专题3.6 对数与对数函数(精讲)(解析版)
专题3.6 对数与对数函数
【考纲要求】
1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式. 2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 3.了解对数函数的变化特征.
4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.
【知识清单】
1．对数及其运算 1.对数的概念
（1）如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
（2）对数的性质：①负数和零没对数；②10a log =；③1a log a =； （3）对数恒等式a log a N ＝N 2.对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N ＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；
④log a m M n ＝n
m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝
1
log b a
，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . ③log a a b ＝b (a >0，且a ≠1) 2．对数函数及其性质
(1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质
3.反函数
对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．
【考点梳理】
考点一 ：对数的化简、求值
【典例1】（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a
-=（ ）
A ．
1
16
B ．
19
C ．
18 D ．
16
【答案】B 【解析】
由3log 42a =可得3log 42a
=，所以49a =，
所以有14
9
a
-=
， 故选：B.
【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a
C ．b D ．c 【答案】A 【解析】 由题意可知a 、b 、()0,1c ∈， ()22 2 528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ????++??==? ，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得4 5 b <； 由13log 8 c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得4 5 c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A. 【规律方法】 1.对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 2.对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 【变式探究】 1.（2018届安徽省宿州市第三次检测）已知m >0，n >0，log 4m =log 8n =log 16(2m +n)，则log 2√m ?log 4n =（ ） A. -2 B. 2 C. ?1 2 D. 1 2 【答案】C 【解析】 由题意，设log 4m =log 8n =log 16(2m +n )=k ， 则m =4k ，n =8k ，2m +n =16k ，据此有：2×4k +8k =16k ， 则：2×(14)k +(12)k =1，即2×[(12)k ]2+(12)k ?1=0， 据此可得：(12)k =1 2或(12)k =?1， 其中：m n =4k 8k =(12)k >0，据此可得：m n =1 2， 则log 2√m ?log 4n =log 2√m ?log 2√n =log 2√m n =log 2√12 =?1 2 . 本题选择C 选项. 2.()5 2016? 1.2 b a a b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝ ，b ＝ . 【答案】4，2. 【解析】 设log ,1b a t t =>则，因为215 22 t t a b t +=?=?=， 因此2 2222, 4.b a b b a b b b b b b a =?=?=?== 【易错提醒】 (1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误． (2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 考点二 ：对数函数的概念与图象 【典例3】（2019·浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ? ?==+> ?? ?且0)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1 x y a = 过定点(0,1)且单调递增，函数 1log 2a y x ? ?=+ ?? ?过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增， 则函数1x y a = 过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ? ?=+ ??? 过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【典例4】（2020·北京高三二模）已知函数f （x ）=log a x +b 的图象如图所示，那么函数g （x ）=a x +b 的图象可能为( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 结合已知函数的图象可知，(1)1f b =<-,1a >， 则()g x 递增，且(0)10g b =+<，故D 符合题意. 故选：D. 【典例5】已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是 ( ) A ．a 4 B ．a 3 C ．a 2 D ．a 3 【答案】B 【解析】[思路分析] 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用log a a ＝1，结合图象判断． [解析] 在图中作一条直线y ＝1. 由? ???? y ＝1，y ＝log a 3x ，得log a 3x ＝1，所以x ＝a 3. 所以直线y ＝1与曲线C 3：y ＝log a 3x 的交点坐标为(a 3,1)． 同理可得直线y ＝1与曲线C 4，C 1，C 2的交点坐标分别为(a 4,1)，(a 1,1)，(a 2,1)． 由图象可知a 3 1.对数函数的解析式同时满足： ①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x . 2. (1)不管a >1还是0 (2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a 逐渐变小，即a 的值越小，图象越靠近y 轴． 3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决． 4．对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”． (1)当0 (2)当0 5．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题． 【变式探究】 1．（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数y =ax 2+bx 与y =log |b a |x (ab ≠0,|a |≠|b |)在同一直 角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 对于A 、B 两图，|b a |＞1 ，而ax 2+bx=0的两根为0和?b a ，且两根之和为?b a ，由图知0＜?b a ＜1得-1＜b a ＜ 0，矛盾， 对于C 、D 两图，0＜|b a |＜1，在C 图中两根之和?b a ＜-1，即b a ＞1矛盾，C 错，D 正确． 故选：D ． 2．（2020·上海高一课时练习）函数y x a =-与函数log a y x =在同一坐标系的图像只可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 当1a >时，对数函数log a y x =为增函数，当1x =时函数y x a =-的值为负.