2017-2018学年天津市南开区高一(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷一、选择图：（本大题共10个小，每小3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项悬符合题目求的.1．（3分）已知点A（1，﹣1），B（﹣1，2），则向量＝（）A．（0，1）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，1）2．（3分）若直线过点（1，﹣1），（2，﹣1），则此直线的倾斜角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（3分）在△ABC中，若BC2+AC2＜AB2，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4．（3分）已知向量＝（x，﹣1），＝（﹣4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）A．2B．C．0D．﹣25．（3分）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面：②三条平行直线共面：③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面其中正确的序号是（）A．①B．①④C．②③D．③④6．（3分）已知M是△ABC的BC边上的中点，若＝，＝，则等于（）A．+B．2﹣C．﹣2D．2+7．（3分）已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，则该直四棱柱外接球的体积为（）A．24πB．6πC．64πD．8π8．（3分）直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．x+2y﹣3＝0 9．（3分）记知a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bB．若a∥b，a⊂α，b⊂β，则α∥βC．若a∥b，α∩β＝a，则b∥α或b∥βD．若直线a与b异面a⊂α，b⊂β，则α∥β10．（3分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1＝0恒过定点C，则以C为心，半径为3的圆的方程是（）A．x2+y2﹣2x+4y+4＝0B．x2+y2+2x+4y﹣4＝0C．x2+y2﹣2x﹣4y+4﹣0D．x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0二、填空题：（本大题共5个小题．每小题3分，共15分，）11．（3分）在△ABC中，BC＝2，AC＝2，C＝150°，则△ABC的面积为．12．（3分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝．13．（3分）如图，A，B两点在河的对岸，测量者在A的同侧选定一点C，测出A，C之间的距离是100米，∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，则A、B两点之间为米．14．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积．15．（3分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为．三、解答题：《本大共5个小题，共55分，解应写出文字说明，证明过程或演算步得分评尝人16．（8分）已知直线l1：x+ay+2＝0和l2：2x+3y+1＝0．（Ⅰ）若l1与l2互相垂直，求a的值；（Ⅱ）若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离．17．（10分）已知非零向量，满足||＝1，且（﹣）•（+）＝（1）求||；（2）当•＝，求向量与的夹角θ的值．18．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．19．（12分）在△ABC中，（Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）求的值．20．（13分）如图．在四棱锥P﹣ABCE中，P A＝2，PC＝，PD＝，E是PB的中点，底面是四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．2017-2018学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择图：（本大题共10个小，每小3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项悬符合题目求的.1．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【解答】解：向量＝＝（﹣1，2）﹣（1，﹣1）＝（﹣2，3），故选：B．【点评】本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：直线过点（1，﹣1），（2，﹣1），设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝k＝＝，∴θ＝60°，故选：C．【点评】本题考查了直线的斜率公式以及斜率和倾斜角的关系，属于基础题．3．【考点】GZ：三角形的形状判断．【解答】解：∵BC2+AC2＜AB2，∴BC2+AC2﹣AB2＜0，∴由余弦定理可得：cos C＝＜0，∵C∈（0，π），∴C∈（，π），即三角形为钝角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：∵向量和方向相同，可得x2﹣4＝0，且x＜0，解得x＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：∵梯形的两底平行，根据两平行线确定一个平面知，①正确；三棱柱的三条侧棱相互平行，但不共面，②错误；有三个共线公共点的两个平面可以相交，③错误；三条直线两两相交，可以确定3个平面，也可能每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面确定1个平面，④错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了平面的基本性质，难度不大，属于基础题．6．【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：∵＝，解得＝2﹣＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了向量中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．【考点】LR：球内接多面体．【解答】解：直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，外接球的直径就是体对角线的长度，所以外接球的半径为：＝．则该直四棱柱外接球的体积为：＝8．故选：D．【点评】本题考查几何体的外接球的体积的应用，直四棱柱的性质等，考查计算能力．8．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x＝1对称点为（2﹣x，y）在直线x﹣2y+1＝0上，∴2﹣x﹣2y+1＝0化简得x+2y﹣3＝0故选答案D．解法二：根据直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x＝1选答案D故选：D．【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．9．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【解答】解：对于A，当a∥α，b∥β，α∥β时，a与b可能平行、相交或异面，∴A错误；对于B，当a∥b，a⊂α，b⊂β时，α与β平行或相交，∴B错误；对于C，当a∥b，且α∩β＝a时，a⊂α且a⊂β，则b∥α或b∥β，C正确；对于D，当直线a与b异面，且a⊂α，b⊂β时，α与β平行或相交，∴D错误．故选：C．【点评】本题考查了用符号语言表示空间中的线线、线面和面面的位置关系应用问题，是基础题．10．【考点】IP：恒过定点的直线．【解答】解：直线（a﹣1）x﹣y+a+1＝0，即a（x+1）﹣x﹣y+1＝0，令x+1＝0，可得x+y ﹣1＝0，求得，故直线恒过定点C的坐标为（﹣1，2）．故以C为心，半径为3的圆的方程是（x+1）2+（y﹣2）2＝9，即x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，故选：D．【点评】本题主要考查经过定点的直线，求圆的标准方程，属于中档题．二、填空题：（本大题共5个小题．每小题3分，共15分，）11．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：在△ABC中，BC＝2，AC＝2，C＝150°，则△ABC的面积为：BC•AC sin C ＝×＝1．故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查三角形面积的求法，考查计算能力．12．【考点】IT：点到直线的距离公式．【解答】解：点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离d＝＝1，化简得：|a+1|＝，解得a＝﹣1或a＝﹣﹣1，又a＞0，所以a＝﹣﹣1不合题意，舍去，则a＝﹣1．故答案为：﹣1【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．学生在求a时注意a＞0这个条件．