2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题：《函数的动点问题》(含答案)
专题: 函数的动点问题例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A． B．C．D．同类题型1.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A 出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．同类题型1.3 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ． 同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形 同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y ＝S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A．B．C．D．例3．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B．C． D．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l 从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为 （ ）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2，运动时间xs ．能反映y cm 2与xs 之间函数关系的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是 （ ）A． B．C．D．同类题型4.2 如图，等边△ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．同类题型4.3 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．参考答案例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．解：由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，又因为P点运动的速度为1cm/s，所以AB＝10×1＝10（cm），由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，所以a＝10＋9＝19；分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．由图②知S△ABD＝36，则12×9×BE＝36，解得BE＝8，在直角△ABE中，由勾股定理，得AE＝AB 2－BE2＝6．易证△BAE≌△CDF，则BE＝CF＝8，AE＝DF＝6，AF＝AD＋DF＝9＋6＝15．在直角△ACF中，由勾股定理，得CA＝AF 2＋CF2＝17，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36，a＋b＝19＋36＝55．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．解：∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FCE ＝90°∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90° AB ＝BC ＝4， ∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FCE ， ∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC ＝BEFC， ∵BE ＝x ，FC ＝y ，∴EC ＝4－x ，则有44－x ＝xy，整理后得y ＝－14x 2 ＋x 配方后得到y ＝－14（x －2）2＋1从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为（2，1）． 选C ．同类题型1.2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3， ∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2，①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x ﹒2＝x （0≤x ≤3），②点P 在CD 上时，S △APE ＝S _(梯形AECD )－S _(△ADP )－S _(△CEP )， ＝12（2＋3）×2－12×3×（x －3）－12 ×2×（3＋2－x ）， ＝5－32x ＋92 －5＋x ，＝－12x ＋92，∴y ＝－12x ＋92（3＜x ≤5），③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×（3＋2＋2－x ）×2＝－x ＋7，∴y ＝－x ＋7（5＜x ≤7）， 选A ．同类题型1.3 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP ＝x ，DQ ＝y ，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠ADB ＝∠BDC ＝60°， ∴∠BDQ ＝∠BDP ＝120°， ∵∠QBP ＝60°， ∴∠QBD ＝∠PBC ， ∵AP ∥BC ， ∴∠P ＝∠PBC ， ∴∠QBD ＝∠P ， ∴△BDQ ∽△PDB ， ∴DQ BD ＝BD PD ，即y 2＝2x ， ∴xy ＝4，∴y 与x 的函数关系的图象是双曲线， 选A ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题得，点Q 移动的路程为2x ，点P 移动的路程为x ， ∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝2，①如图，当点Q 在AB 上运动时，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，则 AQ ＝2x ，DQ ＝ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×3x ＝32x 2（0＜x ≤1），即当0＜x ≤1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A 、B 排除；②如图，当点Q 在BC 上运动时，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，则CQ ＝4－2x ，EQ ＝23－ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×（23－3x ）＝－32x 2＋ 3 x （1＜x ≤2），即当1＜x ≤2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C 排除，而D 正确； 选D ．同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形解：A 、分析函数图象可知，当点Q 到达点C 时，点P 到达点E 处， ∴BC ＝BE ＝2×8＝16cm ，ED ＝2×2＝4cm ，∴AE ＝AD －ED ＝BC －ED ＝16－4＝12cm ，故A 正确； B 、作EF ⊥BC 于点F ，如图，由函数图象可知，BC ＝BE ＝16cm ，BF ＝AE ＝12cm ， 由勾股定理得，EF ＝47 cm ，∴sin ∠EBC ＝EF BE ＝4716＝74，故B 正确；C 、作PM ⊥BQ 于点M ，如图，∵BQ ＝BP ＝2t ，∴y ＝S △BPQ ＝12BQ ﹒PM ＝12BQ ﹒BP ﹒sin ∠EBC ＝12×2t ﹒2t ﹒74＝72t 2．故C 正确；D 、当t ＝9s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如图所示，连接NB ，N C ． 此时AN ＝14，ND ＝2，由勾股定理求得：NB ＝211 ，NC ＝229 ， ∵BC ＝16，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．故D 错误； 选D ．同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y=S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 解：①当0＜t ≤3时，△PBQ 是Rt △，y ＝12×t ×2t ＝t 2；②当3＜t ≤7时，y ＝12 ×t ×6＝3t ；③当7＜t ≤8时，y ＝12t （20－2t ）＝－t 2＋10t ；④当8＜t ≤10时，y ＝12×8（20－2t ）＝80－8t ；观察各选项可知，y 与t 的函数图象大致是选项D ． 选D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离＝12 AB ＝4，到CD 的距离＝12AD ＝6， ∵点M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝6， ∴点Q 到达点C 的时间为6÷1＝6秒，点P 到达点C 的时间为12÷1＝12秒，点Q 到达点D 的时间为（6＋8）÷1＝14秒，①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×4＝12； ②6＜t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，C P ＝12－t ，CQ ＝t －6，S △OPQ ＝S △COP ＋S △COQ －S △PCQ ，＝12×（12－t ）×4＋12×（t －6）×6－12×（12－t ）×（t －6）， ＝12t 2 －8t ＋42， ＝12（t －8）2 ＋10， ③12＜t ≤14时，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×6＝18； 纵观各选项，只有B 选项图形符合．选B ．例3．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，P 是对角线BE 上一动点，过点P 作直线l 与BE 垂直，动点P 从B 点出发且以1cm/s 的速度匀速平移至E 点．设直线l 扫过正六边形ABCD EF 区域的面积为S （cm 2 ），点P 的运动时间为t （s ），下列能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意得：BP ＝t ，如图1，连接AC ，交BE 于G ，Rt △ABG 中，AB ＝6，∠ABG ＝60°，∴∠BAG ＝30°，∴BG ＝12 AB ＝3，由勾股定理得：AG ＝62－32＝3 3 ，∴AC ＝2AG ＝6 3 ，当0≤t ≤3时，PM ＝ 3 t ，∴MN ＝2 3 t ，S ＝S △BMN ＝12MN ﹒PB ＝12﹒3t 2＝32t 2，所以选项A 和B 不正确；如图2，当9≤t ≤12时，PE ＝12－t ，∵∠MEP ＝60°，∴tan ∠MEP ＝PM PE ， ∴PM ＝ 3 （12－t ），∴MN ＝2PM ＝2 3 （12－t ），∴S ＝S _(正六边形)－S _(△EMN )，＝2×12（AF ＋BE ）×AG －12MN ﹒PE ， ＝（6＋12）×33－12×2 3 （12－t ）（12－t ）， ＝543－3（144－24t ＋t 2 ），＝－3t 2＋243t －90 3 ，此二次函数的开口向下，所以选项C 正确，选项D 不正确；选C ．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：①当0≤t ≤4时，S ＝12×t ×t ＝12t 2 ，即S ＝12t 2 ．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B 、C 错误；②当4＜t ≤8时，S ＝16－12×（8－t ）×（8－t ）＝－12t 2 ＋8t －16． 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A 错误．选D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为（ ）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14解：当点Q 在AC 上时，∵∠A ＝30°，AP ＝x ，∴PQ ＝x tan30°＝33x ， ∴S ＝12×AP ×PQ ＝12×x ×33＝36x 2＝14 3 解得：x ＝221 或x ＝－221 （舍去），当点Q 在BC 上时，如下图所示：∵AP ＝x ，AB ＝16，∠A ＝30°，∴BP ＝16－x ，∠B ＝60°，∴PQ ＝BP ﹒tan60°＝ 3 （16－x ）．∴S ＝12AP ×PQ ＝32x 2＋83x ＝14 3 ， 解得：x ＝2（舍去）或x ＝14．选B ．同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．解：①当AB ＞4时如图1，由图可知：OE ＝4，OF ＝8，DG ＝3 2 ，∴EF ＝AG ＝OF －OE ＝4∵直线解析式为：y ＝－x∴∠AGD ＝∠EFD ＝45°∴△AGD 是等腰直角三角形∴DH ＝GH ＝22DG ＝22×3 2 ＝3， ∴AH ＝AG －GH ＝4－3＝1，∴AD ＝DH 2＋AH 2＝32＋12＝10 ；②当AB ＝4时，如图2，由图可知：OI ＝4，OJ ＝8，KB ＝3 2 ，OM ＝9，∴IJ ＝AB ＝4，IM ＝AN ＝5，∵直线解析式为：y ＝－x ， ∴△KLB 是等腰直角三角形， ∴KL ＝BL ＝22KB ＝3， ∵AB ＝4，∴AL ＝AB －BL ＝1，T 同①得，DM ＝MN ，∴过K 作KM ∥IM ，∴tan ∠DAN ＝KL AL ＝3，∴AM ＝DM tan ∠DAN ＝DM 3， ∴AN ＝AM ＋MN ＝43DM ＝5， ∴DM ＝MN ＝154， ∴AM ＝AN －MN ＝5－154＝54， ∴AD ＝AM 2＋DM 2＝5104，故答案为10 或5104．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2 ，运动时间xs ．能反映y cm 2 与xs 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C． D ．解：已知∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，∴AB ＝4，由勾股定理得：AC ＝2 3 ，∵四边形DEFG 为矩形，∠C ＝90，∴DE ＝GF ＝2 3 ，∠C ＝∠DEF ＝90°，∴AC ∥DE ，此题有三种情况：（1）当0＜x ＜2时，AB 交DE 于H ，如图∵DE ∥AC ，∴EHAC ＝BEBC ，即EH 23＝x ﹒12 ，解得：EH ＝ 3 x ，所以y ＝12﹒3x ﹒x ＝32x 2，∵x y 之间是二次函数，所以所选答案C 错误，答案D 错误，∵a ＝32 ＞0，开口向上；（2）当2≤x ≤6时，如图，此时y ＝12×2×23＝2 3 ， （3）当6＜x ≤8时，如图，设△ABC 的面积是s 1 ，△FNB 的面积是s 2 ，BF ＝x －6，与（1）类同，同法可求FN ＝3X －6 3 ，∴y ＝s 1－s 2 ，＝12×2×23－12×（x －6）×（3X －6 3 ）， ＝－32x 2＋63x －16 3 ， ∵-32＜0， ∴开口向下，所以答案A 正确，答案B 错误，选A ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由菱形ABCD 、EFGH 边长为1，2可得：AC ＝2AB ×sin30°＝ 3 ，EG ＝2 3（1）当菱形ABCD 移动到点A 与点E 重合的过程，即0≤x ≤ 3 时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为：x ，2×x 2×tan30°＝3x 3∴y ＝12﹒x ﹒3x 3＝36x 2（2）当菱形ABCD 移动到点C 与点G 重合的过程，重合部分的菱形面积不变，即3＜x ≤2 3 时，y ＝S 菱形ABCD ＝12×1×3＝32； （3）当菱形ABCD 移动到点A 与点G 重合的过程，即23＜x ≤33时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为： 3 －x ，2×3－x 2×tan30°＝3(3－x )3y ＝12×（3－x ）×3(3－x )3＝36（3－x ）2 ． 由（1）（2）（3）可以看出图象应该是y ＝36x 2 图上像0≤x ≤ 3 时的部分，y ＝32 图象上3＜x ≤2 3 时的部分，y ＝36（3－x ）2 图象上23＜x ≤33时的部分组成． 选D ．同类题型4.2 如图，等边△ABC 的边AB 与正方形DEFG 的边长均为2，且AB 与DE 在同一条直线上，开始时点B 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点B 与点E 重合为止，设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，当B 从D 点运动到DE 的中点时，即0≤x ≤1时，y ＝12×x ×3x ＝32x 2 ． 当B 从DE 中点运动到E 点时，即1＜x ≤2时，y ＝3－12（2－x ）×3（2－x ）＝－32x 2＋23x － 3 由函数关系式可看出D 中的函数图象与所求的分段函数对应．选D ．同类题型4.3 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F ⇒H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：DF ＝x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y y ＝12DF 2＝12x 2（0≤x ＜ 2 ）；②y ＝1（2≤x ＜2 2 ）；③∵BH ＝3 2 －x∴y ＝12BH 2＝12x 2－32x ＋9（22≤x ＜3 2 ）．综上可知，图象是选B ．。
2020年中考数学考点聚焦(三)《选择填空压轴题之函数图象问题》
(3)如图，直线l的解析式为y＝－x＋4，它与x轴和y轴分别相交于A， B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1 个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动 时间为t秒(0≤t≤4)，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE(E，O两点分 别在CD两侧)．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之 间的函数关系的图象大致是( C )
[对应训练] 1．(1)小明和哥哥从家里出发去买书，从家出发走了20分钟到一个 离家1 000米的书店．小明买了书后随即按原路返回；哥哥看了20分 钟书后，用15分钟返家．下面的图象中哪一个表示哥哥离家时间与 距离之间的关系( D )
(2)小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相
③无论点 P 在什么位置，始终有 S△AOB＝7.5，AP＝4BP； ④当点 P 移动到使∠AOB＝90°时，点 A 的坐标为(2 6，－ 6)．其中正确的结论个数为
( C)
A．1 个
B．2 个 C．3 个 D．4 个
33.忽视自变量的取值范围而出错
试题 已知，A，B两地相距120千米，甲骑自行车以20千米/小时 的速度由起点A前往终点B，乙骑摩托车以40千米/小时的速度由起点 B前往终点A.两人同时出发，各自到达终点后停止．设两人之间的距 离为s(千米)，甲行驶的时间为t(小时)，则下图中正确反映s与t之间函 数关系的是( )
的点，则 y1＜y2＜y3，正确的个数有( B )
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
－12（x＞0）， x
(3)已知函数 y＝ 3（x＜0） x
的图象如图所示，点 P 是 y 轴负半轴上一动点，过点 P 作
y 轴的垂线交图象于 A，B 两点，连接 OA，OB.下列结论：
2020年中考数学选择填空压轴题汇编动点产生的函数图像含解析
2020年中考数学选择填空压轴题汇编：动点产生的函数图像1.（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH EJ x，∴y EJ•GH x2．当x＝2时，y，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y FJ•GH（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．2.（2020•北京）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【解答】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：h＝0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故选：B．3.（2020•金昌）如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x 的函数关系如图②所示，则AB的长为（）A．4B．4 C．3D．2【解答】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2，∴x2+（2x）2＝（2）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4，故选：A．4.（2020•黄冈）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意：时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故选：D．5.（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3 B．3C．6 D．6【解答】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝33．故选：B．6.（2020•连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④【解答】解：根据题意可知，两车的速度和为：360÷2＝180（km/h），相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，故①结论错误；慢车的速度为：88÷（3.6﹣2.5）＝80（km/h），则快车的速度为100km/h，所以快车速度比慢车速度多20km/h；故②结论正确；88+180×（5﹣3.6）＝340（km），所以图中a＝340，故③结论正确；（360﹣2×80）÷80＝2.5（h），5﹣2.5＝2.5（h），所以慢车先到达目的地，故④结论错误．所以正确的是②③．故选：B．7.（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°x，∴CE＝AC﹣AE＝2x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CEx（2x）x2+2x（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y（4﹣x）2（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故选：A．8.（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为7 ．【解答】解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，由图②知，当点P与点B重合时，y＝PA+PE＝AB+BE＝AB AB＝3，解得：AB＝2，即：菱形的边长为2，则该菱形的高为AB＝3，点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠PA′C为直角，A′C＝AB＝2，则PC4，此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），则a+b＝3+4＝7．故答案为7．9.（2020•青海）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致为图中的（）A．B．C．D．【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．故选：B．10.（2020•攀枝花）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t （h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（A．两人出发1小时后相遇B．赵明阳跑步的速度为8km/hC．王浩月到达目的地时两人相距10kmD．王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地【解答】解：由图象可知，两人出发1小时后相遇，故选项A正确；赵明阳跑步的速度为24÷3＝8（km/h），故选项B正确；王皓月的速度为：24÷1﹣8＝16（km/h），王皓月从开始到到达目的地用的时间为：24÷16＝1.5（h），故王浩月到达目的地时两人相距8×1.5＝12（km），故选项C错误；王浩月比赵明阳提前3﹣1.5＝1.5h到目的地，故选项D正确；故选：C．。
