八年级数学下册5.3分式的加减法第2课时异分母分式的加减法试题北师大版
北师大版八年级数学5.3分式的加减(2)
课时课题：第五章 第3节 分式的加减 第2课时 课型：新授课 教学目标：1.理解并掌握异分母分式加减法的法则.2.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力.3.能解决一些简单的实际问题，进一步体会分式模型的作用.教学重点与难点：重点：异分母分式的加减法运算.难点：异分母分式的通分和分式的混合运算.教法及学法指导：教法：通过师生共同研究探讨，体现以教为主导、学为主体、练为主线的教学过程，在自主探究与合作交流的过程中真正有效的理解和掌握知识.学法：由于异分母分式的加减与异分母分数的加减类似，因此学生学会运用比较、类比的学习方法记忆、理解知识,然后采用练习法以达到巩固、熟练知识的目的.课前准备：多媒体课件. 教学过程：一、交流回顾，铺平道路1、复习同分母分式相加减师:同学们，同分母分式加减法的法则是什么？ 生:(齐答)分母不变，把分子相加减.师:法则都记住了，不知运用如何，现在我们就来比比看！（投影出示）计算:（1）3125a a a +-；（2)x y x y x y +++；3）a b a b b a+-－. （三位学生黑板演算，其他学生在练习本上独立完成，学生完成后利用课件展示完整的解题结果．）【答案：(1)3125312510=a a a a a +-+-=；(2)1y x y x x y x y x y ++==+++；(3)=a b a b b a+-－ 1a b a ba b a b a b--==---.】 设计意图：学生对同分母分式加减运算掌握较好，加之三个题目较简单，学生们都能正确、迅速完成.通过本环节，即复习回顾了上节课所学的知识，同时又为本节内容作铺垫.2、复习通分的有关知识 师：都做对了，看样同分母分式相加减同学们掌握的很好，那么异分母分式如何加减呢？ 生：（脱口而出）先化成同分母的.师:对，异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程称为什么？ 生：（齐答）分式的通分.师：那么分式如何通分？通分时需要注意什么？（教室安静下来，学生思考.）生1：先确定最简公分母，然后分子、分母都乘以一个适当的整式. 生2：分式通分不能改变分式本身的大小.生3：分式分母是多项式时，如果能分解因式的一定要先分解因式.生4：确定最简公分母时，先取各个分母系数的最小公倍数，再取各分母所有字母因式的最高次幂的积.师：同学们说的很好，现在就把下面的分式通分.（投影出示）（1）21,,243y x x xyy ；（2）11,33x x +-；（3）211,42a a --. （学生独立完成，完成后出示解题结果，教师重点对后两题进行点评.）【答案：(1)23226622612y y y y x x y xy ⋅==⋅；22224433412x x x x y y x xy ⋅==⋅；21133==44312y y xy xy y xy ⋅⋅. (2)1+3x =()()3+33x x x --=239x x --；()()13=333x x x x +--+=2+39x x -.(3) 2211=44a a --；12a =-()()222a a a +-+22=4a a +-.】 设计意图：很多同学对最简公分母还不是很熟悉，或者用起来还没到得心应手的地步，在做练习之前，由同学们合作交流，总结一下如何通分，在此指导下，大多数学生达到了复习分式通分的目的．也为后面进行复杂的异分母加减的学习打下扎实的基础．二、巧设情景，引入课题（投影出示）盲道是盲人朋友的生命线，根据规划设计，我市准备修建一条长1120米的盲道. 由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x 米，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了多少天？（学生思考）师：先来回答老师的几个问题，原计划修建这条盲道需要多少天？生1：（轻松）1120x天． 师：实际每天修建盲道多少米？ 生：（齐答）()10x +米．师：实际每天修盲道()10x +米，那么实际修建这条盲道用了多少天？生2: （思考片刻）实际修建这条盲道用了112010x +天. 师：实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了多少天，就是指原计划修建这条盲道用的天数比实际修建这条盲道用的天数多多少天，那么如何列算式？生3：（很快）用原计划的天数减去实际的天数.生4：（紧接着说）11201120+10x x -．师：对，那我们如何计算11201120+10x x -呢？今天我们就来学习异分母分式的加减法. 【板书课题：3.3 分式的加减（2）】设计意图：通过实例，提高学生的数学阅读能力,运用分式的加减运算解决实际问题的能力.同时这个题目和学生一起进行充分的讨论，交流，真正找到问题的“症结”所在，从而引出本节课所学内容．三、合作探究，形成能力探究1：类比、归纳异分母分式加减法法则师：11+23等于多少？生：（齐答）56． 师：大家都会计算，我还是想问问11+23是如何计算的？生1：简单，先通分化成32+66，然后分母不变，分子相加.师:那位同学能说一说异分母分数加减法法则？生2：老师、老师，我说.异分母分数相加减，先通分，化为同分母分数，然后再按同分母分数加减法法则进行计算.师：（微笑）说的很好，大家类比异分母分数加减，尝试计算：241a a-. （学生快速完成）生3：（兴高采烈）我做出来了，结果是241a -. 师：就请你和大家分享一下你的做法吧.生3：同异分母分数加减法一样，先通分化成同分母分式，然后再按同分母分式加减法进行计算.师：那位同学能总结出异分母分式加减法法则？生4：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.【板书：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．】师：异分母分式相加减的关键是什么？ 生：（齐答）通分．师：好，大家来计算11a b+，在来体会一下异分母分式相加减的方法. 生5：（独立完成后）等于a bab+． 设计意图：学生通过回忆异分母分式加减法法则，类比尝试计算一组简单的异分母分式加减，归纳出异分母分式加减法法则，并强调进行异分母相加减的关键是先通分.探究2：例题讲解师：简单的异分母分式相加减，同学们基本上不会出现错误，那么复杂的呢？现在试着完成下面两道题目.（投影出示）（1）1133x x --+；（2）22142a a a ---. （学生自主尝试完成，小组内交流成果，小组组长负责搜集本组组员出现错误情况,利用实物投影展示并及时纠正.最后教师利用课件出示正确解题过程，规范学生解题过程.）【答案：（1）13x -－13x +=3(3)(3)x x x +-+－3(3)(3)x x x --+=(3)(3)(3)(3)x x x x +---+=269x -；（2）21142a a ---=12(2)(2)(2)(2)a a a a a +--+-+=1(2)(2)(2)a a a -+-+=1(2)(2)a a a ---+=－214a a +-.】 师：现在我们在来计算11201120+10x x -是不是就简单多了. 生：（板演）()1120112011200+1010x x x x -=+． 设计意图：学生积极参与小组交流活动，通过兵教兵的方式解决疑难问题，使学生真正掌握异分母分式相加减，培养了学生主动参与意识.数学来源于生活，又服务于生活，用学到的知识解决开始时提出的问题，首尾呼应,并检查学生对异分母分式加减的掌握情况,做到学以致用．探究3：分式混合运算（投影出示）用两种方法计算：234()22x x x x x x--⋅-+. （小组合作完成，部分同学仅能用一种方法完成，教师利用课件出示两种解题过程，帮助学生分析.）