[推荐学习]九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.2.3二次函数y=a
26．2 二次函数的图象与性质
2．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与性质
第3课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质
知|识|目|标
1．通过阅读、操作、观察，能用描点法画二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象.
2．通过比较、思考、讨论，能归纳出二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 图象的平移规律，并能确定平移后对应的函数关系式．
3．在准确画出二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象的基础上，通过观察、探究、合作交流，能
总结出二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的性质并会熟练应用．
目标一 会画二次函数y ＝a(x －h)2
＋k 的图象
例1 教材补充例题 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
y ＝12x 2，y ＝12(x －1)2，y ＝12
(x －1)2－2.
【归纳总结】画二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象的技巧： (1)找到对称轴直线x ＝h (即顶点的横坐标h )； (2)列表时选取的x 值中把h 放在中间，比h 小和比h 大的数各取若干个(一般取整数)，并求出对应的y 的值；
(3)在平面直角坐标系里描出表中以(x ，y )为坐标的点，并用光滑的曲线顺次连结． 目标二 掌握二次函数图象的平移规律
例2 教材补充例题 (1)把抛物线y ＝x 2
先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后
抛物线的关系式是____________；
(2)将抛物线y ＝3(x －4)2
＋2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后的抛物线的关系式是____________．
【归纳总结】求平移后的抛物线对应的函数关系式的方法：
首先要将二次函数的关系式化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的平移规律，确定平移后的抛物线对应的函数关系式．
目标三 理解二次函数y ＝a(x －h)2
＋k 的性质 例3 高频考题 已知函数y ＝3()x －22
＋9.
(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当x ＝________时，函数有最________值，是________；
(3)当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小； (4)求出该函数图象与y 轴的交点坐标．
【归纳总结】二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的性质：
二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a ，h ，k 的值有关．
(1)当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下． (2)对称轴是直线x ＝h . (3)顶点坐标是(h ，k )．
(4)当x ＝h 时，函数有最大(或最小)值k .
(5)若a >0，则当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x >h 时，y 随x 的增大而增大；若a <0，则当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x >h 时，y 随x 的增大而减小．
知识点一 二次函数y ＝a(x －h)2
＋k 的图象与二次函数y ＝ax 2
的图象的关系
(1)形如y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的关系式叫做二次函数的顶点式．二次函数y ＝a(x －h)2
＋k
的图象与二次函数y ＝ax 2
的图象形状完全________，但位置不同，其顶点坐标为________，对称轴为直线________．
(2)二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可由二次函数y ＝ax 2
的图象向右平移h(h>0)个单位[或向左平移|h|(h ＜0)个单位]，再向上平移k(k>0)个单位[或向下平移|k|(k<0)个单位]得到．
知识点二 二次函数y ＝a(x －h)2
＋k 的图象与性质
二次函数y ＝13(x ＋3)2
－4的图象是由y ＝13x 2的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单
位得到的．
上面的说法正确吗？如果不正确，错在哪里？请你改正．
教师详解详析
【目标突破】
例1 解：(1)列表：
(2)描点、连线，画出这三个函数的图象，如图所示．
二次函数y ＝12x 2，y ＝12(x －1)2，y ＝12(x －1)2
－2的图象的开口均向上；对称轴分别为y 轴，
直线x ＝1，直线x ＝1；顶点坐标分别为(0，0)，(1，0)，(1，－2)．
例2 [答案] (1) y ＝(x －2)2
＋3
(2)y ＝3(x －5)2
－1
[解析] (1)抛物线y ＝x 2先向右平移2个单位，得抛物线y ＝(x －2)2，再将抛物线y ＝(x －2)
2
向上平移3个单位，得抛物线y ＝(x －2)2＋3.故答案为y ＝(x －2)2
＋3.
