北理工数学实验作业

1. 1/e

2. 3

3.1

4.e3

5. ∞

6. 0

7.∞

8.0

9.1/2 10.0 11.e2c12.不存在13. 1/12

Matlab实验过程：

1.1/exp(1)

syms n;

f=(1-1/n)^n;

limit(f,n,inf)

ans =

1/exp(1)

2.3

syms n;

f=(n^3+3^n)^(1/n);

limit(f,n,inf)

ans =

3

3. 1

syms n;

f=(1+sin(2*n))/(1-cos(4*n));

limit(f,n,pi/4)

ans =

1

4.e^3

syms x;

f=(1+cos(x))^(3*sec(x));

limit(f,x,pi/2)

ans =

exp(3)

5.inf

syms x;

f=(x^2)*exp(1/(x^2));

limit(f,x,0)

ans =

Inf

6.0

syms x;

f=(x^2-2*x+1)/(x^3-x);

limit(f,x,1)

ans =

7.inf

syms x;

f=((2/pi)*atan(x))^x;

limit(f,x,+inf)

Inf

8.0

syms x y;

f=(1-cos(x^2+y^2))/((x^2+y^2)*exp(x^2+y^2));

limit(limit(f,x,0),y,0)

ans =

9.1/2

syms x;

f=(1-cos(x))/(x*sin(x));

limit(f,x,0)

ans =

1/2

10.0

syms x;

f=atan(x)/(2*x);

limit(f,x,inf)

ans =

11.exp(2*c)

syms c;

f=sym('((x+c)/(x-c))^x');

limit(f,'x',inf)

ans =

exp(2*c)

12.极限不存在

syms x;

f=cos(1/x);

limit(f,x,0)

ans =

limit(cos(1/x), x = 0)

13.1/12

syms x;

f=1/(x*log(x)^2)-1/(x-1)^2;

limit(f,x,1)

ans =

1/12

二．观察函数logbx,当b=1/2,1/3,1/4和b=2,3,4时函数的变化特点，总结logbx的图形特点。>> x=0.01:0.1:100;

>> y1=log2(x);

>> y2=log2(x)/log2(3);

>> y3=log2(x)/log2(4);

>> plot(x,y1,'k',x,y2,'g',x,y3,'r')

>> gtext('b=2');gtext('b=3');gtext('b=4')

>> hold on

>> y4=log2(x)/log2(1/2);

>> y5=log2(x)/log2(1/3);

>> y6=log2(x)/log2(1/4);

>> plot(x,y4,'k',x,y5,'g',x,y6,'r')

>> gtext('b=1/2');gtext('b=1/3');gtext('b=1/4')

特点：

1.对数函数log b x 总经过（1，0）点

2.对数函数log b x 当底b<1时是单调下降的，当底b>1时是单调增的

3.在x轴上方（或者下方）沿顺时针方向看，b越来越大

4.对数函数log b x，b<1（或者b>1）时，当x<1时，b越小函数值越小，而当x>1时，b越小函数值越大。

三．用f(x)=cosx2的函数图形,探索f(x)的图形与f(a x),af(x),f(x+b),f(x)+b图形之间的关系。

f(x)与f(ax)的关系：下图中，黑线为a=1,红线为a=2/3,绿线为a=3/2。

实验过程如下：

x=-2*pi:0.1:2*pi;

y=cos(x.^2);

y1=cos((3*x/2).^2);

y2=cos((2*x/3).^2);

plot(x,y,'k',x,y1,'g',x,y2,'r')

结论：f(ax)为f(x)在水平方向上发生尺度变换，当|a|>1时，f(x)图像沿水平轴向原点压缩|1/a|倍，当|a|<1时，f(x)图像沿水平轴自原点拉伸|1/a|倍。

f(x)与af(x)的关系：下图中，黑线为a=1，绿线为a=2，红线为a=1/2，紫红线为a=-2。

实验过程如下：

x=-2*pi:0.01:2*pi;

y=cos(x.^2);

y1=2*cos(x.^2);

y2=(1/2)*cos(x.^2);

y3=-2*cos(x.^2);

plot(x,y,'k',x,y1,'g',x,y2,'r',x,y3,'m')

结论：af(x)为f(x)在垂直方向发生尺度变换，a>1时，f(x)沿垂直轴自原点拉伸为原来的a倍，0

f(x)与f(x+b)的关系：下图中，黑线f(x)，红线为f(x+b)(b>0)，绿线为f(x+b)(b<0)。

实验过程如下：

x=-2*pi:0.01:2*pi;

y=cos(x.^2);

y1=cos((x+1).^2);

y2=cos((x-1).^2);

plot(x,y,'k',x,y1,'r', x,y2,'g')

结论：f(x+b) ,b>0时，f(x)向左平移b个单位，b<0时，f(x)向右平移|b|个单位。

f(x)与f(x)+b的关系：黑线f(x),红线f(x)+b(b>0),绿线f(x)+b(b<0)

实验过程如下：

x=-2*pi:0.01:2*pi;

y=cos(x.^2);

y1=cos(x.^2)+1;

y2=cos(x.^2)-1;

plot(x,y,'k',x,y1,'r',x,y2,'g')

结论：f(x)+b ,b>0时，f(x)向上平移b个单位，b<0时，f(x)向下平移|b|个单位。

四．假设有一种传染病，任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初设有m个人患病，每个人年平均传染率为k，治愈率为i，若一年内等时间间隔检测n次，则一年后患病人数为多少？若检测次数无限增加，一年后传染病人数会无限增加吗？

设第j检测患病人数为m j，递归公式如下：

m j=(1+k/n)(1-i/n)m j-1，m0=m;

上式化为：m j=m(1+k/n)j(1-i/n)j

一年后患病人数为m n=m(1+k/n)n(1-i/n)n

N趋于无穷大时，实验过程为：

syms n m k i

x=limit(m*(1+k/n)^n*(1-i/n)^n,n,inf)

x=

exp(k)/exp(i)*m

n趋于无穷大时，极限为e k-i/m，所以若检测次数无限增加，一年后传染病人数不会无限增加。