如何提高学生解决解析几何问题的能力
解析几何是一门综合性较强的学科，其题型多，且有难 度，经常由于解题方法选择不当，导致计算量大，运算过程烦 琐，如何减少解几运算量、提高运算能力一直是广大学生感到 困惑的问题 “问题”是数学的心脏，数学教学的核心就是提出问题与 解决问题，在教学实践中，本人从“量”与“量”角度出发编制解 析几何问题，通过编题更好地透彻理解解析几何问题的本质 以及掌握解决此类问题的思想方法；现笔者叙述一下如何从 “量”与“量”角度 编制解析几何问题． 一条直线是由两个独立的量决定，如直线方程ｚ：ｊ，一 ＋ ｔ，（ｋ，ｆ∈Ｒ），直线是由斜率ｋ和ｙ轴上的截距ｔ来决定的；两 个量定了直线就随着确定了，只要有一个量不定直线ｌ就在 变动． 椭圆也是南两个量决定的，如椭圆标准状态下的方程ｃ： 一２ ．２ ＋告一ｌ（“＞６＞ｏ），当ｎ，ｂ两个量定了椭圆也就随着确定 “ Ⅳ 了，只要有一个量不定椭圆Ｃ就在变动． 因此，在编制直线与椭圆的位置关系问题时，当ｋ，ｆ，“，ｂ 四个量都已知的情况下，直线与椭圆的位置关系也就定了，即 可命制问题ｌ：已知ｋ，ｔ，ｎ，ｂ这四个量，判断直线ｌ与椭圆Ｃ 的位置关系．逆向问题２：若已知直线ｌ与椭圆Ｃ的位置关系， ｋ，ｔ，ａ，６这四个量中已知三个量，则可求出第四个量的取值范 围．问题３：若已知直线ｆ与椭圆Ｃ的位置关系这一条件，但 ｋ，ｔ，“，ｂ这四个量中只已知二个量，则由位置关系这一条件， 确定出未知两个量间的等式关系，从而可设问直线系过定点， 或椭圆系过定点的问题． 例如：（２０１２年浙江省理 科２１题）如图１，椭圆Ｃ： ＋ 一ｌ（ ＞６＞ｏ）的离心 “ ｒ １ 率为÷，其左焦点到点Ｐ（２， Ｌ １）的距离为 １０．不过原点 ０的直线ｚ与Ｃ相交于Ａ，Ｂ 两点，且线段ＡＢ被直线ＯＰ 平分． （１）求椭圆Ｃ的方程； ， —＼ ， 厂＼ ／ ｌ 图１ （２）求△ＡＢＰ面积取最大值时直线ｌ的方程． 现从“量”与“量”的角度来分析：第（１）问要求椭圆ｃ的方 程，即要确定椭圆方程中“，ｂ这两个量，两个未知“量”就要有 两个已知“量”才能确定．因此，题目中一定给出两个相关的已 知“量”，从题目中不难可找出那两个已知“量”——“椭圆的离 １ 心率为÷，其左焦点到点Ｐ（２，１）的距离为￣／１ｏ．”解题时只要 列 已知“量”与未知“量”的关系等式，用方程就可解决了；第 （２）问要求直线ｚ的方程，即要求 确定直线方程的两个 “量”——“斜率ｋ和截距 的值”，从方程思想考虑，要给 两 个已知“量”，但问题中直线ｌ是在变动的，斜率ｋ和截距ｔ的 值都在变动，不过在变动的过程中，由题中给出的条件：“不过 原点（）的直线 与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且线段ＡＢ被直线 ０Ｐ平分．”，南此条件，我们不难得到直线的斜率ｋ和截距， 存在某个等式关系；因此，ＡＡＢＰ面积只于直线中一个“变量” 存在函数关系，即通过一变元的函数问题，求出△ＡＢＰ面积 的最大值，以及此时直线中“变量”的取值，最后确定出直线 的方程． ， １ 解析：（１）南题： ＝ ＝÷（１）． “ 左焦点（一 ０）到点Ｐ（２，１）的距离为：ｄ－二 ￣／（２＋ｃ） 十１。一 １Ｏ （２）． 由（１）（２）可解得：“ 一４，ｂ。一３ 。一１． ２ ．。．所求椭圆ｃ的方程为： ＋ 一１． ０ （２）易得直线ＯＰ的方程：Ｙ一÷ ，设Ａ（¨，Ｙ＾），Ｂ（ Ｂ， － Ｙ『ｊ），Ｒ（ ，ＹＩ１），其中Ｙ 一丑）． ‘．‘Ａ，Ｂ在椭圆上， ．．．Ｊ等＋警一一一二 一一旦血 ・。’ 等： 一 一｝ 设直线ＡＢ的方程为ｌ： 一一÷（ｍ≠ｏ）， …圆Ｉ｛冀 一 一。． 由上又有： Ａ＋Ｊ、Ｅ＝ｍ，ｙａ＋ 一—ｍ ２ －３． 、， ｉ ＝ ３ ・．・点Ｐ（２，１）到直线ｚ的距离为： 一』 ． √ 十号 ．‘ 一 一 １ ｌ ｍ－－４［４ ４ ｍ２３一 （ ）・ ，当且仅当 一１一 时，＿二角形的面积最大， 此时直线ｌ的方程： 一一等 ＋ｌ一 ． 作者单位：湖南省道县一中 中学生数理他．掌研版