苏教版八年级上册复习专题练习一：动点问题压轴题(含答案)
初二数学期中复习专题一：动点问题3、动点中的旋转问题1、如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点O 在AC 上，且AO＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是．2、如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC 固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处，且可以绕点D 旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H 始终在边AB、BC 上．（1）在旋转过程中线段BG 和CH 大小有何关系？证明你的结论．（2）若AB＝BC＝4cm，在旋转过程中四边形GBHD 的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．（3）若交点G、H 分别在边AB、BC 的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．3、如图1，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A、C 分别在DG 和DE 上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2 证明你的结论；②若BC＝DE＝4，当AE 取最大值时，求AF 的值．4、点的移动问题4、如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B、P 在直线a 的异侧，BM⊥直线a 于点M，CN⊥直线a 于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；（2）若直线a 绕点A 旋转到图3 的位置时，点B、P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．5、在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D 从点B 出发沿射线BC 移动，以AD 为边在AB 的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D 在BC 边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D 在BC 的延长线上运动．①∠BCE 的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE 的面积为．6、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．7、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为1 米，∠B＝90°，BC＝4 米，AC＝8 米，当正方形DEFH 运动到什么位置时，即当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．8、【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．【简单运用】（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是（填序号）；（2）如图1，已知等边三角形ABC，请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点D，使△ABD 为“智慧三角形”，并写出作法；【深入探究】（3）如图2，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF＝CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；【灵活应用】（4）如图3，等边三角形ABC 边长5cm．若动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿△ABC 的边AB ﹣BC﹣CA 运动．若另一动点Q 以2cm/s 的速度从点B 出发，沿边BC﹣CA﹣AB 运动，两点同时出发，当点Q首次回到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t（s），那么t为．（s）时，△PBQ为“智慧三角形”．动点问题压轴题1、【解答】解：∵∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，∠A＝∠POD＝60°，∴∠APO＝∠COD，在△APO 和△COD 中，，∴△APO≌△COD（AAS），即AP＝CO，∵CO＝AC﹣AO＝6，∴AP＝6．故答案为6．2、【解答】解：（1）BG和CH为相等关系，如图1，连接BD，∵等腰直角三角形ABC，D 为AC 的中点，∴DB＝DC＝DA，∠A＝∠DBH＝45°，BD⊥AC，∵∠EDF＝90°，∴∠ADG+∠GDB＝90°，∴∠BDG+∠BDH＝90°，∴∠ADG＝∠HDB，∴在△ADG 和△BDH 中，，∴△ADG≌△BDH（ASA），∴AG＝BH，∵AB＝BC，∴BG ＝HC ，（2） ∵等腰直角三角形 ABC ，D 为 AC 的中点，∴DB ＝DC ＝DA ，∠DBG ＝∠DCH ＝45°，BD ⊥AC ，∵∠GDH ＝90°，∴∠GDB +∠BDH ＝90°，∴∠CDH +∠BDH ＝90°，∴∠BDG ＝∠HDC ，∴在△BDG 和△CDH 中，，∵△BDG ≌△CDH （ASA ），∴S 四边形 DGBH ＝S △BDH +S △GDB ＝S △ABD ，∵DA ＝DC ＝DB ，BD ⊥AC ，∴S △ABD ＝ S △ABC ，∴S 四边形 DGBH ＝S △ABC ＝4cm 2，∴在旋转过程中四边形 GBHD 的面积不变，（3） 当三角板 DEF 旋转至图 2 所示时，（1）的结论仍然成立，如图 2，连接 BD ，∵BD ⊥AC ，AB ⊥BH ，ED ⊥DF ，∴∠BDG ＝90°﹣∠CDG ，∠CDH ＝90°﹣∠CDG ，∴∠BDG ＝∠CDH ，∵等腰直角三角形 ABC ，∴∠DBC ＝∠BCD ＝45°，∴∠DBG ＝∠DCH ＝135°，∴在△DBG 和△DCH 中，，∴△DBG ≌△DCH （ASA ），∴BG ＝CH ．3、.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG 就可以得出结论；（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG 就可以得出结论；②由①可知BG＝AE，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．【解答】解：（1）BG＝AE．理由：如图1，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D 是BC 的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG 是正方形，∴DE＝DG．在△BDG 和△ADE 中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG＝AE．故答案为：BG＝AE；（2）①成立BG＝AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC 中，D 为斜边BC 中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四边形EFGD 为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG 和△ADE 中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；②∵BG＝AE，∴当BG 取得最大值时，AE 取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG ＝AE．∵BC＝DE＝4，∴BG＝2+4＝6．∴AE＝6．在Rt△AEF 中，由勾股定理，得AF＝＝，∴AF＝2 ．4、【解答】证明：（1）①如图2：∵BM⊥直线a 于点M，CN⊥直线a 于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P 为BC 边中点，∴BP＝CP，在△BPM 和△CPE 中，，∴△BPM≌△CPE，（ASA）②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE∴PM＝ME，∴在Rt△MNE 中，PN＝ME，∴PM＝PN；（2）成立，如图3．延长MP 与NC 的延长线相交于点E，∵BM⊥直线 a 于点M，CN⊥直线a 于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P 为BC 中点，∴BP＝CP，在△BPM 和△CPE 中，，∴△BPM≌△CPE，（ASA）∴PM＝PE，∴PM＝ME，则Rt△MNE 中，PN＝ME，∴PM＝PN．5、【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．在△ACE 和△ABD 中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）；∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；故答案为：90；（2）①不发生变化．∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ACE 和△ABD 中∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE＝∠ABD＝45°∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°∴∠BCE 的度数不变，为90°；② 11746、【解答】解：（1）90°．理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD 与△ACE 中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，∴∠BCE＝∠B+∠ACB，又∵∠BAC＝90°∴∠BCE＝90°；（2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD 与△ACE 中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°；②当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°；理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵在△ABD 和△ACE 中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，∴α+β＝180°；当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．理由：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∵在△ADB 和△AEC 中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β．7、【解答】解：如图，连接CD，假设AE＝x，可得EC＝8﹣x．∵正方形DEFH 的边长为1 米，即DE＝1 米，∴DC2＝DE2+EC2＝1+（8﹣x）2，AE2+BC2＝x2+16，∵DC2＝AE2+BC2，∴1+（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝，所以，当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．故答案是：．8、【解答】解：（1）因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，所以①是“智慧三角形”．故答案为①（2）用刻度尺分别量取AC、BC 的中点D、D′．点D、D′即为所求．（3）结论：△AEF 是“智慧三角形“．理由如下：如图，设正方形的边长为4a∵E 是BC 的中点∴BE＝EC＝2a，∵CF＝CD∴FC＝a，DF＝4a﹣a＝3a，在Rt△ABE 中，AE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2在Rt△ECF 中，EF2＝（2a）2+a2＝5a2在Rt△ADF 中，AF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2∴AE2+EF2＝AF2∴△AEF 是直角三角形，∠AEF＝90°∵直角三角形斜边AF 上的中线等于AF 的一半∴△AEF为“智慧三角形”．（4）如图3 中，①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段BC 上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，∴5﹣t＝4t，解得t＝1．若∠BPQ＝90°，则BQ＝2PB，∴2t＝2（5﹣t）∴t＝．②当点Q在线段AC上时，不存在“智慧三角形”．③当点P 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，∴t﹣5＝2（15﹣2t），∴t＝7，若∠QPB＝90°，则BQ＝2PB，∴15﹣2t＝2（t﹣5），∴t＝，综上所述，满足条件的t 的值为1 或或或7．故答案为1 或或或7．。
中考数学选择题压轴题---动点生成函数图像问题(20200709093415)
1 DP ? AE
2
1
xy ， 来源 :Z&xx&
]
2
又因为 S ADP
1 SABCD
2
1 34
2
1 6 ，所以 xy
2
6 ，即 y
12
。
x
来源 学科 网 ZXXK]
12 12
综 上 y 与 x 之间函数关系式为 y
（ ≤ x≤ 4）。y 与 x 之间函数关系是反比例关
x5
系，图像是一段双曲线，排除选项
何点（时刻）是特殊点（时刻） ，这是准确解答的前提和关键； “写”就是计算、写出动点在
不同路段的函数解析式， 注意一定要注明自变量的取值范围， 求出在特殊点的函数数值和自
变量的值；“选”就是根据解析式选择准确的函数图像或答案，多用排除法。首先，排除不
符合函数类形的图像选项，其次，对于相同函数类型的
函数图像选项，再用自变量的取值
范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案。
2
2
1
13
33
5
因为 S ADP S ABD ，所以 xy
1 ，即 y
（ ＜ x ≤ ＝。
2
22
2x 2
2
所以函数的图像应是自变量在 3 ＜ x ≤ 5 范围内的一段双曲线，故选 C。
2
2
解答此类问题的策略可以归纳为三步： “看” 、“写” 、“选”。“看”就是认真观察几
何图形， 彻底弄清楚动点从何点开始出发， 运动到何点停止， 整个运动过程分为不同的几段，
中考数学选择题压轴题 --- 动点生成函数图像问题
在近几年的中考试题中， 考查动点生成函数图像问题逐渐成为一种趋势。 这类问题通过
常考压轴06 动点问题-2020年中考数学特训营(解析版)
【十大常考压轴题特训】特训06——动点问题题量﹕10题；分值﹕每小题10分，共计100分；推荐时间﹕45分钟问题1．（2019 湖南省衡阳市）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以l cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．（3）证明DE＝12AC即可解决问题．（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．【解答】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6＋t＝2（6﹣t），∴t＝3，∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝12∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣12t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴P A＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK＋DK＝12（AK＋CK）＝12AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝AB2－BM2＝33，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥33﹣3，∴AB′的最小值为33﹣3．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．问题2．（2019•吉林省长春市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q 从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作□PQMN．设□PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当□PQMN 为矩形时，求t 的值；（3）当□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 之间的函数关系式； （4）当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，直接写出t 的值．【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN ． （2）当□PQMN 为矩形时，由PN ⊥AB 可知PQ ∥AB ，根据平行线分线段成比例定理可得CP CA ＝CQBC，即可计算出t 的值．（3）当□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．□PQMN 在三角形内部时，Ⅱ．□PQMN 有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．（4）当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN 的中点，Ⅱ．过QM 的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值． 【解答】（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝15． ∴AB ＝AC 2＋BC 2 ＝ 202＋152 ＝25．∴sin ∠CAB ＝35,由题可知AP ＝5t ，∴PN ＝AP •sin ∠CAB ＝5t ·35＝3t ．故答案为：①25；②3t ．（2）当□PQMN 为矩形时，∠NPQ ＝90°， ∵PN ⊥AB ， ∴PQ ∥AB ， ∴CP CA ＝CQ BC， 由题意可知AP ＝CQ ＝5t ，CP ＝20﹣5t ， ∴20－5t 20＝5t15， 解得t ＝127，即当□PQMN 为矩形时t ＝127． （3）当□PQMN △ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．□PQMN 在三角形内部时．延长QM 交AB 于G 点， 由（1）题可知：cos A ＝sin B ＝45，cos B ＝35，AP ＝5t ，BQ ＝15﹣5t ，PN ＝QM ＝3t ．∴AN ＝AP •cos A ＝4t ，BG ＝BQ •cos B ＝9﹣3t ，QG ＝BQ •sin B ＝12﹣4t ， ∵．□PQMN 在三角形内部时．有0＜QM ≤QG ， ∴0＜3t ≤12﹣4t ， ∴0＜t ≤127∴NG ＝25﹣4t ﹣（9﹣3t ）＝16﹣t ．∴当0＜t ≤127时，□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为□PQMN ，S 与t 之间的函数关系式为S ＝PN •NG ＝3t •（16﹣t ）＝﹣3t 2＋48t ．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG ＜QM ，□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为梯形PQMG 时， 即：0＜12﹣4t ＜3t ，解得：127≤ t ＜3, □PQMN 与△ABC 重叠部分图形为梯形PQMG 的面积S ＝12NG (PN ＋QG )＝12(16－t )(3t ＋12－4t )＝ 12t 2－14t ＋96综上所述：当0＜t ≤127时，S ＝﹣3t 2＋48t ．当127 ≤ t ＜3，S ＝12t 2－14t ＋96． （4）当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．如解题图（4）1，PR ∥BC ，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH ⊥AB ， ∴∠PKN ＝∠HKR ＝∠B ， NK ＝PN •cot ∠PKN ＝3t · 34＝9t4，∵NR ＝MR ，HR ∥PN ∥QM ， ∴NH ＝GH ＝12(16－t )，HR ＝12GM ,∴GM ＝QM ﹣QG ＝3t ﹣（12﹣4t ）＝7t ﹣12．HR ＝12GM ＝12(7t －12)．∴KH ＝HR •cot ∠HKR ＝12(7t －12) × 34 ＝38(7t －12)∵NK ＋KH ＝NH ， ∴94t ＋38(7t －12)＝12(16－t )解得：t＝100 34，Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，∴HQ＝QR•sin∠QRH＝3t2·35＝9t10∵PC＝20﹣5t，∴20﹣5t＝9t10，解得t＝59 200．综上所述：当t＝10034或59200时，点P且平行于BC的直线经过□PQMN一边中点时，【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．问题3．（2019•吉林省）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A 同时出发，点P以 2 cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝54cm时，直接写出x的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE＝AB2＋BE2＝32cm，∠BAE＝∠BEA＝45°∵∠BAD＝90°∴∠DAE＝45°故答案为：32，45（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，∵AP＝2x，∠DAE＝45°，PF⊥AD∴PF＝x＝AF，∴y＝S△PQA＝12×AQ×PF＝x2，（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4∴DF＝4﹣x，∴y＝12x2＋12（2x﹣4＋x）（4﹣x）＝﹣x2＋8x﹣8当3＜x≤72时，如图，点P与点E重合．∵CQ＝（3＋4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm∴y＝12（1＋4）×3﹣12（7﹣2x）×1＝x＋4（3）当0＜x≤2时∵QF＝AF＝x，PF⊥AD ∴PQ＝AP∵PQ＝54cm∴ 2 x＝5 4∴x＝52 8当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD∴四边形MPFD是矩形∴PM＝DF＝4﹣2x，MD＝PF＝x，∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x∵MP2＋MQ2＝PQ2，∴（4﹣2x ）2＋（4﹣x ）2＝2516∵△＜0 ∴方程无解 当3＜x ≤72时，∵PQ 2＝CP 2＋CQ 2， ∴2516＝1＋（7﹣2x ）2， ∴x ＝258综上所述：x ＝258或528【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．问题4．