中考数学专题：阅读理解(整除问题)
中考数学专题：阅读理解（整除问题）基本知识：用字母表示一个多位数，数的整除的特征，不定方程的整数解。
【基本题1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数。
【基本题2】求方程117x的所有正整数解+y3=21【基本题3】求方程22x的所有正整数解。
+y2=3【基本题4】一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗？请证明你的判断。
【经典例题1】一个三位数是偶数且能能被7整除，求出所有这样的所有三位数【经典例题2】试说明把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，所得的新两位数与原两位数的和能被11整除，所得的新两位数与原两位数之差能被哪个质数整除？说明理由。
1.一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”，例如：132，选择百位数字1和十位数字3组成的两位数为13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为12和21，选择十位数字3和个位数字2组成的两位数为32和23。
因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”。
一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”。
（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由。
（2）证明:当一个“伯伯数”xyz是“公主数”时，则x。
z2（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”。
2.（巴蜀中学期末考试27题）一个三位正整数M，其各位数字互不相同且都不为0，若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“情谊数”，如：168的“情谊数”为618；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132。
（1）求证：M与其“情谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。
3.你听说过“好数”吗？数学里的“好数”有多种定义，我们这里给大家介绍其中的一种：对于自然数N ，如果找到自然数a 和b ，使得2222b ab a N ++=，则称N 为“好数”，例如13就是一个“好数”，因为2222212113⨯+⨯⨯+=。
（1）判断：25是“好数”吗？为什么？（2）小明找到一些这样的“好数”后发现一规律：这些“好数”都可以看作是两个完全平方数之和，你认为小明发现的规律正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例。
（3）如果m ，n 都是“好数”，那么mn 是否为“好数”？为什么？4．若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”．例如：判断210是“劳动数”的过程如下：2×2+3×1+0=7，∵7能被7整除，∴210是“劳动数”；判断322是“劳动数”的过程如下：2×3+3×2+2=14，∵14能被7整除，∴322是“劳动数”；（1）直接写出最小的“劳动数”为 ，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”；（2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除．5.如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位数字与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如4312，其中3>1,4=3+1,2=3-1，所以4312是亲密数。
（1）最小的亲密数是___________，最大的亲密数是_______________；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的这个新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除。
（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数。
6．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求出由369产生的第一个对称数；（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定是9的整数倍；（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？请直接写出符合条件的所有三位对称数。
7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？你能很快求出ac bc ab c b a ---++222吗？9．任意写一个个位数字不为零的四位正整数A ，将该正整数A 的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B ，则称A 和B 为一对四位回文数．例如A ＝2016，B ＝6102，则A 和B 就是一对四位回文数．现将A 的回文数B 从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾．在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A 的回文数B 作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261．它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和。
（1）请直接写出一对四位回文数；猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；（2）已知一个四位正整数11x y （千位数字为1，百位数字为x 且0≤x ≤9，十位数字为1，个位数字为y 且0＜y ≤9的回文数作三位数的和能被27整除，请求出y 与x 的数量关系．10．如果一个正整数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数. 例如2222420,1242=-=-，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用22k +和2k 表示（k 是非负整数）.（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？（2）小华说：“不是所有的4的倍数都是奇异数.”你认为她的说法对吗？若认为正确，请举出一个不是奇异数的4的倍数.（3）如果一个正整数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数.①若一个美丽数一定是m 的倍数，则m = .②m 的倍数一定 (填“是”或“不是”)美丽数.③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，请写出一个这样的数；若不存在，请简要说明理由.11. 我们可以将任意三位数表示为abc （其中a 、b 、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且0a ≠）.显然，10010abc a b c =++；我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。
（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和（2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。
12.若在一个两位正整数N的个位数字和十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324。