《解析几何初步》教材分析
教材分析：平面解析几何初步
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即建立直角坐标系，通过点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，充分体现了数形结合的数学思想。
1．本章教学目标
通过本章的学习，学生初步学会在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，体会与感悟运用代数方法研究直线和圆几何性质的思想，了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式以及直线方程的几种形式转化(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系；
3.掌握利用斜率判定两条直线平行或垂直的方法；能用解方程的方法求两直线的交点坐标；
4.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；
5.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；
6.通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；理解空间两点间的距离公式；
7.通过平面解析几何初步的学习，使学生体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”和“数”的对立和统一，渗透数学中普遍存在的动静变化、相互联系、相互转化的辩证观点，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质。
2．本章设计意图
本章包含了直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系三部分内容。
本章的编写强化了解析几何研究问题的思维和方法：
本章在直线和圆的方程处理上，以学生熟悉的问题(生活实例、数学问题等)为背景，按照“问题情境—数学活动—意义建构—数学理论—数学应用—反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析，使学生感受用坐标、方程刻画点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。
《解析几何》课程教案
一、教案基本信息
教案名称：《解析几何》课程教案
课时安排：共 24 课时，每课时 45 分钟
教学对象：高中一年级学生
教学目标：
1. 让学生掌握解析几何的基本概念、方法和技巧。
2. 培养学生运用解析几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学内容：
第一章：解析几何概述
1.1 解析几何的定义与发展历程
1.2 坐标系与坐标轴
1.3 点、直线、圆的方程
第二章：直线方程
2.1 直线方程的定义与分类
2.2 直线方程的斜率与截距
2.3 直线方程的应用
第三章：圆的方程
3.1 圆的方程定义与性质
3.2 圆的标准方程与一般方程
3.3 圆的方程应用
第四章：曲线与方程 4.1 曲线与方程的概念
4.2 常见曲线的方程
4.3 曲线与方程的应用
第五章：解析几何中的问题解决策略
5.1 解析几何问题的类型与解法
5.2 图形分析与变换
5.3 解析几何在实际问题中的应用
二、教学方法
