张量的行列式和特征多项式
第 2 章 二阶张量
=
T
i j
⋅uj
，T
⋅u
≠
u⋅T
但 T ⋅u ≠ u⋅TT
2.2 正则与退化的二阶张量
定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集
【设矢量集 u(i) 线性相关，则存在不全为零的实数α(i) 使：
I
I
I
∑α (i)u(i) = 0 , 0 = T ⋅ ∑α (i)u(i) = ∑α(i) (T ⋅ u(i)) , 所以T ⋅ u(i) 也线性相关】
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
张量分量的数值随坐标改变而变化，但其某些组合却是不随坐标变化的标量---不变量。
(1) T 通过与自身 T 、 G 、 ε 进行缩并，得到的标量就是不变量:
G
:T
=
G ⋅⋅T
=
δ
jiT
j i
=
T
i i
T
⋅ ⋅T
=
T
ijT
j i
=
tr(T
⋅T )
εMT
⊗T
⊗T
Mε
=
εε ijk
T lmn
ilT
mj T
(4) [T ⋅ a,b,c] = [a,T ⋅ b,c] = [a,b,T ⋅ c] =η1 [a,b,c] [T ⋅ a,T ⋅ b,c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] =η2 [a,b,c]
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
张量第三章——精选推荐
张量第三章第三章⼏个基本的张量§3.1 度量张量⼀、度量张量j j i i g g δ= ji j i g g δ=协变基⽮量的逆变分量和逆变基⽮量的协变分量是单位张量。
若把每个基⽮量看成是异名基⽮量所构成的参照标架的⼀个特殊⽮量，则可以表⽰为：jij i g g g = j ijig g g =ij g 是i g 的协变分量，ij g 是i g 的逆变分量。
ij g 和ij g 称为度量张量。
ij g ——度量张量的协变分量或协变度量张量。
ij g ——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。
证明：ijg ，ij g 是⼆阶张量：''''i j i i g g g =⼜ijj j i i j i ijj j i i j i j ij j j i i j j j ij i i jij i i i i i i g g g g g g g g g g g g '''''''''''''''''ββββββββββ==∴====同理，度量张量的混变分量是单位张量，即i ji j g δ=j i j i g δ=⼆、度量张量的性质和作⽤1、度量张量各分量等于同名基⽮量的点积。
ij k j ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δij j k ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δ2、度量张量是⼆阶对称张量。
ij j i g g g g ?=? jiij g g =i j j i g g g g ?=?ji ij g g =3、度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按⼀对指标求和等于单位张量。
ji jk ik g g δ=jk ik hl jl ih l jl k ik j i j i g g g g g g g g g g ==?=?=δδ由上式，可由度量张量的协变分量求逆变分量或者反过来求。
力学中的数学方法-张量-2
2. Kronecker 符号一、Kronecker 符号定义为：⎩⎨⎧≠==ji ,0j i ,1j i δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001333231232221131211δδδδδδδδδ其中i ，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：j i δδij δ 的性质二、若ji j i δ=⋅e e 321,,e e e 是相互垂直的单位矢量，则3332211i i =⋅+⋅+⋅=⋅e e e e e e e e 3332211i i =++=δδδδii i i δ=⋅e e 例题1：三、例题注意：3i i =δi i δ是一个数值，即例题2：ki A A →kk k k i i k A A A ==δδ思路：把要被替换的指标i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k 表示i j ii δδ与不同ji δ的作用：1）换指标；2）选择求和。