若将一个两位正整数M加上2后得到一个新数，我们称这个新书为M的“立达数”，如34的“立达数”为民36.（1）对于任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；（2）若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半，求B的值。
13.若一个正整数p能表示为两个不相等正整数a,b（a<b）的平方和，即p=a2+b2,则称p为斜平方和数，而数对（a,b)称为p的斜平方和分解，记为F(p)=(a，b)，比如：∵202=81+121=92+112，∴F(202)=(9,11).（1）探究：如果正整数p是斜平方和数，那么2p也一定是斜平方和数吗？请先任意举两例验证这个猜想，如果你认为该猜想正确，请证明，否则请给出反例；（2）证明：如果一个正整数是斜平方和数，那么它的5倍一定是斜平方和数。
14．阅读材料，回答问题：若整数m是8的倍数，那么称整数m为“发达数”．例如，因为16是8的倍数，所以16是“发达数”．（1）已知整数m等于某个奇数的平方减1，求证：m是“发达数”．（2）已知两位正整数10≤≤≤，其中x、y为自然数），交换x y=+（19t x y其个位上的数字和十位上的数字得到新数s，如果s加上t的和是“发达数”，求出所有符合条件的两位正整数t．15．一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”．（1）若四位数123k是一个“精巧数”，求k的值；（2）若一个三位“精巧数”2ab各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”．解：（1）∵四位数是一个“精巧数”，∴1230+k是4的倍数；即1230+k=4n，当n=308时，k=2；当n=309时，k=6，∴k=2或6；（2）∵是“精巧数”，∴a为偶数，且2+a+b是3的倍数，∵a＜10，b＜10，∴2+a+b＜22，∵各位数字之和为一个完全平方数，∴2+a+b=32=9，∴当a=0时，b=7；当a=2时，b=5；当a=4时，b=3；当a=6时，b=1，∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261．…………………（10分）。
【精品专题训练】九年级数学中考总复习专项训练专题典型整除的阅读理解题题型
九年级数学中考总复习专项训练典型整除的阅读理解题题型整除的阅读理解题题型，考查学生的分类思想，转化思想，取值范围。
要解决这个问题，首先要分清新定义，圈上注意点。
要认真研究例题，多做些习题。
通过列举法，达到解决问题的目的。
类型1 求二元一次方程ax+by+c=0(a,b,c都是整数，x,y是未知数）的整数解。
方法点睛：用列举法一个一个求解。
例1阅读下列材料,回答问题:材料一:在大于1的整数中,除了能被1和本身整除外,还能被其它数(0除外)整除的数,称为合数.材料二:若一个各个数位上的数字都不为零的四位数,其干位上的数字与个位上的数字相等,百位上的数字与十位上的数字相等,且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数,则称该数为“对称合数",如2552、6886都是“对称合数".(1)最小的“对称合数”为________,最大的“对称合数"为__________.(2)若“对称合数”的前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数,求满足条件的所有“对称合数"的个数,并把它们写出来.针对性训练若一个四位正整数abcd满足：a+d=b+c,我们就称该数是“等等数".比如:对于四位数3478，∵3+8=4+7,∴3478是“等等数",对于四位数2354,∵2+4≠3+5,∴2354不是“等等数".(1)直接写出最小的“等等数";(2)判断6556是否为“等等数”,并说明理由:(3)若一个“等等数”,满足个位上的数字是百位上的数字的两倍,且千位上的数字与十位上的数字之和能被8整除,请求出所有满足条件的“等等数”类型2：形式：是分数ax+by+c n (a,b,c,n 都是整数，x,y 是未知数）实际：分数ax+by+c n (a,b,c,n 都是整数，x,y 是未知数）必须为整数。
方法点睛：转化求ax+by+m 的取值范围，在这个范围内确定ax+by+m 这个二元一次方程的整数解。
2017年重庆中考数学材料阅读24题练习题
2017年重庆中考材料阅读练习题1、2017届南开（融侨）中学九上入学24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。
数字111经过三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。
（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。
你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。
2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。
比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。
根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。
25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．（1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”)（2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x=上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。
2019重庆中考数学第25题专题-整除有关的问题
2018重庆中考数学第25题专题训练一整除有关的问题1、重庆实验外国语学校2018级初三上期期末25． 对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p ，将它各个数位上的数字分别3倍后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数xyz ，当()xz xy -的值最小时，称此时的xyz 为自自然数p 的“冬至数”，并规定()()2x z y p K +-=．例如：p =235时，其各个数位上数字分别3倍后的三个个位数分别是6、9、5，重新组合后的数为为695、659、569、596、965、956，因为(6×5-6×9)的值最小，所以659是235的“冬至数”，此时()()1006952=+-=p K （1）求K (145)和K (746)；（2）若s ，t 都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，s 的个位数字为1，十位数字是个位数字的2倍，t 的十位数字是百位数字的2倍，s 的百位数字与:的个位数字相同．若(s +t )能被4整除，(s －t )能被11整除，求()()t K s K 的最大值．2、重庆八中2018级初三上期期末25．一个三位自然数是s ，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0的新三位自然数's （'s 可以与s 相同），设xyz s ='，在's 所有的可能情况中，当z y x -+3最大时，我们称此时的's 是s 的“梦想数”，并规定()2223z y x s P -+=．例如125按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为，，，，20122121672022112732 =-+=-+=-+ 所以172是172的“梦想数”，此时，()1442731127222=-⨯+=P ．（1）求512的“梦想数”及()512P 的值；（2）设三位自然数，ab s 1=交换其个位与十位上的数字得到新数's ，若4887'729=+s s ，且()s P 能被7整除，求s 的值．5、重庆一中2018级初三上期期末25.若一个三位自然m=xyz(x,y,z为整数,且1≤x≤9,O≤y、z≤9)满足y=2x-z,则称m为“无问西东数”,交换m的百位数字与十位数字得新数n=yxz,则称n.m的“无问东西数”,规定F(m,n)=sm+n(s,t均为非零常数),记I(m)=F(m,n).