； 通过函数图象可直接得到当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，⑤正确． 故选C .二、11.－1 12.＜ 13.600 m14．1 点拨：∵抛物线过原点，∴0＝a ×02－0＋a 2－1，∴a ＝±1.又∵抛物线开口向上，∴a ＝1.15．y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x点拨：由题意知，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)或(－1，0)，故可得相应函数表达式为y ＝－13x 2＋13x 或y ＝x 2＋x .16．k ≥－74且k ≠0 17.(2，4)18．18 点拨：当y ＝8时，－140x 2＋10＝8，得x ＝±45，∴E (－45，8)，F (45，8)．∴EF ＝2×45＝85≈18(m)．19．70 点拨：设销售单价为x (元)，且利润为y (元)，则y ＝(x －40)·[500－10(x －50)]，即y ＝－10(x －70)2＋9 000(50≤x ≤100)，当x ＝70时，y 有最大值，获得月利润最大． 20.52cm 点拨：设AP ＝x cm ，BE ＝y cm.如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵PE ⊥DP ，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3.∴△ADP ∽△BPE .∴AD BP ＝APBE ，即1010－x ＝x y .整理得y ＝－110(x －5)2＋52(0＜x ＜10)，∴当x ＝5时，y 有最大值52.三、21.解：(1)将点(－1，－5)，(0，1)，(2，1)的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2＋4x ＋1.(2)y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3，故图象的顶点坐标为(1，3)．当x ＝4时，m ＝－2×16＋16＋1＝－15.22．解：(1)将点A (1，0)的横纵坐标代入y ＝(x －2)2＋m ，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1.∴二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1. 当x ＝0时，y ＝4－1＝3， ∴C 点坐标为(0，3)．∵点C 和点B 关于对称轴直线x ＝2对称，∴B 点坐标为(4，3)．分别将A (1，0)，B (4，3)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1.∴一次函数的表达式为y ＝x －1. (2)A ，B 两点的坐标分别为(1，0)，(4，3)．当kx ＋b ≥(x －2)2＋m 时，在坐标系内对应的直线不在抛物线的下方，此时1≤x ≤4. 23．解：(1)因为抛物线与y 轴交于点B (0，3)，所以设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)． 由题意得⎩⎨⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.所以抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)由顶点坐标公式得抛物线的顶点坐标为(1，4)． 作抛物线的对称轴，与x 轴交于点F ， 所以S四边形AEDB ＝S △ABO ＋S梯形BOFD ＋S △DEF＝12AO ·BO ＋12(BO ＋DF )·OF ＋12EF ·DF ＝12×1×3＋12×(3＋4)×1＋12×2×4＝9.24．解：(1)当m ＋6＝0即m ＝－6时，函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1，即y ＝－14x －5的图象与x 轴有交点；当m ＋6≠0时，Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)·(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即m ≤－59且m ≠－6时抛物线与x 轴有交点．综合m ＋6＝0和m ＋6≠0两种情况可知，当m ≤－59时，此函数的图象与x 轴有交点．(2)设x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴－2（m －1）m ＋1＝－4，解得m ＝－3.当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0，符合题意，∴m 的值是－3.25．解：(1)∵第1档次的产品一天能生产95件，每件利润为6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件，生产第x 档次的产品提高了(x －1)档， ∴y ＝[6＋2(x －1)][95－5(x －1)]，即y ＝－10x 2＋180x ＋400(其中x 是正整数，且1≤x ≤10)．(2)由题意，得－10x 2＋180x ＋400＝1 120，整理得x 2－18x ＋72＝0， 解得x 1＝6，x 2＝12(舍去)． ∴该产品的质量档次为第6档．26．解：(1)由已知得AD ＝54 m ，∴窗户的透光面积为54×1＝54(m 2)．(2)窗户透光面积的最大值变大． 理由：设AB ＝x m ， 则AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－74x m ，∵3－74x ＞0，且x ＞0，∴0＜x ＜127. 设窗户透光面积为S m 2，由已知得S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－74x ＝－74x 2＋3x ＝－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x －672＋97，当x ＝67时(x ＝67在0＜x ＜127的范围内)，S 最大＝97＞1.05.∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．第三章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )A．5 B．6 C．7 D．82．如图，在⊙O中，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则⊙O的半径为( ) A．5 B．10 C．8 D．6(第2题)(第3题)(第4题)3．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则tan∠BAC的值是( )A. 3 B．1 C.32D.334．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD等于( ) A．128° B．100° C．64° D．32°5．已知扇形的面积为4π，扇形的弧长为π，则该扇形的半径为( ) A．4 B．6 C．8 D．8π6．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是( ) A．1 B．2 C. 3 D. 5(第6题)(第7题)(第9题)(第10题)7．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立的是( )A ．∠A ＝∠D B.CB ︵＝BD ︵C ．∠ACB ＝90° D．∠COB ＝3∠D8．同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长之比为( )A ．3∶4 B.3∶2 C ．2∶ 3 D ．1∶29．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A (8，0)，与y 轴分别交于点B (0，4)和点C (0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( ) A ．10 B ．8 2 C ．413 D ．24110．如图，已知⊙O 是等腰直角三角形ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.2 二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝40°，则∠B ＝________．(第11题)(第12题)(第13题)(第14题)12．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．13．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝________．14．如图，⊙P的半径为2，P在函数y＝8x(x＞0)的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为__________．15．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在圆上，且∠BAC＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD 于点D，则BD＝________.(第15题)(第16题)(第17题)16．如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC＝30°，则劣弧BC的长为________．17．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O 上，而且∠POM＝45°，则AB的长为________．18．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝________．(第18题)(第19题)(第20题)19．如图，直线y ＝33x ＋3与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 有________个．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，A ，B ，C 三点都在⊙O 上，AE 是⊙O 的直径，AD 是△ABC 的高，⊙O 的半径R ＝4，AD ＝6.求证：AB ·AC 的值是一个常数．(第21题)22．如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦DE ⊥AB 于点H ，AH ＝2. (1)求DE 的长；(2)延长ED 到点P ，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，若PC ＝25，求PD 的长．(第22题)23．如图，已知P为反比例函数y＝4x(x>0)图象上一点，以点P为圆心，OP长为半径画圆，⊙P与x轴相交于点A，连接PA，且点A的坐标为(4，0)．求：(1)⊙P的半径；(2)图中阴影部分的面积．(第23题)24．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE.(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．(第24题)25．如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(－2，0)，⊙O′与x轴相交于原点O和点A，B，C两点的坐标分别为(0，b)，(1，0)．(1)当b＝3时，求经过B，C两点的直线对应的函数表达式．(2)当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时b的取值范围．(第25题)26．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点M，N，点P 在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP.(1)求证：直线CP是⊙O的切线；(2)若BC＝25，sin ∠BCP＝55，求点B到AC的距离；(3)在(2)的条件下，求△ACP的周长．(第26题)答案一、1.A 2.A 3.D 4.A 5.C 6.A7．D 8.B9．D 点拨：连接BM，OM，AM，过点M作MH⊥BC于点H.∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，∴AM⊥OA，OA＝8.∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°.∴四边形OAMH是矩形，∴AM＝OH.∵点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为(0，16)，∴OB＝4，OC＝16.∴BC＝12.∵MH⊥BC，∴CH＝BH＝12BC＝12×12＝6.∴OH＝OB＋BH＝4＋6＝10.∴AM＝10.在Rt△AOM中，OM＝AM2＋OA2＝102＋82＝241.10．C点拨：∵⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆，BC＝4，∴AB为⊙O的直径，AC＝4，AB＝4 2.∴∠D＝90°.在Rt△ABD中，AD＝45，AB＝42，∴BD＝28 5.∵∠D＝∠C，∠DAE＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE.∴AD∶BC＝AE∶BE＝DE∶CE＝45∶4＝1∶5.∴相似比为1∶5.设AE＝x，∴BE＝5x.∴DE＝285－5x.∴CE ＝5DE ＝28－25x . 又∵AC ＝4，∴x ＋28－25x ＝4. 解得x ＝1.二、11.70° 12.70° 13.2 14.(4，2) 15．2 16.4π3 17. 518.392 点拨：延长CO 与圆交于点D ，连接AD ，可得∠B ＝∠D ，故sin B ＝sin D ．∴AH AB ＝AC CD ，即18AB ＝2426，可得AB ＝392. 19．3 20．23－2π3点拨：依题意，有AD ＝BD ，又∠ACB ＝90°，所以CB ＝CD ＝BD ，即△BCD 为等边三角形，∠BCD ＝∠ABC ＝60°，∠BAC ＝∠ACD ＝30°；由AC ＝23，得BC ＝2，AB ＝4.阴影部分面积为S △ACD －S 弓形AD ＝S △ACD －S 弓形BD ＝S △ACD －(S 扇形BCD －S △BCD )＝S △ABC －S 扇形BCD ，根据面积公式计算即可．三、21.证明：连接BE ，如图所示．(第21题)∵AE 为⊙O 的直径，AD 是△ABC 的高， ∴∠ABE ＝∠ADC ＝90°. 又∵∠C ＝∠E ，∴△ADC ∽△ABE .∴AC AE ＝AD AB. ∴AB ·AC ＝AD ·AE ＝6×2R＝6×2×4＝48， 即AB ·AC 的值是一个常数． 22．解：(1)连接OD .∵AB ＝10，∴OA ＝OD ＝5.∵AH＝2，∴OH＝3.∵AB⊥DE，∴∠DHO＝90°，DH＝EH.∴DH＝OD2－OH2＝52－32＝4.∴DE＝2DH＝2×4＝8.(2)连接OC，OP.∵CP与⊙O相切，∴OC⊥CP.∴OP＝OC2＋CP2＝52＋（25）2＝3 5.∴PH＝OP2－OH2＝（35）2－32＝6.∴PD＝PH－DH＝6－4＝2.23．解：(1)过点P作PD⊥x轴于点D.∵A点的坐标为(4，0)，∴OA＝4.∴OD＝2，即点P的横坐标为2.将x＝2代入y＝4x，可得y＝2，即PD＝2.在Rt△OPD中，根据勾股定理可得OP＝22，即⊙P的半径为2 2.(2)由(1)可得PD＝OD，且∠ODP＝90°，∴∠OPD＝45°.又∵OP＝PA，∴∠APD＝∠OPD＝45°.∴∠OPA＝90°.又∵OA＝2OD＝4，∴S阴影＝S扇形OPA－S△OPA＝90×（22）2×π360－4×22＝2π－4.24．(1)证明：连接OD，OE，BD.∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE.在△OBE和△ODE中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，OE ＝OE ，BE ＝DE ，∴△OBE ≌△ODE (SSS )．∴∠ODE ＝∠OBE ＝90°.∴DE 为半圆O 的切线．