第三章 力偶系
工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
工程力学(第三章)
MR
y
MR Mz cos MR
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
即：力偶系平衡
一、平面力偶系的平衡条件
M R M（代数和） i
M 0
平面力偶系的平衡方程
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
力对点之矩矢
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。
（代数量） 一、平面中力对点之矩（力矩）
F
O
h
定义：M O
F Fh
正负号规定： 力使物体绕矩心逆转为正，顺转为负。
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。 1、平面问题
（代数量） 力矩作用面
矩心 O h
力臂
定义： M O F Fh
A
O x
y
Fx
z
y
Fy
x
A x, y, z ,
F Fx , Fy , Fz
（一）、力对点的矩
1、平面问题
MO
F Fh
MO F
O
h
z
F
F
2、空间问题
MO F r F
x
（二）、力对轴的矩
空间： 力偶对空间任一点的矩矢恒等于力偶矩矢， 而与矩心位置无关。
性质二 力偶可在其作用面内任意移转，或移到另
一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。
= =
F
F
F
F
工程力学 04力偶系.ppt
§3-1、力对点之矩矢
（3）力对点之矩矢的基本性质 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应， 可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别 对该点之矩矢的矢量和。
即 MO =MO (F1 )+MO (F2 )
推广：力系（F1，F2，- - -，Fn）对刚体产生的绕一点的
（2）力F与z轴相交
2019年11月10日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§3-2、力对轴之矩
5.力对任意l 轴（方向l°）之矩
Ml (F) MA(F)l
A为l 轴上任意一点
z
F
M A(F)
r l轴
y
对任意l 轴之矩的几何意义
A
l x
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力
§3-1、力对点之矩矢
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
一.平面力系中力对点之矩（代数量）
简称力矩
1.现象
2.定义 M0 F F d
F
o 力矩中心
d 力臂
力矩作用面
两个要素：
大小：力F与力臂的乘积 方向：转动方向
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同理：
Mx（F）= Fz y Fy z
My（F ) = Fx z Fz x
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理论力学
Theoretical Mechanics
§3-2、力对轴之矩 空间力对点的矩与空间力对轴的矩的关系（力矩关系定理）:
Mo (F )x yFz zFy M x (F )
理论力学第3章-力偶系
例 3-1 图示机构，各杆自重不计，在两力偶作用下处于平 衡。已知：M1 = 100 N · m，O1A = 40 cm，O2B = 60 cm。 试求力偶矩M2的大小。 B A FB F B FA
30 o
B
O1
B
A FA M2
M1 FO1 O1 A M1
M
2
O2
O2
FO2
解：取O1A杆为研究对象，受力如图所示，
若两个力偶对刚体的作用效应相同，则称这二力 偶等效。
两力偶的等效条件 ：力偶矩矢相等，即
M1 M2
(3-2) FR'
B'
证明：
A'
FR F1 FR F'
A B
FR' F1'
F
力偶(FR，FR' ) 代了原力偶(F，F' ) 并与原力偶等效。
A'
FR
FR'
B'
D F' C
比较(F,F')和(FR,FR')可得 M(F,F')=2△ABD=M(FR,FR') =2 △ABC
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2 (280)2 1602 (800)2 862.55 kN m
M cos( M , i )
280 0.3246 M 862.55 My 160 cos( M , j ) 0.1855 M 862.55
1 3 200 280kN m 5 5 4 M y M y M 1 y M 2 y 0 200 160kN m 5 2 M z M z M1z M 2 z 400 5 0 800kN m 5 M x M x M1x M 2 x 400 5
第三章 力偶系
QA RF
F' R'
B Q'
(3)将R, R'分别移到A', B'点，则(R, R')与原力偶等效
(4)最后将力偶(R, R')的力臂调整到与原力偶相等
19
§3-5、力偶系的合成
设作用于刚体上的任意两个力偶M1，M2， 总能将其等效为两个共力臂的力偶：
z
Fz
力 F 对 z 轴之矩：
M z (F ) xFy yFx
F
Fy
k Fx z
ij
x
y
x
y
Fx
Fxy
力 F 对 x 轴与 y 轴之矩： M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
10
问题：力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系？
z
力对轴之矩 M x (F ) yFz zFy M O M Oz
力偶(F, F’ )是特殊的力系，对O点 的合力矩为：
F ' F
F
B rBA
A d
F’
rB
rA
O
MO MO(F) MO(F')
rA F rB F '
rA F rB (F )
(rA rB ) F rBA F
M
M = Fd
B rBA
F’
力偶矩矢
F A
注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点 无关。
合力偶的方向：
cos(MR, i)
Mx MR
cos(MR, j)
My MR
工程力学第三章 力 偶 系
§3-5 力偶系的合成 对于任意一个力偶系，可以将力偶矩矢移到一个汇交点， 再按照矢量合成的方法将矢量合成为一个合矢量，这个合矢 量就是力偶系的合力偶。而且有：
MR = M1+ M2+ + Mn = ∑M
对于平面力偶系，力偶只有顺时针和逆时针两种转向，所 以力偶可以看成代数量规定:逆时针为正、顺时会为负。 所以平面力偶系的合力偶
MR = M1+ M2+ …+ Mn = ∑M
§3-6 力偶系的平衡条件 对于任意一个力偶系，它的平衡条件是合力偶矩矢为零。
即：MR = ∑M = 0
M1x+ M2x+ + Mnx = ∑Mx = 0 M1y+ M2y+ + Mny = ∑My = 0 M1z+ M2z+ + MnZ = ∑Mz = 0
二、空间中力对点之矩 M0（F）= r × F
§3-2力对轴之矩 一、力对轴之矩的概念
1、定义：对力使它所作用的物体绕轴转动效果的度量。 它是一个代数量。
2、特例：力与轴平行： MZ（F）=0 力与轴相交： MZ（F）=0
力与轴在同一平面内时力对轴之矩为零。 3、合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同一 轴之矩的代数和。
§3-4 力偶的等效条件和性质 一、力偶的等效条件（41页） 两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。 二、力偶的性质 1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 2、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平 面，而不改变对刚体的作用效果。
=
=
=
3、在保持力偶的转向和力偶矩的大小不变的条件下， 可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变 力偶对刚体的作用。
力偶
力偶矩的符号
M
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面 内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与 力臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
ABC？ABD ABC ABD
例2-8 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解：取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
由合力矩定理
得
x2 P h q dx x q dx 0 0 l
l l
2 h l 3
例2-9
M 已知： 1 M 2 10N m, M 3 20N m, l 200mm ;
F cos θ r 78.93N m
例2-7
F 已知： , , xB , yB , l;
求：平衡时，CD杆的拉力.