如m=111为“无问西东数”,其“无问东西数”n=111；再如m=102为“无问西东数其无河东西数”n=12.已知I(l11)=ll,I(102)=-78.(1)记最大“无问西东数”为p,则I(P)=______,并求证:任意一个“无问西东数”与其各个数位上数字之和能被3整数(2)已知一个三位自然数h=100a+10b+3c(其中a,b,c为整数,且1≤a≤9,0≤b≤7,0≤c≤9)是“无问西东数”,且被8除余1,求I(h)的最小值.6、重庆南开中学2018级初三上期期末25．一个自然数从左到右各数位上数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称一个数是另一个数的镜反数，即:若A=），（其中0a 0a a a a a n 1n1-n 21≠≠⋯⋯则它的镜反数F(A)=121-n n a a a a ⋯⋯· 例如:F(13062)=26031(1)若M 是一个四位数，求证M+F(M)能被11整除；(2)已知任意四位数P 均可唯一分解为P=100a+b 2+c 的形式(其中a ，b ，c 均为非负整数，0≤b≤9且c ＜2b+1)，规定G(P)=b 2ac -a +．例如:2018=100×20+18=100×20+42+2，所以G(2018)=14942202-20=⨯+．若N 是一个四位数，其中千位比百位大1，十位比个位小1，且存在大于1的整数k ，使得F(N)=k 2N ，求G(N)的最大值．课后练习：1.2.3.4.。
2021年中考数学阅读材料题专题(二)
2021年中考数学阅读材料题专题（二）1．阅读材料：对于一个三位自然数m ，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字x ，y ，z ，我们对自然数m 规定一个运算：F （m ）＝x 2+y 2+z 2．例如：m ＝752，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：1、5、6，则F （752）＝12+52+62＝62．（1）根据材料内容，求F （234）﹣F （567）的值；（2）已知两个三位数p ＝3a a ，q ＝33b （a ，b 为整数，且2≤a ≤7，2≤b ≤7），若p +q 能被17整除，求F （p +q ）的值．2．若一个三位数m ＝xyz （其中x ，y ，z 不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M （m ）．例如435，重排后得到345，354，453，534，543，所以435的差数M （435）＝543﹣345＝198．（1）若一个三位数t ＝2x y （其中x ＞y ＞2）的差数M （t ）＝594，且各数位上的数字之和能被5整除，求t 的值；（2）若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的M （m ）的最小值．3．若一个五位正整数满足：①各个数位上的数字都不为0，②它的万位数字、千位数字、十位数字、个位数字的和等于百位数字，我们称这样的五位正整数为“顶尖数”．例如：31822，因为3+1+2+2＝8，所以31822是一个“顶尖数”．（1）最小的“顶尖数”是 ，最大的“顶尖数”是 ；（2）写出所有百位数字是6且个位数字是1的“顶尖数”．4．对于任意一个自然数n，如果n的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称n为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是3+2+5+8+7＝25＝52，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数m，如果m是一个整数的立方，那么称m为“立方数”，例如，8＝23，所以8是一个立方数．（1）判断9999是不是方数？729是不是立方数？（2）若一个两位数各位数字之和是一个“立方数”，并且各位数字相差4，请求出这个两位数；（3）若自然数n既是“方数”又是“立方数”，则称n为完美数，请直接写出小于1000的自然数中的所有完美数．5．阅读下列材料，解答下列问题材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝2(1)1x x z xx z+-++-．（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t 为“网红数”时，求G（t）的最大值．6. 定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为0，且满足百位上的数字与各位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数，设A 为一个开合数，将A 的百位数字和个位数交换位置后得到新数再与A 相加的和为()A φ，例如852是开合数，则(852)=852+258=1110φ.（1）已知开合数10310m x =+（09x <≤，且为x 整数），求()m φ的值;（2） 三位数A 是一个整数，请求满足条件的所有A值.7（10 分）根据阅读材料，解决问题．材料 1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．（例如：1、232、4554 是对称数）材料 2：对于一个三位自然数 A ，将它各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字，得到三个新的数字 x ， y ， z ，我们对自然数 A 规定一个运算； K ( A ) = x 2 + y 2 + z 2 ，例如：A = 191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字分别是：2、8、2．则 K (191) = 22 + 82 + 22 = 72 ． 请解答：（1）请你直接写出最大的两位对称数： ，最小的三位对称数： ；（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第 1100 个对称数； （3）一个四位的“对称数” B ，若 K (B ) = 8 ，请求出 B 的所有值．8.若一个三位数m xyz =（期中x,y,z 不全相等且都不为0），现将各个数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作()M m .例如537，重排后得到357,375,753,735,573，所以537的差数(537)=753-357=396M .（1）若一个三位数t abc =（其中b a c >>，且0abc ≠），求证:()M t 能被99整除;（2）若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的()M m 的最小值.9.一个三位正数m ，其各位数字均不为零且互不相等，若将M 的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数。
中考数学专题复习新定义阅读理解题(一)
（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是，最小的“本位数”是．
（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？
4．阅读下列材料解决问题：
材料一：完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数．例如， 是一个完全平方数．
材料二：对一个四位数，我们可以记为 ，即 ，若一个四位数的千位数字与百位数字相同，十位与个位数字相同，记为 ，我们称之为和谐四位数．
4．（1）3；（2）证明见解析；（3）7744
【解析】
【分析】
（1）对12进行分解，即可得到n为3时，12n成为完全平方数的最小正整数；
（2）将 用整式表示出来，再对整式进行因式分解即可；
（3）由题意易知100x+y要被11整除，且 ，可得x+y=11，再对x、y逐一进行检验即可．
【详解】
解：（1）∵n是使12n成为完全平方数的最小正整数，
2．（1）0；25,（2）证明见详解;（3）满足条件s的最大值 ．
【解析】
【分析】
（1）根据定义即可求出；