(2)解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AC . ∵BC ＝2BE ＝2DE ＝4，∴AC ＝8.由题知∠C ＝60°，DE ＝BE ＝EC ，∴△DEC 为等边三角形．∴DC ＝DE ＝2.∴AD ＝AC －DC ＝8－2＝6.25．解：(1)设经过B ，C 两点的直线对应的函数表达式为y ＝m x ＋n (m≠0且m ，n 为常数)．由题易知B (0，3)，C (1，0)，分别将B (0，3)，C (1，0)的坐标代入y ＝m x ＋n ，得⎩⎨⎧3＝n ，0＝m ＋n ，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝3.∴经过B ，C 两点的直线对应的函数表达式为y ＝－3x ＋3.(2)当BC 切⊙O ′于第二象限时，记切点为D ，易得DC ＝ 5.∵BO ＝BD ＝b ，∴BC ＝5－b .在Rt △OBC 中，易得12＋b 2＝(5－b )2，解得b ＝255. 同理当BC 切⊙O ′于第三象限D 1点时，可求得b ＝－25 5. 故当b ＞255或b ＜－255时，直线BC 与⊙O ′相离； 当b ＝255或－255时，直线BC 与⊙O ′相切；当－255＜b ＜255时，直线BC 与⊙O ′相交． 26．(1)证明：如图，连接AN .∵∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC .∵AC 为直径，∴AN ⊥BC .∴∠CAN ＝∠BAN ，BN ＝CN .∵∠CAB ＝2∠BCP ，∴∠CAN ＝∠BCP .∵∠CAN ＋∠ACN ＝90°，∴∠BCP ＋∠ACN ＝90°，即∠ACP ＝90°.∴直线CP 是⊙O 的切线．(第26题)(2)解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，由(1)得BN ＝CN ＝12BC ＝ 5. ∵AN ⊥BC ，∴sin ∠CAN ＝CN AC. 又∵∠CAN ＝∠BCP ，sin ∠BCP ＝55， ∴CNAC ＝55，∴AC ＝5. ∴AN ＝AC 2－CN 2＝2 5.∵∠ANC ＝∠BHC ＝90°，∠ACN ＝∠BCH ，∴△CAN ∽△CBH .∴AC BC ＝AN BH. ∴BH ＝4，即点B 到AC 的距离为4.(3)解：易知CH＝BC2－BH2＝2，则AH＝AC－CH＝3.∵BH∥CP，∴BHPC＝AHAC.∴PC＝20 3.∴AP＝AC2＋PC2＝253.∴△ACP的周长是AC＋AP＋PC＝5＋253＋203＝20.。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》检测(包含答案解析)
一、选择题1．如图平面直角坐标系中，点A ，B 均在函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图像上，⊙A 与x 轴相切，⊙B 与y 轴相切，若点B （1，8），⊙A 的半径是⊙B 半径的2倍，则点A 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（3，4）D ．（4，2） 2．已知一个扇形的半径长为3，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（ ）A ．12πB ．πC ．3π2D ．3π3．我国古代数学名著《九章算术》中有“勾股定理”问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少步？”此问题的答案是 （ ）．A ．3步B ．4步C ．6步D ．8步 4．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，AB BC =，30BAC ∠=︒，AD 是直径，8AD =，则AC 的长为（ ）A ．4B ．43C ．83D ．25．如图，已知E 是ABC 的外心，P ，Q 分别是AB ，AC 的中点，连接EP ，EQ ，分别交BC 于点F ，D ．若10BF =，6DF =，8CD =，则ABC 的面积为（ ）A ．72B ．96C ．120D ．1446．已知⊙O 的半径是一元二次方程2690x x -+=的解，且点O 到直线AB 的距离为2，则⊙O 与直线AB 的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 7．在ABC ∆中，6,8,10AB BC AC ===，则这个三角形的外接圆和内切圆半径分别是（ ）A ．5,1B ．4,3C ．5,2D ．5,48．如图，已知,ABC O △为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC OC 、交于点E D 、，设,C a A β∠=∠=，则（ ）A ．若70αβ+=︒，则弧DE 的度数为20︒B ．若70αβ+=︒，则弧DE 的度数为40︒C ．若70αβ-=︒，则弧DE 的度数为20︒D ．若70αβ-=︒，则弧DE 的度数为40︒ 9．数轴上有两个点A 和B ，点B 表示实数6，点A 表示实数a ，B 半径为4．若点A 在B 内，则（ ） A ．2a <或10a >B ．210a <<C ．2a >D ．10a < 10．如图，O 的直径为10，弦AB 的长为6，P 为弦AB 上的动点，则线段OP 长的取值范围是（ ）A ．35OP ≤≤B ．45OP <<C ．45OP ≤≤D ．35OP <<11．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC =4，BC =3时，则阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．6πC ．52π D ．1212．如图，两个正六边形ABCDEF 、EDGHIJ 的顶点A 、B 、H 、I 在同一个圆上，点P 在ABI 上，则tan ∠API 的值是（ ）A ．23B ．22C ．2D ．1二、填空题13．如图，一次函数3233y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若向ABO 的外接圆C 内随机抛掷一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率是_____________．14．如图，正方形ABCD 中，扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E ，AB ＝6cm ．则图中阴影部分面积为___cm 2．15．如图，ABC 在中，125BIC ∠=︒，I 是内心，O 是外心，则BOC ∠=__________．16．如图，ABC 内接于O ，∠BAC=70°，D 是BC 的中点，且∠AOD=156°，AE ，CF 分别是BC ，AB 边上的高，则∠BCF 的度数是____________．17．如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在AB上，DE切⊙O于C交PA、PB于D、E，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是_____．18．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径55，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是_____．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝42cm，则图中阴影部分的面积为_____．20．如图，BAC是O的内接三角形，BC为直径，AD平分BAC∠，连接BD、CD，若65∠=︒，则ABDACB∠的度数为_________．三、解答题21．已知O 的直径4AB =，C 为O 上一点，2AC =．（1）如图①，点P 是BC 上一点，求APC ∠的大小：（2）如图②，过点C 作O 的切线MC ，过点B 作BD MC 于点D ，BD 与O 交于点E ，求DCE ∠的大小及CD 的长．22．如图，矩形ABCD 中，22,4AB BC ==，以B 为圆心．BC 为半径画弧，交AD 于点E ，()1求ABE ∠的度数；()2求图中阴影部分的面积．23．如图，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，交BC 于F ．（1）求证：DF ⊥BC ；（2）求证：DE 2=AE•BE ．24．如图，在ABC ∆中，以AB 为直径的O 交AC 于点M ，弦//BC MN 交AB 于点E ，且3ME NE ==．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若4AE =，求O 的直径AB 的长度．25．如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,120AB BC ABC ==∠=︒，将平行四边形绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到平行四边形BEFG ．（1）求点B 到AD 的距离；（2）当点E 落在AD 边上时，求点D 经过的路径长．26．如图，在ABC 中，点O 是BC 中点，以O 为圆心，BC 为直径作圆刚好经过A 点，延长BC 于点D ，连接AD ．已知CAD B ∠=∠．（1）求证：①AD 是⊙O 的切线；②ACD BAD △△；（2）若8BD =，1tan 2B =，求⊙O 的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】把B 的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式，根据⊙B 与y 轴相切，即可求得⊙B 的半径，则⊙A 的半径即可求得，即得到B 的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．【详解】解：把B 的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式得：k=8，则函数的解析式是：y=8x， ∵B 的坐标为（1，8），⊙B 与y 轴相切，∴⊙B 的半径是1，则⊙A 的半径是2，把y=2代入y=8x得：x=4， 则A 的坐标是（4，2）．故选：D ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及切线的性质，根据点B 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据计算公式直接套用求解即可．【详解】根据题意，得260333602S ππ⨯⨯==， 故选C ．【点睛】本题考查了扇形的面积计算问题，熟记扇形面积计算公式，准确判断计算条件是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据题意，得点E 、点D 、点F 分别为O 与AB 、BC 、AC 的交点，连接OA 、OB 、OC ；根据勾股定理，计算得AC ；设O 的半径为r ；根据内切圆性质，得OD BC ，OE AB ⊥，OF AC ⊥；再结合三角形面积关系，通过计算，即可得到答案．【详解】如图，直角ABC ，O 是直角ABC 的内切圆，点E 、点D 、点F 分别为O 与AB 、BC 、AC 的交点，连接OA 、OB 、OC根据题意，得8AB =，15BC =∴2217AC AB BC =+= 设O 的半径为r ∵O 是直角ABC 的内切圆∴ODBC ，OE AB ⊥，OF AC ⊥，OD OE OF r === ∴ABC AOB BOC COA S S S S =++△△△△∴11112222AB BC AB r BC r AC r ⨯=⨯+⨯+⨯ ∴81581517r r r ⨯=++∴3r =∴O 的直径为6，即直径6步 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内切圆、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内切圆、勾股定理的性质，从而完成求解．4．B解析：B【分析】连接CD ，根据圆周角定理，可以得到30CAD ∠=︒，在Rt ACD △中，利用锐角三角函数求出AC 的长即可．【详解】解：如图，连接CD ，∵AB BC =，30BAC ∠=︒，∴AB 和BC 所对的圆心角都是60︒，∵AD 是直径，∴CD 所对的圆心角也是60︒，∴30CAD ∠=︒，在Rt ACD △中，3cos308432AC AD =⋅︒=⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理，以及利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 5．B解析：B【分析】连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，根据三角形外心的定义，可得PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，进而求得AF ，DF ，AD 的长度，可知△ADF 是直角三角形，即可求出△ABC 的面积．【详解】如图，连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，∵点E 是△ABC 的外心，∴AE=BE=CE ，∴△ABE ，△ACE 是等腰三角形，∵点P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，∴PE ⊥AB ，QE ⊥AC ，∴PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，∴AF=BF=10， AD=CD=8，在△ADF 中，∵2222286=100=AD DF AF +=+，∴△ADF 是直角三角形，∠ADF=90°，∴S △ABC = ()()1122=1068896BF DF CD AD ⨯++⨯++=， 故选：B ．【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF 是直角三角形．6．A解析：A【分析】解方程确定圆的半径为3，圆心距d=2,比较半径与圆心距的大小，根据法则判断即可.【详解】∵2690x x -+=，∴123x x ==，∴圆的半径为3，∵点O 到直线AB 的距离为2，即d=2，∴d ＜R ，∴直线与圆相交，故选A.【点睛】本题考查了用半径、圆心距判定直线和圆的位置关系，熟练解方程，熟记d ，R 法则是解题的关键.7．C解析：C【分析】首先根据勾股定理逆定理判断△ABC 是直角三角形，得其斜边是10，即可求得外接圆半径和内切圆半径．【详解】∵AC=6，BC=8，AC=10，2226810+=，∴222AC BC AC +=，∴△ABC 是直角三角形，且斜边是AC=10，∴其外接圆的半径为5，三角形的内切圆半径=681022+-=， 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆，勾股定理的逆定理；解题的关键是灵活运用勾股定理的逆定理判断△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 8．B解析：B【分析】连接BD ，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ABD =90°，又由A β∠=，可求得∠ADB =90β︒-，再根据∠ADB =∠DBC +∠C ，可得∠DBC =90βα︒--，从而求出弧DE 的度数．【详解】解：连接BD ，∵AD 是直径，∴90ABD ∠=︒，∴90A ADB ∠+∠=︒，∴90ADB β∠=︒-，又∵∠ADB =∠DBC +∠C ，∴()90DBC αβ∠=︒-+，若70αβ+=︒，则()90907020DBC αβ∠=︒-+=︒-︒=︒，∴弧DE 的度数20240=︒⨯=︒，故选B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理及推论、三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理、构造直径所对圆周角是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据点与圆的位置关系可得出AB=∣a﹣6∣＜4，解之即可解答．