07-命题逻辑-基本理论_
逻辑命题知识点总结
逻辑命题知识点总结逻辑命题是逻辑学的一个基本概念，它指的是一个可以陈述为真或者假的陈述句。
逻辑命题的研究是逻辑学中的一个重要部分，它涉及到命题的真假判断、推理规则和命题之间的关系等内容。
在这篇文章中，我们将对逻辑命题的基本概念、分类、性质以及一些常见的推理规则进行总结和分析。
一、逻辑命题的基本概念1. 命题的定义：逻辑命题是一个可以陈述为真或者假的陈述句。
通常用大写字母P、Q、R 等表示命题。
2. 命题的种类：根据命题的结构和性质，可以将命题分为简单命题和复合命题。
简单命题是不能再分解为更简单命题的命题，而复合命题则由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
3. 命题的关系：在逻辑学中，命题之间存在多种关系，例如与或非关系。
与关系表示两个命题都为真时整个复合命题才为真，或关系表示两个命题中至少有一个为真时整个复合命题为真，非关系表示对一个命题的否定。
二、逻辑命题的性质1. 真值：真值指的是命题的真假状态，在逻辑学中通常用T表示真，用F表示假。
2. 逻辑运算符：逻辑运算符是用来连接命题的符号，包括合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）、等价（↔）和否定（¬）等。
3. 等价关系：命题P和命题Q是等价的，当且仅当它们的真值表相同，即P↔Q。
等价关系是逻辑学中一个重要的概念，它可以用来简化逻辑推理和证明。
4. 矛盾和对偶：矛盾是指两个永远不可能同时为真的命题，例如P与¬P；对偶是指两个命题在真值表中互相对应的关系，当一个命题为真时，对应的命题为假，反之亦然。
5. 充分条件和必要条件：如果P→Q，那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
这是逻辑学中常用的推理规则，也是数学中常用的方法。
三、逻辑命题的推理规则1. 永真命题和矛盾命题：永真命题是指在任何情况下都为真的命题，例如P∨¬P；矛盾命题是指在任何情况下都为假的命题，例如P∧¬P。
2. 排中律和否定律：排中律指的是任何命题要么为真，要么为假；否定律指的是任何命题的否定都是假。
命题逻辑原理
命题逻辑原理
命题逻辑是一种数学模型，用于对逻辑表达式的真假进行推理。
其基本原理包括使用逻辑运算符（如AND、OR和非NOT）来构建代表“命题”的公式，并允许某些公式构成“定理”，有一套形式“证明规则”。
在命题逻辑中，原子命题是最基本的单位，它们不能进一步被分解为更简单的命题。
原子命题通过逻辑运算符可以组合成更复杂的命题。
基本的逻辑运算符包括“与”AND、“或”OR和非NOT。
在命题逻辑中，一个重要的概念是“有效性”。
一个逻辑公式被称为有效的，当且仅当它对于所有的解释都为真。
在逻辑学中，有效性是通过演绎推理来确定的。
此外，命题逻辑的适用范围也相当广泛。
它被用于计算机科学中的许多领域，如电路设计、编程语言和系统设计（如Prolog语言）。
在更近的时代里，
命题逻辑也用于人工智能和机器学习等领域。
以上内容仅供参考，如需更全面准确的信息，可查阅命题逻辑相关的教材或论文。
命题定理知识点总结
命题定理知识点总结一、命题逻辑命题逻辑是经典逻辑的一个重要分支，研究的对象是命题。
命题是陈述语句，它要么是真，要么是假，不会同时具有真和假。
命题逻辑研究命题的连接与关系，包括命题的合取、析取、蕴含、等价等逻辑连接词，以及它们的基本性质和推导定理等内容。
1. 命题命题是能够表达一个正确或错误观点的陈述，它可以是一个简单的陈述，也可以由多个简单的陈述通过逻辑连接词组成。
例如，“1 + 1 = 2”、“今天下雨了”、“数学是一门科学”等都是命题。
2. 逻辑连接词逻辑连接词是用来连接命题的词语，常见的有合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）、等价（↔）等。
这些逻辑连接词在命题逻辑中有着重要的地位，它们代表了命题之间的不同逻辑关系。
3. 命题的真值表命题的真值表是对命题逻辑中各种逻辑连接词组合的真值进行排列和计算的表格，它能够清晰地展现不同命题之间的逻辑关系。
通过真值表的排列，可以方便地求解某个命题的真值。
4. 命题的合取、析取、蕴含、等价命题的合取是指两个命题同时为真时，结果为真；否则为假。