1. 采用讲授法，系统地讲解解析几何的基本概念、方法和技巧。
2. 运用案例分析法，结合具体实例分析，让学生深入理解解析几何的应用。
3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度。
4. 利用数形结合法，引导学生通过图形来直观理解解析几何问题。
三、教学评价
1. 平时作业：检查学生对基本概念、方法和技巧的掌握程度。
2. 课堂练习：评估学生在课堂上解决问题、分析问题的能力。
3. 课程报告：考察学生对实际问题应用解析几何知识的能力。
4. 期末考试：全面测试学生对本课程的掌握情况。
四、教学资源
1. 教材：选用权威、实用的解析几何教材。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。
3. 习题库：提供丰富、多样的习题，便于学生课后练习。
4. 参考资料：推荐学生阅读相关书籍、论文，拓展知识面。 五、教学进度安排
第 1-4 课时：解析几何概述
第 5-8 课时：直线方程
让学生更多地学习现实生活中的数学—研究性课题“酒杯中的解析几何问题”教学体会
２００２年第９期 中学数学月刊 ・２１・ 让学生更多地学习现实生活中的数学 一研究性课题“酒杯中的解析几何问题’’教学体会 罗 强 （江苏省苏州市第十中学 ２１５００６） “研究性学习”是我国当前课程改革的一 大亮点，“研究性学习”有助于培养学生的创 新意识和实践能力，进而促进学生的全面发 展，这已成为当前教育界的一个共识．在推行 “研究性学习”的过程中，一方面我们需要思 考如何改革教学方法，真正落实学生的主体 地位，培养学生自主探索的能力；另一方面我 们还需要思考如何用“研究性学习”的理念来 改造和挖掘传统教学内容中适合学生研究和 探索的素材．在这些需要我们思考的新问题 中，尤其迫切需要我们思考的一点是，在“研 究性学习”方式中，我们究竟应该向学生展示 什么样的数学？“酒杯中的解析几何问题”就 是我在“研究性学习”的理念指导下从一个新 的角度向学生展示解析几何知识的一次尝试 和探索． １从贴近学生生活的实际问题中挖掘数学 问题，引导学生用数学的眼光看待周围 的世界 “研究性学习”是与传统的“接受性学习” 相对的一个概念，要使学生摆脱传统的“接受 性学习”的被动学习方式，教师必须要选择能 激发学生学习兴趣和学习需要的素材，从贴 近学生生活的实际问题中挖掘数学问题，营 造一种能激励学生主动探索的问题情景，引 导学生用数学的眼光看待周围的世界． 问题１ 张华 同学家中有两种酒 杯，一种酒杯的轴 截面是等腰直角三 角形，称之为直角 酒杯（如图１），另 一种酒杯的轴截面 近似一条抛物线， 杯口宽４ｃｍ，杯深 图１ 图２ ８ｃｍ（如图２），称之为抛物线酒杯．一次，张华 在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不 等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻 璃球都不可能触及酒杯杯底（直角顶点）．但 若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些 小玻璃球能触及酒杯底部（抛物线顶点）．张 华想用所学数学知识研究一下，当玻璃球的 半径ｒ为多大值时，玻璃球一定会触及抛物 线酒杯底部．你能帮助张华解决这个问题吗？ 略解１ 如图 ３，以杯底中心为原 点，建立直角坐标 系，由题意得抛物 线方程为ｚ２一 ．ｙ． 设圆心在３，轴 Ｊ ），
帮学生找到逻辑的起点--解析几何主观题解题策略
２０１２年７月 （如图１），尸ｎ点坐标提供的是距 离Ｉｘ。Ｉ和Ｉ ｌ，如何利用角 和距 离Ｉｘ 求ｄ？很显然，解直角三 角形（如图１）！如果有了这样的 分析，学生获得的不仅仅是方 法，而是对解析几何的认识，对 分析解决解析几何问题的启 发！ ＼ ……－ Ｐｎ ＼ ／ ＼ 。 Ａ＼ 图１