（2019•江苏省苏州市）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ∆的面积为S （cm²），S 与t 的函数关系如图②所示：（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm .①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.5【分析】（1）由题意得t ＝2.5时，函数图象发生改变，得出t ＝2.5时M 运动到点B 的速度为2cm/s ；由t ＝7.5，S ＝0得出BC ＝10；（2）由题意得出当在C 点相遇时，v ＝23，当在B 相遇时， v ＝6即可得出答案．过点P 作EF ⊥ AB 于F ，交CD 于E ，则EF //BC ，由平行可得出AF AB ＝APAC，从而可得出AF ＝2，DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，再由勾股定理可得出EP ＝6，求出S 1和S 2的表达式，从而可得出最终答案． 【解答】（1）2cm/s ；10cm（2）①解：∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴⎩⎪⎨⎪⎧5 v ＜7.5在C 点15 v ≥2.5在B 点 ∴23cm/s ＜v ≤ 6cm/s ②如右图S 1· S 2＝S 矩形ABCD －S △P AD －S △CDM －S △ABM ＝75－10－5×(15－2x )2－5×(2x －5)2＝15过M 点做MH ⊥AC ，则MH ＝12CM ＝15－2x 5∴S －1＝12 MH ·AP ＝－2x ＋15∴S 2＝2xS 1·S 2＝(－2x ＋15)·2x ＝－4x 2＋30x ＝－4⎝⎛⎭⎫x －1542＋2254因为2.5＜154＜7.5,所以当x ＝154时，S 1·S 2取最大值2254.10515-2x2x-5H PBCDA M (N )【点评】本题是四边形与动点的综合问题，综合性较强，有一定难度，正确理解函数图象上的拐点的意义是解题的关键．问题5．（2019•江苏省扬州市）如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角△GDC ，∠G ＝90°．点M 在线段AB 上，且AM ＝a ，点P 沿折线AD ﹣DG 运动，点Q 沿折线BC ﹣CG 运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ∥A B ．设PQ 与AB 之间的距离为x ． （1）若a ＝12．①如图1，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x 的值为 ； ②在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积；（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．【分析】（1）①P 在线段AD 上，PQ ＝AB ＝20，AP ＝x ，AM ＝12，由梯形面积公式得出方程，解方程即可； ②当P ，在AD 上运动时，P 到D 点时四边形AMQP 面积最大，为直角梯形，得出0＜x ≤10时，四边形AMQP 面积的最大值＝12（12＋20）10＝160，当P 在DG 上运动，10＜x ≤20，四边形AMQP 为不规则梯形，作PH ⊥AB 于M ，交CD 于N ，作GE ⊥CD 于E ，交AB 于F ，则PM ＝x ，PN ＝x ﹣10，EF＝BC＝10，由等腰直角三角形的性质得出GE＝12CD＝10，得出GF＝GE＋EF＝20，GH＝20﹣x，证明△GPQ∽△GDC，得出比例式，得出PQ＝40﹣2x，求出梯形AMQP的面积＝12（12＋40﹣2x）×x＝﹣（x﹣13）2＋169，由二次函数的性质即可得出结果；（2）P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝12（a＋40﹣2x）×x＝﹣x2＋40＋a2x，对称轴x＝10＋a4，得出10≤10＋a4≤15，对称轴在10和15之间，得出10≤x≤20，二次函数图象开口向下，当x＝20时，S最小，得出﹣202＋40＋a2×20≥50，a≥5；即可得出答案．【解答】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝12（12＋20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝12（12＋20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，∵△GDC是等腰直角三角形，∴DE＝CE，GE＝12CD＝10，∴GF＝GE＋EF＝20，∴GH＝20﹣x，由题意得：PQ∥CD，∴△GPQ∽△GDC，∴PQDC＝GHGE，即PQ20＝20－x10，解得：PQ＝40﹣2x，∴梯形AMQP的面积＝12（12＋40﹣2x）×x＝﹣x2＋26x＝﹣（x﹣13）2＋169，∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P 在DG 上，则10≤x ≤20，AM ＝a ，PQ ＝40﹣2x ，梯形AMQP 的面积S ＝12（a ＋40﹣2x ）×x ＝﹣x 2＋40＋a 2x ，对称轴为：x ＝10＋a4，∵0≤x ≤20，∴10≤10＋a4≤15，对称轴在10和15之间，∵10≤x ≤20，二次函数图象开口向下， ∴当x ＝20时，S 最小， ∴﹣202＋40＋a2×20≥50，∴a ≥5；综上所述，a 的取值范围为5≤a ≤20．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．问题6．（2019 宁夏回族自治区）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ABC ∆∆∽；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【分析】（1）根据题意得到∠MQB＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．【解答】（1）∵MQ⊥BC，∴∠MQB＝90°，∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，∴△QBM∽△ABC；（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN//BQ，BQ＝MN，∴四边形BMNQ为平行四边形；（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝AB2＋AC2＝5，∵△QBM∽△ABC，∴QBAB＝QMAC＝BMBC，即x3＝QM4＝BM5，解得，QM＝43x，BM＝53x，∵MN//BC，∴MNBC＝AMAB，即MN5＝3－53x3解得，MN＝5－259x，则四边形BMNQ的面积＝12×⎝⎛⎭⎫5－259x＋x×43x＝－3227⎝⎛⎭⎫x－4582＋752，∴当x＝458时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为752．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．问题7．（2019•山东省青岛市）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE＝EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S四边形OPEG＝S△OEG＋S△OPE＝S△OEG＋（S△OPC＋S△PCE﹣S△OEC）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC＝∠QOG，可得tan∠EOC＝tan∠QOG，推出ECOC＝GQOG，由此构建方程即可解决问题．【解答】（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝102－82＝6(cm），∵OD垂直平分线段AC，∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCO，∵∠DOC＝∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴ACOC＝ABCD＝BCOD，∴63＝10CD＝8OD'∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），∵PB＝t，PE⊥AB，易知：PE＝34t，BE＝54t，当点E在∠BAC的平分线上时，∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE＝EC，∴34t＝8﹣54t，∴t＝4．∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，P C．S四边形OPEG＝S△OEG＋S△OPE＝S△OEG＋（S△OPC＋S△PCE﹣S△OEC）＝12•（4﹣45t）•3＋[12•3•（8﹣45t）＋12•（8﹣54t）•35t﹣12•3•（8﹣54t）＝﹣83t2＋153t＋16（0＜t＜5）．（3）存在．∵S＝﹣83（t﹣52）2＋683（0＜t＜5），∴t＝52时，四边形OPEG的面积最大，最大值为683．（4）存在．如图，连接OQ．∵OE⊥OQ，∴∠EOC＋∠QOC＝90°，∵∠QOC＋∠QOG＝90°，∴∠EOC＝∠QOG，∴tan∠EOC＝tan∠QOG，∴ECOC＝GQ OG，∴8－54t3＝35t4－45t整理得：5t 2﹣66t ＋160＝0， 解得t ＝165或10（舍弃） ∴当t ＝165秒时，OE ⊥OQ ．【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．问题8．（2019•山东省烟台市）如图，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A （－1，0），B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ．双曲线y ＝6x（x ＞0）经过点D ，连接MD ，B D ． （1）求抛物线的表达式；（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果）yxBAMECDOyx备用图B AME CDO【分析】由已知求出点D 的坐标，将A 、D 坐标代入即可；作M 关于纵轴的对称点M '，作D 关于横轴的对称点D ’，连接这两个点分别交x ,y 轴于N 、F ，则以M 、N 、N 、F 为顶点的四边形周长最小即为M 'D '＋MD ；设P 点坐标，作△PBD 的外接圆N ，当⊙N 与y 轴相切时，∠BPD 的度数最大． 【解答】（1）由题意知C 的坐标为（0，3），则D 点的纵坐标为3． 把y ＝3代入y ＝6x ，得x ＝2． ∴D 的坐标为（2，3）．把A （－1，0），D （2，3）的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎨⎧0＝a －b ＋33＝4a ＋2b ＋3 解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4．∴顶点M 的坐标为（1，4）． 设M 关于y 轴的对称点为M ′，则M ′的坐标为（－1，4）． 同理D 点关于x 轴对称点的坐标D ′的坐标为（2，－3）． 设直线M ′D ′为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧4＝－k ＋b －3＝2k ＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－73b ＝53 ∴直线M ′D ′的表达式为y ＝－73 x ＋53．直线M ′D ′交x 轴于点（57 ，0），交y 轴于点（0，53）．∴当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，点N 的坐标为（57 ，0），F 的坐标（0，53 ）．（3）（3）t ＝9－215．（解析：过B 、D 两点的圆，当圆与y 轴相切时，切点即为点P ． 设圆心的坐标为（a ，b ），则由勾股定理定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝(a －2)2＋(b －3)2a 2＝(a －3)2＋b 2 解得b ＝9 ±215 （由题意，取较小值）． 所以当t ＝9－215时，∠BPD 的度数最大． 【点评】本题考查了二次函数与动点结合的问题，利用动点的运动很好地考查了学生运用运动变化的观点分析问题和解决问题的能力．本题难度较大，综合性很强．属于中考中典型的压轴题．问题9．（2019•四川省绵阳市）如图，在以点O 为中心的正方形ABCD 中，AD ＝4，连接AC ，动点E 从点O 出发沿O →C 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【分析】（1）由正方形的性质可得∠DAC＝∠CAB＝45°，根据圆周角定理得∠FDE＝∠DFE＝45°，则结论得证；（2）设OE＝t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF＝2t，证明△AEF∽△ADG可得AG＝42t22+t，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段FGDG=AFCD，求出t的值，代入EG的表达式可求EH的值；（3）由（2）知EG＝t2+822+t，过点F作FK⊥AC于点K，根据S△EFG＝12EG·FK即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，∴∠FDE＝∠DFE＝45°，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE＝t，连接OD，∴∠DOE＝∠DAF＝90°，∵∠OED＝∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF=ODAD=22，∴AF=2t，又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD=AFAG，∴AG · AE=AD · AF=42t，又∵AE＝OA＋OE＝22＋t，∴AG=42t22+t，∴EG＝AE－AG＝t2+822+t，当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE＋∠HFE＝45°＋45°＝90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD=FBAD=4-2t4，∵AF∥CD，∴FGDG=AFCD=2t4，∴FGDF=2t4+2t，∴4-2t4=2t4+2t，解得：t1＝10 - 2 ，t2＝10 + 2 （舍去），∴EG＝EH＝t2+822+t =(10 -2) 2+822+10-2=310-5 2 ；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG＝t2＋822＋t，∵DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠DEO＝∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK＝OE＝t，∴S△EFG＝12EG·FK＝t3＋8t 42＋2t【点评】本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．问题10．（2019•天津市）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．（Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C ′O ′D ′E ′，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C ′，O ′，D ′，E ′．设OO ′＝t ，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分的面积为S ．①如图②，当矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为五边形时，C ′E ′，E ′D ′分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当3≤S ≤53时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由已知得出AD ＝OA ﹣OD ＝4，由矩形的性质得出∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，由勾股定理得出ED ＝43，即可得出答案；（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝43，ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，得出∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′＝MF 2－ME '2 ＝ (2t )2－t 2 ＝3t ，求出S △MFE ′＝12ME ′•FE ′＝12×t ×3t ＝32t 2，S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×43＝83，即可得出答案； ②当S ＝3时，O 'A ＝OA ﹣OO '＝6﹣t ，由直角三角形的性质得出O 'F ＝3O 'A ＝3（6﹣t ），得出方程，解方程即可；当S ＝53时，O 'A ＝6﹣t ，D 'A ＝6﹣t ﹣2＝4﹣t ，由直角三角形的性质得出O 'G ＝3（6﹣t ），D 'F ＝3（4﹣t ），由梯形面积公式得出S ＝12[3（6﹣t ）＋3（4﹣t ）]×2＝53，解方程即可． 【解答】（Ⅰ）∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD ＝OA ﹣OD ＝6﹣2＝4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，ED ＝AE 2－AD '2 ＝ 82－42 ＝43，∵OD ＝2，∴点E 的坐标为（2，43）；（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝43，ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，∴在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′＝MF 2－ME '2 ＝ (2t )2－t 2 ＝ 3t ，∴S △MFE ′＝12ME ′•FE ′＝12×t ×3t ＝32t 2，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×43＝83，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝83﹣32t 2，∴S ＝﹣32t 2＋83，其中t 的取值范围是：0＜t ＜2；②当S ＝3时，如图③所示：O 'A ＝OA ﹣OO '＝6﹣t ，∵∠AO 'F ＝90°，∠AFO '＝∠ABO ＝30°，∴O 'F ＝3O 'A ＝3（6﹣t ）∴S ＝12（6﹣t ）×3（6﹣t ）＝3，解得：t ＝6﹣2，或t ＝6＋2（舍去），∴t ＝6﹣2；当S ＝53时，如图④所示：O 'A ＝6﹣t ，D 'A ＝6﹣t ﹣2＝4﹣t ，∴O 'G ＝3（6﹣t ），D 'F ＝3（4﹣t ），∴S ＝12 [3（6﹣t ）＋3（4﹣t ）]×2＝53，解得：t ＝52，∴当3≤S ≤53时，t 的取值范围为52≤t ≤6﹣2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．。
中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习(含答案解析)
中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习（含答案解析）1．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，∴x+y＝2，∴y＝2﹣x，∴y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；故只有选项B符合题意．2．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．4．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE ＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，当1＜x≤3时，y＝＝1，当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故选：B．5．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N 是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A．B．2C．D．【答案】 A【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．6．（2021•鞍山）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA 方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等边三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四边形CMPN是平行四边形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．如图3中，当2＜t≤6时，S＝•MQ•PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．7．（2021•威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s 的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于E，∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），∴y＝AQ•PE＝×2x×＝，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，作QF⊥AC于点F，∴QF＝sin∠ACB•CQ＝（cm），∴y＝＝＝，故B选项不正确；如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于点G，∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝（cm），∴y＝＝＝．故C选项不正确，故选：A．8．（2021•日照）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，此时阴影部分为等腰直角三角形，∴y＝，该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，当θ＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.14，当θ＝30°时，AP＝x≈1.87，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.24，当θ＝60°时，AP＝x≈1.5，y≈0.98，在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．故选：D．法二、当1＜x＜2时，即P在OB之间时，设∠QOD＝θ，则θ∈（0，），则PQ＝cosθ，OP＝sinθ，则弧QD的长为θπ，此时S阴影＝+θπ+sinθcosθ＝+θ+sin2θ，∴y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项D符合．故选：D．9．（2021•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN 的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF＝，当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM＝，∴NM＝x＝x，∴△AMN的面积S＝×x×x＝x2，∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，如图，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F＝，∴＝﹣，∴△AMN的面积S＝＝﹣，∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．