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(易错题)高中数学必修一第四单元《函数应用》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．若函数2()f x x x a =--有四个零点，则关于x 的方程210ax x ++=的实根个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不确定2．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则λ的取值范围是（ ） A ．[)[)1,23,-+∞ B ．[)[)1,23,+∞C ．[)()1,22,⋃+∞D ．[)1,+∞3．已知函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3[4，1]B ．3(4，1)C ．(0,1)D ．3(4，)+∞4．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-B ．(,1)-∞-C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞5．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220()20xx x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞7．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞8．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[]1,4C ．[]1,6D ．[][]0,13,810．统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有0.73（约2.16）倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的（lg 20.3010≈，lg30.4771=，lg70.8451≈）（ ） A ．l 8倍B ．21倍C ．24倍D ．27倍11．函数()211f x x x=-+的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）. A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题13．已知函数227,03()1108,333x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()y f x =的图象与y m =的图象有A ，B ，C ，D 四个不同的交点，交点横坐标为1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233222x x x x --++的取值范围是________14．已知函数2()log (2)f x x =+与2()()1g x x a =-+，若对任意的1[2,6)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______．15．若关于xx m =+有两个不同实数解，则m 的取值范围是______.16．对于函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x π∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩现有下列结论：①任取12[2,,)x x ∈+∞，都有()()121f x f x -≤； ②函数()y f x =在[]4,5上先增后减 ③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点：④若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则123x x += 其中，正确结论的序号为_______________（写出所有正确命题的序号） 17．函数()11f x x =-，()g x kx = ，若方程()()f x g x =有3个不等的实数根，则实数k 的取值范围为________.18．若方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ，且110x -<<，201x <<，则实数k 的取值范围是__________.19．函数()()2121x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=______.20．若关于x 的方程2220x x m ---=有三个不相等的实数根，则实数m 的值为_______.三、解答题21．如图所示，河（阴影部分）的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB FE ==千米，74OD =千米，94DF =千米，32EC =千米，若以OA ，OD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是函数1by x a=--（其中a ，b 是常数）图象的一部分，河岸AC 可看成是函数y kx m =+（其中k ，m 为常数）图象的一部分.（1）写出点A 和点C 的坐标，并求k ，m ，a ，b 的值.（2）现准备建一座桥MN ，其中M 在曲线段DE 上，N 在AC 上，且MN AC ⊥.记M 的横坐标为t .①写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并标明定义域；（注：若点M 的坐标为0(,)t y ，则桥MN 的长l 可用公式021lk 计算）②当t 为何值时，l 取到最小值？最小值是多少？22．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：3221805040,[120,144)3120080000,[144,500)2x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--∈⎪⎩且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（1）当[200,300]x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？23．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业．这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？24．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年：当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.（1）当020x <≤时，求v 关于x 的函数解析式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.25．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是:当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立．） （1）判断函数() 1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．（参考结论：函数()()0af x x a x=+>的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为()、(）26．对于定义域为D 的函数()f x ，若同时满足下列两个条件：①()f x 在D 上具有单调性；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在区间,a b 上的值域也为,a b ，则称()f x 为D 上的“精彩函数”，区间,a b 为函数()f x 的“精彩区间”．（1）判断0,1是否为函数3y x =的“精彩区间”，并说明理由；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否为“精彩函数”，并说明理由；（3）若函数()g x m =是“精彩函数”，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由()0f x =可得出2x x a =-，将问题转化为曲线2yx 与曲线y x a =-有4个交点，数形结合可求得实数a 的取值范围，进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数. 【详解】由()0f x =可得出2x x a =-，作出函数2yx 与函数y x a =-的图象如下图所示：,,x a x a y x a x a x a-≥⎧=-=⎨-+<⎩，若使得函数()2f x x x a =--有4个零点，则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2y x 的图象有两个交点， 联立2y x a y x =-⎧⎨=⎩可得20x x a -+=，1140a ∆=->，解得14a <， 联立2y x a y x =-+⎧⎨=⎩可得20x x a +-=，2140a ∆=+>，解得14a >-， 当0a =时，则()()21f x x x xx =-=-，令()0f x =，可得0x =或1x =±，此时，函数()y f x =只有3个零点，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是11,00,44⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于二次方程210ax x ++=，140a ∆=->， 因此，关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．A解析：A 【分析】分别求出函数223y x x =--和()ln 1y x =-的零点，然后作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象，结合函数()f x 恰有两个零点，可得出实数λ的取值范围. 【详解】解方程2230x x --=，解得11x =-，23x =，解方程()ln 10x -=，解得2x =.作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象如下图所示：要使得函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则12λ-≤<或3λ≥.因此，实数λ的取值范围是[)[)1,23,-+∞.故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．B解析：B 【分析】画出函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象，函数()y f x a =-有三个零点等价于()y f x =与y a =的图象有3个不同交点，数形结合得答案. 【详解】作出函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象如图，函数()y f x a =-有三个零点，即()y f x =与y a =的图象有3个不同交点， 由图可知，实数a 的取值范围为3(4，1). 故选：B. 【点睛】方法点睛：由零点求参数范围：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．4．D解析：D 【分析】分离参数，再根据指数函数性质求出． 【详解】解：21x m -=或21x m -=-，即21x m =-，或者21x m =+， 当211x m =->-时，有一个解， 当211x m =+>时，有一个解，所以1m 时，方程|2|1x m -=有两个不等实根， 故选：D ． 【点睛】考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，属于中档题．5．C解析：C 【解析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数()220y x x x =+<的图象关于原点对称的图象，看它与函数()20x y x e=≥ 交点个数即可．如图所示：当1x =时，201xe << 观察图象可得：它们有2个交点． 故答案选C点睛：本题主要考查了函数的性质运用，理解题目中两点都在函数图象上，且关于原点对称的意思，结合函数图象即可得出结果6．B解析：B 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e . 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.7．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+，002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．8．C解析：C 【分析】由题意可得方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8xf x x x=∈，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出()y f x =的图象，可得m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即为2ln mx x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即1ln 2x m x=在(]0,8上有两个不等的实数根， 设()(]ln ,0,8x f x x x =∈，则()21ln xf x x -'=， 当(,8)x e ∈时，()0f x '<，函数()f x 递减， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增， 所以当x e =时，函数()f x 取得最大值1e，且()ln83ln 2888f ==， 所以3ln 2182m e ≤<，解得3ln 224m e≤<，故选C.【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为1ln 2x m x =在(]0,8上有两个不等的实数根，利用导数求得函数()ln x f x x =的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.9．B解析：B 【详解】根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.10．D解析：D 【分析】根据已知条件可构造出函数关系式，进而得到0.710x =，根据对数运算法则可解方程求得近似值. 【详解】由题意可知，看到图形面积大小y 与图形实际面积x 之间满足0.7y x=∴若看到全国面积约为某县面积的10倍，则0.710x =，解得：10lg 1.437x =≈ lg 273lg3 1.43=≈ 27x ∴≈故选：D 【点睛】本题考查利用函数模型求解实际问题，关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合对数运算性质求得结果.11．B解析：B 【分析】 令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像得解. 【详解】令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像, 由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.12．B解析：B 【分析】根据题意将数据120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝， 所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据题意得进而得由于故的取值范围是【详解】解：如图根据题意得满足：即关于直线对称故所以所以由于所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合应用考查数形结合思想与运算求解能力是中档题本题 解析：(15,22)【分析】根据题意得122214x x +=，3410x x +=，进而得()()2334312103321142222x x x x x x -+---=+++，由于()33,4x ∈，故()()341233222x x x x --++的取值范围是(15,22).【详解】解：如图，根据题意得12,x x 满足：1227270x x -+-=，即122214x x +=.34,x x 关于直线5x =对称，故3410x x +=，所以4310x x =-，()33,4x ∈所以()()()()23343331210333721141422222x x x x x x x x --+----=+=+++，由于()33,4x ∈，()()3232321540,031x x x -=--+∈-+，所以()233120121,8x x --+∈所以()()()()()233433312103337211414215,222222x x x x x x x x -+-----++=+=+∈故答案为：(15,22) 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合思想与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意作图得122214x x +=，3410x x +=，()33,4x ∈，故将问题转化为求2331102142x x -+-+，()33,4x ∈的值域问题.14．【分析】由对数函数的性质可得转化条件为由二次函数的图象与性质即可得解【详解】因为所以即函数的图象开口朝上对称轴为①当函数在上单调递增所以即所以解得；②当时函数在上单调递减所以即所以解得；③当时所以解解析：1,222,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦【分析】由对数函数的性质可得()123f x ≤<，转化条件为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】因为1[2,6)x ∈，所以()()()126f f x f ≤<即()123f x ≤<，函数2()()1g x x a =-+的图象开口朝上，对称轴为x a =，①当0a ≤，函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以()()()202g g x g ≤≤， 即()2221,45g x a a a ⎡⎤∈+-+⎣⎦，所以22124530a a a a ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≤⎩，解得10a -≤≤；②当2a ≥时，函数()g x 在[0,2]上单调递减，所以()()()220g g x g ≤≤， 即()22245,1g x a a a ⎡⎤∈-++⎣⎦，所以22452132a a a a ⎧-+≤⎪+≥⎨⎪≥⎩，解得23a ≤≤；③当01a <≤时，()()22max 245g x g a a ==-+，()()2min 12g x g a ==<，所以245301a a a ⎧-+≥⎨<≤⎩，解得02a <≤④当12a <<时，()()22max 01g x g a ==+，()()2min 12g x g a ==<，所以21312a a ⎧+≥⎨<<⎩2a ≤<；综上，实数a的取值范围是1,22,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦. 故答案为：1,22,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦.【点睛】解决本题的关键是将条件转化为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，结合二次函数的图象与性质讨论即可得解.15．【分析】先由题中条件得到方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立分别求出的范围进而可得出结果【详解】由得且即且因为关于的方程有两个不同实数解所以方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立令则函数在区间上有 解析：2,⎡⎣【分析】先由题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，分别求出m 的范围，进而可得出结果.【详解】x m =+得()224x x m -=+且240x -≥， 即222240x mx m ++-=且22x -≤≤，因为关于x x m =+有两个不同实数解，所以方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，令()22224f x x mx m =++-，[]2,2x ∈-，则函数()f x 在区间[]22-,上有两不同零点， 因为函数()22224f x x mx m =++-是开口向上，对称轴为x m =-的二次函数，因此只需()()()2220204840f f m m ⎧-≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，解得m -<<又0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，所以m x ≥-对任意[]2,2x ∈-恒成立， 因此只需2m ≥综上，2m ≤<故答案为：2,⎡⎣. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，（一定要注意0x m +≥），转化为一元二次方程根的分布问题求解即可.16．①②③④【分析】当时函数的最大值为最小值为所以任取都有恒成立故①正确；函数先增后减故②正确；根据图象知函数有3个零点故③正确；根据图象知根据对称性知故④正确【详解】函数当时函数的最大值为最小值为所以解析：①②③④ 【分析】当[2,)x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为12，最小值为12-，所以任取12[2,,)x x ∈+∞，都有()()121f x f x -≤恒成立，故①正确；()1sin 4f x x π=，函数先增后减，故②正确；根据图象知，函数有3个零点，故③正确；根据图象知112m -<<-，根据对称性知123x x +=，故④正确.【详解】函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，当[2,)x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为12，最小值为12-，所以任取12[2,,)x x∈+∞，都有()()121f x f x-≤恒成立，故①正确；当[]4,5x∈，[]40,1x-∈，故()()()1114sin4sin444f x f x x xππ=-=-=，函数先增后减，故②正确；令()()ln10y f x x=--=，即()()ln1f x x=-，同②，计算得到()[](](]sin,0,21sin,2,421sin,4,64x xf x x xx xπππ⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪∈⎪⎩，画出函数图象，如图所示：根据图象知，函数有3个零点，故③正确；()()0f x m m=<有且只有两个不同的实根12,x x，根据图象知112m-<<-，根据对称性知123x x+=，故④正确；故答案为：①②③④.【点睛】方法点睛：函数零点问题的处理常用的方法有：(1)方程法：直接解方程得到函数的零点；（2）图像法：直接画出函数的图象得解；（3）方程+图像法：令()0f x=重新构造两个函数，数形结合分析得解.17．【分析】作出函数的图象及与函数的图象求出相切时的值即可得答案；【详解】分别作出函数的图象即当与相切时方程有3个不等的实数根两函数图象有3个交点由图可知时符合题意故答案为：【点睛】利用数形结合思想作出解析：4k>【分析】作出函数()11f xx=-的图象及与函数()g x kx=的图象，求出相切时k的值即可得答案；【详解】分别作出函数的图象，即21101kx kx kx x -=⇒-+=- 当()g x kx =与()11f x x =-相切时， 24040k k k k ⎧∆=-=⇒=⎨≠⎩，, 方程()()f x g x =有3个不等的实数根，∴两函数图象有3个交点，由图可知4k >时符合题意， 故答案为：4k >.【点睛】利用数形结合思想，作出两函数的图象，首先找到临界位置，即相切位置.18．【分析】将方程的根转化为函数零点问题再利用零点存在性定理求解【详解】由题知方程的两根为且故设则有故答案为:【点睛】本题考查二次函数根的分布问题需要学生熟悉二次函数的图像性质解决此类问题时常结合零点存解析：3(,1)4【分析】将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解. 【详解】由题知方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ,且110x -<<,201x <<,故设()f x =22(1)1kx k x k +-+-,(0)k >则有(1)2210103(0)10114(1)221034f k k kf k k kf k k kk⎧⎪-=-++->>⎧⎪⎪=-<⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪=+-+->⎩⎪>⎩,故答案为:3(,1)4.【点睛】本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决.19．【分析】作出的图象可得和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标由关于原点对称关于点对称即可得到所求的和【详解】作出的图象方程有四个不同的实数解等价为和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标为且由关于解析：4【分析】作出()f x的图象，可得()y f x=和y b=的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标1234x x x x<<<，由1x，2x关于原点对称，3x，4x关于点()2,0对称，即可得到所求的和.【详解】作出()()2121x xf xx x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，的图象，方程()f x b=有四个不同的实数解，等价为()y f x=和y b=的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为1x，2x，3x，4x且1234x x x x<<<，由1x，2x关于原点对称，3x，4x关于点()2,0对称，可得12=0x x+，344x x+=，则12344x x x x +++=， 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.20．3【解析】令则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点画出函数的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则答案：3解析：3 【解析】令()222f x x x =--，则由题意可得函数()y f x =与函数y m =的图象有三个公共点．画出函数()222f x x x =--的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则3m =． 答案：3三、解答题21．（1）3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，43k =，2m =-，4a =，3b =；（2）①19()94,[0,3]54f t t t t ⎛⎫=--∈ ⎪-⎝⎭；②52t =，min ()1f t =. 【分析】（1）根据题中给的边长，得到点,A C 的坐标，并代入直线，求,k m ，由点,D E 的坐标代入函数1b y x a =--，求,a b 的值；（2）①由（1）可知点43,1M t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，利用点到直线的距离求()l f t =，②定义域下利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意得：4OF BC ==，OA EC =，∴3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，把3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx m =+得302942k m k m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得43k =，2m =-. ∵70,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,4E ，把70,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,4E 代入1b y x a =--得3433b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得：4a =，3b =.（2）①由（1）得：M 点在314y x =--上，∴43,1M t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，[0,3]t ∈， ∴桥MN 的长l为341219()(94),[0,3]54l f t t t t t --+===--∈-； ②由①得：1919()(94)4(4)75454f t t t t t ⎡⎤=--=----⎢⎥--⎣⎦ 194(4)754t t ⎡⎤=----⎢⎥-⎣⎦， 而40t -<，904t <-，∴94(4)124t t ---≥=-， 当且仅当94(4)4t t --=--时即52t =时，“=”成立，∴min 1()12715f t =-+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数应用题，函数模型的应用，基本不等式求最值. 本题的关键是最后一问，函数的变形，1919()(94)4(4)75454f t t t t t ⎡⎤=--=----⎢⎥--⎣⎦，只有变形成这种形式，才能用基本不等式求最值.22．（1）不能获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损，（2）400【分析】（1）先确定该项目获得的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论【详解】解：（1）当[200,300]x ∈时，该项目获利为S ，则2211200(20080000)(400)22S x x x x =--+=--， 所以当[200,300]x ∈时，0S <，因此该项目不会获利，当300x =时，S 取得最大值5000-，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使项目不亏损，（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为21805040,[120,144)3180000200,[144,500)2x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩， 当[120,144)x ∈时，21(120)2403y x x =-+， 所以当120x =时，y x取得最小值240； 当[144,500)x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=，当且仅当1800002x x =，即400x =时，y x取得最小值200， 因为240200>，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低【点睛】关键点点睛：此题考查基本不等式在最值问题中的应用，函数模型的选择与应用，考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是根据题意确定函数关系式，属于中档题23．（1）A 产品的利润为1()(0)2f x x x =≥，B产品的利润为()0)g x x =≥；（2）A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时取得最大利润，最大利润为7万元．【分析】 （1）由题设1()f x k x =，()g x k =（2）列出企业利润的函数解析式21()(10)10)y f x g x x x =+-=+≤≤换元法求得函数最值得解.【详解】（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元 由题设1()f x k x =，()g x k =，由图知()21f =，故112k =，又(4)4g =，∴22k =． 从而1()(0)2f x x x =≥，()0)g x x =≥．（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业利润为y 万元21()(10)10)y f x g x x x =+-=+≤≤令t =21(2)7(02y t t =--+≤≤ 当2t =时，max 7y =，此时6x =．【点睛】函数最值问题中函数表达式中若含有根式，通常采用换元法求解函数最值.24．（1）()()2,04,15,420,82x x N v x x x N **⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩；（2）当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大为252千克/立方米. 【分析】 （1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．当420x ≤时，设()v x ax b =+，()v x ax b =+在[4，20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，能求出函数()v x ． （2）依题意并由（1），22,04,*()12,420,*85x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，根据分段函数的性质求出各段的最大值，再取两者中较大的即可，由此能求出结果．【详解】解：（1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．当420x ≤≤时，设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[4，20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得18a =-，52b =， 故函数**2,04,()15.420,82x x N v x x x x N ⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ （2）依题意并由（1）得22,04,*()12,420,*85x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩， 当04x ≤<时，()f x 为增函数，且()4428f =⨯=．当420x ≤≤时，22121()(10)12.5858f x x x x =-+=--+， ()(10)12.5max f x f ==．所以，当020x ≤≤时，()f x 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．25．（1）函数模型()1030x f x =+，不符合公司要求；详见解析；（2）[]1,2. 【分析】（1）研究函数()1030x f x =+的单调性与值域，验证该函数是否满足题中三个要求，即可得出结论；（2）先求出函数()y g x =的最大值()()max 1600405g x g a ==-，由40575a -≤求出实数a 的范围，在利用参变量分离法求出满足()5x g x ≤恒成立时实数a 的取值范围，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）对于函数模型()1030x f x =+， 当[]25,1600x ∈时，函数()y f x =是单调递增函数，则()()160075f x f ≤≤显然恒成立，若函数()5x f x ≤恒成立，即10305x x +≤，解得60x ≥，则()5x f x ≤不恒成立， 综上所述，函数模型()1030x f x =+，满足基本要求①②，但是不满足③， 故函数模型()1030x f x =+，不符合公司要求；（2）当[]25,1600x ∈时，()()51g x a =≥单调递增，∴函数()y g x =的最大值为()16005405g a ==-，由题意可得40575a -≤，解得2a ≤.设()55x g x =≤恒成立，2255x a x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭恒成立，即225225x a x ≤++， 对于函数2251252525x y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，该函数在25x =处取得最小值，即min 252522525y =+=，2224a ∴≤+=，1a ≥，12a ∴≤≤. 因此，实数a 的取值范围是[]1,2. 【点睛】本题考查函数模型的选择，本质上就是考查函数基本性质的应用，同时也考查了函数不等式恒成立问题，在求解含单参数的不等式恒成立问题，可充分利用参变量分离法转化为函数最值问题来求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.26．（1）是“精彩区间”，理由见解析；（2）不是“精彩函数”，理由见解析；（3）1744m -<≤- 【分析】 （1）先判断函数3y x =是否满足“精彩函数”的条件，从而可判断0,1是否为函数3y x=的“精彩区间”；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否满足“精彩函数”的条件即可； （3）由()g x 是“精彩函数”，可知()g x x =至少存在两个不等的实数解，可转化为()222140x m x m -++-=有两个不等的实数根，两实根都不小于4-和m ，结合二次函数的性质，求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，3y x =是R 上的增函数，易知3y x =在0,1上的值域为0,1，所以函数3y x =是“精彩区间”，0,1是该函数的“精彩区间”.（2）不是精彩函数，证明如下：因为函数()()40f x x x x =+>在区间()0,2上单调递减，在区间2,上单调递增， 所以函数()4f x x x =+在定义域0,上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件， 所以函数()()40f x x x x=+>不是“精彩函数”.（3）由题意，函数()g x m =的定义域为[)4,-+∞，且()g x 在定义域上为单调递增函数，因为函数()g x m 是“精彩函数”m x =至少存在两个不等的实数解， 方程整理得()222140x m x m -++-=， 所以该方程有两个不等的实数根，设为12,x x ，不妨设21x x >，则214x x >≥-，。

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北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(答案解析)

北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(答案解析)