（2）对任意一个四位数n= ，m= 根据定义求 ,由 均为整数， 也为整数,可得对任意一个四位数n， 均为整数；
（3）由定义可得 = ,由 是一个完全平方数,满足条件s的最大值只要 最大即可,可求 最大=9,可得9b-11为平方数，9b-11=25，解方程即可．
12=2×2×3，
∴n=3．
（2）∵ ，
∴任意一个和谐四位数都是 的倍数．
（3）∵四位数 是一个完全平方数， 是一个完全平方数，
能被 整除，
．
能被 整除，而 ，
只有 ，经检验 ，
故这个四位数为 ．
中考专题：材料阅读题(整除问题)
中考专题:材料阅读题 类型一：代数1（整除类）1. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n ba=，即bn a =。
例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得n a=3，即n a 3=。
（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。
例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。
请你证明任意一个四位数都满足上述规律。
（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。
2. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：1011031132332222222=+→=+→=+→，1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．3. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的． （1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？4. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得a n b=，即a bn =，例如：若整数a 能被11整除，则一定存在整数n ，使得11an =，即11a n =，一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,如：42559奇数位的数字之和为4+5+9=18，偶数位的数字之和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559为“光棍数”. ①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；②若七位整数17562m n 能被11整除，请求出所有符合要求的七位整数。
专题01 数的整除5种压轴题型全攻略(解析版)
专题01数的整除5种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一整除概念的识别】 (1)【考点二能被2，3，5整除的数的特征】 (1)3【考点四最大公因数和最小公倍数的应用】 (3)【考点五数的整除的拓展提高】 (4)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一整除概念的识别】【例题1】下列式子中，属于整除的是()．A ．20 2.58÷=B ．85 1.6÷=C ．42221÷=D ．1.20.43÷=【答案】C【分析】根据整除的含义，逐项分析每个选项即可．【详解】解：20 2.58÷=，2.5不是整数，不属于整除运算，故选项A 不符合题意；85 1.6÷=，商不是整数，不属于整除运算，故选项B 不符合题意；42221÷=，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，属于整除运算，故选项C 符合题意；1.20.43÷=，被除数和除数都不是整数，不属于整除运算，故选项D 不符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了数的整除，熟练掌握数的整除的含义是解本题的关键．【变式1】下列语句错误的是（）①2.5能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A =2×3×5×B ，B >1，则B 一定是A 的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；【考点二能被2、3、5整除的数的特征】【考点三最大公因数和最小公倍数的概念辨析】【例题3】等式25,311m n =⨯=⨯，m 和n 的最大公因数是（）A ．m ；B ．n ；C ．1；D ．不确定．【答案】C 【分析】根据最大公因数的定义求解即可．【详解】∵25,311m n =⨯=⨯，即125,1311m n =⨯⨯=⨯⨯，∴m 和n 的最大公因数是1．故选C ．【点睛】此题考查了求最大公因数，几个整数中公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数．【变式1】一筐苹果三个三个地数，五个五个地数，六个六个地数，都刚好数完．求苹果的个数，实际是求3，5和6的（）A ．公因数B ．最大公因数C ．公倍数D ．最小公倍数【答案】C【分析】因为苹果三个三个地数，五个五个地数，六个六个地数，都刚好数完，那么苹果的数量应该是3，5和6的公倍数，即可得出答案．【详解】解：因为苹果三个三个地数，五个五个地数，六个六个地数，都刚好数完，所以苹果的数量应该是3，5和6的公倍数．故选：C ．【点睛】本题考查了公倍数的应用，充分理解公倍数的定义是解答本题的关键．【变式2】a 、b 都是正整数，如果3a b =，那么a 、b 的最小公倍数是（）A ．3abB ．aC ．bD ．ab【答案】B【分析】根据a 是b 的倍数，可得a 、b 的最小公倍数为a ，即可作答．【详解】解：∵3a b =，故a 、b 的最小公倍数为a ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了最小公倍数的知识．公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数．【考点四最大公因数和最小公倍数的应用】【例题4】有三根绳子，分别长12米，18米，24米，将它们都截成同样长度的小段且没有剩余，那么每一小段最长是（）A ．2米；B ．3米；C ．4米；D ．6米．【答案】D【分析】根据题意，可计算出12、18、24的最大公因数，即是每根小段的最长，即可得到答案．【详解】解：12223=⨯⨯，18233=⨯⨯，242223=创，所以12、18与24最大公约数是：236⨯=，即每小段最长是6米，故选D ．【点睛】本题考查了最大公约数，解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根铁丝可以截成的段数，再相加即可．【变式1】一箱苹果估计约有50个，如果每次拿3个和每次拿4个都正好拿完没有剩余，那么这箱苹果有个．【答案】48【分析】根据题意可知，这个数是3和4的公倍数，再结合这箱苹果估计约有50个即可求解．【详解】解：每次拿3个和每次拿4个都正好拿完没有剩余，可知这个数是3和4的公倍数，可能是12，24，36，48……，又因为这箱苹果估计约有50个，所以这箱苹果有48个，故答案为：48．【点睛】本题考查了公倍数的应用，正确找公倍数是解题的关键．【变式2】把一个自然数分解素因数，若所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，则称这样的数为“史密斯数”.如：27333=⨯⨯，33327++=+，即27是“史密斯数”，那么，在4、32、58、∵3222222=⨯⨯⨯⨯，222221032++++=≠+，∴32不是“史密斯数”，∵58229=⨯，2291358++==+，∴58是“史密斯数”，∵65513=⨯，513965++=≠+，∴65不是“史密斯数”，∵94247=⨯，2471394++==+，∴94是“史密斯数”，综上可知，4、58、94是“史密斯数”，共3个，故答案为：3【点睛】此题考查了分解素因数的应用，理解“史密斯数”的定义和熟练掌握分解素因数是解题的关键．【考点五数的整除的拓展提高】31=+4=(棵)，428⨯=(棵)，答：不用移栽的树有8棵．【点睛】本题的关键是让学生理解不用移栽的树是4和5的公倍数，注意因首尾都栽，起始的一棵也不用移栽．还要注意路两边植树．