10．（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，∴CD＝10﹣1﹣1＝8，∵PC＝t，∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：2πr＝；．解得：r＝，R＝，∴两个圆锥的底面面积之和为S＝＝＝，根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．故选：D．11．（2021•甘肃）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3B．6C．8D．9【答案】B【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，∴S△ADM＝AD•h，∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BD＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．12．（2021•百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：①当M点运动在AE段，此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE•AH＝；∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此时，对应抛物线开口向上，故选：D．13．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M 从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB 运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6 cm．∵当t＝6s时，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3cm．∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．∴BH＝cm．∴AB＝AH＝BH＝6cm，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB＝60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM＝AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：此时有两个符合条件的点；当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM•sin60°＝tcm，∴S＝AN×ME＝cm2．∴③正确；④当t＝9+时，CM＝cm，如图，由①知：BC＝3cm，∴MB＝BC﹣CM＝2cm．∵AB＝6cm，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，此时MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．14．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：当0≤x≤3时，在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DQ＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．15．（2021•湖北）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△CAD，∴＝＝，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，PE＝＝x，CE＝＝x，∴y＝PE•CE＝＝x2，当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，故选：D．16．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q 两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案】（2+3）【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短，此时，OE＝OF＝＝，AE＝CF＝＝＝，∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm），故答案为：（2+3）．17．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y 关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．【答案】﹣1【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．18．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝cm2．【答案】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，∴，∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，∴AP＝x，AQ＝2x，∴，在△APQ和△AED中，＝，∠A＝45°，∴△AED∽△APQ，∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，∴AP＝PQ＝x，∴当点Q在AD上运动时，y＝AP•AQ＝×x×x＝x2，由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），∴AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，在Rt△APF中，AP＝x，∠PAF＝45°，∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，∴S△APQ＝x2+（x+2x﹣6）•（6﹣x）﹣×6×（2x﹣6），即y＝﹣x2+6x，当x＝时，y＝﹣（）2+6×＝，故答案为：．。
2020年江苏省中考数学试题分类汇编(4)——二次函数(含答案)
2020年江苏省中考数学试题分类（4）——二次函数一．二次函数的性质（共4小题）1．（2020•镇江）点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上．则m ﹣n 的最大值等于（ ）A ．154B ．4C ．−154D ．−174 2．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴： ．3．（2020•无锡）二次函数y ＝ax 2﹣3ax +3的图象过点A （6，0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为 ．4．（2020•淮安）二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +3的图象的顶点坐标为 ．二．二次函数图象与几何变换（共2小题）5．（2020•宿迁）将二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（ ）A ．y ＝（x +2）2﹣2B ．y ＝（x ﹣4）2+2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝（x ﹣1）2+56．（2020•南京）下列关于二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1（m 为常数）的结论：①该函数的图象与函数y ＝﹣x 2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．三．抛物线与x 轴的交点（共3小题）7．（2020•南通）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线x ＝1．关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n ＜﹣5，试比较y 1与y 2的大小；（3）若B ，C 两点在直线x ＝1的两侧，且y 1＞y 2，求n 的取值范围．8．（2020•盐城）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），且经过点A （0，2）．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与该函数的图象交于点B （异于点A ）．满足△ACN 是等腰直角三角形，记△AMN 的面积为S 1，△BMN 的面积为S 2，且S 2=52S 1．（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；（2）求直线l 相应的函数表达式；（3）求该二次函数的表达式． 9．（2020•苏州）如图，二次函数y ＝x 2+bx 的图象与x 轴正半轴交于点A ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于B 、C 两点（点B 位于点C 左侧），与抛物线对称轴交于点D （2，﹣3）．（1）求b 的值；（2）设P 、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBCQ 为平行四边形．过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点P '（x 1，y 1）、Q '（x 2，y 2）．若|y 1﹣y 2|＝2，求x 1、x 2的值．四．二次函数的应用（共4小题）10．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．11．（2020•宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：55 60 65 70销售单价x（元/千克）销售量y（千克）70 60 50 40（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？12．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B 地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？13．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．五．二次函数综合题（共8小题）14．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a ＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a ＝﹣1时，求点N 的坐标及AA AA 的值； （2）随着a 的变化，AA AA 的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E 是x 轴上位于点B 右侧的点，BC ＝2BE ，DE 交抛物线于点F ．若FB ＝FE ，求此时的二次函数表达式．15．（2020•宿迁）二次函数y ＝ax 2+bx +3的图象与x 轴交于A （2，0），B （6，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标；（2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；（3）如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当△CEQ 的面积为12时，求点P 的坐标． 16．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝﹣ax 2+2ax +3a （a ＞0）的图象交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，它的对称轴交x 轴于点E ．过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，连接DE 并延长交y 轴于点F ，交抛物线于点G ．直线AF 交CD 于点H ，交抛物线于点K ，连接HE 、GK ．（1）点E 的坐标为： ；（2）当△HEF 是直角三角形时，求a 的值；（3）HE 与GK 有怎样的位置关系？请说明理由．17．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P 是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．（1）b＝，n＝；（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．18．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．19．（2020•泰州）如图，二次函数y 1＝a （x ﹣m ）2+n ，y 2＝6ax 2+n （a ＜0，m ＞0，n ＞0）的图象分别为C 1、C 2，C 1交y 轴于点P ，点A 在C 1上，且位于y 轴右侧，直线P A 与C 2在y 轴左侧的交点为B ．（1）若P 点的坐标为（0，2），C 1的顶点坐标为（2，4），求a 的值；（2）设直线P A 与y 轴所夹的角为α．①当α＝45°，且A 为C 1的顶点时，求am 的值；②若α＝90°，试说明：当a 、m 、n 各自取不同的值时，AA AA 的值不变；（3）若P A ＝2PB ，试判断点A 是否为C 1的顶点？请说明理由．20．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L 1：y =12x 2−32x ﹣2的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，其顶点为P ．（1）若抛物线L 2经过点（2，﹣12），求L 2对应的函数表达式；（2）当BP ﹣CP 的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线L 1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ 与△ABC 相似，求其“共根抛物线”L 2的顶点P 的坐标． 21．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线OA 交二次函数y =14x 2的图象于点A ，∠AOB＝90°，点B 在该二次函数的图象上，设过点（0，m ）（其中m ＞0）且平行于x 轴的直线交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，以线段OM 、ON 为邻边作矩形OMPN ．（1）若点A 的横坐标为8．①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．2020年江苏省中考数学试题分类（4）——二次函数参考答案与试题解析一．二次函数的性质（共4小题）1．【解答】解：∵点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上，∴a ＝0，∴n ＝m 2+4，∴m ﹣n ＝m ﹣（m 2+4）＝﹣m 2+m ﹣4＝﹣（m −12）2−154，∴当m =12时，m ﹣n 取得最大值，此时m ﹣n =−154，故选：C ．2．【解答】解：∵图象的对称轴是y 轴，∴函数表达式y ＝x 2（答案不唯一），故答案为：y ＝x 2（答案不唯一）．3．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x =−122×(−16)=32， 设点M 的坐标为：（32，m ），当∠ABM ＝90°，过B 作BD 垂直对称轴于D ，则∠1＝∠2，∴tan ∠2＝tan ∠1=63=2， ∴AA AA =2，∴DM ＝3， ∴M （32，6），当∠M ′AB ＝90°时，∴tan ∠3=A′A AA =tan ∠1=63=2， ∴M ′N ＝9， ∴M ′（32，﹣9），综上所述，点M 的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．故答案为：（32，﹣9）或（32，6）． 4．【解答】解：∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x 2+2x +1﹣1）+3＝﹣（x +1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．二．二次函数图象与几何变换（共2小题）5．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y ＝（x ﹣1）2+2+3，即y ＝（x ﹣1）2+5；故选：D ．6．【解答】解：①∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m +1（m 为常数）与函数y ＝﹣x 2的二次项系数相同， ∴该函数的图象与函数y ＝﹣x 2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1中，令x ＝0，则y ＝﹣m 2+m 2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝m ，当x ＞m 时，y 随x 的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x ＝m 时，函数y 有最大值m 2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．三．抛物线与x 轴的交点（共3小题）7．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （2，0），∴0＝4a +2b +c ①，∵对称轴是直线x ＝1，∴−A 2A =1②， ∵关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根，∴△＝（b ﹣1）2﹣4ac ＝0③，由①②③可得：{A =−12A =1A =0，∴抛物线的解析式为y =−12x 2+x ；（2）∵n ＜﹣5，∴3n ﹣4＜﹣19，5n +6＜﹣19∴点B ，点C 在对称轴直线x ＝1的左侧，∵抛物线y =−12x 2+x ，∴−12＜0，即y 随x 的增大而增大，∵（3n ﹣4）﹣（5n +6）＝﹣2n ﹣10＝﹣2（n +5）＞0，∴3n ﹣4＞5n +6，∴y 1＞y 2；（3）若点B 在对称轴直线x ＝1的左侧，点C 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得{3A −4＜15A +6＞11−(3A −4)＜5A +6−1， ∴0＜n ＜53， 若点C 在对称轴直线x ＝1的左侧，点B 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得：{3A −4＞15A +6＜13A −4−1＜1−(5A +6)，∴不等式组无解，综上所述：0＜n ＜53．8．【解答】解：（1）如图，如二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），且经过点A （0，2）．∴y ＝ax 2+bx +2，令y ＝0，则ax 2+bx +2＝0，∵0＜x 1＜x 2，∴2A ＞0，∴a ＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：上；（2）①若∠ACN ＝90°，则C 与O 重合，直线l 与抛物线交于A 点，因为直线l 与该函数的图象交于点B （异于点A ），所以不合题意，舍去；②若∠ANC ＝90°，则C 在x 轴的下方，与题意不符，舍去；③若∠CAN ＝90°，则∠ACN ＝∠ANC ＝45°，AO ＝CO ＝NO ＝2，∴C （﹣2，0），N （2，0），设直线l 为y ＝kx +b ，将A （0，2）C （﹣2，0）代入得{A =2−2A +A =0， 解得{A =1A =2， ∴直线l 相应的函数表达式为y ＝x +2；（3）过B 点作BH ⊥x 轴于H ，S 1=12AA ⋅AA ，S 2=12AA ⋅AA ，∵S 2=52S 1， ∴BH =52OA ， ∵OA ＝2，∴BH ＝5，即B 点的纵坐标为5，代入y ＝x +2中，得x ＝3，∴B （3，5），将A 、B 、N 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c 得{A =24A +2A +A =09A +3A +A =5，解得{A =2A =−5A =2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2﹣5x +2．9．【解答】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D （2，﹣3），故抛物线的对称轴为x ＝2，即−12b ＝2，解得：b ＝﹣4，（2）∵b ＝﹣4∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x ；把y ＝﹣3代入y ＝x 2﹣4x 并解得x ＝1或3，故点B 、C 的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC ＝2，∵四边形PBCQ 为平行四边形，∴PQ ＝BC ＝2，故x 2﹣x 1＝2，又∵y 1＝x 12﹣4x 1，y 2＝x 22﹣4x 2，|y 1﹣y 2|＝2，故|（x 12﹣4x 1）﹣（x 22﹣4x 2）|＝2，|x 1+x 2﹣4|＝1．∴x 1+x 2＝5或x 1+x 2＝3，由{A 2−A 1=2A 1+A 2=5，解得{A 1=32A 2=72； 由{A 2−A 1=2A 1+A 2=3，解得{A 1=12A 2=52． 四．二次函数的应用（共4小题）10．【解答】解：根据题意：y ＝﹣0.2x 2+1.5x ﹣2，当x =−1.52×(−0.2)=3.75时，y 取得最大值， 则最佳加工时间为3.75min ．故答案为：3.75．11．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：{55A +A =7060A +A =60， 解得：{A =−2A =180． ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝﹣2x +180．（2）由题意得：（x ﹣50）（﹣2x +180）＝600，整理得：x 2﹣140x +4800＝0，解得x 1＝60，x 2＝80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．（3）设当天的销售利润为w 元，则：w ＝（x ﹣50）（﹣2x +180）＝﹣2（x ﹣70）2+800，∵﹣2＜0，∴当x ＝70时，w 最大值＝800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．12．【解答】解：（1）∵y 1＝﹣180x +2250，y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000，∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250﹣2000＝250（m ），故答案为：250；（2）设小丽出发第xmin 时，两人相距sm ，则s ＝（﹣180x +2250）﹣（﹣10x 2﹣100x +2000）＝10x 2﹣80x +250＝10（x ﹣4）2+90，∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答：小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m ．13．【解答】解：（1）当x ＝5时，EF ＝20﹣2x ＝10，EH ＝30﹣2x ＝20，y ＝2×12（EH +AD ）×20x +2×12（GH +CD ）×x ×60+EF •EH ×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF ＝（20﹣2x ）米，EH ＝（30﹣2x ）米，参考（1），由题意得：y ＝（30+30﹣2x ）•x •20+（20+20﹣2x ）•x •60+（30﹣2x ）（20﹣2x ）•40＝﹣400x +24000（0＜x ＜10）；（3）S 甲＝2×12（EH +AD ）×x ＝（30﹣2x +30）x ＝﹣2x 2+60x ， 同理S 乙＝﹣2x 2+40x ，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x 2+60x ﹣（﹣2x 2+40x ）≤120，解得：x ≤6，故0＜x ≤6，而y ＝﹣400x +24000随x 的增大而减小，故当x ＝6时，y 的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．五．