解法一： 解法二：234()22x x x x x x --⋅-+ 234()22x x x x x x---+ =（3(2)(2)(2)x x x x ++-－(2)(2)(2)x x x x -+-）·24x x-(2)x x -⋅－(2)(2)(2)x x x x x ⋅+-+⋅22(36)(2)x x x x +--·(2)(2)x x +- =()()322x x +--=362x x +-+=28x +．生: （齐答）第二种.师：对，分式进行混合运算时，利用运算律可以使运算简单，如果不能利用运算律时，我们如何计算呢？生1：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的.师：比比，谁算的又快、又对.（投影出示）21111x x x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭． （大部分学生都能快速、准确完成．）师：选一个你喜欢的数代替x 计算出21111x x x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭的值，你选什么数？值是多少? 生2：我选的数是2，结果是1. 师：有没有选的数是1的.生3：老师，我选的是1，结果是0. 生4：（笑笑）不能选1，1x =分式无意义.师：这位同学考虑问题很细致，不能选1，除了1，还有那些数也不能选？ 生：（你一句，我一句）-1，还有0. 师：（总结）分式化简求值时：要先把原式化为最简，再代入求值；字母的值一定要使分式有意义.设计意图:通过一题两解的探讨，帮助学生归纳分式混合运算的方法，让学生体会利用运算律进行分式混合运算的简便性,最后设计巩固训练了分式混合运算和分式的化简求值，通过字母取值的讨论帮助学生进一步理解分式有意义的条件，体现了数学的严谨性．四、随堂练习，学以致用（投影出示）1.下列运算正确的是（ ）A 、1a b a b b a -=-- B 、m n m n a b a b --=- C 、11b b a a a +-= D 、2221a b a b a b a b +-=--- 2．一项工程，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，甲乙两人一起完成这项工程需 天完成. 3.计算： (1)32b a a b +； (2)21211a a ---； (3)2221142a a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭； (4)22244(4)2x x x x x +--÷+． 【答案：1.D ；2.ab a b +；3. (1)原式=22236b a ab+；(2)原式=231a a +-；(3)原式=1a a +；(4)原式=2x -.】设计意图：通过随堂练习帮助学生对异分母分式的加减运算和分式的混合运算进一步熟悉和强化，对学生出现的问题及时纠正点评，以达到熟能生巧的地步.五、师生交流，知识升华师：同学们，通过本节课的学习，谈一谈你们有那些收获？生1：我学会了异分母分式的加减运算.生2：异分母分式的加减法和异分母分数的加减法类似，都要先通分，化成同分母的. 生3：分式混合运算的运算顺序和有理数混合运算相同：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的.生4：利用运算律可以使分式混合运算简单.生5：除了学习有关数学知识外，我还知道了盲道对盲人的重要性，因此我们要爱护身边的公共设施.……… 设计意图：通过学生交流可以归纳总结出本节课所学到的知识，使学生形成完整的知识网络，培养学生克服困难的自信心、意志力，并获得成功的体验，有助于学生全面认识数学的价值．六、分层挑战，当堂达标A 组：1.（2012•安徽）化简211x xx x+--的结果是（ ） A 、1x + B 、1x - C 、x - D 、x2．已知2x y =，则11y x x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于 . 3.计算：（2012•湛江）2111xx x ---. B 组：4.（2012•湖南常德）化简：21122111x x x x ⎛⎫⎛⎫+÷+- ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭． 5．（2012•六盘水）先化简代数式22321124a a a a -+⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值．C 组：6．（2012•广州）已知11a b+a b ≠），求()()a b b a b a a b ---的值．（学生可根据掌握情况选择适合自己的题组独立完成,完成后教师出示答案，同桌互批并及时纠正.）【答案：1.D ；2.12；3.原式=211x -；4.原式=2x ；5.原式=21a a --，当0a =时，原式=2；6.原式】设计意图: 通过学生的反馈测试，能全面了解学生本节课掌握情况，以便能及时地进行查缺补漏,由于学生的学习基础与能力有较大的差异，对不同层次的学生提出不同的要求，可使每个学生都能在原来的基础上获得较大的发展，真正做到面向全体.七、布置作业，课外延伸必做题：课本 第84页 习题3.5 第1题.选做题：（2012•重庆）先化简，再求值：223422112+1x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中x 是不等式组40251x x +>⎧⎨+<⎩的整数解．【答案：原式=11x x -+，解不等式组40251x x +>⎧⎨+<⎩的解集为：-4-2x <<，其整数解为﹣3，当x=﹣3时，原式=2.】设计意图：学生可根据自己的学习情况选择适合自己的作业，这样做即减轻了学困生作业的过重负担，增添了他们完成作业的积极性，为他们自主完成作业增加了信心和乐趣；同时也能比较系统地掌握巩固本节课所学习的内容．板书设计：教学反思：这节课是在简单的异分母分式相加减的基础上, 进一步学习了复杂的异分母分式相加减的方法，通过学习学生对分式的加减法有了一个比较清楚地了解，知道了异分母分式相加减的法则,那就是先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，学生对找最简公分母的方法也有了更深入的了解，从而在异分母加减中能够做到得心应手，成功之处体现为以下两个方面：1.相信学生并为学生提供充分展示的机会.本节课通过一连串问题的引导，让学生在自主、合作、探究的基础上完成，从而展示了他们的才华，并且在此过程中培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，了解学生思维的误区，以便更好地指导整节课的教学工作.2.重视培养学生良好的学习习惯.异分母的加减法，综合性较强，涉及知识面较广，运算过程中很容易出错，因此在解题时要求书写过程完整、步骤详细，教学时让学生在黑板上板演，及时分析、纠正学生出现的问题；关于分式的混合运算问题，我就通过适当讲解一些常用技巧并搭配习题演练，从而做到夯实基础的目的.再教建议：在小组讨论时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了组内其他成员的思考，从而掩盖了其他学生的疑问；在巡视引导时应多注意对困难学生的指导与帮助.。
分式的加减法课件数学北师大版八年级下册
x －y
4 x－y
4
.
x＋y x－y x＋y
a＋2b
b
2a
＋
－
b－a a－b b－a
a＋2b
b
2b
(3)
＋
－
. a＋2b
b
2a
b－a
b－a a－b b－a
－
－
1.
b－a b－a b－a b－a
感悟新知
1-1.计算： (1)
－
－
－
知1－练
；
2－x
x－2
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 .
