2020年新疆高一(下)开学数学试卷

高一（下）开学数学试卷（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|2x-5≤0}，则A∩B=（）A. {1，2}B. {1，2，3}C. {-2，-1，0，1，2}D. {-2，-1，0，1，2，3}2.已知角α的终边经过点（3，-4），则cosα的值为（）A. -B.C. -D. -3.已知tanα=3，那么tan（π+α）等于（）A. -3B. -C.D. 34.“世界那么大，我们都想去看看！”现在越来越多的父母开始重视对教育的投入和亲子的互动，这也令亲子游市场快速升温．如果从2016年1月至2018年12月，中国亲子游增长率为a，那么从2016年1月至2018年12月，中国亲子游的年平均增长率为（）A. -1B. -1C.D.5.函数y=的定义域是（）A. （1，3]B. （1，3）C. （3，+∞）D. （-∞，3）6.若函数f（x）=，则f[f（）]=（）A. -1B. 1C. 2D. 37.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A. y=B. y=（3x-1）2C. y=2-xD. y=log（x+1）8.已知a=（），b=log，c=log4，则（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. a＞c＞bD. b＞a＞c9.设m=log a3，log aπ=n，则a2m-n=（）A. B. C. D.10.已知cos（-α）=，则sin（α+）=（）A. ±B.C. -D.11.若函数f（x）=4sin（ωx+φ）+k对任意实数x有f（x+）=f（-x）成立，且f（）=1，则实数k的值为（）A. 3B. -3C. -3或5D. 512.已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sin（sgn（x）•x）-在（-4，4）上的零点个数为（）A. 0B. 2C. 4D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinαcosα=，且|cosα|=-cosα，则sinα+cosα=______．14.若θ∈（0，），sinθ与cosθ的大小关系是______．15.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是______．16.定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2；当x∈[-1，0]时，f（x）=-x2，g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[-8，3]上的所有实根之和为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.利用定义判断并证明f（x）=2x3+1在R上的单调性．18.已知函数f（x）=sin2x+2sin2x-1（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值以及此时x的取值．19.已知0＜α＜＜β＜π，tanα=，cos（β-α）=．（1）求tan；（2）求角β的值．20.已知函数f（x）=2cos（x+φ）•cos（x+φ-）-，其中φ∈（0，），且函数f（x）的图象关于点（，0）对称，求函数f（x）的单调递增区间．21.已知函数f（x）=lg（-x2+mx+m+1）．（1）函数f（x）的定义域是（-1，2），求m的值；（2）函数f（x）在区间（-1，2）上有意义，求m的取值范围．22.已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：f（m）+f（n）=f（mn）对任意m，n∈（0，+∞）均成立．（1）求f（1）的值；（2）若x＞1时，总有f（x）＞0，且关于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且仅有一个实根，求实数k的取值集合．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵B={x|2x-5≤0}={x|x≤}，∴A∩B={1，2，3}∩{x|x≤}={1，2}．故选：A．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，考查了一元一次不等式的解法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵角α的终边经过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，则cosα==，故选：B．由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵tanα=3，∴tan（π+α）=tanα=3，故选：D．由题意利用利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：从2016年1月至2018年12月，中国亲子游增长率为a，从2016年1月至2018年12月，中国亲子游的年平均增长率为：-1=-1．故选：A．利用年平均增长率公式直接求解．本题考查年平均增长率的求法，考查年平均增长率的性质、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：要使函数有意义，则，得，即1＜x＜3，即函数的定义域为（1，3），故选：B．