13．【考点】HU：解三角形．【解答】解：∵∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝30°∵AC＝100米∴∴AB＝100米故答案为：100【点评】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．14．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为S＝2×π×12+2×2+×2π×1×2＝3π+4．故答案为：3π+4．【点评】本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．15．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：如图，连接AE，则AE⊥BC；根据条件，DE＝，且DE＝2EF；∴；∴＝；∴＝＝＝＝．故答案为：．【点评】考查等边三角形的中线也是高线，向量垂直的充要条件，向量数乘和加法的几何意义，向量数量积的运算．三、解答题：《本大共5个小题，共55分，解应写出文字说明，证明过程或演算步得分评尝人16．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：（I）∵l1与l2互相垂直，∴﹣×＝﹣1，解得a＝﹣．（II）由l1与l2互相平行，∴﹣＝﹣，解得a＝．直线l1化为：2x+3y+2＝0，∴l1与l2间的距离d＝＝．【点评】本题考查了直线相互平行与垂直与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）非零向量，满足||＝1，且（﹣）•（+）＝，可得：，∴||＝；（2）当•＝，所以：＝，可得cos，向量与的夹角θ的值为：．【点评】本题考查向量的数量积公式的应用，考查计算能力．18．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）由题意知直线CD垂直平分线段AB，∵A（﹣1，0），B（3，4），∴AB的中点M（1，2），又，∴k CD＝﹣1，∴直线CD的方程为：y﹣2＝﹣1×（x﹣1），即x+y﹣3＝0；（2）由题意知线段CD为圆的直径，∴2r＝，得r＝2．设圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝40，∵圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），∴，解得或．∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2＝40或（x﹣5）2+（y+2）2＝40．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．19．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，于是AB＝（Ⅱ）在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝＝．于是sin A＝＝从而sin2A＝2sin A cos A＝，则cos2A＝cos2A﹣sin2A＝，故得＝sin2A cos﹣cos2A sin＝．【点评】本题考查了正余弦定理的运用和和与差以及同角函数关系式，正余弦函数的二倍角公式的计算．属于基础题．20．【考点】L Y：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】（Ⅰ）证明：∵AC2+PC2＝P A2，DC2+PC2＝PD2，∴PC⊥AC，PC⊥DC，即可得PC⊥平面ABCD，∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，∴AC⊥CP，AC⊥CE，∴∠PCE即为二面角P﹣AC﹣E的平面角．∴在在RT△PCB中，PC＝2，BC＝，∴E为中点，可得可得PE＝CE＝，∴cos∠PCE＝；（Ⅲ）解：作PF⊥CE，F为垂足由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，又∵平面EAC∩平面PBC＝CE，∴PF⊥面EAC，连接AF，则∠P AF就是直线P A与平面EAC所成的角．由（Ⅱ）知CE＝，由等面积法可知，∴PF＝．在在RT△P AC中，PC＝2，AC＝，得P A＝，∴∴sin∠P AF＝即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．属于中档题．第11页（共11页）。
天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题含解析
天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．2B ．23+C ．32+D ．122．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为： A ．52B ．51C ．50D ．493．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20184．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12-，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,66ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭5．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移724πB ．向右平移724π C ．向左平移712πD ．向右平移712π6．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 7．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2=NB PN ，则三棱锥-N PAC 与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:3D ．1:68．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．函数3()arctan f x x x =+的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若10091a =-，m =12320162017()()()()()f a f a f a f a f a +++++，则（ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0d >时，m 恒为正数；当0d <时，m 恒为负数D ．当0d >时，m 恒为负数；当0d <时，m 恒为正数10．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5D ．m =3, n = 5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市五区县2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年天津市五区县高一（下）期末数学试卷一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（）A．5，150 B．15，450 C．450，15 D．15，1502．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）A．B．C．D．3．某算法的流程图如图所示，运行相应程序，输出S的值是（）A．60 B．61 C．62 D．634．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．95．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数（y）与当天气温（x℃）之间的线性关系，其回归方程为=﹣2.35x+147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（）A．140 B．143 C．152 D．1566．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（）A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.967．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.0168．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．9．方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4] 10．等差数列{a n}共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题本大题5小题，每小题4分，共20分11．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于．12．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取人．14．已知f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的值有正有负，则实数a的取值范围为．15．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是．三、解答题本大题共5小题，每小题10分，共50分16．