二次函数综合题（共8小题）14．【解答】解：（1）分别过点M 、N 作MG ⊥CD 于点E ，NT ⊥DC 于点T ，∵MG ∥TN ∥x 轴，∴△DMG ∽△DAC ，△DCB ∽△DTN ，∴AA AA =AA AA ，AA AA =AA AA ，∵a ＝﹣1，则y ＝﹣x 2+2x +c ，将M （﹣1，1）代入上式并解得：c ＝4，∴抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +4，则点D （1，5），N （4，﹣4），则MG ＝2，DG ＝4，DC ＝5，TN ＝3，DT ＝9，∴2AA =45，AA 3=59，解得：AC =52，BC =53， ∴AA AA =32；（2）不变，理由：第（2）问有错误MG ＝2，DG ＝4a∵y ＝ax 2﹣2ax +c 过点M （﹣1，1），则a +2a +c ＝1，解得：c ＝1﹣3a ，∴y ＝ax 2﹣2ax +（1﹣3a ），∴点D （1，1﹣4a ），N （4，1+5a ），∴MG ＝2，DG ＝4a ，DC ＝1﹣4a ，FN ＝3，DF ＝﹣9a ，由（1）的结论得：AC =1−4A −2A ，BC =1−4A −3A ，∴AA AA =32；（3）过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，则FH ∥l ，则△FHE ∽△DCE ，∵FB ＝FE ，FH ⊥BE ，∴BH ＝HE ，∵BC ＝2BE ，则CE ＝6HE ，∵CD ＝1﹣4a ，∴FH =1−4A 6， ∵BC =4A −13A ， ∴CH =54×4A −13A =20A −512A ，∴F （53−512A +1，16−23a ）， 将点F 的坐标代入y ＝ax 2﹣2ax +（1﹣3a ）＝a （x +1）（x ﹣3）+1得： 16−23a ＝a （53−512A +1+1）（53−512A +1﹣3）+1，解得：a =−54或14（舍弃）， 经检验a =−54，故y =−54x 2+52x +194． 15．【解答】解：（1）将A （2，0），B （6，0）代入y ＝ax 2+bx +3， 得{4A +2A +3=036A +6A +3=0， 解得{A =14A =−2 ∴二次函数的解析式为y =14A 2−2x +3．∵y =14A 2−2A +3=14(A −4)2−1，∴E （4，﹣1）．（2）如图1，图2，连接CB ，CD ，由点C 在线段BD 的垂直平分线CN 上，得CB ＝CD ．设D （4，m ），∵C （0，3），由勾股定理可得：42+（m ﹣3）2＝62+32．解得m ＝3±√29．∴满足条件的点D 的坐标为（4，3+√29）或(4，3−√29)．（3）如图3，设CQ 交抛物线的对称轴于点M ，设P （n ，14A 2−2n +3），则Q （12A ，18A 2−A +32）， 设直线CQ 的解析式为y ＝kx +3，则18A 2−A +32=12nk +3． 解得k =14A −2−3A ，于是CQ ：y ＝（14A −2−3A ）x +3，当x ＝4时，y ＝4（14A −2−3A ）+3＝n ﹣5−12A， ∴M （4，n ﹣5−12A ），ME ＝n ﹣4−12A ．∵S △CQE ＝S △CEM +S △QEM =12×12A ⋅AA =12⋅12A ⋅(A −4−12A )=12． ∴n 2﹣4n ﹣60＝0，解得n ＝10或n ＝﹣6，当n ＝10时，P （10，8），当n ＝﹣6时，P （﹣6，24）．综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．16．【解答】解：（1）对于抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3a ，对称轴x =−2A −2A=1， ∴E （1，0），故答案为（1，0）．（2）如图，连接EC ．对于抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3a ，令x ＝0，得到y ＝3a ，令y ＝0，﹣ax 2+2ax +3a ＝0，解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3a ），∵C ，D 关于对称轴对称，∴D （2，3a ），CD ＝2，EC ＝DE ，当∠HEF ＝90°时，∵ED ＝EC ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∵∠DCF ＝90°，∴∠CFD +∠EDC ＝90°，∠ECF +∠ECD ＝90°，∴∠ECF ＝∠EFC ，∴EC ＝EF ＝DE ，∵EA ∥DH ，∴F A ＝AH ，∴AE =12DH ，∵AE ＝2，∴DH ＝4，∵HE ⊥DFEF ＝ED ，∴FH ＝DH ＝4，在Rt △CFH 中，则有42＝22+（6a ）2，解得a =√33或−√33（不符合题意舍弃），∴a =√33．当∠HFE ＝90°时，∵OA ＝OE ，FO ⊥AE ，∴F A ＝FE ，∴OF ＝OA ＝OE ＝1，∴3a ＝1，∴a =13， 综上所述，满足条件的a 的值为√33或13．（3）结论：EH ∥GK ．理由：由题意A （﹣1，0），F （0，﹣3a ），D （2，3a ），H （﹣2，3a ），E （1，0），∴直线AF 的解析式y ＝﹣3ax ﹣3a ，直线DF 的解析式为y ＝3ax ﹣3a ，由{A =−3AA −3A A =−AA 2+2AA +3A ，解得{A =−1A =0或{A =6A =−21A ， ∴K （6，﹣21a ），由{A =3AA −3A A =−AA 2+2AA +3A ，解得{A =2A =3A 或{A =−3A =−12A ， ∴G （﹣3，﹣12a ），∴直线HE 的解析式为y ＝﹣ax +a ，直线GK 的解析式为y ＝﹣ax ﹣15a ，∵k 相同，a ≠﹣15a ，∴HE ∥GK ．17．【解答】解：（1）将点A （﹣1，2）代入二次函数y ＝﹣x 2+bx +4中，得﹣1﹣b +4＝2，∴b ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4，将点B （3，n ）代入二次函数y ＝﹣x 2+x +4中，得n ＝﹣9+3+4＝﹣2，故答案为：1，﹣2；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +a ，由（1）知，点B （3，﹣2），∵A （﹣1，2），∴{−A +A =23A +A =−2， ∴{A =−1A =1， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4，∵点P （m ，0），∴M （m ，﹣m +1），N （m ，﹣m 2+m +4），∵点N 在点M 的上方，且MN ＝3，∴﹣m 2+m +4﹣（﹣m +1）＝3，∴m ＝0或m ＝2；（3）①如图1，由（2）知，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，∴直线CD 的解析式为y ＝﹣x +1+4＝﹣x +5，令y ＝0，则﹣x +5＝0，∴x ＝5，∴C （5，0），∵A （﹣1，2），B （3，﹣2），∴直线AC 的解析式为y =−13x +53，直线BC 的解析式为y ＝x ﹣5，过点N 作y 轴的平行线交AC 于K ，交BC 于H ，∵点P （m ，0），∴N （m ，﹣m 2+m +4），K （m ，−13m +53），H （m ，m ﹣5），∴NK ＝﹣m 2+m +4+13m −53=−m 2+43m +73，NH ＝﹣m 2+9，∴S 2＝S △NAC =12NK ×（x C ﹣x A ）=12（﹣m 2+43m +73）×6＝﹣3m 2+4m +7，S 1＝S △NBC =12NH ×（x C ﹣x B ）＝﹣m 2+9，∵S 1﹣S 2＝6，∴﹣m 2+9﹣（﹣3m 2+4m +7）＝6，∴m ＝1+√3（由于点N 在直线AC 上方，所以，舍去）或m ＝1−√3；∴S 2＝﹣3m 2+4m +7＝﹣3（1−√3）2+4（1−√3）+7＝2√3−1，S 1＝﹣m 2+9＝﹣（1−√3）2+9＝2√3+5；②如图2，记直线AB 与x 轴，y 轴的交点为I ，L ，由（2）知，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，∴I （1，0），L （0，1），∴OL ＝OI ，∴∠ALD ＝∠OLI ＝45°，∴∠AOD +∠OAB ＝45°，过点B 作BG ∥OA ，∴∠ABG ＝∠OAB ，∴∠AOD +∠ABG ＝45°，∵∠FBA ＝∠ABG +∠FBG ，∠FBA +∠AOD ﹣∠BFC ＝45°，∴∠ABG +∠FBG +∠AOD ﹣∠BFC ＝45°，∴∠FBG ＝∠BFC ，∴BG ∥CF ，∴OA ∥CF ，∵A （﹣1，2），∴直线OA 的解析式为y ＝﹣2x ，∵C （5，0），∴直线CF 的解析式为y ＝﹣2x +10，过点A ，F 分别作过点M 平行于x 轴的直线的垂线，交于点Q ，S ，由旋转知，AM ＝MF ，∠AMF ＝90°，∴△AMF 是等腰直角三角形，∴∠F AM ＝45°，∵∠AIO ＝45°，∴∠F AM ＝∠AIO ，∴AF ∥x 轴，∴点F 的纵坐标为2，∴F （4，2），∴直线OF 的解析式为y =12x ①，∵二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4②， 联立①②解得，{A =1+√654A =1+√658或{A =1−√654A =1−√658， ∴直线OF 与该二次函数图象交点的横坐标为1+√654或1−√654．18．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x+3，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AAAA=13，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=√9+9=3√2，CD=√1+1=√2，BD=√(4−2)2+(3+1)2=2√5，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan ∠DBC =AA AA =√23√2=13=tan ∠ACE ， ∴∠ACE ＝∠DBC ，∴∠ACE +∠ECB ＝∠DBC +∠BCF ，∴∠ACB ＝∠CFD ，又∵∠CQD ＝∠ACB ，∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点，∴0＝x 2﹣4x +3，∴x 1＝1，x 2＝3，∴点P （3，0）；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF ＝QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF ＝QH ，∴CF ＝CQ ，∴∠CFD ＝∠CQD ，∴∠CQD ＝∠ACB ，∵CH ⊥BD ，∵点B （4，3），点D （2，﹣1），∴直线BD 解析式为：y ＝2x ﹣5，∴点F （52，0）， ∴直线CH 解析式为：y =−12x +12， ∴{A =−12A +12A =2A −5，解得{A =115A =−35， ∴点H 坐标为（115，−35）， ∵FH ＝QH ，∴点Q （1910，−65）， ∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43， 联立方程组{A =−43A +43A =A 2−4A +3，解得：{A 1=1A 1=0或{A 2=53A 2=−89，∴点P （53，−89）； 综上所述：点P 的坐标为（3，0）或（53，−89）；（3）如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A （0，3），点C （1，0），∴直线AC 解析式为：y ＝﹣3x +3，∴{A =−3A +3A =2A −5， ∴{A =85A =−95， ∴点N 坐标为（85，−95），∵点H 坐标为（115，−35）， ∴CH 2＝（115−1）2+（35）2=95，HN 2＝（115−85）2+（−35+95）2=95， ∴CH ＝HN ，∴∠CNH ＝45°，∵点E 关于直线BD 对称的点为F ，∴EN ＝NF ，∠ENB ＝∠FNB ＝45°，∴∠ENF ＝90°，∴∠ENM +∠FNM ＝90°，又∵∠ENM +∠MEN ＝90°，∴∠MEN ＝∠FNM ，∴△EMN ≌△NKF （AAS ）∴EM ＝NK =95，MN ＝KF ，∴点E 的横坐标为−15，∴点E （−15，185）， ∴MN =275=KF ，∴CF =85+275−1＝6， ∵点F 关于直线BC 对称的点为G ，∴FC ＝CG ＝6，∠BCF ＝∠GCB ＝45°，∴∠GCF ＝90°，∴点G （1，6），∴AG =√12+(6−3)2=√10．19．【解答】解：（1）由题意m ＝2，n ＝4，∴y 1＝a （x ﹣2）2+4，把（0，2）代入得到a =−12．（2）①如图1中，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点P 作PM ⊥AN 于M ． ∵y 1＝a （x ﹣m ）2+n ＝ax 2﹣2amx +am 2+n ，∴P （0，am 2+n ），∵A （m ，n ），∴PM ＝m ，AN ＝n ，∵∠APM ＝45°，∴AM ＝PM ＝m ，∴m +am 2+n ＝n ，∵m ＞0，∴am ＝﹣1．②如图2中，由题意AB ⊥y 轴， ∵P （0，am 2+n ），当y ＝am 2+n 时，am 2+n ＝6ax 2+n ，解得x ＝±√66m ， ∴B （−√66m ，am 2+n ），∴PB =√66m ，∵AP ＝2m ，∴AA AA =√66A =2√6．（3）如图3中，过点A 作AH ⊥x 轴于H ，过点P 作PK ⊥AH 于K ，过点B 作BE ⊥KP 交KP 的延长线于E ．设B （b ，6ab 2+n ），∵P A ＝2PB ，∴点A 的横坐标为﹣2b ，∴A [﹣2b ，a （﹣2b ﹣m ）2+n ]，∵BE ∥AK ， ∴AAAA =AAAA =12， ∴AK ＝2BE ，∴a （﹣2b ﹣m ）2+n ﹣am 2﹣n ＝2（am 2+n ﹣6ab 2﹣n ），整理得：m 2﹣2bm ﹣8b 2＝0，∴（m ﹣4b ）（m +2b ）＝0，∵m ﹣4b ＞0，∴m +2b ＝0，∴m ＝﹣2b ，∴A （m ，n ），∴点A 是抛物线C 1的顶点．20．【解答】解：（1）当y ＝0时，12x 2−32x ﹣2＝0，解得x ＝﹣1或4，∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2），由题意设抛物线L 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），把（2，﹣12）代入y ＝a （x +1）（x ﹣4），﹣12＝﹣6a ，解得a ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2（x +1）（x ﹣4）＝2x 2﹣6x ﹣8．（2）∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，A （﹣1，0），B （4，0），∴抛物线L 1，L 2的对称轴是直线x =32， ∴点P 在直线x =32上，∴BP ＝AP ，如图1中，当A ，C ，P 共线时，BP ﹣PC 的值最大，此时点P 为直线AC 与直线x =32的交点，∵直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，∴P （32，﹣5）（3）由题意，AB ＝5，CB ＝2√5，CA =√5，∴AB 2＝BC 2+AC 2，∴∠ACB ＝90°，CB ＝2CA ，∵y =12x 2−32x ﹣2=12（x −32）2−258，∴顶点D （32，−258）， 由题意，∠PDQ 不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP ∽△ABC 时，AA AA =AA AA =12， 设Q （x ，12x 2−32x ﹣2），则P （32，12x 2−32x ﹣2），∴DP =12x 2−32x ﹣2﹣（−258）=12x 2−32x +98，QP ＝x −32， ∵PD ＝2QP ，∴2x ﹣3=12x 2−32x +98，解得x =112或32（舍弃）， ∴P （32，398）．②如图3﹣2中，当△DQP ∽△ABC 时，同法可得PQ ＝2PD ，x −32=x 2﹣3x +94，解得x =52或32（舍弃）， ∴P （32，−218）． 第二种情形：当∠DQP ＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ ∽△ABC 时，AA AA =AA AA =12， 过点Q 作QM ⊥PD 于M ．则△QDM ∽△PDQ ，∴AA AA =AA AA =12，由图3﹣3可知，M （32，398），Q （112，398）， ∴MD ＝8，MQ ＝4，∴DQ ＝4√5，由AA AA =AA AA ，可得PD ＝10， ∵D （32，−258） ∴P （32，558）．②当△DPQ ∽△ABC 时，过点Q 作QM ⊥PD 于M ．同法可得M （32，−218），Q （52，−218）， ∴DM =12，QM ＝1，QD =√52，由AA AA =AA AA ，可得PD =52， ∴P （32，−58）． 综上所述：P 点坐标为（32，398）或（32，−218）或（32，558）或（32，−58）． 21．【解答】解：（1）①∵点A 在y =14x 2的图象上，横坐标为8， ∴A （8，16），∴直线OA 的解析式为y ＝2x ，∵点M 的纵坐标为m ，∴M （12m ，m ）．②假设能在抛物线上，连接OP ．∵∠AOB ＝90°，∴直线OB 的解析式为y =−12x ，∵点N 在直线OB 上，纵坐标为m ，∴N （﹣2m ，m ），∴MN 的中点的坐标为（−34m ，m ），∴P （−32m ，2m ），把点P 坐标代入抛物线的解析式得到m =329．（2）①当点A 在y 轴的右侧时，设A （a ，14a 2），∴直线OA 的解析式为y =14ax ， ∴M （8A，2），∵OB ⊥OA ， ∴直线OB 的解析式为y =−4A x ，可得N （−A 2，2），∴P （8A −A 2，4），代入抛物线的解析式得到，8A −A 2=±4，解得，a ＝4√2±4，∴直线OA 的解析式为y ＝（√2±1）x ．②当点A 在y 轴的左侧时，即为①中点B 的位置，∴直线OA的解析式为y=−4A x＝﹣（√2±1）x，综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（√2±1）x或y＝﹣（√2±1）x．。
2020年江苏中考数学压轴题精选精练(含解析)
中考数学压轴题优选精练一、选择题（ 6 题）1．如图，点 A 是射线y═（ x≥ 0）上一点，过点 A 作AB⊥ x 轴于点B，以AB 为边在其右边作正方形ABCD ，过点 A 的双曲线y＝交CD 边于点E，则的值为（）A．B．C．D．12．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 4，BC＝ 2，点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是（）A．6B．C．D．3.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 3， BC＝ 4，点 D 是 AB 的中点，点 P 是直线BC 上一点，将△BDP 沿 DP 所在的直线翻折后，点 B 落在B1处，若 B1D ⊥BC，则点 P 与点 B 之间的距离为（）A ． 1B ．5C．1或 3 D．5或5 4 44．已知直线 y＝﹣ x+7a+1 与直线 y＝ 2x﹣2a+4 同时经过点 P，点 Q 是以 M（ 0，﹣ 1）为圆心， MO 为半径的圆上的一个动点，则线段PQ 的最小值为（）A．10B．16C．8D．18 3 3 5 55．如图，平行四边形ABCD 的极点 A 的坐标为（﹣，0），极点 D 在双曲线 y＝（x＞ 0）上， AD 交 y 轴于点 E（ 0， 2），且四边形BCDE 的面积是△ ABE 面积的 3 倍，则 k 的值为（）A ．4B ．6 C． 7 D． 86．如图，已知矩形ABCD ， AB＝ 4， BC＝ 6，点M 为矩形内一点，点 E 为BC 边上随意一点，则MA +MD +ME 的最小值为（）A ．3+2B ．4+3 C． 2+2 D． 10二、填空题（ 6 题）1．如图，矩形ABCD ＝ 2，△ AEQ 沿 EQ 中， AB＝ 4， BC＝ 8， P， Q 分别是直线BC， AB 上的两个动点，翻折形成△ FEQ ，连结 PF ， PD，则 PF+PD 的最小值是AE．2．如图，在四边形ABCD 中， AB∥ CD ， AB＝ BC＝BD ＝2， AD＝ 1，则 AC＝．3．如图，四边形ABCD 的极点都在座标轴上，若AB∥ CD ，△ AOB 与△ COD 面积分别为8和 18，若双曲线y k恰巧经过BC 的中点E，则k 的值为．x第 3 题第 4 题4．如图，在边长为 1 的菱形ABCD 中，∠ABC＝ 60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D '，分别连结A'C， A'D ， B'C，则A'C+B'C 的最小值为．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（ 0， 1）， B（ 0， 1+m），C（ 0，1﹣ m）（ m＞ 0），点 P在以D（﹣ 4，﹣ 2）为圆心，为半径的圆上运动，且一直知足∠BPC＝ 90°，则m 的取值范围是．第3题第4题6．如图，在矩形ABCD 中， AB＝ 15，AD ＝ 10，点 P 是连结 PD ，以线段 PD 为直角边作等腰直角△DPQ（点连结 BQ，则 BQ 的最小值为．三、解答题（ 6 题）1．如图，正方形 ABCD 的边长为2，点 E、F 分别是边CF 的延伸线交BA 的延伸线于点G，GE 的延伸线交AB 边上随意一点（不与 A 点重合），Q 在直线 PD 右边），∠ DPQ ＝90°，AB、AD 上的动点，且∠ ECF ＝45°，DA 的延伸线于点H ，连结 AE、CF．（1）求证：△ AEF 的周长为定值；（2）求 AG?AH 的值；（ 3）当△ CGH 是等腰三角形时，求AF 的值．2．如图，抛物线2与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0），与 y 轴交于点 C，顶y＝ ax +bx﹣ 3点为 D．（1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标．（2）在线段 BC 下方的抛物线上，能否存在异于点 D 的点 E，使 S△BCE＝ S△BCD？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）点 M在抛物线上，点P 为 y 轴上一动点，求MP+PC 的最小值．3 ．如图①，一次函数y 1 x 2 的图象交x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，二次函数1 2y x2 bx c 的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．2（ 1）求二次函数的关系式及点 C 的坐标；（ 2）如图②，若点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点，过点P作PD∥ x轴交AB于点D，PE∥ y 轴交 AB 于点 E，求 PD+PE 的最大值；（ 3）如图③，若点 M 在抛物线的对称轴上，且∠AMB ＝∠ ACB，求出全部知足条件的点 M 的坐标．4．如图，矩形ABCD 中， AB＝ 6， AD＝8．动点 E， F 同时分别从点 A， B 出发，分别沿着射线AD 和射线 BD 的方向均以每秒 1 个单位的速度运动，连结 EF，以 EF 为直径作⊙O 交射线BD 于点 M，设运动的时间为 t．（1）当点 E 在线段 AD 上时，用对于 t 的代数式表示 DE， DM ．（2）在整个运动过程中，①连结 CM ，当 t 为什么值时，△ CDM 为等腰三角形．②圆心 O 处在矩形ABCD 内（包含界限）时，求t 的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．5．如图 1，矩形 ABCD 中， AB＝ 6，动点 P 从点 A 出发，沿 A→ B→ C 的方向在AB 和 BC 上挪动，记 PA＝ x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，y 对于 x 的函数图象由C1、C2两段构成，如图 2 所示．（ 1）求 AD 的长；（ 2）求图 2 中 C2段图象的函数分析式；（ 3）当△ APD 为等腰三角形时，求 y 的值．6．如图，极点为A 的抛物线 y＝ a（ x+2）2﹣ 4 交 x 轴于点 B（1， 0），连结 AB ，过原点 O 作射线 OM ∥AB ，过点 A 作 AD∥ x 轴交 OM 于点 D，点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，连结 CD．