无满足条件的图像. 当01a <<时，对数函数log a y x =为减函数，当1x =时函数y x a =-的值为正.C 满足. 故选：C 3．（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg ,0()1lg ,0 x x f x x x >?? =???-< ??? ??，若()()f m f m >-，则实数m 的 取值范围是（ ） A ．(1,0)(1,)-?+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1) (0,1)-∞- 【答案】A 【解析】 由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示， 则不等式()()f m f m >-即()()f m f m >-，即()0f m >， 观察函数图像可得实数m 的取值范围是()()1,01,-?+∞. 故选：A . 【总结提升】 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 考点三 ：对数函数的性质及应用 【典例6】（2020·天津高考真题）设0.8 0.7 0.713,,log 0.83a b c -??=== ??? ，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】D 【解析】 因为0.731a =>， 0.8 0.80.71333b a -??==>= ??? ， 0.70.7log 0.8log 0.71c =<=， 所以1c a b <<<. 故选：D. 【典例7】（2020·全国高考真题（理））若242log 42log a b a b +=+，则（ ） A ．2a b > B ．2a b < C ．2a b > D ．2a b < 【答案】B 【解析】 设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+ 所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+2 1 log 102 ==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <. 2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=2 2222log b b b --， 当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2 ()()f a f b >，有2a b > 当2b =时，2 ()()10f a f b -=-<，此时2 ()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B. 【典例8】（2019·北京高考模拟（理））若函数22,1, ()log ,1, x x f x x x ?<=? -≥? 则函数()f x 的值域是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．[0,)+∞ D ．(,0) (0,2)-∞ 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为(),2-∞，故选A. 【典例9】满足()()0f x f x --=，且在0, 单调递减，若1 4 79a - ??= ? ?? ，15 97b ??= ??? ，2 1log 9 c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f b f a f c << B ．()()()f c f b f a << C ．()()()f c f a f b << D ．()()()f b f c f a << 【答案】C 【解析】 ()()0()()f x f x f x f x --=∴=-∴()f x 为偶函数. 2 1log 09c =<22211 ()(log )(log )(log 9)99 f c f f f ∴==-=， 22lo g 9log 42>=，1 111 4 45 9799207977a b -???? ???? >>==>=> ? ? ? ????? ???? 2log 9a b ∴>>. ()f x 在0, 单调递减，∴()()() 2log 9f f a f b <<，即()()()f c f a f b <<. 故选：C . 【典例10】（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1 (,)2 +∞单调递增 B ．是奇函数，且在11(,)22 -单调递减 C ．是偶函数，且在1 (,)2 -∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1 (,)2 -∞-单调递减 【答案】D 【解析】 由 ()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ??≠±???? ，关于坐标原点对称， 又 ()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ； 当11,22x ?? ∈- ??? 时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22??- ??? 上单调递增，()ln 12y x =-在11,22 ?? - ??? 上单调递减， ()f x ∴在11,22?? - ??? 上单调递增，排除B ； 当1,2x ??∈-∞- ? ??时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +? ?=----==+ ?--?? ， 2121x μ=+ -在1,2? ?-∞- ?? ?上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2? ? -∞- ?? ? 上单调递减，D 正确. 故选：D. 【典例11】（2020·上海高三专题练习）函数y = 的定义域为 ． 【答案】 【解析】 由题意可知20431x x <-≤，解得x ∈ ． 【典例12】（2020·河北新乐市第一中学高二月考）函数( ) 2 13 ()log 23f x x x =-++的单调递增区间是 ________． 【答案】[1,3)或(1 )3， 【解析】 由题意，令223u x x =-++，由0>u ， 解得13x ， 即函数()f x 的定义域为(1,3)- 又根据二次函数的图象与性质可知，函数223u x x =-++在区间(]1,1-上单调递增， 在区间[1,3)上单调递减， 又由函数()12 log f x u =为单调递减函数， 根据复合函数同增异减可得，函数()f x 的单调递增区间为[1,3). 故答案为：[1,3)或(1 )3， 【易错提醒】 解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误. 【变式探究】 1.(2017天津，理6)已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a << 【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数， 22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=， 0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<， 0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<， 所以b a c <<，故选C ． 2.（2019·山东高考模拟（文））已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3 (log )14 a f <，则a 的取值范 围为（ ） A ．34 a > B ．304a <<或4 3 a > C ．3 04 a <<或1a > D ．