命题的析取是指两个命题至少有一个为真时，结果为真；否则为假。
命题的蕴含是指当前提成立时，结论一定成立；否则为假。
命题的等价是指两个命题具有相同的真值。
5. 命题逻辑的定理命题逻辑有许多重要的定理，例如德摩根定律、双重否定律、等值推演律等。
这些定理为推导命题的真假提供了重要的工具和方法。
二、谓词逻辑谓词逻辑是经典逻辑的另一个重要分支，研究的对象是命题中的主语和谓语部分。
谓词逻辑比命题逻辑更加复杂和灵活，它包括了谓词、量词、谓词逻辑连接词等内容。
1. 谓词谓词是能够说明主语属性或动作的词语，它可以是单一的谓词，也可以是复合的谓词。
谓词逻辑研究的重点就是如何对复合谓词进行分解和推导。
2. 量词量词是表示范围或数量的词语，它包括了全称量词（∀）和存在量词（∃）等。
量词在谓词逻辑中有着重要的地位，它能够帮助我们描述主语的属性和范围。
命题逻辑ppt课件
按从左到右的顺序运算; 2:假设遇有括号时，应该先进展括号中的运算.
留意: 本书中运用的 括号全为圆括号〔〕.
2.2 命题公式
命题变项与合式公式 公式的赋值 真值表 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
命题变项与合式公式
随堂练习
1：写出命题、简单命题的定义。 2：用符号定义五个结合词及其各自取值情况。 3：写出蕴涵式的定义，分析前件与后件的关系，
列出对应的言语表达方式。 4：写出遇到析取结合词二义性时的判别方式及对应
符号表示。 5：列出下面公式的真值表，阐明各公式的层次
(p q) ((p q) (q p)) (p q) (p q) 6：写出命题公式的定义
pq r
pq
000
0
001
0
010
1
011
1
100
1
101
1
110
1
111
1
r (pq)r
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
公式的类型
定义2.9 设A为一个命题公式 (1) 假设A在它的各种赋值下取值均为真，那么称A为重言 式(也称永真式) (2) 假设A在它的各种赋值下取值均为假，那么称A为矛盾 式(也称永假式) (3) 假设A至少存在一组赋值是成真赋值，那么称A为可满 足式
3.析取式与析取结合词“∨〞
定义2.3 设 p,q为二命题，复合命题“p或q 〞称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作 析取结合词，并规定
p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例即将:p以∨下命q题为符真号化当且仅当p与q至少有一个为真。 此处(1)定2或义4是的素析数.取式p∨q表示的是一种相容性
基本逻辑知识点总结
基本逻辑知识点总结逻辑是一种关于思维和推理的学科，其目的是研究什么样的推理是正确的，什么样的推论是有效的。
逻辑在哲学、数学、计算机科学以及其他领域中都有着广泛的应用。
逻辑学家们研究逻辑原则，用来理解和评价一些结论的逻辑结构和有效性。
在逻辑研究中，有一些基本概念和知识点，它们构成了逻辑学的基础，对于理解逻辑原则和进行合理思考是非常重要的。
下面将对这些基本逻辑知识点进行总结：1.命题逻辑命题逻辑是逻辑学中的一个主要分支，它关注的是命题之间的逻辑关系。
命题是一个陈述，它可以被判断为真或者假。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，以及通过这些命题构建复合命题的方法。
命题逻辑的基本概念包括以下几点：1.1 命题命题是一个陈述句，它是一个可以被判断为真或者假的陈述。
例如，“今天天气晴朗”、“2加2等于4”都是命题。
1.2 真值一个命题可以被判断为真或者假，这种判断被称为命题的真值。
通常用符号T表示真，用符号F表示假。
1.3 逻辑运算在命题逻辑中，有一些逻辑运算符号，可以用来构建复合命题。
比如，“非”、“与”、“或”、“蕴含”和“等价”分别表示取反、与、或、蕴含和等价的逻辑运算。
1.4 真值表真值表是用来表示一个或多个命题之间逻辑关系的表格。
通过真值表，我们可以知道不同命题之间的逻辑关系以及复合命题的真值。
1.5 逻辑等值在命题逻辑中，有一些等值关系。
例如，“与”和“非”构成了蕴含的等值关系，即p∧q ≡¬(p→¬q)。
这些等值关系有助于简化复合命题的逻辑分析。