解： CD为二力杆，取踏板 由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得 FCD
F cos y B F sin xB l
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
M O FR M O Fi M O FR xi Fiy yi Fix
§3-2
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第三章力偶系
习题
3.1 如图3.1A、B、C、D均为滑轮，绕过B、D两轮的绳子两端的拉力为400N，绕过A、C两轮的绳子两端的拉力F为300N，α=30°。
求这两力偶的合力偶的大小和转向。
滑轮大小忽略不计。
题3.1图
解：两力偶的矩分别为
1400sin60240400cos60200123138
M N mm =∙+∙=∙
2300sin30480300cos30200123962
M N mm =∙+∙=∙
合力偶矩为
12247.1
M M M N m
=+=∙（逆时针转向）
3.2 已知粱AB上作用一力偶，力偶矩为M，粱长为L，粱重不计。
求在图3.2中a，b，ｃ三种情况下，支座A和B的约束力。
18
题3.2图
解：AB 梁受力如个图所示， 由
0i M =∑，对图（a ）(b)有
0RA F l M -=
得
RA NB
M F F l
== 对图（c ）有
cos 0RA F l M θ-=
得
cos RA NB M
F F l θ
==
3.3 齿轮箱的两个轴上作用的力偶如图所示，它们的力偶矩的大小分别为M 1＝500 N ·m ，M 2＝125N ·m 。
求两螺栓处的铅垂约束力。
图中长度单位为cm 。
NB
F RA
F RA
F F 3
l NB
F RA
F
19
题3.3图
F
F '
解：
1200M Fd M M =+-=合，
750F N =-
力的方向与假设方向相反
3.4 汽锤在锻打工件时，由于工件偏置使锤头受力偏心而发生偏斜，它将在导轨DA 和BE 上产生很大的压力，从而加速导轨的磨损并影响锻件的精度。
已知锻打力F=1000kN ，偏心距e =20mm ，试求锻锤给两侧导轨的压力。
题3.4图
N1
F N2
F
解：锤头受力如图，这是个力偶系的平衡问题， 由
10,0i
N M
F e F h =-=∑
解得
1220N N F F h
==
KN
20
3.5四连杆机构在图示位置平衡，已知OA =60 m ，BC =40 cm ， 作用在BC 上力偶的力偶矩大小M 1＝1 N ·m ，试求作用在OA 上力偶的力偶矩大小M 1和AB 所受的力F AB 。
各杆重量不计。
题3.5
图
解：CA 和OB 分别受力如图 由
0i
M
=∑
2sin300BA F CB M *-= 10AB M F OA -*=
解得
5AB F N = （拉） 13M N m =⋅
3.6 齿轮箱三根轴上分别作用有力偶，它们的转向如图所示，各力偶矩的大小为1M =36kN ·m ，2M =6 kN ·m ，3M =6kN ·m ，试求合力偶矩。
题3.6
图
解： 23sin 40cos400.74x M M M N m =-=-⋅
13sin 4032.14y M M M N m =-=⋅ 2cos40 4.6z M M N m ==⋅
21
32.48M N m ==⋅
3.7 1O 和2O 圆盘与水平轴AB 固连，1O 盘垂直z 轴，2O 盘垂直x 轴，盘面上分别作用力偶
),(11F F
' ，),(2
2F F '如图所示。
如两盘半径为r ＝20 cm ，31=F N ，52=F N ，AB =80 cm ，不计构件自重，试计算轴承A 和B 处的约束力。
题3.7图
Bz
Az
F Ax
F Bx
解：取整体为研究对象，由于构件自重不计，主动力为两力偶，由力偶只能由力偶来平衡的性质，轴承A ，B 处的约束力也应该形成力偶。
设A ，B 处的约束力为,,,Ax Az Bx Bz F F F F ,方向如图，由力偶系的平衡方程，
有
20,4008000x
Az M mmF mmF =-=∑ 10,4008000y
Ax M
mmF mmF =+=∑
解得
1.5,
2.5
A x
B x B z A z F F N F F N ==-==。