某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：如果y与x之间具有线性相关关系．（1）作出这些数据的散点图；（2）求这些数据的线性回归方程；（3）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且．（1）求角A的值；（2）若，求△ABC的面积．19．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．[附加题]21．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足3a n﹣2S n﹣1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求f（n）=（n∈N+）的最大值．2017-2018学年天津市五区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（ ） A ．5，150 B ．15，450 C ．450，15 D ．15，150 【考点】最大公因数；最小公倍数．【分析】利用辗转相除法即可求出两数的最大公约数，进而即可得出其最小公倍数． 【解答】解：①∵150=45×3+15，45=15×3，∴45和150的最大公约数是15； ②∵45=15×3，150=15×10，∴45和150的最小公倍数是15×3×10=450． 综上可知：45和150的最大公约数和最小公倍数分别是15，450． 故选B ．2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用排列的意义，先求出甲、乙、丙三名同学站成一排的排法及其甲站在中间的排法，再利用古典概型的计算公式即可得出．【解答】解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有=6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．因此甲站在中间的概率P=．故选C ．3．某算法的流程图如图所示，运行相应程序，输出S 的值是（ ）A ．60B ．61C ．62D ．63【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=63时满足条件S ≥33，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，n=1S=3，不满足条件S≥33，执行循环体，n=2，S=7不满足条件S≥33，执行循环体，n=3，S=15不满足条件S≥33，执行循环体，n=4，S=31不满足条件S≥33，执行循环体，n=5，S=63满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63．故选：D．4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．9【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线z=x+2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+2y可得y=则为直线y=在y轴上的截距，截距越小，z越小做直线L：x+2y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小由可得B（1，1），此时z=3故选B5．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数（y）与当天气温（x℃）之间的线性关系，其回归方程为=﹣2.35x+147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（）A．140 B．143 C．152 D．156【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程为=﹣2.35x+147.77，要求我们预报当某天气温﹣2℃时，该小卖部大约能卖出热饮的杯数，只要代入x的值，做出y即可．【解答】解：∵一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程=﹣2.35x+147.77．∴某天气温为2℃时，即x=2，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y=﹣2.35×2+147.77≈143故选：B．6．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（）A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知本产品只有正品和次品两种情况，得到抽查得到正品和抽查得到次品是对立事件，可知抽查得到次品的概率是0.03+0.01，根据互斥事件的概率得到结果．【解答】解：∵抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的，抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04∴抽查一次抽得正品的概率是1﹣0.04=0.96故选D．7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，利用平均数、方差公式直接计算即可．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，其平均值为（9.4+9.4+9.6+9.4+9.7）=9.5，方差为 [（9.4﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.6﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.7﹣9.5）2]=0.016，故选D．8．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选C9．方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4]【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则其相应的函数f（x）=x2+（m﹣2）x+5﹣m与x轴的两个交点都在直线x=2的右边，由图象的特征知应有对称轴大于2，f（2）＞0，且△≥0，解此三式组成的方程组即可求出参数m的范围．【解答】解：令f（x）=x2+（m﹣2）x+5﹣m，其对称轴方程为x=由已知方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，故有即解得﹣5＜m≤﹣4m的取值范围是（﹣5，﹣4]故应选A．10．等差数列{a n}共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d．由已知可得：a1+a3+…+a2n﹣1+a2n+1=132，a2+a4+…+a2n=120，相交可得：nd﹣a2n+1=﹣12，即a n+1=12．又=（n+1）a n+1=132，代入解出即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a3+…+a2n﹣1+a2n+1=132，a2+a4+…+a2n=120，∴nd﹣a2n+1=﹣12，∴﹣a1﹣nd=﹣12，∴a n+1=12．又=（n+1）a n+1=132，∴n+1=11，解得n=10．故选：B二、填空题本大题5小题，每小题4分，共20分11．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，∴要求的概率是P=，故答案为：．12．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取96人．【考点】分层抽样方法．【分析】根据一般员工所占的比例为80%，用样本容量乘以此比例的值，由此求得结果．【解答】解：由题意知：一般员工占的比例为80%，样本容量为200，∴一般员工应抽取的人数为120×80%=96，故答案是：96．14．已知f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的值有正有负，则实数a的取值范围为（﹣1，﹣）．【考点】函数的值．【分析】函数f（x）=ax+2a+1在x∈[﹣1，1]内是单调函数，从而f（﹣1）f（1）＜0，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的函数值有正有负，∴，或，解得﹣1＜a＜﹣，∴实数a的取值范围是（﹣1，﹣）．故答案为：（﹣1，﹣）．15．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是9．【考点】正弦定理．【分析】由B与C的度数求出A的度数，确定出sinA的值，再由sinB以及a的值，利用正弦定理求出b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：∵在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，即A=30°，∴由正弦定理=得：b==6，则S△ABC=absinC=9．故答案为：9．三、解答题本大题共5小题，每小题10分，共50分16．某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：如果y与x之间具有线性相关关系．（1）作出这些数据的散点图；（2）求这些数据的线性回归方程；（3）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．【考点】回归分析的初步应用．