【变式2】在地铁人民广场站，地铁1号线每隔4分钟有一列车开出，地铁2号线每隔6分钟有一列车开出，在早上8点恰好地铁1号线与2号线同时有车从这个站发车，那么到正午12点时，两条地铁线在本站同时发车的次数有多少？【答案】21【分析】由于地铁1号线每隔4分钟有一列车开出，地铁2号线每隔6分钟有一列车开出，在早上8点恰好地铁1号线与2号线同时有车从这个站发车，先求出4与6的最小公倍数，从而用240分除以4与6的最小公倍数即可得解．【详解】解∶∵422=⨯，623=⨯，∴4与6的最小公倍数是22312⨯⨯=，又1284-=小时240=分钟，∴2401220÷=（次）再加上开始的一次，故恰有2l 次同时出发，答∶两条地铁线在本站同时发车的次数有21次．【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．能整除3次5的数有250，会乘出3个连续的0．所以共有166325++=个连续的0，则能整除25次10，第26次首次出现余数，故答案为：26．【点睛】题目主要考查数的整除，理解题意是解题关键．【过关检测】一．选择题1．下列说法正确的是（）A．两个素数没有公因数B．两个合数一定不互素C．一个素数和一个合数一定互素D．两个不相等的素数一定互素【答案】D【分析】在自然数中，除了1和它本身之外，没别的因数的数为素数；除1和它本身外，还有别的因数的数为合数，只有公因数的1的两个数为互质数，据此分析判断即可．【详解】解：A、两个素数有公因数1，则两个素数没有公因数说法错误；B、如8和9都是合数，它们互质，所以两个合数一定不互素错误；C、质数中最小的质数为2，2与任何以上偶合数都不互质，则一个素数和一个合数一定互素错误；D、由于两个相等的素数只有公因数1，两个不相等的素数一定互素．故选：D．【点睛】本题考查了质数、合数和互质数的意义，熟练掌握其意义是解题的关键．2．下列说法正确的是（）÷=，所以10是4的倍数B．所有正整数，不是素数就是合数A．因为104 2.5C．2既是偶数又是素数D．比3小的自然数只有1和2【答案】C【分析】根据倍数的概念：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数，即可判断A；根据素数和合数的概念即可判断B；根据偶数和素数的概念可判断C；根据自然数的概念即可判断D．÷=，2.5不是整数，故此选项说法错误；【详解】A.104 2.5B.1既不是素数也不是合数，此选项说法错误；C.2既是偶数又是素数，说法正确；D.比3小的自然数有0、1、2故选C．【点睛】本题考查了倍数的概念、素数和合数的概念、偶数的概念、自然数的概念，熟练掌握概念是解题的关键．3．下列说法正确的是（）A．比3小的自然数只有1和2=⨯一定是合数B．若a，b都是素数，则m a bC．所有正整数，不是素数就是合数D．12的因数只有2、3、4、6【答案】B【分析】根据自然数的定义、素数和合数的定义、因数的定义判断分析即可求解．【详解】A．比3小的自然数有0、1和2，故本选项不符合题意；=⨯一定是合数，说法正确，本选项符合题意；B．若a，b都是素数，则m a bC．所有正整数，不是质数就是合数，说法错误，例如，1既不是质数，也不是合数，本选项不符合题意；D．12的因数有1、2、3、4、6、12，本选项不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了自然数的定义、素数和合数的定义、因数的定义，解题的关键是熟记以上定义或概念．4．一个汽车站内有两路公共汽车，甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每隔（）分钟，两路汽车会同时发车A．1B．2C．12D．24【答案】C【分析】甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，4和6的最小公倍数为12，如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车．【详解】解：4和6的最小公倍数为12，如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车．故选：C．【点睛】本题考查的是最小公倍数的实际应用，通过求间隔时间的最小公倍数，来求至少每隔多少分钟两路汽车会同时发车，是完成此类问题的主要方法．5．下列语句错误的是（）①2.5能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A =2×3×5×B ，B >1，则B 一定是A 的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据题意，对各选项依次分析，得出结论．【详解】解：2.5不是整数，故①错误；因为42=2÷，所以4是2的倍数，2是4的因数，故②错误；2351A B B =⨯⨯⨯>，，则B 一定是A 的因数，但不一定是A 的素因数，故③正确；两个整数的公倍数一定能被这两个数整除，故④正确；因此错误语句有2个，故选：B ．6．著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（）A ．413=+B ．13211=+C ．1679=+D ．321319=+【答案】D【分析】根据偶数、素数的定义逐项分析即可．【详解】解：A 、1不是素数，故A 错误；B 、13不是偶数，故B 错误；C 、9不是素数，故C 错误；D 、32是偶数，13与19均是素数，符合题意，故选D ．【点睛】此题考查了质（素）数与合数，偶数与奇数的意义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数；在整数中，能被2整除的数，叫做偶数．点睛】本题考查了乘法和除法，倍数和因数，掌握各个相应的概念是解题的关键．二.填空题【点睛】本题实质上考查的是分解质因数，也可以按照和差问题求出这两个数的结果，再计算这两个自然数的和除以这两个数的差的商．18．一个数的亿位上是5、万级和个级的最高位上也是5，其余数位上都是0，这个数写作()，省略万位后面的尾数是()．【答案】55000500055001万【分析】首先确定数的最高位与位数（亿位，9位数），再确定每一个数位上的数字，从高位到低位写出即可，省略万位后面的尾数，看千位上的数字，利用“四舍五入”的方法即可．【详解】解：这个数写作：55000500055000500050001≈万故答案为：550005000，55001万．【点睛】此题除了搞清数的位数和每一位上的数字外，还要注意在省略万位后面的尾数时要在数的后面加上“万”字．三、解答题19．有一张长105厘米、宽75厘米的长方形铁片，要分成若干大小完全相同的正方形铁皮，且无剩余．问：(1)小正方形的边长最大为多少厘米？(2)这张长方形铁皮最少可以分成多少个正方形铁皮？【答案】(1)15厘米(2)35个【分析】（1）分别将长和宽分别质因数，确定它们的最大公约数，即可得出结果；（2）分别用长和宽除以最大公约数，进行求解即可．【详解】（1）解：105357,75355=⨯⨯=⨯⨯，∴105和75的最大公因数是15；∴小正方形的边长最大为15厘米；（2）解：105157÷=，75155÷=，7535⨯=（个）；答：这张长方形铁皮最少可以分成35个正方形铁皮．【点睛】本题考查分解质因数．熟练掌握分解质因数的方法，是解题的关键．20.一块草坪长50cm ，宽40cm ，要用这样相同大小的草坪铺成一个正方形花园，铺成的正方形花园的边长至少为多少厘米？至少要多少块这样的草坪？【答案】铺成的正方形花园的边长至少为200厘米，至少要20块这样的草坪．【分析】找到50、40的最小公倍数，即可得到正方形的边长，再用正方形的面积除以每块草坪的面积即可得到答案．【详解】解：∵50255=⨯⨯，402225=⨯⨯⨯，∴50、40的最小公倍数为22255200⨯⨯⨯⨯=，即边长至少为200cm ，需要()()200200504020⨯÷⨯=（块），答：铺成的正方形花园的边长至少为200厘米，至少要20块这样的草坪．【点睛】此题考查最小公倍数的应用，熟练掌握求两个数的最小公倍数的方法是解题的关键．。
初三数学阅读理解题第25题专题复习