一、选择题1．已知1,0 ()1,0axxf xx xx+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则下列关于[()]1y f f x=+的零点的判断正确的是（）A．当0a>时，有4个零点，当0a<时，有1个零点；B．当0a>时，有3个零点，当0a<时，有2个零点；C．无论a为何值，均有2个零点；D．无论a为何值，均有4个零点．2．若函数2()f x x x a=--有四个零点，则关于x的方程210ax x++=的实根个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定3．已知函数()24xf x=-，()()()1g x a x a x a=-++同时满足：①x∀∈R，都有()0f x<或()0g x<，②(],1x∃∈-∞-，()()0f xg x<，则实数a的取值范围为（）A．(-3，0) B．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C．(-3，-1) D．(-3，-1]4．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（）A．4.25米B．4.5米C．3.9米D．4.05米5．对于函数()f x﹐若集合()(){}0,x x f x f x>=-中恰有k个元素，则称函数()f x是“k阶准偶函数”.若函数21,()2,xx af xx x a⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a的取值范围是（）A．(),0-∞B．[)0,2C．[)0,4D．[)2,46．函数()32xy x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．y =lnxB ．21y x =+C ．y =sinxD ．y =cosx8．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[]1,4C ．[]1,6D ．[][]0,13,89．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．1410．已知函数()21xf x x =++，()2log 1g x x x =++，()2log 1h x x =-的零点依次为,,a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<11．若函数()22f x x x a =--有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a <≤B ．10a -<<C ．0a =或1a >D ．01a <<12．已知定义在R 上的函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-⎪⎩，若函数()()k x f x ax =-恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,11,0e ⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(){}1,1,10e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．(){}11,00,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题13．设方程240x mx -+=的两根为α，β，其中[1,3]α∈，则实数m 的取值范围是________.14．设函数212,2()1,2xx f x x x lnx x ⎧⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩，若函数()()F x f x a =+恰有2个零点，则实数a的取值范围是__.15．函数2()23f x x x a =---有四个零点，则a 的取值范围为_______. 16．函数()22|cos |cos 3x x f x =+-在区间[0,2]π内的零点个数是_____. 17．函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个，则实数k =__________. 18．若关于x 的方程2220x x m ---=有三个不相等的实数根，则实数m 的值为_______.19．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，()[]g x x x =-．若方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根，则a 的取值范围为________．20．已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．设函数2()2||3f x x x =-+；（1）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明你的结论；（2）画出()y f x =的图象；若方程()f x m =有3个不同的实数根，试写出这3个根． 22．已知函数f （x ）＝a x +21x x -+（a ＞1）. （1）求证：f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）若a ＝3，求方程f （x ）＝0的正根（精确到0.1）.23．我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a '(与a 之间满足·)kta a e -'=.现测得出土的古莲子中14C 残余量占原始量的87.9%，试推算古莲子是多少年前的遗物.(注：计算结果精确到个位数；20.693ln ≈，2log 0.8790.186≈-.)24．科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投a (14a ≤≤且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x （小时)化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()161,04815,4102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6小时后再投放1个单位的药剂，则在接下来的4小时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值？最小值为多少？ 25．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(,0)x ∈-∞时，1()1f x x x=++． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()224g x f x x x =+-，证明：函数()g x 的图像在区间1,内与x 轴恰有一个交点．26．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫-⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x . （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项． 【详解】0x >时，1()f x x x=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解．0x ≤时，若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和t =，20a-<，01<<，因此2()f x a =-有两解，()f x =4解．0a <时，()1f t =-只有一解112t =<，1()2f x =只有一解，∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．2．C解析：C 【分析】由()0f x =可得出2x x a =-，将问题转化为曲线2yx 与曲线y x a =-有4个交点，数形结合可求得实数a 的取值范围，进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数. 【详解】由()0f x =可得出2x x a =-，作出函数2yx 与函数y x a =-的图象如下图所示：,,x a x a y x a x a x a-≥⎧=-=⎨-+<⎩，若使得函数()2f x x x a =--有4个零点，则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2y x 的图象有两个交点， 联立2y x a y x =-⎧⎨=⎩可得20x x a -+=，1140a ∆=->，解得14a <， 联立2y x a y x =-+⎧⎨=⎩可得20x x a +-=，2140a ∆=+>，解得14a >-， 当0a =时，则()()21f x x x xx =-=-，令()0f x =，可得0x =或1x =±，此时，函数()y f x =只有3个零点，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是11,00,44⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 对于二次方程210ax x ++=，140a ∆=->， 因此，关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根.故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.3．C解析：C 【分析】先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】∵()24xf x =-，∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-，∴112a a <-⎧⎨--<⎩，解得31a -<<-. 故选：C . 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.4．D解析：D 【分析】可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．【详解】解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-， 即抛物线的方程为25x y =-，令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．【点睛】利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.5．B解析：B 【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分0a <，0a >，0a =三种情况分析即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2yx 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B 【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()f x ，()f x -可能取何值，进而根据22x x =方程有两个解2x =或4x =求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.6．B解析：B 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解. 【详解】因为函数()32xy x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322xxf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，由()()()32112xxy x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD故选：B 【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.7．D解析：D 【详解】选项A ：ln y x =的定义域为（0,+∞），故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错； 选项D ：cos y x =是偶函数， 且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.8．B解析：B 【详解】根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.9．C解析：C 【分析】解方程()0g x =，得1()2f x =或1()4f x =，作出()f x 的图象，由对称性只要作0x >的部分，观察()f x 的图象与直线12y =和直线14y =的交点的个数即得． 【详解】2()8()6()10g x f x f x =-+=,1()2f x ∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.，是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22时，>∈+=⋯=-x x k k k f x f x ，是由(]22,2,∈-x k k 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，根据对称轴可得y 左侧的结论，6x >时，1()8f x ≤，()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为2(35)16⨯+=， 故选：C ．【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．10．A解析：A 【解析】令函数()210xf x x =++=，可得0x <，即0a <，令()2log 10g x x x =++=，则01x <<，即01b <<，令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =，显然a b c <<，故选A.11．D解析：D 【分析】 令0f x，可得22x x a -=，作出()22g x x x =-的图象，令直线y a =与()g x 的图象有4个交点，可求出实数a的取值范围.【详解】令0f x，则22x x a-=，构造函数()22g x x x=-，作出()g x的图象，如下图，()g x在()0,2上的最大值为()1121g=-=，当01a<<时，直线y a=与()g x的图象有4个交点，所以函数()f x有4个零点，实数a的取值范围为01a<<.故选：D.【点睛】本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 12．C解析：C【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出a的范围．【详解】()0f x ax-=()f x ax⇒=，所以函数()y f x=的图象与直线y ax=有两个交点，作出函数()2ln,1,1x xf xx x x>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩的图象，如下图，由()lnf x x=得1()f xx'=，设直线y ax=与()lnf x x=图象切点为00(,)P x y，则00000ln1y xax x x===，x e=，所以11ax e==．由2()f x x x =-得()12f x x '=-，(0)1f '=，y ax =与2y x x 在原点相切时，1a =，由2()f x x x =-得()21f x x '=-，(0)1f '=-，y ax =与2yx x 在原点相切时，1a =-，所以直线y x =，y x =-，1ey x =与曲线()f x 相切， 由直线y ax =与曲线()y f x =的位置关系可得： 当(){}1,1,10e a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y k x =恰有两个零点.故选：C . 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解．二、填空题13．【分析】由题意利用韦达定理不等式的性质求出实数的取值范围【详解】解：方程的两根其中故即解得或令①解得；②解得综上可得故答案为：【点睛】本题考查二次函数根的分布问题属于中档题 解析：[]4,5【分析】由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数m 的取值范围． 【详解】 解：方程240x mx -+=的两根α，β，其中[1,3]α∈， 故0∆，即()2440m --⨯≥，解得4m ≥或4m ≤-，令()24f x x mx =-+①()()0130f f ∆⎧⎨≤⎩，解得1353m ≤≤； ②()()01030132f f m ∆⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪≤≤⎪⎩解得134,3m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上可得[]4,5m ∈ 故答案为：[]4,5． 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.14．【分析】令求出函数的导数判断函数的单调性结合函数的图象推出结果即可【详解】解：令则令得或（舍去）当时；当时所以在上是减函数在上是增函数又（1）而在上是增函数且作出函数的图象如图由得所以当即时函数与的解析：[2-，12]4ln -. 【分析】令2()g x x x lnx =--，12x >，求出函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，推出结果即可. 【详解】解：令2()g x x x lnx =--，12x >， 则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-'=--==， 令()0g x '=，得1x =或12x =-（舍去）当112x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在1(,1)2上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，又11()224g ln =-+，g （1）0=，而2xy =在1(,)2-∞上是增函数，且022x<，作出函数()f x 的图象如图，由()0F x =得()f x a =-，所以当1224ln a-+-即1224aln --时，函数()y f x =与y a =-的图象有两个交点.故答案为：1[2,2]4ln --.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.15．【分析】函数零点转化为的解即函数与直线的交点的横坐标由数形结合思想可得解【详解】由得作函数的图象和直线如图函数在和上递减在和上递增由图象知当时的图象和直线有四个交点即有4个零点故答案为：【点睛】本题 解析：(0,4)【分析】函数零点转化为223x x a --=的解，即函数2()23g x x x =--与直线y a =的交点的横坐标，由数形结合思想可得解． 【详解】由()0f x =得223x x a --=，作函数2()23g x x x =--的图象和直线y a =，如图，函数()g x 在(,1)-∞-和(1,3)上递减，在(1,3)-和(3,)+∞上递增，(1)4f =，由图象知当04a <<时，2()23g x x x =--的图象和直线y a =有四个交点．即()f x 有4个零点．故答案为：(0,4)．【点睛】本题考查函数的零点个数，解题时把问题转化为函数图象与直线交点个数，通过数形结合思想求解．16．4【分析】根据角的范围确定余弦函数的符号去掉绝对值作函数图象利用数形结合求解函数的零点个数即可【详解】令则设则当时当时画出函数的图象易知函数的图象与直线有4个不同的交点故答案为：4【点睛】本题考查三解析：4 【分析】根据角的范围确定余弦函数的符号，去掉绝对值，作函数图象，利用数形结合求解函数的零点个数即可. 【详解】令()0f x =，则22|cos |cos 3x x +=，设()2|cos |cos g x x x =+， 则当30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()3cos g x x =， 当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos g x x =-， 画出函数()y g x =的图象，，易知函数()y g x =的图象与直线23y =有4个不同的交点， 故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数的求值，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.17．1或【分析】作出函数的图象与函数的图象由图象求实数的值【详解】解：作出函数的图象与函数的图象如下图：当过点时成立此时；当时联立消去得解得故答案为：1或【点睛】本题考查了数学结合思想分类讨论思想属于基解析：1或54【分析】作出函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象，由图象求实数k 的值． 【详解】解：作出函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象如下图：当过点(1,0)-时，成立，此时，1k =-；当(1,1)x ∈-时，21y x =-，联立21y x y x k⎧=-⎨=+⎩，消去y 得210x x k ++-=，()21410k ∆=--=解得 54k =， 故答案为：1或54． 【点睛】本题考查了数学结合思想，分类讨论思想，属于基础题.18．3【解析】令则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点画出函数的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则答案：3解析：3 【解析】令()222f x x x =--，则由题意可得函数()y f x =与函数y m =的图象有三个公共点．画出函数()222f x x x =--的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则3m =． 答案：319．1)∪(1)∪(【分析】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象根据函数的性质分类讨论进行求解即可【详解】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象如下图所示：函数的定解析：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【分析】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),log ()2a y g x y x ==-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，根据函数1log ()2a y x =-的性质分类讨论进行求解即可.【详解】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，如下图所示：函数1()log ()2a y h x x ==-的定义域为1(,)2+∞，且恒过定点3(,0)2.当01a <<时，当(1)1h ≥时，函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，解得12a ≥，所以有112a ≤<；当1a >时，要想函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，只需满足：(2)1h ≥或(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解得(1，32)或 (52，72]，综上所述：a 的取值范围为[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72]. 故答案为：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【点睛】本题考查了已知方程根的情况求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想，考查了数学运算能力.20．【分析】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象利用数形结合思想进行求解即可【详解】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象如下图所示：由图象可知 解析：(1,3)【分析】函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数a 的取值范围是13a <<.故答案为：(1,3) 【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.三、解答题21．（1）偶函数，证明见解析；（2）画图见解析；2-，0，2. 【分析】（1）根据偶函数的定义计算()f x -与()f x 比较即可判断证明()f x 的奇偶性； （2）作出()y f x =在()0,∞+上的图象，利用奇偶性即可得(),0-∞的图象，由图能判断3m =，再解方程即可. 【详解】（1）()f x 为偶函数，证明如下： ()f x 的定义域为R 关于原点对称；22()()2||32||3()f x x x x x f x -=---+=-+=，所以()f x 为偶函数．（2）22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧--≥=-+=⎨+-<⎩，图象如图所示：若方程()f x m =有3个不同的实数根，由图知：3m =； 当0x ≥时，2233x x -+=，解得120,2x x ==； 当0x <时，2233x x ++=，解得32x =-， 所以()f x m =的解为2-，0，2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据函数是偶函数结合二次函数的性质正确作出函数图象，由图能判断3m =，再解方程即可. 22．（1）证明见解析；（2）0.312 5. 【分析】（1）根据定义法证明函数在所给区间的单调性，依次按取值，设定大小，作差，判断符号，可得出结果.（2）把a ＝3代入可得()231x x fx x -=++，根据（1）的结论可知正根在区间(0,1)内，然后利用二分法近似求解步骤计算即可. 【详解】证明：（1）设121x x -<<∴()()()()()121212121212123221111x x x x x x x x f x f x a a a a x x x x ----=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴1210,10,x x +>+>120x x -< ∴()()()1212311x x x x -++＜0；∵121x x -<<，且a ＞1，∴12x x a a <，∴120-<x x a a ， ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在()1+-∞，上为增函数； （2）由（1）知，当a ＝3时，()231x x fx x -=++在()1+-∞，上为增函数， 故在()0+∞，上也单调递增，由于()()5010,102f f =-<=>，因此()0f x =的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于()()5010,102f f =-<=> ， ∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：∴原方程的近似解可取为0.312 5. 【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：(1)在给定的区间内任取变量12,x x ，且设12x x <.(2)作差()()12f x f x -变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判断符号，得出()()12f x f x ，的大小. (4)得出结论.23．古莲子约为1036年前的遗物 【分析】由14C 的半衰期，计算可得k ，再由两边取2为底的对数，计算可得所求值. 【详解】 由题意可得55701·2k a a e -=， 即557012k e -=， 解得25570ln k =， 由0.879?kt a a e -=， 即0.879kt e -=，两边取2为底的对数，可得2222log 0.879log ?·log 5570ln kt e t e =-=-， 5570t-=， 则55700.1861036t =⨯≈. 则古莲子约为1036年前的遗物. 【点睛】本题主要考查函数在实际问题中的运用以及指数与对数的运算，还考查了函数思想和运算能力，属于中档题.24．（1）8小时；（2）10小时时浓度达到最小值3 【分析】（1）根据题意列出不等式()44f x ≥，求解出不等式解集，即可得到有效治污的持续时间；（2）根据条件求解出药剂在水中释放的浓度y 的解析式，然后利用基本不等式求解出对应的最小值，并计算出取最小值时对应的时间. 【详解】（1）因为()644,0448202,410x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，令64448x-≥-，解得04x ≤≤， 当410x <≤时，令2024x -≥，解得48x <≤，所以有效治污时间能持续8小时；（2）设在第x 个小时达到最小值，则610x ≤≤，所以()116162511928614y x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⋅-=-+⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣⎦，所以()161455314y x x =-+-≥=-， 取等号时161414x x-=-，即10x =， 所以10小时的时候浓度达到最小值，最小值为3. 【点睛】易错点睛：实际问题中求解函数解析式以及采用基本不等式求最值需要注意的事项： （1）函数应用类型的问题，写函数解析式时一定要注意函数的定义域不能丢； （2）利用基本不等式求解最值的时候，注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.25．（1）()11,00,011,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪+->⎩；（2）证明见解析.【分析】（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，利用()()f x f x =-- 求当(0,)x ∈+∞时的解析式，结合(0)(0)f f =-即可得答案；（2）先利用定义证明当(1,)x ∈+∞时， 1()1f x x x=+-递增，结合224y x x =-在(1,)+∞单调递增，可得()()224g x f x x x =+-在(1,)+∞单调递增，利用零点存在性定理可得答案. 【详解】（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，所以11()()11f x f x x x x x ⎛⎫=--=--++=+- ⎪-⎝⎭ 当0x =时，(0)(0)f f =-， 所以()0f x =.所以()11,00,011,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪+->⎩（2）当(1,)x ∈+∞时，由（1）知1()1f x x x=+-， 设121x x <<，则12121211()()11f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121211x x x x =-+-()()()1212121212111x x x x x x x x x x --⎛⎫=--= ⎪⎝⎭因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->, 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <,所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增.又因为224y x x =-在(1,)+∞单调递增，所以()()224g x f x x x =+-在(1,)+∞单调递增，又因为()()()311210,202g f g =-=-<=>，即()()120⋅<g g ， 所以函数()g x 在1,恰有一个零点．即函数()g x 的图象在区间1,内与x 轴恰有一个交点.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x ->可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数. 26．（1）500名；（2）(0,5]. 【分析】（1）求出剩下1000x -名员工创造的利润列不等式求解；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出a 的范围． 【详解】解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤. 即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+⎪⎝⎭x x 万元，则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以223110002500500x ax x x x -+--.所以221000500++x ax x ，即210001500++x ax 在(0,500]x ∈时恒成立. 因为21000224500x x+=， 当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立，所以5a ≤， 又0a >，所以05a <≤.所以a 的取值范围为(0,5].【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．。

最新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(答案解析)

最新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(答案解析)

一、选择题1．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m ≥-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为()2,0和()3,0 2．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．80,11⎛⎫⎪⎝⎭B ．110,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．80,19⎛⎫⎪⎝⎭D ．190,8⎛⎫⎪⎝⎭3．已知函数22,()11,x x x a f x x a x⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数图象与x 轴有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()[),11,2-∞-⋃C ．[)1,2D ．(]()1,12,-+∞4．已知函数()223,021,0x x x f x x -+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若存在三个实数m n q ≠≠，使得()()()f m f n f q ==成立，则111222m n q ++的取值范围是（ ） A ．[]0,1B．51,22⎛+⎝ C．(2,D ．()0,15．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）A ．4.25米B ．4.5米C ．3.9米D ．4.05米6．激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry ，LDV ）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移()2sin 1/h p v f ϕλ=，其中v 为被测物体的横向速度，ϕ为两束探测光线夹角的一半，λ为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91560nm 1nm 10m -=，测得这时刻的频移为()98.72101/h ⨯，则该时刻高铁的速度约为（ ）A ．320km/hB ．330km/hC ．340km/hD ．350km/h7．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[]1,4C ．[]1,6D ．[][]0,13,88．已知函数()()f x x R ∈是奇函数且当(0,)x ∈+∞时是减函数，若(1)0f =，则函数2(2||)y f x x =-的零点共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个9．已知定义在R 上的函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-⎪⎩，若函数()()k x f x ax =-恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,11,0e ⎛-⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(){}1,1,10e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．(){}11,00,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若a b c <<，且满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞B ．(],1-∞-C ．[]2,0-D ．[]4,0-11．下列方程在区间()1,1-内存在实数解的是（ ） A ．230x x +-=B ．10x e x --=C ．()3ln 10x x -++=D ．2lg 0x x -=12．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞二、填空题13．在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.14．设()f x 是定义域在R 上的偶函数，对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，且当1[]0x ∈-，时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间[]1,3-内关于x 的方程2()(1)0f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_________.15．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则λ的取值范围为______.16．已知函数2log ,02()25(),239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，若函数g (x )=f (x )-k 有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________. 17．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．18．若方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ，且110x -<<，201x <<，则实数k 的取值范围是__________.19．规定[]t 为不超过t 的最大整数，如[]3.33=，[]2.43-=-.若函数()[][]()2f x x x x =-∈R ，则方程()()22f x f x -=的解集是______.20．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为________三、解答题21．2009年淘宝开始做“双十一”活动，历经11载，每年双十一成交额都会出现惊人的增长，极大拉动消费内需，促进经济发展.已知今年小明在网上买了一部华为手机，据了解手机是从150千米处的地方发出，运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶，中途不停车.按交通法规限制60120x ≤≤（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升5元，而卡车运输过程中每小时耗油25400x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机的工资是每小时20元. （1）求这次行车总费用y （单位：元）关于x 的表达式； （2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.22．有A 、B 两城相距120km ，某天然气公司计划修建一条管道为两城供气，并在两城之间设立供气站点D （如图），为保证城市安全，规定站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．又已知A 城一边有段10km 长的旧管道AC ，准备改造利用，改造费用为5万元//km ，其余地段都要新建，新建的费用（含站点D ）与站点D 到A 、B 两城方向上新修建的长度的平方和成正比．．．．．．．．．，并且当站点D 距A 城距离为40km 时，新建的费用为1825万元．设站点D 距A 城的距离为km x ，A ，B 两城之间天然气管道的建设总费用为y 万元．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出其定义域；（2）天然气站点D 距A 城多远时，建设总费用最小？最小总费用多少？23．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式()f t ；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式()g t ；（Ⅱ）若记市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg ，时间单位：天）．24．科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投a (14a ≤≤且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x （小时)化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()161,04815,4102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6小时后再投放1个单位的药剂，则在接下来的4小时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值？最小值为多少？25．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是:当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立．） （1）判断函数() 1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； （2）已知函数()()51g x a x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．（参考结论：函数()()0af x x a x=+>的增区间为(,a -∞、),a +∞，减区间为(),0a 、(a ）26．宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量L（单位：百斤）与施用肥料x（单位：百斤）满足如下关系：23 8(2),02()603,312x xL xxxx⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩，肥料成本投入为5x（单位：百元），其它成本投入为10x（单位：百元）.已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为()f x（单位：百元）.（1）求()f x的函数关系式；（2）当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？（参考数据：2 1.414≈）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】画出函数()()23y x x=--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项.【详解】画出二次函数()()23y x x=--的图像如下图所示，当0m=时，122,3x x==成立，故A选项结论正确.根据二次函数图像的对称性可知，当 2.5x=时，y取得最小值为14-，要使()()23y x x m=--=有两个不相等的实数根，则需14m >-，故B 选项结论正确. 当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误. 由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=， 根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-. 所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m =--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0. 故选：C. 【点睛】思路点睛：一元二次方程根的分布，根据其有两个不等的实根，结合根与系数的关系、函数图象，判断各选项的正误.2．A解析：A 【分析】先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得()()()222f x f x f x +=-=-，即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数；若[]2,0x ∈-，则[]0,2x ∈；因为当[]0,2x ∈时，()f x x =， 所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=， 即()f x x =-，[]2,0x ∈-，则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩， 因为()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，故()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象如图：易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+， 则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<，因为7,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以20871114MA k -==+，故8011k <<. 故选：A.【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.3．B解析：B 【分析】讨论a 的范围，分别确定x a ≤、x a >上与x 轴的交点情况，即可确定实数a 的取值范围. 【详解】∵当x a ≤时，()(2)(1)f x x x =-+， ∴当2a ≥时，()f x 在x a ≤与x 轴有2个交点； 当12a -≤<时，()f x 在x a ≤与x 轴有1个交点； 当1a <-时，()f x 在x a ≤与x 轴无交点；∵当x a >时，1(1)f x x=-，与x 轴有交点时交点为(1,0)， ∴当1a ≥时，()f x 在x a >与x 轴无交点； 当1a <时，()f x 在x a >与x 轴有1个交点；综上要使()f x 在R 上与x 轴有且仅有一个交点，即12a ≤<或1a <-， 故选：B易错点睛：讨论不等式的参数时，要注意参数边界是否可以取等号.1x =时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a >与x 轴无交点则1a ≥. 1x =-时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a ≤与x 轴无交点则1a <-. 4．B解析：B 【分析】作出函数()f x 的示意图，令()()()f m f n f q t ===，m n q <<，由图象及指数运算得到1222nq --+=和3(,1)2m ∈--，再利用不等式的性质即可得到答案. 【详解】令()()()f m f n f q t ===，不妨设m n q <<，作出函数()f x 的图象如图所示， 则(0,1)t ∈，23m t +=，所以33(,1)22t m -=∈--，2(2,22)m -∈ 又22|21||21|nq ---=-，所以222112n q ---=-，即1222n q --+=所以1111512(,22)222222mm n q -++=+∈+ 故选：B【点睛】关键点睛：本题解题关键是准确作出函数图象，令()()()f m f n f q t ===，m n q <<得到1222nq --+=以及m 及2m -的范围，从而使问题得到解决. 5．D解析：D 【分析】可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-， 即抛物线的方程为25x y =-，令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．【点睛】利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.6．C解析：C 【分析】先根据图象，求出sin ϕ的值，再根据公式即可计算出v 的值． 【详解】 解：332sin 1.00041(2010)ϕ--==+⨯92 1.00048.7210v ⋅∴⨯=，即8.721560 1.0004=⋅ 8.721560 1.0004340148.0090.04v ⨯∴=≈米/小时340/km h ≈，故该时刻高铁的速度约为340/km h ． 故选：C ． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的实际应用，也考查了学生的计算能力，关键在于将生活中的数据转化为数学公式中的数据，属于中档题．7．B解析：B【详解】根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.8．D解析：D 【解析】根据题意，函数y=f （x ）是定义域为R 的奇函数，则f （0）=0，当x ∈（0，+∞）时是减函数，且f （1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点， 若函数y=f （x ）是奇函数且当x ∈（0，+∞）时是减函数，则f （x ）在（-∞，0）为减函数，又由f （1）=0，则f （-1）=-f （1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点， 故函数y=f （x ）共有3个零点，依次为-1、0、1， 对于函数()22y f x x =-，当221x x -=-时，解得1x =±， 当220x x -=时，解得2x =±或0x =，当221x x -=时，解得12x =+或12x =--. 故函数()22y f x x =-的零点共有7个. 故选D点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f （x ）的零点，注意计算的准确性.9．C解析：C 【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出a 的范围． 【详解】()0f x ax -=()f x ax ⇒=，所以函数()y f x =的图象与直线y ax =有两个交点，作出函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩的图象，如下图，由()ln f x x =得1()f x x'=，设直线y ax =与()ln f x x =图象切点为00(,)P x y ，则00000ln 1y x a x x x ===，0x e =，所以011a x e ==． 由2()f x x x =-得()12f x x '=-，(0)1f '=，y ax =与2yx x 在原点相切时，1a =，由2()f x x x =-得()21f x x '=-，(0)1f '=-，y ax =与2yx x 在原点相切时，1a =-，所以直线y x =，y x =-，1ey x =与曲线()f x 相切， 由直线y ax =与曲线()y f x =的位置关系可得： 当(){}1,1,10e a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y k x =恰有两个零点.故选：C . 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解．10．A解析：A 【分析】画出()f x 的图象结合图象，求得1bc =、求得a 的取值范围，由此求得abc 的取值范围. 【详解】由函数()f x 的图象（如图），可知1022a b c ≤<≤<≤，由22log log b c =得22log log b c -=，所以1bc =，所以(],0abc a =∈-∞．故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，属于中档题.11．B解析：B 【分析】利用方程和函数之间的关系分别进行判断即可得到结论. 【详解】A ：令2()3f x x x =+-，因为抛物线开口向上，()()1010f f -<<，，所以在区间()1,1-内无实数解；B ：令()10xf x e x =--=，解得0x =，所以在区间()1,1-内有实数解；C ：令()()3ln 1f x x x =-++，则1()101f x x '=+>+在()1,1-成立，所以函数在()1,1-上单调递增，又(1)0f <，故在区间()1,1-内无实数解；D ：当(0,1)x ∈时，()20,1x ∈，lg (,0)x ∈-∞，则2lg 0x x ->，此时方程在()1,1-内无解. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程以及零点存在定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、填空题13．【解析】试题分析：根据二分法取区间中点值而所以故判定根在区间考点：二分法【方法点睛】本题主要考察了二分法属于基础题型对于零点所在区间的问题不管怎么考察基本都要判断端点函数值的正负如果异号那零点必在此解析：3 (,2) 2【解析】试题分析：根据二分法，取区间中点值，而，，所以，故判定根在区间考点：二分法【方法点睛】本题主要考察了二分法，属于基础题型，对于零点所在区间的问题，不管怎么考察，基本都要判断端点函数值的正负，如果异号，那零点必在此区间，如果是几个零点，还要判定此区间的单调性，这个题考查的是二分法，所以要算区间的中点值，和两个端点值的符号，看是否异号．零点肯定在异号的区间．14．【分析】首先结合已知条件判断函数的周期由已知可得函数的周期作出函数的图象数形结合得答案【详解】由得又是定义域在上的偶函数可得是周期为2的周期函数当时作出函数在区间内的图象如图方程有4个不同的实数根即解析：1 0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】首先结合已知条件，判断函数的周期，由已知可得函数的周期，作出函数的图象，数形结合得答案．【详解】由()()11f x f x -=+，得()()2f x f x -=+，又()1f 是定义域在R 上的偶函数，()()()2f x f x f x ∴+=-=， 可得()f x 是周期为2的周期函数．当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴作出函数()f x 在区间[]1,3-内的图象如图，方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，即()y f x =与()21y a x =-的图象在区间[]1,3-内有4个不同交点．当()21y a x =-过()3,1时，解得14a =， 又随着a 的减小抛物线()21y a x =-的开口变大，可得若在区间[]1,3-内关于x 的方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.15．或【分析】当时求出函数的两个零点是和当时求出函数的零点为然后分三类讨论零点可解得结果【详解】当时令得或；当时令得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则此不等式组无解综上所述：解析：12λ-≤<或3λ≥ 【分析】当x λ≤时，求出函数()f x 的两个零点是1-和3，当x λ>时，求出函数()f x 的零点为2，然后分三类讨论零点可解得结果. 【详解】当x λ≤时，令2230x x --=，得1x =-或3x =； 当x λ>时，令()ln 10x -=，得2x =，若()f x 的两个零点是1-和3，则132λλλ-≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，解得3λ≥，若()f x 的两个零点是1-和2，则132λλλ-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得12λ-≤<，若()f x 的两个零点是2和3，则132λλλ->⎧⎪≤⎨⎪>⎩，此不等式组无解，综上所述：λ的取值范围为12λ-≤<或3λ≥. 故答案为：12λ-≤<或3λ≥. 【点睛】关键点点睛：利用方程求出三个实根后，按照三种情况讨论函数()f x 的零点是哪两个进行求解是解题关键.16．【分析】作出函数f(x)的图象将函数g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点转化为y=f(x)y=k 的图象又两个不同的交点求解【详解】函数的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点等解析：5,19⎛⎫⎪⎝⎭【分析】作出函数f (x )，的图象，将函数g (x )=f (x )-k 有两个不同的零点，转化为y =f (x )，y =k 的图象又两个不同的交点求解. 【详解】函数2log ,02()25(),239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，由图知：51 9k<<故答案为：5,1 9⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．17．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为2解析：2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.18．【分析】将方程的根转化为函数零点问题再利用零点存在性定理求解【详解】由题知方程的两根为且故设则有故答案为:【点睛】本题考查二次函数根的分布问题需要学生熟悉二次函数的图像性质解决此类问题时常结合零点存解析：3(,1)4【分析】将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解. 【详解】由题知方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ,且110x -<<,201x <<,故设()f x =22(1)1kx k x k +-+-,(0)k >则有(1)2210103(0)10114(1)221034f k k k f k k k f k k k k ⎧⎪-=-++->>⎧⎪⎪=-<⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪=+-+->⎩⎪>⎩, 故答案为:3(,1)4. 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决.19．【分析】先计算出的取值再结合题目中的规定计算出结果【详解】由方程可得或若则故或由题目中的规定为不超过的最大整数当时可得当时可得;若则无解综上方程的解集是故答案为:【点睛】本题考查了新定义内容结合函数解析：[)[)1,02,3-【分析】先计算出()f x 的取值,再结合题目中的规定计算出结果. 【详解】 由方程()()22fx f x -=,可得()2f x =或()1f x =-,若()2f x =,则[][]()22x x x -=∈R ,故[]2x =或[]1x =-,由题目中的规定[]t 为不超过t 的最大整数, 当[]2x =时,可得23x ≤<, 当[]1x =-时,可得10x -≤<;若()1f x =-,则[][]()21x x x -=-∈R 无解,综上方程()()22fx f x -=的解集是[)[)1,02,3-.故答案为:[)[)1,02,3-【点睛】本题考查了新定义内容,结合函数思想来解题,需要理清题意,抓住题目的核心,通常考查函数的性质、零点等问题.20．3【分析】根据题意求得的周期；画出的图象数形结合根据函数图象交点个数即可求得零点个数【详解】当时则此时有∵∴∴函数是周期为2的周期函数令则由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数在解析：3 【分析】根据题意，求得()f x 的周期；画出(),ln y f x y x ==的图象，数形结合，根据函数图象交点个数即可求得零点个数. 【详解】当10x -<时，则011x +<， 此时有()(1)1f x f x x =-+=--， ∵()()1f x f x +=-，∴()()21[()]()f x f x f x f x +=-+=--=，∴函数()y f x =是周期为2的周期函数. 令()()ln 0g x f x x =-=，则()ln f x x =， 由题意得函数()()ln g x f x x =-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数y ln x =的图象交点的个数.在同一坐标系内画出函数()y f x =和函数y ln x =的图象（如图所示），结合图象可得两函数的图象有三个交点，∴函数()()ln g x f x x =-的零点个数为3.故答案为：3.【点睛】本题考查数形结合判断函数零点个数的问题，涉及函数周期性的求解，属综合中档题.三、解答题21．（1）y 6750158x x =+，[]60,120x ∈；（2）当x 为60时，这次行车的总费用最低，最低费用是225元.【分析】（1）总费用由油耗、司机工资费用组成，分别用x 表示两部分费用加总即可； （2）由（1）所得函数表达式，利用基本不等式求最小值即可.【详解】 解：（1）货车行驶的时间为150x小时，由题意得： 21501505520400x y x x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭6750158x x =+，[]60,120x ∈； （2）675015675015222588x x y x x =+≥⋅=当且仅当6750158x x =，即60x =时取等号 所以当x 为60时，这次行车的总费用最低，最低费用是225元.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，必须满足的三个条件--“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件.22．（1）y 21(1307350)2x x =-+，定义域为[15,105]（2）天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元.【分析】 （1）根据站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．可求得15105x ≤≤，设22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，根据当40x =时，1825501875y =+=，求出k ，从而可得y 与x 之间的函数关系式；（2）根据二次函数知识可求得最值.【详解】（1）因为站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．所以1512015x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得15105x ≤≤， 设22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，15105x ≤≤，当40x =时，1825501875y =+=，所以22(3080)501875k ++=，解得14k =， 所以221[(10)(120)]5104y x x =-+-+⨯21(1307350)2x x =-+，15105x ≤≤. （2）y 21(1307350)2x x =-+21(65)1562.52x =-+， 所以当65x =时，min 1562.5y =万元.所以当天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元.【点睛】关键点点睛：理解题意，建立正确的数学模型是解决函数应用题的关键.23．（Ⅰ）300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤；（Ⅱ）从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大.【分析】（Ⅰ）根据图①的图象可知：是由一次函数构成的分段函数由点()()()0,300,200,100,300,300写出函数解析式；根据图②的图象是二次函数；由顶点()150,100和过点()250,150，写出函数解析式；（Ⅱ）设纯收益为h ，市场售价减去种植成本为纯收益，得到()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩求解. 【详解】（Ⅰ）当0200t ≤≤时，设()111()0f t k t b k =+≠，则111300200100b k b =⎧⎨+=⎩，解得113001b k =⎧⎨=-⎩， 所以()300f t t =-.当200300t <≤时，设()222()0f t k t b k =+≠，则2222300300200100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得223002b k =-⎧⎨=⎩， 所以()2300f t t =-.综上市场售价与时间的函数关系式300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩； 设()2()150100g t a t =-+，则()2150250150100a =-+，解得1200a =， 所以种植成本与时间的函数关系式()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤； （Ⅱ）设纯收益为h ，因为 若记市场售价减去种植成本为纯收益，所以()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩， 当0200t ≤≤时，()22111751+50+10020022200h t t t =-+=--， 所以当50t =时，纯收益h 取得最大值100；当200300t <≤时，()221710251+350+10020022200h t t t =-+=-- 当300t =时，纯收益h 取得最大值87.5，因为10087.5>，所以当50t =即从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大.【点睛】结论点睛：函数模型的应用一般分为三类：（1）已知函数的图象，可根据图象得到函数类型利用待定系数法建立模型；（2）已知函数有关数表，可根据数据分析函数类型利用待定系数法建立模型； （3）已知函数模型的定义，可根据其定义建立模型.24．（1）8小时；（2）10小时时浓度达到最小值3【分析】（1）根据题意列出不等式()44f x ≥，求解出不等式解集，即可得到有效治污的持续时间；（2）根据条件求解出药剂在水中释放的浓度y 的解析式，然后利用基本不等式求解出对应的最小值，并计算出取最小值时对应的时间.【详解】（1）因为()644,0448202,410x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩， 当04x ≤≤时，令64448x-≥-，解得04x ≤≤， 当410x <≤时，令2024x -≥，解得48x <≤，所以有效治污时间能持续8小时；（2）设在第x 个小时达到最小值，则610x ≤≤， 所以()116162511928614y x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⋅-=-+⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣⎦， 所以()161455314y x x =-+-≥=-， 取等号时161414x x-=-，即10x =， 所以10小时的时候浓度达到最小值，最小值为3.【点睛】易错点睛：实际问题中求解函数解析式以及采用基本不等式求最值需要注意的事项： （1）函数应用类型的问题，写函数解析式时一定要注意函数的定义域不能丢； （2）利用基本不等式求解最值的时候，注意“一正、二定、三相等”，缺一不可. 25．（1）函数模型()1030x f x =+，不符合公司要求；详见解析；（2）[]1,2. 【分析】（1）研究函数()1030x f x =+的单调性与值域，验证该函数是否满足题中三个要求，即可得出结论；（2）先求出函数()y g x =的最大值()()max 1600405g x g a ==-，由40575a -≤求出实数a 的范围，在利用参变量分离法求出满足()5x g x ≤恒成立时实数a 的取值范围，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】。