起点２：将几何关系翻译成代数． 几何是载体，解析是工具，把几何关系理顺清楚，然后进行 代数或几何运算，才是解决解析几何解答题的合理顺序． 例题３（２０１０年高考北京卷）在平面直角坐标系ｘｏｙ中，点 曰与点Ａ（一１，１）关于原点０对称，Ｐ是动点，且直线ＡＰ－￣ＢＰ的斜率 之积等于一 ． ３ （Ｉ）求动点Ｐ的轨迹方程； （Ⅱ）设直线Ａ聊曰盼别与直线ｘ＝３交于点 ，Ⅳ，问：是否存 在点Ｐ使得ＡＰＡＢ与ＡＰＭＮ的面积相等？若存在，求出点Ｐ的坐 标；若不存在，说明理由． 思路探求：（Ｉ）设礁坐标为（ ，Ｙ），将条件“直线ＡＰ－￣ＢＰ的 斜率之积等于一 １”翻译成 ，ｙ满足的代数式，化简即得所求； ｊ （ＩＩ）由（Ｉ）知，点腥直线 Ｐ与椭圆的交点，其中点Ａ是定 点，所以瞧以及点 ，Ⅳ都由直线ＡＰ的斜率ｋ决定，根据三角形 面积相等就可以建立关于ｋ的方程，解之即可，如解法１；或者 直接设 坐标，列方程直接求坐标也可，如解法２；或者用几 何的眼光观察图形，分析其蕴涵的几何性质，可使问题获解， 如解法３． 解：（Ｉ）动点Ｐ的轨迹方程为ｘ２＋３ｙ２＝－４（ｘ≠±１）．（解答过程略） （Ⅱ）解法１（从直线方程入手）： 设直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋１）＋１，则直线曰Ｐ的方程为 一 （川）
由
设‰，ｙ ）， （一ｌ，１）， ｌ帆－＝ －６ｋ ２－６ｋ． 化简得 －＝—－３ ｋ２ －６ ｋ＋ｌ，进而得 ＝—－３ ｋ２＋ ２ｋ＋１． ３Ｌ￣ｔ ｙ＝ｋ（ ＋１）＋ｌ＇可 ４
由１ｙ＝－ ｘ－１）－１，可 一 ・ 名师导航 ＡＢ的右方，且ＹＮ＞ＹＭ． 点尸到直线ＡＢ：ｘ＋ｙ＝０的距离 — １＋，，ｌｌ一 １＋，，ｌ一 一６ｋ２－４ｋ￣。２ ¨一…一…一一一一一一‘ 、／ 、／ 、／ ‘（１＋３ｋｚ） ｌ删ｌ：ｌｙ 一 一４ｋ～２． Ｊｔ￣ ￣￣＆ｌｌＡＢＩ・ｄ＝ ｌ删ｌ（３一，）． 即吉’２ ‘ ＊ ）一１２ ｌ ＋３ｋ ｌ＋３ｋ ｚ、／ （ ） ｚ、 ｊ ／ 化简得（１＋３ｋ ）（１２ｋＺ＋９ｋ＋１）＝ｎ 因为ｌ＋３ｋｚ≠０，ｆｉ）ｉ：１）￣１２ｋ２＋９ｋ＋１：０，即 ：一 ． ｚ＿６ ＿３． ６ — ｉ
《解析几何》课程教案 2
一、教案基本信息
教案名称：《解析几何》课程教案
课时安排：共10课时，每课时45分钟
教学目标：
1. 让学生掌握解析几何的基本概念和基本公式。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高空间想象能力。
3. 引导学生运用数形结合的思想，提高数学思维能力。
教学内容：
1. 坐标系与直线方程
2. 圆的方程
3. 二次曲线
4. 空间几何
5. 解析几何在实际问题中的应用
二、第一课时：坐标系与直线方程
教学重点：坐标系的建立，直线的斜率，直线方程的求法。
教学难点：坐标系的转换，直线方程的求法。
教学准备：黑板，粉笔，坐标系图示，实际问题案例。
教学过程：
1. 导入：讲解坐标系的建立，引导学生理解坐标系的作用。
2. 新课讲解：讲解直线的斜率，直线方程的求法。
3. 案例分析：分析实际问题中的直线方程，引导学生运用所学知识解决实际问题。 4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
三、第二课时：圆的方程
教学重点：圆的标准方程，圆的一般方程，圆的性质。
教学难点：圆的方程的求法，圆的性质的理解。
教学准备：黑板，粉笔，圆的图示，实际问题案例。
教学过程：
1. 导入：讲解圆的定义，引导学生理解圆的特点。
2. 新课讲解：讲解圆的标准方程，圆的一般方程，圆的性质。