【详解】解：∵点A在B内，∴AB=∣a﹣6∣＜4，即﹣4＜a﹣6＜4，解得：2＜a＜10，故选：B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系、数轴上两点间的距离、解一元一次不等式组，熟练掌握点与圆的位置关系是解答的关键．10．C解析：C【分析】由垂线段最短可知当OP⊥AB时最短，当OP是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【详解】解：如图，连接OA，作OP⊥AB于P，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OP⊥AB于P，∴AP=BP，∵AB=6，∴AP=3，在Rt△AOP中，OP=222594-=-=；OA AP此时OP最短，所以OP长的取值范围是4≤OP≤5．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是确定OP的最小值，所以求OP的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r 2=d 2+（2a ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 11．A 解析：A 【分析】 先根据勾股定理求出AB ，然后根据S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB 计算即可．【详解】根据勾股定理可得AB=225AC BC +=∴S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB=22211112222222AC BC AB AC BC πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++•- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()222141115343222222πππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6故选A ．【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键． 12．A解析：A【分析】连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊥EI 于M ，证明90AIH ∠=︒，设HI JI JE a ===，求出AI 即可．【详解】解：如图，连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊥EI 于M ．∵ABCDEF 是正六边形，∴∠DEF ＝∠F ＝120°，∵FA ＝FE ，∴∠FEA ＝∠FAE ＝30°，∴∠AED ＝90°，同法可证，∠DEI ＝∠EIH ＝90°，∴∠AED +∠DEI ＝180°，∴A ，E ，I 共线，设HI JI JE a ===，∵JM ⊥EI ，∴EM ＝MI ＝2a ， ∴AI ＝2EI ＝a ，∵∠API ＝∠AHI ，∴tan ∠API＝tan ∠AHI ＝AI HI = 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 二、填空题13．【分析】利用一次函数解析式求出点AB 的坐标即可得由勾股定理求出求出则可得是等边三角形可得根据圆周角定理求出扇形圆心角的度数并由三角形中线将三角形可分为面积相等的两个三角形得可求出阴影部分的面积及圆的 解析：13【分析】利用一次函数解析式求出点A 、B 的坐标，即可得6OA =，OB =AB =，求出BC OC AC ===OBC 是等边三角形，可得60OBA ∠=︒，根据圆周角定理求出扇形圆心角的度数，并由三角形中线将三角形可分为面积相等的两个三角形得OBC OAC SS =，可求出阴影部分的面积及圆的面积，利用面积比即可求出结论．【详解】解：∵一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， 令0y =，则6x =，∴()6,0A -，令0x =，则y =∴(0,B ，∴6OA =，OB =在Rt AOB 中，由勾股定理得：AB ==， ∴BC OC AC ===，∴BC OC OB ==，∴OBC 是等边三角形，∴60OBA ∠=︒， ∴120ACO ∠=︒，∵OC 是AB 边上的中线，∴OBC OAC S S =，∴(2120=4360ACO S S ππ==阴影扇形， (212C S ππ==, ∴针尖落在阴影部分的概率41123P ππ==． 故答案为：13． 【点睛】 此题考查了几何概率，掌握几何概率的计算方法及求出阴影部分的面积是解题的关键． 14．3π【分析】根据正方形的性质可得边相等角相等根据扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E 可得△BCE 的形状根据图形的割补可得阴影的面积是扇形根据扇形的面积公式可得答案【详解】解：正方形ABCD 中∴∠DCB解析：3π【分析】根据正方形的性质，可得边相等，角相等，根据扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E ，可得△BCE 的形状，根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形，根据扇形的面积公式，可得答案．【详解】解：正方形ABCD 中，∴∠DCB =90°，DC =AB =6cm ．扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E ，∴△BCE 是等边三角形，∠ECB =60°，∴∠DCE =∠DCB -∠ECB =30°．根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形DCE ，S 扇形DCE =π×62×30360=3π， 故答案为3π．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，扇形的面积，灵活应用图形的割补是解题关键． 15．140°【分析】根据三角形的内心得出根据三角形内角和定理求出进而可求得的度数根据圆周角定理即可求得∠BOC 【详解】解：在△ABC 中∠BIC=125°I 是内心∴∴∴∴∵O 是外心∴故答案为：140°【点解析：140°【分析】 根据三角形的内心得出11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠=，根据三角形内角和定理求出55IBC ICB ∠+∠=︒，进而可求得A ∠的度数，根据圆周角定理即可求得∠BOC ．【详解】解：在△ABC 中，∠BIC =125°，I 是内心， ∴11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠=， ∴18055IBC ICB BIC ︒∠+∠=-∠=︒，∴222()110,ABC ACB IBC ICB IBC ICB ∠+∠=∠+∠=∠∠=︒+∴180()70A ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒，∵O 是外心，∴2140BOC A ∠=∠=︒,故答案为：140°．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点．正确识别图中相关角是解题关键．16．23°【分析】连接OBOC 根据垂径定理求出再根据角的性质计算出根据计算出从而能够求出最后根据⊥求出的大小【详解】连接OBOC ∵D 是BC 的中点∴∵∴∴∵⊥∴故答案为：【点睛】本题考查圆的垂径定理圆周角解析：23°【分析】连接OB 、OC ，根据垂径定理求出BOD ∠，再根据角的性质计算出AOB ∠，根据OA OB =计算出ABO ∠，从而能够求出ABC ∠，最后根据CF ⊥AB ，求出BCF ∠的大小．【详解】连接OB 、OC∵OB OC =，D 是BC 的中点 ∴1702BOD BOC BAC ===︒∠∠∠ 1567086AOB AOD BOD =-=︒-︒=︒∠∠∠∵OA OB =∴18086472ABO ︒-︒==︒∠ 907020OBC =︒-︒=︒∠∴472067ABC ABO OBC =+=︒+︒=︒∠∠∠∵CF ⊥AB∴90906723BCF ABC =︒-=︒-︒=︒∠∠故答案为：23︒【点睛】本题考查圆的垂径定理，圆周角和圆心角关系，以及直角三角形的性质，属于基础题． 17．24cm 【分析】连接OAOB 由切线长定理可得：PA=PBDA=DCEC=EB ；由勾股定理可得PA 的长△PDE 的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB 即可求得△PDE 的周长【解析：24cm【分析】连接OA 、OB ，由切线长定理可得：PA=PB ，DA=DC ，EC=EB ；由勾股定理可得PA 的长，△PDE 的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB ，即可求得△PDE 的周长.【详解】解：连接OA 、OB ，如图所示：∵PA、PB为圆的两条切线，∴由切线长定理可得：PA=PB，同理可知：DA=DC，EC=EB；∵OA⊥PA，OA=5cm，PO=13cm，∴在Rt△POA中，由勾股定理得：PA=2222-=-=cm，13512OP OA∴PA=PB=12cm；∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24cm，故答案为：24cm.【点睛】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长.18．6【分析】连接OB如图利用垂径定理得到AC=BC=2则利用勾股定理可计算出OC=11利用垂线段最短当OC经过点D时点D到AB的距离的最小然后计算出OD的长从而得到点D到AB的距离的最小值【详解】解：解析：6【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC=BC=2，则利用勾股定理可计算出OC=11，利用垂线段最短，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．【详解】解：连接OB，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=1AB=2，2在Rt△OBC中，2222OB BC-=-=，(55)211当OC经过点D时，点D到AB的距离最小，∵22+，43∴点D到AB的距离的最小值为11-5=6．故答案为6．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．19．（π+2）cm2【分析】连接DOAD求出圆的半径求出∠BOD和∠DOA的度数再分别求出△BOD和扇形DOA的面积即可【详解】解：连接ODAD在△ABC中AB＝AC∠ABC＝45°∴∠C＝45°∴∠B解析：（π+2）cm2．【分析】连接DO、AD，求出圆的半径，求出∠BOD和∠DOA的度数，再分别求出△BOD和扇形DOA的面积即可．【详解】解：连接OD、AD，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，∴∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是Rt△BAC，∵BC＝42，∴AC＝AB＝4，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，BO＝DO＝2，∵OD＝OB，∠B＝45°，∴∠B＝∠BDO＝45°，∴∠DOA＝∠BOD＝90°，∴阴影部分的面积S＝S△BOD+S扇形DOA＝2902122 3602π⨯+⨯⨯＝π+2．故答案为（π+2）cm²．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解直角三角形等知识点，能求出扇形DOA的面积和△DOB的面积是解此题的关键．20．【分析】由为直径可得∠BAC=∠BDC=90°由平分可证BD=DC 可得∠DBC=∠DCB=45°可求∠ABC=90°-∠ACB=25°可求∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°即可【详解】解：∵是的内解析：70︒【分析】由BC 为直径，可得∠BAC=∠BDC=90°由AD 平分BAC ∠，可证BD=DC ，可得∠DBC=∠DCB=45°，65ACB ∠=︒，可求∠ABC=90°-∠ACB=25°，可求∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°即可．【详解】解：∵BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，∴∠BAC=∠BDC=90°∵AD 平分BAC ∠，∴∠BAD=∠CAD ， ∴BD DC =，∴BD=DC ，∴∠DBC=∠DCB=45°，∵65ACB ∠=︒，∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-65°=25°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=25°+45°=70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键．三、解答题21．（1）30°；（2）30DCE ∠=︒；CD =【分析】（1）连接OC ，由AB 是圆O 的直径，AB=2AC ，得到AOC △为等边三角形，根据等边三角形的性质得到60AOC ∠=︒，即可得到结论（2）连接OE ，OC ，根据切线的性质得到MC OC ⊥，得到EOB △是等边三角形，根据等边三角形的性质得到60EOB ∠=︒，求得18060COE EOB AOC ∠=︒-∠-∠=︒，推出OCE △是等边三角形，于是得到2CE OC ==，60EOC ∠=︒，根据勾股定理即可得到结论【详解】.解：（1）如图，连接OC ．O 的直径4AB =，2OA OC ．2AC =，OA OC AC ∴==．AOC ∴是等边三角形．60AOC ∴∠=︒．3102PC C A AO ∴∠=∠=︒． （2）如图，连接OC ，OE ．MC 是O 的切线，MC OC ∴⊥．BD MC ⊥，90MCO CDB ∴∠=∠=︒．//BD OC ∴．60B AOC ∴∠=∠=︒．OB OE =，EOB ∴是等边三角形．60EOB ∴∠=︒．18060COE EOB AOC ∴∠=︒-∠-∠=︒．OC OE =，OCE ∴是等边三角形．2CE OC ∴==，60ECO ∠=︒．9030DCE ECO ∴∠=︒-∠=︒在Rt CDE △中，2CE =， 112DE CE ∴==，2222213CD CE DE =-=-=【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，22．()145︒；()28242π-- 【分析】 （1）由作图可知，BE=BC=4，勾股定理求出AE 长即可求ABE ∠的度数；（2）阴影部分的面积是矩形面积减去△ABE 面积再减去扇形EBC 面积．【详解】解：（1）由作图可知，BE=BC=4，∵∠A=90°，22AB =，∴22224(22)22AE BE AB =-=-=，∴AB=AE ，∴45ABE ∠=；（2）由（1）可知∠EBC=45°，ABE ABCD EBC S S S S =--△阴矩形扇形，()221454224222360S π⨯=⨯-⨯-︒阴， 8242π=--．【点睛】本题考查了勾股定理，扇形面积公式，等腰三角形的性质，解题关键是理解作图意义，熟练运用勾股定理和扇形面积公式．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）求出OD ∥BC ，根据切线的性质得出OD ⊥ED ，即可求出答案；（2）求出△DBE ∽△ADE ，根据相似得出比例式，即可得出答案．【详解】证明：（1）连接OD ，∵OA=OD ，AB=BC ，∴∠A=∠C ，∠A=∠ODA ，∴∠C=∠ODA ，∴OD ∥BC ，∴∠BFE=∠ODE ，∵DE 为⊙O 的切线，∴∠ODE=90°，∴∠BFE=90°，∴DF ⊥BC ；（2）连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A ＋∠ABD=90°，∵∠ODE=90°，∴∠ODB ＋∠BDE=90°，∵OD=OB ，∴∠ODB=∠ABD ，∴∠A=∠BDE ，∵∠E=∠E ，∴△DBE ∽△ADE ， ∴AE DE DE BE=， ∴DE 2=AE•BE ．