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区分：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变
形之后每个分式的值都不变 .
解：原式＝
＝－
＝－1；
x－2
x－2
(2)
－ 1；
+
a2－1 （a＋1）（a－1）
原式＝
＝
＝a－1；
a＋1
a＋1
感悟新知
知1－练
(3)
( －)
－
；
(－)
2x－2y
2（x－y）
2
解：原式＝
＝
＝
；
（x－y）2 （x－y）2 x－y
+ － －
(4) + － .
【北师大版】初二数学下册《5.3.3异分母分式的加减》习题课件(附答案)
17．已知a，b为实数，且ab＝1，设M＝ a ＋ b ，
a＋1 b＋1 1 1 N＝ ＋ ，试确定M，N的大小关系． a＋1 b＋1
解：方法一：因为ab＝1， （ a b＋1）＋（ b a＋1） ab＋a＋ab＋b 所以M＝ ＝ （a＋1）（b＋1） ab＋a＋b＋1 a＋b＋2 ＝ ＝1， a＋b＋2 b＋1＋a＋1 a＋b＋2 a＋b＋2 N＝ ＝ ＝ ＝1. （a＋1）（b＋1） ab＋a＋b＋1 a＋b＋2 所以M＝N .
13.【 中考•乐山】化简：
2a 2＋2a a 2－a 2a ( 2 － 2 )¸ . a －1 a －2a＋1 a－1
2a 2＋2a a 2－a 2a － 2 )¸ . 解： ( 2 a －1 a －2a＋1 a－1 2（ a a＋1） （ a a－1） 2a ＝[ － ]¸ （a＋1）（a－1） （a－1） 2 a－1 2a a 2a ＝( － )¸ a－1 a－1 a－1 a 2a ＝ ¸ a－1 a－1 a a－1 ＝ • a－1 2a 1 ＝ . 2
14.【 中考•莆田】先化简，再求值：
x＋2 x－1 1 － 2 ¸ ，其中x＝－1. x－2 x －4 x＋2 x＋2 x－1 原式 ＝ 解： － × ( x＋2) x－2 （x＋2）（x－2） x＋2 x－1 3 ＝ － ＝ . x－2 （x－2） x－2 3 3 当x＝－1时， ＝ ＝－1. x－2 －1－2
方法总结： 多个分式相加减时，要先观察其特征，如 果有同分母的，可以把同分母分式先加减； 如果有同分子的，也可以把同分子分式先 加减．
技巧2 先约分，再通分 a 4＋a 3 b－a 2 b2－ab3 a 3－ab2 － 2 . 21．计算： 3 3 2 2 3 a b＋ab ＋2a b a b－b
北师版八年级数学下册课件 第五章 分式与分式方程 分式的加减法 第2课时 异分母分式的加减法(1)
D．（x＋23）2 ＝（x－22）x－（2x＋3）2
3．(8 分)将下列各分式通分：
x (1)6ab2
，9ay2bc
；
解：最简公分母为 18a2b2c， ∴通分分别为183aa2cbx2c ，182ab2by2c
a－1 (2)a2＋2a＋1
(2)答案不唯一，如2ab＋－ba ，aa＋＋4bb
解：(1)T＝a（（aa－－11））2 －（a＋a 1） ＝a－a 1 －a＋a 1 ＝a2－（aa（－a1－）1（）a＋1） ＝aa（2－aa－2＋1）1 ＝a（a1－1） (2)由正方形的面积为 9，得到 a＝3，则 T＝16
12．(12 分)(教材 P123 例 6 变式)已知关于 x，y 的二元一次方程组2yx－＋xy＝＝m7，m， 试求代数式x＋x2y ＋2yy－x ＋x2－2y42 y2 的值．
(2)已知分式 M，N 是一对“整合分式”，且 M＝aa－＋2bb ，直接写出两个符合题意 的分式 N.
解：(1)是，理由如下： ∵－x22x－2－44x ＋x－x22 ＝－2x2－4xx＋2－x42（x＋2） ＝xx32－－44x ＝x， 满足一对“整合分式”的定义， ∴－x22x－2－44x 与x－x22 是一对“整合分式”
(3)x－y y －x22－xyy2 .
解：原式＝（x－y（y）x＋（yx）＋y） －（x－y）2x（y x＋y） ＝（x－－yy（）x（－xy＋）y） ＝－x＋y y
一、选择题(每小题6分，共12分) 7．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( B )
A．① B．② C．③ D．④
8．(驻马店月考)如图，若 x 为正整数，则表示（ x2＋x＋4x2＋）42 －x＋1 1 的值的点落在( B ) A．① B．② C．③ D．④
北师版八年级下册数学第5章 分式与分式方程 异分母分式的加减法
整1数)＋，其1结＋果为1__＋____＋_____1____． 1 3 2 4 3 5 n(n＋2)
3n2＋5n 4(n＋1)(n＋2)
知1－练
感悟新知
知识点 2 分式加减的应用及分式混合运算
知2－练
例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km,其中小丽走的是 平路，骑车速度是2vkm/h.小刚需要走1km的上坡路、 2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下 坡路上的骑车速度为3vkm/h.那么 (1)小刚从家到学校需要多长时间？ (2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
知1－讲
特别解读： 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简 公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积.