最新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试题(包含答案解析)

最新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知定义在[﹣2，2]上的函数y ＝f （x ）和y ＝g （x ），其图象如图所示：给出下列四个命题：①方程f [g （x ）]＝0有且仅有6个根； ②方程f [f （x ）]＝0有且仅有5个根方程；③g [g （x ）]＝0有且仅有3个根 ；④方程g [f （x ）]＝0有且仅有4个根，其中正确命题的序号（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④2．设,m n R ∈，定义在区间[],m n 上的函数()()2log 4f x x =-的值域是[]0,2，若关于t 的方程||1102t m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭()t R ∈有实数解，则m n +的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．(]3,2--C ．[]3,1--D ．[)1,23．流行病学基本参数：基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rtI t N e =（其中0N 是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 满足01R rT =+，有学者估计出0 3.4,6R T ==．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I t N =时，t 的值为（ln 20.69≈）（ ） A ．1.2B ．1.7C ．2.0D ．2.54．激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry ，LDV ）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移()2sin 1/h p v f ϕλ=，其中v 为被测物体的横向速度，ϕ为两束探测光线夹角的一半，λ为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91560nm 1nm 10m -=，测得这时刻的频移为()98.72101/h ⨯，则该时刻高铁的速度约为（ ）A ．320km/hB ．330km/hC ．340km/hD ．350km/h5．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）A ．312⎡⎣B ．()2,+∞C ．()1,2D ．(3126．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与 x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是( ) A ．()22xf x x =-B ．()()22f x x bx b R =+-∈C ．()12f x x =--D ．()sin x x x f -=7．函数1,(0)()0,(0)x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ） A ．2b <-且0c >B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0cD ．2b ≥-且0c8．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =- 的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ）A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+9．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[]P Q 、是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[]P Q 、与[]Q P 、看作同一对“友好点对”）．已知函数22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则此函数的“友好点对”有（ ） A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对10．已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21x f x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1，2)B ．(232，2)C ．23(,2)-∞(2， +∞) D ．(2，+∞)11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +--=，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则下列结论正确的是（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 是周期函数，且2是其一个周期；③16132f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④关于x 的方程()0f x t -=（01t <<）在区间()2,7-上的所有实根之和是12. A ．①④B ．①②④C ．③④D ．①②③12．函数121()()2x f x x =-的零点个数为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为______．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若满足x R ∀∈，()0f x <和()0g x <至少有一个成立，则m 的取值范围是______．15．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：()1271012019130.520x x f x x x ，＜，＜-⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪+≤⎪⎩某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有______．（注：请写出所有正确结论的序号）16．已知函数2()ln f x x ax x =++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____ 17．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()21,02413,224x x x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪--> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()27016af x af x ++=⎡⎤⎣⎦，a R ∈有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是__________.18．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ，那么这个人至少经过________小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：lg30.48,lg 40.60≈≈） 19．若y a x =的图象与直线y x a =+（0a >）有两个不同交点，则a 的取值范围是__________. 20．已知函数2()221f x ax ax ax =--+有两个零点，则实数a 的取值范围是________.三、解答题21．对于函数()y g x =，若0x R ∃∈，使00()g x mx =成立，则称0x 为()g x 关于参数m的不动点.设函数2()(1)1f x ax b x b =+++-(0)a ≠（1）当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若b R ∀∈，函数()f x 恒有关于参数1的两个不动点，求a 的取值范围；（3）当1,2a b ==时，函数()f x 在(]0,2x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围.22．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，()21502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，()64001011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？23．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.（1）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x 为多少吨时可使亏损量最小？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？24．为了在“双11”购物狂欢节降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定：①若一次购物付款总额不超过200元，则不予优惠；②若一次购物付款总额超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③若一次购物付款总额超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500的部分给予7折优惠.（1）若一次性购买x 元商品，实际付款数为()f x ，求()f x 的解析式；（2）小丽和她妈妈两人先后各去超市购物一次，分别付款为178元和432元.假如她俩一同去超市一次性购买上述同样的商品，则应付款为多少元？25．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()202C x x x =+(万元).当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x=+-(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 26．某市近郊有一块大约400m 400m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米.（1）求S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值，【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，借助函数的零点，结合函数的图象采用数形结合思想逐一判断即可.【详解】由图象可得﹣2≤g（x）≤2，﹣2≤f（x）≤2，①由于满足方程f[g（x）]＝0 的g（x）有三个不同值，由于每个值g（x）对应了2个x 值，故满足f[g（x）]＝0的x值有6个，即方程f[g（x）]＝0有且仅有6个根，故①正确；②由于满足方程f[f（x）]＝0的f（x）有3个不同的值，从图中可知，一个f（x）等于0，一个f（x）∈（﹣2，﹣1），一个f（x）∈（1，2），而当f（x）＝0对应了3个不同的x值；当f（x）∈（﹣2，﹣1）时，只对应一个x值；当f（x）∈（1，2）时，也只对应一个x值.故满足方程f[f（x）]＝0的x值共有5个，故②正确；③由于满足方程g[g（x）]＝0 的g（x）值有2个，而结合图象可得，每个g（x）值对应2个不同的x值，故满足方程g[g（x）]＝0 的x值有4个，即方程g[g（x）]＝0有且仅有4个根，故③不正确；④由于满足方程g[f（x）]＝0的f（x）有2个不同的值，从图中可知，每一个值f（x），一个f（x）的值在（﹣2，﹣1）上，令一个f（x）的值在（0，1）上，当f（x）的值在（﹣2，﹣1）上时，原方程有一个解，f（x）的值在（0，1）上，原方程有3个解.故满足方程g[f（x）]＝0的x值有4个，故④正确；故选：C.【点睛】由于函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决，此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.2．D解析：D 【分析】首先利用函数值域确定自变量范围，再初步确定m ，n 的关系，然后结合指数函数的性质整理计算即可求得最终结果． 【详解】函数2()log (4||)f x x =-的值域是[0，2]，14||4x ∴-，0||3x ∴，3m ∴=-，03n ，或30m -，3n =；又关于t 的方程||1()10()2t m t R ++=∈ 有实数解，∴||1()12t m =--有解，||11()122t <+，21m ∴-<-， 则3n =， 则12m n +<， 故选：D 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解3．B解析：B 【分析】根据所给模型求得0.4r =，代入已知模型，再由0()2I t N =，得002rtN e N =，求解t 值得答案 【详解】解：把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+，得3.416r =+，解得0.4r =，所以0.40()tI t N e =，由0()2I t N =，得0.4002tN eN =，则0.42t e =，两边取对数得，0.4ln 2t =，得ln 20.691.70.40.4t =≈≈， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题4．C解析：C 【分析】先根据图象，求出sin ϕ的值，再根据公式即可计算出v 的值． 【详解】解：3sin ϕ-==98.7210∴⨯=，即8.72=8.721560340148.0090.04v ⨯∴=≈米/小时340/km h ≈，故该时刻高铁的速度约为340/km h ． 故选：C ． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的实际应用，也考查了学生的计算能力，关键在于将生活中的数据转化为数学公式中的数据，属于中档题．5．A解析：A 【分析】作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象，根据题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象如下图所示：由于在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则()()log 623log 10231a a a ⎧+≤⎪+>⎨⎪>⎩，解得3212a ≤<. 因此，实数a 的取值范围是)32,12⎡⎣.故选：A. 【点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．6．D解析：D 【分析】由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果． 【详解】A 选项：令3na n nb a =，即22x x =，根据2x y =与2y x =图像如图所示：可知当0x >时，有2x =与4x =两个交点 当0x <时，有1个交点因此两函数共有3个交点，故()f x 必有“界点”；B 选项：令220x bx +-=，可知280b ∆=+>，方程恒有2个不等式根，即()f x 必有2个零点，故()f x 必有“界点”；C 选项：令120x --=，解得3x =或1x =，即()f x 有2个零点，故()f x 必有“界点”；D 选项：令sin 0x x -=，令()sin g x x x =-，则()1cos g x x =-'又cos 1≤x ，所以()0g x '≥()g x ∴在(),-∞+∞上单调递增又()00g =，即()g x 只有0x =一个零点，故()f x 不存在“界点”． 本题正确选项：D 【点睛】本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．7．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的方程的根进行分析，得到五个根的情况，从而判断出0c ，之后利用()f x b =-有四个根，结合函数图象求得结果. 【详解】当0x =时()0f x =，当0x =为()()20f x bf x c ++=的一个根时可得0c.所以()()20fx bf x c ++=即()()20f x bf x +=有4个不同的根， ()0f x ≠，()f x b ∴=-有4个根.0x ≠时()11122f x x x x x x x=+=+≥=，图象如图所示：由图可知22b b ->⇒<-. 综上可得2,0b c <-=. 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的个数判断参数的取值范围的问题，充要条件的判断，在解题的过程中，注意数形结合思想的应用，属于中档题目.8．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意有00()0x f x e-=，所以00()x f x e =，而000000()1()110x x x x f x e f x e e e ----+=-+=-⋅+=，所以有0x -是函数()1x y f x e =+的零点，故选A ．考点：函数的零点的定义．9．C解析：C 【分析】由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，结合22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数，从而作图解答 【详解】解：由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，因为22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数， 作2x y -=-与22y x x =-的图像如图所示，两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对 故选：C 【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题10．B解析：B【分析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log (22)3log (62)3a a+<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4， 作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象， 关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根， 可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<，故选:B ．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.11．A解析：A 【分析】由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数()y f x =的大致图象与直线y t =，由它们交点的性质判断④．【详解】由()()20f x f x +--=可知()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确； 因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是()f x 的周期，故②错误； 由()f x 的周期性和对称性可得1644243333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()f x 在[]0,1x ∈时单调递增，所以1223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16132f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，③错误； 又[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则可画出()f x 在区间[]2,8-上对应的函数图象变化趋势，如图易得()0f x t -=（01t <<）即()f x t =（01t <<）在区间()2,7-上的根分别关于1，5对称，故零点之和为()21512⨯+=，④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、单调性，考查函数的零点，掌握函数的基本性质是解题基础．函数零点问题常用转化为函数图象与直线的交点问题，利用数形结合思想求解．12．B解析：B 【解析】 函数()12(12)f x xx =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得12(12)xx=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数12y x=和指数函数(12)y x=的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数二、填空题13．【分析】根据局部奇函数的定义便知若函数是定义在上的局部奇函数只需方程有解可设从而得出方程在时有解从而设由二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意由局部奇函数的定义可知：若函数是定义在上的局部奇函数解析：[)2,-+∞【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数()f x 是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程()()2222280x x x x m --+-+-=有解．可设()222x x t t -+=≥，从而得出方程280t mt --=在2t ≥时有解，从而设()28g x t mt =--，由二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程()()f x f x -=-有解，即()423423xx x x m m ---⋅-=--⋅-有解；变形可得()442260xxx x m --+-+-=，即()()2222280x xx x m --+-+-=有解即可.设22x x t -+=，则222x x t -=+≥=，当且仅当0x =时，等号成立. 则方程()()f x f x -=-等价为280t mt --=在2t ≥时有解.设()28g t t mt =--，若方程280t mt --=的两根分别为1t 、2t ，则1280t t =-<，所以，()2428240g m m =--=--≤， 解可得：2m ≥-，即m 的取值范围为[)2,-+∞． 故答案为：[)2,-+∞． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】先判断函数的取值范围然后根据和至少有一个成立则可求得的取值范围【详解】解：当时又或在时恒成立即在时恒成立则二次函数图象开口只能向下且与轴交点都在的左侧即解得实数的取值范围是：故答案为：【点睛 解析：()4,0-【分析】先判断函数()g x 的取值范围，然后根据()0f x <和()0<g x 至少有一个成立．则可求得m 的取值范围.【详解】解：()22x g x =-，当1x 时，()0g x ，又x R ∀∈，()0f x <或()0<g x ，()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立，即(2)(3)0m x m x m -++<在1x 时恒成立，则二次函数(2)(3)y m x m x m =-++图象开口只能向下，且与x 轴交点都在(1,0)的左侧，∴03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，即0412m m m ⎧⎪<⎪>-⎨⎪⎪<⎩，解得40m -<<， ∴实数m 的取值范围是：(4,0)-．故答案为：(4,0)-． 【点睛】利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x 时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．15．①②【分析】由分段函数可得函数的单调性可判断①；由的值可判断②；由的值可判断③【详解】可得随着的增加而减少故①正确；当时9天后小菲的单词记忆保持量低于故②正确；故③错误故答案为①②【点睛】本题考查分解析：①② 【分析】由分段函数可得函数的单调性，可判断①；由()9f 的值可判断②；由()26f 的值可判断③． 【详解】()1271012019130.520x x f x x x ，＜，＜-⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪+≤⎪⎩， 可得()f x 随着x 的增加而减少，故①正确；当130x <≤时，()1219520f x x -+=，()1219990.35520f -=+⋅=，9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；()1219126265205f -=+⋅>，故③错误，故答案为①②．【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调性和函数的取值范围的求法，考查判断能力和运算能力，属于基础题．16．【分析】将有两个不同的零点转化为直线与图象有两个不同的交点；利用导数得到图象结合直线过定点利用数形结合可知当与相切时只需即可；利用过一点曲线切线斜率的求解方法求出切线斜率从而得到的范围【详解】由题意 解析：(1,0)-【分析】将()f x 有两个不同的零点转化为直线1y ax =--与()ln xg x x=图象有两个不同的交点；利用导数得到()g x 图象，结合直线1y ax =--过定点()0,1A -，利用数形结合可知当1y kx =-与()g x 相切时，只需()0,a k -∈即可；利用过一点曲线切线斜率的求解方法求出切线斜率k ，从而得到a 的范围. 【详解】由题意得：()f x 的定义域为：()0,∞+由()2ln f x x ax x =++有两个不同的零点可知：方程ln 1xax x--=有两个不同的解 令()ln x g x x =∴直线1y ax =--与()ln xg x x =图象有两个不同的交点 又()21ln xg x x -'=则当()0,x e ∈时，()0g x '>；当(),x e ∈+∞时，()0g x '<()g x ∴在()0,e 上单调递增；在(),e +∞上单调递减又0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x → 可得()g x 图象如下图所示：1y ax =--恒过点()0,1A -∴如图所示，当1y kx =-与()g x 相切时，只需()0,a k -∈即可使得直线1y ax =--与()ln xg x x=图象有两个不同的交点 设切点000ln ,x B x x ⎛⎫⎪⎝⎭ 000200ln 11ln 0x x x k x x +-∴==-，解得：01x = 1k ∴=，即()0,1a -∈∴当()1,0a ∈-时，直线1y ax =--与()ln xg x x=图象有两个不同的交点 即()1,0a ∈-时，()2ln f x x ax x =++有两个不同的零点 本题正确结果：()1,0- 【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，常用方法是将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过数形结合的方式来进行求解；关键是能够通过直线恒过定点，确定临界状态，进而利用过某点切线斜率的求解方法求得临界值.17．【分析】判断出函数的单调性求出函数的最值可得要使关于的方程有且仅有个不同实数根转化为的两根均在区间由二次函数的零点分布列出不等式组解得即可【详解】当时递减当时递增由于函数是定义域为的偶函数则函数在和解析：716,49⎛⎫⎪⎝⎭【分析】判断出函数()y f x =的单调性，求出函数的最值，可得要使关于x 的方程()()27016a f x af x ++=⎡⎤⎣⎦，a R ∈有且仅有8个不同实数根，转化为27016a t at ++=的两根均在区间31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由二次函数的零点分布列出不等式组，解得即可． 【详解】当02x ≤≤时，214y x =-递减，当2x >时，1324xy ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭递增，由于函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，则函数()y f x =在(),2-∞-和()0,2上递减，在()2,0-和()2,+∞上递增，当0x =时，函数()y f x =取得最大值0；当2x =±时，函数()y f x =取得最小值1-．当02x ≤≤时，[]211,04y x =-∈-；当2x >时，1331,244xy ⎛⎫⎛⎫=--∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 要使关于x 的方程()()27016af x af x ++=⎡⎤⎣⎦，a R ∈，有且仅有8个不同实数根，设()t f x =，则27016at at ++=的两根均在区间31,4⎛⎫--⎪⎝⎭． 则有2704312471016937016416a a a a a a a ⎧∆=->⎪⎪⎪-<-<-⎪⎨⎪-+>⎪⎪⎪-+>⎩，即为70432216995a a a a a ⎧><⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<⎪⎪⎪<⎩或，解得71649a <<．因此，实数a 的取值范围是716,49⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：716,49⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次函数的零点分布是解题的关键，属于中档题．18．5【分析】先根据题意设小时后才能开车再结合题中条件：血液中的酒精含量不超过009mg/mL 得到一个关于的不等关系再根据指对数不等式的求解即可【详解】设小时后才能开车则有即两边取对数有因为故代入可得故解析：5 【分析】先根据题意设x 小时后才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于x 的不等关系,再根据指对数不等式的求解即可. 【详解】设x 小时后才能开车,则有()0.310.250.09x⋅-≤,即30.34x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,两边取对数有3lg lg 0.34x ≤,因为3lg 04<故lg 0.3lg313lg3lg 4lg 4x -≥=-.代入lg30.48,lg 40.60≈≈可得0.481130.480.603x -≥=-.故x 最小为5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查了指对数运算在实际情景中的运用,需要根据题意建立联系,再根据对数运算法则代入近似值计算.属于基础题.19．【分析】首先根据已知题意画出图形然后根据数形结合分析的取值范围需要注意为的斜率【详解】根据题意的图象如图：结合图象知要想有两个不同交点的斜率要大于的斜率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数图象 解析：()1,+∞【分析】首先根据已知题意画出图形，然后根据数形结合分析a 的取值范围，需要注意a 为y ax =的斜率. 【详解】根据题意y a x =的图象如图：()0a >，结合图象知，要想有两个不同交点y ax ∴=的斜率要大于y x a =+的斜率a ∴的取值范围是1a >.故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题考查函数图象的交点问题，考查数形结合能力，属于中等题型.20．【分析】由函数有两个零点等价于且再求解即可【详解】解：令两边平方整理可得又由已知有且则解得或又方程有两不等实根则解得即综上可得实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题重点解析：11,43⎛⎫⎪⎝⎭【分析】 由函数2()221f x ax ax ax =-+有两个零点等价于240a a ->且2244(4)0a a a ∆=-->，再求解即可.【详解】2221ax ax ax -=-，两边平方整理可得22(4)210a a x ax --+=， 又由已知有210ax -≥且2(4)0a a -≠， 则240a a ->，解得14a >或0a <，又方程22(4)210a a x ax --+=有两不等实根， 则2244(4)0a a a ∆=-->，解得103a <<， 即1143a <<， 综上可得实数a 的取值范围是11,43⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题，重点考查了运算能力，属中档题.三、解答题21．（1）1-和4；（2）01a <<；（3）1152m <. 【分析】（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求； （2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）方法一：问题转化为()2310x m x +-+=在(]0,2上有两个不同解，再利用二次函数的图象列式可得．方法二，当1a =，2b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,2]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求． 【详解】（1）当1,3a b ==-时，2()24f x x x =--令()f x x =，可得224x x x --=即2340x x --= 解得4x =或1x =-当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点为1-和4（2）依题意得，b R ∀∈，关于x 的方程210ax bx b ++-=都有两个不等实数根从而有21Δ4(1)0b a b =-->对b R ∀∈都成立即关于b 的不等式2440b ab a -+>对b R ∀∈都成立故有22Δ(4)160a a =--<解得01a <<（3）依题意，得方程231x x mx ++=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数解 法一：即2(3)10x m x +-+=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根(*)令2()(3)1h x x m x =+-+，要使(*)成立2(0)10(2)112011Δ(3)40523022h h m m m m =>⎧⎪=-⎪⎪⎨=-->⇒<⎪⎪-<<⎪⎩法二：即13m x x =++在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根 令1()3F x x x=++ 则直线y m =与函数()((0,2]y F x x =∈的图象有两个不同交点 由于函数1()3F x x x =++在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增 且11(1)5,(2)2F F ==，结合函数()y F x =的图象可知1152m <. 【点睛】思路点睛：本题考查了二次函数的性质与图象，以及根据函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些． 22．（1）2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）80万箱. 【分析】（1）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用利润等于销售收入减去成本可得出口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（2）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用二次函数和基本不等式求出口罩销售利润y 的最大值及其对应的x 值，综合可得出结论.【详解】（1）当060x <<时，2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭； 当60x ≥时，6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。