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6.【答案】D【解析】解：．故选：D．根据f（x）的解析式即可求出，f（-1）=3，从而得出的值．考查分段函数的定义，已知函数求值的方法．7.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=，在（-，+∞）为增函数，符合题意；对于B，y=（3x-1）2，为二次函数，在（0，1）上为减函数，不符合题意；对于C，y=2-x=（）x，为指数函数，在R上为减函数，不符合题意；对于D，y=log（x+1）为对数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：A．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：，；∴b＞a＞c．故选：D．容易看出，，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义．9.【答案】C【解析】解：∵m=log a3，log aπ=n；∴a m=3，a n=π；∴．故选：C．根据条件即可得出a m=3，a n=π，根据分数指数幂的运算即可求出a2m-n．考查对数的定义，对数式和指数式的互化，以及分数指数幂的运算．10.【答案】D【解析】解：∵已知cos（-α）=，则sin（α+）=cos[-（α+）]=cos（-α）=，故选：D．由条件利用利用诱导公式化简三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：函数f（x）=4sin（ωx+φ）+k对任意实数x，有f（x+）=f（-x）成立，则f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）为函数的最值，又f（）=4sin（+φ）+k=1，∴sin（+φ）=，∴=1，或=-1，∴k=-3，或k=5，故选：C．由题意可得f（x）的图象关于直线x=对称，f（）为函数的最值，由f（）=1，可得sin（+φ）=为最值，从而求得实数k的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sin（sgn（x）•x）-=，函数的图象如图：所以函数的零点公式为4．故选：C．化简函数的解析式，通过数形结合求解函数的零点个数即可．本题考查分段函数的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】-【解析】解：由sinαcosα=＞0，可知sinα和cosα同号，而|cosα|=-cosα，得到cosα＜0，即sinα＜0，∵（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴sinα+cosα=．故答案为：．根据sinαcosα=＞0，可知sinα和cosα同号，而|cosα|=-cosα，得到cosα＜0，即sinα＜0，由（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα代值可求答案．本题考查了同角三角函数基本关系式的应用，解题的关键是根据已知判断出sinα和co sα的符号，是基础题．14.【答案】sinθ＜cosθ【解析】解：作出单位圆，则角θ的正弦线为AP，即sinθ=AP，余弦线为OA，即cosθ=OA，当θ∈（0，）时，OA＞AP，∴cosθ＞sinθ，即sinθ＜cosθ，故答案为：sinθ＜cosθ利用单位圆，结合三角函数线的定义进行比较即可．本题主要考查是三角函数值的大小比较，结合三角函数线的性质是解决本题的关键．15.【答案】f（x）=2sin（2x-）【解析】【分析】由图象可知A=2，可求周期T，利用周期公式可求ω，从而可求f（x）=2sin（2x+φ），代入点（，2），结合范围|φ|＜，可求φ，即可得解解析式．本题主要考查了函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．【解答】解：（1）由图象可知，A=2，周期T=[-（-）]=π，∴=π，ω＞0，则ω=2，从而f（x）=2sin（2x+φ），代入点（，2），得sin（+φ）=1，则+φ=+2kπ，k∈Z，即φ=-+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，则φ=-，∴f（x）=2sin（2x-），故答案为：f（x）=2sin（2x-）．16.【答案】-12【解析】解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，∵g（x）=，∴g（x）关于直线x=-2对称．分别作出函数f（x），g（x）在[-8，3]上的图象，由图象可知两个函数的交点个数为个，设个交点的横坐标从小到大为x1，x2，x3，x4，x5，x6，且这6个交点分别关于（2，0）对称，则=-2，即x1+x6=-4所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=3（x1+x6）=3×（-4）=-12，其中x=3时，不成立，则f（x）=g（x）在区间[-8，3]上的所有实根之和为-12，故答案为：-12．由f（x+2）=f（x），得到函数是周期为2的周期函数，分别作出函数f（x），g（x）在[-8，3]上的图象，利用图象观察交点的个数和规律，然后进行求解本题主要考查函数交点个数和取值的判断，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．