【分析】（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，（2）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）把所给的广告费支出为9百万元时，代入线性回归方程，做出对应的销售额，这是一个预报值，与真实值之间有一个误差．【解答】解：（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图（2）==5，==50，yi=1390，=145，=7，=15，∴线性回归方程为=7x+15．（3）当x=9时，=78．即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元．17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且．（1）求角A的值；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）先根据余弦函数的二倍角公式化简求出cosA的值，再由三角形内角的范围可求出角A的值．（2）先由余弦定理求出bc的值，再代入三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）由2，得1+cosA+cosA=0，即cosA=﹣，∵A为△ABC的内角，∴A=，（2）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA∴a2=（b+c）2﹣bc即12=42﹣bc∴bc=4∴．19．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）先设出等差数列{a n}的公差为d，然后由等差数列的通项公式及题意列出方程，求出首项a1和公差d，进而求出数列{a n}的通项公式；（2）将（1）中所求的{a n}的通项公式代入，即可求出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法求出其前n项和S n即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由a n=a1+（n﹣1）d得：解得，所以{a n}的通项公式为，（2）因为，所以．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．[附加题]21．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；（II）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足3a n﹣2S n﹣1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求f（n）=（n∈N+）的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由3a n﹣2S n﹣1=0，①则3a n+1﹣2S n+1﹣1=0，②然后②﹣①得a n+1=3a n，求出数列{a n}是公比为3的等比数列，进一步求出首项，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由①知，2S n=3a n﹣1，求出b n=3n，再求出T n，然后由基本不等式即可求出f（n）的最大值．【解答】解：（1）由3a n﹣2S n﹣1=0，①则3a n+1﹣2S n+1﹣1=0，②②﹣①得a n+1=3a n，∴数列{a n}是公比为3的等比数列．由3a1﹣2S1﹣1=0，得a1=1，∴；（2）由①知，2S n=3a n﹣1，∴b n==3n．．=．当且仅当，即n=4时，等号成立．∴f（n）的最大值为．2018年8月2日。
2017-2018年高一下学期期末考试数学试题及答案
,－
１ ７
,１ ９
,������
的
一
个
通
项
公
式an
＝
A．(－１)n ２n１＋１
B．(－１)n＋１２n１－１
C．(－１)n ２n１－３
４．已知向量a,b 满足|a|＝１,a⊥(２a＋b),则a������b＝
D．(－１)n＋１２n１＋３
A．２
B．０
C．－２
D．－４
５．在等差数列{an}中,a１＋２a３＋a５＝１２,则３a４－a６ 的值为
算 步 骤 ．)
１９．(本 小 题 满 分 １３ 分 )
已 知 向 量a＝ (３,－１),b＝ (１ ２ ,２３)．
(Ⅰ)求‹a,b›;
(Ⅱ)求(a＋b)������b 的值;
(Ⅲ )求|２a＋３b|的 值 ．
２０．(本 小 题 满 分 １３ 分 )
在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足２caos－Bb＝cocsC．
２ 分 ,有 选 错 的 得 ０ 分 ．)
１．在平行四边形 ABCD 中,A→B＋D→A－C→B等于
A．B→C
B．D→C
C．B→A
D．A→C
２．设 ０＜a＜b＜１,c∈R,则 下 列 不 等 式 成 立 的 是
A．a３＞b３
B．a１ ＜b１
C．ac＞bc
D．(a－b)c２≤０
３．数
列
１,－
１ ３
,１ ５
(Ⅰ)求角 C 的值;
(Ⅱ)若
sin(θ＋C)＝
４(π ５６
＜θ＜２３π),求
cosθ
的值
．
高 一 数 学 试 题 第 ３ 页 (共 ４ 页 )
2016-2017学年天津市南开区高一上期末数学试卷(含答案解析)
2016-2017学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（3分）与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣ C．D．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（3分）若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或9．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）10．（3分）设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（x）=的定义域为．12．（4分）函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为；最大值为．13．（4分）如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=．15．（4分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．17．（10分）已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．（10分）设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．（12分）函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．2016-2017学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴∁U（A∪B）={3，6，7，8，9}，故∁U（A∪B）共有5个元素，故选：B．2．（3分）与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π【解答】解：由α=+2kπ（k∈Z），得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．故选：B．3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°=．故选：C．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx【解答】解：A，y=x+sinx，有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），为奇函数；B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x）=|﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x），为偶函数；C，y=xsinx，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|﹣x|cos（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：A．5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．6．（3分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内∴函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．（3分）若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），∴b＜a＜c．故选：B．8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，可得：cosα﹣sinα=±①，2sinαcosα=又0＜α＜，可得：cosα+sinα==，②所以：由①②可得：cosα=．故α=或．故选：A．9．（3分）函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z ），则下列说法错误的是（ ）A ．函数f （﹣x ）的最小正周期为πB ．函数f （﹣x ）图象的对称轴方程为x=+（k ∈Z ）C ．函数f （﹣x ）图象的对称中心为（+，0）（k ∈Z ）D ．