新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试题(包含答案解析)

新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试题(包含答案解析)

一、选择题 1．设()31xfx，若关于x的函数2()()(1)()gxfxtfxt有三个不同的零点，

则实数t 的取值范围为（ ）

A．102， B．0,2 C．0,1 D．

0,1

2．已知函数102xxfx的零点为a，lg13gxxx的零点为b，则

ab（ ）

A．1 B．2 C．3 D．

4

3．关于x的方程xxaa有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ）

A．(0,4) B．

(4,0)

C．(4,4) D．

(,4)(4,)

4．已知函数2,0()()21,0xeaxfxaRxx，若函数()fx在R上有两个零点，则a的取

值范围是（ ） A．(,1) B．[2,0) C．(1,0) D．

[1,0)

5．已知函数24,?0()7,?0xfxxxxx，()()gxfxxa，若()gx存在两个零点，则a的取值范围是（ ） A．(﹣4，0] B．(，﹣9) C．(，﹣9)(﹣4，0] D．(﹣9，0]

6．若函数32232,01()5,1xxmxfxmxx，恰有2个零点，则m的取值范围是（ ）

A．5,0 B．0,5 C．1[,5)2 D．

1(0,]

2

7．已知函数321()232xfxaxbxc的两个极值分别为1()fx和2()fx，若1x和2x分

别在区间(0,1)与(1,2)内，则21ba的取值范围是（ ） A．(1,14) B．1[,1]4 C．1(,)(1,)4 D．

1(,][1,)4

8．函数1,(0)()0,(0)xxfxxx，关于x的方程2()()0fxbfxc有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ） A．2b且0c B．2b且0c C．2b且0c D．2b且

新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试(包含答案解析)

新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试(包含答案解析)

一、选择题1．设()31xf x =-，若关于x 的函数2()()(1)()g x f x t f x t =-++有三个不同的零点，则实数t 的取值范围为（ ） A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()0,2C ．()0,1D ．(]0,12．若函数2()f x x x a =--有四个零点，则关于x 的方程210ax x ++=的实根个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不确定3．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4) B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞4．设函数()243,023,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．()2,4D ．()2,65．已知函数给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．定义在R 上的奇函数f (x )满足条件(1)(1)f x f x +=-，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若函数g (x )＝()f x －a e －在区间2018,[]2018-上有4 032个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0，1)B ．(e ，e 3)C ．(e ，e 2)D ．(1，e 3)7．函数()32xy x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞9．已知一元二次方程210x mx ++=的两根都在()0,2内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦[)2,⋃+∞ B ．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭()2,⋃+∞ C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +--=，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则下列结论正确的是（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 是周期函数，且2是其一个周期；③16132f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④关于x 的方程()0f x t -=（01t <<）在区间()2,7-上的所有实根之和是12. A ．①④B ．①②④C ．③④D ．①②③11．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A ={0，1}，B ={x |（x 2-ax ）（x 2-ax +1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．412．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）. A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题13．已知()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且()123,1211,222x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数2()3y xf x =-在区间()1,2015上零点的个数为 ．14．已知函数()2,0lg ,0xx f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦实根的个数是__________．15．已知函数2()log (2)f x x =+与2()()1g x x a =-+，若对任意的1[2,6)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数()21f x x =-+，().g x kx =若方程()()f x g x =有两个不等实数根，则实数k 的取值范围是______．17．已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当()0,x e ∈，()ln f x x =，若在区间[],2e e -，关于x 的方程()1f x kx =+恰好有4个不同的解，则k 的取值集合是__________.18．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为________ 19．函数13()3log 1xf x x =-的零点个数为______20．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.三、解答题21．已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()11x x e f x e -=+.（1）求当0x <时，函数()f x 的解析式； （2）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性并证明；（3）设函数()()()2g x f ax f x a =--+，使函数()g x 有唯一零点的所有a 构成的集合记为M，求集合M.22．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知:甲城市收益1y与投入x（单位:万元）满足145040,2040{25,4060xy xx-+≤<=≤≤，乙城市收益2y与投入x(单位:万元)满足21202y x=+（1）当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?23．已知()f x是定义在R上的偶函数，且当0x≤时，1()21xf x．（1）求()f x的解析式．（2）在所给的坐标系内画出函数()f x的图象，（不需列表），并直接找出方程()f x m=没有实根时，实数m的取值范围．24．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式()f t；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式()g t；（Ⅱ）若记市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg ，时间单位：天）．25．科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投a (14a ≤≤且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x （小时)化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()161,04815,4102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6小时后再投放1个单位的药剂，则在接下来的4小时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值？最小值为多少？26．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是:当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立．） （1）判断函数() 1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； （2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．（参考结论：函数()()0af x x a x=+>的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为()、(）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由()0g x =得()1f x =或()f x t =，作出函数()f x 的图象，可得()f x t =需有两解，有此可得t 的范围． 【详解】据题意()0g x =有三个解．由()0g x =得()1f x =或()f x t =，易知()1f x =只有一个解， ∴()f x t =必须有两解， 由图象知01t <<． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题时根据零点的定义化为方程()0g x =的解的个数，进而转化为()f x t =的解的个数，再利用数形结合思想，考虑函数()y f x =的图象与直线y t =的交点个数问题．掌握转化思想是解题关键．2．C解析：C 【分析】由()0f x =可得出2x x a =-，将问题转化为曲线2yx 与曲线y x a =-有4个交点，数形结合可求得实数a 的取值范围，进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数. 【详解】由()0f x =可得出2x x a =-，作出函数2yx 与函数y x a =-的图象如下图所示：,,x a x a y x a x a x a-≥⎧=-=⎨-+<⎩，若使得函数()2f x x x a =--有4个零点，则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2y x 的图象有两个交点，联立2y x a y x =-⎧⎨=⎩可得20x x a -+=，1140a ∆=->，解得14a <， 联立2y x a y x =-+⎧⎨=⎩可得20x x a +-=，2140a ∆=+>，解得14a >-， 当0a =时，则()()21f x x x xx =-=-，令()0f x =，可得0x =或1x =±，此时，函数()y f x =只有3个零点，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是11,00,44⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于二次方程210ax x ++=，140a ∆=->， 因此，关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.3．D解析：D 【分析】画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得【详解】数形结合法：画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得由图可得：204a a <<解得4a > 或204a a >>-解得4a故选：D 【点睛】数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.4．C解析：C 【分析】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()123f x f x f x m ===，当0x ≥时，()()2243211f x x x x =-+=--≥-，由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y x x =-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．C解析：C 【分析】①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分0,0,0a a a >=<三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数a 的取值范围；③首先令()f x b =，解出三个零点，进而判断结论. 【详解】①当2a =-时，()21,0ln ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，画出函数的图象，如下图，由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数在(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以函数没有最小值；当0a =时，()1,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，ln 0x ≥，函数的最小值是0；当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =， 不妨设1230x x x ≤<<，110b x a-=≤，2b x e -=，3b x e =， 则231x x =，令111b x a-==-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-， 当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-. 综上可知③正确； 故选：C【点睛】思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对a 的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断231x x =，从而只需验证是否11x =-即可.6．B解析：B 【分析】根据满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数，可周期为4，当[0,1]x ∈时，()f x x =，根据()()m x f x =与()xn x ae -=图像，判断在一个周期内的焦点情况即可求解．【详解】因为()f x 满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数， 函数()(2)()f x f x f x =-=--，∴()f x 周期为4， ∵当[0,1]x ∈时，()f x x =，作()()m x f x =与()xn x ae -=图像，函数()()xg x f x ae-=-在区间2018,[]2018-上有4032个零点，即()()m x f x =与()xn x ae -=在[0,4]且仅有两个交点，∴(1)(1)(3)(3)m n m n <⎧⎨>⎩即3e a e <<.点睛：本题主要考查了函数的基本性质的应用及不等式的求解，周期的求解等知识点应用，其中正确合理运用函数的基本性质是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．7．B解析：B 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解. 【详解】因为函数()32xy x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322xxf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，由()()()32112xxy x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD故选：B 【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+， 002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．9．C解析：C 【分析】设()21f x x mx =++，根据二次函数零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】设()21f x x mx =++，则二次函数()21f x x mx =++的两个零点都在区间()0,2内，由题意()()2400220102250m m f f m ⎧∆=-≥⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩，解得522m -<≤-. 因此，实数m 的取值范围是5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般分析对应二次函数图象的开口方向、判别式、对称轴以及端点函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数()y f x =的大致图象与直线y t =，由它们交点的性质判断④．【详解】由()()20f x f x +--=可知()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确； 因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是()f x 的周期，故②错误； 由()f x 的周期性和对称性可得1644243333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()f x 在[]0,1x ∈时单调递增，所以1223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16132f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，③错误； 又[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则可画出()f x 在区间[]2,8-上对应的函数图象变化趋势，如图易得()0f x t -=（01t <<）即()f x t =（01t <<）在区间()2,7-上的根分别关于1，5对称，故零点之和为()21512⨯+=，④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、单调性，考查函数的零点，掌握函数的基本性质是解题基础．函数零点问题常用转化为函数图象与直线的交点问题，利用数形结合思想求解．11．A解析：A 【分析】根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax +1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值． 【详解】解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意综上实数a 的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d （M ）=3． 故选：A ． 【点睛】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．12．B解析：B 【分析】根据题意将数据120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝， 所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、填空题13．11【分析】令函数得到方程从而化函数的零点为方程的根再转化为两个函数的交点问题从而解得【详解】解：令函数得到方程当时函先增后减在时取得最大值1而在时也有；当时在处函数取得最大值而在时也有；当时在处函解析：11 【分析】令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得． 【详解】解：令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x=， 当[)1,2x ∈时，函()f x 先增后减，在32x =时取得最大值1， 而32y x =在32x =时也有1y =； 当)22,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在3x =处函数()f x 取得最大值12，而32y x =在3x =时也有12y =； 当)232,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，在6x =处函数()f x 取得最大值14， 而32y x =在6x =时也有14y =； …，当)10112,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，在1536x =处函数()f x 取得最大值1012， 而32y x =在1536x =时也有1012y =； 综合以上分析，将区间()1,2015分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点． 故答案为：11． 【点睛】本题考查函数的零点，对于较为复杂的函数的零点，可以转化为常见函数的图象的交点来考虑，本题属于中档题．14．【分析】解方程可得或然后分和解方程或由此可得出结论【详解】解方程可得或当时由可得解得由可得解得（舍）；当时由可得则解得或由可得则解得或综上所述方程实根的个数是故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数的零 解析：5【分析】解方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =，然后分0x ≤和0x >解方程()2f x =或()12f x =，由此可得出结论. 【详解】解方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =. 当0x ≤时，由()2f x =可得22x -=，解得1x =-，由()12f x =可得122x-=，解得1x =（舍）；当0x >时，由()2f x =可得lg 2x =，则lg 2x =±，解得100x =或1100x =，由()12f x =可得1lg 2x =，则1lg 2x =±，解得x =或10x =. 综上所述，方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦实根的个数是5.故答案为：5. 【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.15．【分析】由对数函数的性质可得转化条件为由二次函数的图象与性质即可得解【详解】因为所以即函数的图象开口朝上对称轴为①当函数在上单调递增所以即所以解得；②当时函数在上单调递减所以即所以解得；③当时所以解解析：1,22,3⎡⎡⎤-⎣⎣⎦【分析】由对数函数的性质可得()123f x ≤<，转化条件为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】因为1[2,6)x ∈，所以()()()126f f x f ≤<即()123f x ≤<，函数2()()1g x x a =-+的图象开口朝上，对称轴为x a =，①当0a ≤，函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以()()()202g g x g ≤≤， 即()2221,45g x a a a ⎡⎤∈+-+⎣⎦，所以22124530a a a a ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≤⎩，解得10a -≤≤；②当2a ≥时，函数()g x 在[0,2]上单调递减，所以()()()220g g x g ≤≤， 即()22245,1g x a a a ⎡⎤∈-++⎣⎦，所以22452132a a a a ⎧-+≤⎪+≥⎨⎪≥⎩，解得23a ≤≤；③当01a <≤时，()()22max 245g x g a a ==-+，()()2min 12g x g a ==<，所以245301a a a ⎧-+≥⎨<≤⎩，解得02a <≤④当12a <<时，()()22max 01g x g a ==+，()()2min 12g x g a ==<，所以21312a a ⎧+≥⎨<<⎩2a ≤<；综上，实数a 的取值范围是1,222,3⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦. 故答案为：1,222,3⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦.【点睛】解决本题的关键是将条件转化为()2max 3g x ≥、()2min 2g x ≤，结合二次函数的图象与性质讨论即可得解.16．【解析】试题分析：当时当时函数在上递减在上递增所以在处取得最小值且所以最小值点的坐标为若方程有两个不相等的实根则函数与有两个不同交点而是过原点的直线则应大于点与原点连线的斜率且小于直线的斜率即故答案解析：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：当2x ≥时，()1f x x =-，当2x <时，()3f x x =-+，函数()f x 在(),2-∞上递减，在2,上递增，所以在2x =处取得最小值，且()21f =，所以最小值点的坐标为()2,1，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则函数()f x 与()g x 有两个不同交点，而()g x kx =是过原点的直线，则k 应大于点()2,1与原点连线的斜率，且小于直线1y x =-的斜率，即112k <<，故答案为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.考点：分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数，属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．17．【分析】先根据函数奇偶性作出一个周期上图象再根据周期得区间上图象最后结合图象确定与动直线恰有4个交点的情况再求出对应数值【详解】因为是以为周期的上的奇函数所以当所以当作出区间上图象如图则直线过或时恰 解析：11,2e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【分析】先根据函数奇偶性作出一个周期上图象，再根据周期得区间[],2e e -上图象，最后结合图象确定与动直线1y kx =+恰有4个交点的情况，再求出对应数值. 【详解】因为()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，所以(0)0,()()()()()0f f e f e f e f e f e ==-=-∴=-=，当()0,x e ∈，()ln f x x =，所以当(),0x e ∈-，()()ln(-)f x f x x =--=-，作出区间[],2e e -上图象如图，则直线1y kx =+过(,0)A e 或(2,0)B e 时恰有4个交点，此时11,2k k e e=-=-故答案为：11,2e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及根据图象研究函数零点，考查数形结合思想以及综合分析求解能力，属中档题.18．3【分析】根据题意求得的周期；画出的图象数形结合根据函数图象交点个数即可求得零点个数【详解】当时则此时有∵∴∴函数是周期为2的周期函数令则由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数在解析：3 【分析】根据题意，求得()f x 的周期；画出(),ln y f x y x ==的图象，数形结合，根据函数图象交点个数即可求得零点个数. 【详解】当10x -<时，则011x +<， 此时有()(1)1f x f x x =-+=--， ∵()()1f x f x +=-，∴()()21[()]()f x f x f x f x +=-+=--=，∴函数()y f x =是周期为2的周期函数. 令()()ln 0g x f x x =-=，则()ln f x x =， 由题意得函数()()ln g x f x x =-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数y ln x =的图象交点的个数.在同一坐标系内画出函数()y f x =和函数y ln x =的图象（如图所示），结合图象可得两函数的图象有三个交点， ∴函数()()ln g x f x x =-的零点个数为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查数形结合判断函数零点个数的问题，涉及函数周期性的求解，属综合中档题.19．2【分析】化简得到画出函数图像根据图像得到答案【详解】取则即画出函数图像如图所示：根据图像知有两个交点故函数有两个零点故答案为：【点睛】本题考查了函数零点问题画出函数图像是解题的关键解析：2 【分析】化简得到131log =3xx ⎛⎫⎪⎝⎭，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】取13()3log 1=0x f xx =-，则133log =1x x ，即131log =3xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 画出函数图像，如图所示：根据图像知有两个交点，故函数有两个零点.故答案为：2.【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键. 20．（-∞-）【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判别式及根 解析：（-∞，-12） 【分析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件 2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.三、解答题21．（1）()11xx e f x e-=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见详解；（3）{}1,0,1,2M =-.【分析】（1）当0x <时，0x ->，()1111x xx x e e f x e e-----==++，利用函数的奇偶性求解即可；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，利用定义证明函数的单调性即可；（3）把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题，利用函数的奇偶性和单调性得到2ax x a =-+，两边平方，利用方程有唯一的解即可得出结果.【详解】（1）当0x <时，0x ->，又函数()f x 为偶函数，则()()1111x xx xe ef x f x e e -----===++， 所以函数()f x 的解析式为()11xxe f x e -=+； （2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，设任意120x x <<，则()()()()()12212112212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++， 因为xy e =在R 上单调递增，所以12x x e e <，即120x x e e -<，所以()()21f x f x <，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减；（3）因为函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()()()2g x f ax f x a =--+的零点就是方程()()20f ax f x a --+=的解， 因为函数()g x 有唯一零点，所以方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解，因为函数()f x 为偶函数，所以方程变形为：()()2f ax f x a =-+，因为函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以2ax x a =-+，平方得：()()()22212220a x a x a -+-+-=，当210a -=时，即1a =±，经检验方程有唯一解； 当210a -≠时，()()()222424120a aa ∆=----=， 得()22200a a a -=⇒=或2a =，综上可得：集合{}1,0,1,2M =-.【点睛】关键点睛：把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题是解决本题的关键.22．（1）1392万元 （2）甲城市的投入为30万元，乙城市的投入为50万元 【分析】（1）当甲城市的投入为25万元时，则乙城市的投入为802555-=万元，直接分别代入对应的收益表达式中，得出答案.（2）设甲城市的投入为x 万元，则乙城市的投入为80x -万元,分2040x ≤<和4060x ≤≤分别求出甲、乙两个城市的投资的总收益，再分别求出其最大值，再比较得出答案.【详解】（1）当甲城市的投入为25万元时，则乙城市的投入为802555-=万元 则甲城市收益1450402225y =-+=万元 乙城市收益2195552022y =⨯+= 所以甲、乙两个城市的投资的总收益为951392222+=万元 （2）设甲城市的投入为x 万元，则乙城市的投入为80x -万元 当2040x ≤<时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()45014080202y x x =-++⨯-+即4501100100702y x x⎛⎫=-+≤-=⎪⎝⎭，当且仅当45012x x =即30x =时，取等号.当4060x ≤≤时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()12580202y x =+⨯-+ 即()112580208522y x x =+⨯-+=- 当40x =时，1852y x =-有最小值65 综上，当30x =时，甲、乙两个城市的投资的总收益最大.所以甲城市的投入为30万元，乙城市的投入为50万元，甲、乙两个城市的投资的总收益最大【点睛】关键点睛：本题考查函数的实际应用问题，解答的关键是分段得出甲、乙两个城市的投资的总收益的表达式，当2040x ≤<时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()45014080202y x x =-++⨯-+，当4060x ≤≤时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()12580202y x =+⨯-+，分别求出最大值，从而可解，属于中档题. 23．（1）1121,0()21,0x x x f x x +-+⎧+=⎨+>⎩；（2）函数图象见解析，1m 或3m > 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质利用对称性进行转化求解即可．（2）作出函数()f x 的图象，利用指数函数的性质，结合数形结合进行求解即可．【详解】解：（1）若0x >，则0x -<，当0x 时，1()21x f x ．且()f x 是定义在R 上的偶函数，1()21()x f x f x -+∴-=+=．即当0x >时，1()21x f x -+=+．即1121,0()21,0x x x f x x +-+⎧+=⎨+>⎩ （2）作出函数()f x 的图象如图：当0x 时，1()21(1x f x +=+∈，3]．∴要使方程()f x m =没有实根，即函数()y f x =与y m =没有交点，则满足1m 或3m >．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数与方程的应用，根据函数奇偶性的对称性的性质进行转化求解是解决本题的关键．24．（Ⅰ）300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤；（Ⅱ）从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大.【分析】（Ⅰ）根据图①的图象可知：是由一次函数构成的分段函数由点()()()0,300,200,100,300,300写出函数解析式；根据图②的图象是二次函数；由顶点()150,100和过点()250,150，写出函数解析式；（Ⅱ）设纯收益为h ，市场售价减去种植成本为纯收益，得到()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩求解. 【详解】（Ⅰ）当0200t ≤≤时，设()111()0f t k t b k =+≠，则111300200100b k b =⎧⎨+=⎩，解得113001b k =⎧⎨=-⎩， 所以()300f t t =-.当200300t <≤时，设()222()0f t k t b k =+≠，则2222300300200100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得223002b k =-⎧⎨=⎩， 所以()2300f t t =-.综上市场售价与时间的函数关系式300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩； 设()2()150100g t a t =-+，则()2150250150100a =-+，解得1200a =， 所以种植成本与时间的函数关系式()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤； （Ⅱ）设纯收益为h ，因为 若记市场售价减去种植成本为纯收益，所以()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩， 当0200t ≤≤时，()22111751+50+10020022200h t t t =-+=--， 所以当50t =时，纯收益h 取得最大值100； 当200300t <≤时，()221710251+350+10020022200h t t t =-+=-- 当300t =时，纯收益h 取得最大值87.5，因为10087.5>，所以当50t =即从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大.【点睛】结论点睛：函数模型的应用一般分为三类：（1）已知函数的图象，可根据图象得到函数类型利用待定系数法建立模型；（2）已知函数有关数表，可根据数据分析函数类型利用待定系数法建立模型； （3）已知函数模型的定义，可根据其定义建立模型.25．（1）8小时；（2）10小时时浓度达到最小值3【分析】（1）根据题意列出不等式()44f x ≥，求解出不等式解集，即可得到有效治污的持续时间；（2）根据条件求解出药剂在水中释放的浓度y 的解析式，然后利用基本不等式求解出对应的最小值，并计算出取最小值时对应的时间.【详解】（1）因为()644,0448202,410x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，令64448x-≥-，解得04x ≤≤， 当410x <≤时，令2024x -≥，解得48x <≤， 所以有效治污时间能持续8小时；。