感悟新知
例1 计算：
(1) (32) (3a) 15 ; a 5a
1 1; x3 x3
知1－练
2a 1
a2
4
a
. 2
解：(1) 3 a 15 15 a 15 15 a 15 a 1 ;
(2)分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
课堂小结
异分母分式的加减 法
某学生化简分式出1现了＋错误1 ，解答过程如下：
原式
x＋1 x2－1
＝（x＋1）1（x－1）＋（x＋1）2（x－1）(第一步)
＝（x＋1）1＋（2 x－1）(第二步)
＝
3 x2－1
.(第三步)
课堂小结
异分母分式的加减 法
C．D.
－x x＋2
x x－ 2
知1－练
感悟新知
3. 计算的结a2＋果2是ab(＋b2 －) b
A
a2－b2 a－b
数学北师大版八年级下册分式的加减法(异分母)
分式的加减法（二）【学习目标】会找最简公分母，能进行分式的通分；自主学习填一填通分为：5231+ 猜想：异分母分式如何进行加减？ 如：（）（）（）（）通分为：将=+⨯⨯+a a a a 413413通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程叫做通分. 异分母分式通分时，通常取最简单的公分母作为它们的共同分母.简称最简公分母。
最简公分母：各分式分母中的系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。
通分（求分式的最间公分母）有以下几种情况：2.数字与字母：数字取各分式分母中系数最小公倍数，字母取各分式分母中所有出现的相5.3.2 （）（）（）（）（）（）（）（）（）==⨯⨯-21-4=21-43=+a a 413（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）=+=⨯⨯+⨯⨯5231尝试训练:找出下列各分式的最简公分母：冲击中考 1.分式35,3,xa bx c axb -的最简公分母是（ ） A.5abx B.15ab 5x C.15abx D.15ab 3xba 111，）（ba ab 23)3(，axx x 2,31)5(2-962,91)6(22++-a a a xxx 24,41)7(2--xyy x x y y x 22)4(+，，aa 1422，）（2322261,4,1)11(61,41)10(1,1)9(,238ab a y ab xy yb a b ac ab ba b a --+--）（ba a +112，）（2．化简11123x x x++等于（ ） A ．12x B ．32x C ．116x D ．56x3．计算：23124ab a+=________．分式的加减法（三）【学习目标】1、理解并掌握异分母分式加减法的法则；2、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。
自主学习在上节课熟练的掌握找各分式的最简公分母后，这节课要学会将分式通分后再进行加减5.3.3运算异分母分式加减法的法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算． 用式子表示为：例1尝试训练：2211abbb a -）（例2acad bc ac ad ac bc c d a b ±=±=±96)3)(3(()3)3)(3()3)(3(3313122-=+--+=+--+-+=+--x x x x x x x x x x x 解：原式）（1112+--a a a ）（()()()21)2)(2(-)2)(2(2)2)(2()2)(2(221422+=+-=+-+-=+--+-=---a a a a a a a a a a aa a a 解：原式315(1)5a a a-+51551515515515==-+=-+=a a a a aa a 解：原式尝试训练：212111a a ---）（ 121111122+-+-++x x x x ）（想一想：还记得分数与整数的加减运算吗？如：例3尝试训练：x x x --+-+313111）（ 233212-+-x xx x ）（111)1)(1(1)1(111222+=++--+=--+=+-+x x x x x x x x x x x x 解：原式=+143=+51-21（3）先化简，再求值：已知的值求r r r r r r r ++-++++=111222,1002冲击中考：先化简，后求值：142232-=-∙+--x xx x x x x ，）（。
北师大版数学八年级下册5.分式的加减混合运算课件
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
同分母分式的加减法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
b c bc aa a
异分母分式的加减法则
异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后 再按同分母分式的加减法法则进行计算.
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
（1）原计划修建这条盲道需要多少天?实际修建这条 盲道用了多少天?
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?
解：1
工作时间=
工作总量 工作效率
原计划修建这条盲道需要：1120 天，实际修建这条盲道需要 1120 天.
x
x 10
2 1120
x
- 1120 x 10
= 1120 x 10 1120x x x 10
x
y
y
y2 x2 y2
【教材P123 例6】
x x y y x y y2
x2 y2
x2 x2 y2 .
因为 x 2，即x 2 y，
y 所以，原式
x2 x2 y2
2 y2 = 2y2 y2
4 y2 3 y2
4 3
举一反三
分式的混合运算顺序和分数的混合运算顺序相同， 即先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号， 则先算括号里面的.
（2）xx21 x 1
x2 x 1
x1
x2
x 1 x 1
x1
x1
x2 x 1 x 1
x1
1; x1
（3）
a
a
3
1 a2
9
a a
1 3
a a 3 1 a 1a 3
= a2 9 a2 9 a2 9
2022年北师大版八下《异分母分式的加减》配套练习(附答案)
5.3 分式的加减法第2课时 异分母分式的加减一、判断正误并改正: (每题4分,共16分) 1. ab a b a a b a a b a --+=--+=0〔 〕2.11)1(1)1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x 〔 〕3.)(2121212222y x y x +=+〔 〕4.222b a c b a c b a c +=-++〔 〕二、认真选一选:(每题4分,共8分)1. 如果x ＞y ＞0,那么xy x y -++11的值是〔 〕 A.零B.正数C.负数2. 甲、乙两人分别从相距8千米的两地同时出发，假设同向而行，那么t 1小时后，快者追上慢者；假设相向而行，那么t 2小时后，两人相遇，那么快者速度是慢者速度的〔 〕 A.211t t t + B.121t t t + C.2121t t t t +- D.2121t t t t -+三、填一填:1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减.2. 分式xy 2,y x +3,y x -4的最简公分母是________.3. 计算：222321xyz z xy yz x +-=_____________.4. 计算：)11(1xx x x -+-=_____________. 5. 22y x M -=2222y x y xy --+yx y x +-,那么M=____________. 6. 假设〔3－a 〕2与|b －1|互为相反数，那么ba -2的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么xx ||+xy xy ||化简结果为____________. 8. 假设0≠-=y x xy ，那么分式=-x y 11____________. 9. 计算22+-x x －22-+x x =____________.第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质一．选择题〔共8小题〕1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，那么添加的条件不能为〔 〕A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，那么它顶角的度数是〔 〕A． 80° B． 80°或20° C ． 80°或50° D． 20°3．实数x，y满足，那么以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是〔 〕A． 20或16 B． 20 C． 16 D． 以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，那么∠BDC的度数是〔 〕A． 60° B． 70° C． 75° D． 80°5．等腰三角形的两边长分别是3和5，那么该三角形的周长是〔 〕A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136.如图，给出以下四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有〔 〕A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部， 那么这个等腰三角形的底边长为〔 〕A． 7 B． 11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，那么顶角的度数为〔 〕A． 60° B． 120° C． 60°或150° D． 60°或120°二．填空题〔共10小题〕9．等腰三角形的一个内角为80°，那么另两个角的度数是 _________ ． 10．