命题逻辑是逻辑学的基础，它为我们理解复杂的逻辑推理提供了基础。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是一种比命题逻辑更为复杂的逻辑系统，它关注的是命题中的对象和属性，以及它们之间的关系。
谓词逻辑的基本概念包括以下几点：2.1 谓词谓词是用于谈论对象的属性或关系的符号。
例如，“是红色的”、“大于”、“相等”等都可以是谓词。
2.2 量词量词用于谓词逻辑中，表示关于对象的数量的概念。
命题逻辑的基本概念
命题逻辑的基本概念命题逻辑（propositional logic），又称命题演算，是数理逻辑的一个分支，它研究命题与命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是语句或陈述，可以判断为真或假。
命题逻辑的基础概念包括命题、联结词和复合命题等。
一、命题在命题逻辑中，命题是用来陈述某种事实或陈述的语句，可以判断为真或假。
命题通常用字母表示，如p、q、r等。
下面是一些例子：1. p：今天是晴天。
2. q：明天会下雨。
3. r：1+1=2。
二、联结词联结词是用来连接命题的词语，它们可以表示不同的逻辑关系。
常见的联结词有否定、合取、析取、条件、双条件等。
1. 否定（¬）：表示命题的否定，将命题的真值取反。
例如，¬p表示命题p的否定。
2. 合取（∧）：表示逻辑与的关系，表示两个命题都为真时，结果命题才为真。
例如，p∧q表示命题p和命题q都为真。
3. 析取（∨）：表示逻辑或的关系，表示两个命题中至少一个为真时，结果命题为真。
例如，p∨q表示命题p或命题q至少一个为真。
4. 条件（→）：表示逻辑蕴含的关系，表示命题p成立时，命题q也必定成立。
例如，p→q表示命题p蕴含命题q。
5. 双条件（↔）：表示逻辑等价的关系，表示命题p和命题q有相同的真值。
即当p和q同时为真或同时为假时，结果命题为真。
例如，p↔q表示命题p和命题q等价。
三、复合命题复合命题是由多个命题通过联结词构成的新命题。
复合命题的真假取决于其组成命题的真假以及联结词的逻辑关系。
例如：1. (p∧q)→r：表示命题p和命题q的合取蕴含命题r。
2. ¬(p∨q)：表示命题p和命题q的析取的否定。
3. p↔q∧r：表示命题p和命题q等价，并且命题r为真。
在命题逻辑中，通过运用联结词的组合和推理规则，可以进行逻辑推理和推断。
命题逻辑为我们提供了分析和解决复杂问题的思维工具。
总结：命题逻辑是数理逻辑的一个重要分支，研究命题与命题之间的逻辑关系。
命题逻辑的基本概念
通常用大写字母T表示真值为真，用F表示真值 为假．因为只有两种取值，所以这样的命题逻 辑称为二值逻辑．
举例说明
(1)“雪是白的”命题，
(2)“雪是黑的”命题．
命题逻辑所讨论的是多个命题联结而成的复合 命题的规律性．
内容 / 形式
在数理逻辑里，仅仅把命题看成是一个可 取真或可取假的陈述句，所关心的并不是 这些具体的陈述句的真值究竟为什么或在 什么环境下是真还是假，这是有关学科本 身研究的问题，而逻辑关心的仅是命题可 以被赋予真或假这样的可能性，以及规定 了真值后怎样与其他命题发生联系．
合取词真值表
P Q P^Q FF F FTF TF F TT T
只有当两个命题变项 P＝T，Q=T时方有
P^பைடு நூலகம் ＝T，而P，Q只 要有一为F，则P^Q
=F．
P^Q可用来表示日常
用语P与Q，或P并且 Q．
例3
P：教室里有10名女同学． Q：教室里有15名男同学． 不难看出，命题P^Q : “教室里有10名
联结词是由命题定义新命题的基本方法。
命题逻辑的许多问题都可化成是计算复合 命题的真假值问题，真值表方法是极为有 力的工具，是应十分重视和经常使用的。
总结
由联结词构成新命题的真值表中，对仅由 两个变元P、Q构成的新命题A而言, 每个 变元有T、F两种取值, 从而P、Q共有四种 可能的取值, 对应于真值表中的四行, 每一 行下命题A都有确定的真值。对P、Q的每 组真值组合(如P = T, Q = F)或说真值指派, 都称作命题A的一个解释。一般地说, 当 命就真题有值都A2 n依行称赖,作每于命一命题行题A对P的1应,一…着个, PP解1n,到释…A。,的PAn真的有值每2n表组个 解释, 命题的解释用符号I表示。
07-命题逻辑-完备性_
AZBJD 当且仅当 AJD 或者 BJD .