【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理和切线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24．（1）见解析；（2）254AB =【分析】（1）根据垂径定理的推论可得AB MN ⊥，再结合//MN BC ，即可得出BC AB ⊥，即可得证；（2）连接OM ，设半径是r ，在Rt OEM ∆中运用勾股定理求解出r ，即可求出AB 的长度．【详解】 （1）证明：3ME NE ==，AB 为直径，AB MN ∴⊥，又//MN BC ，BC AB ∴⊥，BC ∴是O 的切线；（2）解：连接OM ，如图， 设OM 的半径是r ，在Rt OEM ∆中，4,3,OE AE OA r ME OM r =-=-==， 222OM ME OE =+，2223(4)r r ∴=+-， 解得：258r =， 2524AB r ∴==．【点睛】本题考查了圆中切线的证明，垂径定理的推论等，熟练掌握切线的判定方法以及灵活运用垂径定理是解决此类题的关键．25．（1）3；（2）23π． 【分析】（1）如图，作BH ⊥AD 于H ，利用平行四边形的性质可得//AD BC ，则可计算出60?A ，解直角三角形求出BH 即可．（2）如图，连接BD 、BF ，根据旋转性质与60?A可证明△ABE 是等边三角形，利用勾股定理求出BD ，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：（1）如图，作BH AD ⊥于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴180?A ABC ∠+∠=，∵°120ABC ∠=，∴60?A ，∵90?AHB ∠=， ∴0sin 603BH AB ==． （2）如图，连接,BD BF ．在Rt ABH ∆中，∵30?,2ABH AB ∠==，∴112AH AB ==， ∴3DH AD AH =-=，∴()223323BD BF ==+=，∵,60?BA BE A =∠=，∴ABE ∆是等边三角形，∴60?ABE DBF ∠=∠=，∴点D 经过的路径长6023231803ππ==． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行四边形的性质、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（1）①见解析；②见解析；（2）3r =【分析】（1）①直接用直径所对圆周角是90°进行解题即可；②找到∠CAD=∠ABD 和∠ADC=∠BDA ，两个角相等即可证明两个三角形相似；（2）利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可求出半径的长度；【详解】（1）①如图所示，连接AO ，由BC 是直径得90BAC ∠=，∵ OB=OA ，∴∠B=∠OAB ，∵∠CAD=∠B ，∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠OAC+∠OAB=90°，∴AD 为圆的切线；②在△ACD 和△BAD 中，∠CAD=∠ABD ，∠ADC=∠BDA ，∴△ACD ∽△BAD（2）由（1）知△ACD ∽△BAD ∴DA DC AC DB DA AB==， ∵1tan 2B =， ∴1tan 2AC B AB == ， ∴12DA DC DB DA ==， 则2AD CD = ， 即182AD AD BD == ， 得AD=4， ∴ 122CD AD == ， ∴ BC=BD-CD=8-2=6，∴半径3r =；【点睛】 本题考查了直径所对圆周角等于90°，相似三角形的判定以及锐角三角函数，正确掌握知识点是解题的关键；。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1B．2C．﹣2D．32．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）3．抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．B．C．﹣4D．44．下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）C．与y轴相交于点（0，﹣3）D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小5．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 6．函数y＝ax+1与y＝﹣ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若将双曲线y＝向下平移3个单位后，交抛物线y＝x2于点P（a，b），则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．＜a＜1C．1＜a＜2D．2＜a＜38．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），则△AOB的面积为（）A．8B．12C．16D．410．已知经过点（﹣1，0）且对称轴为x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，满分24分）11．函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝．12．已知抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线．13．在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）14．将抛物线y＝x2+x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是．15．抛物线y＝x2+bx+c的图象上有两点A（1，m），B（5，m），则b的值为．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…123456…y…0﹣3﹣4﹣305…则当x＝0时，y的值为．17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是．18．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当x＝﹣1时y的值．20．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．（1）若抛物线L有最高点，求m的取值范围；（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．21．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），过点A作直线l交抛物线于点B（4，m）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．22．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．23．如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？24．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+a2+2a．（1）当a＝1时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；（2）当a＝2时，直线y＝2x与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；（3）若抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2a与直线x＝4交于点A，求点A到x轴的最小值．25．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为14元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出260千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出210千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天要获得利润1920元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？（3）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，故选：C．2．解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），故选：B．3．解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，∴c＝．故选：B．4．解：A、∵a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；B、抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），故本小题正确，不合题意；C、令x＝0，则y＝﹣1﹣3＝﹣4，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣4），故不正确，符合题意；D、抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小，故本小题正确，不合题意；故选：C．5．解：∵y＝2x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵2﹣1＜1﹣（﹣1）＜1﹣（﹣3），∴y1＞y2＞y3．故选：B．6．解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝﹣ax2+ax+1可知两函数图象交y轴上同一点（0，1），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，在y轴的右侧，A、抛物线的开口方向向下，故选项不合题意；B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项符合题意；C、抛物线的开口方向向下，故选项不合题意；D、抛物线的对称轴在y轴的左侧，故选项不合题意；故选：B．7．解：双曲线y＝向下平移3个单位后的函数为y′＝﹣3，∵y′＝﹣3交抛物线y＝x2于点P（a，b），∴﹣3＝a2，整理得，a3+3a﹣2＝0，令y＝a3+3a﹣2，且y随a的增大而增大．当a＝0时，y＝﹣2＜0，当a＝时，y＝+﹣2＝﹣＜0，当a＝1时，y＝1+3﹣2＝2＞0，∴若a3+3a﹣2＝0，则a的取值范围为：＜a＜1．故选：B．8．解：把A代入得：＝﹣×9+k，∴k＝，∴y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故选：C．9．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），∴对称轴为直线x＝＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4，∵点A或点B在y轴上，∴AB＝4，∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，即16﹣4c＝0，∴c＝4，∴△AOB的面积为：＝8．故选：A．10．解：由图可知，抛物线对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；由图象经过点（﹣1，0）可得，a﹣b+c＝0，故②错误；∵抛物线对称轴是直线x＝1，∴x＝0和x＝2时，函数值相等，而x＝0时c＞0，∴4a+2b+c＞0，故③正确；∵b＝﹣2a，∴④错误；∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0，故⑤错误；∴正确的有③，共1个，故选：A．二．填空题（共8小题，满分24分）11．解：∵函数y＝x2m﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，∴2m﹣1＝2，∴m＝．故答案为：．12．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故答案为：x＝2．13．解：∵函数y＝（x﹣1）2+1，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．14．解：∵y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，∴将抛物线y＝x2+x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是y＝（x++2）2﹣+3，即y＝x2+5x+8，故答案为：y＝x2+5x+8．15．解：∵抛物线经过A（1，m），B（5，m），∴抛物线对称轴为直线x＝3，∴﹣＝3，解得b＝﹣6，故答案为：﹣6．16．解：依据表格可知抛物线的对称轴为x＝3，∴当x＝0时与x＝6时函数值相同，∴当x＝0时，y＝5．故答案为：5．17．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．故答案为﹣5≤x≤2．18．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m＝4，故答案为：4．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：（1）∵y与x2成正比例，∴设y＝kx2（k≠0），∵当x＝1时，y＝2，∴2＝k•12，解得，k＝2，∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2．（2）∵函数关系式为y＝2x2，∴当x＝﹣1时，y＝2×1＝2．20．解：（1）∵抛物线L有最高点，∴m﹣2＜0，∴m＜2；（2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的性状相同，开口方向相反，∴m﹣2＝﹣1，∴m＝1．21．解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣4ax+3得：0＝4a+8a+3，解得，∴抛物线为，∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为（2，4）；（2）把B（4，m）代入得，m＝﹣4+4+3＝3，将A（﹣2，0），B（4，3）代入y＝kx+b得，解得，∴直线AB的解析式为，∵顶点的横坐标为2，把x＝2代入得：y＝2，∴n＝4﹣2＝2．22．解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4；（2）∵y＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），当x＝0时，y＝﹣3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），二次函数的图象如图所示：（3）观察图象得，当x＝﹣1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣4时，y取最大值，代入函数得，y＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴当﹣4≤x≤0时，﹣4≤y≤5．23．解：（1）设AB为x米，则BC＝（32﹣2x）米，由题意得：x（32﹣2x）＝96，解得：x1＝4，x2＝12，∵墙长为14米，32米的篱笆，∴32﹣2x≤14，2x＜32，∴9≤x＜16，∴x＝12，∴AB＝12，答：矩形的边AB的长为12米；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（32﹣2x）米，∴y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∵9≤x＜16，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，∴当x＝9时，y有最大值是126，答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．24．