如图，AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，那么∠ACD= _________ ．第10题 第11题 第12题 第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，那么∠B= _________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，那么∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，那么BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，那么∠BAC=_________ °．第14题 第15题 第16题 第17题 第18题15.如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB ，∠A=50°，∠B＝30°，那么∠D的度数为_____.16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，那么∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，那么∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP ，CP=CF，那么∠EPF= _________ 度．三．解答题〔共5小题〕19．：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：〔1〕△ABD≌△ACD；〔2〕BE=CE．21．如下图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB 的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出以下四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．〔1〕上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？〔用序号写出所有的情形〕〔2〕选择〔1〕小题中的一种情形，说明AB=AC．23．〔1〕如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、A C于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？〔2〕如图，假设点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜测线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜测．参考答案一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、30°；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE〔AAS〕．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：〔1〕∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕；…〔4分〕〔2〕由〔1〕知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE 〔SAS〕，∴BE=CE〔全等三角形的对应边相等〕．〔其他正确证法同样给分〕…〔4分〕21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD〔SAS〕．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、〔1〕答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．〔2〕解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：〔1〕成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．〔2〕∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．。
北师大版八年级数学八下第五章作业单(B层)
第五章分式与分式方程5.1认识分式1．下列判断正确的是()A．分式包含分数B．分母中含有字母的式子是分式C．分式的分母中一定含有字母D．分数一定是分式2．下列各式：x－1x＋1，x23，－3ba2，－a2b3，2x2x，aπ.其中分式共有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．若分式1x＋1的值不存在，则x＝．4．当x＝1时，分式x＋33x＋1的值为5．一个圆柱的体积为V，底面半径为r，则它的高为6．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师的平均速度是千米/小时；若乘公共汽车则可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是千米/小时．7．若分式x2－1x＋1＝0，则x的值是．【变式】当x＝2时，分式x－kx＋m的值为0，则k，m必须满足的条件是．8．当x＝2，y＝－1时，分式x－yx＋y2的值为．9．若分式2x－1x2＋3的值为正数，则x需满足的条件是10．当x取何值时，分式3x2－12满足下列要求：（x＋2）2(1)值为0；(2)无意义；(3)有意义．11．已知当x＝1时，分式x＋2bx－a无意义；当x＝4时，分式的值为0，求a＋b的值．5.1.2分式的基本性质及约分1．使得等式47＝4m7m成立的m的取值范围为()A．m＝0B．m＝1C．m＝0或m＝1D．m≠0 2．分式13－x可变形为()A.1 3＋x B．－13＋xC.1x－3D．－1x－33．若a≠b，则下列分式化简正确的是()A.a＋2 b＋2＝abB.a－2b－2＝abC.a2b2＝abD.12a12b＝ab4．下列分式中是最简分式的是()A．－12b27a2B.x2＋y2x＋yC.a2＋abb2＋abD.x＋yx2－y25．如果将分式y2x＋y (x，y均为正数)中字母的x，y的值分别扩大为原来的3倍，那么分式y2x＋y的值()A．扩大为原来的3倍B．不变C．缩小为原来的13D．扩大为原来的9倍【变式】将分式x2x＋y中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值()A．扩大2倍B．缩小到原来的12 C．保持不变D．无法确定6．下列分式的变形：①ba2＝bca2c；②a－bb2－a2＝－1a＋b；③－a－ba＝－a－ba；④2m2－2mn（n－m）2＝2mm－n，其中不正确的是(填序号)．7．将下列各式约分的结果填在横线上．(1)－x 3x6＝(2)x 2y xy＝(3)x ＋1x 2＋2x ＋1＝(4)ax ＋ay x 2－y2＝(4)x 2－xy x 2＋xy ＝(6)a 2＋6a ＋9a 2－9＝8．若1m ＋1n ＝2，求分式5m ＋5n －2mn －m －n的值．5.2分式的乘除法1．计算(－a)2·ba 2的结果为()A ．bB ．－bC ．AbD.b a2．计算ax 2by ·b 2yax 的结果是()A ．axB ．bxC.xbD.x a3．计算1a ÷(－1a 2)的结果为()A ．aB ．－aC ．－1a 3D.1a34．计算3ab÷b3a 的结果是()A ．b 2B ．18aC ．9aD ．9a 25．化简2x 2－1÷1x －1的结果是()A.2x ＋1B.2xC.2x －1D ．2(x ＋1)6．使式子x ＋3x －3÷x ＋2x ＋4有意义的x 的取值范围是7．计算：(1)(b a)2＝；(2)(2n 3m)3＝；(3)(－a 2b)3＝；(4)(－x 23y)2＝；(4)a 24b ·(6b a)2＝(6)x 2÷(2x y)2＝．（7）x÷(x －1)·1x －1.=8．计算：(1)2x3zy2·3y24xz2；(2)12x2y5z2÷4xy215z2；(3)4a＋4b5ab ·15a2ba2－b2.(4)x2－2x＋1x2－1÷x2－xx＋1.9．求式子3m－3÷4m2－9的值，其中m＝－2019.10．(教材P116习题T4变式)有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x－1)2千克，乙筐水果重(x2－1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元．(1)哪筐水果的单价低？(2)高的单价是低的单价的多少倍？5.3.1分式的加减法——同分母分式的加减法1．下列分式：①3xx－y；②2aba2－b2；③－2ab（a＋b）（a－b）；④3a＋2a－b，其中分母相同的分式是()A．①③④B．②④C．②③D．①④2．计算a－1a＋1a，正确的结果是()A．1 B.12C．a D.1a3．化简：a2＋1a＋1－2a＋1＝()A．a－1B．a＋1 C.a－1a＋1D.1 a＋14．分式2a＋2a2－1－a＋11－a化简后的结果为()A.a＋1 a－1B.a＋3a－1C．－aa－1D．－a2＋3a2－15．化简a2＋b2a－b＋2abb－a的结果是()A．a＋b B．a－b C.（a＋b）2a－b D.（a－b）2a＋b6．化简2xx－1－x1－x的结果．7．计算：（1）1a＋2a（2）x－zxy－y－zxy；(3)2x－2－xx－2；(4)2x（x－y）2－2y（y－x）2；(5)2x＋y3x2y＋x－2y3x2y－x－y3x2y.（6）x＋2yx2－y2＋yy2－x2－2xx2－y2.8．已知：x≠y，y＝－x＋8，求代数式x2x－y＋y2y－x的值．9．先化简，再求值：x2＋4xx－y－4x－y2x－y＋2xyy－x，其中x＝3＋2，y＝3－ 2.10．某工程库存原材料x吨，原计划每天用a吨，若现在每天比原计划节省一半，则可以多用多少天？5.3.2通分1．分式y2x7与15x4的最简公分母是()A．10x7B．7x7C．10x11D．7x112．分式13a，34b与56c的最简公分母是()A．6abc B．12abc C．24abc D．48abc3．