(2)抛物线y ＝3(x －4)2
＋2的顶点坐标为(4，2)，将该抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后顶点的横坐标增加了1，顶点的纵坐标减少了3，所以顶点坐标变为(4＋1，2－3)，即(5，－1)．由于平移时，抛物线的形状和开口方向都不变，所以平移后的
抛物线的关系式的二次项系数仍为3，所以平移后的抛物线的关系式为y ＝3(x －5)2
－1. 例3 [解析] 从关系式中可以看出图象的顶点坐标是(2，9)，对称轴是直线x ＝2，画出草图，根据图象求出增减的范围．
解：(1)此函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标是(2，9)． (2)2 小 9 (3)>2 <2
(4)该函数图象与y 轴的交点坐标为(0，21)．
[备选例题] 把抛物线y ＝－12x 2
向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到一条新抛物
线．
(1)求所得到的新抛物线对应的函数关系式；
(2)求所得到的新抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当x 取何值时，新抛物线对应的函数值y 随着x 的增大而增大？当x 取何值时，新抛物线对应的函数值y 随着x 的增大而减小？
(4)求出新抛物线对应的函数的最大值和最小值．
解：(1)y ＝－12
(x ＋3)2
＋4.
(2)因为a ＝－1
2<0，所以新抛物线的开口向下，对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，4)．
(3)当x<－3时，y 随着x 的增大而增大； 当x>－3时，y 随着x 的增大而减小．
(4)因为a ＝－1
2<0，所以y 有最大值，当x ＝－3时，y 有最大值4，无最小值．
【总结反思】
[小结] 知识点一 (1)相同 (h ，k) x ＝h
知识点二 向上 h k 增大 减小 低 k 向下 h k 减小 增大 高 k [反思] 不正确，混淆了左右平移．
改正：二次函数y ＝13(x ＋3)2
－4的图象是由y ＝13x 2的图象先向左平移3个单位，再向下平移
4个单位得到的．。
九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 26.2.2.4 二次函数yax
26．2 二次函数的图象与性质2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 第4课时 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与性质知|识|目|标1．类比一元二次方程的配方法，会将二次函数的一般式化为顶点式．2．通过画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，应用观察、类比、归纳的方法得出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．目标一 能化二次函数的一般式为顶点式例1 教材补充例题已知二次函数y ＝－12x 2＋6x －10.(1)用配方法将它改写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式； (2)用顶点的坐标公式法将它化成顶点式．【归纳总结】化一般式为顶点式的方法：(1)配方法：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c a ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2·b 2a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b24a. (2)顶点坐标公式法：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .目标二 掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质例2 高频考题对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是()A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值－3C．图象的顶点坐标为(－2，－7)D．图象与x轴有两个交点【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法：(1)直接观察函数图象得最大(小)值；(2)配方法；(3)用顶点的坐标公式求最大(小)值．()例3 高频考题如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－2－3所示，那么A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与a，b，c的符号之间的关系：特别地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当横坐标x＝1时，图象上的对应点的纵坐标为a＋b＋c ；当横坐标x ＝－1时，图象上的对应点的纵坐标为a －b ＋c .知识点一 把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化为顶点式若把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 展开，将发现y ＝a(x －h)2＋k ＝ax 2－2ahx ＋(ah 2＋k)，也就是说，二次函数y ＝a(x －h)2＋k 可以化为二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的形式．反过来，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 也可以通过配方法转化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式．具体过程如下： y ＝ax 2＋bx ＋c＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c a＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2·b 2a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2＋4ac －b 24a .因此，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝________，顶点坐标为________________． 