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当t 为什么值时，OB＝ AP；（ 3）若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动，同时动点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点O 运动，当此中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连结PQ．问：当t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．【答案与分析】一、选择题1．【剖析】设点 A 的横坐标为 m（m＞ 0），则点 B 的坐标为（ m， 0），把 x＝ m 代入 y＝x 获得点 A 的坐标，联合正方形的性质，获得点 C，点 D 和点 E 的横坐标，把点 A 的坐标代入反比率函数 y＝，获得对于 m 的 k 的值，把点 E 的横坐标代入反比率函数的分析式，获得点 E 的纵坐标，求出线段 DE 和线段 EC 的长度，即可获得答案．【解答】解：设点 A 的横坐标为 m （m＞ 0），则点 B 的坐标为（ m， 0），把 x＝ m 代入 y＝ x 得： y＝ m，则点 A 的坐标为：（ m，m），线段AB 的长度为m，点 D 的纵坐标为m，∵点 A 在反比率函数y＝上，∴ k＝m2，即反比率函数的分析式为：y＝，∵四边形ABCD 为正方形，∴四边形的边长为m，点 C，点 D 和点 E 的横坐标为m+ m＝m，把 x＝m 代入 y＝得：y＝m，即点 E 的纵坐标为则 EC＝m， DE＝m，m﹣m＝m，＝，应选： A．2．【剖析】点 A，C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 在 x 轴运动时，点在运动过程中，点O 在到 AC 的中点的距离不变．本题可经过设出据 B、 D 、O 在一条直线上时，点 B 到原点 O 的最大可得出答案．【解答】解：作 AC 的中点 D，连结 OD 、 DB，∵ OB≤ OD+BD，∴当 O、 D、 B 三点共线时OB 获得最大值，∵D 是 AC 中点，C 随之在 y 轴上运动，AC 的中点坐标，根∴ OD ＝ AC ＝ 2，∵ BD ＝＝2 ，OD ＝ AC ＝2，∴点 B 到原点O 的最大距离为2+2，应选： D ．3．【剖析】 分点 B 在 BC 左边，点 B 在 BC 右边两种状况议论，由勾股定理可AB ＝ 5，由11平行线分线段成比率可得 ，可求 BE ，DE 的长，由勾股定理可求PB 的长．【解答】 解：如图，若点 B 1 在 BC 左边，∵∠ C ＝ 90°， AC ＝ 3， BC ＝ 4，∴AB ＝＝5∵点 D 是 AB 的中点，∴ BD ＝ BA ＝∵ B 1D ⊥ BC ，∠ C ＝ 90° ∴B 1D ∥AC∴∴ BE ＝ EC ＝ BC ＝ 2， DE ＝ AC ＝∵折叠∴ B 1D ＝ BD ＝ ， B 1P ＝ BP∴ B 1E ＝ B 1D ﹣ DE ＝ 1∴在 Rt △ B 1PE 中， B 1P 2＝ B 1E 2+PE 2，∴ BP 2＝ 1+（ 2﹣ BP ） 2，∴ BP ＝如图，若点 B 1 在 BC 右边，∵ B 1E ＝ DE+B 1D ＝ + ，∴ B 1E ＝ 4 在 Rt △EB 112＝B 122，P 中，BPE +EP∴ BP 2＝ 16+（BP ﹣2） 2， ∴BP ＝5故答案为：或5 应选：D ．4．【剖析】 先解方程组得 P 点坐标为（ 3a ﹣ 1，4a+2），则可确立点 P 为直线 y＝ x+上一动点，设直线y ＝ x+与坐标的交点为 A 、 B ，如图，则 A （﹣， 0），B （ 0， ），利用勾股定理计算出 AB ＝，过 M 点作 MP ⊥直线 AB 于 P ，交 ⊙ M 于 Q ，此时线段 PQ 的值最小，证Rt △ MBP ∽ Rt △ ABO ，利用相像比计算出MP ＝，则 PQ＝ ，即线段 PQ 的最小值为．【解答】 解：解方程组得，∴ P 点坐标为（ 3a ﹣ 1，4a+2），设 x ＝ 3a ﹣ 1， y ＝ 4a+2，∴ y ＝ x+ ，即点 P 为直线 y ＝ x+上一动点，设直线 y ＝ x+ 与坐标的交点为 A 、B ，如图，则 A （﹣， 0），B （ 0， ），∴ AB ＝＝，过 M 点作 MP ⊥直线 AB 于 P ，交 ⊙ M 于 Q ，此时线段 PQ 的值最小，∵∠ MBP ＝∠ ABO ， ∴ Rt △ MBP ∽ Rt △ ABO ，∴MP ：OA ＝BM ：AB ，即 MP ：＝：，∴MP ＝ ，∴PQ＝﹣1＝，即线段 PQ 的最小值为．应选： C．5．【剖析】连结 BD ，由四边形EBCD 的面积是△ ABE 面积的 3 倍得平行四边形ABCD 的面积是△ ABE 面积的 4 倍，依据平行四边形的性质得S△ABD＝ 2S△ABE，则AD＝2AE，即点E 为AD 的中点， E 点坐标为（0， 2）， A 点坐标为（﹣， 0），利用线段中点坐标公式k 的值．得 D 点坐标为，再利用反比率函数图象上点的坐标特点得【解答】解：如图，连结BD，∵四边形EBCD 的面积是△ ABE 面积的 3 倍，∴平行四边形ABCD 的面积是△ ABE 面积的 4 倍，∴ S△ABD＝ 2S△ABE，∴ AD＝ 2AE，即点 E 为 AD 的中点，∵ E 点坐标为（0， 2），A 点坐标为（﹣， 0），∴ D 点坐标为（， 4），∵极点 D 在双曲线y＝（x＞0）上，∴ k＝× 4＝6，应选：B．6．【剖析】将△ AMD 绕点 A 逆时针旋转60°获得△ AM’D’，MD ＝ M’D ’，易获得△ADD ’和△ AMM ’均为等边三角形，推出 AM＝MM ’可得 MA +MD +ME＝ D’ M+MM ’+ME ，共线时最短；因为点 E 也为动点，可适当 D’E⊥BC 时最短，此时易求得 D ’E ＝ DG+GE 的值；【解答】解：将△ AMD 绕点 A 逆时针旋转60°获得△ AM’ D ’，MD ＝ M’D ’，易获得△ADD ’和△ AMM ’均为等边三角形，∴ AM ＝MM ’，∴ MA +MD +ME＝D ’ M+MM ’ +ME，∴ D′ M、 MM ′、 ME 共线时最短，因为点 E 也为动点，∴当 D’ E⊥ BC 时最短，此时易求得D’ E＝DG +GE＝ 4+3 ，∴ MA +MD +ME 的最小值为4+3．应选：B．二、填空题．【剖析】如图作点D 对于 BC 的对称点 D′，连结 PD ′，ED′．由 DP ＝PD ′，推出 PD +PF ＝ PD′ +PF ，又 EF ＝ EA＝ 2 是定值，即可推出当 E、 F、P、D′共线时， PF+PD′定值最小，最小值＝ ED′﹣ EF．【解答】解：如图作点 D 对于 BC 的对称点 D ′，连结PD′， ED ′．在 Rt△EDD ′中，∵ DE ＝ 6，DD ′＝ 8，∴ ED′＝＝10，∵DP＝ PD′，∴PD+PF＝ PD′+PF，∵ EF＝ EA＝ 2 是定值，∴当 E、 F 、P、 D′共线时， PF+PD′定值最小，最小值＝ 10﹣ 2＝ 8，∴PF+PD 的最小值为 8，故答案为8．2．【剖析】不可以用全等、相像的判断和性质求得AC 的状况下，考虑结构直角三角形用勾股定理来求，故过点 C 作 AB 垂线 CF．因为△ ABD 三边确立，可用勾股定理列方程求得AB 边上的高 DE 的长．依据平行线间距离到处相等，即有 CF ＝DE ，从而求得 BF 和 AF，再在Rt△ ACF 顶用勾股定理求 AC．【解答】解：过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E，过点 C 作 CF ⊥AB 交 AB 延伸线于点 F ∴∠AED＝∠ BED＝∠ F＝90°设 AE＝ x，∵AB＝BC＝BD＝2，AD＝1∴BE＝ AB﹣ AE＝ 2﹣ x2 22 2 2＝BD 2∵在 Rt △ ADE 中， AE +DE＝ AD ，在 Rt △ BDE 中， BE +DE∴ DE 2＝ AD 2﹣AE 2＝BD 2﹣ BE 2得： 12﹣x 2＝ 22﹣（ 2﹣ x ）2解得： x ＝∴ DE 2＝ AD 2﹣AE 2＝12﹣（ ） 2＝∵ AB ∥ CD ∴ CF ＝ DE∴在 Rt △ BCF 中， BF ＝∴ AF ＝ AB+BF ＝ 2+ ＝∴在 Rt △ ACF 中， AC ＝3．【剖析】 由平行线的性质得∠ OAB ＝∠ OCD ，∠ OBA ＝∠ ODC ，两个对应角相等证明△OAB ∽△ OCD ，其性质得，再依据三角形的面积公式，等式的性质求出m ＝，线段的中点，反比率函数的性质求出k 的值为6．【解答】 解：如下图：∵ AB ∥ CD ，∴∠ OAB ＝∠ OCD ，∠ OBA ＝∠ ODC ， ∴△ OAB ∽△ OCD ，∴，若＝ m ，由 OB ＝ m?OD ，OA ＝ m?OC ，又∵ ， ，∴＝，又∵ S△OAB＝ 8， S△OCD＝ 18，∴，解得： m＝或m＝（舍去），设点A、 B 的坐标分别为（0， a），（ 0， b），∵，∴点 C 的坐标为（0，﹣a），又∵点 E 是线段BC 的中点，∴点 E 的坐标为（），又∵点 E 在反比率函数上，∴＝﹣＝，故答案为6．4．【剖析】依据菱形的性质获得AB＝ 1，∠ ABD＝ 30°，依据平移的性质获得A′ B′＝ AB ＝ 1，A′ B′∥ AB，推出四边形 A′ B′CD 是平行四边形，获得 A′ D＝ B′C，于是获得A'C+B'C 的最小值＝ A′ C+A′D 的最小值，依据平移的性质获得点 A′在过点 A 且平行于 BD 的定直线上，作点 D 对于定直线的对称点E，连结 CE 交定直线于A′，则 CE 的长度即为A'C+B'C 的最小值，求得 DE ＝CD，获得∠ E＝∠ DCE＝ 30°，于是获得结论．【解答】解：∵在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ ABC＝ 60°，∴ AB＝ CD ＝ 1，∠ ABD＝ 30°，∵将△ ABD 沿射线 BD 的方向平移获得△A'B'D '，∴ A′ B′＝ AB＝1， A′B′∥ AB，∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB＝ CD ，AB ∥ CD，∴∠ BAD＝ 120°，∴ A′ B′＝ CD， A′B′∥ CD ，∴四边形A′B′ CD 是平行四边形，∴A′D＝B′ C，∴ A'C+B'C 的最小值＝ A′ C+A′D 的最小值，∵点 A′在过点 A 且平行于BD 的定直线上，∴作点 D 对于定直线的对称点 E，连结 CE 交定直线于 A′，则 CE的长度即为 A'C+B'C 的最小值，∵∠ A′ AD＝∠ ADB ＝ 30°， AD＝ 1，∴∠ ADE＝ 60°， DH ＝ EH＝AD ＝，∴DE＝ 1，∴DE＝ CD，∵∠ CDE＝∠ EDB′ +∠ CDB＝ 90° +30°＝ 120°，∴∠ E＝∠ DCE＝ 30°，∴CE＝ 2×CD＝．故答案为：．5．【剖析】由题意 PA＝ AB＝ AC＝m，求出 PA 的最大值和最小值即可解决问题；【解答】解：∵ A（ 0， 1）， B（ 0， 1+m）， C（ 0， 1﹣ m）（ m＞0），∴AB＝ AC＝ m，∵∠ BPC＝ 90°，∴PA＝ AB＝ AC，∵D（﹣ 4，﹣ 2）， A（ 0， 1），∴ AD＝＝5，∵点 P 在⊙D 上运动，∴ PA 的最小值为5﹣，PA的最大值为5+，∴知足条件的m 的取值范围为：5﹣≤ m≤ 5+故答案为5﹣≤ m≤ 5+．6．【剖析】过 Q 作 QE⊥AB 于 E，在 EP 上截取 EF＝EQ ，连结 QF，依照全等三角形的性质，即可获得AF ＝ PE＝10（定值），依照△ EFQ 是等腰直角三角形，可得FQ 与 FB 的夹角一直为45°，从而获得当BQ⊥ FQ 时， BQ 的长最小，依据△BQF 是等腰直角三角形，即可获得BQ 的长度．【解答】解：如下图，过Q 作 QE⊥ AB 于 E，在 EP 上截取 EF ＝EQ，连结 QF，∵△ DPQ 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是矩形，∴DP＝ PQ，∠ A＝∠ PEQ ，∠ ADP ＝∠EPQ，∴△ ADP≌△ EPQ（ AAS），∴AP＝ QE＝ FE， AD＝PE ＝10，∴AF＝ PE＝ 10（定值），又∵△ EFQ 是等腰直角三角形，∴∠ QFE＝ 45°，即 FQ 与 FB 的夹角一直为45°，如图，当BQ⊥ FQ 时， BQ 的长最小，此时，△ BQF 是等腰直角三角形，又∵ QE⊥BF，∴BE＝ EF ＝ QE＝ AP，又∵ PE ＝ 10，∴ BE ＝ AP ＝＝ ，∴ BF ＝ 5，∴ BQ ＝ cos45°× BF ＝，即BQ的最小值为，故答案为：．三、解答题1．【剖析】（ 1）先结构出△ CDN ≌△ CBE （ SAS ），得出 CN ＝ CE ，∠ DCN ＝∠ BCE ，从而判断出△ FCN ≌△ FCE ，即可得出结论；（ 2）利用等式的性质得出∠ AHC ＝∠ ACG ，从而判断出△ ACH ∽△ AGC ，即可得出结论；（ 3）分三种状况， ① 当 HC ＝HG 时，判断出△ HCD ≌△ GHA （AAS ），得出 AH ＝ CD ＝ 2， HD ＝ AG ＝ 4，再判断出△ AFG ∽△ BCG ，即可得出结论；② 当 GC ＝GH 时，判断出△ GBC ≌△ HAG （ AAS ），得出 AG ＝ BC ＝ 2＝ AB ，从而判断出 AF 是三角形 BCG 的中位线，即可得出结论；③ 当 CG ＝ CH 时，先判断出△ CAG ≌△ CAH （SAS ），得出∠ DCF ＝∠ ACF ＝°，在 CD 上取点 M 使 DM ＝DF ＝ m ，得出 MF ＝ CM ＝ m ，再判断出 CM ＝ MF ，得出m+m＝ 2，即可得出结论．【解答】（ 1）证明：如图，延伸 AD 至 N ，使 DN ＝ BE ， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ CDN ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ CB ， ∴△ CDN ≌△ CBE （ SAS ），∴ CN ＝ CE ，∠ DCN ＝∠ BCE ， ∵∠ ECF ＝ 45°， ∴∠ DCF +∠ BCE ＝45°， ∴∠ DCF +DCN ＝ 45°＝∠ FCN ， ∴∠ FCN ＝∠ FCE ， ∵ CF ＝ CF ， ∴△ FCN ≌△ FCE ，∴ FN ＝ EF ，∴ △ AEF 的 周 长 为 AE+AF +EF ＝ AB ﹣ BE+AF+FN ＝ AB ﹣ BE +AF+DF +DN ＝ AB ﹣BE+AF+DF +BE ＝AB+AD ＝ 2AB ＝ 4 是定值；（ 2）∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠ CAD ＝∠ CAB ＝ 45°， ∴∠ CAH ＝∠ CAG ＝ 135°，又∵∠ DAC ＝∠ AHC +∠ ACH ＝ 45°，∠ ECF ＝∠ ACF +∠ ACH ＝ 45°， ∴∠ AHC ＝∠ ACG ，∴△ ACH ∽△ AGC ，∴，∴ AC 2＝ AG?AH ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴AC＝ 2，∴AG?AH ＝ 8；（3）① 当 HC＝HG 时，∴∠ HGC ＝∠ HCG ＝45°，∴∠ CHG ＝ 90°，∴∠ CHD +∠ AHG ＝ 90°，∴∠ CHD +∠ DCH ＝ 90°，∴∠ DCH ＝∠ AHG ，∵∠CDH ＝∠ HAG ＝ 90°∴△HCD ≌△ GHA （ AAS）∴ AH＝ CD＝2， HD ＝AG＝4，∵ AF∥ BC，∴△ AFG∽△ BCG，∴，∴，∴ AF＝，②当 GC＝GH 时，∴∠ CHG ＝∠ HCG ＝ 45°，∴∠ CGH ＝ 90°，∴∠ BGC+∠ AGH ＝ 90°，∵∠ BGC+∠ BCG＝ 90°，∴∠ BCG＝∠ AGH，∵∠ CBG＝∠ GAH＝ 90°，∴△ GBC≌△ HAG（ AAS），∴AG＝ BC＝ 2＝AB，∵ AF∥ BC，∴ CF＝ GF，∴ AF ＝BC＝ 1；③当 CG＝CH 时，∴∠ CGH ＝∠ CHG ，∵AC 是正方形 ABCD 的对角线，∴∠ DAC＝∠ BAC＝ 45°，∴∠CAG＝∠ CAH＝ 135°，∵CA＝ CA，∴△ CAG≌△ CAH（ SAS），∴∠ DCF ＝∠ ACF＝°如备用图，在CD 上取点 M 使 DM ＝ DF ＝m，连结 MF ，∴MF ＝CM ＝ m，∠ DFM ＝ 45°＝∠ CFM +∠ DCF ＝∠°，∴∠ CFM ＝°＝∠ DCF ，∴ CM ＝ MF ，∴m+m＝2∴ m＝2﹣2，∴AF＝ AD ﹣ DF ＝4﹣ 2综上所述：当△CGH 是等腰三角形时，AF 的值为或1或4﹣2．2．【剖析】（ 1）依据点 A ， B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的分析式，再利用配方法可求出极点 D 的坐标；（ 2）利用二次函数图象上点的坐标特点可求出点 B 的坐标， 过点 D 作 DE ∥ BC ，交抛物线于点 E ，则 S △BCE ＝S △BCD ，由点 B ， C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解 析式，由 BC ∥DE 联合点 D 的坐标可得出直线 DE 的分析式，再连结直线 DE 和抛物线的分析式成方程组，经过解方程组可求出点E 的坐标；（ 3）利用二次函数图象上点的坐标特点可求出点 M 的坐标，过点 M 作 MF ⊥直线 BC 于点 F ，交 y 轴于点 P ，过点 B 作 BN ⊥直线 BC ，交 y 轴于点 N ，由 OC ＝ OB 联合 BN ⊥直线 BC 可得出点 N 的坐标，由点 B ，N 的坐标， 利用待定系数法可求出直线 BN 的分析式，由 MF ∥BN 联合点 M 的坐标可得出直线 MF 的分析式，联立直线MF 和直线 BC 的分析式成方程组， 经过解方程组可求出点 F 的坐标，从而可求出 MF 的长度，由∠ PCF ＝45°， ∠ PFC ＝90°可得出△ PCF 为等腰直角三角形，从而可得出 PF ＝ PC ，联合点到直线之间垂直线段最短可得出当MF ⊥ BC 时，MP+ PC 获得最小值， 最小值为 MF 的长度，本题得解．2【解答】 解：（ 1）将 A （﹣ 1， 0）， B （3， 0）代入 y ＝ ax +bx ﹣3，得：，解得： ，2∴抛物线的分析式为y ＝ x ﹣2x ﹣ 3．∴极点 D 的坐标为（ 1，﹣ 4）．（ 2）当 x ＝ 0 时， y ＝ x 2﹣ 2x ﹣3＝﹣ 3，∴点 C 的坐标为（ 0，﹣ 3）． 过点 D 作 DE ∥ BC ，交抛物线于点 E ，则 S △ BCE ＝ S △ BCD ，如图 1 所示．设直线 BC 的分析式为y ＝ kx+c （ k ≠0），将 B （ 3， 0），C （ 0，﹣ 3）代入 y ＝ kx+c ，得：，解得：，∴直线 BC 的分析式为 y ＝ x ﹣ 3．∵ BC ∥ DE ，∴设直线 DE 的分析式为 y ＝ x+d ，将 D （ 1，﹣ 4）代入 y ＝ x+d ，得：﹣ 4＝ 1+d ，解得： d ＝﹣ 5， ∴直线 DE 的分析式为y ＝ x ﹣ 5．连结直线 DE 和抛物线的分析式成方程组，得：，解得：， ，∴在线段 BC 下方的抛物线上，存在异于点D 的点E ，使 S △ BCE ＝ S △ BCD ，点 E 的坐标为（ 2，﹣ 3）．（ 3）当 x ＝﹣ 时， y ＝x 2﹣ 2x ﹣ 3＝ ，∴点 M 的坐标为（﹣，）．过点 M 作 MF ⊥直线 BC 于点 F ，交 y 轴于点 P ，过点 B 作 BN ⊥直线 BC ，交 y 轴于点 N ，如图2 所示．∵ OB ＝ OC ， ∴∠ BCO ＝ 45°， ∴∠ BNC ＝ 45°＝∠ BCO ，∴ON ＝OC ＝3，∴点 N 的坐标为（ 0， 3）．设直线 BN 的分析式为 y ＝ nx+t （ n ≠0），将 B （ 3， 0），N （ 0，3）代入 y ＝ nx+t ，得：，解得：，∴直线 BN 的分析式为 y ＝﹣ x+3． 设直线 MF 的分析式为 y ＝﹣ x+q ，将 M （﹣， ）代入 y ＝﹣ x+q ，得： +q ＝ ，解得： q ＝，∴直线 MF 的分析式为y ＝﹣ x+ ．联立直线 MF 和直线 BC 的分析式成方程组，得：，解得：，∴点 F 的坐标为（，﹣），∴MF ＝ ＝ ．∵∠ PCF ＝ 45°，∠ PFC ＝ 90°， ∴△ PCF 为等腰直角三角形，∴ PF ＝PC ，∴当 MF ⊥ BC 时， MP+PC ＝ MP +PF ＝ MF 最小，最小值为 ．3．【剖析】（ 1）先依据一次函数分析式确立A （ 4， 0），B （ 0，﹣ 2），再利用待定系数法求抛物线分析式；而后解方程﹣x 2+ x ﹣ 2＝ 0 得 C 点坐标；（ 2）如图 2，先证明△ PDE ∽△ OAB ．利用相像比获得PD ＝2PE ．设 P （ m ，﹣ m 2+ m﹣ 2），则 E （ m ，m ﹣ 2）．再利用 m 表示出 PD+PE 获得 PD +PE ＝ 3× [﹣ m 2+ m ﹣ 2 ﹣（ m ﹣ 2） ]，而后依据二次函数的性质解决问题；（ 3）议论：当点 M 在直线 AB 上方时，依据圆周角定理可判断点 M 在△ ABC 的外接圆上，如图 1，因为抛物线的对称轴垂直均分 AC ，则△ ABC 的外接圆 O 1 的圆心在对称轴上，设圆心 O 1 的坐标为（，﹣ t ），依据半径相等获得（22﹣4）） +（﹣ t+2 ） ＝（ 2+t 2，解方程求出 t 获得圆心 O 1 的坐标为 （ ，﹣ 2），而后确立 ⊙O 1 的半径半径为 ．从而获得此时 M 点坐标；当点 M 在在直线 AB 下方时，作 O 1 对于 AB 的对称点 O 2，如图 2，经过证明∠ O AB ＝∠ OAB 可判断 O 在 x 轴上，则点 O 的坐标为 （ ，0），而后计12 2 算出 DM 即可获得此时 M 点坐标．【解答】 解：（ 1）令 y ＝＝ 0，解得 x ＝ 4，则 A （ 4，0）．令 x ＝ 0，得 y ＝﹣ 2，则 B （ 0，﹣ 2）；∵二次函数 y ＝的图象经过 A 、 B 两点，∴，解得∴二次函数的关系式为y ＝﹣ x 2+ x ﹣ 2；当 y ＝ 0 时，﹣x 2+ x ﹣ 2＝ 0，解得 x 1＝ 1， x 2＝ 4，则 C （ 1， 0）；（ 2）如图 2，∵ PD ∥ x 轴， PE ∥ y 轴， ∴∠ PDE ＝∠ OAB ，∠ PED ＝∠ OBA ． ∴△ PDE ∽△ OAB ．∴＝＝ ＝2，∴ PD ＝ 2PE ．设 P （ m ，﹣ m 2+ m ﹣2），则 E （ m ， m ﹣2）．∴ PD+PE ＝ 3PE ＝ 3× [ ﹣ m 2+ m ﹣2﹣（m ﹣ 2） ]＝﹣ m 2+6m ＝﹣（ m ﹣ 2） 2+6 ；∵ 0＜m ＜ 4，∴当 m ＝ 2 时， PD+PE 有最大值 6； （ 3）当点 M 在直线 AB 上方时，则点M 在△ ABC 的外接圆上，如图1．∵△ ABC 的外接圆 O 1 的圆心在对称轴上，设圆心O 1 的坐标为（，﹣ t ），∵ O 1B ＝ O 1A ，∴（） 2+（﹣ t+2） 2＝（ ﹣ 4）2+t 2，解得 t ＝ 2．∴圆心 O 1 的坐标为（ ，﹣ 2）．∴ O 1A ＝＝ ，即 ⊙ O 1 的半径半径为 ．此时 M 点坐标为（， ）；当点 M 在在直线 AB 下方时，作 O 1 对于 AB 的对称点 O 2，如图 2．∵ AO 1＝ O 1B ＝ ，∴∠ O 1AB ＝∠ O 1BA ． ∵ O 1B ∥ x 轴， ∴∠ O 1BA ＝∠ OAB ．∴∠ O 1AB ＝∠ OAB ， O 2 在 x 轴上，∴点 O 2 的坐标为（， 0）．∴ O 2D ＝1，∴ DM ＝＝ ．此时点 M 的坐标为（ ，）．综上所述，点 M 的坐标为（ ， ）或（ ，）．4．【剖析】（ 1）在 Rt△ABD 中，依照勾股定理可求得BD 的长，而后依照MD ＝ ED?cos∠MDE ， cos∠ MDE ＝ cos∠ADB ＝，由此即可解决问题．（ 2）① 可分为点 E 在 AD 上，点 E 在 AD 的延伸线上画出图形，而后再依照MC ＝ MD ，CM ＝CD、 DM ＝DC 三种状况求解即可；②当 t＝ 0 时，圆心 O 在 AB 边上．当圆心 O 在 CD 边上时，过点 E 作 EH∥ CD 交 BD 的延伸线与点H．先求得DH 的长，而后依照平行线分线段成比率定理可获得DF ＝ DH ，而后依照DF ＝ DH 列出对于t 的方程，从而可求得t 的值，故此可获得t 的取值范围．【解答】解：（ 1）如图 1 所示：连结ME ．∵AE＝ t， AD＝ 8，∴ED＝ AD﹣AE ＝8﹣ t．∵ EF 为⊙O 的直径，∴∠ EMF ＝90°．∴∠ EMD ＝90°．∴ MD ＝ ED?cos∠ MDE ＝．（ 2）① a、如图 2 所示：连结MC ．当 DM ＝ CD ＝ 6 时，＝6，解得t＝；b、如图 3 所示：当MC ＝MD 时，连结MC，过点 M 作 MN ⊥ CD，垂足为N．∵MC＝ MD ， MN⊥CD，∴DN＝NC．∵MN⊥ CD， BC⊥CD ，∴ BC∥ MN．∴M 为 BD 的中点．∴ MD ＝ 5，即＝5，解得t＝；c、如图 4 所示： CM ＝ CD 时，过点 C 作 CG⊥DM ．∵CM＝ CD， CG⊥ MD ，∴GD＝MD＝．∵＝，∴DG＝ CD＝．∴＝．解得： t＝﹣ 1（舍去）．d、如图 5 所示：当CD＝ DM 时，连结EM．∵AE＝ t， AD＝ 8，∴ DE＝ t﹣ 8．∵EF 为⊙O 的直径，∴EM ⊥DM ．∴ DM ＝ ED?cos∠ EDM ＝．∴＝ 6，解得：t＝．综上所述，当t＝或 t＝或 t＝时，△ DCM 为等腰三角形．② 当如图t＝ 0 时，圆心6 所示：当圆心O在AB边上．