解：（1）∵a＝1，∴y＝x2﹣2ax+a2+2a＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1．（2）把a＝2代入y＝x2﹣2ax+a2+2a得y＝x2﹣4x+8，令x2﹣4x+8＝2x，解得x1＝2，x2＝4，把x＝2代入y＝2x得y＝4，把x＝4代入y＝2x得y＝8，∴直线与抛物线交点坐标为（2，4），（4，8），∴线段长度为＝2．（3）把x＝4代入y＝x2﹣2ax+a2+2a得y＝16﹣8a+a2+2a＝（a﹣3）2+7，∴点A纵坐标为（a﹣3）2+7，∵（a﹣3）2+7≥7，∴点A到x轴最小距离为7．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，∵点C的横坐标是2，y C＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），①当AB为对角线时，则，解得：，∴E（0，3）；②当AC为对角线时，则，解得：，∴E（﹣2，﹣3）；③当BC为对角线时，则，解得：，∴E（6，﹣3）．综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．如图平面直角坐标系中，点A ，B 均在函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图像上，⊙A 与x 轴相切，⊙B 与y 轴相切，若点B （1，8），⊙A 的半径是⊙B 半径的2倍，则点A 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（3，4）D ．（4，2） 2．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）A ．12B ．25C ．35D ．233．如图，AB 是O 的直径，8AB =，点C 、D 、E 在O 上，45CAB ∠=︒，CD DE EB ==，P 是直径AB 上的一动点，则PCE 周长的最小值为（ ）A ．243+B ．43+C ．83+D ．124．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D E 、，则CDE △面积的最小值为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．345．如图，已知,ABC O △为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC OC 、交于点E D 、，设,C a A β∠=∠=，则（ ）A ．若70αβ+=︒，则弧DE 的度数为20︒B ．若70αβ+=︒，则弧DE 的度数为40︒C ．若70αβ-=︒，则弧DE 的度数为20︒D ．若70αβ-=︒，则弧DE 的度数为40︒ 6．CD 是圆O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若OE =3，AE =4，则下列说法正确的是（ ）A ．AC 的长为25B ．CE 的长为3C ．CD 的长为12 D ．AD 的长为107．如图，P 是正方形ABCD 内的一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转到与△CBP '重合，若PB ＝3，则点P 经过的路径长度为（ ）A ．3B ．2C ．32πD ．34π 8．如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，其中C 、D 在AB 下方，E 在AB 上方，则∠C +∠D 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．80°D ．90°9．如图，AB 为半圆O 的直径，M ，C 是半圆上的三等分点，8AB =，BD 与半圆O 相切于点B ．点P 为AM 上一动点（不与点A ，M 重合），直线PC 交BD 于点D ，BE OC ⊥于点E ，延长BE 交PC 于点F ，则下列结论正确的个数有（ ）①PB PD =；②BC 的长为43π；③45DBE ∠=︒；④BCF PCB ∽△△；⑤CF CP ⋅为定值A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 10．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．213B ．1313C ．313D ．2311．如图，AB 、CD 是O 的两条弦，且AB CD =．OM AB ⊥，ON CD ⊥，垂足分别为点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P ，连接OP ．下列结论正确的个数是（ ） ①AB CD =；②OM ON =；③PA PC =；④BPO DPO ∠=∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．4．如图，AD 是ABC ∆的外接圆O 的直径，若50BCA ︒∠=，则BAD ∠=（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒二、填空题13．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O ，其半径为12cm ，在距离圆心8cm 的点A 处发生虫蛀，现需沿过点A 的直线PQ 将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ 进行粘贴，则美化材料（即弦PQ 的长）最少需要_____cm ．14．如图，ABC 内接于O ，∠BAC=70°，D 是BC 的中点，且∠AOD=156°，AE ，CF 分别是BC ，AB 边上的高，则∠BCF 的度数是____________．15．已知O 的半径为1，AB 是O 的弦，2AB =P 为O 外一点，且PA 切O 于点A ，1PA =，则线段PB 的长为________． 16．如图，O 与抛物线212y x =交于,A B 两点，且4AB =，则O 的半径等于___________．17．如图，已知矩形ABCD 中3AB =，4BC =，将三角板的直角顶点P 放在矩形内，移动三角板保持两直角边分别经过点B 、C ，则PD 的最小值为________．18．如图，在ABC 中，D 是边BC 上的一点，以AD 为直径的O 交AC 于点E ，连接DE ．若O 与BC 相切，55ADE ∠=︒，则C ∠的度数为______19．如图，ABC 内接于O ，30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，若O 的半径为4，则CD 的长为______．20．如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形ADE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形ADE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是________．三、解答题21．已知O 及O 外一点P ，在O 上找一点,M 使得PM OM ⊥，求作点M ．要求：尺规作图，保留作图痕迹．22．如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC CD =，⊙Ｏ的半径为3，BC 的长为π．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）求阴影部分面积．23．如图，O 的直径4AB cm =，AM 和BN 是它的两条切线，DE 与O 相切于点E ，并与AM ，BN 分别相交于D ，C 两点，设AD x =，BC y =，求y 关于x 的函数表达式，并在坐标系中画出它的图像．24．如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点O 为圆心，AB 为直径，点A ，B ，C ，D 是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中作出BD 边上的中线CE ．（2）在图2中作BCD ∠的角平分线CF ．25．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠P ＝44°．（1）如图①，若点C 为优弧AB 上一点，求∠ACB 的度数；（2）如图②，在（1）的条件下，若点D 为劣弧AC 上一点，求∠PAD ＋∠C 的度数． 26．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的 O 分别交BC AC 、边于点D F 、．过点D 作DE CF ⊥于点 E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）2,2AF DE EF -==，求O 的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】把B 的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式，根据⊙B 与y 轴相切，即可求得⊙B 的半径，则⊙A 的半径即可求得，即得到B 的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．【详解】解：把B 的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式得：k=8，则函数的解析式是：y=8x， ∵B 的坐标为（1，8），⊙B 与y 轴相切，∴⊙B 的半径是1，则⊙A 的半径是2，把y=2代入y=8x得：x=4， 则A 的坐标是（4，2）．故选：D ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及切线的性质，根据点B 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是解题的关键．2．A解析：A【分析】算出白色区域的面积与整个图形的面积之比即为所求概率．【详解】解：如图，过点A 作AG BF ⊥于点G∵ 六边形ABCDEF 为正六边形，∴BAF=120∠︒，=60FAG ∠︒设正六边形的边长为a，则222a AG FG ==⨯=，BF=2 ∴空白部分的面积为：13322ABFa S S ==⨯⨯⨯=△空白正六边形的面积为：226S ==六 ∴飞镖落在白色区域的概率为：12S P S ==空白六 故选：A【点睛】本题考查概率的求解，确定白色区域面积占整个图形面积的占比是解题的关键． 3．B解析：B【分析】根据圆周角定理可知∠COB=90°，结合圆的对称性可知PCE 周长的最小值为CE C E '+，根据圆周角定理可得90CEC '∠=︒，再根据弧与圆心角的关系可知30CC E '∠=︒，解直角三角形即可．【详解】解：如下图所示，连接CO 并延长至C '，连接CE ，OE ，EC '，∵45CAB ∠=︒，∴∠COB=90°，∴C 点与C '点关于AB 所在直线对称，故当P 为EC '与AB 的交点时，PCE 周长的最小，此时CP PE C E '+=，∵CD DE EB ==， ∴1303BOE BOC ∠=∠=︒ ，60COE BOC BOE ∠=∠-∠=︒， ∴30CC E '∠=︒，∵CC '为直径，∴90CEC '∠=︒，8CC AB '==， ∴2214,()432CE CC C E CC CE '''===-=， ∴PCE 周长为CE EP CP ++，最小值为443CE C E '+=+，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，弧、圆心角的关系，勾股定理，圆的对称性，含30°角的直角三角形．能结合圆的对称性正确作出辅助线是解题关键．4．A解析：A【分析】连接OB ,取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN DE ⊥于N ，先证明点C 的运动轨迹是以点(1,0)M 为圆心，1为半径的M ，设M 交MN 于点C '，解得直线DE 与坐标轴的交点，即可解得OD OE 、的长，再由勾股定理解得DE 的长，接着证明DNMDOE 解得MN 的长，最后当点C 与点C '重合时， 此时CDE △面积的最小值，据此解题．【详解】解：如图，连接OB ,取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN DE ⊥于N ，,AC CB AM OM ==112MC OB ∴== C ∴的运动轨迹是以点(1,0)M 为圆心、半径为1的圆，设M 交MN 于点C '， 直线DE 的解析式为334y x =-， 令0x =，得3y =- (0,3)E ∴-令0y =，得4x =(4,0)D ∴3,4,OE OD ∴==3DM = 22345DE ∴=+= ,MDN ODE MND DOE ∠=∠∠=∠DNM DOE ∴MN DM OE DE ∴= 335MN ∴= 95MN ∴= 94155C N '∴=-= 当点C 与点C '重合时，此时CDE △面积的最小值11452225DE C N '=⋅=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 5．B解析：B【分析】连接BD ，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ABD =90°，又由A β∠=，可求得∠ADB =90β︒-，再根据∠ADB =∠DBC +∠C ，可得∠DBC =90βα︒--，从而求出弧DE 的度数．【详解】解：连接BD ，∵AD 是直径，∴90ABD ∠=︒，∴90A ADB ∠+∠=︒，∴90ADB β∠=︒-，又∵∠ADB =∠DBC +∠C ，∴()90DBC αβ∠=︒-+，若70αβ+=︒，则()90907020DBC αβ∠=︒-+=︒-︒=︒，∴弧DE 的度数20240=︒⨯=︒，故选B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理及推论、三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理、构造直径所对圆周角是解题的关键．6．A解析：A【分析】连接AO ，分别在Rt △AOE 中，Rt △ACE 中，Rt △ADE 中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可．【详解】解：连接AO ，∵AB ⊥CD 于点E ，OE =3，AE =4，∴在Rt △AOE 中，根据勾股定理 2222435AO AE OE =+=+=,∵CD 为圆O 的直径，∴OC=OD=OA=5，∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B 选项和C 选项错误；在Rt △ACE 中，根据勾股定理22224225AC AE CE =+=+=，故A 选项正确；在Rt △ADE 中，根据勾股定理22224(35)45AD AE OD =+=++=，故D 选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件．7．C解析：C【分析】根据旋转的性质，可得BP′的长，∠PBP′的度数，得到P 点运动轨迹为四分之一圆，圆的半径为3，根据弧长公式即可求解．【详解】由旋转的性质，得BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°，P 点运动轨迹为四分之一圆，圆的半径为3，∴弧PP ' =90331801802n r πππ⨯⨯== 故选C ．【点睛】此题考查旋转的性质、正方形的性质、弧长公式，重点是熟记弧长公式． 8．D解析：D【分析】 连接OE ，根据圆周角定理即可求出答案．【详解】解：连接OE ，根据圆周角定理可知：∠C ＝12∠AOE ，∠D ＝12∠BOE ， 则∠C +∠D ＝12（∠AOE +∠BOE ）＝90°， 故选：D ．【点睛】 本题考查了圆周角的性质，解题关键是连接半径，构造圆心角，依据圆周角与圆心角的关系进行计算．9．B解析：B【分析】①连接AC ，并延长AC ，与BD 的延长线交于点H ，若PD=PB ，得出P 为AM 的中点，与实际不符，即可判定正误；②先求出∠BOC ，再由弧长公式求得BC 的长度，进而判断正误；③由∠BOC=60°，得△OBC 为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE ，再由角的和差关系得∠DBE ，便可判断正误；④证明∠CPB=∠CBF=30°，∠PCB=∠BCF ，可得△BCF ∽△PCB 相似；⑤由等边△OBC 得BC=OB=4，再由相似三角形得CF•CP=BC 2，便可判断正误．