知识点二 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c图象a>0a<0性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸． (2)对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a . (3)在对称轴的左侧，即当x________时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸． (2)对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .(3)在对称轴的左侧，即当x________时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的即当x________时，y 随x 的增大而增大． (4)抛物线有最低点，当x ＝________时，y 有最小值，y 最小值＝________右侧，即当x________时，y 随x 的增大而减小． (4)抛物线有最高点，当x ＝________时，y 有最大值，y 最大值＝________已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，试确定m 的取值X 围． 解：这里a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上， 对称轴是直线x ＝－m －12.∵当x ＞1时，y 随x 的增大而增大， ∴－m －12＝1，解得m ＝－1.以上解答过程正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 解：(1) y ＝－12x 2＋6x －10＝－12(x 2－12x ＋20)＝－12(x 2－12x ＋36－36＋20)＝－12[(x －6)2－16]＝－12(x －6)2＋8.(2) ∵a ＝－12，b ＝6，c ＝－10,∴顶点横坐标x ＝－b 2a ＝6, 顶点纵坐标y ＝4ac －b24a ＝8，∴y ＝－1 2(x －6)2＋8.例2[解析] B ∵二次函数y ＝－14x 2＋x －4 可化为y ＝－14(x －2)2－3，得出对称轴是直线x ＝2，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以选项A 错误；当x ＝2时，y 有最大值－3，所以选项B 正确；图象的顶点坐标是(2，－3)，所以选项C 错误；图象的顶点在横轴下方，抛物线的开口向下，与横轴没有交点，所以选项D 错误．例3[解析] A 根据图象开口向下，得a<0；根据图象的对称轴在y 轴右侧，得－b2a >0，故b>0；根据图象与y 轴的交点在y 轴正半轴，得c>0.故选A . 【总结反思】[小结] 知识点一 －b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a知识点二 <－b 2a >－b 2a －b 2a 4ac －b24a<－b 2a >－b 2a －b 2a 4ac －b24a [反思] 不正确．正确：这里a ＝1>0，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝－m －12.∵当m>1时，y 随x 的增大而增大， ∴－m －12≤1，解得m ≥－1.。
【中小学资料】九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 1 二次函数y=ax2的图象与性质同
26.2 1.二次函数y ＝ax 2的图象与性质一、选择题1．如图K －2－1，函数y ＝－2x 2 的图象可能是( )图K －2－1A ．①B ．②C ．③D ．④2．下列关于函数y ＝－3x 2的图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点坐标为(0，0)．其中正确的有链接听课例1归纳总结( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列关于抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的说法：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．抛物线y ＝ax 2，y ＝bx 2，y ＝cx 2如图K －2－2所示，则a ，b ，c 的大小关系是( )图K －2－2A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a5．下列说法错误的是( )A ．二次函数y ＝3x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y ＝－6x 2中，当x ＝0时，y 有最大值0C ．函数y ＝ax 2(a ≠0)，a 越大函数图象开口越小，a 越小函数图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点一定是坐标原点6．下列函数中，具有图象过原点且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小这两个特征的有( )①y ＝－ax 2(a ＞0)；②y ＝(a －1)x 2(a ＜1)；③y ＝－2x ＋a 2(a ≠0)；④y ＝(a 2＋1)x 2；⑤y ＝－x .图K －2－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知二次函数y ＝12x 2的图象如图K －2－3所示，线段AB ∥x 轴，交抛物线于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2，则AB 的长度为( )A ．2B ．4C ．6D ．88．已知点A (－3，y 1)，B (－1，y 2)，C (2，y 3)在抛物线y ＝23x 2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 19．函数y ＝k (x －k )，y ＝kx 2，y ＝k x(k ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )图K －2－4二、填空题10．2018·广州已知二次函数y ＝x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而________(填“增大”或“减小”)．图K －2－511．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图K －2－5所示，则k 的取值范围为________．12．写出一个顶点坐标是原点、对称轴是y 轴、开口向下的抛物线的关系式：________．13．