函数f （﹣x ）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k ∈Z ）【解答】解：由题意，ω=2，函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的周期为π，φ=，f （﹣x ）=Asin （﹣2x +），x=+，﹣2x +=kπ+，f （﹣x ）=Asin （﹣2x +）≠0，故选C ．10．（3分）设函数f （x ）=，则下列说法正确的是（ ）①若a ≤0，则f （f （a ））=﹣a ； ②若f （f （a ））=﹣a ，则a ≤0；③若a ≥1，则f （f （a ））=； ④若f （f （a ））=，则a ≥1． A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【解答】解：当a ≤0时，则f （f （a ））==﹣a ，故①正确；当a ≥1时，f （f （a ））==，故③正确；当0＜a ＜1，f （f （a ））=log 0.5（log 0.5a ）∈R ，故此时存在0＜a ＜1，使得f （f （a ））=﹣a 也存在0＜a ＜1，使得f （f （a ））=， 故②④错误； 故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．12．（4分）函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为π；最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为=π，最大值为，故答案为：π，13．（4分）如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin（2x+2φ）的图象，将函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（x﹣φ）﹣]=cos （2x﹣2φ﹣）=sin[﹣（2x﹣2φ﹣）]=sin（﹣2x+2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2x+2φ=2x﹣2φ++2kπ，k∈Z，解得：φ=kπ+，（k∈Z）当k=0时，φmin=．故答案为：．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=．【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos（β﹣α）=cos∠OAC==，故答案为．15．（4分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a=．【解答】解：如图所示，画出函数f（x）的图象，不妨设x1＜x2＜x3，则x1+x2=2×=﹣3，又x1+x2+x3=﹣，∴x3=．∴a==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于集合A，因为2x﹣6≤2﹣2x≤1，则x﹣6≤﹣2x≤0，解可得：0≤x≤2．即A={x|0≤x≤2}，又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，1，2}；故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]．17．（10分）已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）=f（﹣x）=．因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴．由于θ为第一象限角，故，∴cos（2θ+）===．18．（10分）设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，则函数f（x）的解析式f（x）=；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0），当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0），则函数f（x）在R上是减函数，则m2+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣3，0）．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，∴cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1∵α∈（0，），∴sinα=；（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[﹣，α]上单调递增，∵α∈（0，），sinα=，∴cosα=，∴tanα=2，∴函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，∴函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，∴y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，∴≤2m﹣≤，∴≤m≤．20．（12分）函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1====，由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（x）图象有五个交点，因此，故ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（x）=，由题意知，因此x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2）=．即，．∵函数f（x）在[x1，x2]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，∴f（x）在x2处取得最大值，即=2．，即．∴=．=．。
天津市部分区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁U A=（）A. 2，B.C. 2，3，4，D.2.已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则•=（）A. B. C. 1 D. 23.下列运算的结果正确的是（）A. B. C. D.4.函数f（x）=-x+1的零点所在的区间是（）A. B. C. D.5.将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式是（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），若f（-2）＜f（-3），则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.若非零向量，满足|+|=|-|，则（）A. B. C. D.8.若α为第二象限的角，且tanα=-，则cosα=（）A. B. C. D.9.已知集合P={x|y=}，Q={x|y=lg（x-1）}，则P∩Q=（）A. B.C. D. ，或10.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，若a=f（ln2.1），b=f（1.11.1），c=f（-3），则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.sin（-）=______．12.已知幂函数f（x）经过点（2，8），则f（3）=______．13.设集合A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是______．14.已知sin（α-）=，则sin（-α）=______．15.在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=6，∠BAD=60°，点P在CD上，且=3，则•=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知向量=（1，2），=（2，λ），=（-3，2）．（1）若 ∥，求实数λ的值；（2）若k+与-2垂直，求实数k的值．17.已知函数f（x）=．（1）求f（2）及f（f（-1））的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．18.已知在△ABC中，sin A=，cos B=-．（1）求sin2A的值；（2）求cos C的值．19.已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=1．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．20.已知函数f（x）=2sin x cos（x+）+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁U A={4，5}．故选：B．由集合的补集的定义，即由U中不属于A的元素构成的集合，即可得到所求．本题考查集合的运算，主要是补集的求法，运用定义法解题是关键．2.【答案】C【解析】解：向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则•===1．故选：C．利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可．本题考查平面向量的数量积的计算，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：∵log43=，∴选项A错误；∵（-a2）3=-（a2）3=-a6，∴选项B正确；由a0=1（a≠0），可得（-1）0=1，故C错误；∵lg2+lg3=lg（2×3）=lg6，∴D错误．