【详解】解：①连接AC ，并延长AC ，与BD 的延长线交于点H ，如图1，∵M ，C 是半圆上的三等分点，∴∠BAH=30°，∵BD 与半圆O 相切于点B ．∴∠ABD=90°，∴∠H=60°，∵∠ACP=∠ABP ，∠ACP=∠DCH ，∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°，∵∠PBD=90°-∠ABP ，若∠PDB=∠PBD ，则∠ABP+60°=90°-∠ABP ，∴∠ABP=15°，∴P 点为AM 的中点，这与P 为AM 上的一动点不完全吻合，∴∠PDB 不一定等于∠ABD ，∴PB 不一定等于PD ，故①错误；②∵M ，C 是半圆上的三等分点，∴∠BOC=13×180°＝60°， ∵直径AB=8，∴OB=OC=4， ∴BC 的长度=41806043ππ⨯=， 故②正确；③∵∠BOC=60°，OB=OC ，∴∠ABC=60°，OB=OC=BC ，∵BE ⊥OC ，∴∠OBE=∠CBE=30°，∵∠ABD=90°，∴∠DBE=60°，故③错误；④∵M 、C 是AB 的三等分点，∴∠BPC=30°，∵∠CBF=30°，∠PCB=∠BCF ，∴△BCF ∽△PCB故④正确；⑤∵∠CBF=∠CPB=30°，∠BCF=∠PCB ，∴△BCF ∽△PCB ， ∴CB CF CP CB=， ∴CF•CP=CB 2， ∵CB ＝OB ＝OC ＝12AB ＝4， ∴CF•CP=16，故⑤正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用． 10．C解析：C【分析】根据圆周角定理得到ADC ABC ∠=∠，再根据余弦的定义计算即可；【详解】由图可知ADC ABC ∠=∠，在Rt △ABC 中，2AC =，3BC =，∴AB =∴cos ∠ADC 3cos13BC ABC AB =∠===； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、余弦定理、勾股定理，准确计算是解题的关键． 11．D【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．【详解】解：如图连接OB、OD；∵AB=CD，∴AB CD=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点睛】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．B解析：B【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【详解】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∵∠BCA=50°，∴∠ADB=∠BCA=50°，∠=90°-50°=40°∴BAD故选：B．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题13．8【分析】如图连接OA 过点A 作弦P′Q′⊥OA 连接OQ′此时P′Q′的值最小利用勾股定理以及垂径定理求解即可【详解】解：如图连接OA 过点A 作弦P′Q′⊥OA 连接OQ′此时P′Q′的值最小在Rt △OA解析：85【分析】如图，连接OA ，过点A 作弦P ′Q ′⊥OA ，连接OQ ′，此时P ′Q ′的值最小．利用勾股定理以及垂径定理求解即可．【详解】解：如图，连接OA ，过点A 作弦P ′Q ′⊥OA ，连接OQ ′，此时P ′Q ′的值最小．在Rt △OAQ ′中，AQ ′22OQ OA '-22128-＝5cm ），∵OA ⊥P ′Q ′，∴AQ ′＝AP ′，∴P ′Q ′＝2AQ ′＝5cm ），故答案为：5【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．23°【分析】连接OBOC 根据垂径定理求出再根据角的性质计算出根据计算出从而能够求出最后根据⊥求出的大小【详解】连接OBOC ∵D 是BC 的中点∴∵∴∴∵⊥∴故答案为：【点睛】本题考查圆的垂径定理圆周角解析：23°【分析】连接OB 、OC ，根据垂径定理求出BOD ∠，再根据角的性质计算出AOB ∠，根据OA OB =计算出ABO ∠，从而能够求出ABC ∠，最后根据CF ⊥AB ，求出BCF ∠的大小．【详解】连接OB 、OC∵OB OC =，D 是BC 的中点 ∴1702BOD BOC BAC ===︒∠∠∠ 1567086AOB AOD BOD =-=︒-︒=︒∠∠∠∵OA OB =∴18086472ABO ︒-︒==︒∠ 907020OBC =︒-︒=︒∠∴472067ABC ABO OBC =+=︒+︒=︒∠∠∠∵CF ⊥AB∴90906723BCF ABC =︒-=︒-︒=︒∠∠故答案为：23︒【点睛】本题考查圆的垂径定理，圆周角和圆心角关系，以及直角三角形的性质，属于基础题． 15．1或【分析】先利用勾股定理逆定理求出∠AOB 是直角再利用一组对边平行且相等得到四边形APBO 是平行四边形从而PB 的长等于半径OA 另当B 在右侧时还需讨论【详解】解：①如图所示：连接OAOB ∵OA=OB解析：1或5【分析】先利用勾股定理逆定理求出∠AOB 是直角，再利用一组对边平行且相等得到四边形APBO 是平行四边形，从而PB 的长等于半径OA ．另当B 在右侧时，还需讨论．【详解】解：①如图所示：连接OA 、OB ．∵OA=OB=1，2，∴根据勾股定理的逆定理，得∠AOB=90°，根据切线的性质定理，得∠OAP=90°，则AP ∥OB ，又AP=OB=1，所以四边形PAOB 是平行四边形，所以PB=OA=1；②当B 在右侧时，如图所示：与①同理可证四边形APOB 是平行四边形，且∠AOB=90°， ∴11,222OC AC BP BC ===， 在Rt △OBC 中，根据勾股定理 222215()122BC OC OB =+=+=， ∴PB=25BC =故答案为：15【点睛】考查了圆的性质、平行四边形判定和性质以及勾股定理，解题关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，进一步发现特殊四边形平行四边形．16．【分析】连接OA 设AB 与y 轴交于点C 由抛物线的对称性和圆的对称性得y 轴⊥AB 可得出点AB 的横坐标分别为−22再代入抛物线即可得出点AB 的坐标再根据勾股定理得出⊙O 的半径【详解】解：连接OA 设AB 与y 解析：2【分析】连接OA ，设AB 与y 轴交于点C ，由抛物线的对称性和圆的对称性得y 轴⊥AB ，可得出点A ，B 的横坐标分别为−2，2．再代入抛物线212y x =即可得出点A ，B 的坐标，再根据勾股定理得出⊙O 的半径．【详解】解：连接OA ，设AB 与y 轴交于点C ，由抛物线的对称性和圆的对称性得y 轴⊥AB ，∵AB ＝4，∴点A ，B 的横坐标分别为−2，2．∵⊙O 与抛物线212y x =交于A ，B 两点， ∴点A ，B 的坐标分别为（-2,2），（2，2），在Rt △OAC 中，由勾股定理得OA 22222222OC AC +=+=，∴⊙O 的半径为2 故答案为：2【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及二次函数图象上点的特征，求得点A 的坐标是解题的关键．17．【分析】点P 的运动轨迹是以BC 为直径在矩形内的半圆圆心在线段BC 的中点处连接圆心和点D 交半圆于点P 则此时PD 最短利用勾股定理求出OD 的长再减去OP 的长即可【详解】由题意可得：点P 的运动轨迹是以BC 为 132【分析】点P 的运动轨迹是以BC 为直径，在矩形内的半圆，圆心在线段BC 的中点处，连接圆心和点D ，交半圆于点P ，则此时PD 最短，利用勾股定理求出OD 的长，再减去OP 的长即可【详解】由题意可得：点P 的运动轨迹是以BC 为直径，在矩形内的半圆，圆心在线段BC 的中点处，设圆心为点O ，如图：连接OD ，交半圆与点P ，则此时PD 最短，4 BC=∴圆的半径122OP OC BC===3AB DC==在Rt DCO中22222313OD DC OC+=+132PD OD OP∴=-=132．【点睛】本题考查了最值问题，矩形的性质，勾股定理，解题关键是能准确分析出点P的运动轨迹．18．55°【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED=90°由切线的性质得∠ADC=90°然后由同角的余角相等得∠C=∠ADE=55°【详解】解：∵AD为的直径∴∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=9解析：55°【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED=90°，由切线的性质得∠ADC=90°，然后由同角的余角相等得∠C=∠ADE=55°．【详解】解：∵AD为O的直径，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∵O与BC相切，∴∠ADC=90°，∴∠DAE+∠C=90°，∴∠C=∠ADE=55°．故答案为55°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆的相关概念及性质，互余关系等知识点．掌握圆的相关性质是解题的关键．19．【分析】连接COOB 则∠O ＝2∠CAB ＝60°得到△BOC 是等边三角形求得BC ＝4根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：如图连接COOB ∵则∠O ＝2∠CAB ＝60°∵OC ＝OB ∴△BOC 是 解析：22【分析】连接CO ，OB ，则∠O ＝2∠CAB ＝60°，得到△BOC 是等边三角形，求得BC ＝4，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，连接CO ，OB ，∵30CAB ∠=︒则∠O ＝2∠CAB ＝60°，∵OC ＝OB ，∴△BOC 是等边三角形，∵⊙O 的半径为4，∴BC ＝4，∵CD ⊥AB ，∠CBA ＝45°， ∴CD 2BC 2×4=2， 故答案为：2【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20．【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r 根据题意可得：AD=AE=4∠DAE ＝45°∵底面圆的周长等于弧长即解得：∴该圆锥的底面圆的半径是解析：12【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可得：AD=AE=4，∠DAE＝45°，∵底面圆的周长等于弧长，即454 2180rππ︒⨯⨯=︒解得：12r=，∴该圆锥的底面圆的半径是12，故答案为12．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．三、解答题21．如图所示，M点有两个，分别为M1，M2【分析】根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，以OP为直径作圆，根据尺规作图画出OP的垂直平分线，A点即为OP中点，画出圆即可得出OP⊥OM【详解】如图所示，连接OP，分别以O、P为半径，大于12OP为半径作圆弧，连接两个交点，与OP交于A点，A点即为OP的中点，以A点为圆心，OA为半径作圆，与O的交点即为M点【点睛】本题考察尺规作图，熟练掌握圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，以及垂直平分线的作法是解题的关键22．（1）见解析；（2）1234π-【分析】（1）根据弧长公式求得∠BOC=60°，进而求得∠D=30°，然后根据三角形内角和定理求得∠OCD=90°，即可证得CD是⊙O的切线；（2）求得∠AOC=120°，根据S阴影=S扇形OAC-S△OAC求得即可．【详解】（1）证明：连接OC，设∠BOC的度数为n°，则n3 180ππ⨯=解得n=60°，∴∠A=12∠BOC=30°，∵AC=CD，∴∠A=∠D=30°，∴∠OCD=180°-∠BOC-∠D=180°-30°-60°=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：作CH⊥OB于H，则CH=OC•sin60°=3×32=332，∵∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∴S阴影=S扇形OAC-S△OAC=21203603π⨯-133322⨯⨯=12934π-．【点睛】本题考查了切线的判定，扇形面积的计算等，求得∠BOC=60°是解题的关键．23．4yx=（x＞0）；作图见解析；【分析】做辅助线构造直角三角形，运用勾股定理及切线的性质定理可求出y关于x的函数解析式，再运用描点法做出函数图像即可；【详解】如图，过点D作DF BC⊥，∵AD 、BC 分别是圆O 的切线，∴90OAD OBF ∠=∠=︒，又∵DF BC ⊥，∴四边形ABFD 是矩形，∴4DF AB cm ==，BF AD =， ∵AD 、BC 、DC 分别是圆O 的切线， ∴DE DA x ==，CE CB y ==，CF y x =-，∴DC x y =+， 由勾股定理得：222DC DF CF =+，即()()2224x y y x +=-+， 整理得：4xy =， ∴4y x=， ∴y 关于x 的函数解析式为4y x=（x ＞0）； 如图，做图像：当1x =时，4y =；2x =时，2y =；4x =时，1y =； 过点()1,4，()2,2，()4,1，在平面直角坐标系内连线可得函数图像，【点睛】本题主要考查了切线的性质和反比例函数的解析式求解和作图，准确分析判断是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线之间的距离处处相等可取BD 中点E ，连接CE 即可；（2）连接OE 并延长，与圆O 交于点F ，连接CF 即可．【详解】解：（1）如图，CE 即为所作；（2）如图，CF即为所作．【点睛】本题考查了平行线之间的距离处处相等，垂径定理，圆周角定理，实质上是考验学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．25．（1）68°；（2）248°【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，根据圆周角定理即可得到结论；（2）连接AB，根据切线长的性质得到PA＝PB，得到∠PAB＝∠PBA＝68°，再根据圆内接四边形定理可求．【详解】解：（1）∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣44°＝136°，∴∠ACB＝1AOB＝68°；2（2）连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝44°，∴∠PAB＝∠PBA＝1（180°﹣44°）＝68°，2∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋68°＝248°．【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质和圆周角定理，解题关键是熟练运用圆的有关知识，恰当的连接辅助线，建立角与角之间的联系．26．（1）见解析；（2）5．【分析】（1）连接OD ，根据AB AC =，OD OB =得 C B ∠=∠，ODB B ∠=∠，即有C ODB ∠=∠，可证 //OD AC ，再根据DE CF ⊥可得90ODE DEC ∠=∠=︒，则可得 OD DE ⊥且OD 为O 的半径，可得DE 是O 的切线；（2）过点O 作OG AF ⊥于点G ，根据90OGE OGA ∠=∠=︒，根据垂径定理可得12AG GF AF ==，又90DEG ODE ∠=∠=︒，得四边形OGED 为矩形，则有OG DE =，OD GE =，设AG GF x ==，则2OA OD GE GF EF x ===+=+，2AF x =，222OG DE AF x ==-=-，在Rt OAG 中，根据勾股定理222AG OG OA +=得222(22)(2)x x x +-=+，解得13x =， 可得325OD =+=，即O 的半径为5．【详解】（1）证明：连接,OD DE CF ⊥，90DEC DEF ∴∠=∠=︒．,AB AC C B =∴∠=∠，,OD OB ODB B =∴∠=∠．C ODB ∴∠=∠．//OD AC ∴，90ODE DEC ∴∠=∠=︒，OD DE ∴⊥且OD 为O 的半径．DE ∴是O 的切线．（2）过点O 作OG AF ⊥于点G ，190,2OGE OGA AG GF AF ∴∠=∠=︒==． 又90DEG ODE ∠=∠=︒，∴四边形OGED 为矩形，,OG DE OD GE ∴==．设AG GF x ==，则2OA OD GE GF EF x ===+=+， 2AF x =，222OG DE AF x ==-=-．在Rt OAG 中，222AG OG OA +=，即222(22)(2)x x x +-=+，解得13x =，20x =（不合题意，舍去）325OD ∴=+=，即O 的半径为5．【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，掌握切线的判定定理、垂径定理是解题的关键．。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题(附答案详解)