1a > 【答案】C 【解析】 因为1 x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数， 所以 1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数， 又因为11 (1)441f e -=+-= 所以()3(log )114a f f <=等价于3 log 14 a <， 由1log a a =，知3 log log 4 a a a <, 当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故3 4 a <，从而304a <<； 当1a >时，log a y x =在()0,∞+上单调递增，故3 4 a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是3 04 a << 或1a >，故选C. 3.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞， 上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()22f log a f ＜，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4? ? ??? B ．1,4??+∞ ??? C ．1,44?? ??? D ．()4,+∞ 【答案】C 【解析】 根据题意，()1y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 为偶函 数，又由函数()f x 在区间)[0+∞， 上单调递增， 则()()()()222||22|2|f log a f f log a f log a ??＜＜＜， 即222log a -<＜，解得：1 44 a <<， 即a 的取值范围为1,44?? ??? ； 故选：C ． 4.(2019·宜春中学、新余四中联考)已知函数f (x )＝2 (1)421 1log 1a x a x x x -+- 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(－∞，2] C ．(0,2] D ．[2，＋∞) 【答案】B 【解析】当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1， 当x ＜1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数， 且最大值大于或等于1，才能满足f (x )的值域为R ，可得? ???? a －1＞0， a －1＋4－2a ≥1，解得a ∈(1,2]． 【总结提升】 1.解对数不等式的类型及方法 （1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论． （2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． 2.应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用． 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 指数函数与对数函数专项练习 1 设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是[ ] （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 2 函数y=ax2+ bx 与y= || log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能 是[ ] 3.设525b m ==，且112a b +=，则m =[ ] （A ）10（B ）10 （C ）20 （D ）100 4.设a= 3log 2,b=In2,c=1 2 5- ,则[ ] A. a (A) (B) (C) (D) 8.设 5 54a log 4b log c log ===25，（3），，则[ ] (A)a 高一数学 对数与对数函数 一、 知识要点 1、 对数的概念 （1）、对数的概念： 一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 （2）、对数的运算性质： 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= （3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、01log =a ，1log =a a ③、对数恒等式N a N a =log （4）、对数的换底公式及推论： I 、对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) II 、两个常用的推论: ①、1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② 、b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 佛山学习前线教育培训中心 2、 对数函数 （1）、对数函数的定义 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数； 它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞ （2）、对数函数的图像与性质 log (01)a y x a a =>≠且的图象和性质 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 一、填空题 1． ×log 21 8＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________． 解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2 ＝18＋lg 10＝19. 答案：19 2．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________. 解析：由题意得， f (－2)＝－f (2)＝－lo g 3(1＋2)＝－1. 答案：－1 3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：a ＝log 32＝ln 2 ln 3 6．已知函数f (x )＝??? log 3 x (x >0)2x (x ≤0)，则f (f (1 9))＝________. 解析：f (19)＝log 3 1 9＝－2， f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14. 答案：14 7．将函数y ＝log 3 x 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m (m >0)倍，得到图象C ，若将y ＝log 3 x 的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m ＝________. 解析：将y ＝log 3 x 的图象向上平移2个单位， 得到y ＝2＋log 3 x ＝log 3 (9x )的图象，∴m ＝1 9. 答案：19 8．设f (x )＝lg ( 2 1－x ＋a )是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________． 解析：由f (x )是奇函数得f (－x )＋f (x )＝0，即lg 2＋a ＋ax 1＋x ＋lg 2＋a －ax 1－x ＝0，(2＋a ＋ax )(2＋a －ax )＝(1＋x )(1－x )，(2＋a )2－a 2x 2＝1－x 2，因此(2＋a )2＝1且a 2＝1，故a ＝－1，f (x )＝lg 1＋x 1－x ，令f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，则有0<1＋x 1－x <1，即－1 指数函数与对数函数专项练习 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >， 2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 | 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2 ）log a y =(0,1).a a >≠； （3）2 (21)log (23)x y x x -=-++ （4 ）y = ？ (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 必修1专题复习——对数与对数函数 1．23log 9log 4?=（ ） A ． 14 B ．1 2 C ．2 D ．4 2．计算()()516log 4log 25?= （ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．1 4 3．