∴计算结果正确的是（-a2）3=-a6，故选：B．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算性质，是基础题．4.【答案】C【解析】解：函数f（x）=-x+1是连续函数，f（2）=-2+1＞0，f（3）=＜0，故有f（2）•f（3）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=-x+1的零点所在的区间是（2，3）故选：C．据函数零点的判定定理，判断f（2），f（3）的符号，即可求得结论．本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题．5.【答案】A【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x+）的图象；故选：A．按照题目所给条件，先求把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，函数解析式，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），求出解析式即可．本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，是基础题．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），若f（-2）＜f（-3），则f（x）是单调减函数，∴a的取值范围是0＜a＜1．故选：D．根据指数函数的单调性即可得出a的取值范围．本题考查了指数函数的单调性问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：如图，设=，=，则|+|=||，|-|=||，则||=||，所以四边形ABCD为矩形，所以AB BC，所以．故选：A．利用向量的几何意义解答．本题考查了向量的模．解题时，借用了矩形的判定与性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．【解答】解：∵α是第二象限角，且tanα==-，∴sinα=-cosα，∵cosα＜0，sinα＞0，sin2α+cos2α=1，∴（-cosα）2+cos2α=1，可得：cosα=-，故选D．9.【答案】C【解析】解：集合P={x|y=}={x|3-x≥0}={x|x≤3}，Q={x|y=lg（x-1）}={x|x-1＞0}={x|x＞1}，则P∩Q={x|1＜x≤3}，故选：C．由偶次根式被开方式非负，化简集合P，对数的真数大于0，化简集合Q，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，考查函数的定义域的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴a=f（ln2.1），b=f（1.11.1），c=f（-3）=f（3），∵0＜ln2.1＜1，1＜1.11.1＜3，则0＜ln2.1＜1.11.1＜3，∴f（ln2.1）＜f（1.11.1）＜f（3），即f（ln2.1）>f（1.11.1）>f（-3），则c＜b＜a，故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质，进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．11.【答案】-【解析】解：sin（-）=sin（-）=-sin=-，故答案为：-．由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．12.【答案】27【解析】解：设f（x）=x n，由题意可得2n=8，解得n=3，则f（x）=x3，f（3）=33=27，故答案为：27．设f（x）=x n，代入（2，8），求得n，再计算f（3），即可得到所求值．本题考查幂函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a≤2【解析】解：集合A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若A∪B=B，则A⊆B，∴a≤2，∴实数a的取值范围是a≤2．故答案为：a≤2．根据A∪B=B得出A⊆B，从而写出实数a的取值范围．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（α-）=，∴sin（-α）=sin（π+-α）=-sin（）=sin（α-）=，故答案为：．由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础的计算题．15.【答案】12【解析】解：以A为原点建立坐标系，则A（0，0），B（8，0），D（3，3），∵=3，∴DP=2，即P（5，3），∴=（5，3），=（-3，3），∴=-15+27=12．故答案为：12．建立坐标系，求出各向量坐标，再计算数量积．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使计算较简单，属于中档题．16.【答案】解：（1）∵向量=（1，2），=（2，λ），=（-3，2）．∥，∴，解得实数λ=4．（2）k+=（k-3，2k+2），=（7，-2），∵k+与-2垂直，∴（k）•（）=7k-21-4k-4=0，解得实数k=．【解析】（1）利用向量平行的性质能出实数λ的值；（2）先利用平面向量坐标运算法则求出k+，-2，由此利用向量垂直的性质能求出实数k的值．本题考查实数值的求法，考查向量平行、平面向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】解：（1）f（2）=-2×2+8=-4+8=4，f（f（-1））=f（-1+5）=f（4）=-2×4+8=0．（2）若x≤1，由f（x）≥4得x+5≥4，即x≥-1，此时-1≤x≤1，若x＞1，由f（x）≥4得-2x+8≥4，即x≤2，此时1＜x≤2，综上-1≤x≤2．【解析】（1）根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．（2）根据分段函数的表达式，讨论x的取值范围进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）在△ABC中，由cos B=-，可知B为钝角，且sin B=，又sin A=，得cos A=．∴sin2A=2sin A cosA=2×；（2）cos C=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cos AcocB+sin A sin B=-+=．【解析】（1）由已知可得B为钝角，分别求出sinB，cosA的值，由二倍角公式求得sin2A；（2）利用三角形内角和定理可得cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B），展开两角和的余弦得答案．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和与差的余弦，是基础题．19.【答案】解：（1）∵f（1）=1，∴f（1）==1，即a-1=1+b，则a=2+b，则f（-x）=-f（x），即=-，即-x+b=-x-b，则b=-b，b=0，得a=2．（2）∵b=0，a=2，∴f（x）==2x1--2x2+=2（x1-x2）+=（x1-x2）（2+）∵x1，x2为（0，+∞）上任意两个自变量，且x1＜x2∴x1-x2＜0，2+＞0，∴（x1-x2）（2+）＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．【解析】（1）根据函数奇偶性的性质和定义建立方程进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．20.【答案】解：f（x）=2sin x cos（x+）+=2sin x（cos x cos）+=2sin x（）=sin2x-===．（1）f（x）的最小正周期T=；（2）由，得0，∴sin（）∈[0，1]，则∈[-，1-]，∴f（x）∈[-，1-]，则f（x）在区间[-，]上的最大值为．【解析】展开两角和的余弦，再由辅助角公式化积．（1）直接利用周期公式求周期；（2）由x的范围求得相位的取值范围，则f（x）在区间[-，]上的最大值可求．本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查两角和的余弦，是中档题．。
【高一数学试题精选】天津五区县2018年高一数学下学期期末试卷(带解析)
天津五区县2018年高一数学下学期期末试卷（带解析）
5 c 2018学年天津市五区县高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分
1．45和150的最大约数和最小倍数分别是（）
A．5，150B．15，450c．450，15D．15，150
【考点】最大因数；最小倍数．
【分析】利用辗转相除法即可求出两数的最大约数，进而即可得出其最小倍数．
【解答】解①∵150=45×3+15，45=15×3，∴45和150的最大约数是15；
②∵45=15×3，150=15×10，∴45和150的最小倍数是15×3×10=450．
综上可知45和150的最大约数和最小倍数分别是15，450．
故选B．
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）A． B． c． D．
【考点】古典概型及其概率计算式．
【分析】利用排列的意义，先求出甲、乙、丙三名同学站成一排的排法及其甲站在中间的排法，再利用古典概型的计算式即可得出．【解答】解甲、乙、丙三名同学站成一排，共有 =6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种乙甲丙、丙甲乙．