∵⊙O的半径为7cm，OA=5cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．D
【解析】
【分析】
⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，则四边形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，选项A、B、C正确；由勾股定理得：CE＝ ，选项D不正确．
3．C
【解析】
【分析】
先利用两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵点P的坐标为（-3,4）
∵⊙O的半径为5，点 的坐标为（-1,0）
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
∴P为弧AB的中点
∴A与B错误．
∴PA＞OA，故C错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查同圆半径相等的性质，等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1．下列事件是必然事件的是（ ）A ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B ．若a 2＝b 2则有a ＝bC ．二次函数的图象是双曲线D ．圆的切线垂直于过切点的半径 2．如图平面直角坐标系中，点A ，B 均在函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图像上，⊙A 与x 轴相切，⊙B 与y 轴相切，若点B （1，8），⊙A 的半径是⊙B 半径的2倍，则点A 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（3，4）D ．（4，2） 3．如图，A B C D 、、、是O 上的点，180AOD BOC ∠+∠=︒．若2,6AD BC ==，则BOC ∆的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．124．如图，已知E 是ABC 的外心，P ，Q 分别是AB ，AC 的中点，连接EP ，EQ ，分别交BC 于点F ，D ．若10BF =，6DF =，8CD =，则ABC 的面积为（ ）A ．72B ．96C ．120D ．144 5．如图，AB 是O 的直径，8AB =，点C 、D 、E 在O 上，45CAB ∠=︒，CD DE EB ==，P 是直径AB 上的一动点，则PCE 周长的最小值为（ ）A ．243+B ．443+C ．83+D ．12 6．如图，O 的直径AB 交弦CD 相于点P ，且45,APC ∠=︒若33,3PC PD ==，则OA 的长为（ ）A ．3B ．23C ．32D ．157．CD 是圆O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若OE =3，AE =4，则下列说法正确的是（ ）A ．AC 的长为25B ．CE 的长为3C ．CD 的长为12D ．AD 的长为10 8．已知：O 的半径为2，3OA =，则正确的图形可能为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图．PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，AB ．若OA =1，∠APB =60°，则△PAB 的周长为（ ）A ．23B ．4C ．33D ．23+2 10．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC =4，BC =3时，则阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．6πC ．52π D ．12 11．如图，ABC 中，10,8,4AB AC BC ===，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交BC 的延长线于点D ，则CD 长为（ ）A ．10B ．9C ．45D ．812．如图，有一块半径为1m ，圆心角为120︒扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（ ）A ．13mB ．23mC ．23mD ．43m 二、填空题13．如图，从点P 引⊙O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，DE 切⊙O 于C ，交PA ，PB 于D ，E ．若△PDE 的周长为20cm ，则PA ＝______cm ．14．如图，四边形OABC 是菱形，点B ，C 在以点O 为圆心的弧EF 上，且∠1=∠2，若菱形边OA=3，则扇形OEF 的面积为___________15．如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径2OA =，45AOB ∠=︒，则点 O 所经过的最短路径的长是 ______ ．16．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，点C 在AB 上，DE 切⊙O 于C 交PA 、PB 于D 、E ，已知PO ＝13cm ，⊙O 的半径为5cm ，则△PDE 的周长是_____．17．如图，C 的半径为1，圆心坐标为()3,4C ，点()P m n ,是C 内或C 上的一个动点，则22m n +的最小值是__________．18．圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知扇形的半径为9，圆心角为120°，则圆锥的底面圆的半径为__________．19．如图所示的是边长为4的正方形镖盘ABCD ，分别以正方形镖盘ABCD 的三边为直径在正方形内部作半圆，三个半圆交于点O ，乐乐随机地将一枚飞镖投掷到该镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为________．20．已知扇形的弧长为4π，半径为9，则此扇形的圆心角为_______度．三、解答题21．一块含有30角的三角板ABC 如图所示，其中90C ∠=︒，30A ∠=︒，3BC cm =．将此三角板在平面内绕顶点A 旋转一周．（1）画出边BC 旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积．22．学校花园边墙上有一宽（BC ）为3的矩形门ABCD ，量的门框对角线AC 长为4cm ，为美化校园，现准备打掉地面BC 上方的部分墙体，使其变为以AC 为直径的圆弧形门，问要打掉墙体（阴影部分）的面积是多少？（结果中保留π，3）23．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接BD ．（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）若OE ＝3，AO ＝5，求AC 的长． 24．已知，如图，在ABC 中，90C ∠=︒，D 为BC 边中点．（1）尺规作图：以AC 为直径作O ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不需写作法）； （2）连接DE ，求证：DE 为O 的切线．25．如图所示的网格由小菱形组成，每个小菱形的边长均为Ⅰ个单位长度，且较小的内角为60°，ABC 的顶点都在网格的格点上，将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转60°，得到11A B C ．（1）画出旋转后的11A B C ；（2）直接写出在旋转过程中，点B 旋转到点1B 所经过的路径长；26．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，其中点B 的坐标为()2,1．（1）在平面直角坐标系中画出OAB ∆先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到111O A B ∆．并写出点1B 的坐标．（2）在平面直角坐标系中画出OAB ∆绕点O 逆时针旋转90︒得到22OA B ∆，并求出旋转过程中线段OA 所扫过的面积（结果保留π）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由三角形全等的判定方法可判断,A 由平方根的含义可判断,B 由二次函数的图像可判断,C 由圆的切线的性质可判断.D 再结合必然事件的概念可得答案．【详解】解：有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以是随机事件，故A 不符合题意；若22a b =则有,a b =±所以是随机事件，故B 不符合题意；二次函数的图象是抛物线，所以是不可能事件，故C 不符合题意；圆的切线垂直于过切点的半径，是必然事件，故D 符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是确定事件与随机事件的概念，同时考查了二次函数的图像，圆的切线的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．D解析：D【分析】把B 的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式，根据⊙B 与y 轴相切，即可求得⊙B 的半径，则⊙A 的半径即可求得，即得到B 的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．【详解】解：把B 的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式得：k=8，则函数的解析式是：y=8x， ∵B 的坐标为（1，8），⊙B 与y 轴相切，∴⊙B 的半径是1，则⊙A 的半径是2，把y=2代入y=8x得：x=4， 则A 的坐标是（4，2）．故选：D ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及切线的性质，根据点B 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是解题的关键．3．A解析：A【分析】作出辅助线延长BO 交O 于点E ，连接CE ，由此构建圆心角AOD COE ∠=∠，根据圆周角与弧长和弦长的关系得到2AD CE ==，再据此求出BEC △的面积，经由OB OE =即可求出BCE 的面积.【详解】解：如图延长BO 交O 于点E ，连接CE ，∵B O E 、、三点共线∴180COE BOC ∠+∠=︒，90BCE ∠=︒，∴CE BC ⊥，∵180AOD BOC ∠+∠=︒，∴AOD COE ∠=∠，∴AD CE =，∴2AD CE ==,∵6BC =， ∴1162622S BC CE ==⨯⨯=△BCE ， ∵OB OE =， ∴116322S S ==⨯=△BOC △BEC . 故选A.【点睛】本题主要考查圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，关键在于作出OB 的延长线OE ，来构造出圆心角相等，以此来解决问题. 4．B解析：B【分析】连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，根据三角形外心的定义，可得PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，进而求得AF ，DF ，AD 的长度，可知△ADF 是直角三角形，即可求出△ABC 的面积．【详解】如图，连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，∵点E 是△ABC 的外心，∴AE=BE=CE ，∴△ABE ，△ACE 是等腰三角形，∵点P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，∴PE ⊥AB ，QE ⊥AC ，∴PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，∴AF=BF=10， AD=CD=8，在△ADF 中，∵2222286=100=AD DF AF +=+，∴△ADF 是直角三角形，∠ADF=90°，∴S △ABC = ()()1122=1068896BF DF CD AD ⨯++⨯++=， 故选：B ．【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF 是直角三角形．5．B解析：B【分析】根据圆周角定理可知∠COB=90°，结合圆的对称性可知PCE 周长的最小值为CE C E '+，根据圆周角定理可得90CEC '∠=︒，再根据弧与圆心角的关系可知30CC E '∠=︒，解直角三角形即可．【详解】解：如下图所示，连接CO 并延长至C '，连接CE ，OE ，EC '，∵45CAB ∠=︒，∴∠COB=90°，∴C 点与C '点关于AB 所在直线对称，故当P 为EC '与AB 的交点时，PCE 周长的最小，此时CP PE C E '+=，∵CD DE EB ==， ∴1303BOE BOC ∠=∠=︒ ，60COE BOC BOE ∠=∠-∠=︒， ∴30CC E '∠=︒，∵CC '为直径，∴90CEC '∠=︒，8CC AB '==， ∴2214,()432CE CC C E CC CE '''===-= ∴PCE 周长为CE EP CP ++，最小值为443CE C E '+=+故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，弧、圆心角的关系，勾股定理，圆的对称性，含30°角的直角三角形．能结合圆的对称性正确作出辅助线是解题关键．6．D解析：D【分析】过点O 作OE CD ⊥，连接OC ，设OE x =，根据垂径定理计算即可；【详解】过点O 作OE CD ⊥，连接OC ，设OE x =，∵45APC ∠=︒，∴PE OE x ==， ∵33PC = ∴33CE x =-，∵CE DE =， ∴333x x -=+， ∴3x = ∴()==+=+=2222(3)2315OA OC OE CE故选：D ．【点睛】 本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．7．A解析：A【分析】连接AO ，分别在Rt △AOE 中，Rt △ACE 中，Rt △ADE 中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可．【详解】解：连接AO ，∵AB ⊥CD 于点E ，OE =3，AE =4，∴在Rt △AOE 中，根据勾股定理2222435AO AE OE +=+=,∵CD 为圆O 的直径，∴OC=OD=OA=5，∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B 选项和C 选项错误；在Rt △ACE 中，根据勾股定理22224225AC AE CE =+=+=A 选项正确；在Rt △ADE 中，根据勾股定理2222AD AE OD=+=++=，故D选项错误；4(35)45故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件．8．C解析：C【分析】根据圆的半径和OA的大小确定点A与圆的位置关系，从而作出判断即可．