A>BJD 当且仅当 AJD 蕴涵 BJD .
A?BJD 当且仅当 AJD 等价于 BJD .
定理(极大协调集合与赋值):
若 D 是极大协调集合, 定义赋值 v 使得
v(p)=1 当且仅当 pJD. 则对任意的公式 A ,
则存在 A1,l,Am , 使得
A1,l,AmU\ A[A. 假设这些 Ai 都属于 Dn , 则
DnU\ A[A. 这与 Dn 的协调性相矛盾.
Dd 是极大的
对于 AJ/ Dd , 可以假设它是Bn , 根据定义可 知
DnP{Bn} 是不协调的. 所以 DdP{A} 是不协调的.
由上述性质可知, 上面定义的 Dd 满足定理的要 求.
但这与 DXA 矛盾.
AJD
DUA
证明: 若 AJD, 则 DUA.
这是显然的.
若 DUA, 则 AJD.
若AJ/ D , 则根据定义可知 DP{A} 是不协调 的. 因而
D,AU\ A. 所以DU\ A , 这与 D 的协调性质相矛盾. 定理(逻辑联结词与属于): 对任意的极大协调集合 D 及公式 A,B , 有以 下性质:
Dn+1=eaaaaajiaaaaaDDnnP, {Bn},
若DnP{Bn}是协调的 , 否则.
根据定义可知每个 Dn 都是协调的. 定义
Dd=D0PD1PD2Pl.
则必有DNDd . Dd 是协调的
假设 A 是任意取定公式. 若 Dd 不是协调的, 则它可以推出任何对任意的 AJ/ Dv , 公式集合 DvP{A} 是 不协调的.
当 AJ/ Dv 时, v(A)=0 , 所以 v(\ A)=1 ,即
命题逻辑-
4.2有效推理得形式证明
• 自然演绎系统形式证明就是建立在 推理规则基础之上得。这些规则大 约可分为四部分:一就是基本推导 规则,二就是等值替换规则,三就是 条件证明规则,四就是间接证明规 则。
一、基本推导规则:
根据合取式得逻辑特征:
组合式 简记为∧+
根据析取式得逻辑特征:
选言三段论
简记∨-
根据蕴涵式得逻辑特征:
• 例2.判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2.1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• 证:① (A∨B)→C
P \A→C
• ② (A∨B) ∨ C
①Impl
• ③ ( A ∧ B) ∨ C
②DeM
• ④ ( A ∨C) ∧( B ∨ C ) ③Dist
• ⑤ A ∨C
④∧-
• ⑥A →C
⑤Impl
作业
• 一、运用真值表方法,判定下列命题就是不 就是等值命题。
• l、如果这匹马儿不吃饱草,那么这匹马儿不 能跑。
• 3.德摩根律 ¬(p∧q) ¬p∨¬q;
•
¬(p∨q) ¬p∧¬q。
• 4、分配律 p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r)
•
p∨(q∧r) (p∨q) →(p∨r)
• 5、实质蕴涵(p→q) ( p ∨ q)
• 6.假言易位 (p→q) ( q → p )
• 7、移出律 (p∧q) →r p→(q →r)
07 命题逻辑等值式
离散数学基础2017-11-17•定义：命题逻辑等值式−给定两个命题公式 A、B，设 p1, p2,…… p n 为所有出现于 A、B 中的命题变量。
若对 p1, p2,…… p n 中的任何一组逻辑解释，A 和 B 的真值都相同，则称 A、B 是等值的或逻辑相等的。
记为 A ⇔ B。
−p1, p2,…… p n 的所有逻辑解释总数为 2n 个。
•定义：命题逻辑等值式−若两个命题公式 A、B 在任意的真值赋值函数 t : Var→{0,1} 下取得相同的真值，则称 A、B 是等值的（或逻辑相等的）。
记为 A ⇔ B。
上述定义是前一个定义的等价定义， 利用了之前定义复合语句的真值时引用的真值赋值函数 t。
我们马上意识到，使用真值表可以判断两个逻辑公式的等值性。