一条抛物线与二次函数y ＝12x 2的图象的开口方向相反，开口大小一致，顶点坐标相同，那么这条抛物线所对应的函数关系式是__________；如果二次函数y ＝－3x 2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象关于x 轴对称，那么二次函数y ＝ax 2的关系式是__________．14．若二次函数y ＝(m －1)x 2，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．15．已知函数y ＝kxk 2－2k －6是关于x 的二次函数，当k ＝________时，图象开口向上；当k ＝________时，图象开口向下．图K －2－616．如图K －2－6，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O ，AD ∥x 轴，以O 为顶点且过A ，D 两点的抛物线与以O 为顶点且过B ，C 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积为________．17．已知二次函数y 甲＝mx 2，y 乙＝nx 2，对任意给定的x 值都有y 甲≥y 乙，则关于m ，n 的关系可能是________(填序号)．①m ＜n ＜0；②m ＞0，n ＜0；③m ＜0，n ＞0；④m ＞n ＞0.三、解答题18．已知正方形的对角线长为x ，面积为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；(2)画出这个函数的图象.链接听课例1归纳总结19．先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：(1)函数y＝3x2的最小值是多少？(2)函数y＝－3x2的最大值是多少？(3)怎样判断二次函数y＝ax2是有最大值还是有最小值？20．已知函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3交于点(1，b)．(1)求a和b的值；(2)求抛物线y＝ax2的函数关系式，并求顶点坐标和对称轴；(3)观察抛物线y＝ax2，当x取何值时，y随x的增大而增大？(4)求抛物线与直线y＝－2的两个交点坐标及以交点与抛物线顶点为顶点的三角形的面积．1．[解析] C易知函数y＝－2x2的图象开口向下，且经过点(1，－2)，所以函数y＝－2x2的图象，可能是图中的③，故选C.2．[答案] D3．[答案] B4．[答案] A5．[答案] C6．[解析] C①②⑤满足这两个特征，③的图象不过原点，④中，当x>0时，y随x的增大而增大．7．[解析] B∵点A的横坐标为2，根据抛物线的对称性，知点B的横坐标是－2.∵线段AB∥x轴，∴AB＝2－(－2)＝2＋2＝4.故选B.8．[答案] D9．[解析] C一次函数y＝k(x－k)＝kx－k2，∵k≠0，∴－k2＜0，∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．A 项，一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴，A 不正确．B 项，一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴，B 不正确．C 项，一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，C 可以．D 项，一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴，D 不正确．10．[答案] 增大[解析] ∵二次函数y ＝x 2的图象开口向上，对称轴为y 轴，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．故答案为增大．11．[答案] k ＞－1[解析] 抛物线的开口方向向上，则k ＋1＞0，解得k ＞－1.12．[答案] y ＝－2x 2(答案不唯一，只要是y ＝ax 2的形式且a 为负数即可)13．[答案] y ＝－12x 2 y ＝3x 2 14．[答案] m ＜115．[答案] 4 －216．[答案] 217．[答案] ②④[解析] 要使y 甲≥y 乙，只要甲的图象在乙的图象上方即可．18．解：(1)y ＝12x 2. (2)略．19．解：作图象略．(1)0.(2)0.(3)当a>0时，y ＝ax 2有最小值；当a<0时，y ＝ax 2有最大值．20．解：(1)将x ＝1，y ＝b 代入y ＝2x －3，得b ＝－1，所以交点坐标是(1，－1)．将x ＝1，y ＝－1代入y ＝ax 2，得a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝－1.(2)抛物线的函数关系式为y ＝－x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x ＝0(即y 轴)．(3)当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(4)设直线y ＝－2与抛物线y ＝－x 2相交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，抛物线的顶点为O(0，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2，y ＝－x 2，得⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝－2，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝－2，所以A(－2，－2)，B(2，－2)，所以AB ＝|2－(－2)|＝2 2， 所以S △AOB ＝12×2 2×2＝2 2.。
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性
∴－3＝9a，∴a＝－3. ∴抛物线对应的函数关系式为 y＝－13(x＋2)2. (2) 抛物线 y＝－31(x＋2)2 的对称轴是直线 x＝－2，顶点坐标为(－2，0)． (3)∵a＝－13＜0，∴抛物线的开口向下， ∴当 x＜－2 时，y 值随 x 值的增大而增大．
第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
a的 二次函数
符号
图象
图象的 图象 图象的 开口方 的对 顶点坐
向 称轴 标
函数值的变 化情况
最值
y＝a(x-h)2 a>0
当 x>h 时，y
图象有最
随 x 的增大
___低___点，
__向__上__
直线 x=h
第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
(2)抛物线 y＝a(x－h)2 可由抛物线 y＝ax2 向左(或右)平移得到． 当 h>0 时，抛物线 y＝ax2 向____右____平移 h 个单位，得到抛 物线 y＝a(x－h)2； 当 h<0 时，抛物线 y＝ax2 向____左____平移|h|个单位，得到抛 物线 y＝a(x－h)2.