【详解】∵根据图的意义，得OA=2，与OA=3矛盾，∴A选项错误；∵根据图的意义，得OA＜2，与OA=3矛盾，∴B选项错误；∵根据图的意义，得OA＞2，且离圆较近，与OA=3相符，∴C选项正确；∵根据图的意义，得OA＞2，且离圆较远，与OA=3不符合，∴D选项错误；故选C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握圆心到点的距离与圆的半径的大小比较是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据切线的性质和切线长定理证明△PAB是等边三角形，PA⊥AO，根据直角三角形性质求出PA，问题得解．【详解】解：∵PA ，PB 是⊙O 的两条切线，∠APB =60°，∴PA =PB ，∠APO =12∠APB =30°，PA ⊥AO ， ∴△PAB 是等边三角形，∵PA ⊥AO ，∠APO ==30°，∴OP =2OA =2，∴PA =∴△PAB的周长为故选：C【点睛】 本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定，含30°角直角三角形性质，勾股定理等知识，考查知识点较多，熟知相关定理并能熟练运用是解题关键．10．A解析：A【分析】先根据勾股定理求出AB ，然后根据S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB 计算即可．【详解】根据勾股定理可得5=∴S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB =22211112222222AC BC AB AC BC πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++•- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()222141115343222222πππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6故选A ．【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键． 11．B解析：B【分析】如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，可得AD=AB=10，根据垂径定理可得DE=BE ，得CE=BE-BC=DE-4，再根据勾股定理即可求得DE 的长，进而可得CD 的长．【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，∴AD=AB=10，根据垂径定理，得DE=BE，∴CE=BE-BC=DE-4，根据勾股定理，得AD2-DE2=AC2-CE2，102-DE2=82-（DE-4）2，解得DE=132，∴CD=DE+CE=2DE-4=9，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．12．C解析：C【分析】设做成圆锥之后的底面半径为r，可得12012180rππ⋅=，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：设做成圆锥之后的底面半径为r，则12012180rππ⋅=，解得13 r=，∴这个圆锥体容器的高为22122133h⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选：C．【点睛】本题考查圆锥的计算，求出圆锥的底面半径是解题的关键．二、填空题13．10【分析】由于PAPBDE都是⊙O的切线可根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线PAPB长的和【详解】解：∵PAPBDE分别切⊙O于ABC∴PA=PBDA=DCEC=EB；∴C△PDE=PD+D解析：10【分析】由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线PA、PB 长的和．【详解】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=20；∴PA=PB=10，故答案为10．【点睛】此题主要考查的是切线长定理，能够发现△PDE的周长和切线PA、PB长的关系是解答此题的关键．14．3π【分析】算出扇形OEF的圆心角即可得到解答【详解】解：如图连结OB由题意可知：OC=OB=BC∴∠COB=60°∠COA=120°∵∠1=∠2∴∠FOE=∠COE+∠1=∠COE+∠2=∠COA解析：3π【分析】算出扇形OEF的圆心角，即可得到解答．【详解】解：如图，连结OB，由题意可知：OC=OB=BC，∴∠COB=60°，∠COA=120°，∵∠1=∠2，∴∠FOE=∠COE+∠1=∠COE+∠2=∠COA=120°，∴扇形OEF的面积=22 12012033360360OAπππ⨯⨯⨯⨯==，故答案为3π ．【点睛】本题考查扇形与菱形的综合应用，熟练掌握菱形的性质及扇形面积的计算是解题关键．15．【分析】利用弧长公式计算即可【详解】解：如图点的运动路径的长的长的长故答案是：【点睛】本题考查轨迹弧长公式等知识解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题解析：52π． 【分析】利用弧长公式计算即可．【详解】解：如图，点O 的运动路径的长1OO =的长1223O O O O ++的长902452902180180180πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++ 52π=， 故答案是：52π． 【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．24cm 【分析】连接OAOB 由切线长定理可得：PA=PBDA=DCEC=EB ；由勾股定理可得PA 的长△PDE 的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB 即可求得△PDE 的周长【解析：24cm【分析】连接OA 、OB ，由切线长定理可得：PA=PB ，DA=DC ，EC=EB ；由勾股定理可得PA 的长，△PDE 的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB ，即可求得△PDE 的周长.【详解】解：连接OA 、OB ，如图所示：∵PA 、PB 为圆的两条切线，∴由切线长定理可得：PA=PB ，同理可知：DA=DC ，EC=EB ；∵OA ⊥PA ，OA=5cm ，PO=13cm ，∴在Rt △POA 中，由勾股定理得： PA=222213512OP OA -=-=cm ，∴PA=PB=12cm ；∵△PDE 的周长=PD+DC+CE+PE ，DA=DC ，EC=EB ；∴△PDE 的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24cm ，故答案为：24cm.【点睛】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长.17．16【分析】由于圆心C 的坐标为（）点P 的坐标为利用勾股定理求出OC 的长这样把理解为点P 到原点的距离的平方利用图形可以得到当点P 运动到线段OC 上时点P 离原点最近即最小然后求出此时的PC 长即可解答【详解 解析：16【分析】由于圆心C 的坐标为（3、4），点P 的坐标为(),m n 利用勾股定理求出OC 的长， 222OP m n =+，这样把22m n +理解为点P 到原点的距离的平方，利用图形可以得到当点P 运动到线段OC 上时点P 离原点最近，即 22m n +最小，然后求出此时的PC 长即可解答【详解】连接OC 交圆O 于点P '圆心C 的坐标为（3、4），点P 的坐标为(),m n22345OC ∴=+=，222OP m n =+∴22m n +是点P 到原点的距离的平方∴当点P 运动到线段OC 上时，即P '处，点P 离原点最近，即 22m n +最小此时514OP OC PC =-=-=∴2216m n +=故答案为：16．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，以及勾股定理和坐标与图形的关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．18．3【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长再利用圆周长的公式求解即可【详解】扇形的半径为9圆心角为120°扇形的弧长圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长设圆解析：3【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长，圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，再利用圆周长的公式求解即可【详解】扇形的半径为9，圆心角为120°∴扇形的弧长12096180180n r l πππ⨯=== 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长设圆锥底面圆的半径为r26r ππ∴=3r ∴=故答案为：3．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图与底面圆之间的关系，弧长的计算，解题关键是熟知圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．19．【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心连接OAOD 则可得出所产生的四个小弓形的面积相等先得出2个小弓形的面积即可求阴影部分面积根据即可求得概率【详解】解：由题意易知两半圆的交点即为正方形的中心设此 解析：12【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心，连接OA ，OD ，则可得出所产生的四个小弓形的面积相等，先得出2个小弓形的面积，即可求阴影部分面积，根据ABCD S S 阴影正方形即可求得概率．【详解】解：由题意，易知两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O ，连接AO ，DO ，则图中的四个小弓形的面积相等，∵两个小弓形面积=14AOD AOD AOD ABCD S S S S --△半圆半圆正方形＝， 又∵正方形ABCD 的边长为4，∴各半圆的半径为2，∴两个小弓形面积=2112-44=2-424ππ⨯⨯⨯⨯， ∴=2S S ⨯阴影半圆-4个小弓形的面积=()22-22-4=8ππ⨯，∴飞镖落在阴影部分的概率为：81==162ABCD S S 阴影正方形， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查扇形的面积、正方形的性质、几何概率，解题的关键是求出小弓形的面积． 20．80【分析】设此扇形的圆心角为x°代入弧长公式计算得到答案【详解】解：设此扇形的圆心角为x°由题意得解得x=80故答案为：80【点睛】本题考查的是弧长的计算掌握弧长的公式是解题的关键解析：80【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此扇形的圆心角为x°， 由题意得，94180x ππ=， 解得，x=80，故答案为：80．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式180n r l π=是解题的关键． 三、解答题21．（1）画图见详解；（2）BC 扫过的面积S 圆环=9π=．【分析】（1）由三角板ABC 可求AB=2BC=6cm ，由勾股定理：AC=2236933AB BC -=-=，边BC 在平面内绕顶点A 旋转一周．图形是以AB 为半径的圆去掉以AC 为半径的圆，所形成的圆环，如图所示；（2）BC 扫过的面积S 圆环=22AB AC ππ-计算即可．【详解】解：（1）∵三角板ABC ，90C ∠=︒，30A ∠=︒，3BC cm =，∴AB=2BC=6cm ，∴由勾股定理：AC=2236933AB BC -=-=，边BC 在平面内绕顶点A 旋转一周．图形是以AB 为半径的圆去掉以AC 为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：（2）BC 扫过的面积S 圆环=2236279AB AC πππππ-=-=．【点睛】本题考查画旋转图形，勾股定理，30°直角三角形的性质，圆环面积，掌握画旋转图形方法，勾股定理，30°直角三角形的性质，圆环面积求法是解题关键．22．8-333π【分析】利用整个圆的面积减矩形的面积减扇形OBC 的面积加上三角形OBC 的面积，即可解答．【详解】由题可得：在Rt ABC 中4,2sin 26030120AB BC AB BC BAC AC BAC BCO BOC ==∴===∴∠==∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒要打掉的墙体面积OBC O ABCD OBC S S S S =--+△圆矩形扇形 ∴要打掉的墙体面积223238=-2234343O ABCD S S ππ=⋅⋅-⨯=-圆矩形 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，矩形、圆的面积公式及勾股定理，解题关键是结合图形通过面积转换得到规则的几何图形面积进而求解．23．（1）见解析；（2）8．【分析】（1）先根据垂径定理得出AD ＝CD ，再利用圆周角定理即可得出结论；（2）先根据垂径定理得出AE ＝12AC ，在Rt △AOE 中，利用勾股定理即可求出AE 的长，进而得出结论．【详解】（1）证明：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝CD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，即BD 平分∠ABC ；（2）解：∵OD ⊥AC ，∴AE ＝12AC ，∠OEA ＝90°， ∵OE ＝3，OA ＝5，∴在Rt △AOE 中，AE 2222534OE ，∴AC ＝2AE ＝8．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角性质等知识，熟练掌握垂径定理与圆周角的相关性质是解答此题的关键．24．（1）作图见解析；（2）见解析．【分析】（1）先作AC 的中垂线，找到AC 的中点O ，然后以AC 为直径作圆，与AB 的交点即为所求；（2）由题意可知DE 为Rt BEC △斜边BC 上的中线，从而得到CD=DE ，即=∠∠ECD DEC ，由OC=OE 得到OEC OCE ∠=∠，再由90ACB ∠=︒即可得到OE ⊥DE ，即可得证．【详解】（1）作图如图所示．（2）证明：如上图，连结OE ，CE ， AC 为直径，90AEC ∴∠=︒， D 为BC 边中点，DE ∴为Rt BEC △斜边BC 上的中线，12DE DC DB BC ∴===， ECD DEC ∴∠=∠，OC OE =，OEC OCE ∴∠=∠，90OED OEC CED OCE DCE ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒OD DE ∴⊥，DE ∴为O 的切线．【点睛】本题考查了尺规作图以及切线的判定，正确找到垂直条件是判断切线的关键．25．（1）见解析；（2）23π 【分析】 （1）根据旋转的性质，作出与点A 、B 、C 相对应的点A 1、B 1、C 1依次连接即可 （2）结合题意直接用弧长公式求解即可【详解】（1）画图（2）点B 旋转到点B 1所经过的路径长为：60221801803n r l πππ⨯⨯=== 【点睛】 本题考查了作图——=旋转变换，等边三角形的判定与性质，弧长公式，菱形的性质，以及点运动的轨迹，综合运用以上知识是解题关键．26．（1）见详解；（2）134π，图形见详解 【分析】（1）分别画出OAB ∆各个顶点的对应点，再顺次连接起来，即可；（2）分别画出OAB ∆各个顶点绕点O 逆时针旋转90︒后的对应点，再顺次连接起来，最后利用扇形的面积公式，即可求解．【详解】（1）111O A B ∆如图所示，点1B 的坐标为（-2，-2），（2）22OA B ∆如图所示，∵2223=13+，∴线段OA 所扫过的面积=29013360π⨯=134π，【点睛】本题主要考查平移和旋转变换以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．。