最新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(包含答案解析)

最新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(包含答案解析)

一、选择题1．已知1,0()1,0ax x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则下列关于[()]1y f f x =+的零点的判断正确的是（ ） A ．当0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点； B ．当0a >时，有3个零点，当0a <时，有2个零点； C ．无论a 为何值，均有2个零点； D ．无论a 为何值，均有4个零点．2．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2332a << B ．213a < C ．9a D ．293a <3．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1] 内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006B ．1007C ．2016D ．20174．已知函数321()232x f x ax bx c =+++的两个极值分别为1()f x 和2()f x ，若1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)内，则21b a --的取值范围是（ ） A ．(1,14)B ．1[,1]4C ．1(,)(1,)4-∞+∞D ．1(,][1,)4-∞+∞5．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞6．某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（ ） A ．25B ．35C ．42D ．507．已知()11xf x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)8．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．149．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019C ．1010D ．100910．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）. A ．2B ．4C ．6D ．811．下列方程在区间()1,1-内存在实数解的是（ ） A ．230x x +-=B ．10x e x --=C ．()3ln 10x x -++=D ．2lg 0x x -=12．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞二、填空题13．已知()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且()123,1211,222x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数2()3y xf x =-在区间()1,2015上零点的个数为 ．14．对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为______．15．M 是所有同时满足下列条件的函数()y f x =的集合：①()y f x =的定义域为(0,)+∞；②对任意00x >，001()22f x x =+或001()f x x x =+；若对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，则实数a 的取值集合是___________16．定义在R 上的函数()f x ，满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-，当01x <≤时，2()log f x x =，则方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为___________．17．已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．18．方程()2332log log 30x x +-=的解是______.19．若函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩恰有两个零点，则实数a 的范围是________20．规定[]t 为不超过t 的最大整数，如[]3.33=，[]2.43-=-.若函数()[][]()2f x x x x =-∈R ，则方程()()22f x f x -=的解集是______.三、解答题21．已知函数()11f x x=-，实数a 、b 满足a b <． （1）在下面平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若函数在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求+a b 的值；（3）若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，求实数m 的取值范围． 22．已知a R ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的取值范围；23．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.（1）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x 为多少吨时可使亏损量最小？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 24．设函数2()2||3f x x x =-+；（1）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明你的结论；（2）画出()y f x =的图象；若方程()f x m =有3个不同的实数根，试写出这3个根． 25．荷兰阿斯麦尔公司（ASML ）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV （极紫外光源）具备7nm 工艺.芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x （单位：百元）满足如下关系：()213(02)236(25)1x x x x xω⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x 百元，已知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为()L x （单位：百元）. （Ⅰ）求()L x 的函数表达式；（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？ 26．某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为R （x ）万元.且()()()2211080103108010000103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项． 【详解】0x >时，1()f x x x=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解．0x ≤时，若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和12t =，20a-<，1012<<，因此2()f x a =-有两解，1()2f x =有两解，共4解．0a <时，()1f t =-只有一解112t =<，1()2f x =只有一解， ∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．2．B解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.3．D解析：D 【分析】由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等于2的周期函数，根据1()02f =，求出3()02f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，2017]内根的个数．【详解】解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 故函数()f x 是周期等于2的周期函数，其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+， 即有()()f x f x -=，1()02f =， 1()02f ∴-=，再由周期性得13(2)()022f f -+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点， ()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．故选：D ． 【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.4．A解析：A 【分析】由极值点的所在区间即可知()f x 的导函数2()2f x x ax b '=++的零点区间，应用根的分布可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，结合目标式的几何意义即可求其范围.【详解】由题意知：2()2f x x ax b '=++，而()f x 两个极值点1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)内，∴方程220x ax b ++=两个根在(0,1)与(1,2)内，()'f x 开口向上，∴012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩，可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，即214122a b ->->-⎧⎨->->-⎩，∴令1,2x a y b =-=-，问题转化为在24,12x y ->>-->>-的可行域内的点与原点所成直线斜率yx的取值范围，如下图示：有1(,1)4y x ∈， 故选：A 【点睛】本题考查了根据函数极值点的所在区间求目标式的范围，应用了极值点与导数关系、根的分布、不等式的性质，结合线性规划及目标式的几何意义求范围，属于中档题.5．B解析：B 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==，函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e . 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.6．C解析：C 【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ，则21(1)2a x a +=．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点． 【详解】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ，则21(1)2a x a +=．解得10.41442%x =≈≈．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C ． 【点睛】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．A解析：A 【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-， 即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．8．C解析：C 【分析】解方程()0g x =，得1()2f x =或1()4f x =，作出()f x 的图象，由对称性只要作0x >的部分，观察()f x 的图象与直线12y =和直线14y =的交点的个数即得． 【详解】2()8()6()10g x f x f x =-+=,1()2f x ∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.，是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22时，>∈+=⋯=-x x k k k f x f x ，是由(]22,2,∈-x k k 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，根据对称轴可得y 左侧的结论，6x >时，1()8f x ≤，()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为2(35)16⨯+=，故选：C ．【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．9．A解析：A 【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程()02019xf x -=的根的个数. 【详解】 对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ） ∴f （x +2）＝f （x ）∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1． 方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个 故选A 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．10．B解析：B 【分析】根据题意将数据120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝， 所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.11．B解析：B 【分析】利用方程和函数之间的关系分别进行判断即可得到结论. 【详解】A ：令2()3f x x x =+-，因为抛物线开口向上，()()1010f f -<<，，所以在区间()1,1-内无实数解；B ：令()10xf x e x =--=，解得0x =，所以在区间()1,1-内有实数解；C ：令()()3ln 1f x x x =-++，则1()101f x x '=+>+在()1,1-成立，所以函数在()1,1-上单调递增，又(1)0f <，故在区间()1,1-内无实数解；D ：当(0,1)x ∈时，()20,1x ∈，lg (,0)x ∈-∞，则2lg 0x x ->，此时方程在()1,1-内无解. 故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程以及零点存在定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、填空题13．11【分析】令函数得到方程从而化函数的零点为方程的根再转化为两个函数的交点问题从而解得【详解】解：令函数得到方程当时函先增后减在时取得最大值1而在时也有；当时在处函数取得最大值而在时也有；当时在处函解析：11 【分析】令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得． 【详解】解：令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x=， 当[)1,2x ∈时，函()f x 先增后减，在32x =时取得最大值1，而32y x =在32x =时也有1y =； 当)22,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在3x =处函数()f x 取得最大值12， 而32y x =在3x =时也有12y =； 当)232,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，在6x =处函数()f x 取得最大值14， 而32y x =在6x =时也有14y =； …，当)10112,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，在1536x =处函数()f x 取得最大值1012， 而32y x =在1536x =时也有1012y =； 综合以上分析，将区间()1,2015分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点． 故答案为：11． 【点睛】本题考查函数的零点，对于较为复杂的函数的零点，可以转化为常见函数的图象的交点来考虑，本题属于中档题．14．【分析】根据局部奇函数的定义便知若函数是定义在上的局部奇函数只需方程有解可设从而得出方程在时有解从而设由二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意由局部奇函数的定义可知：若函数是定义在上的局部奇函数 解析：[)2,-+∞【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数()f x 是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程()()2222280xx x x m --+-+-=有解．可设()222x xt t -+=≥，从而得出方程280t mt --=在2t ≥时有解，从而设()28g x t mt =--，由二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程()()f x f x -=-有解，即()423423xx x x m m ---⋅-=--⋅-有解；变形可得()442260xxx x m --+-+-=，即()()2222280xx x x m --+-+-=有解即可.设22x x t -+=，则222x x t -=+≥=，当且仅当0x =时，等号成立. 则方程()()f x f x -=-等价为280t mt --=在2t ≥时有解.设()28g t t mt =--，若方程280t mt --=的两根分别为1t 、2t ，则1280t t =-<，所以，()2428240g m m =--=--≤， 解可得：2m ≥-，即m 的取值范围为[)2,-+∞． 故答案为：[)2,-+∞． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.15．【分析】根据条件可知当且仅当时对一切关于的方程恒有解由此求的取值范围【详解】对任意或当且仅当时对一切关于的方程恒有解此时则实数的取值集合是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解求参数的取值范解析：{3 【分析】根据条件可知当且仅当000112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，，由此求a 的取值范围. 【详解】对任意00x >，001()22f x x =+或0001()f x x x =+ 当且仅当000112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，此时0=2x0()32f x =±，则实数a的取值集合是{32±故答案为：{3± 【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解，求参数的取值范围，关键是利用题意，正确求解0x >时，000112=2x x x ++时满足题意. 16．0【分析】首先由条件求出函数周期为再利用当时作出和的图象方程在上的实数根之和为由图象结合奇函数的性质即可求解【详解】因为函数满足且所以即所以所以函数周期为由可得所以对称轴为当时作函数和图象如图所示：解析：0 【分析】首先由条件求出函数()f x 周期为4，再利用当01x <≤时，2()log f x x =，作出和y x =-的图象，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++，由图象结合奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-，所以[](2)2(2)()f x f x f x +=-+=-，即(2)()f x f x +=-， 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 周期为4，由()(2)f x f x =-可得(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 对称轴为1x =， 当01x <≤时，2()log f x x =， 作函数()y f x =和y x =-图象如图所示：其中()y f x =时奇函数，y x =-也是奇函数， 设两个函数图象交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x 方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++， 由图象结合奇函数的性质可得：14230x x x x +=+=，O 所以12340x x x x +++=，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为0， 故答案为：0 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用已知条件求出()f x 周期为4，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和等价于()y f x =和y x =-图象交点的横坐标之和，关键点是作出()y f x =在()2,2-的图象，数形结合即可求解.17．【分析】问题等价于函数f(x)与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点画出函数的图象然后结合图象求解即可【详解】关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根等价于函数y=f(x)的图象与函数y ＝k 的图象有三个解析：()1,0-【分析】问题等价于函数f(x)与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，画出函数()y f x =的图象，然后结合图象求解即可． 【详解】关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根，等价于函数y=f(x)的图象与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．或【分析】设原方程等价转化为由此能求出原方程的解【详解】设则原方程转化为解得当即解得当即解得所以原方程的解为或故答案为：或【点睛】本题考查方程的解的求法解题时要认真审题注意换元法的合理运用属于基础题解析：39或3 【分析】设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得132t =-，21t =， 当132t =-，即33log 2x =-，解得3x = 当21t =，即3log 1x =，解得3x =， 33. 故答案为：39或3.【点睛】本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.19．【分析】分别设分两种情况讨论即可求出的范围【详解】解：设若在时与轴有一个交点所以并且当时所以而函数有一个交点所以且所以若函数在时与轴没有交点则函数有两个交点当时与轴无交点无交点所以不满足题意（舍去）解析：1[,1)[2,)2+∞【分析】分别设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--，分两种情况讨论，即可求出a 的范围.【详解】解：设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--， 若在1x <时，()2xh x a =-与x 轴有一个交点，所以0a >，并且当1x =时，(1)20h a =-> ，所以02a <<， 而函数()4()(2)g x x a x a =--有一个交点，所以21a ≥，且1a <， 所以112a ≤<， 若函数()2xh x a =-在1x <时，与x 轴没有交点， 则函数()4()(2)g x x a x a =--有两个交点，当0a ≤时，()h x 与x 轴无交点，()g x 无交点，所以不满足题意（舍去），当(1)20h a =-≤时，即2a ≥时，()g x 的两个交点满足12,2x a x a ==，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是112a ≤<，或2a ≥. 故答案为：1[,1)[2,)2+∞.【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.20．【分析】先计算出的取值再结合题目中的规定计算出结果【详解】由方程可得或若则故或由题目中的规定为不超过的最大整数当时可得当时可得;若则无解综上方程的解集是故答案为:【点睛】本题考查了新定义内容结合函数 解析：[)[)1,02,3-【分析】先计算出()f x 的取值,再结合题目中的规定计算出结果. 【详解】由方程()()22fx f x -=,可得()2f x =或()1f x =-,若()2f x =,则[][]()22x x x -=∈R ,故[]2x =或[]1x =-,由题目中的规定[]t 为不超过t 的最大整数, 当[]2x =时,可得23x ≤<, 当[]1x =-时,可得10x -≤<;若()1f x =-,则[][]()21x x x -=-∈R 无解,综上方程()()22fx f x -=的解集是[)[)1,02,3-.故答案为:[)[)1,02,3-【点睛】本题考查了新定义内容,结合函数思想来解题,需要理清题意,抓住题目的核心,通常考查函数的性质、零点等问题.三、解答题21．（1）图象见解析；（2）1；（3）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，进而可作出函数()f x 的图象； （2）分别解方程()13f x =和()3f x =，结合图象可得出a 、b 的值，进而可求得结果； （3）由题意可知函数()f x 在区间[],a b 上单调递增，分析得出方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可得()(]()()11,0,11111,,01,x xf x x x x⎧-∈⎪⎪=-=⎨⎪-∈-∞⋃+∞⎪⎩，则由图形变换可画出函数图象，如图：（2）当()13f x =时，此时1113x -=，解得32x =或34x =；当()3f x =时，此时113x -=，解得12x =-或14x =.由（1）中的图象可知，若使得函数()f x 在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则[](),0,a b ⊆+∞，由图象可得1344a b ==，，所以1a b +=； （3）因为函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，分以下几种情况讨论：①若0a b <<，则0ma mb <<，由图象可知，函数()f x 在[],a b 上单调递增，函数()f x 在[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，由图象可知()()00f a f b ⎧>⎪⎨>⎪⎩，不合乎题意；②若01a b <<<，则函数()f x 在[],a b 上单调递减，所以函数()11f x x =-在[],a b 上的值域为()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦，则()()1111f b ma bf a mba ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩， 上述两个等式相减得1m ab =，将1m ab =代入11ma b-=可得10，矛盾； ③若01a b <<≤，则[]0,ma mb ∈，而0ma >，0mb >，矛盾； ④若1b a >≥，函数()f x 在[],a b 上单调递增，又函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()f a ma fb mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111ma a mbb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则a 、b 为方程11mx x-=的两个根，即210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等实根， 可设()21g x mx x =-+，则有()14010112m g m m ⎧⎪∆=->⎪=≥⎨⎪⎪>⎩，解得104m <<，所以实数m 的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 22．（1）1(,)(0,)4-∞-+∞；（2）1{}[0,)4-+∞.【分析】（1）当5a =时，得到21()log (5)f x x=+，根据()0f x >，得出不等式151x+>，即可求解；（2）化简()221log ()g x a x x=+⋅（其中0x >），根据函数()g x 只有一个零点，得到方程210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）当5a =时，21()log (5)f x x=+， 由()0f x >，即21log (5)0x +>，可得151x+>，解得14x <-或0x >，即不等式()0f x >的解集为1(,)(0,)4-∞-+∞. （2）由()()22222112log log ()2log log ()g x f x x a x a x xx=+=++=+⋅（其中0x >），因为函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，即()0g x =只有一个根， 即21()1a x x+⋅=在(0,)+∞上只有一个解， 即210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，①当0a =时，方程10x -=，解得1x =，复合题意； ②当0a ≠时，设函数21y ax x =+-当0a >时，此时函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴，只有一个交点，复合题意；当0a <时，要使得函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴只有一个交点，则满足102140a a ⎧->⎪⎨⎪∆=+=⎩，解得14a =- ，综上可得，实数a 的取值范围是1{}[0,)4-+∞. 【点睛】根据函数的零点求参数的范围的求解策略：转化：把已知函数的零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况； 列式：根据函数零点的存在性定理或结合函数的图象、性质列出方程（组）或不等式（组）；结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围；23．（1）不能获利，当月处理量为300吨时可使亏损最小；（2）每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【分析】（1）设项目获利为S ，根据二次函数知识可知，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000；（2）根据题意可知，[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩，分段求出最小值，比较可得答案. 【详解】（1）当[]200,300x ∈时，该项目获利为S ，则()2221112002008000040080000400222S x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=-- ⎪⎝⎭，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩当[)120,144x ∈时，()211202403y x x =-+，所以当120x =时，y x 取得最小值240，当[)144,500x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当1800002x x =时等号成立，即400x =时，yx取得最小值200， ∵200240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 24．（1）偶函数，证明见解析；（2）画图见解析；2-，0，2. 【分析】（1）根据偶函数的定义计算()f x -与()f x 比较即可判断证明()f x 的奇偶性； （2）作出()y f x =在()0,∞+上的图象，利用奇偶性即可得(),0-∞的图象，由图能判断3m =，再解方程即可.【详解】（1）()f x 为偶函数，证明如下： ()f x 的定义域为R 关于原点对称；22()()2||32||3()f x x x x x f x -=---+=-+=，所以()f x 为偶函数．（2）22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧--≥=-+=⎨+-<⎩，图象如图所示：若方程()f x m =有3个不同的实数根，由图知：3m =； 当0x ≥时，2233x x -+=，解得120,2x x ==； 当0x <时，2233x x ++=，解得32x =-， 所以()f x m =的解为2-，0，2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据函数是偶函数结合二次函数的性质正确作出函数图象，由图能判断3m =，再解方程即可.25．（1）28483(02)()48963(25)1x x x L x x x x ⎧+-⎪=⎨--<⎪+⎩；（2）300元，7500元. 【分析】（1）由题意可得()16()2L x x x x ω=--，把()x ω代入整理得答案；（2）分段求出函数的最大值，取最大值中的最大者得答案． 【详解】（1）28483(02)()16()248963(25)1x x x L x x x x x x x ω⎧+-⎪=--=⎨--<⎪+⎩； （2）当02x 时，2()8348L x x x =-+，对称轴方程为316x =， ()max L x L ∴=（2）74=；当25x <时，4848()99[3(1)]9923(1)7511L x x x x x =-++-⨯+++． 当且仅当483(1)1x x =++时，即3x =时等号成立． 因为7574>，。

新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测题(答案解析)