例题3：ji j k T T →特别地，j i j k k i δδδ=mi m j j k k i ,δδδδ=ji j i i i j k k i T T T ==δδ四、符号的应用ijδ3. 置换符号(Permutatisn Symbol)1312231123===e e e 1132213321−===e e e 0232121111==== e e e 13⎪⎩⎪⎨⎧−=,0,1,1kj i e i, j, k, 为1，2，3的偶置换（123，231，312）i, j, k, 为1，2，3的奇置换（213，132，321）i, j, k, 的任意两个指标相同13易知：ij k j k i k i j j i k i k j k j i e e e e e e −=−=−===二、k j i e 符号的应用1）.三阶行列式321,,e e e 若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量k ?e 2）、右手卡氏直角坐标系的单位基矢量叉乘3）i jk ke =e i j ×=ee例题： 证明a × b = ε ijk ai b j e ke1 a × b = a1 b1e2 a2 b2e3 a3 b3= a2b3e1 − a3b2 e1 + a3b1e2 − a1b3e2 + a1b2 e3 − a2b1e3= ε 231a2b3e1 + ε 321a3b2 e1 + ε 312 a3b1e2 + ε132 a1b3e2 +ε123 a1b2 e3 + ε 213 a2b1e3= ε ijk ai b j ek11三、 常见的恒等式δi l ei j k el m n = δ j l δk lδi1 δi 2 δi 3 δ j3 δk 3δi m δ jm δk mδi n δ jn δk n1) 证明ei j k = ( ei × e j )iek = δ j1 δ j 2 δk 1 δk 2el mn = ( el × em )ien = δm1 δm 2 δn1 δn 2 δl1 δl 2δl 3δl1δm1 δm 2 δm3δn1 δn 2 δn 312δm3 = δl 2 δl 3 δn 32) 证明ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lδil δi m δjm δk m δi k δjk δkkei j k el mk = δ jl δk l= δk l = δi mδi m δjm δil δ jlδi k δjk −− δk m δilδil δ jl +3δi k δ jk δil δ jl+3δil δ jl =δim δ jm δil δ jl δim δ jm13δim δ jmδim δ jmδjmδ jl由ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lei j k el j k = 2δil3)4)ei j k ei j k =6144. 纳布拉算子∂ ei = ( ▽= ∂xi),i ei = ∂ ,i ()ei15§1.3 张量的代数运算 数乘 加法 点积 缩并 叉积 点叉积 张量积 转置 求逆 对称与反对称161. 张量的记法 绝对记法（一个字母）：T、A 分量记法： 矩阵表示：T = Tijkl ......eie je k ...⎡T11 T12 T13 ⎤ ⎢ ⎥ T = ⎢T21 T22 T23 ⎥ ⎢ ⎣T31 T32 T33 ⎥ ⎦172. 张量的特征定义在坐标变换时，满足如下变换关系的量为张量T = α T ⎧ ' ' ' ' ' α ' α ' ijkl ii j j k k ⎪ i jkl ⎨ Tijkl = α ii ' α jj ' α kk ' α ll ' Ti ' j 'k 'l ' ⎪ ⎩例：由第一节 应力张量e i′ = Li′je jT = Ti' j ' ei' e j ' = Ti' j ' Li' j e j L j 'k e k = T jk e j e kT jk = Li' j L j 'k Ti' j '因此， T 为二阶张量。
(最新整理)张量基础知识
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二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a Tjl kl
T* ijk
aila jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk
ali
amj
ank
T* lmn
Tijkl
ami
anj
aok
a
pl
T* mnop
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xi' x i' j j
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同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
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于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