初三数学阅读理解题第25题专题复习25．任意一个正整数m都可以表示为：m=a|2某b（a,b均为正整数），在m的所有表示结果中，当|ab|最小时，规定Q(m)b22210822731226，因为3．例如10812a31．264（1）Q(48)；如果一个正整数n是另一个正整数c的立方，那么称正整数n是立，所以Q(m)1108227312631；2（2）一个正整数t，t20某y（1某9，0y9，某，y是自然数），如果t与其各个数位上数字之和能被19整除，那么我们称这个数t为“希望数”．求所有“希望数”中Q(t)的最小方数，求证：对于任意立方数n，总有Q(n)值．25．阅读下列材料，并解决问题：材料1：对于一个三位数其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”如122，22(21)；材料2：若一个数M能够写成M=p|2q|2+p+q（p、q均为正整数，且pq），则我们称这2pq样的数为“不完全平方差数”，当最大时，我们称此时的p、q为M的一组“最优分p2q解数”，并规定F(M)p2982.例如349282981721721717，因为：，q9285217171219，，所以F(M)；172173538（1）求证：任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被3整除；（2）若一个小于300的三位数N140a20bc（其中1b4，0c9，且a、b、c均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，求所有F(N)的最大值.25．材料1：一个多位正整数，如果它既能被13整除，又能被14整除，那么我们称这样的数为“一生一世”数(数字1314的谐音).例如：正整数364，3641328，3641426，则364是“一生一世”数.材料2：若一个正整数m，它既能被a整除，又能被b整除，且a与b互素（即a与b的公约数只有1），则m一定能被ab整除.例如：正整数364，3641328，3641426，因为13和14互素，则364(1314)3641822，即364一定能被182整除.（1）6734（填空：是或者不是）“一生一世”数.并证明：任意一个位数大于三位的“一生一世”数，将其末尾三位数截去，所截的末尾三位数与截去后剩下的数之差一定能被91整除；（2）任意一个四位数的“一生一世”数，若满足前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这样的数为“相伴一生一世”数，求出所有的“相伴一生一世”数.25．对于一个正整数，如果从左到右偶数数位上的数字之和与奇数数位上的数字之和的差是11的倍数，则称这个正整数为“新奇数”。
重庆中考数学第25题(阅读理解)专题专训(学生版)
重庆中考数学第25题专题专训2501．材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14=15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）= ；（2）求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（3）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．2502．任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a ×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．2503．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F （s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2504．有一个n位自然数能被x整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x 0+2整除，按此规律轮换后，能被x+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．2505．已知，我们把任意形如：的五位自然数（其中c=a+b，1≤a≤9，1≤b≤9）称之为喜马拉雅数，例如：在32523自然数中，3=2=5，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除n的最大的喜马拉雅数记为F（n），能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I（n）．（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；（2）求F（3）+I（8）的值．2506．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y ≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．2507．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．2507．当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k 为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729 中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435 ×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．2509．根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．2510．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．2511．对任意一个正整数m，如果m=n（n+1），其中n是正整数，则称m为“优数”，n为m的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点．（1）请写出一个“优数”，它的最优拆分点是；（2）求证：若“优数”m是5的倍数，则m一定是10的倍数；（3）把“优数”p的2倍与“优数”q的3倍的差记为D（p，q），例如：20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p的最优拆分点为t+4，“优数”q的最优拆分点为t，当D（p，q）=76时，求t的值并判断它是否为“优数”．2512．一个整数能表示成a 2+b 2（a 、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．如2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x 2+2xy+2y 2=（x+y ）2+y 2 （x+y ，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”．（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是 ，并判断20 “丰数”．（填是或不是）；（2）已知S=x 2+y 2+2x ﹣6y+k （x 、y 是整数，k 是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个k 值（10≤k ＜200），并说明理由．2513．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝 对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：()qpF n =，例如12 可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4 是12的最佳分解，所以F （12）=．（1）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F （m ）=1； （2）如果一个两位正整数t ，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F （t ）的最大值．2514．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．2515．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．