一、选择题1．设()31xf x =-，若关于x 的函数2()()(1)()g x f x t f x t =-++有三个不同的零点，则实数t 的取值范围为（ ） A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()0,2C ．()0,1D ．(]0,12．已知函数22,2,()3, 2.x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()3,1-B ．()0,1C ．(]3,0-D ．()0,∞+3．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上为增函数，若关于x 的方程()()21xf b f =-有且只有一个实根，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2b ≥B ．0b ≥C ．1b ≤-或0b =D ．1b ≥或1b ≤-或0b =4．函数()32xy x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．对任意实数a ，b 定义运算“”：,1,1b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()()214f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．[)2,1-B ．[]0,1C ．(]0,1D ．()2,1-6．若对任意[]0,1m ∈，总存在唯一[]1,1x ∈-使得2e 0x m x a +-=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,eB ．11,e e ⎛⎤+⎥⎝⎦C ．(]0,e D ．11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦7．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0f >，(1)(2)(4)0f f f <，则下列命题正确的是( )．A ．函数()f x 在区间(0 , 1)内有零点B ．函数()f x 在区间(1 , 2)内有零点C ．函数()f x 在区间(0 , 2)内有零点D ．函数()f x 在区间(0 , 4)内有零点8．已知()11xf x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)9．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．1410．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数()()221y f x f x λ=++-只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14B ．18C ．78-D ．38-11．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若a b c <<，且满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞B ．(],1-∞-C ．[]2,0-D ．[]4,0-12．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞二、填空题13．设()f x 是定义域在R 上的偶函数，对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，且当1[]0x ∈-，时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间[]1,3-内关于x 的方程2()(1)0f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_________.14．M 是所有同时满足下列条件的函数()y f x =的集合：①()y f x =的定义域为(0,)+∞；②对任意00x >，001()22f x x =+或0001()f x x x =+；若对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，则实数a 的取值集合是___________15．已知函数()22,0,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，则实数m 的取值范围是_________．16．已知函数11,0,()2ln(),0,x x f x x x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩设函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______.17．已知函数()2log ,02 sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --的取值范围为____________.18．函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个，则实数k =__________. 19．设函数31()(2)()2xf x x =+-的零点在区间(,1)n n +(n Z ∈)上，则n =______.20．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.三、解答题21．已知函数()()1f x x x a x R =--+∈. （1）当2a =时，求函数()()g x f x x =-的零点；（2）对于给定的正数,a 有一个最大的正数()M a ，使()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()2f x ≤，试求出这个正数()M a ，并求它的取值范围.22．为了在“双11”购物狂欢节降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定：①若一次购物付款总额不超过200元，则不予优惠；②若一次购物付款总额超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③若一次购物付款总额超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500的部分给予7折优惠.（1）若一次性购买x 元商品，实际付款数为()f x ，求()f x 的解析式；（2）小丽和她妈妈两人先后各去超市购物一次，分别付款为178元和432元.假如她俩一同去超市一次性购买上述同样的商品，则应付款为多少元？ 23．设函数2()2||3f x x x =-+；（1）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明你的结论；（2）画出()y f x =的图象；若方程()f x m =有3个不同的实数根，试写出这3个根． 24．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(,0)x ∈-∞时，1()1f x x x=++． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()224g x f x x x =+-，证明：函数()g x 的图像在区间1,内与x 轴恰有一个交点．25．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()R x （万元）满足20.4 4.2(05)()11(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 26．按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满12h h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由()0g x =得()1f x =或()f x t =，作出函数()f x 的图象，可得()f x t =需有两解，有此可得t 的范围． 【详解】据题意()0g x =有三个解．由()0g x =得()1f x =或()f x t =，易知()1f x =只有一个解， ∴()f x t =必须有两解， 由图象知01t <<． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题时根据零点的定义化为方程()0g x =的解的个数，进而转化为()f x t =的解的个数，再利用数形结合思想，考虑函数()y f x =的图象与直线y t =的交点个数问题．掌握转化思想是解题关键．2．B解析：B 【分析】函数()y f x k =-零点的个数，即为函数()y f x =与函数y k =图象交点个数，结合函数图象可得实数k 的取值范围． 【详解】因为关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，所以函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点，画出图象，如图：由图可知，当01k <<时，函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点， 所以实数k 的取值范围是(0,1). 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．D解析：D 【分析】由题意有|21|xb =±-，令20x t =>，即可得22210t t b -+-=有且只有一个实根，22()21f t t t b =-+-问题转化为()f t 在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点，结合二次函数零点分布即可求b 的取值范围. 【详解】由()f x 是偶函数且在[0,)+∞上为增函数知：|21|xb =±-，∴22(21)x b =-，令20x t =>，则22210t t b -+-=，令22()21f t t t b =-+-，即()f t 在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点，而2244(1)4b b ∆=--=且对称轴为直线1t =，∴当0∆=，0b =时，在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点；当0∆>时，22(0)10b f b ⎧>⎨=-≤⎩，解得1b ≤-或1b ≥，在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点；∴综上，有1b ≤-或1b ≥或0b =， 故选：D. 【点睛】本题考查函数与方程，将方程的根的个数问题转化为对应函数零点个数问题，注意换元法的应用、定义域范围，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解. 【详解】因为函数()32xy x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322xxf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，由()()()32112xxy x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD故选：B 【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】利用新定义化简()f x 解析式，做出()g x 的函数图象，根据图象即可得出k 的范围. 【详解】解：有题意：21(4)1x x --+，解得：2x -或3x ，所以()24,(,2][3,)1,(2,3)x k x f x x k x ++∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-+∈-⎩，令()24,(,2][3,)1,(2,3)x x g x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩画出()g x 的函数图象，如图：因为函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点， 所以()y g x k =+有三个零点， 由图可得：21k -<． 故选：A ． 【点睛】本题考查根据零点个数求参数的范围，求解一元二次不等式，是中档题．6．B解析：B 【解析】分析：由m+x 2e x ﹣a=0成立，解得x 2e x =a ﹣m ，根据题意可得：a ﹣1≥（﹣1）2e ﹣1，且a ﹣0≤12×e 1，解出并且验证等号是否成立即可得出． 详解：：由m+x 2e x ﹣a=0成立，得x 2e x =a ﹣m ，∴对任意的m ∈[0，1]，总存在唯一的x ∈[﹣1，1]，使得m+x 2e x ﹣a=0成立， ∴a ﹣1≥（﹣1）2e ﹣1，且a ﹣0≤12×e 1， 解得1+1e≤a≤e ， 其中a=1+1e时，x 存在两个不同的实数，因此舍去， a 的取值范围是（1+1e，e]． 故选B ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．7．D解析：D 【解析】解：因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象可得函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的， 函数的图象与x 轴相交有多种可能，如图所示：所以函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点， 故选D ．8．A解析：A 【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-， 即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．9．C解析：C 【分析】解方程()0g x =，得1()2f x =或1()4f x =，作出()f x 的图象，由对称性只要作0x >的部分，观察()f x 的图象与直线12y =和直线14y =的交点的个数即得． 【详解】2()8()6()10g x f x f x =-+=,1()2f x ∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.，是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22时，>∈+=⋯=-x x k k k f x f x ，是由(]22,2,∈-x k k 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，根据对称轴可得y 左侧的结论，6x >时，1()8f x ≤，()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为2(35)16⨯+=，故选：C ．【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．10．C解析：C 【分析】令()()2210y f x f x λ=++-=，结合()f x 为奇函数进行化简，利用一元二次方程判别式列方程，解方程求得λ的值. 【详解】令()()2210y f x f x λ=++-=，则()()()221f x f x f x λλ+=--=-，因为()f x 是R 上的单调函数，所以221x x λ+=-，即2210x x λ++=-.依题意可知2210x x λ++=-有且只有一个实数根，所以()1810λ∆=-+=，解得78λ=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、零点，属于中档题.11．A解析：A 【分析】画出()f x 的图象结合图象，求得1bc =、求得a 的取值范围，由此求得abc 的取值范围. 【详解】由函数()f x 的图象（如图），可知1022a b c ≤<≤<≤，由22log log b c =得22log log b c -=，所以1bc =，所以(],0abc a =∈-∞．故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，属于中档题.12．D解析：D 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、填空题13．【分析】首先结合已知条件判断函数的周期由已知可得函数的周期作出函数的图象数形结合得答案【详解】由得又是定义域在上的偶函数可得是周期为2的周期函数当时作出函数在区间内的图象如图方程有4个不同的实数根即解析：10,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】首先结合已知条件，判断函数的周期，由已知可得函数的周期，作出函数的图象，数形结合得答案． 【详解】由()()11f x f x -=+，得()()2f x f x -=+，又()1f 是定义域在R 上的偶函数，()()()2f x f x f x ∴+=-=， 可得()f x 是周期为2的周期函数．当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴作出函数()f x 在区间[]1,3-内的图象如图，方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，即()y f x =与()21y a x =-的图象在区间[]1,3-内有4个不同交点．当()21y a x =-过()3,1时，解得14a =， 又随着a 的减小抛物线()21y a x =-的开口变大，可得若在区间[]1,3-内关于x 的方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.14．【分析】根据条件可知当且仅当时对一切关于的方程恒有解由此求的取值范围【详解】对任意或当且仅当时对一切关于的方程恒有解此时则实数的取值集合是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解求参数的取值范 解析：2{32±【分析】根据条件可知当且仅当000112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，，由此求a 的取值范围. 【详解】对任意00x >，001()22f x x =+或0001()f x x x =+当且仅当000112=2x xx ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解， 此时0=22x ±，02()32f x =±，则实数a 的取值集合是2{3}2± 故答案为：2{3}± 【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解，求参数的取值范围，关键是利用题意，正确求解0x >时，000112=2x x x ++时满足题意. 15．【分析】先将函数与轴有个交点转化成与的交点问题再作出分段函数的图像利用数形结合求得范围即可【详解】依题意函数与轴有个交点即与有3个交点作分段函数的图像如下由图可知的取值范围为故答案为：【点睛】方法点 解析：()0,1【分析】先将函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，转化成()y f x =与y m =的交点问题，再作出分段函数()y f x =的图像，利用数形结合求得m 范围即可. 【详解】依题意，函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点， 即()y f x =与y m =有3个交点，作分段函数()22,0,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩的图像如下，由图可知，m 的取值范围为()0,1. 故答案为：()0,1. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.16．【分析】先将方程变形为根据数形结合思想与必须有两个交点即可求出的范围【详解】函数有4个不同的零点即为有4个不等实根作出的图象可得时与的图象有4个交点故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于把问题转解析：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先将方程()0f x a -= 变形为()f x a =,根据数形结合思想,y a =与()f x 必须有两个交点,即可求出a 的范围. 【详解】函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，即为()f x a =有4个不等实根，作出()y f x =的图象， 可得112a <时，()y f x =与y a =的图象有4个交点. 故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于把问题转化为即为()f x a =有4个不等实根和根据分段函数作出()f x 的图像，难度属于中档题17．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝 解析：()0,12【分析】根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()341222x x x x --化为2441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】函数()2log,02sin,2104x xf xx xπ⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数图象如下图所示:由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k====，则()0,1k∈，因为1234x x x x<<<，3x与4x关于6x=对称，则2122log logx x=，3412x x+=，且4810x<<，去绝对值化简可得2122log logx x-=，即2122log log0x x+=，由对数运算可得()212log0x x⋅=所以121x x⋅=，则()()()3434343412222420x xx x x x x xx x--=-=++-()23444442012201220x x x x x x=-=--=-+-，令21220y x x=-+-，()8,10x∈，因为21220y x x=-+-是开口向下，对称轴为6x=的二次函数，所以21220y x x=-+-在()8,10x∈上单调递减，所以10012020649620y-+-<<-+-，即012y<<；即()()()34244122212200,12x xx xx x--=-+-∈故答案为: ()0,12.【点睛】本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.18．1或【分析】作出函数的图象与函数的图象由图象求实数的值【详解】解：作出函数的图象与函数的图象如下图：当过点时成立此时；当时联立消去得解得故答案为：1或【点睛】本题考查了数学结合思想分类讨论思想属于基解析：1或54作出函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象，由图象求实数k 的值． 【详解】解：作出函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象如下图：当过点(1,0)-时，成立，此时，1k =-；当(1,1)x ∈-时，21y x =-，联立21y x y x k⎧=-⎨=+⎩，消去y 得210x x k ++-=，()21410k ∆=--=解得 54k =， 故答案为：1或54． 【点睛】本题考查了数学结合思想，分类讨论思想，属于基础题.19．【分析】由函数单调性质判断函数是增函数运用零点存在性定理得解【详解】是上增函数是上减函数在上增函数又在上存在零点函数的零点在区间上故答案为：【点睛】本题考查函数零点分布区间判断函数零点分布区间的方法 解析：1-【分析】由函数单调性质判断函数31()(2)()2xf x x =+-是增函数，(1)0f -< ，(0)0f >运用零点存在性定理得解.3(2)y x =+是R 上增函数，1()2x y = 是R 上减函数，31()(2)()2x f x x ∴=+-在R 上增函数，又(1)0f -< ，(0)0f >，31()(2)()2x f x x ∴=+-在(1,0)-上存在零点函数31()(2)()2xf x x =+-的零点在区间(,1)n n +上1n ∴=-故答案为：1- 【点睛】本题考查函数零点分布区间. 判断函数零点分布区间的方法：（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上； （2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.20．（-∞-）【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判别式及根解析：（-∞，-12） 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）.本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.三、解答题21．（135；（2）答案见解析.【分析】（1）可令()0g x =，解含有绝对值的方程，对x 进行讨论，最后得出符合条件的x 的值. （2）因为()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，再按照22a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭和22a f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭两种情况分类讨论，即可得到结论. 【详解】（1）令()()0g x f x x =-=,得()21f x x x x =--+=, 当2x ≥时，方程化简为：210x x --=，解得：12x +=（舍）或12x -=（舍）， 当2x <时，方程化简为：2310x x -+=，解得：32x =（舍），或x ，32x ∴=. （2）当()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需要在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，由2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭分两种情况讨论：当2124a -<-时，即a >()M a 是方程212x ax -+=-的较小根()M a =由于a >a >，所以()(M a ∈当2124a -≥-时，即0a <≤时，()M a 是方程212x ax -++=-的较大根，()2a M a =由于0a <≤(a所以()M a ∈综上() 0<a M a a >=≤ ，且()(M a ∈⋃.【点睛】分类讨论方法，关键点在于运算时由于不确定性，需要对某个参数进行讨论，进而分类运算.恒成立问题，关键点在对于任意x D ∈，()f x a ≥恒成立，可转化为()min f x a ≥.22．（1）()()()(),02000.9,2005000.7100,500x x f x x x x x ⎧≤≤⎪=<≤⎨⎪+>⎩；（2）560.6元.【分析】（1）根据题意分段写出()f x 的表达式，最后写成分段函数形式； （2）根据实际付款各计算出所购商品标价，相加后利用()f x 计算， 【详解】解（1）当0200x ≤≤时，()f x x = 当200500x <≤时，()0.9f x x =当500x >时，()()0.95000.75000.7100f x x x =⨯+-=+()()()(),02000.9,2005000.7100,500x x f x x x x x ⎧≤≤⎪∴=<≤⎨⎪+>⎩（2）当0200x ≤≤时，()0200f x ≤≤， 当200500x <≤时，()180450f x <≤， 当500x >时，()450f x >又知小丽实际付款为178元，所以小丽购买了178元的商品，小丽妈妈实际付款为432元，则小丽妈妈购买的商品价格总额应大于200小于等于500，所以，由0.9432x =得480x =，则小丽和她妈妈购买的商品价格总额为178480658+=元，若一次性购买这些商品，则应付款为()6580.7658100560.6f =⨯+=元答：若小丽和她妈妈一次性购买先前分两次买的商品，则应付款为560.6元.． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，解题方法是根据所给函数模型写出函数解析式，然后由函数解析式进行计算求解．考查学生应用能力．23．（1）偶函数，证明见解析；（2）画图见解析；2-，0，2.（1）根据偶函数的定义计算()f x -与()f x 比较即可判断证明()f x 的奇偶性； （2）作出()y f x =在()0,∞+上的图象，利用奇偶性即可得(),0-∞的图象，由图能判断3m =，再解方程即可. 【详解】（1）()f x 为偶函数，证明如下： ()f x 的定义域为R 关于原点对称；22()()2||32||3()f x x x x x f x -=---+=-+=，所以()f x 为偶函数．（2）22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧--≥=-+=⎨+-<⎩，图象如图所示：若方程()f x m =有3个不同的实数根，由图知：3m =； 当0x ≥时，2233x x -+=，解得120,2x x ==； 当0x <时，2233x x ++=，解得32x =-， 所以()f x m =的解为2-，0，2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据函数是偶函数结合二次函数的性质正确作出函数图象，由图能判断3m =，再解方程即可.24．（1）()11,00,011,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪+->⎩；（2）证明见解析.（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，利用()()f x f x =-- 求当(0,)x ∈+∞时的解析式，结合(0)(0)f f =-即可得答案；（2）先利用定义证明当(1,)x ∈+∞时， 1()1f x x x=+-递增，结合224y x x =-在(1,)+∞单调递增，可得()()224g x f x x x =+-在(1,)+∞单调递增，利用零点存在性定理可得答案. 【详解】（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，所以11()()11f x f x x x x x ⎛⎫=--=--++=+- ⎪-⎝⎭ 当0x =时，(0)(0)f f =-， 所以()0f x =.所以()11,00,011,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪+->⎩（2）当(1,)x ∈+∞时，由（1）知1()1f x x x=+-， 设121x x <<，则12121211()()11f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121211x x x x =-+-()()()1212121212111x x x x x x x x x x --⎛⎫=--= ⎪⎝⎭因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->, 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <,所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增.又因为224y x x =-在(1,)+∞单调递增，所以()()224g x f x x x =+-在(1,)+∞单调递增，又因为()()()311210,202g f g =-=-<=>，即()()120⋅<g g ， 所以函数()g x 在1,恰有一个零点．即函数()g x 的图象在区间1,内与x 轴恰有一个交点.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x ->可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.25．（1）()f x 20.4 3.2 2.8(05)8.2(5)x x x xx ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元． 【分析】(1)先求出()()G x R x ，，再根据()()()f x R x G x =-求解；（2）先求出分段函数每一段的最大值，再比较即得解. 【详解】解：（1）由题意得() 2.8G x x =+．()()20.4 4.20511(5)x xx R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，()()()f x R x G x ∴=- ()20.4 3.2 2.8058.2(5)x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）当5x >时， 函数()f x 递减，()()5 3.2f x f ∴<= （万元）．当05x ≤≤时，函数()()20.44 3.6f x x =--+， 当4x =时，()f x 有最大值为3.6（万元）． 所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元． 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 26．(1)见解析（2）即20,12BA m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105. (3) 不存在满足条件的A m 、B m 的值 【解析】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分． (1)当35A B m m =时，23535(20)(5)125B B B B B B B m m m h m m m m =⋅=++++甲235320(5)(20)35BB B B B B B m m m h m m m m =⋅=++++乙, h 甲=h 乙 （2）当35A B m m =时， 2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B Bm h m m m m m m ==++++++甲 由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得， 故当1120B m =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105． （3）（方法一）由（2）知：0h =105由010=1255A B A B m m h h m m ⋅≥=++甲得：12552A B A B m m m m ++⋅≤， 令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤． 同理，由得：5(1)(14)2x y ++≤另一方面，1[,1]4x y ∈、51414[2,5],11[,2],2x y x y 、、++∈++∈ 55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==，即A m =B m 时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．。

北京市必修一第四单元《函数应用》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2332a << B ．213a < C ．9aD ．293a < 2．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m ≥-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为()2,0和()3,03．设函数()243,023,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．()2,4D ．()2,64．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x R f x α∈∈=，(){}0x R g x β∈∈=，若存在α、β，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3D ．[]2,45．设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．函数f(x)＝2log ,02,0xx x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a<0B ．0<a<C ． <a<1D ．a≤0或a>17．用二分法求方程x 2–2=0在（1，2）内近似解，设f （x ）=x 2–2，得f （1）<0，f （1.5）>0， f （1.25）<0，则方程的根在区间( )A ．（1.25，1.5）B ．（1，1.25）C ．（1, 1.5）D ．不能确定8．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[]1,4C ．[]1,6D ．[][]0,13,89．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[]P Q 、是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[]P Q 、与[]Q P 、看作同一对“友好点对”）．已知函数22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则此函数的“友好点对”有（ ） A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对10．已知函数()()f x x R ∈是奇函数且当(0,)x ∈+∞时是减函数，若(1)0f =，则函数2(2||)y f x x =-的零点共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019C ．1010D ．100912．若函数()22f x x x a =--有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a <≤B ．10a -<<C ．0a =或1a >D ．01a <<二、填空题13．函数()e |ln |2x f x x =-的零点个数为______________. 14．已知函数()333xxf x -=+-，若函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________. 15．已知函数()2log ,02 sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --的取值范围为____________.16．方程()2332log log 30x x +-=的解是______. 17．若函数2()2ln f x x a x =-++在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.18．已知()1 4f xx=-，若存在区间[]()a b⊆+∞，，，使得()[]{}[]|y y f x x a b ma mb=∈=，，，．则实数m的取值范围是__________．19．已知函数221,0()21,0x xf xx x x⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩，若函数()y f x k=-有3个零点，则实数k的取值范围是________.20．若关于x的方程1xa k-=（0a>且1a≠）恰有两个解，则k的取值范围是______.三、解答题21．如图，电路中电源的电动势为E，内电阻为r，1R为固定电阻，2R是一个滑动变阻器.其中电功率与外电阻2R满足关系式2212()EP Rr R R=++.（1）若 6.0=E V， 1.0r=Ω，10.5R=Ω，求 5.625P W=时的滑动电阻值2R.（2）当2R调至何值时，消耗的电功率P最大？最大电功率是多少？22．某药物研究所开发的一种新药，据监测，成人按规定剂量服药一次后，每毫升血液中含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系可由函数112,01()12,1tt ty f ta t-<≤⎧==⎨>⎩拟合(01a<<).（1）当0.25a=时，求使得3y≥的t的取值范围；（2）研究人员按照yqt=的值来评估该药的疗效，并测定2q≥时此药有效，若某次服药后测得3t=时每毫升血液中的含药量为6微克，求此次服药产生疗效的时长.23．受“新冠”肺炎疫情的影响，实体经济萎靡，线上投资走红，某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？24．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，1()21x f x ．（1）求()f x 的解析式．（2）在所给的坐标系内画出函数()f x 的图象，（不需列表），并直接找出方程()f x m =没有实根时，实数m 的取值范围．25．对于定义域为D 的函数()f x ，若同时满足下列两个条件：①()f x 在D 上具有单调性；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在区间,a b 上的值域也为,a b ，则称()f x 为D 上的“精彩函数”，区间,a b 为函数()f x 的“精彩区间”．（1）判断0,1是否为函数3y x =的“精彩区间”，并说明理由；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否为“精彩函数”，并说明理由； （3）若函数()4g x x m =+是“精彩函数”，求实数m 的取值范围．26．如图所示，已知1(,)A x m 、2(,2)B x m +、3(,4)C x m +（其中2m ≥）是指数函数()2x f x =图像上的三点．(1)当2m =时，求123()f x x x ++的值；(2)设ABC ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数()S m 及其最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.2．C解析：C 【分析】画出函数()()23y x x =--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项. 【详解】画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示，当0m =时，122,3x x ==成立，故A 选项结论正确. 根据二次函数图像的对称性可知， 当 2.5x =时，y 取得最小值为14-， 要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根， 则需14m >-，故B 选项结论正确. 当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误.由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=， 根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-. 所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m =--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0. 故选：C. 【点睛】思路点睛：一元二次方程根的分布，根据其有两个不等的实根，结合根与系数的关系、函数图象，判断各选项的正误.3．C解析：C 【分析】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()123f x f x f x m ===，当0x ≥时，()()2243211f x x x x =-+=--≥-，由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y x x =-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.4．C解析：C 【分析】先求得函数()f x 的零点为1x =，进而可得()g x 的零点β满足02β≤≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】由题意，函数()12x f x ex -=+-单调递增，且()10f =，所以函数()f x 的零点为1x =， 设()23g x x ax a =--+的零点为β，则11β-≤，则02β≤≤，由于()23g x x ax a =--+必过点()1,4A -，故要使其零点在区间[]0,2上，则()()020g g ⋅≤或()()00200022g g a ⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩，即()()3730a a -+-≤或()230370430022a a a a a -+>⎧⎪-+>⎪⎪⎨--+≥⎪⎪≤≤⎪⎩，所以23a ≤≤，故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数()g x 零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.5．C解析：C 【分析】分别画出函数()y f x =和()1g ?x x=的图像，根据图像得出结论. 【详解】因为()()10F x xf x =-=，所以()1xf x =，转化为()1f x x=如图，画出函数()y f x =和()1g ?x x=的图像，当x <0时，有一个交点，当x >0时，(1)1,(1)1f g ==，此时()()1g 11f ==，1x =是函数的一个零点，111(3)(1),(3)223f fg ===，满足(3)(3)f g >，所以在(2,4)有两个交点， 同理(5)(5)f g >，所以在(4,6)有两个交点， (7)(7)f g >，所以在(6,8)内没有交点，当n >7时，恒有()()f x g x >，所以两个函数没有交点 所以，共有6个. 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数的知识点，涉及到函数的零点的知识点，考查了数形结合的思想，属于基础题型.6．A解析：A 【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在0x >时，2log y x = 存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件. 【详解】当0x >时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2xx a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集， 故选A 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.7．A解析：A 【分析】根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论. 【详解】已知(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><, 所以(1,25)(1.5)0f f ⋅<,可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内, 故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点存在性定理，属于简单题目.8．B解析：B 【详解】根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()21211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.9．C解析：C 【分析】由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，结合22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数，从而作图解答 【详解】解：由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，因为22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数， 作2x y -=-与22y x x =-的图像如图所示，两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对 故选：C 【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题10．D解析：D 【解析】根据题意，函数y=f （x ）是定义域为R 的奇函数，则f （0）=0，当x ∈（0，+∞）时是减函数，且f （1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点， 若函数y=f （x ）是奇函数且当x ∈（0，+∞）时是减函数，则f （x ）在（-∞，0）为减函数，又由f （1）=0，则f （-1）=-f （1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点， 故函数y=f （x ）共有3个零点，依次为-1、0、1， 对于函数()22y f x x =-， 当221x x -=-时，解得1x =±， 当220x x -=时，解得2x =±或0x =，当221x x -=时，解得1x =+1x =--故函数()22y f x x =-的零点共有7个. 故选D点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f （x ）的零点，注意计算的准确性.11．A解析：A 【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程()02019xf x -=的根的个数. 【详解】 对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ） ∴f （x +2）＝f （x ）∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1． 方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个 故选A 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．12．D解析：D 【分析】 令0f x，可得22x x a -=，作出()22g x x x =-的图象，令直线y a =与()g x 的图象有4个交点，可求出实数a 的取值范围. 【详解】 令0f x，则22x x a -=，构造函数()22g x x x =-，作出()g x 的图象，如下图，()g x 在()0,2上的最大值为()1121g =-=，当01a <<时，直线y a =与()g x 的图象有4个交点， 所以函数()f x 有4个零点，实数a 的取值范围为01a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．2【分析】令可得可将函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题进而画出函数的图象可得出答案【详解】令可得所以函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题函数和的图象如下图所示：根据图象可得有两个交解析：2 【分析】令()e |ln |20xf x x =-=，可得2ln ex x =，可将函数()f x 的零点可以转化为：函数ln y x =和2ex y =的图象的交点问题，进而画出函数的图象，可得出答案. 【详解】令()e |ln |20xf x x =-=，可得2ln ex x =， 所以函数()f x 的零点可以转化为：函数ln y x =和2ex y =的图象的交点问题. 函数ln y x =和2e xy =的图象，如下图所示：根据图象可得有两个交点，故原函数有两个零点. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：本题考查求函数零点的个数（方程解的个数）问题.常用的方法：（1）直接解方程()0f x =，求出方程的解的个数，也就是函数()y f x =的零点个数； （2）作出函数()y f x =的图象，其图象与x 轴交点的个数就是函数()y f x =的零点的个数；（3）化函数零点个数问题为方程()()=g x h x 的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数()y f x =的零点的个数.14．【分析】将函数（且）在区间上有4个不同的零点转化为函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点再根据函数的奇偶性和单调性作出函数的图象与函数的图象利用图象【详解】所以为偶函数设则因为所以即因为所以所以所 解析：27a ≥【分析】将函数()()()log2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点转化为函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点，再根据函数()f x 的奇偶性和单调性作出函数|()|f x 的图象与函数log (2)a y x =+的图象，利用图象 【详解】()333()x x f x f x --=+-=，所以()f x 为偶函数，设120x x ≤<，则112212()()333333x x x xf x f x ---=+---+12121(33)(1)3x x x x +=--，因为12,x x <所以1233x x <，即12330x x -<，因为120x x ≤<，所以120x x +>，所以1231x x +>，所以121103x x +->，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在[0,)+∞上递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上递减， 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =-，因为函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，所以函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点， 作出两个函数的图象如图：由图可知，log (02)(0)log (12)(1)1a a f f a ⎧+<⎪+≤⎨⎪>⎩，即log 211log 331a a a <⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，解得27a ≥.故答案为：27a ≥. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解15．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝 解析：()0,12【分析】根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()341222x x x x --化为2441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】函数()2log ,02sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数图象如下图所示:由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k ====，则()0,1k ∈， 因为1234x x x x <<<，3x 与4x 关于6x =对称， 则2122log log x x =，3412x x +=，且4810x <<， 去绝对值化简可得2122log log x x -=，即2122log log 0x x +=，由对数运算可得()212log 0x x ⋅= 所以121x x ⋅=，则()()()3434343412222420x x x xx x x x x x --=-=++-()23444442012201220x x x x x x =-=--=-+-，令21220y x x =-+-，()8,10x ∈，因为21220y x x =-+-是开口向下，对称轴为6x =的二次函数， 所以21220y x x =-+-在()8,10x ∈上单调递减，所以10012020649620y -+-<<-+-， 即012y <<；即()()()34244122212200,12x x x xx x --=-+-∈故答案为: ()0,12.【点睛】本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.16．或【分析】设原方程等价转化为由此能求出原方程的解【详解】设则原方程转化为解得当即解得当即解得所以原方程的解为或故答案为：或【点睛】本题考查方程的解的求法解题时要认真审题注意换元法的合理运用属于基础题3 【分析】设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得132t =-，21t =， 当132t =-，即33log 2x =-，解得9x =， 当21t =，即3log 1x =，解得3x =，3.3. 【点睛】本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.17．【分析】将问题转化为在上有两个解令利用导数判断的单调性及最值数形结合即可求得a 的范围【详解】令可得令则因为当时当时所以在上单调递减在上单调递增所以当时取得最小值又所以因为在上有两个解所以故答案为：【 解析：441,1(]e+ 【分析】将问题转化为22ln a x x =-在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，令2()2ln g x x x =-，利用导数判断()g x 的单调性及最值，数形结合即可求得a 的范围.【详解】令()0f x =可得22ln a x x =-，令2()2ln g x x x =-，则2222()2x g x x x x-'=-=，因为当211x e 时，()0g x '，当1x e <时，()0g x '>， 所以()g x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(1,]e 上单调递增， 所以当1x =时()g x 取得最小值(1)1g =， 又224114,()2g g e e e e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以21()g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 因为()ag x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，所以4114a e <+.故答案为：441,1(]e + 【点睛】本题考查函数的零点、利用导数求函数的最值，考查等价转化思想和数形结合思想，属于中档题.18．【分析】依题意在上单调增则（a ）（b ）从而可得必须有两个不相等的正根利用该方程有二异正根的条件即可求得实数的取值范围【详解】在是增函数在上值域为（a ）（b ）所以（a ）且（b ）即且所以且所以必须有两个 解析：(0,4)【分析】 依题意，1()4f x x=-在[a ，]b 上单调增，则f （a ）ma =，f （b ）mb =，从而可得210mx x -+=必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m 的取值范围．【详解】 1()4f x x=-在(0,)+∞是增函数， ()f x ∴在[x a ∈，]b 上值域为[f （a ），f （b ）]所以f （a ）ma =且f （b ）mb =， 即14ma a-=且14mb b -=，所以2410ma a -+=且2410mb b -+=，所以2410mx x -+=必须有两个不相等的正根，故0m ≠，∴411640mmm⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎪⎩，解得04m<<．∴实数m的取值范围是(0,4)．故答案为：(0,4)．【点睛】本题主要考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为210mx x-+=必须有两个不相等的正根是关键，属于中档题．19．【分析】画出的图像再分析有3个交点时实数的取值范围即可【详解】的图象如图∵有3个零点∴图象与图象有3个交点∴故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求解参数的取值范围问题需要数形结合分析属解析：(0,1)【分析】画出221,0()21,0x xf xx x x⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩的图像,再分析()f x k=有3个交点时实数k的取值范围即可.【详解】()y f x=的图象如图.∵()y f x k=-有3个零点,∴()y f x=图象与y k=图象有3个交点.∴1()0,k∈.故答案为：(0,1)【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求解参数的取值范围问题.需要数形结合分析,属于中档题.20．【分析】根据函数与方程之间的关系转化为函数图象交点个数问题结合指数函数的性质利用数形结合进行求解即可【详解】解：不妨设则作出函数的图象如图：要使方程（且）恰有两个解则即实数k 的取值范围是故答案为：【 解析：0,1【分析】根据函数与方程之间的关系，转化为函数图象交点个数问题，结合指数函数的性质，利用数形结合进行求解即可. 【详解】解：不妨设1a >，则1,0()11,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩， 作出函数()f x 的图象如图：要使方程|1|xa k -=（0a >且1a ≠）恰有两个解， 则01k <<，即实数k 的取值范围是()0,1， 故答案为：()0,1【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用指数函数的性质转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键.三、解答题21．（1）0.9或2.5；（2）当2R 调至1R r +时，消耗的电功率P 最大，最大电功率是2144E R r+.【分析】（1）代入数据，解方程可得答案；（2）由已知得221212()2()E P R r R R r R =++++，再利用基本不等式可得最值． 【详解】（1）当 6.0=E V ， 1.0r =Ω，10.5R =Ω， 5.625P W =时，22222222456()2068450(109)(25)01812R R R R R R =⇒-+=⇒--=++， 解得290.910R ==，或25 2.52R == 故2R 的值为0.9或2.5.（2）由题意，120,0,0,0E r R R >>>>，于是222222221122211212()()2()()2()E R E E P R R r r R R R R R r R r R R r R ===++++++++++2221112()2()44E E R r R r R r ==++++，当且仅当2122()R r R R +=，即21R R r =+时，等号成立. 也就是说，当外电路的电阻等于内电阻时电源的输出功率最大；将电阻1R 与电源等效成等效电源考虑求解.【点睛】关键点点睛：解决函数模型的应用问题时，关键在于将生活中的数据转化到函数模型中的数据，注意数据所满足的实际的意义．22．（1）1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3小时. 【分析】（1）当0.25a =时，求出函数()f t 的解析式，分段讨论当3y ≥时t 的取值范围，再求并集即可；（2）由题可求出2a =，即可得出q 关于t 的函数关系时，再令2q 求出t 的值，结合单调性可求出.【详解】 （1）当0.25a =时，112,01()120.25,1t t t y f t t -<≤⎧==⎨⨯>⎩， 当01t <≤时，123y t =≥，解得14t ≥，114t ∴≤≤， 当1t >，1120.235t y -⨯=≥，解得2t ≤，12t ∴<≤，综上，使得3y ≥的t 的取值范围为1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当3t =，2126y a ==，解得2a =±（舍负），112,01()12,12t t t y f t t -<≤⎧⎪∴==⎛⎫⎨⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，112,01112,12t t y q t t t -<≤⎧⎪∴==⎛⎫⎨⨯⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩.令11122(1)t t t -⨯⨯=>⎝⎭，解得3t =， 01t <≤时，12q =，当1t >时，11122t q t -⎛=⨯⨯ ⎝⎭单调递减， 故可知2q ≥的解集为(0,3]t ∈，所以此次服药产生疗效的时长为3小时.【点睛】本题考查利用给定函数模型解决实际问题，解题的关键是正确理解函数关系，会利用单调性解不等式，考查学生的计算能力.23．（1）1()(0),()8f x x x g x =≥=2）投资债券类产品6万元，股票类投资为4万元；74万元. 【分析】 （1）根据题干条件，设出函数解析式：()1f x k x =，()g x k =，代入1x =即可求出12,k k 的值，进而求出解析式.（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为10x -万元，年收益为y 万元，则()(10)y f x g x =+-，代入解析式，换元求最值即可.【详解】解：（1）依题意可设1()(0),()f x k x x g x k =≥=12111(1),(1)()(0),()828f k g k f x x x g x ====∴=≥=（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为10x -万元，年收益为y 万元 依题意得()(10)y f x g x =+-即10)8x y x =≤≤.令t =210,x t t ⎡=-∈⎣.则210,0,1082t t y t -⎡⎤=+∈⎣⎦ 即217(2),0,1084y t t ⎡⎤=--+∈⎣⎦ 当2t = 即6x =时，收益最大，最大值为万74元， 所以投资债券类产品6万元，股票类投资为4万元，收益最大值为万74元. 【点睛】本题考查求函数解析式以及函数的实际应用，属于中档题.易错点睛：熟悉各种函数模型是解题的关键，同时一定要注意实际条件下的定义域.24．（1）1121,0()21,0x x x f x x +-+⎧+=⎨+>⎩；（2）函数图象见解析，1m 或3m > 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质利用对称性进行转化求解即可．（2）作出函数()f x 的图象，利用指数函数的性质，结合数形结合进行求解即可．【详解】解：（1）若0x >，则0x -<，当0x 时，1()21x f x ．且()f x 是定义在R 上的偶函数，1()21()x f x f x -+∴-=+=．即当0x >时，1()21x f x -+=+．即1121,0()21,0x x x f x x +-+⎧+=⎨+>⎩（2）作出函数()f x 的图象如图：当0x 时，1()21(1x f x +=+∈，3]．∴要使方程()f x m =没有实根，即函数()y f x =与y m =没有交点，则满足1m 或3m >．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数与方程的应用，根据函数奇偶性的对称性的性质进行转化求解是解决本题的关键．25．（1）是“精彩区间”，理由见解析；（2）不是“精彩函数”，理由见解析；（3）1744m -<≤- 【分析】 （1）先判断函数3y x =是否满足“精彩函数”的条件，从而可判断0,1是否为函数3y x=的“精彩区间”；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否满足“精彩函数”的条件即可； （3）由()g x 是“精彩函数”，可知()g x x =至少存在两个不等的实数解，可转化为()222140x m x m -++-=有两个不等的实数根，两实根都不小于4-和m ，结合二次函数的性质，求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，3y x =是R 上的增函数，易知3y x =在0,1上的值域为0,1，所以函数3y x =是“精彩区间”，0,1是该函数的“精彩区间”.（2）不是精彩函数，证明如下：因为函数()()40f x x x x =+>在区间()0,2上单调递减，在区间2,上单调递增， 所以函数()4f x x x =+在定义域0,上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件， 所以函数()()40f x x x x=+>不是“精彩函数”. （3）由题意，函数()4g x x m =+的定义域为[)4,-+∞，且()g x 在定义域上为单调递增函数，因为函数()g x m 是“精彩函数”m x =至少存在两个不等的实数解，方程整理得()222140x m x m -++-=， 所以该方程有两个不等的实数根，设为12,x x ，不妨设21x x >，则214x x >≥-，21 x x m >≥，令()()22214h x x m x m =-++-， 由题意得，()()()()()()22222214402140416421402142m m h m m m m m h m m m ⎧∆=+-->⎪⎪=-++-≥⎪⎨-=+++-≥⎪⎪+>-⎪⎩，即()2417040402142m m m m +>⎧⎪+≤⎪⎪⎨+≥⎪+⎪>-⎪⎩，解得1744m -<≤-. 所以实数m 的取值范围是1744m -<≤-. 【点睛】本题考查新定义，考查函数与方程的综合应用，考查了函数基本性质的运用，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.26．（1）48；（2）24log 3 【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值.【详解】（1）()()()123312123222224x x x x x x f x x x m m m ++++===++，∴ 当2m =时，()12348f x x x ++=；(2)过C 作直线l 垂直于x 轴，分别过,A B 作11,AA BB 垂直于直线l ，垂足分别为11,A B ，则1111ABC AAC BB C AA B B S S S S ∆∆∆=--梯形 ()()()31323231111422222x x x x x x x x =-⨯--⨯--+-⨯()()()()21322222log 2log log 4x x x m m m =-+=+-++ ()2222224log log 144m m m m m +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭即S 关于m 的函数为：()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭，[)2,m ∈+∞ 令24v m m =+，因为24v m m =+在[)2,+∞上是增函数，∴12v ≥ 再令41t v =+，则41t v =+在[)12,+∞上是减函数，∴413t <≤； 而2log S t =在区间41,3⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数， 所以，函数()224log 14S m m m ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭在区间[)2,+∞上是减函数， 故当2m =时，()()2max 42log 3S m S ==．【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.。