对分式1a－b，1a＋b，1a2－b2通分以后，1a＋b的结果是()A.a＋b a2－b2B.a－b a2－b2C.a2－b2（a＋b）（a2－b2）D.（a＋b）（a－b）（a2－b2）24．把6ca2b，c3ab2通分，下列计算正确是()A.6c a2b＝6bca2b2，c3ab2＝ac3a2b2B.6ca2b＝18bc3a2b2，c3ab2＝ac3a2b2C.6c a2b＝18bc3a2b，c3ab2＝ac3a2b2D.6ca2b＝18bc3a2b，c3ab2＝c3ab25．分式2xx－2与8x2－2x的最简公分母是．6.分式x－y2（x＋y）和xyx2－y2的最简公分母是．7．(1)分式1ab2，53a2c的最简公分母是，通分结果为；(2)分式1a2－1，2a2－a的最简公分母是，通分结果为．8．分式－b4a3与16abc的最简公分母是9．通分：(2)(1)x2y，23xy2；（2）2nn－2，3nn＋3.10．已知分式23x2－12，1x－2，m是这两个分式中分母的公因式，n是这两个分式的最简公分母，且nm＝8，求x的值．5.3.3异分母分式的加减法1.1a ＋1b 的运算结果正确的是()A.1a ＋bB.2a ＋bC.a ＋b abD ．a ＋b2．计算4a 2－2a －aa －2的结果是()A.a ＋2aB ．－a ＋2aC.a －2aD ．－a －2a3．计算：12m 2－9＋23－m＝()A ．－2m ＋3B.2m ＋3C ．－2m －3D.2m －34．化简x x －y －y x ＋y，结果正确的是()A ．1 B.x 2＋y 2x 2－y2 C.x －y x ＋yD ．x 2＋y 25．计算a 2a －1－a －1的正确结果是()A ．－1a －1B.1a －1C ．－2a －1a －1D.2a －1a －16．如图，若x 为正整数，则表示（x ＋2）2x 2＋4x ＋4－1x ＋1的值的点落在()A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④7．计算：(1)a ＋b ab －b ＋c bc；(2)2a a 2－b 2－1a ＋b；(3)1m －1＋m ＋1.(4)4xx2－4－2x－2－1.(5)m－1＋2m－6m2－9＋2m＋2m＋3.8．先化简，再求值：a2－a（a－1）2－a＋1a，其中a＝12.9．已知3x－4（x－1）（x－2）＝Ax－1＋Bx－2，求实数A和B的值．10．国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x名．(1)原来平均每名学生需分摊车费元，现在平均每名学生需分摊车费元；(2)开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？5.3.4分式的混合运算1．化简12x＋53x－76x的结果是()A.1 6xB.13xC.12xD.1x2．计算(1＋1x )÷x2＋2x＋1x的结果是()A．x＋1 B.1x＋1C.xx＋1D.x＋1x3．化简(a－b2a )÷a－ba的结果是()A．a－b B．a＋b C.1a－b D.1 a＋b4．如果m＋n＝1，那么代数式(2m＋nm2－mn＋1m)(m2－n2)的值为()A．－3B．－1C．1D．35．计算yx2－y2÷(1－xx＋y)的结果是．6．计算：(1)x y－yx＋x2＋y2xy；(2)mm＋n－nm－n＋2n2m2－n2.(3)xx－3－x＋6x2－3x＋1x(3)(aa＋b＋2ba＋b)·aa＋2b(3)x－2 x－1·x2－1x2－4x＋4－1x－2；(5)(1－x2－x＋2x＋1)÷x－1x＋1.7．先化简，再求值：(2a－1a＋1－aa＋1)÷a－1a，其中a＝－2.8．先化简，再求值：(a2－5a＋2a＋2＋1)÷a2－4a2＋4a＋4，其中a＝2＋ 3.9．已知a2－a＋1＝2，求2a2－a a－a2的值5.4.1分式方程——分式方程的概念1．下列方程是分式方程的是()A.2x＋1＝5x－3B.3y－12＝y＋56－2C．2x2＋12x－3＝0D．2x－5＝8x＋172．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为x km/h，则可列方程为()A.10 2x－10x＝20 B.10x－102x＝20 C.10x－102x＝13D.102x－10x＝133．为创建绿色文明城市，宝鸡市某城区对一条全长12000m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务x m，当x满足的方程为23×12000x＝12000x＋300时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是()A．实际每天比计划多完成改造任务300m，实际所用天数是计划的23B．实际每天比计划少完成改造任务300m，计划所用天数是实际的23C．实际每天比计划多完成改造任务300m，计划所用天数是实际的23D．实际每天比计划少完成改造任务300m，实际所用天数是计划的234．某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是()A.80（1＋35%）x－80x＝40 B.80（1＋35%）x－80x＝40C.80 x－80（1＋35%）x＝40 D.80x－80（1＋35%）x＝405．下列关于x的方程：①1x＝13＋11x；②x22－x5＝0；③mx＝nmx＋1(m，n均为常数)；④x＋12＝1－x3；⑤9000x＝x＋315000；⑥12＋x5＝a3(a为常数)，其中整式方程是，分式方程是.6．甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，请列出方程7．新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．(1)求原来生产防护服的工人有多少人？(2)复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？8．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．(1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？(2)计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么，最多可购买多少件甲种商品？5.4.2分式方程的解法1．解分式方程x2x－1＋21－2x＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是()A．x＋2＝3B．x－2＝3C．x－2＝3(2x－1)D．x＋2＝3(2x－1) 2．分式方程3x－2＝1的解是()A．x＝－1B．x＝1C．x＝5D．x＝23．若2x－1与2x＋1互为相反数，则x等于()A．－1B．－2C．2D．04．若分式方程xx（x－2）＝2x＋mx（x－2）有增根，则增根可能是()A．0B．2C．0或2D．15．若分式方程x－3x－1＝mx－1有增根，则m等于6．若关于x的分式方程xx－2－x－a2－x＝1有增根，则a的值为．7．关于x的分式方程1x－2＋2＝1－k2－x的解为正实数，则k的取值范围是．8．关于x的分式方程2x＋ax＋1＝1的解为负数，则a的取值范围是9．若方程3x＋3＝2x＋k的根为正数，则k的取值范围是10．已知关于x的分式方程xx－3－4＝k3－x的解为非正数，则k的取值范围是11．解方程：(1)2x－2＝3x；(2)1x－1－2x＝0(3)x－2x－3x－2＝1.(3)x＋3 x－3－2x＋3＝1.(4)xx－2－1＝1x＋2.(5)x＋1x－1－1＝21－x2；(6)x－2x＋2＝x＋2x－2＋16x2－4.12．设A＝xx－1，B＝3x2－1＋1.(1)求当x为何值时，A＝2；(2)若A与B的值相等，求x的值．5.4.3分式方程的应用1．学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是()A.15000x－8＝12000xB.15000x＋8＝12000xC.15000x＝12000x－8D.15000x＝12000x＋82．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是()A.240x＝280130－xB.240130－x＝280xC.240x＋280x＝130 D.240x－130＝280x3．某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配人力使每天完成的校服比原计划多20%，结果提前4天完成任务．问：原计划每天能完成多少套校服？设原来每天完成校服x套，则可列出方程()A.3000（1＋20%）x＋3000x＝4 B.3000x－3000x＋20%＝4C.3000（1＋20%）x＝3000x＋4 D.3000x＝4＋3000（1＋20%）x4．某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得()A．50×80x＝72x＋5×40B．40×80x＝72x＋5×50C．40×72x－5＝80x×50D．50×72x－5＝80x×405．如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：．6．为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．设八年级捐书的人数是x，列出的方程是7．一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．8．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：(1)甲、乙两公司各有多少人？(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来(注：A，B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送)．小专题12分式的运算及化简求值1．计算：(1)(x ＋1)÷(1＋1x )；(2)2a a ＋1－2a －4a 2－1÷a －2a 2－2a ＋1；(3)2a 2－2a a 2－1÷(1－1a ＋1)；(4)(－a 2b c )3·(－c 2a 2)2÷(－bc a )4；(5)x －y x ÷(x ＋y 2－2xy x )；(6)(m ＋2＋1m )·m m ＋1；(7)(a 2a －1－a －1)÷2a a 2－1；(8)1－(1a ＋3＋6a 2－9)÷a ＋3a 2－6a ＋9.2．先化简，再求值：(x x －1－1)÷x 2＋2x ＋1x 2－1，其中x ＝－13.3.先化简，再求值：(yx－y－y2x2－y2)÷xxy＋y2，其中x＝3＋1，y＝3－1.4．化简求值：x2－8x＋16x2＋2x ÷(6x＋2－1)＋1，其中x=1．5．化简求值：(a－1a－a－2a＋1)÷2a2－aa2＋2a＋1，其中a2－a－1＝0.6．先化简，再求值：a2－2ab＋b2a2－b2÷a2－aba－2a＋b，其中a，b满足(a－2)2＋b＋1＝0.。