本题综合性较强，难度较大．17.【答案】证明：任取x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=2（x1-x2）（+x1x2+），∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，+x1x2+=+＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）=2x3+1在R上是增函数．【解析】根据函数的单调性的定义证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查函数的单调性的定义，是一道基础题．18.【答案】解：（1）∵函数f（x）=sin2x+2sin2x-1=sin2x-cos2x=sin（2x-），∴函数f（x）的最小正周期为=π．（2）函数f（x）的最大值为，此时，2x-=2kπ+，求得x=kπ+，k∈Z．【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）利用正弦函数的最值，求出函数f（x）的最大值以及此时x的取值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，属于基础题．19.【答案】解：（1）∵tanα=，∴，解得或-2（舍去）；（2）0＜α＜，tanα=，∴，sin，∵cos（β-α）=，∴sin（β-α）==．∴cosβ=cos（β-α+α）=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα==．∴．【解析】（1）直接利用二倍角的正切函数公式求解即可；（2）利用同角三角函数基本关系式及两角和的余弦函数公式求解即可．本题考查二倍角的正切函数公式，考查同角三角函数基本关系式，考查两角和的余弦函数公式，属于中档题．20.【答案】解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）•cos（x+φ-）-=2cos（x+φ）•[cos（x+φ）•cos+sin（x+φ）•sin]-=cos2（x+φ）+sin（x+φ）•cos（x+φ）-=+sin（2x+2φ）-=cos（2x+2φ-）+-=cos（2x+2φ-），其中φ∈（0，），∵函数f（x）的图象关于点（，0）对称，∴cos（+2φ-）=0，∴+2φ=π，∴φ=，故f（x）=cos（2x+2φ-）=cos（2x+）．令2kπ-π≤2x+≤2kπ，求得kπ-≤x≤kπ-，可得函数f（x）的增区间为[kπ-，kπ-]，k∈Z．【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性求得φ的值，可得函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的图象的对称性，余弦函数的单调性，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵函数f（x）的定义域是（-1，2），∴-x2+mx+m+1＞0的解集是（-1，2），即-1，2是方程-x2+mx+m+1=0的根，解得：m=1；………（6分）（2）函数f（x）在区间（-1，2）上有意义，⇔-x2+mx+m+1＞0在区间（-1，2）恒成立，令g（x）=-x2+mx+m+1），即g（x）＞0在区间（-1，2）恒成立，故，解得：m≥1…………（12分）【解析】（1）结合二次函数的性质求出m的值即可；（2）令g（x）=-x2+mx+m+1），即g（x）＞0在区间（-1，2）恒成立，得到关于m的不等式组，解出即可．本题考查了二次函数的性质以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道常规题．22.【答案】解：（1）令m=n=1，则f（1）+f（1）=f（1），得f（1）=0，（2）因为f（m）+f（n）=f（mn），所以f（mn）-f（n）=f（m）．任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（），由条件，知＞1，所以f（）＞0，从而f（x2）＞f（x1），故f（x）是（0，+∞）上的单调增函数．令m=n，得：2f（n）=f（n2），所求方程等价于f[（x+1）2]=f（kx），又f（x）是（0，+∞）上的单调增函数，所以原方程可化为，即．若k＞0，则原问题为方程x2+（2-k）x+1=0在（0，+∞）上有一个根，设其两根为x1，x2，则△=（2-k）2-4≥0，又注意到x1x2=1＞0，∴只可能是二重正根，由△=0解得k=4或k=0（矛盾，舍去）；若k＜0，则原问题为方程x2+（2-k）x+1=0在（-1，0）上有一个根，仍有x1x2=1＞0，记g（x）=x2+（2-k）x+1，易知g（0）=1＞0，由根的分布原理，只需g（-1）＜0，即k＜0．综上，k∈（-∞，0）∪{4}．【解析】（1）利用赋值法结合抽象函数关系进行计算即可．（2）结合函数单调性的定义先证明f（x）是（0，+∞）上的单调增函数，结合抽象函数关系以及函数单调性的定义转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数之间的关系进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合抽象函数关系，利用赋值法以及函数单调性的定义证明函数的单调性是解决本题的关键．。