3. 案例分析：分析实际问题中的圆的方程，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
四、第三课时：二次曲线
教学重点：二次曲线的标准方程，二次曲线的性质。
教学难点：二次曲线方程的求法，二次曲线性质的理解。
教学准备：黑板，粉笔，二次曲线的图示，实际问题案例。
教学过程：
1. 导入：讲解二次曲线的定义，引导学生理解二次曲线的特点。
2. 新课讲解：讲解二次曲线的标准方程，二次曲线的性质。
3. 案例分析：分析实际问题中的二次曲线，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
换元法在高中解析几何中的应用研究
换元法在高中解析几何中的应用研究
摘要：换元法作为数学发展的一个杠杆，是用一种变数形式取代另一种变数形式的方法，也是高中数学中一个重要的解题方法，不仅在函数、解析几何等多个模块中具有至关重要的作用，还对学生科学思维的发展具有积极的推进作用。因此，本文笔者以高中解析几何作为切入点，对换元法的应用展开研究。
关键词：换元法；高中数学；解析几何
换元的本质为转化，它能够将复杂的研究对象简单化，将隐含的条件显现出来。而解析几何作为高中数学的重要模块，是以代数方法研究平面几何问题的过程，包括直线与圆的方程、圆锥曲线等，这些内容都是初中平面几何学习的继续、内容的扩充、方法的提升，由于这部分内容具有较强的抽象性，学生的抽象思维还未发展成熟，因此，学生在学习过程中，常常产生思维障碍，而换元法的引入不仅有助于打破学生存在的思维障碍，还能使学生开拓思路，并进一步内化数学思想，以保障学习活动的顺利进行。本文笔者对换元法的基本特点、意义以及在解析几何中的应用进行分析。
一、换元法的基本特点
换元法是通过引入一个或者几个新的变量来代替原来的某些变量找到问题的解决途径，再返回求原变量的过程。使用换元法既要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，又需要注意换元后重新变量范围的选取。此外，高中数学所运用的换元法主要包括：整体换元、三角换元、均值换元等，它们的应用较为广泛，在求函数的值域、解析几何等方面都有突出的体现。
整体换元可以达到简化问题的目的，当然有时候要通过变形才能发现。三角换元主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。均值换元法解数学题的关键在于适当引入新的变量，通过代换达到减元的目的，从而使问题得以简化。但在具体问题中，换元的形式多种多样，追究其本质，是从“通过换元使形式更凝练、通过换元改造难以处理的形式”这两个角度针对性地选择换元方式。 二、换元法研究的意义
换元法是一种数学思维方法，也是落实素质教育理念的一项内容。受传统的教育理念的影响，学生的学习以单纯的记忆和模仿为主要形式，以提高应试能力为主要目的，这样对学生思维的发展和长期的学习活动都会造成不利影响。而有效的学习是以打破过于强调考试分数、突破应试教育的围墙而展开的，不仅需要学生对数学知识学懂会用，更重要的是学生产生需要发展科学思维，形成迁移能力，并将数学课堂学习中的方法运用解决实际问题的过程中，从而实现“学以致用”。
浅谈初中数学几何问题解题方法
２０１８年第０５期总第３９０期 数理化解题研究
浅谈初中数学几何问题解题方法
孙大平
（安徽省临泉县高塘镇高塘中心校２３６４００） ＝
摘 要：初中数学几何问题占了数学课程中很大比例，而数学几何问题往往存在着一些难题，比如学生无
法有效理解图形与数据之间联系，本文就在此背景下进行一些相关探讨，对数学几何问题制定方法进行研究，
希望对此领域的研究作出一定贡献． 关键词：初中；数学；几何问题；解题办法
中图分类号：Ｃ，６３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—０３３３（２０１８）０５—００３７—０２