第五章第03讲 分式的加减法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版8年级下册
第03讲分式的加减法(10类热点题型讲练)1.熟练掌握同分母的分式加减运算；2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则；3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.知识点01分式的通分分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.知识点02最简公分母最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．知识点03同分母分式的加减同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．知识点04异分母分式的加减异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.知识点01平面向量基本定理知识点02平面向量的坐标表示知识点03平面向量的坐标运算题型01同分母分式加减法题型02最简公分母题型03通分题型04异分母分式加减法题型05整式与分式相加减题型06已知分式恒等式，确定分子或分母【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．【变式训练】题型07分式加减混合运算题型08分式加减的实际应用【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．【变式训练】题型09分式加减乘除混合运算题型10分式化简求值一、单选题1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算2111x x x x --++的结果是（）A ．1B ．1x +C ．11x +D ．1x x +2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）分式22x x -，36x -的最简公分母是（）A ．2x -B ．()2x x -C ．()()323x x --D ．()32x x -【答案】D【分析】本题考查了最简公分母，先因式分解取系数的最小公倍数，字母的最高次幂，1，3的最小公倍数为3，x 的最高次幂为1，2x -的最高次幂为1，则得出最简公分母．A ．2222233y y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．110x y y x-=--C ．3263x x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．()111333x y x y +=+将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（）A ．60x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭天B ．60x x y y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭天C ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天D ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天5．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）已知2220x x --=，计算2121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．0.5D ．0.5-二、填空题6．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算：221b a b a b+=-+．7．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式29-a 和93a-进行通分时，最简公分母是【答案】()()333a a -+-【分析】本题考查了分式的通分；先对分式的分母进行因式分解，然后即可确定它们的最简公分母．【详解】解：∵()()2933a a a -=+-，()9333a a -=--，∴最简公分母是()()333a a -+-，故答案为：()()333a a -+-．8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若2574515x A Bx x x x -=+--+-，A ，B 为常数，则2A B -的值为．9．（2024八年级下·全国·专题练习）小刚在化简22a b M--时，整式M 看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是1a b-，则整式M 是．和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第2024次运算的结果2024y =．（用含字母x 的式子表示）三、解答题11．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：(1)235a b c 与2710c a b；(2)22x x +与21x x-．(1)2111x x x -++；(2)24411a a a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭．(1)2m n m n n m m n n m -++---(2)22211111 m m mmm m-+-⎛⎫÷--⎪-+⎝⎭14．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：(1)22211x x x -++；(2)3a b a b a b b a -+---；(3)2243164x x+--；(4)222a a a ---．(1)211y y y ---；(2)2221111x x x +--+-；(3)21613962x x x x------；(4)2()a b a b a b+--+．16．（2024九年级下·山东·专题练习）下面是某同学计算11a a ---的解题过程：解：211a a a ---()-=---22111aa a a ……………………①()2211a a a --=-………………………②2211a a a a -+-=-………………………③111a a -==-．……………………………④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．17．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值：111x x x x x -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭，请从1-，0或2中选择你喜欢的一个数代入求值．18．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）先化简，再求值：111x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中()1013.142x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，则11x x +-是“美好分式”．(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）①6325x x +；②232x x +；③33x x +；④24321x x +-．(2)将“美好分式”2221x x x -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)判断2251117x x x x x x x---÷+-的结果是否为“美好分式”，并说明理由．形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：514144111111x x x x x x x x ++++==+=++++++，则51x x ++是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①23x x+；②21x x +；③21x x +-．(2)将“和谐分式”2472y y y -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)应用：先化简22321112a a a a a a a-+--÷--，并回答：a 取什么整数时，该式的值为整数？3a ∴=，3a ∴=时，该式的值为整数．。
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第2课时 异分母分式的加减法
基础题
知识点1 分式的通分
1．分式y 2x 7与1
5x 4的最简公分母是(A)
A ．10x 7
B ．7x 7
C ．10x 11
D ．7x 11
2．分式3
a －
b 的分母经过通分后变为a 2－b 2，那么分子应变为(C) A ．3(a －b) B ．3(a －b)2
C ．3(a ＋b)
D ．3(a 2－b 2)
3．通分：2n n －2，3n
n ＋3.