最新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试(有答案解析)

一、选择题1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2332a << B ．213a < C ．9aD ．293a < 2．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4) B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞3．已知函数,01()11,10(1)x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，()()4g x f x mx m =--，其中m 是非零的实数，若函数()g x 在区间(1,1)-内有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,(0,1)5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D ．1,(1,)5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．已知函数22,()11,x x x a f x x a x⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数图象与x 轴有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()[),11,2-∞-⋃C ．[)1,2D ．(]()1,12,-+∞5．已知函数()223,021,0x x x f x x -+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若存在三个实数m n q ≠≠，使得()()()f m f n f q ==成立，则111222m n q ++的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．51,2222⎛⎫+⎪⎝⎭C ．()2,22D ．()0,16．已知函数给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．[)0,2C ．[)0,4D ．[)2,48．函数()32xy x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞10．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与 x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是( ) A ．()22xf x x =-B ．()()22f x x bx b R =+-∈C ．()12f x x =--D ．()sin x x x f -=11．双“十一”要到了，某商品原价为a 元，商家在节前先连续5次对该商品进行提价且每次提价10%.然后在双“十一”期间连续5次对该商品进行降价且每次降价10%.则最后该商品的价格与原来的价格相比 A ．相等B ．略有提高C ．略有降低D ．无法确定12．已知函数()()f x x R ∈是奇函数且当(0,)x ∈+∞时是减函数，若(1)0f =，则函数2(2||)y f x x =-的零点共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个二、填空题13．设()f x 是定义域在R 上的偶函数，对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，且当1[]0x ∈-，时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间[]1,3-内关于x 的方程2()(1)0f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_________.14．已知函数()2,0lg ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦实根的个数是__________．15．函数()e |ln |2x f x x =-的零点个数为______________.16．已知方程24(2)60x a x +--=的两实根为1 x ，2x ，方程2220x x a --=的两实根为3x ，4x ，且3124x x x x <<<，则实数a 的取值范围为________.17．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.18．若函数2()2ln f x x a x =-++在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.19．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，()[]g x x x =-．若方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根，则a 的取值范围为________．20．已知函数221,0()21,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩，若函数()y f x k =-有3个零点，则实数k 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()11f x x=-，实数a 、b 满足a b <． （1）在下面平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若函数在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求+a b 的值；（3）若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，求实数m 的取值范围． 22．2009年淘宝开始做“双十一”活动，历经11载，每年双十一成交额都会出现惊人的增长，极大拉动消费内需，促进经济发展.已知今年小明在网上买了一部华为手机，据了解手机是从150千米处的地方发出，运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶，中途不停车.按交通法规限制60120x ≤≤（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升5元，而卡车运输过程中每小时耗油25400x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机的工资是每小时20元. （1）求这次行车总费用y （单位：元）关于x 的表达式； （2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.23．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元）．当年产量不足80台时，21()402C x x x =+（万元），当年产量不小于80台时，8100()1012180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式．（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．24．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：3221805040,[120,144)3120080000,[144,500)2x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--∈⎪⎩且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（1）当[200,300]x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？25．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+. (1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? ( 3.2=)26．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()R x （万元）满足20.4 4.2(05)()11(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.2．D解析：D 【分析】画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得【详解】数形结合法：画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得由图可得：204a a <<解得4a > 或204a a >>-解得4a故选：D 【点睛】数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.3．C解析：C 【分析】先求得分段函数的解析式，函数()g x 零点等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.【详解】当10x -<<时，011x <+<，满足上支范围，所以()11f x x +=+，所以,01 ()11,101x xf xxx≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，作函数()y f x=的图象，如图所示.函数()g x零点的个数等价于函数()y f x=的图象与直线4y mx m=+公共点的个数.当直线4y mx m=+过点(1,1)时，15m=，所以当15m<<时，直线4y mx m=+与函数()y f x=图象有两个公共点.当直线4y mx m=+与曲线111yx=-+（10x-<<）相交时，联立4111y mx myx=+⎧⎪⎨=-⎪+⎩消去y得，24(51)0mx m x m-++=，因此22(51)160m m∆=+->且510m+<时，解得1m<-.综上知，实数m的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题的关键是根据x的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m=+可以与函数两支都有交点，也可以与函数111yx=-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.4．B解析：B【分析】讨论a的范围，分别确定x a≤、x a>上与x轴的交点情况，即可确定实数a的取值范围.【详解】∵当x a ≤时，()(2)(1)f x x x =-+， ∴当2a ≥时，()f x 在x a ≤与x 轴有2个交点； 当12a -≤<时，()f x 在x a ≤与x 轴有1个交点； 当1a <-时，()f x 在x a ≤与x 轴无交点；∵当x a >时，1(1)f x x=-，与x 轴有交点时交点为(1,0)， ∴当1a ≥时，()f x 在x a >与x 轴无交点； 当1a <时，()f x 在x a >与x 轴有1个交点；综上要使()f x 在R 上与x 轴有且仅有一个交点，即12a ≤<或1a <-， 故选：B 【点睛】易错点睛：讨论不等式的参数时，要注意参数边界是否可以取等号.1x =时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a >与x 轴无交点则1a ≥. 1x =-时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a ≤与x 轴无交点则1a <-. 5．B解析：B 【分析】作出函数()f x 的示意图，令()()()f m f n f q t ===，m n q <<，由图象及指数运算得到1222nq --+=和3(,1)2m ∈--，再利用不等式的性质即可得到答案. 【详解】令()()()f m f n f q t ===，不妨设m n q <<，作出函数()f x 的图象如图所示，则(0,1)t ∈，23m t +=，所以33(,1)22t m -=∈--，2m -∈ 又22|21||21|nq ---=-，所以222112n q ---=-，即1222n q --+=所以1111512(,222222mm n q -++=+∈+ 故选：B【点睛】关键点睛：本题解题关键是准确作出函数图象，令()()()f m f n f q t ===，m n q <<得到1222nq --+=以及m 及2m -的范围，从而使问题得到解决. 6．C解析：C 【分析】①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分0,0,0a a a >=<三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数a 的取值范围；③首先令()f x b =，解出三个零点，进而判断结论. 【详解】①当2a =-时，()21,0ln ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，画出函数的图象，如下图，由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数在(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以函数没有最小值；当0a =时，()1,0ln ,0x f xx x ≤⎧=⎨>⎩，ln 0x ≥，函数的最小值是0； 当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =，不妨设1230x x x ≤<<，110b x a -=≤，2b x e -=，3b x e =， 则231x x =，令111b x a-==-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-，当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-.综上可知③正确；故选：C【点睛】思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对a 的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断231x x =，从而只需验证是否11x =-即可.7．B解析：B【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分0a <，0a >，0a =三种情况分析即可得答案.【详解】解：根据题意，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”， 则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2y x 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾， 当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x ，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<； 当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件.综上，实数a 的取值范围是[)0,2.故选：B【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()f x ，()f x -可能取何值，进而根据22x x =方程有两个解2x =或4x =求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.8．B解析：B【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解.【详解】因为函数()32xy x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322x xf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ， 由()()()32112x x y x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD故选：B【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.9．B解析：B【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围.【详解】函数2x y x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+，令'0y =，则0x =或2-， 20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e. 故选B.【点睛】 该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.10．D解析：D【分析】由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果．【详解】A 选项：令3na n nb a =，即22x x =，根据2x y =与2y x =图像如图所示：可知当0x >时，有2x =与4x =两个交点当0x <时，有1个交点因此两函数共有3个交点，故()f x 必有“界点”；B 选项：令220x bx +-=，可知280b ∆=+>，方程恒有2个不等式根，即()f x 必有2个零点，故()f x 必有“界点”；C 选项：令120x --=，解得3x =或1x =，即()f x 有2个零点，故()f x 必有“界点”；D 选项：令sin 0x x -=，令()sin g x x x =-，则()1cos g x x =-'又cos 1≤x ，所以()0g x '≥()g x ∴在(),-∞+∞上单调递增又()00g =，即()g x 只有0x =一个零点，故()f x 不存在“界点”．本题正确选项：D【点睛】本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．11．C解析：C【分析】由题意列出商品最后的价格，利用指数幂的运算性质计算结果.【详解】55110%110%+-（）（）=551.10.9=50.99<1， 故选C.【点睛】本题考查了指数幂的实际应用，考查了指数的运算性质，属于中等题.12．D解析：D【解析】根据题意，函数y=f （x ）是定义域为R 的奇函数，则f （0）=0，当x ∈（0，+∞）时是减函数，且f （1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点， 若函数y=f （x ）是奇函数且当x ∈（0，+∞）时是减函数，则f （x ）在（-∞，0）为减函数，又由f （1）=0，则f （-1）=-f （1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点， 故函数y=f （x ）共有3个零点，依次为-1、0、1， 对于函数()22y f x x =-， 当221x x -=-时，解得1x =±， 当220x x -=时，解得2x =±或0x =，当221x x -=时，解得1x =+1x =--故函数()22y f x x =-的零点共有7个.故选D点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f （x ）的零点，注意计算的准确性.二、填空题13．【分析】首先结合已知条件判断函数的周期由已知可得函数的周期作出函数的图象数形结合得答案【详解】由得又是定义域在上的偶函数可得是周期为2的周期函数当时作出函数在区间内的图象如图方程有4个不同的实数根即 解析：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】首先结合已知条件，判断函数的周期，由已知可得函数的周期，作出函数的图象，数形结合得答案．【详解】由()()11f x f x -=+，得()()2f x f x -=+，又()1f 是定义域在R 上的偶函数，()()()2f x f x f x ∴+=-=，可得()f x 是周期为2的周期函数．当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴作出函数()f x 在区间[]1,3-内的图象如图，方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，即()y f x =与()21y a x =-的图象在区间[]1,3-内有4个不同交点． 当()21y a x =-过()3,1时，解得14a =， 又随着a 的减小抛物线()21y a x =-的开口变大，可得若在区间[]1,3-内关于x 的方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根， 则实数a 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.14．【分析】解方程可得或然后分和解方程或由此可得出结论【详解】解方程可得或当时由可得解得由可得解得（舍）；当时由可得则解得或由可得则解得或综上所述方程实根的个数是故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数的零 解析：5【分析】解方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =，然后分0x ≤和0x >解方程()2f x =或()12f x =，由此可得出结论. 【详解】解方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =.当0x ≤时，由()2f x =可得22x -=，解得1x =-，由()12f x =可得122x -=，解得1x =（舍）；当0x >时，由()2f x =可得lg 2x =，则lg 2x =±，解得100x =或1100x =，由()12f x =可得1lg 2x =，则1lg 2x =±，解得x =或x = 综上所述，方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦实根的个数是5.故答案为：5.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.15．2【分析】令可得可将函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题进而画出函数的图象可得出答案【详解】令可得所以函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题函数和的图象如下图所示：根据图象可得有两个交解析：2【分析】令()e |ln |20x f x x =-=，可得2ln e x x =，可将函数()f x 的零点可以转化为：函数ln y x =和2ex y =的图象的交点问题，进而画出函数的图象，可得出答案. 【详解】 令()e |ln |20x f x x =-=，可得2ln ex x =， 所以函数()f x 的零点可以转化为：函数ln y x =和2e x y =的图象的交点问题. 函数ln y x =和2e xy =的图象，如下图所示：根据图象可得有两个交点，故原函数有两个零点.故答案为：2.【点睛】方法点睛：本题考查求函数零点的个数（方程解的个数）问题.常用的方法：（1）直接解方程()0f x =，求出方程的解的个数，也就是函数()y f x =的零点个数； （2）作出函数()y f x =的图象，其图象与x 轴交点的个数就是函数()y f x =的零点的个数；（3）化函数零点个数问题为方程()()=g x h x 的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数()y f x =的零点的个数. 16．【分析】把问题转化为函数与两个函数的交点问题画出图像观察即可得出结果【详解】由方程的两实根为则转化为两个函数的交点问题由方程的两实根为转化为两个函数的交点问题画出函数的图像如图所示：又观察图像可得： 解析：412a <<【分析】把问题转化为函数y a =与()642f x x x=-+，()222g x x x =-两个函数的交点问题，画出图像，观察即可得出结果.【详解】 由方程24(2)60x a x +--=的两实根为1 x ，2x ， 1232x x ⋅=-，则120,0 x x ≠≠， 转化为()6,42y a f x x x ==-+两个函数的交点问题， 由方程2220x x a --=的两实根为3x ，4x ，转化为()2,22y a g x x x ==-两个函数的交点问题， 画出函数()(),,f x g x y a =的图像，如图所示：又3124x x x x <<<，观察图像可得：412a <<.则实数a 的取值范围为412a <<.故答案为：412a <<.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有实根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．4【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查了分段函数 解析：4【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±0x >时，()31x f x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--.241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩， ∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±， 1220,4223,-<-+<-<--<-0x >时，()31x f x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+则(())3f f x =的零点的个数为4.故答案为：4【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.18．【分析】将问题转化为在上有两个解令利用导数判断的单调性及最值数形结合即可求得a 的范围【详解】令可得令则因为当时当时所以在上单调递减在上单调递增所以当时取得最小值又所以因为在上有两个解所以故答案为：【 解析：441,1(]e + 【分析】将问题转化为22ln a x x =-在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，令2()2ln g x x x =-，利用导数判断()g x 的单调性及最值，数形结合即可求得a 的范围.令()0f x =可得22ln a x x =-，令2()2ln g x x x =-，则2222()2x g x x x x -'=-=， 因为当211x e 时，()0g x '，当1x e <时，()0g x '>，所以()g x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(1,]e 上单调递增， 所以当1x =时()g x 取得最小值(1)1g =， 又224114,()2g g e e e e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以21()g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 因为()a g x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，所以4114a e <+. 故答案为：441,1(]e + 【点睛】本题考查函数的零点、利用导数求函数的最值，考查等价转化思想和数形结合思想，属于中档题.19．1)∪(1)∪(【分析】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象根据函数的性质分类讨论进行求解即可【详解】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象如下图所示：函数的定解析：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【分析】 方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数 1(),log ()2a y g x y x ==-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，根据函数 1log ()2a y x =-的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数 1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，如下图所示：函数1()log ()2a y h x x ==-的定义域为1(,)2+∞，且恒过定点3(,0)2.当01a <<时，当(1)1h ≥时，函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，解得12a ≥，所以有112a ≤<；当1a >时，要想函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，只需满足：(2)1h ≥或(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解得(1，32)或 (52，72]，综上所述：a 的取值范围为[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72]. 故答案为：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【点睛】本题考查了已知方程根的情况求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想，考查了数学运算能力.20．【分析】画出的图像再分析有3个交点时实数的取值范围即可【详解】的图象如图∵有3个零点∴图象与图象有3个交点∴故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求解参数的取值范围问题需要数形结合分析属 解析：(0,1)【分析】画出221,0()21,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩的图像,再分析()f x k =有3个交点时实数k 的取值范围即可. 【详解】()y f x =的图象如图.∵()y f x k =-有3个零点,∴()y f x =图象与y k =图象有3个交点. ∴1()0,k ∈. 故答案为：(0,1) 【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求解参数的取值范围问题.需要数形结合分析,属于中档题.三、解答题21．（1）图象见解析；（2）1；（3）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，进而可作出函数()f x 的图象； （2）分别解方程()13f x =和()3f x =，结合图象可得出a 、b 的值，进而可求得结果； （3）由题意可知函数()f x 在区间[],a b 上单调递增，分析得出方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可得()(]()()11,0,11111,,01,x xf x x x x⎧-∈⎪⎪=-=⎨⎪-∈-∞⋃+∞⎪⎩，则由图形变换可画出函数图象，如图：（2）当()13f x =时，此时1113x -=，解得32x =或34x =；当()3f x =时，此时113x -=，解得12x =-或14x =.由（1）中的图象可知，若使得函数()f x 在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则[](),0,a b ⊆+∞，由图象可得1344a b ==，，所以1a b +=； （3）因为函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，分以下几种情况讨论：①若0a b <<，则0ma mb <<，由图象可知，函数()f x 在[],a b 上单调递增，函数()f x 在[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，由图象可知()()00f a f b ⎧>⎪⎨>⎪⎩，不合乎题意；②若01a b <<<，则函数()f x 在[],a b 上单调递减，所以函数()11f x x =-在[],a b 上的值域为()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦，则()()1111f b ma bf a mba ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩， 上述两个等式相减得1m ab =，将1m ab =代入11ma b-=可得10，矛盾； ③若01a b <<≤，则[]0,ma mb ∈，而0ma >，0mb >，矛盾； ④若1b a >≥，函数()f x 在[],a b 上单调递增，又函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()f a ma fb mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111ma a mbb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则a 、b 为方程11mx x-=的两个根，即210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等实根， 可设()21g x mx x =-+，则有()14010112m g m m ⎧⎪∆=->⎪=≥⎨⎪⎪>⎩，解得104m <<，所以实数m 的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解.22．（1）y 6750158xx =+，[]60,120x ∈；（2）当x 为60时，这次行车的总费用最低，最低费用是225元. 【分析】（1）总费用由油耗、司机工资费用组成，分别用x 表示两部分费用加总即可； （2）由（1）所得函数表达式，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】解：（1）货车行驶的时间为150x小时，由题意得： 21501505520400x y x x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭6750158x x =+，[]60,120x ∈； （2）6750152258x y x =+≥=当且仅当6750158x x =，即60x =时取等号 所以当x 为60时，这次行车的总费用最低，最低费用是225元. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，必须满足的三个条件--“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件.23．（1）2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元． 【分析】（1）分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案；（2）当080x <<时，21(60)13002y x =--+，配方法求最值、；当80x ≥时， 利用基本不等式求最值，然后再做比较. 【详解】（1）当080x <<时，2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭，当80x ≥时，8100810010010121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）可知当080x <<时，21(60)13002y x =--+， 此时当60x =时y 取得最大值为1300（万元）， 当80x ≥时，8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=即90x =时y 取最大值为1500（万元）， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．（1）不能获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损，（2）400。