O 在 CD 边上时，过点 E 作EH∥ CD 交BD 的延伸线与点H．∵HE∥ CD，OF ＝OE，∴DF＝ DH．∵ DH ＝＝，DF＝10﹣t，∴＝ 10﹣ t．解得：t＝．综上所述，在整个运动过程中圆心O 处在矩形ABCD 内（包含界限）时，t 的取值范围为 0≤ t≤．5．【剖析】（ 1）由图 1 和图 2 直接确立出AD ；（2）先利用互余即可得出∠ BAP＝∠ DGA ，从而判断出△ ABP∽△ DGA 即可确立出函数关系式；（ 3）分三种状况利用等腰三角形的性质和勾股定理求出x 的值，即可求出y 的值．【解答】解：（ 1）如图，当点 P 在 AB 上挪动时，点P 到 PA 的距离不变，当点P 从 B 点向 C 点挪动时，点 D 到PA 的距离在变化，由图 2 知， AD＝ 10，（2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ ABP＝∠ BAD ＝ 90°，∵DG ⊥AP，∴∠ AGD＝ 90°，∴∠ ABP＝∠ DGA ，∵∠ BAP+∠ GAD ＝90°，∠ CAG+∠ADG ＝ 90°，∴∠ BAP＝∠ DGA ，∴△ ABP∽△ DGA ，∴，∵AB＝ 6， AP＝x，DG ＝ y， AD＝ 10，∴，∴ y＝（6＜x≤ 2）；即：图 2 中 C2段图象的函数分析式y＝（6＜x≤2）；（ 3）∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝ AB＝ 6， BC＝ AD＝ 10，∠ ABC＝∠ DCB ＝ 90°，当 AD＝AP 时，∵ AD＝10，∴ x＝ AP＝ 10，∴ y＝＝6，当 AD＝DP 时，∴ DP＝10，在 Rt△DCP 中， CD ＝ AB＝ 6， DP ＝10，∴ CP＝ 8，∴ BP＝ BC﹣ CP＝ 2，在 Rt△ABP 中，依据勾股定理得，x＝ AP＝＝＝2，∴ y＝＝＝3，当 AP＝ DP 时，点 P 是线段 AD 的垂直均分线，∴点 P 是 BC 的中点，∴BP＝ BC＝ AD ＝5，在 Rt△ABP 中，依据勾股定理得，x＝ AP＝＝＝，∴ y＝＝＝．6．【剖析】（ 1）将点 B 的坐标代入到抛物线的分析式中即可求得 a 值，从而求得其分析式；（ 2）利用两点坐标求得线段AB 的长，而后利用平行四边形的对边相等求得t＝ 5 时，四边形 ABOP 为平行四边形；若四边形ABOP 为等腰梯形，连结AP，过点 P 作 PG⊥AB ，过点 O 作 OH⊥ AB，垂足分别为G、H，依据△ APG≌△ BOH 求得线段OP＝GH ＝ AB﹣2BH ＝．（ 3）第一判断四边形ABOD是平行四边形， 而后确立S △DOC ＝× 5× 4＝10．过点P 作 PN ⊥ BC ，垂足为N ，利用△OPN ∽△ BOH获得 PN ＝t ，而后表示出四边形CDPQ的面积 S ＝S △ DOC ﹣S △OPQ ＝ 10﹣×（ 5﹣ 2t）×t ＝t 2﹣ 2 t+10 ，从而获得当 t ＝时，四边形 CDPQ 的面积 S 最小． 而后获得点 P 的坐标是 （﹣ 0），利用两点坐标公式确立 PQ 的长即可．【解答】 解：（ 1）把（ 1，0）代入 y ＝ a （ x+2） 2﹣ 4，得 a ＝．，﹣ 1），点 Q的坐标是 （﹣，∴ y ＝ （ x+2 ）2﹣ 4，即 y ＝ x 2+ x ﹣；（ 2）由题意得 OP ＝ t ，AB ＝ ＝ 5，若 OB ∥ AP ，即四边形 ABOP 为平行四边形时， OB ＝ AP ，且 OP ＝ AB ＝ 5，即当 t ＝5 时， OB ＝ AP ，若 OB 不平行于 AP ，即四边形 ABOP 为等腰梯形时， OB ＝AP ，连结 AP ，过点 P 作 PG⊥ AB ，过点 O 作 OH ⊥ AB ，垂足分别为 G 、 H ，∴△ APG ≌△ BOH ，在 Rt △OBM 中，∵ OM ＝ ，OB ＝1，∴BM ＝，∴OH ＝ ，∴ BH ＝ ，∴ OP ＝ GH ＝ AB ﹣ 2BH ＝，即当 t ＝时， OB ＝AP ；（ 3）将 y ＝ 0 代入 y ＝x 2+x ﹣ ，得x 2+x ﹣＝ 0，解得 x ＝1 或﹣ 5．∴ C （﹣ 5， 0）．∴ OC ＝5，∵ OM ∥ AB ， AD ∥ x 轴， ∴四边形 ABOD 是平行四边形， ∴ AD ＝ OB ＝ 1，∴点 D 的坐标是（﹣ 3，﹣ 4），∴S△DOC＝× 5× 4＝10，过点 P 作 PN⊥ BC，垂足为N．易证△ OPN∽△ BOH ，∴＝，即＝，∴ PN＝ t，∴四边形 CDPQ 的面积 S＝ S△DOC﹣ S△OPQ＝ 10﹣×（ 5﹣ 2t）×t＝t 2﹣ 2t+10 ，∴当 t＝时，四边形 CDPQ 的面积 S 最小，此时，点P 的坐标是（﹣，﹣ 1），点 Q 的坐标是（﹣， 0），∴ PQ＝＝．。
2020年江苏中考数学考前压轴题冲刺练习(含参考答案解析)
2020年江苏中考数学考前压轴题冲刺练习一、选择题（共6题）1．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+1 D．y＝x+2．如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD 交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（）A．S1+S2＝CP2B．AF＝2FD C．CD＝4PD D．cos∠HCD＝3．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD 绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）A．B．C．﹣1 D．2﹣5．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°6．如图，P是半圆O上一点，Q是半径OA延长线上一点，AQ＝OA＝1，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQR，连接OR．则线段OR的最大值为（）A．B．3 C．D．1二、填空题（共6题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①DE＝DF；②四边形CEDF的面积随点E、F位置的改变而发生变化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上结论正确的是（只填序号）．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P 是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为．第3题第4题4．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．5．如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为．第5题第6题6．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为．三、解答题（共6题）1．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx与x轴交于点A（10，0），点B （1，2）是抛物线上点，点M为射线OB上点（不含O，B两点），且MH⊥x轴于点H．（1）求直线OB及抛物线解析式；（2）如图1，过点M作MC∥x轴，且与抛物线交于C，D两点（D位于C左边），若MC＝MH，点Q为直线BC上方的抛物线上点，求△BCQ面积的最大值，并求出此时点Q的坐标；（3）如图2，过点B作BE∥x轴，且与抛物线交于E，在线段OA上有点P，在点H从左向右运动时始终有AP＝2OH，过点P作PN⊥x轴，且PN与直线OB交于点N，当M 与N重合时停止运动，试判断在此运动过程中△MNE与△BME能否全等，若能请求出全等时的HP长度，若不能请说明理由．3．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P在线段AC上以5cm/s 的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．4．在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD①请说明△ADB∽△OPB；②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由．（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接P A，点P在运动过程中，P A﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．5．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．6．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD ＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【答案与解析】一、选择题1．【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积＝AC×（|y B|+3）＝＝14；求出CD的直线解析式为y＝﹣x+3，设过B的直线l为y＝kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有7＝×（3﹣）×（+1），即可求k；【解答】解：由A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），∴AC＝7，DO＝3，∴四边形ABCD分成面积＝AC×（|y B|+3）＝＝14，可求CD的直线解析式为y＝﹣x+3，设过B的直线l为y＝kx+b，将点B代入解析式得y＝kx+2k﹣1，∴直线CD与该直线的交点为（，），直线y＝kx+2k﹣1与x轴的交点为（，0），∴7＝×（3﹣）×（+1），∴k＝或k＝0（舍去），∴k＝，∴直线解析式为y＝x+；故选：D．【点评】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．2．【分析】根据勾股定理可判断A；连接CF，作FG⊥EC于G，易证得△FGC是等腰直角三角形，设EG＝x，则FG＝2x，利用三角形相似的性质以及勾股定理得到CG＝2x，CF＝2x，EC＝3x，BC＝x，FD＝x，即可证得3FD＝AD，可判断B；根据平行线分线段成比例定理可判断C；求得cos∠HCD可判断D．【解答】解：∵正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，∴S1＝CD2，S2＝PD2，在Rt△PCD中，PC2＝CD2+PD2，∴S1+S2＝CP2，故A结论正确；连接CF，∵点H与B关于CE对称，∴CH＝CB，∠BCE＝∠ECH，在△BCE和△HCE中，∴△BCE≌△HCE（SAS），∴BE＝EH，∠EHC＝∠B＝90°，∠BEC＝∠HEC，∴CH＝CD，在Rt△FCH和Rt△FCD中∴Rt△FCH≌Rt△FCD（HL），∴∠FCH＝∠FCD，FH＝FD，∴∠ECH+∠FCH＝∠BCD＝45°，即∠ECF＝45°，作FG⊥EC于G，∴△CFG是等腰直角三角形，∴FG＝CG，∵∠BEC＝∠HEC，∠B＝∠FGE＝90°，∴△FEG∽△CEB，∴＝＝，∴FG＝2EG，设EG＝x，则FG＝2x，∴CG＝2x，CF＝2x，∴EC＝3x，∵EB2+BC2＝EC2，∴BC2＝9x2，∴BC2＝x2，∴BC＝x，在Rt△FDC中，FD＝＝＝x，∴3FD＝AD，∴AF＝2FD，故B结论正确；∵AB∥CN，∴＝，∵PD＝ND，AE＝CD，∴CD＝4PD，故C结论正确；∵EG＝x，FG＝2x，∴EF＝x，∵FH＝FD＝x，∵BC＝x，∴AE＝x，作HQ⊥AD于Q，HS⊥CD于S，∴HQ∥AB，∴＝，即＝，∴HQ＝x，∴CS＝CD﹣HQ＝x﹣x＝x∴cos∠HCD＝＝＝，故结论D错误，故选：D．3．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝，将B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，∴把y＝2代入，∴x＝，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选：A．4．【分析】在AB上截取AF＝AC＝2，由旋转的性质可得AD＝AE，由勾股定理可求AB＝2，可得BF＝2﹣2，由“SAS”可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，由直角三角形的性质可求线段CE长的最小值．【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝2﹣2∵∠DAE＝45°＝∠BAC∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为＝2﹣故选：D．5．【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作EA延长线AH，∵∠BAE＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′+∠A″＝∠HAA′＝60°，∵∠A′＝∠MAA′，∠NAE＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAE+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×60°＝120°，故选：D．6．【分析】将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，可得ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2，由直角三角形的性质可得EO＝RO，由三角形三边关系可得EO≤PO+EP ＝3，即可求解．【解答】解：将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，∴ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2∴EO＝RO，∵EO≤PO+EP＝3∴RO≤3∴OR的最大值＝故选：A．二、填空题1．【分析】连接CD．证明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB；在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴ED＝DF，故①正确；∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形CEDF＝S△ADC＝S△ABC＝定值，故②错误，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴CE+CF＝CE+AE＝AC＝AB，故③正确，∵AE＝CF，AC＝BC，∴EC＝BF，∴AE2+BF2＝CF2+CE2＝EF2，∵EF2＝2DE2，∴AE2+BF2＝2ED2，故④正确．故答案为①③④．2．【分析】方法1、过点A作BD的垂线AG，AG为定值；过点P作BD的垂线PE，只要PE最大即可，进而求出PE最大，即可得出结论；方法2、先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．【解答】方法1、解：如图，过点A作AG⊥BD于G，∵BD是矩形的对角线，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝5，∵AB•AD＝BD•AG，∴AG＝，∵BD是⊙C的切线，∴⊙C的半径为过点P作PE⊥BD于E，∴∠AGT＝∠PET，∵∠ATG＝∠PTE，∴△AGT∽△PET，∴，∴＝×PE∵＝＝1+，要最大，则PE最大，∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，∴最大值为1+＝3，故答案为3．方法2、解：如图，过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，∴，∵AB＝4，∴AE＝AB+BE＝4+BE，∴，∴BE最大时，最大，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，∴∠GME＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝5，∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，∴△BHC∽△BCD，∴，∴，∴BH＝，CH＝，∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，∴△BHG∽△BAD，∴＝，∴，∴HG＝，BG＝，在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，∴GE最大时，BE最大，∴GM最大时，BE最大，∵GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，∴GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，∴BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大＝BF，在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，∴BF＝FG﹣BG＝8，∴最大值为1+＝3，故答案为：3．3．【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG 都是矩形且OE＝OD＝OC＝2.5，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，∴B′H＝OE＝2.5，∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，∴CG＝B′E＝OH＝＝＝2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4，故答案为：4．4．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，5．【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出＝，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝，∵CG＝DG，CF＝FB，∴GF＝BD＝，∵AG⊥FG，∴∠AGF＝90°，∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，∴＝，∴＝，∴b2＝2a2，∵a＞0．b＞0，∴b＝a，在Rt△GCF中，3a2＝，∴a＝，∴AB＝2b＝2．故答案为2．6．【分析】以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC 为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【解答】解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC，O'D，∵CD⊥AP，∴∠ADC＝90°，∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠CAB＝60°，∴BC＝AB•sin60°＝4，AC＝AB•cos60°＝4，∴AO'＝CO'＝2，∴BO'＝＝＝2，∵O′D+BD≥O′B，∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝2﹣2，故答案为2﹣2．三、解答题1．【分析】（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．利用勾股定理构建方程组解决问题即可．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．证明△ACH是等腰直角三角形，四边形EFHC是矩形，求出EF即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠CEF＝∠BFO＝90°∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得（舍弃）或，∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．2．【分析】（1）将点A（10，0），点B（1，2）代入y＝ax2+bx中，可求y＝﹣x2+x，直线OB的解析式为y＝2x；（2）设M（m，2m），由已知可求C（3m，2m），将点C代入抛物线解析式可得m＝，即可求BC的直线解析为y＝x+，设Q（n，﹣n2+n），过点Q与BC垂直的直线解析式为y＝﹣x﹣n2+n，则两直线的交点为T（﹣n2+n﹣，n2+n﹣），QT＝|n2﹣8n+7|，当QT最大时，则△BCQ的面积最大；（3）函数对称轴x＝5，E（9，2），设P（t，0），则依次可求N（t，2t），H（5﹣t，0），M（5﹣t，10﹣t），BM2＝t2﹣8t+32，ME2＝t2﹣11t+89，NE2＝5t2﹣26t+85，MN2＝t2﹣75t+125，当BM＝MN，BE＝EN时，此时△BEN是等腰三角形，M是BN的中点，BN⊥ME，t+1＝10﹣t，，此时不成立；当BE＝MN，BM＝EN时，t2﹣8t+32＝5t2﹣26t+85，由于△＜0，t不存在．【解答】解：（1）将点A（10，0），点B（1，2）代入y＝ax2+bx中，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x，直线OB的解析式为y＝2x；（2）设M（m，2m），∵MC＝MH，∴C（3m，2m），∴2m＝﹣×9m2+×3m，∴m＝，∴C（7，），M（，），∴BC的直线解析为y＝x+，设Q（n，﹣n2+n），∴过点Q与BC垂直的直线解析式为y＝﹣x﹣n2+n，则两直线的交点为T（﹣n2+n﹣，n2+n﹣），∴QT＝|n2﹣8n+7|，∴当n＝4时，△BCQ面积的最大值，∴Q（4，）；（3）函数对称轴x＝5，∴E（9，2），设P（t，0），∴N（t，2t），∵AP＝2OH，∴H（5﹣t，0），∴M（5﹣t，10﹣t），∴BM2＝t2﹣8t+32，ME2＝t2﹣11t+89，NE2＝5t2﹣26t+85，MN2＝t2﹣75t+125，当BM＝MN，BE＝EN时，此时△BEN是等腰三角形，M是BN的中点，BN⊥ME，∴t+1＝10﹣t，，∴t＝，t＝，∴此时不成立；当BE＝MN，BM＝EN时，t2﹣8t+32＝5t2﹣26t+85，∴△＜0，∴t不存在；综上所述：在此运动过程中△MNE与△BME不能全等．3．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；（2）分A′B＝BC、A′B＝A′C两种情况，根据等腰三角形的性质解答；（3）根据题意画出图形，根据锐角三角函数的概念计算．【解答】解：（1）如图1，∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，当点A′落在边BC上时，由题意得，四边形AP A′D为平行四边形，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△APD∽△ABC，∵AP＝5x，∴A′P＝AD＝4x，PC＝4﹣5x，∵∠A′PD＝∠ADP，∴A′P∥AB，∴△A′PC∽△ABC，∴，即＝，解得：x＝，∴当点A′落在边BC上时，x＝；（2）当A′B＝BC时，（5﹣8x）2+（3x）2＝32，解得：．∵x≤，∴；当A′B＝A′C时，x＝．（3）Ⅰ、当A′B′⊥AB时，如图6，∴DH＝P A'＝AD，HE＝B′Q＝EB，∵AB＝2AD+2EB＝2×4x+2×3x＝5，∴x＝，∴A′B′＝QE﹣PD＝x＝；Ⅱ、当A′B′⊥BC时，如图7，∴B′E＝5x，DE＝5﹣7x，∴cos B＝，∴x＝，∴A′B′＝B′D﹣A′D＝；Ⅲ、当A′B′⊥AC时，如图8，由（1）有，x＝，∴A′B′＝P A′sin A＝；当A′B′⊥AB时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥BC时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥AC时，x＝，A′B′＝．4．【分析】（1）①由∠ABO＝90°和DB⊥PB可得∠DBA＝∠PBO，结合边长关系由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似即可证明结论．②过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，由AD∥OB平行可得∠DAB＝90°，而△ADB∽△OPB可知∠POB＝90°，由已知可求出AD．由Rt△DHO即可计算OD的长，③由△ADB∽△OPB可知，可求AD＝，由此可知D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，所以OD的最大值为OD过A点时最大．求出OA即可得到答案．（2）在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，构造△BOP～△POB′，可得＝P A﹣PB′≤AB'，求出AB’即可求出最大值．【解答】解：（1）①∵DB⊥PB，∠ABO＝90°，∴∠ADB＝∠CDP，又∵AB＝3，BO＝4，DB：PB＝3：4，即：，∴△ADB∽△OPB；②如解图（2），过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，∵AD∥OB，∠ABD＝90°，∴∠DAB＝90°，又∵△ADB∽△OPB，∴，∴AD＝，∵四边形ADHB为矩形，∴HD＝AB＝3，HB＝AD＝，∴OH＝OB+HB＝在Rt△DHO中，OD＝＝＝．③在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，∴OA＝5．由②得AD＝，∴D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，∴OD的最大值为OD过A点时最大，即OD的最大值为＝OA+AD＝5+＝．（2）如解图（4），在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，∵∠BOP＝∠POB′，＝，∴△BOP～△POB′，∴，∴＝P A﹣PB′≤AB'，∴∴有最大值为AB′，在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′＝＝，∴AB′＝＝＝，即：点P在运动过程中，P A﹣有最大值为，5．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADF，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论；（2）根据圆周角定理得到AD⊥BF，推出△ACB是等边三角形，得到∠ADB＝∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质得到结论；（3）设CD＝k，BC＝2k，根据勾股定理得到BD＝＝k＝10，求得＝2，BC＝AC＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠F AC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．6．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．。