第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
总结反思
小结 知识点一 二次函数y=a(x-h)²的图象与二次函数y=ax²的图象的关系
(1)二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与 y＝ax2 的图象的形状完全 ___相__同___，但位置___不__同___；y＝a(x－h)2 的图象的顶点坐标为 (h，0)，对称轴为直线___x_=_h ___．
(___h__， 而__增__大__；当 __0___) x<h 时，y 随
2018-2019学年九年级数学下册第26章二次函数26-2二次函数的图象与性质26-2-2-2二次函数y=a(x-h)2的图象与性
26．2 二次函数的图象与性质2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质知|识|目|标1．经历用描点法画二次函数y ＝a (x －h )2的图象的过程，掌握二次函数y ＝a (x －h )2的图象的平移规律.2．经过观察、比较、交流，能熟练地应用二次函数y ＝a (x －h )2的性质．目标一 理解二次函数y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2的图象的关系例1 教材补充例题通过阅读课本我们已经知道：抛物线y ＝12(x ＋2)2和抛物线y ＝12(x －2)2是由抛物线y ＝12x 2分别向左、向右平移2个单位得到的．如果要得到抛物线y ＝－12(x －4)2与y ＝－12(x ＋7)2，应将抛物线y ＝－12x 2作怎样的平移呢？【归纳总结】平移二次函数y ＝ax 2的图象得到二次函数y ＝a (x －h )2的图象的方法：判断抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2的平移关系，可以通过探究两抛物线顶点坐标的变化情况来确定．抛物线y ＝ax 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝a (x －h )2的顶点坐标是(h ，0)，对照平移前后顶点坐标的变化，得①当h ＞0时，说明把抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位得到抛物线y ＝a (x －h )2；②当h ＜0时，说明把抛物线y ＝ax 2向左平移|h |个单位得到抛物线y ＝a (x －h )2.简记为“左加右减”．目标二 掌握二次函数y ＝a(x －h)2的性质例2 高频高题已知抛物线y ＝a (x ＋2)2过点(1，－3)． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；(3)当x 取何值时，y 值随x 值的增大而增大？【归纳总结】抛物线y ＝a (x －h )2的顶点坐标是(h ，0)，对称轴是直线x ＝h .知识点一 二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系(1)二次函数y ＝a(x －h)2的图象与y ＝ax 2的图象的形状完全________，但位置________；y ＝a(x －h)2的图象的顶点坐标为(h ，0)，对称轴为直线________．(2)抛物线y ＝a(x －h)2可由抛物线y ＝ax 2向左(或右)平移得到．当h>0时，抛物线y ＝ax 2向________平移h 个单位，得到抛物线y ＝a(x －h)2；当h<0时，抛物线y ＝ax 2向________平移|h|个单位，得到抛物线y ＝a(x －h)2.知识点二 二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质能否通过上下平移二次函数y ＝12x 2的图象，使得到的新的函数图象经过点P(2，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能．因为点P 的纵坐标是－3，所以平移方向是向下，平移距离是3个单位． 请找出以上解答过程中的错误，并给出正确的解答过程．教师详解详析 【目标突破】例1 解：把抛物线y ＝－12x 2向右平移4个单位可得到抛物线y ＝－12(x －4)2，把抛物线y ＝－12x 2向左平移7个单位可得到抛物线y ＝－12(x ＋7)2.例2 解：(1)∵抛物线经过点(1，－3)， ∴－3＝9a ，∴a ＝－13.∴抛物线对应的函数关系式为y ＝－13(x ＋2)2.(2) 抛物线y ＝－13(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)．(3)∵a ＝－13＜0，∴抛物线的开口向下，∴当x ＜－2时，y 值随x 值的增大而增大．备选目标 二次函数y ＝a (x －h )2与一次函数的关系例 将抛物线y ＝－12x 2向左平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．[解析] 将抛物线y ＝－12x 2向左平移4个单位后得到抛物线y ＝－12(x ＋4)2，在平面直角坐标系中画出直线y ＝x 与抛物线y ＝－12(x ＋4)2的草图，求出A ，B 两点的坐标，然后利用△ABC 的面积等于△AOC 的面积减去△BOC 的面积求解．解：由题意，得平移后抛物线所对应的函数关系式为y ＝－12(x ＋4)2，∴C(－4，0)．