新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测题(含答案解析)

一、选择题1．关于x 的方程2||10x a x ++=有4个不同的解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),22,-∞-+∞B ．(],2-∞-C ．(),2-∞-D ．()2,+∞2．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1] 内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006B ．1007C ．2016D ．20173．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，|2|()12x f x +=-，若关于x 的方程2()|1|f x a f -+2()0x a +=恰好有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的取值范围是（ ）A ．160,81⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．116,1681⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．11,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 4．设函数()243,023,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．()2,4D ．()2,65．函数2cos ()x xx xf x e e -=-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．定义在R 上的奇函数f (x )满足条件(1)(1)f x f x +=-，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若函数g (x )＝()f x －a e －在区间2018,[]2018-上有4 032个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(0，1) B ．(e ，e 3) C ．(e ，e 2)D ．(1，e 3)7．对任意实数a ，b 定义运算“”：,1,1b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()()214f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．[)2,1-B ．[]0,1C ．(]0,1D ．()2,1-8．某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（ ） A ．25B ．35C ．42D ．509．已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21x f x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1，2)B ．(232，2)C ．23(,2)-∞(2， +∞) D ．(2，+∞)10．设一元二次方程210mx m -++=的两个实根为1x ，2x ，则2212x x +的最小值为（ ） A ．178-B ．154C ．1D ．411．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈）（ ）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +--=，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则下列结论正确的是（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 是周期函数，且2是其一个周期；③16132f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④关于x 的方程()0f x t -=（01t <<）在区间()2,7-上的所有实根之和是12. A ．①④B ．①②④C ．③④D ．①②③二、填空题13．已知()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且()123,1211,222x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数2()3y xf x =-在区间()1,2015上零点的个数为 ．14．设()f x 是定义域在R 上的偶函数，对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，且当1[]0x ∈-，时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间[]1,3-内关于x 的方程2()(1)0f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_________.15．某汽车厂商生产销售一款电动汽车，每辆车的成本为4万元，销售价格为6万元，平均每月销量为800辆，今年该厂商对这款汽车进行升级换代，成本维持不变，但为了提高利润，准备提高销售价格，经过市场分析后发现，如果每辆车价格上涨0.1万元，月销量就会减少20辆，为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为__________万元. 16．2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修.为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元. 17．函数2()23f x x x a =---有四个零点，则a 的取值范围为_______. 18．规定[]t 为不超过t 的最大整数，如[]3.33=，[]2.43-=-.若函数()[][]()2f x x x x =-∈R ，则方程()()22f x f x -=的解集是______.19．已知函数24()ln(1)x f x e-=+，()2g x x a =+-.若存在[](),1a n n n Z ∈+∈，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不相等的实数解，则n 的最大值为_______.20．对于实数a b ，，定义运算“*”：22*a ab a ba b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设()()2*1f x x x =+，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数2()29f x x ax =-+.(I)当0a ≤时，设()(2)x g x f =，证明：函数()g x 在R 上单调递增； (II)若[1,2]x ∀∈，(2)0x f ≤成立，求实数a 的取值范围； (III)若函数()f x 在(3,9)-有两个零点，求实数a 的取值范围.22．某药物研究所开发的一种新药，据监测，成人按规定剂量服药一次后，每毫升血液中含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系可由函数112,01()12,1t t t y f t a t -<≤⎧==⎨>⎩拟合(01a <<).（1）当0.25a =时，求使得3y ≥的t 的取值范围；（2）研究人员按照yq t=的值来评估该药的疗效，并测定2q ≥时此药有效，若某次服药后测得3t =时每毫升血液中的含药量为6微克，求此次服药产生疗效的时长.23．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产()*x x N ∈台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则21602t x x =+；若年产量不小于100台，则242001524700t x x =+-，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. （1）写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 24．已知函数()2()log 41xf x mx =++． （1）若()f x 是偶函数，求实数m 的值；（2）当0m >时，关于x 的方程()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦在区间[1,上恰有两个不同的实数解，求m 的范围．25．定义在R 上的函数()f x 满足()00f ≠，且当0x >时，()1f x >，对任意a b ，∈R ，均有()()()f a b f a f b +=⋅．（1）求证：()01f =；（2）求证：对任意x ∈R ，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．26．某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为R （x ）万元.且()()()2211080103108010000103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由2||10x a x ++=可得1a x x =--，转化为y a =与()1g x x x=--的图象有4个不同的交点，作出()1g x x x=--，数形结合即可求解. 【详解】由2||10x a x ++=可得22111||||x x a x x x x----===--， 令()1g x x x=--， 若关于x 的方程2||10x a x ++=有4个不同的解， 则y a =与()1g x x x=--的图象有4个不同的交点， ()1g x x x=--是偶函数， 当0x <时()()()111x x x x x x g x --=---=+-=， ()1g x x x=+在(),1-∞-单调递增，在()1,0-单调递减， 所以()1g x x x=+的图象如图所示：当1x =-时()max 1121g x =-+=--，若y a =与()1g x x x=--的图象有4个不同的交点， 由图知2a <-， 故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．D解析：D 【分析】由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等于2的周期函数，根据1()02f =，求出3()02f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，2017]内根的个数．【详解】解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 故函数()f x 是周期等于2的周期函数，其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+， 即有()()f x f x -=，1()02f =， 1()02f ∴-=，再由周期性得13(2)()022f f -+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点， ()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．故选：D ． 【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.3．A解析：A 【分析】由奇函数得出()f x 的性质，作出函数图象，可知()f x t =的解的个数，令()t f x =，原方程变为2210t a t a -++=，根据()f x t =的解的情形，可得2210t a t a -++=有两不等实根且实根12,t t 都在(0,3)上，由二次方程根的分布可得a 的范围，应用韦达定理得1212,t t t t +，这样()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦就可能用a 表示，并根据a 的求得结论． 【详解】由题意(0)0f =，0x >时，2()()21x f x f x -+=--=-，作出函数()f x 的图象，如图，若0a =，则方程2()|1|f x a f -+2()0x a +=为2()()0f x f x -=，()0f x =或()1f x =()0f x =三个解，()1f x =有两个解，原方程共有5个解，不合题意，设()t f x =，因此关于t 方程2210t a t a -++=必有两个不等实根，又12212100t t a t t a ⎧+=+>⎨=>⎩，所以120,0t t >>，从而103t <<，203t <<且12t t ≠.若其中一根为1，则由2110a a -++=，1a ≤-时，2110a a +++=无实数解，1a >-，2110a a --+=，0a =或1a =，不合题意．因此121,1t t ≠≠，由2222103209310140a a a a a a ⎧+<<⎪⎪⎪>⎨⎪-++>⎪∆=+->⎪⎩，解得113-<<a 且0a ≠．不妨设121()()f x f x t ==，342()()f x f x t ==， 则()()()()222212341212121111[(1)(1)][1()][11]f x f x f x f x t t t t t t a a ----=--=-++=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦22()a a =-，∵113-<<a 且0a ≠．∴21449a a -≤-<且20a a -≠，∴2160,81a a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是两个：一是研究函数()f x 的性质，二是换元后得出二次方程，问题转化为二次方程根的分布，求出参数a 的范围．4．C解析：C 【分析】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()123f x f x f x m ===，当0x ≥时，()()2243211f x x x x =-+=--≥-，由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y x x =-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．A解析：A 【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，再根据102x <<，时()0f x >即可得到正确的图像. 【详解】2cos ()x x x x f x e e -=-，()()22cos cos ()()x x x x x x x x f x f x e e e e-----==-=---∴， 因此函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除,C D ， 又当102x <<时，cos 0,0x xx e e ->->，()0f x ∴>，排除B . 故选：A . 【点睛】本题主要考查的是函数图像，考查利用函数的奇偶性看图形，排除法的应用，考查学生的分析问题的能力，是中档题.6．B解析：B 【分析】根据满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数，可周期为4，当[0,1]x ∈时，()f x x =，根据()()m x f x =与()xn x ae -=图像，判断在一个周期内的焦点情况即可求解．【详解】因为()f x 满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数， 函数()(2)()f x f x f x =-=--，∴()f x 周期为4， ∵当[0,1]x ∈时，()f x x =，作()()m x f x =与()xn x ae -=图像，函数()()xg x f x ae-=-在区间2018,[]2018-上有4032个零点，即()()m x f x =与()xn x ae -=在[0,4]且仅有两个交点，∴(1)(1)(3)(3)m n m n <⎧⎨>⎩即3e a e <<.点睛：本题主要考查了函数的基本性质的应用及不等式的求解，周期的求解等知识点应用，其中正确合理运用函数的基本性质是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．7．A解析：A 【分析】利用新定义化简()f x 解析式，做出()g x 的函数图象，根据图象即可得出k 的范围. 【详解】解：有题意：21(4)1x x --+，解得：2x -或3x ，所以()24,(,2][3,)1,(2,3)x k x f x x k x ++∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-+∈-⎩， 令()24,(,2][3,)1,(2,3)x x g x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩ 画出()g x 的函数图象，如图：因为函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，所以()y g x k =+有三个零点，由图可得：21k -<．故选：A ．【点睛】本题考查根据零点个数求参数的范围，求解一元二次不等式，是中档题．8．C解析：C【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ，则21(1)2a x a +=．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点．【详解】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x ，8月份产量去年同期水平为a ， 则21(1)2a x a +=． 解得210.41442%x =≈≈．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C ．【点睛】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．B解析：B【分析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log (22)3log (62)3a a+<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4，作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象，关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<， 故选:B ．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.10．C解析：C【分析】由一元二次方程有两个实根,可知0m ≠且0∆≥,可求出m 的取值范围,然后结合韦达定理可得到2212x x +的表达式,结合m 的取值范围可求出答案.【详解】∵一元二次方程22210mx x m -++=有两个实根,∴(()2022410m m m ≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩,解得21m -≤≤且0m ≠. 又122x x m+=,121m x x m +⋅=, 则()2221212122x x x x x x +=+-⋅22212m m m ⎛⎫+-⨯ ⎪⎪= ⎝⎭2822m m =-- 令1t m=,因为21m -≤≤且0m ≠,所以12t ≤-或1t ≥, 则221222117822888t t t x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭+,当12t =-时,2212x x +取得最小值2111781288⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,考查韦达定理的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题. 11．C解析：C【分析】由题意知，2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，然后解不等式1300 1.122000n ⨯>，将指数式化为对数式，得出n 的取值范围，即可得出答案.【详解】若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，由1300 1.122000n ⨯>可得1.3 1.122n ⨯>，lg1.3lg1.12lg 2n ∴+>，所以0.050.19n ⨯>， 得 3.8n >，则正整数n 的最小值为4，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题.12．A解析：A【分析】由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数()y f x =的大致图象与直线y t =，由它们交点的性质判断④．【详解】由()()20f x f x +--=可知()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确；因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是()f x 的周期，故②错误；由()f x 的周期性和对称性可得1644243333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()f x 在[]0,1x ∈时单调递增，所以1223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16132f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，③错误；又[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则可画出()f x 在区间[]2,8-上对应的函数图象变化趋势，如图易得()0f x t -=（01t <<）即()f x t =（01t <<）在区间()2,7-上的根分别关于1，5对称，故零点之和为()21512⨯+=，④正确.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、单调性，考查函数的零点，掌握函数的基本性质是解题基础．函数零点问题常用转化为函数图象与直线的交点问题，利用数形结合思想求解．二、填空题13．11【分析】令函数得到方程从而化函数的零点为方程的根再转化为两个函数的交点问题从而解得【详解】解：令函数得到方程当时函先增后减在时取得最大值1而在时也有；当时在处函数取得最大值而在时也有；当时在处函 解析：11【分析】令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x =，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．【详解】解：令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x =， 当[)1,2x ∈时，函()f x 先增后减，在32x =时取得最大值1， 而32y x =在32x =时也有1y =； 当)22,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在3x =处函数()f x 取得最大值12， 而32y x =在3x =时也有12y =；当)232,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在6x =处函数()f x 取得最大值14， 而32y x =在6x =时也有14y =； …， 当)10112,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在1536x =处函数()f x 取得最大值1012， 而32y x =在1536x =时也有1012y =； 综合以上分析，将区间()1,2015分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．故答案为：11．【点睛】本题考查函数的零点，对于较为复杂的函数的零点，可以转化为常见函数的图象的交点来考虑，本题属于中档题．14．【分析】首先结合已知条件判断函数的周期由已知可得函数的周期作出函数的图象数形结合得答案【详解】由得又是定义域在上的偶函数可得是周期为2的周期函数当时作出函数在区间内的图象如图方程有4个不同的实数根即 解析：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】首先结合已知条件，判断函数的周期，由已知可得函数的周期，作出函数的图象，数形结合得答案．【详解】由()()11f x f x -=+，得()()2f x f x -=+，又()1f 是定义域在R 上的偶函数，()()()2f x f x f x ∴+=-=，可得()f x 是周期为2的周期函数．当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴作出函数()f x 在区间[]1,3-内的图象如图，方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，即()y f x =与()21y a x =-的图象在区间[]1,3-内有4个不同交点． 当()21y a x =-过()3,1时，解得14a =， 又随着a 的减小抛物线()21y a x =-的开口变大，可得若在区间[]1,3-内关于x 的方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根， 则实数a 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.15．7【分析】设每辆车的销售价格为万元求出每月的销售数量乘以每一辆的获利可得每月的利润再由二次函数求最值【详解】解：设每辆车的销售价格为万元则月销售为辆由解得获利当时取得最大值为1800万元为了获取最大 解析：7【分析】设每辆车的销售价格为x 万元，求出每月的销售数量，乘以每一辆的获利可得每月的利润，再由二次函数求最值.【详解】解：设每辆车的销售价格为x 万元，则月销售为68002020002000.1x x --⨯=-辆， 由20002000x ->，解得10x <， ∴获利2(2000200)(4)20028008000(010)y x x x x x =--=-+-<<，当28007400x ==时，y 取得最大值为1800万元. ∴为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为7万元.故答案为：7.【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，二次函数最值的求法，是基础题.16．790【分析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元个人所得税属于2级可得应缴纳的个人所得税为计算即可【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元个人所得税属于2级解析：790【分析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，可得应缴纳的个人所得税为()150005000300010%30003%--⨯+⨯，计算即可．【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级， 则应缴纳的个人所得税为()150005000300010%30003%70090790--⨯+⨯=+=元故答案为790【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，属于基础题．17．【分析】函数零点转化为的解即函数与直线的交点的横坐标由数形结合思想可得解【详解】由得作函数的图象和直线如图函数在和上递减在和上递增由图象知当时的图象和直线有四个交点即有4个零点故答案为：【点睛】本题 解析：(0,4)【分析】 函数零点转化为223x x a --=的解，即函数2()23g x x x =--与直线y a =的交点的横坐标，由数形结合思想可得解．【详解】由()0f x =得223x x a --=，作函数2()23g x x x =--的图象和直线y a =，如图，函数()g x 在(,1)-∞-和(1,3)上递减，在(1,3)-和(3,)+∞上递增，(1)4f =，由图象知当04a <<时，2()23g x x x =--的图象和直线y a =有四个交点．即()f x 有4个零点．故答案为：(0,4)．【点睛】本题考查函数的零点个数，解题时把问题转化为函数图象与直线交点个数，通过数形结合思想求解．18．【分析】先计算出的取值再结合题目中的规定计算出结果【详解】由方程可得或若则故或由题目中的规定为不超过的最大整数当时可得当时可得;若则无解综上方程的解集是故答案为:【点睛】本题考查了新定义内容结合函数 解析：[)[)1,02,3- 【分析】先计算出()f x 的取值,再结合题目中的规定计算出结果.【详解】由方程()()22f x f x -=,可得()2f x =或()1f x =-,若()2f x =,则[][]()22x x x -=∈R ,故[]2x =或[]1x =-,由题目中的规定[]t 为不超过t 的最大整数,当[]2x =时,可得23x ≤<,当[]1x =-时,可得10x -≤<;若()1f x =-,则[][]()21x x x -=-∈R 无解, 综上方程()()22f x f x -=的解集是[)[)1,02,3-.故答案为:[)[)1,02,3- 【点睛】本题考查了新定义内容,结合函数思想来解题,需要理清题意,抓住题目的核心,通常考查函数的性质、零点等问题.19．2【分析】由题意得令显然为偶函数则方程有四个实根函数x ＞0有两个零点令x ＞0则关于t 的方程即在内有两个不相等的实根结合函数的图象可得由此可求出答案【详解】解：方程令则显然为偶函数∴方程有四个实根函数 解析：2【分析】 由题意得242()()10x x a f x g x e e -+-=⇔+-=，令242()1x x a h x e e -+-=+-，x ∈R ，显然()h x 为偶函数，则方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点，令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，即1a e t t=+在()2e -+∞，内有两个不相等的实根，结合函数1y t t =+的图象可得4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，由此可求出答案．【详解】解：方程()()f x g x =⇔24ln(1)2x ex a -+=+-24210x x a e e -+-⇔+-=， 令242()1x x a h x e e -+-=+-，x ∈R ，则显然()h x 为偶函数，∴方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点， 令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=， 即1a e t t =+在()2e -+∞，内有两个不相等的实根， 结合函数1y t t=+，2t e ->的图象，得222a e e e -<<+，即4ln 2ln(1)2a e <<+-，∵存在[],1a n n ∈+，使得4ln 2ln(1)2a e <<+-， ∴4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，结合n Z ∈，得max 2n =， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数与方程，考查方程的实数解个数问题，考查转化与化归思想，属于中档题．20．【分析】根据对运算的定义将写成分段函数画出该函数的图像将问题转化为直线与函数的图像有3个交点求参数的范围问题【详解】根据题意在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知当时由最小值故数形结合可知 解析：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据对运算的定义，将()f x 写成分段函数，画出该函数的图像，将问题转化为直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点求参数的范围问题.【详解】根据题意()()221,11,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知，当()0,1x ∈时，由最小值1122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故数形结合可知，当1,02m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点， 即()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根. 故答案为：1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，本题中采用数形结合的方法，将问题转化为函数图像交点的问题进行处理. 三、解答题21．(I)证明见解析 ；(II) 134a ≥；(III) 35a << . 【分析】(I)根据函数单调性定义法证明即可； (II) 设2(12)x t x =<<，则24t <<则 92t a t +≤，令9()h t t t=+，求()h t 最大值即可； (III)根据零点分布列出等价不等式求解即可.【详解】 （Ⅰ）()(2)4229x x x g x f a ==-⋅+，设21x x R >∈，221121()()4229(4229)x x x x g x g x a a -=-⋅+--⋅+2121442(22)x x x x a =---212121(22)(22)2(22)x x x x x x a =-+--2121(22)[(22)2]x x x x a =-+-因为函数2xy =在R 上单调递增，所以2122x x >，所以21220x x ->，又21(22)0,0x x a +>≤，所以21(22)20x x a +->， 2121(22)[(22)2]0x x x x a -+->，所以21()()g x g x >，所以函数()g x 在R 上单调递增.（Ⅱ）设2(12)x t x =<<，则24t <<，都有2290t at -+≤，92t a t +≤，令9()h t t t=+， 易证()h t 在(2,3)单调递减，在(3,4)单调递增， 又1325(2)(4)24h h ==,，()h t 最大值为132， 13132,24a a ≥≥. (III)因为函数()f x 在(3,9)-有两个零点且对称轴为x a =，所以2394360(3)0(9)0a a f f -<<⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪>⎩， 解得35a <<.【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．（1）1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3小时. 【分析】（1）当0.25a =时，求出函数()f t 的解析式，分段讨论当3y ≥时t 的取值范围，再求并集即可；（2）由题可求出a =q 关于t 的函数关系时，再令2q 求出t 的值，结合单调性可求出.【详解】（1）当0.25a =时，112,01()120.25,1t t t y f t t -<≤⎧==⎨⨯>⎩， 当01t <≤时，123y t =≥，解得14t ≥，114t ∴≤≤， 当1t >，1120.235t y -⨯=≥，解得2t ≤，12t ∴<≤，综上，使得3y ≥的t 的取值范围为1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）当3t =，2126y a ==，解得2a =±（舍负），112,01()12,1t t t y f t t -<≤⎧⎪∴==⎨⨯>⎪⎝⎭⎩，112,01112,12t t y q t t t -<≤⎧⎪∴==⎛⎫⎨⨯⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩.令11122(1)t t t -⨯⨯=>⎝⎭，解得3t =， 01t <≤时，12q =，当1t >时，11122t q t -⎛=⨯⨯ ⎝⎭单调递减， 故可知2q ≥的解集为(0,3]t ∈，所以此次服药产生疗效的时长为3小时.【点睛】本题考查利用给定函数模型解决实际问题，解题的关键是正确理解函数关系，会利用单调性解不等式，考查学生的计算能力. 23．（1）()()2**1906000100,22420024100100,x x x x N y x x x N x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩；（2）110台.【分析】 （1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，利润=总收入-总投入，即得结果；（2）讨论分段函数最值，即得结果.【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本21602t x x =+，固定投本600万，总收入150x 万元，故利润2211150606009060022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭；若年产量不小于100台，另外投本242001524700t x x=+-，固定投本600万，总收入150x 万元，故利润2420024200150152470060024100y x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. 故()()2**1906000100,22420024100100,x x x x N y x x x N x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩；（2）当0100,*x x N <<∈时，21906002y x x =-+-，在对称轴90x =处，取得最大值，max 3450y =； 当100x ≥，*x N ∈时，2242002410021001410y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，对勾函数2110t x x=+在[]100,110上递减，在()110,+∞上递增，故110x =时，利润取得最大值，max 3660y =，综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元.【点睛】本题解题关键是能准确根据利润=总收入-总投入，得到利润的分段函数，再求分段函数的最值即突破难点.24．（1）1m =-；（2）8,19m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【分析】（1）根据偶函数的定义()()f x f x -=，求得实数m 的值；（2）首先观察函数的单调性和()01f =，可得()242148log 2log 40x x m++-=，再根据换元设2log x t =，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用参变分离的方法转化为24224t t m -++=，根据函数2224y t t =-++的图象，求m 的取值范围.【详解】（1）()2()log 41x f x mx =++， ()2()log 41x f x mx --=+-，()()f x f x =-即()()22log 41log 41x x mx mx -++=+-，化简得到22x mx =-，∴1m =-（2）0m >，函数()2()log 41x f x mx =++单调递增，且(0)1f =， ()242148log 2log 41(0)f x f x m ⎡⎤++-==⎢⎥⎣⎦， 故()242148log 2log 40x x m++-= 设2log x t =，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即24224t t m -++=， 画出2224y t t =-++的图像，如图所示：根据图像知4942m ≤<，解得819m <≤，即8,19m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 【点睛】 方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.25．（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4）(0,3) .【分析】（1）利用赋值法，令a ＝b ＝0，求解f (0)的值即可；（2）分类讨论x < 0和0x ≥两种情况证明题中的不等式即可；（3）由函数的性质可证得当12x x <时，f (x 2) > f (x 1)，则f (x )是R 上的增函数．（4）由题意结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得x 的取值范围是(0，3)．【详解】（1）证明：令a ＝b ＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因为f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1.（2）当x < 0时，－x >0，。

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