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二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
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1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
《张量分析本科》课件
2
流体力学
流体力学中的张量可描述液体和气体的流动性质，从而帮助工程师设计和优化流体系 统。
3
材料科学
张量在材料的力学行为、热膨胀和磁性等方面的研究中起着重要作用，有助于材料性 能的改进。
经济学中的张量应用
金融风险评估 市场分析 关联性， 对风险评估和投资决策具有重要意义。
《张量分析本科》PPT课 件
这个课程将介绍张量的定义、基本概念、运算和性质，以及它在物理学、工 程学和经济学等领域的应用。
张量的定义和基本概念
张量是一个多维数组，具有特定的变换规律。它在数学和物理学中扮演着重 要角色，能够描述物体在各个方向上的变化。
张量的运算和性质
张量可以进行加法、乘法等运算，还具有一些特殊的性质，如对称性、反对称性和行列式等。这些运算 和性质是研究和应用张量的基础。
学科交叉
张量分析作为一门综合性学科， 促进了不同学科之间的交流与 合作，推动了学科发展的跨越 性进展。
学习资源推荐
1 书籍和教材推荐
2 网上教程和视频
《张量分析导论》、《张量分析教程》等 是学习和研究张量分析的重要参考资源。
有许多免费的网上教程和视频，可以帮助 初学者快速入门和掌握张量分析的基本概 念和应用。
张量在市场需求、价格和产量之间的关系分 析中，能够提供深入洞察和科学决策支持。
张量分析可以用于挖掘大规模数据集中的模 式和趋势，为经济预测和决策提供准确和可 靠的依据。
张量分析的重要性
科学研究
张量分析在各个学科的科学研 究中发挥着重要作用，帮助解 决复杂问题和揭示自然规律。
技术发展
随着科技的发展和应用领域的 拓展，张量分析为新技术的发 展提供了关键理论基础。
张量的坐标表示和变换规律
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张量的行列式和特征多项式
张量是多维数组的一种扩展。
在数学和物理学中，张量是描述向量、线性映射和物理量的重要工具。
在线性代数中，张量可以用来描述线性变换的性质和特征。
本文将重点介绍张量的行列式和特征多项式。
一、张量的行列式
在线性代数中，行列式是矩阵的一个重要性质，可以用来判断矩阵是否可逆、计算特征值等。
在张量理论中，张量也具有行列式的概念。
1.定义
对于一个n阶张量T，其行列式符号可以表示为det(T) 或，T，定义为
det(T) = ε^i1i2...in ε^j1j2...jn T^1j1 T^2j2 ... T^njn
其中ε表示Levi-Civita符号，ε^i1i2...in 表示一种全对称的n 阶度量张量，当i1,i2,...in 为1,2,...n的排列时为1，否则为-1、
T^ij 表示张量的分量，i和j为张量的n个指标。
2.性质
与矩阵的行列式类似，张量的行列式也具有以下性质：
-行列式的值与张量的坐标系的选择无关
-行列式的值为0表示张量不可逆
-行列式的值为正表示张量的“方向”为右手系，值为负表示方向为左手系
3.例子
考虑二阶对称张量A
A=[ab]
[bc]
其行列式为
d et(A) = ε^ij ε^kl A^ik A^jl = ε^12 ε^12 A^11 A^22 +
ε^12 ε^21 A^11 A^12 + ε^21 ε^12 A^21 A^22 + ε^21 ε^21 A^21 A^12
由于ε^12ε^12=1,ε^12ε^21=-1，所以行列式为
det(A) = A^11 A^22 - A^12 A^21 = ac - b^2
这就是二阶张量的行列式的表达式。
特征多项式是线性变换的重要性质，可以用来计算其特征值。
在张量理论中，张量也具有特征多项式的概念。
1.定义
对于一个n阶张量T，其特征多项式可以表示为
det(T - λI)
其中，T表示张量，λ表示待求的特征值，I表示单位张量。
特征多项式的根就是张量的特征值。
2.性质
与矩阵的特征多项式类似，张量的特征多项式也具有以下性质：
-特征多项式的次数等于张量的阶数
-特征多项式的系数由张量的n个指标和特征值决定
3.例子
考虑二阶张量A的特征多项式。
假设其特征值为λ，特征向量为
v=(x,y)，则特征多项式为
det(A - λI) = [ (a-λ)x + by ] [ bx + (c-λ)y ]
=(a-λ)(c-λ)-b^2=0
展开后得到二次方程
λ^2 - (a+c)λ + (ac-b^2) = 0
根据二次方程的解的公式，可以求出特征值λ的值。
总结：
张量的行列式和特征多项式是张量的两个重要性质。
行列式可以用来判断张量的可逆性，并计算其“方向”，特征多项式可以用来计算张量的特征值。
这些概念在数学和物理学中都有广泛的应用，对于理解和研究各种现象和问题具有重要意义。