一、打好初中几何学习的理论基础
初中几何学习，由于是一门相对比较连贯的基础性
学科，在学习的过程中要理清整个几何学习的理论基础．
由于几何学习的原理和定理比较多，因此，在整个初中几
何学习的过程中做好学习的理论准备，夯实全过程的几
何学习基础．就比如说，在几何学习的过程中，如果想让
学生理解射线这一抽象的几何概念，在黑板上画出等额
的射线，然后围绕射线讲解有关于几何线段、射线以及由
线条所组成的各个图形之间的关系，从而将理论知识点
趣味性的引出，加深初中生学习几何知识的印象．
二、树立初中几何学习的自信心
万事开头难，初中数学几何教学也是一样，树立初中
几何学习的自信心必须结合之前就应该做好相关的工
作，磨刀不误砍柴工，教师应该让学生意识到初中几何知 识的重要性，了解几何学习的变迁和发展，通过多媒体课
件模拟的方式，让学生明白几何知识在国家各项事业发
展方面所作出的积极贡献．利用有趣的道具来教导学生进行 趣味几何认知和学习，培养学生勤动手、勤动脑、勤拆分的实
践和动手能力．通过将几何知识和理论与生活实践对比学 习，学生在学习过程中动手和动脑的培养，就可以让学生更
好地加强学习的自信心，有利于扩大学生的知识面，有利于
学生整体素质的提升，成为初中几何学习过程中的小主人
三、分清在教学过程中容易混淆的几何概念
《解析几何》课程教案 3
《解析几何》课程教案
一、教学目标
1. 让学生掌握解析几何的基本概念和基本公式。
2. 培养学生解决实际问题能力，提高空间想象能力。
3. 引导学生运用数形结合思想，提高数学思维能力。
二、教学内容
1. 解析几何的基本概念
（1）坐标系
（2）点、直线、圆的方程
（3）图形的位置关系
2. 解析几何的基本公式
（1）距离和角度公式
（2）直线方程的求解
（3）圆的方程及其应用
三、教学重点与难点
1. 重点：解析几何的基本概念和基本公式的掌握。
2. 难点：直线与圆的位置关系的理解和应用。
四、教学方法
1. 采用讲授法，系统讲解解析几何的基本概念和基本公式。
2. 利用数形结合思想，引导学生直观理解直线、圆等图形的性质。
3. 运用案例分析法，分析实际问题，提高学生解决实际问题的能力。
五、教学过程 1. 引入：通过简单的实例，让学生感受解析几何在实际生活中的应用，激发学习兴趣。
2. 讲解：系统讲解解析几何的基本概念和基本公式，注意引导学生理解和记忆。
3. 练习：布置相关习题，让学生巩固所学知识，并及时解答学生的疑问。
4. 应用：分析实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生解决实际问题的能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，布置课后作业。
教案暂编至此，如有需要，后续章节将继续编写。请您参考并提出宝贵意见。
六、教学评价
1. 评价方式：过程性评价与终结性评价相结合，主要评价学生对解析几何基本概念和公式的掌握程度，以及解决实际问题的能力。
2. 评价指标：
（1）课堂参与度：学生参与课堂讨论、提问和练习的情况。
（2）作业完成情况：学生完成作业的质量和速度。
（3）实际问题解决能力：学生运用所学知识解决实际问题的能力和创新意识。
七、教学资源
1. 教材：《解析几何》教材，为学生提供系统的学习材料。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解，提高课堂效果。
解析几何教学中培养学生空间想象能力
第２２卷第２期 ２０１２年４月 梧 州 学 院 学 报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＵＺＨＯＵ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｎｏ．２Ｖ０１．２２ Ａｐｒ．２０１２