把y ＝x 代入y ＝－12(x ＋4)2，得x ＝－12(x ＋4)2，解得x 1＝－8，x 2＝－2，故A(－8，－8)，B(－2，－2)．如图，过点A ，B 分别作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ， ∴△ABC 的面积＝12OC ·AD －12OC ·BE ＝12×4×8－12×4×2＝12.【总结反思】[小结] 知识点一 (1)相同 不同 x ＝h (2)右 左知识点二 向上 h0 增大 减小 低 向下 h0 减小 增大 高[反思] 这种说法不正确．当h>0时，抛物线y ＝a(x －h)2是由抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位得到的；当h<0时，抛物线y ＝a(x －h)2是由抛物线y ＝ax 2向左平移||h 个单位得到的．。
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 求二次函数的关系式》课件_37
知识回顾
二次函数
开口方向 对称轴
顶点坐 标
y = ax 2
( a≠0 )
a ＞ 0 向上 直线
X=0 a ＜ 0 向下
(0,0)
知识回顾
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a ＞ 0 向上
y = ax 2+c
直线 （0，c）
( a≠0 )
a < 0 向下 X=0
知识回顾
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0)
把点（0,-3）（4，5）（－1, 0）代入得
∴ c=-3 16a+4b+c=5
a= 1 解得 b= -2
a-b+c=0
c= -3
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3
知识应用
例2、已知抛物线的顶点为（1，－4）， 且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
向上 向下 向上 向下
直线x=0 直线x=0 直线x=1 直线x=2
( 0, 0 ) (0,1) ( 1 , 0) ( 2 , -6 )
归纳 二次函数的几种表达式： y
①、 y ax2 (a 0)
②、 y ax2 c(a 0)
③、 y a(x h)2 (a 0)
o
x
与（2，3）两点。求这个二次函数的表达式.
答 1. y＝﹣（x＋1）2＋1
案
2. y＝x2－x＋1
课堂小结
求二次函数解析式时
已知图象过三点: 常设一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
已知顶点坐标:
常设顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大 而减小； 当 x＝ 3 时， 函数值 y 取最 小 值， 是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝ ， 0 2 ，顶点坐标为 是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上， 则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定 自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1， 当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1， 当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)， 矩形 ABCD 的周长为 l， 求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；
九年级数学下册 26.2.2 二次函数的图象与性质课件
1 2
x2的开口大小相同,方向相反;
(3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4.
12/12/2021
小试牛刀
6.已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上, 且x2< x4<0, 0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|,
2 3
1
9
2
11 2
… …
连线
y
1 2
x2
相同
12/12/2021
你会比较这 两个函数吗?
这两个函数的图 象的形状相同吗?
x
y
1 2
x2
y
1 2
x2
1
函数y=
1 2
x2+1
的图1 象可由
y= 2 x2的图象
沿y轴向上平移
1个单位长度得
到.
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… -3 -2 -1
…9
2
… 11
2
2
1 2
3
3 2
0 1 2 3…
0
1 2
1
3 2
2
9 2
…
3
11 2
…
y
1 2
x2
1
y
1 2
x2
函数y=
1 2
x2+1的
图象与y=
1 2
x2的
图象的位置有什
么关系?
自学检测： 1.画出y=x2 与 y=x2 +1、 y=x2 -1 的图像，并观察彼此的位置关系. 2.画出y=-x2 与 y=-x2 +3、 y=-x2 -2 的图像，并观察彼此的位置关系.