（1）求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；（2）若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．2515．任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p≤q ），正整数的所有这种分解中，如果p 、q 两因数之差的绝对值最小， 我们就称p ×q 是正整数的最佳分解．并规定：()qpF n =．例如24可以 分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4， 所以4×6是24的最佳分解，所以F （24）=． （1）求F （18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x 、y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差记为m ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的 两位正整数所得的和记为n ，若mn 为4752，那么我们称这个数为“最 美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F （t ）的最大值．2517．阅读下列材料，解决问题材料一：如果一个正整数的个位数字等于除个位数字之外的其他各位数字之和，则称这个数为“刀塔数”，比如：因1+2=3，所以123是“刀塔数”，同理，55，1315也是“刀塔数”．材料二：形如的三位数叫“王者数”，其中x﹣2，x，x+2分别是这个数的百位数字，十位数字，个位数字．例如：135，468均为“王者数”问题：（1）已知a既是“刀塔数”又是“王者数”，若数b（b＞0）使10a+b 为一个“刀塔数”，求b的最小值；（2）已知一个五位“刀塔数”与一个“王者数”的和能被3整除，且c﹣a+d﹣b=4，证明．2518．一个形如的五位自然数，（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该位数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且a≠0，b≠0），若有a=e，b=d 且c=a+b，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”，同时规定，若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差是693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”，如在对称数43734中432﹣342=693，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”．例如：12321与21312为一组“相关对称数”．求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；（2）求出所有的“智慧对称数”中最大的“智慧对称数”．2519．我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2 整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d）是“吉祥数”．请解答下面几个问题：（1）已知是“吉祥数”，则x= ．（2）若正整数是“吉祥数”，试说明：d+4（a+b+c）能被2整除．（3）小明完成第（2）问后认为：四位正整数是“吉祥数”，那么d+4（a+b+c）也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．2520．阅读理解：有一个n位自然数（n，n1，n2，n3，…nn是正整数，n≥2，1≤n1，n2，n3，…nn＜9），若交换不同数位上的数字得到一新数则叫这个n位自然数的一个“轮换数”，如：，均是的一个“轮换数”；36是63的一个“轮换数”，243是324的一个“轮换数”．（1）写出213的所有轮换数．（2）证明：任何一个3位自然数与它所有轮换数的和是111的倍数．（3）试求：4213与它所有轮换数的和．2521．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．2522．人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系．若两个不同的自然数的所有真因数（即除了自身以外的正约数）之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的约数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和1+2+3+6+9=21；51的约数有1、3、17、51，它的真因数之和1+3+17=21，所以18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头（首位与末位）都是1的数为“两头蛇数”．（1）6的“亲和数”为25 ；将一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数，求满足条件的“两头蛇数”．（2）已知两个“亲和数”的真因数之和都等于15，且这两个“亲和数”中较大的数能将一个正中间数位（百位）上的数为4的五位“两头蛇数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的“两头蛇数”．2523．一个形如的五位自然数（其中c表示该数万位和个位上的数字，b 表示千位和十位上的数字，a表示百位上的数字．且c≠0），若有a+c=b，则把该自然数叫做“M数”，例如在自然数25352中，3+2=5，则25352 是一个“M数”，同时规定：与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最大“M数”记为P＜＞，与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最小“M数”记为Q＜＞．（1）求证：若4c+3a能被9整除，则任意一个“M数”都能被9整数；（2）若“M数”与它各数位数字之和的差能被7整除，请求出P＜＞和Q＜＞．2524．阅读下列材料，解决后面两个问题：一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282能不能被17整除． 167528﹣2×5=167518，16751﹣8 ×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…6×5=30，现在个位×5=30＞剩下的13，就用大数减去小数，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．（1）请用上述方法判断7242和2098754 是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n为整数．若这个数能被51整除，请求出这个数．2525.若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是谋略数，如22，797，12321都是谋略数．最小的谋略数是11，没有最大的谋略数，因为数位是无穷的．有一种产生谋略数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个谋略数．如：16的逆序数为61，16+61=77，77是一个谋略数；37的逆序数为73，37+73=110，110的逆序数为11，110+11=121，121是谋略数．（1）请你根据以上材料，直接写出57 产生的第一个谋略数；（2）若将任意一个四位谋略数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位谋略数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位谋略数共有多少个？2526.如果一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”．例：16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，小明和小王对自然数中的”智慧数”进行了如下探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2= （k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是“智慧数”．