因此甲站在中间的概率P= ．
故选c．。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
2017-2018年天津市南开区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷一、选择图：（本大题共10个小，每小3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项悬符合题目求的.1．（3分）已知点A（1，﹣1），B（﹣1，2），则向量＝（）A．（0，1）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，1）2．（3分）若直线过点（1，﹣1），（2，﹣1），则此直线的倾斜角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（3分）在△ABC中，若BC2+AC2＜AB2，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4．（3分）已知向量＝（x，﹣1），＝（﹣4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）A．2B．C．0D．﹣25．（3分）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面：②三条平行直线共面：③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面其中正确的序号是（）A．①B．①④C．②③D．③④6．（3分）已知M是△ABC的BC边上的中点，若＝，＝，则箱于（）A．+B．2﹣C．﹣2D．2+7．（3分）已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，则该直四棱柱外接球的体积为（）A．24πB．6πC．64πD．8π8．（3分）直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．x+2y﹣3＝0 9．（3分）记知a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bB．若a∥b，a⊂α，b⊂β，则α∥βC．若a∥b，α∩β＝a，则b∥α或b∥βD．若直线a与b异面a⊂α，b⊂β，则α∥β10．（3分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1＝0恒过定点C，则以C为心，半径为3的圆的方程是（）A．x2+y2﹣2x+4y+4＝0B．x2+y2+2x+4y﹣4＝0C．x2+y2﹣2x﹣4y+4﹣0D．x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0二、填空题：（本大题共5个小题．每小题3分，共15分，）11．（3分）在△ABC中，BC＝2，AC＝2，C＝150°，则△ABC的面积为．12．（3分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝．13．（3分）如图，A，B两点在河的对岸，测量者在A的同侧选定一点C，测出A，C之间的距离是100米，∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，则A、B两点之间为米．14．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积．15．（3分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为．三、解答题：《本大共5个小题，共55分，解应写出文字说明，证明过程或演算步得分评尝人16．（8分）已知直线l1：x+ay+2＝0和l2：2x+3y+1＝0．（Ⅰ）若l1与l2互相垂直，求a的值；（Ⅱ）若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离．17．（10分）已知非零向量，满足||＝1，且（﹣）•（+）＝（1）求||；（2）当•＝，求向量与的夹角θ的值．18．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．19．（12分）在△ABC中，（Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）求的值．20．（13分）如图．在四棱锥P﹣ABCE中，P A＝2，PC＝，PD＝，E是PB的中点，底面是四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．2017-2018学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择图：（本大题共10个小，每小3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项悬符合题目求的.1．（3分）已知点A（1，﹣1），B（﹣1，2），则向量＝（）A．（0，1）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，1）【解答】解：向量＝＝（﹣1，2）﹣（1，﹣1）＝（﹣2，3），故选：B．2．（3分）若直线过点（1，﹣1），（2，﹣1），则此直线的倾斜角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：直线过点（1，﹣1），（2，﹣1），设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝k＝＝，∴θ＝60°，故选：C．3．（3分）在△ABC中，若BC2+AC2＜AB2，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：∵BC2+AC2＜AB2，∴BC2+AC2﹣AB2＜0，∴由余弦定理可得：cos C＝＜0，∵C∈（0，π），∴C∈（，π），即三角形为钝角三角形．故选：C．4．（3分）已知向量＝（x，﹣1），＝（﹣4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）A．2B．C．0D．﹣2【解答】解：∵向量和方向相同，可得x2﹣4＝0，且x＜0，解得x＝﹣2．故选：D．5．（3分）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面：②三条平行直线共面：③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面其中正确的序号是（）A．①B．①④C．②③D．③④【解答】解：∵梯形的两底平行，根据两平行线确定一个平面知，①正确；三棱柱的三条侧棱相互平行，但不共面，②错误；有三个共线公共点的两个平面可以相交，③错误；三条直线两两相交，可以确定3个平面，也可能每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面确定1个平面，④错误；故选：A．6．（3分）已知M是△ABC的BC边上的中点，若＝，＝，则箱于（）A．+B．2﹣C．﹣2D．2+【解答】解：∵＝，解得＝2﹣＝﹣．故选：B．7．（3分）已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，则该直四棱柱外接球的体积为（）A．24πB．6πC．64πD．8π【解答】解：直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，外接球的直径就是体对角线的长度，所以外接球的半径为：＝．则该直四棱柱外接球的体积为：＝8．故选：D．8．（3分）直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．x+2y﹣3＝0【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x＝1对称点为（2﹣x，y）在直线x﹣2y+1＝0上，∴2﹣x﹣2y+1＝0化简得x+2y﹣3＝0故选答案D．解法二：根据直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x＝1选答案D故选：D．9．（3分）记知a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bB．若a∥b，a⊂α，b⊂β，则α∥βC．若a∥b，α∩β＝a，则b∥α或b∥βD．若直线a与b异面a⊂α，b⊂β，则α∥β【解答】解：对于A，当a∥α，b∥β，α∥β时，a与b可能平行、相交或异面，∴A错误；对于B，当a∥b，a⊂α，b⊂β时，α与β平行或相交，∴B错误；对于C，当a∥b，且α∩β＝a时，a⊂α且a⊂β，则b∥α或b∥β，C正确；对于D，当直线a与b异面，且a⊂α，b⊂β时，α与β平行或相交，∴D错误．故选：C．10．（3分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1＝0恒过定点C，则以C为心，半径为3的圆的方程是（）A．x2+y2﹣2x+4y+4＝0B．x2+y2+2x+4y﹣4＝0C．x2+y2﹣2x﹣4y+4﹣0D．x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0【解答】解：直线（a﹣1）x﹣y+a+1＝0，即a（x+1）﹣x﹣y+1＝0，令x+1＝0，可得x+y ﹣1＝0，求得，故直线恒过定点C的坐标为（﹣1，2）．故以C为心，半径为3的圆的方程是（x+1）2+（y﹣2）2＝9，即x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，故选：D．