解析几何教学中培养学生空间想象能力
石向东
【梧州学院数理系，广西梧州５４３００２）
【摘要】空间想象能力是数学教学应培养的三大能力之一。空间想象能力的特点是对在人脑中构成的研究对象的空间 表象进行改造和重新构造新的几何形象，它是形象思维与逻辑思维相结合而产生的一种能力。基于对空间想象能力的认识， 提出在空间解析几何中培养空间想象能力的几点建议：强化空间观念、掌握系统的几何基础知识、引入多媒体教学。
【关键词】空间想象能力；空间表象；多媒体教学 【中图分类号】Ｇ６４２．４ 【文献标识码】Ａ ［文章编号］１６７３—８５３５（２叭２）０２—００９７—０４
下面一道空间解析几何题，对空间想象能力是
很好的说明。
例１．已知圆柱面的轴为 １＝ ＝ ，点Ｐ
（１，－２，ｔ）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。
分析：根据已知条件，易得母线方向数为１，
一２，一２，若能求出圆柱面的准线圆，就可求出圆
柱面的方程。圆柱面的准线圆可以看作是以轴上的 点Ｑ（０，１，一１）为球心、已知点Ｐ（１，一２，１）
到Ｑ点的距离Ｉ Ｉ为半径的球面与过点Ｐ且垂直于
轴的平面仃的交线。
这道题的解法是根据题意，创造出合乎已知条
件的几何图形来解题的一个典型。
笔者在教学时，根据已知条件求出圆柱面。已
知垂直于轴的平面与圆柱面的交线圆是准线。那么
在上面的解法中，是怎么想到构造一个球，并用一
个平面去截它，把所得的交线作为准线呢？这是由
于联想到球面与平面的交线也是圆，从而可推想
到：这个球面是以Ｑ点为球心、Ｉ即ｌ为半径；而截
面是过尸点且与轴垂直的平面。于是一切问题就
迎刃而解了。
由上面的例题，可以看到空间想象能力在解决空间 解析几何问题中有着不可估量的作用。培养学生的
收稿日期：２０１２—０２—２０ 空间想象能力，一直是数学教学不断追求的任务。
空间解析几何教案
空间解析几何教案
一、教案概述
本教案旨在通过系统化的教学资源和教学活动，引导学生深入理解空间解析几何的基本概念和方法，培养学生的空间思维能力和解决实际问题的能力。通过结合生动的例子和练习，帮助学生掌握空间直线、平面、向量等基本知识，并能运用解析几何的方法解决相关问题。
二、教学目标
1. 理解空间直线、平面和向量的定义和性质。
2. 掌握使用坐标表示空间直线、平面和向量的方法。
3. 能够利用解析几何的方法解决空间几何相关问题。
4. 培养学生的空间思维和问题解决能力。
三、教学内容和步骤
1. 空间直线的表示和性质
- 定义和性质简介
- 坐标表示法
- 练习题解析和讲解
2. 空间平面的表示和性质
- 定义和性质简介 - 坐标表示法
- 练习题解析和讲解
3. 空间向量的表示和性质
- 定义和性质简介
- 坐标表示法
- 练习题解析和讲解
4. 空间直线与平面的位置关系
- 直线与平面的交点
- 直线与平面的垂直、平行关系
- 练习题解析和讲解
5. 空间向量的运算
- 向量的加法、减法和数量积
- 应用示例与实际问题
- 练习题解析和讲解
6. 空间解析几何的应用
- 点到直线的距离
- 直线之间的夹角 - 三角形面积与平行四边形面积
- 练习题解析和讲解
四、教学方法
1. 针对性讲解：通过逐步解析和讲解例题，引导学生理解和掌握空间解析几何的基本概念和方法。
2. 组织练习：配备合适的练习题，让学生在课下巩固所学知识。
3. 提问与讨论：通过提问和师生互动的方式，激发学生的思考和讨论，并及时纠正误解。
4. 实际应用：引入实际问题，培养学生将解析几何方法应用于实际问题的能力。
五、教学资源和评估
1. 教学资源
- 教材：提供规范的教学知识和例题
- 多媒体资源：投影仪、电子板等辅助工具