2023九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质1二次函数yax2的图象与性质课件
探究新知
探究1 二次函数 y = ax2 的图象 先画二次函数 y = x2 的图象 1.列表
在 y = x2 中，自变量 x 可以是任意实数，列表表示 出几组对应值：
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4
–2
–3
区别： y = x2开口向上，y = -x2 开口向下
–4
–5
y = x2
2 3 4x
y = -x2
（2）在同一个平面直角坐标 系中，画出函数 y =2x2与 y = -2x2 的图象，观察并比较这两个函数 的图象，你能发现什么？
y y =2x2
5
4 3 21Fra bibliotek–4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 x
1.二次函数 y=ax² 的图象与性质
华东师大版 九年级下册
新课导入
一次函数 y = kx + b 图象是什么形状？有哪些性质呢？
y
y
O
x
（k > 0）
O
x
（k < 0）
反比例函数 y = k（k ≠ 0） 图象是什么形状？有哪些性质呢？ x
y
y
O
x
（k > 0）
O
x
（k < 0）
那么，二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象会是什么样的呢？ 用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ ①列表；②描点；③连线
2.a>0时，抛物线y=ax2的开口_向__上__，顶点是抛物线的最低 点，a越大，抛物线的开口_越__小__. 3.a<0时，抛物线 y=ax2的开口_向__下__，顶点是抛物线的最高 点，a越大，抛物线的开口_越__大__.
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
(2)易得点 M，N 的坐标分别为(2，8)，12，12.作点 M 关于 y 轴的对称 点 M′，则 M′(－2，8)，连结 NM′，与 y 轴的交点即为点 P，如图②所示．设 NM′所在直线对应的函数关系式为 y＝kx＋n， 则－12k2＋k＋ n＝n＝ 12，8，解得kn＝＝－ 2，3，即 y＝－3x＋2， 当 x＝0 时，y＝2，所以点 P 的坐标为(0，2)．
大值(或最小值)以及函数值的变化情况可以确定 a 的符号；
(2)利用二次函数的图象与性质解题时，一般要画出草图，利用图象
的直观性解决问题．
13
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
备选目标 二次函数的图象与性质的应用 例 已知二次函数 y＝2x2. (1)点 A(1，a)，B(－2，b)均在二次函数 y＝2x2 的图象上，比 较 a，b 的大小； (2)M，N 是二次函数 y＝2x2 的图象上的点，它们的横坐标分 别为 2 和12，在 y 轴上找一点 P，使得 PM＋PN 最小．
7
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
(4)点取得越多，图象越精确，图象必须光滑，顶点不能画成 尖的，当描出的相邻两点相距较远时，可先用线段连结这两点，再 把此段图象修成光滑的曲线．
8
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
目标二 能理解二次函数y=ax²的性质
例 2 [教材补充例题] 已知二次函数 y＝2x2 和 y＝－2x2 的图象如 图 26－2－1 所示，根据图象回答下列问题：
(1) 指出①的函数关系式是什么， (2) ②的函数关系式是什么；
图 26－2－1
9
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
26.二次函数y=ax2的图象与性质-华东师大版九年级数学下册课件
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点:根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y);y
连线:如图,再用平滑曲线顺次连接各点,
9
就得到y =象的形状吗?
(2)图象是轴对称图形吗？
3
如果是,它的对称轴是什么?
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
例题精析
例2 在同一直角坐标系中,画出函数 y 1 x2, y 2x2的图象. 2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图所示:
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
温故夯基
二次函数的概念和一般情势: 形如y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)的函数,
叫做二次函数. 其中,x是自变量,a,b,c分别是函数 表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 说明:
(1)等号左边是因变量y,右边是关于自变量x的整式;
(2) a,b,c为常数，且二次项系数a≠0; (3)等式右边的最高次数为2,可以没有一次项和常数 项,但不能没有二次项; (4)自变量x不能出现在分母中或根号里;
随堂练习
1.若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)，过点(－1，2). (1)则a的值是 2 ； (2)对称轴是 y轴 ，开口向上. (3)顶点坐标是(0,0) ，顶点是抛物线上的最 小 值 .
解:(1)依题意得: y=(26－2x)(20－2x) =4x2－92x+520 ,(0＜x＜10)．
(2)依题意得:4x2－92x+520=280． 整理得:x2－23x+60=0,