二、填空题：（本大题共5个小题．每小题3分，共15分，）11．（3分）在△ABC中，BC＝2，AC＝2，C＝150°，则△ABC的面积为1．【解答】解：在△ABC中，BC＝2，AC＝2，C＝150°，则△ABC的面积为：BC•AC sin C ＝×＝1．故答案为：1．12．（3分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝．【解答】解：点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离d＝＝1，化简得：|a+1|＝，解得a＝﹣1或a＝﹣﹣1，又a＞0，所以a＝﹣﹣1不合题意，舍去，则a＝﹣1．故答案为：﹣113．（3分）如图，A，B两点在河的对岸，测量者在A的同侧选定一点C，测出A，C之间的距离是100米，∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，则A、B两点之间为100米．【解答】解：∵∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝30°∵AC＝100米∴∴AB＝100米故答案为：10014．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积3π+4．【解答】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为S＝2×π×12+2×2+×2π×1×2＝3π+4．故答案为：3π+4．15．（3分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为．【解答】解：如图，连接AE，则AE⊥BC；根据条件，DE＝，且DE＝2EF；∴；∴＝；∴＝＝＝＝．故答案为：．三、解答题：《本大共5个小题，共55分，解应写出文字说明，证明过程或演算步得分评尝人16．（8分）已知直线l1：x+ay+2＝0和l2：2x+3y+1＝0．（Ⅰ）若l1与l2互相垂直，求a的值；（Ⅱ）若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离．【解答】解：（I）∵l1与l2互相垂直，∴﹣×＝﹣1，解得a＝﹣．（II）由l1与l2互相平行，∴﹣＝﹣，解得a＝．直线l1化为：2x+3y+2＝0，∴l1与l2间的距离d＝＝．17．（10分）已知非零向量，满足||＝1，且（﹣）•（+）＝（1）求||；（2）当•＝，求向量与的夹角θ的值．【解答】解：（1）非零向量，满足||＝1，且（﹣）•（+）＝，可得：，∴||＝；（2）当•＝，所以：＝，可得cos，向量与的夹角θ的值为：．18．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【解答】解：（1）由题意知直线CD垂直平分线段AB，∵A（﹣1，0），B（3，4），∴AB的中点M（1，2），又，∴k CD＝﹣1，∴直线CD的方程为：y﹣2＝﹣1×（x﹣1），即x+y﹣3＝0；（2）由题意知线段CD为圆的直径，∴2r＝，得r＝2．设圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝40，∵圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），∴，解得或．∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2＝40或（x﹣5）2+（y+2）2＝40．19．（12分）在△ABC中，（Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，于是AB＝（Ⅱ）在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝＝．于是sin A＝＝从而sin2A＝2sin A cos A＝，则cos2A＝cos2A﹣sin2A＝，故得＝sin2A cos﹣cos2A sin＝．20．（13分）如图．在四棱锥P﹣ABCE中，P A＝2，PC＝，PD＝，E是PB的中点，底面是四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AC2+PC2＝P A2，DC2+PC2＝PD2，∴PC⊥AC，PC⊥DC，即可得PC⊥平面ABCD，∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，∴AC⊥CP，AC⊥CE，∴∠PCE即为二面角P﹣AC﹣E的平面角．∴在在RT△PCB中，PC＝2，BC＝，∴E为中点，可得可得PE＝CE＝，∴cos∠PCE＝；（Ⅲ）解：作PF⊥CE，F为垂足由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，又∵平面EAC∩平面PBC＝CE，∴PF⊥面EAC，连接AF，则∠P AF就是直线P A与平面EAC所成的角．由（Ⅱ）知CE＝，由等面积法可知，∴PF＝．在在RT△P AC中，PC＝2，AC＝，得P A＝，∴∴sin∠P AF＝即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为．。
【最新文档】2017年天津市南开区高一上学期期末数学试卷
a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1）， ∴ b＜ a＜ c． 故选： B．
8．（3 分）如图，正方形 ABCD边长为 1，从某时刻起，将线段 AB，BC，CD，DA 分别绕点 A，B，C，D 顺时针旋转相同角度 α（0＜α＜ ），若旋转后的四条线 段所围成的封闭图形面积为 ，则 α＝（ ）
，
解得 tan θ＝ ＜ 0，则 θ在第二或四象限，
由 cosθ＞ 0 得， θ在第一或四象限， 所以 θ在第四象限， 故选： D．
6．（3 分）函数 f（ x）=log2x+x﹣4 的零点在区间为（
）
A．（0，1） B．（1，2） C．（ 2， 3） D．（ 3， 4）
【解答】 解： f（x） =log2x+x﹣ 4，在（ 0，+∞）上单调递增．
．
【解答】 解：函数 f （x） =2cos2x?tanx+cos2x=2sinxcos+xcos2x=sin2x+cos2x
= sin（2x+ ）的最小正周期为
=π，最大值为 ，
故答案为： π，
13．（ 4 分）如果将函数 f （x）=sin2x 图象向左平移 φ（ φ＞ 0）个单位，函数 g （ x）=cos（2x﹣ ）图象向右平移 φ个长度单位后，二者能够完全重合，则 φ
）
①若 a≤0，则 f（ f（a））=﹣ a； ②若 f （f（ a））=﹣a，则 a≤ 0； ③若 a≥1，则 f（ f（a））= ； ④若 f （f（ a））= ，则 a≥1． A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） .
11．（ 4 分）函数 f （x） =
2017-2018学年天津市南开区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
①命题“若 m＞0，则方程 x +x﹣m＝0 有实数根”的逆否命题为“若方程 x +x﹣m＝0 无实 数根，则 m≤0” ； ②若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题； ③对于命题 p：∃x∈R，使得 x +x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有 x +x+1≥0． 其中错误命题的个数是（ A．0 ） C．2 D．3 ）
的零点，则实数 k 的取值范围是（ A． （ ，1） B． （0， ）
） C． （﹣∞，1） D． （0，1）
二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分.请将答案填在题中横线上. 11． （3 分）若复数满足（1+i）z＝1+i ，则 z 的模等于 12． （3 分）函数 y＝xcosx 在 x＝
C．﹣2i ，
的虚部是 1．
【解答】解：∵函数 f（x）＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上为增函数， ∴要使函数 f（x）＝|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数，则 a≤2，
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∴“a＝2”是“函数 f（x）＝|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”充分不必要条件． 故选：A． 5． （3 分）函数 f（x）＝（x ﹣1） （x+1）的零点个数是（ A．0 B．1
a a
）
C．{0，2，3}
D．{1，2，3}
【解答】解：∵集合 A＝{2，3 }，B＝{a，b}，A∩B＝{3}， ∴a＝1，b＝3， ∴A＝{2，3}，B＝{1，3}， ∴A∪B＝{1，2，3}． 故选：D． 2． （3 分）复数 A．﹣2 【解答】解：∵ ∴复数 故选：B． 3． （3 分）曲线 A．y＝ex﹣2 【解答】解：切线斜率 故切线方程是 y﹣e＝2（x﹣e） ，即 y＝2x﹣e． 故选：B． 4． （3 分） “a＝2”是“函数 f（x）＝|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（ A．充分条件不必要 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ） 在点 P（e，e）处的切线方程是（ B．y＝2x﹣e C．y＝2x+e ， ） D．y＝ex+2 ＝ （i 是虚数单位）的虚部是（ B．1 ） D ．i