江苏省无锡地区2019年中考数学选择填空压轴题专题4函数的动点问题(含答案)66
专题04 函数的动点问题例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD 的面积y（单位：cm2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．同类题型：1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y 关于x的函数图象是（）A． B．C．D．同类题型：1.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B 的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y 与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．同类题型：1.3 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．例2．如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC 向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AB－BC 向点C运动，到达点C停止，设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B． C．D．同类题型：2.1 如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE －ED－DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）A．AE＝12cm B．sin∠EBC＝7 4C．当0＜t≤8时，y＝72t2D．当t＝9s时，△PBQ是等腰三角形同类题型：2.2 矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P从点B出发以每秒2个单位长的速度沿BA－AD－DCD的方向运动到C点停止，动点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动到C点停止，假设P、两点同时出发，运动时间是t秒，y＝S△PBQ，则y与t的函数图象大致是（）A． B．C．D．同类题型：2.3 如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点．P、Q两点沿着B→C→D方向分别从点B、点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P、Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是（）A．B．C．D．例3．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P 作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B．C． D．同类题型：3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．同类题型：3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A ＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC （或边CB）于点Q．设AP＝x，当△APQ的面积为14 3 时，则x的值为（）A．2 21 B．2 21 或14 C．2或2 21 或14 D．2或14同类题型：3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB ∥x轴．直线y＝－x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么AD的长为____________．例4．如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，四边形DEFG为矩形，DE＝2 3 cm，EF＝6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B 与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C 与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为y cm2，运动时间xs．能反映y cm2与xs之间函数关系的大致图象是（）A．B． C．D．同类题型：4.1 如图，菱形ABCD的边长为1，菱形EFGH的边长为2，∠BAD＝∠FEH＝60°点C与点E重合，点A，C（E），G在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C⇒G方向平移至点A与点G重合时停止，设点C、E之间的距离为x，菱形ABCD与菱形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A． B．C．D．同类题型：4.2 如图，等边△ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB 与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．同类题型：4.3 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．参考答案例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD 的面积y（单位：cm2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．解：由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，又因为P点运动的速度为1cm/s，所以AB＝10×1＝10（cm），由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，所以a＝10＋9＝19；分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．由图②知S△ABD＝36，则12×9×BE＝36，解得BE＝8，在直角△ABE中，由勾股定理，得AE＝AB2－BE2＝6．易证△BAE≌△CDF，则BE＝CF＝8，AE＝DF＝6，AF＝AD＋DF＝9＋6＝15．在直角△ACF中，由勾股定理，得CA＝AF2＋CF2＝17，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36，a＋b＝19＋36＝55．同类题型：1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y 关于x的函数图象是（）A．B．C．D．解：∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FCE＝90°∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°AB＝BC＝4，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FCE ，∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC ＝BE FC， ∵BE ＝x ，FC ＝y ，∴EC ＝4－x ，则有44－x ＝x y， 整理后得y ＝－14x 2 ＋x 配方后得到y ＝－14（x －2）2 ＋1 从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为（2，1）．选C ．同类题型：1.2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2， ①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12 x ﹒2＝x （0≤x ≤3），②点P 在CD 上时，S △APE ＝S _(梯形AECD )－S _(△ADP )－S _(△CEP )， ＝12（2＋3）×2－12×3×（x －3）－12×2×（3＋2－x ）， ＝5－32x ＋92－5＋x ， ＝－12x ＋92， ∴y ＝－12x ＋92（3＜x ≤5）， ③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×（3＋2＋2－x ）×2＝－x ＋7， ∴y ＝－x ＋7（5＜x ≤7），选A ．同类题型：1.3 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP ＝x ，DQ ＝y ，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠BDC＝60°，∴∠BDQ＝∠BDP＝120°，∵∠QBP＝60°，∴∠QBD＝∠PBC，∵AP∥BC，∴∠P＝∠PBC，∴∠QBD＝∠P，∴△BDQ∽△PDB，∴DQBD＝BDPD，即y2＝2x，∴xy＝4，∴y与x的函数关系的图象是双曲线，选A．例2．如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC 向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AB－BC 向点C运动，到达点C停止，设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．解：由题得，点Q 移动的路程为2x ，点P 移动的路程为x ，∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝2， ①如图，当点Q 在AB 上运动时，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，则AQ ＝2x ，DQ ＝ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×3x ＝32x 2 （0＜x ≤1）， 即当0＜x ≤1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A 、B 排除；②如图，当点Q 在BC 上运动时，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，则CQ ＝4－2x ，EQ ＝23－ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×（23－3x ）＝－32x 2＋ 3 x （1＜x ≤2）， 即当1＜x ≤2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C 排除，而D 正确；选D ．同类题型：2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2 ），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝ 74C ．当0＜t ≤8时，y ＝ 72t 2D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形解：A 、分析函数图象可知，当点Q 到达点C 时，点P 到达点E 处， ∴BC ＝BE ＝2×8＝16cm ，ED ＝2×2＝4cm ，∴AE ＝AD －ED ＝BC －ED ＝16－4＝12cm ，故A 正确；B 、作EF ⊥BC 于点F ，如图，由函数图象可知，BC ＝BE ＝16cm ，BF ＝AE ＝12cm ，由勾股定理得，EF ＝47 cm ，∴sin ∠EBC ＝EFBE ＝4716＝74 ，故B 正确；C 、作PM ⊥BQ 于点M ，如图，∵BQ ＝BP ＝2t ，∴y ＝S △BPQ ＝12BQ ﹒PM ＝12BQ ﹒BP ﹒sin ∠EBC ＝12×2t ﹒2t ﹒74＝72t 2．故C正确；D 、当t ＝9s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如图所示，连接NB ，N C ．此时AN ＝14，ND ＝2，由勾股定理求得：NB ＝211 ，NC ＝229 ，∵BC ＝16，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．故D 错误； 选D ．同类题型：2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y=S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：①当0＜t ≤3时，△PBQ 是Rt △，y ＝12×t ×2t ＝t 2 ； ②当3＜t ≤7时，y ＝12×t ×6＝3t ； ③当7＜t ≤8时，y ＝12t （20－2t ）＝－t 2 ＋10t ； ④当8＜t ≤10时，y ＝12×8（20－2t ）＝80－8t ； 观察各选项可知，y 与t 的函数图象大致是选项D ．选D ．同类题型：2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离＝12 AB ＝4，到CD 的距离＝12AD ＝6， ∵点M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝6， ∴点Q 到达点C 的时间为6÷1＝6秒，点P 到达点C 的时间为12÷1＝12秒，点Q 到达点D 的时间为（6＋8）÷1＝14秒，①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×4＝12； ②6＜t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上， CP ＝12－t ，CQ ＝t －6，S △OPQ ＝S △COP ＋S △COQ －S △PCQ ，＝12×（12－t ）×4＋12×（t －6）×6－12×（12－t ）×（t －6）， ＝12t 2 －8t ＋42， ＝12（t －8）2 ＋10， ③12＜t ≤14时，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×6＝18； 纵观各选项，只有B 选项图形符合．选B ．例3．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，P 是对角线BE 上一动点，过点P 作直线l 与BE 垂直，动点P 从B 点出发且以1cm/s 的速度匀速平移至E 点．设直线l 扫过正六边形ABCDEF 区域的面积为S （cm 2 ），点P 的运动时间为t （s ），下列能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意得：BP ＝t ，如图1，连接AC ，交BE 于G ，Rt △ABG 中，AB ＝6，∠ABG ＝60°，∴∠BAG ＝30°，∴BG ＝12AB ＝3， 由勾股定理得：AG ＝62－32＝3 3 ，∴AC ＝2AG ＝6 3 ，当0≤t ≤3时，PM ＝ 3 t ，∴MN ＝2 3 t ，S ＝S △BMN ＝12MN ﹒PB ＝12﹒3t 2＝32t 2 ， 所以选项A 和B 不正确；如图2，当9≤t ≤12时，PE ＝12－t ，∵∠MEP ＝60°，∴tan ∠MEP ＝PM PE， ∴PM ＝ 3 （12－t ），∴MN ＝2PM ＝2 3 （12－t ），∴S ＝S _(正六边形)－S _(△EMN )，＝2×12（AF ＋BE ）×AG －12MN ﹒PE ， ＝（6＋12）×33－12×2 3 （12－t ）（12－t ）， ＝543－3（144－24t ＋t 2 ）， ＝－3t 2＋243t －90 3 ，此二次函数的开口向下，所以选项C 正确，选项D 不正确；选C ．同类题型：3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：①当0≤t ≤4时，S ＝12×t ×t ＝12t 2 ，即S ＝12t 2 ．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B 、C 错误；②当4＜t ≤8时，S ＝16－12×（8－t ）×（8－t ）＝－12t 2 ＋8t －16． 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A 错误．选D ．同类题型：3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为（ ）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14解：当点Q 在AC 上时，∵∠A ＝30°，AP ＝x ，∴PQ ＝x tan30°＝33x ， ∴S ＝12×AP ×PQ ＝12×x ×33＝36x 2＝14 3解得：x ＝221 或x ＝－221 （舍去），当点Q 在BC 上时，如下图所示：∵AP ＝x ，AB ＝16，∠A ＝30°，∴BP ＝16－x ，∠B ＝60°，∴PQ ＝BP ﹒tan60°＝ 3 （16－x ）．∴S ＝12AP ×PQ ＝32x 2＋83x ＝14 3 ， 解得：x ＝2（舍去）或x ＝14．选B ．同类题型：3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．解：①当AB ＞4时如图1，由图可知：OE ＝4，OF ＝8，DG ＝3 2 ，∴EF ＝AG ＝OF －OE ＝4∵直线解析式为：y ＝－x∴∠AGD ＝∠EFD ＝45°∴△AGD 是等腰直角三角形∴DH ＝GH ＝22DG ＝22×3 2 ＝3，∴AH ＝AG －GH ＝4－3＝1，∴AD ＝DH 2＋AH 2＝32＋12＝10 ；②当AB ＝4时，如图2，由图可知：OI ＝4，OJ ＝8，KB ＝3 2 ，OM ＝9，∴IJ ＝AB ＝4，IM ＝AN ＝5，∵直线解析式为：y ＝－x ，∴△KLB 是等腰直角三角形，∴KL ＝BL ＝22 KB ＝3，∵AB ＝4，∴AL ＝AB －BL ＝1，T 同①得，DM ＝MN ，∴过K 作KM ∥IM ，∴tan ∠DAN ＝KLAL ＝3，∴AM ＝DM tan ∠DAN ＝DM3 ，∴AN ＝AM ＋MN ＝43DM ＝5， ∴DM ＝MN ＝154， ∴AM ＝AN －MN ＝5－154＝54， ∴AD ＝AM 2＋DM 2＝5104， 故答案为10 或5104． 例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2 ，运动时间xs ．能反映y cm 2 与xs 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：已知∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，∴AB ＝4，由勾股定理得：AC ＝2 3 ，∵四边形DEFG 为矩形，∠C ＝90，∴DE ＝GF ＝2 3 ，∠C ＝∠DEF ＝90°，∴AC ∥DE ，此题有三种情况：（1）当0＜x ＜2时，AB 交DE 于H ，如图∵DE ∥AC ，∴EH AC ＝BE BC ， 即EH 23＝x ﹒12 ，解得：EH ＝ 3 x ，所以y ＝12﹒3x ﹒x ＝32x 2，∵x y 之间是二次函数，所以所选答案C 错误，答案D 错误，∵a ＝32 ＞0，开口向上；（2）当2≤x ≤6时，如图，此时y ＝12×2×23＝2 3 ，（3）当6＜x ≤8时，如图，设△ABC 的面积是s 1 ，△FNB 的面积是s 2 ，BF＝x－6，与（1）类同，同法可求FN＝3X－6 3 ，∴y＝s1－s2，＝12×2×23－12×（x－6）×（3X－6 3 ），＝－32x2＋63x－16 3 ，∵-32＜0，∴开口向下，所以答案A正确，答案B错误，选A．同类题型：4.1 如图，菱形ABCD的边长为1，菱形EFGH的边长为2，∠BAD＝∠FEH＝60°点C与点E重合，点A，C（E），G在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C⇒G方向平移至点A与点G重合时停止，设点C、E之间的距离为x，菱形ABCD与菱形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A． B． C．D．解：由菱形ABCD 、EFGH 边长为1，2可得：AC ＝2AB ×sin30°＝ 3 ，EG ＝2 3（1）当菱形ABCD 移动到点A 与点E 重合的过程，即0≤x ≤ 3 时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为：x ，2×x 2×tan30°＝3x 3∴y ＝12﹒x ﹒3x 3＝36x 2 （2）当菱形ABCD 移动到点C 与点G 重合的过程，重合部分的菱形面积不变，即3＜x ≤2 3 时，y ＝S 菱形ABCD ＝12×1×3＝32； （3）当菱形ABCD 移动到点A 与点G 重合的过程，即23＜x ≤33时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为：3 －x ，2×3－x 2×tan30°＝3(3－x )3y ＝12×（3－x ）×3(3－x )3＝36（3－x ）2 ． 由（1）（2）（3）可以看出图象应该是y ＝36x 2 图上像0≤x ≤ 3 时的部分，y ＝32图象上3＜x ≤2 3 时的部分，y ＝36（3－x ）2 图象上23＜x ≤33时的部分组成．选D ．同类题型：4.2 如图，等边△ABC 的边AB 与正方形DEFG 的边长均为2，且AB 与DE 在同一条直线上，开始时点B 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点B 与点E 重合为止，设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，当B 从D 点运动到DE 的中点时，即0≤x ≤1时，y ＝12×x ×3x ＝32x 2 ． 当B 从DE 中点运动到E 点时，即1＜x ≤2时，y ＝3－12（2－x ）×3（2－x ）＝－32x 2＋23x － 3 由函数关系式可看出D 中的函数图象与所求的分段函数对应．选D ．同类题型：4.3 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F ⇒H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：DF ＝x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为yy ＝12DF 2＝12x 2（0≤x ＜ 2 ）；②y ＝1（2≤x ＜2 2 ）；③∵BH ＝3 2 －x∴y ＝12BH 2＝12x 2－32x ＋9（22≤x ＜3 2 ）．综上可知，图象是选B．。