解：最简公分母是(n －2)(n ＋3)．
2n n －2＝2n （n ＋3）（n －2）（n ＋3）＝2n 2
＋6n
n 2＋n －6，
3n n ＋3＝3n （n －2）
（n ＋3）（n －2）＝3n 2
－6n
n 2＋n －6.
知识点2 异分母分式的加减法
4．计算1a ＋1b 的结果是(D)
A ．b ＋a B.1a ＋b C.2a ＋b D.a ＋b ab
5．化简1x －1
x －1，可得(B)
A.1x 2－x B ．－1
x 2－x
C.2x ＋1x －x
D.2x －1
x －x
6．已知x ≠0，则1x ＋12x ＋13x ＝116x ．
7．(临沂中考)计算：a a ＋2－4a 2＋2a ＝a －2a ．
8．(山西中考)下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
2
x ＋2－x －6
x 2－4＝2（x －2）
（x ＋2）（x －2）－x －6
（x ＋2）（x －2）第一步
＝2(x －2)－(x ＋6)第二步
＝2x －4－x ＋6第三步
＝x ＋2第四步 小明的解法从第二步开始出现错误，正确的化简结果是1
x －2．
9．计算：
(1)a ＋b ab －b ＋c bc ；
解：原式＝ac ＋bc abc －ab ＋ac abc
＝b （c －a ）abc ＝c －a ac .
(2)(河南中考)1x ＋1x （x －1）
； 解：原式＝x －1x （x －1）＋1x （x －1）
＝
x x （x －1） ＝
1x －1
.
(3)(咸宁中考)2a a 2－b 2－1a ＋b
. 解：原式＝2a a 2－b 2－a －b a 2－b 2 ＝
a ＋
b a 2－b 2 ＝1a －b .
知识点3 分式加减法的应用
10．国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名同学，总人数达到x 名．
(1)原来平均每名学生需分摊车费300x －2元，现在平均每名学生需分摊车费300x
元； (2)开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？ 解：由题意，得
300x －2－300x ＝300x －300（x －2）x （x －2）＝600x （x －2）
. 答：开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊600x （x －2）
元钱．
中档题
11．学完分式运算后，老师出了一道题“化简：x ＋3x ＋2＋2－x x 2－4
”． 小明的做法是：原式＝（x ＋3）（x －2）x 2－4－x －2x 2－4＝x 2＋x －6－x －2x 2－4＝x 2
－8x 2－4
； 小亮的做法是：原式＝(x ＋3)(x －2)＋(2－x)＝x 2＋x －6＋2－x ＝x 2－4；
小芳的做法是：原式＝x ＋3x ＋2－x －2（x ＋2）（x －2）＝x ＋3x ＋2－1x ＋2＝x ＋3－1x ＋2
＝1. 其中正确的是(C)
A ．小明
B ．小亮
C ．小芳
D ．没有正确的
12．(德州中考)化简a 2－b 2ab －ab －b 2ab －a 2等于(B) A.b a B.a b C ．－b a D ．－a b
13．计算：
(1)a a －b ＋b b －a
＋1；
解：原式＝
a a －
b －b a －b ＋1 ＝a －b a －b ＋1 ＝1＋1
＝2.
(2)2m m 2－9－1m ＋3
； 解：原式＝
2m （m ＋3）（m －3）－m －3（m ＋3）（m －3） ＝
2m －m ＋3（m ＋3）（m －3） ＝
m ＋3（m ＋3）（m －3） ＝
1m －3.
(3)2x －2x －x 2－3x －1
； 解：原式＝2（x －1）x （x －1）＋2x （x －1）－3x x （x －1）
＝2x －2＋2－3x x （x －1）
＝－x x 2－x
＝11－x
. (4)42－a
－a －2. 解：原式＝
42－a －(a ＋2) ＝－4a －2－a 2－4a －2
＝a 2
2－a
.
14．现有大小两艘轮船，小船每天运x(x>40)吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．
(1)分别写出大船、小船完成任务用的时间；
(2)试说明哪艘轮船完成任务用的时间少？
解：(1)大船完成任务的时间为100x ＋10
天； 小船完成任务的时间为80x
天． (2)100x ＋10－80x ＝20（x －40）x （x ＋10）
， ∵x>40，
∴小船所用时间少．
综合题
15．已知A
x ＋1－B
x －3＝x ＋5
（x ＋1）（x －3）(其中A ，B 为常数)，求A 2 017B 的值．
解：∵A x ＋1－B x －3＝A （x －3）－B （x ＋1
）
（x ＋1）（x －3）
＝（A －B ）x ＋（－3A －B ）
（x ＋1）（x －3）， A x ＋1－B x －3＝x ＋5
（x ＋1）（x －3）， ∴A －B ＝1，－3A －B ＝5. 解得A ＝－1，B ＝－2. ∴A 2 017B ＝2.。