•定义：命题逻辑等值式−例：证明 ¬p∨q ⇔ p→qp q¬p¬p∨q p→q00111011111000011011在每个解释下， ¬p∨q 和 p→q 取相同的真值， 所以是一对等值式•等值的基本性质−对公式 A、B、C，按照等值的定义显然有：»A ⇔ A；（自反性）»若 A ⇔ B 则 B ⇔ A；（对称性）»若 A ⇔ B 且 B ⇔ C 则 A ⇔ C。
（传递性）−具有自反性、对称性和传递性的关系称为等价关系。
所以命题逻辑公式的等值性通常也称为等价性。
•定理：等值定理−设命题公式 A、B，则 A ⇔ B iff A↔B 是重言式。
−证：⇒ 若 A ⇔ B，则 A 与 B 在任意解释下都有相同的真值。
由“↔”的定义，A↔B 只能取值1，即 A↔B 是重言式。
⇐ 若 A↔B 只取值1，由“↔”的真值表， A 与 B 在任意解释下都有相同的真值。
由“⇔”的定义，有 A ⇔ B。
−定理给出验证两个命题公式相等的一种基本方法。
•命题逻辑的等值演算−当命题公式所含的命题变量个数较多时，使用真值表方法判断公式的等价性有困难。
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命题逻辑的推演系统
●
公理:
: .
:
.
: .
●
规则:
推演序列: 假设 是公式集合, 公式序列
被称为 推演序列, 若对每个 :
●或者 ;
●或者 是公理;
●
或者存在 , 使得 是 . 可证性: 若存在一个 推演序列, 它的最后一个公式是 , 则称 是 可证的, 记为 .
91A > (B > A )92(A > (B > C ))> ((A > B )>(A >C))93(\A >
B )> ((\A > \B)> A )A,A > B B
!!!!!!!!!!!!!!!!!.> 〈A 1,A 2,l ,A n 〉>
-A i A i J > A i j,k<
i A k A j >A i >
-A A >
-> U A
推演序列、 可证分别被称为推演序列、可证.
记为 .
例: 是一个推演序列, 其中
● : .
● : . ● : . ●
: . ●
: .
所以 . 可满足:
对于一个赋值 及一个公式 , 按照一般意义下的真值表,
可以定义
假设 是一个公式集合, 若:
则记 . 假设 是一个公式集合,
是一个公式. 若: 010*******
对每个 , 都有 I -I -IU A U A 〈A 1,A 2,A 3,A 4,A 5〉A 1p >((p > p )> p )A 2A 1>
(A 4> (p >p))A 3A 4>(p > p )A 4p >
(p > p )A 5p > p U p >
p /A > \/(A)J {0,1}.> A J > /(A)=1./(>
)=1> A
则称 是 的逻辑推论, 记为 . 对任意的赋值 , 及公式 , 有以下事实:
●
公理是成立的:
●
三段论是正确的:
假设 是一个公式集合,
是一个公式, 定义 当且仅当
可靠性: 若 , 则 .
证明: 假设 是一个公式集合,
是一个公式, 且 是 可证的. 这时存在一个 推演序列
假设 是一个赋值, 使得 , 以下证明
根据归纳法,只需证明:
只需考虑以下三个情形:
对任意的赋值 , 当 时 若 , 则 . 对任意的赋值 , 若 则 //(>
)=1/(A)=1.A > > X A /A,B /(91)=1,/(92)=1,/(93)=1./(A)=1,/(A >
B )=1/(B)=1> A > X A //(> )=1/(A)=1.>
U A > X A > A A >
->
-〈A 1,A 2,l ,A n 〉.//(>
)=1/(A)=1.j< i /(A j )=1/(A i )=1
●
:
这时根据 可知
●
是公理:
根据公理的定义,可知
●
存在 , 使得 是 : 这时, 根据归纳假设可知
所以
从 , 可知 .
A i J > /(> )=1/(A i )=1.A i /(A i )=1.j,k<
i A k A j >A i /(A j )=1,/(A j > A i )=1./(A i )=1./(A n )=1/(A)=1。