已知222 125 log 5,log 7,log 7 a b ===则 （ ） A ．3 a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b 4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知3 1 ln 4,log ,12 ===-x y z ，则（ ） A.< 8．已知a =312 ,b =l og 1 312 ,c =l og 21 3,则（ ） A. a >b >c B.b >c >a C. c>b>ac D. b >a >c 9．函数23 log (21)y x =-的定义域是 A ．[1，2] B ．[1,2) C ．1(,1]2 D ．1[,1]2 10．函数)12(log )(2 1-=x x f 的定义域为（ ） A ．]1,-(∞ B ．),1[+∞ C ．]121，（ D ．） ，（∞+2 1 11．已知集合A 是函数)2ln()(2x x x f -=的定义域，集合B={} 052 >-x x ，则 （ ） A ．?= B A B ．R B A = C ．A B ? D ．B A ? 12．不等式1)2(log 2 2>++-x x 的解集为( ) A 、()0,2- B 、()1,1- C 、()1,0 D 、()2,1 13．函数)1,0)(23(log ≠>-=a a x y a 的图过定点A ，则A 点坐标是 （ ） A 、（32, 0） B 、（0,3 2 ） C 、（1,0） D 、（0,1） 14．已知函数 log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象如右图，则下 列结论成立的是（ ） A.1,1a c >> B.1,01a c ><< C.01,1a c <<> D.01,01a c <<<< 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里 x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 必修1专题复习——对数与对数函数 1．23log 9log 4?=（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 2．计算()()516log 4log 25?= （ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．14 3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3 a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b 4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知3 1ln 4,log ,12 ===-x y z ，则（ ） A.< 专题 ：指 数 和 对 数 第一部分：指数、对数运算 一，指数运算 1，运算法则（建议学生掌握语言叙述） = ==÷=?r s r s r s r ab a a a a a )()( 2，分数指数幂 =n m a 3，化简 ? ??=a a a n n Z k k n Z k k n ∈+=∈=,122， 例题练习： 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34 a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m （3）()3 23ab ab = （4）34a a ?= ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）31()4-= ；（4）3 4 16()81 -= （5）1 2 2 [(2)]- -= （6）()12 2 13??-???? = （7）=3 264 4.化简 （1）=??12 74 33 1a a a （2）=÷?6 54323a a a （3） =÷-?a a a 9)(3432 3 （4）322 a a a ?= （5）3 1 63)278(--b a = 5.计算 （1）43512525÷- (2) 6 323 1.512?? （3）21 0319)4 1 ()2(4)21(----+-?- ()5 .02 1 2001.04122432-?? ? ???+??? ??- - （5）48 373271021.097203 225 .0+ -? ? ? ??++? ? ? ??- -π 二，对数运算 运算法则： ==== =N M a M M M M MN a n a n a a N a log 3log )(log )(log ,2,121log ， 倒数公式）换底公式）1 log (,6log ,5log (,4= = =b b b a n a a m 对数习题练习： 一、选择题 1、以下四式中正确的是（ ） A 、log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4 D 、log 221=4 1 2、下列各式值为0的是（ ） A 、10 B 、log 33 C 、（2－3）° D 、log 2∣－1∣ 3、2 5 1 log 2 的值是（ ） A 、－5 B 、5 C 、51 D 、－5 1 4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ） A 、2 5 B 、3 C 、10 D 、1 5、设N ＝ 3log 12＋3 log 1 5，则（ ） 高考数学专题：对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1) (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 对数与对数函数专题 1.对数的概念 如果a x＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 . 2.对数的性质、换底公式与运算性质 （1）对数的性质：① a logaN＝N；②log a a b＝b（a>0，且a≠1）. （2）对数的运算法则 如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a（MN）＝ log a M＋log a N；②log a N M＝log a M－ log a N；③log a M n＝n log a M（n∈ R）； n n ④ log a m M n＝m log a M（m，n∈ R，且m≠0）. log a N （3）换底公式： log b N＝log a b（a，b均大于零且不等于 1）. 3.对数函数及其性质 （1）概念：函数y＝log a x（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0 ，＋∞ ）. （2）对数函数的图象与性质 4.反函数 指数函数y＝a x（a>0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称 . 1. 换底公式的两个重要结论 1 n n （1）log a b ＝ ； （2）log a m b n ＝ log a b . a log b a a m a 其中 a >0，且 a ≠1， b >0，且 b ≠1， m ， n ∈R. 2. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 . 1 3. 对数函数 y ＝ log a x （ a >0，且 a ≠1）的图象过定点 （1 ， 0） ，且过点 （a ，1）， ，－ 1 ，函数图象只在第 a 、四象限 疑误辨析】 1. 判断下列结论正误 （在括号内打“√”或“×”） 2 （1）log 2x ＝ 2log 2x .（ ） （2） 函数 y ＝log 2（ x ＋1）是对数函数 .（ ） 1＋ x （3） 函数 y ＝ln 与 y ＝ ln （1 ＋x ） －ln （1 －x ）的定义域相同 .（ ） 1－ x （4） 当 x >1 时，若 log a x >log b x ，则 a 0，且 a ≠1）的图象如图，则下 列结论成立的是 （ ） 1 c ＝log 13， A. a >b >c B. a >c >b C. c >b >a D. c >a >b 3.（ 必修 1P74A7改编 ） 函数 l og 2 （2 x －1） 的 定义域是 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0对数函数典型例题
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