问题：（1）根据上述方法，自然数中第10个“智慧数”是；（2）他们发现0，4，8是“智慧数”，由此猜测4k（k为正整数）都是“智慧数”，请你参考小王的办法证明4k（k为正整数）都是“智慧数”．2527.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）请判断：2561 （填“是”或“不是”）“和平数”．（2）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”．2528.阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t 两加数之差的绝对值最小，称s+r为m的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）= ，F（9）= ：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．2529．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数，它（填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，M﹣N的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？2530、一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．2531．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N ﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2 除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N 礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）（1）17 “明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．2532．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．2533．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）= ；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．2534．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x≤y），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy．例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F（6）=3×3=9．（1）计算：F（8）．（2）设两位正整数t=l0a+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t′十位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之和，数t′个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t′﹣t=9，且F（t）能被2整除，求两位正整数t．2535、定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．2535．在一个m （m ≥3，m 为整数）位的正整数中，若从左到右第n （n ≤m ，n为正整数）位上的数字与从右到左第n 位上的数字之和都等于同一个常数 k （k 为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186 中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正 整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”， 其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s （1≤s ≤9，s 为整数），百位上的数字 为t （0≤t ≤9，t 为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A ，数B ，数C 都是三位“对称等和数”．A=（1≤a ≤9，a 为整数），设数B 十位上的数字为x （0≤x ≤9，x 为整数），数C 十位上 的数字为y （0≤y ≤9，y 为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．2537．任意一个正整数m 都可以表示为：m=a 2×b(a 、b 均为正整数) ,在m 所有表示的结果中，当b a -最小时，规定Q(m)=ab 2，例如：108=12×108=22×27=32×12=62×3，因为1081-＞272-＞123-＞36-，所以Q(m)= 3=1.2538.一个正偶数去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数为“魅力数”，把这个商叫做的魅力系数，记这个商为．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记．（1）计算：；（2）若都是“魅力数”，其中,是整数，规定：．当时，求的值2539.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同均不为0，那么称为“启航数”，将的两位数位上的数字对调得到一个新数′，把′放在后面组成第一个四位数，把放在′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如时，（1）计算若为“启航数”，是一个完全平方数，求的值；（2）为“启航数”，其中，且为整数.并规定：，若能被7整除，且，求的最大值.2540.对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到个不相同的新的“陌生数”，把这个“陌生数”，的和与111的商记为，例如，可以得到，，，，这个新三位数，这个三位数的和为123+132+213+231+312+321=1332，¸，所以（）.（1）计算：，；（2）若，都是“陌生数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当除以余时，求的最大值.。
整除型阅读理解专题
1.已知一个三位整数，百位上数字是a ，十位上的数字是b ， 个位上的数字是 c ，则这个三位整数可以表示成___或者____。
2.整除：若整数 a 除以非零整数 b ，商为整数，且余数为零, 我们就说a 能被b 整除（或说b 能整除a ）。可以表示为_____。
问题:如果这个三位数能被11整除，则这个 三位数与11的关系 通常表示为_____或_____。
∴在此范围内能被13整除的数只有13,26,39,52
①当7+9a=13时，则 a
=
2 3
②当7+9a=26时，则
a
=
19 9
③当7+9a=39时，则a
=
32 9
④当7+9a=52时，则 a = 5
∵a是整数 ∵a是整数 ∵a是整数 ∴a=5
∴舍去； ∴舍去； ∴舍去；
∵a+b=6 ∴b=1
∴M的值为351
{ 综上所述： ∴ m=158 n=518
m248 n428
m338 n338
分类讨论，得出结果
方法总结：
1.转化表达形式——方便计算 2.确定范围——减少计算 3.分类讨论——得出结果
整除型阅读理解
例题2：如果一个多位数的各数位数字之和等于9， 则我们称这个数为“完美数”。例如在3033中，因 为3+0+3+3=9，所以3033是“完美数”，又如在117 中，因为1+1+7=10，所以117是“完美数”。若三 位正整数 M = 3ab（0≤a≤9,0≤b≤9,a、b为整数）是 “完美数”，且能被13整除，求M得值。
3.当1 x 9 时,且 x 为整数，设m 3x 5，则 m的取值