2020-2021中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题含答案解析
2020-2021中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题含答案解析
一、平行四边形
1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）求证：△AED≌△CEB′
（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥BC于H.求PG +
PH的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质知，，，，则由得到；
（2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.
【详解】
（1）四边形为矩形，
，，
又 ，
；
（2） ，
，
，
，
在中，，
过点作于，
，，
，
，，
，
、、共线，
， 四边形是矩形，
，
.
【点睛】
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.
2．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．
【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．
（2）S的最大值为，此时x=2．
（3）x=，或x=，或x=．
【解析】
试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；
②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．
（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．
（3）本题要分类讨论：
①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值； ②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．
③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的长，联立CN的表达式即可求出x的值．
试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，
有题意可得：PQ∥AB，
∴△CQP∽△CBA，
∴
∴
解得：QP=x，
∴PM=3﹣x，
由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），
P点坐标为（x，3﹣x）．
（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，
NC边上的高为，其中，0≤x≤4．
∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）
=﹣（x﹣2）2+．
∴S的最大值为，此时x=2．
（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=x．
∴3x=4，
∴x=．
②若CP=CN，则CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，
∴x=；
③若CN=NP，则CN=4﹣x． ∵PQ=x，NQ=4﹣2x，
∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，
∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，
∴x=．
综上所述，x=，或x=，或x=．
考点：二次函数综合题．
3．如图①，在等腰RtABCV中，90BACo，点E在AC上(且不与点A、C重合)，在ABC△的外部作等腰RtCED△，使90CEDo，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
1请直接写出线段AF，AE的数量关系；
2①将CEDV绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB，2CE，在图②的基础上将CEDV绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）①AF2AE②42或22.
【解析】
【分析】 1如图①中，结论：AF2AE，只要证明AEFV是等腰直角三角形即可；
2①如图②中，结论：AF2AE，连接EF，DF交BC于K，先证明EKFV≌EDAV再证明AEFV是等腰直角三角形即可；
②分两种情形a、如图③中，当ADAC时，四边形ABFD是菱形.b、如图④中当ADAC时，四边形ABFD是菱形.分别求解即可.
【详解】
1如图①中，结论：AF2AE．
理由：Q四边形ABFD是平行四边形，
ABDF，
ABACQ，
ACDF，
DEECQ，
AEEF，
DECAEF90oQ，
AEFV是等腰直角三角形，
AF2AE．
故答案为AF2AE．
2①如图②中，结论：AF2AE．
理由：连接EF，DF交BC于K．
Q四边形ABFD是平行四边形， AB//DF，
DKEABC45o，
EKF180DKE135oo，EKED，
ADE180EDC18045135ooooQ，
EKFADE，
DKCCQ，
DKDC，
DFABACQ，
KFAD，
在EKFV和EDAV中，
EKEDEKFADEKFAD，
EKFV≌EDAV，
EFEA，KEFAED，
FEABED90o，
AEFV是等腰直角三角形，
AF2AE．
②如图③中，当ADAC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知EHDHCH2，22AH(25)(2)32，AEAHEH42，
如图④中当ADAC时，四边形ABFD是菱形，易知AEAHEH32222，
综上所述，满足条件的AE的长为42或22．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．
4．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且86OBOD，.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原。
（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上，
①如图①，当点E与点O重合时，求点F的坐标；
②如图②，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若7OP，求点F的坐标：
（Ⅱ）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。
【答案】（I）①点F的坐标为(6,6)；②点F的坐标为85,614；（II）86,55P
【解析】
【分析】
（I）①根据折叠的性质可得45DOFPOFo,再由矩形的性质，即可求出F的坐标;
②由折叠的性质及矩形的特点，易得DGFPGE，得到DFPE，再加上平行，可以得到四边形DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出 DEPFY是菱形，设菱形的边长为x，在RtODE中，由勾股定理建立方程即可求解;
(Ⅱ)当O,P,F点共线时OP的长度最短.
【详解】
解：（I）①∵折痕为EF,点P为点D的对应点
DOFPOF
45DOFPOFo
∵四边形OBCD是矩形，
90ODF
45DFODOF
6DFDO
点F的坐标为(6,6)
②∵折痕为EF，点P为点D的对应点.
,DGPGEFPD
∵四边形OBCD是矩形，
//DCOB，
FDGEPG；
DGFPGEQ
DGFPGE
DFPE
//DFPEQ
∴四边形DEPF是平行四边形.
EFPDQ，
DEPFY是菱形.
设菱形的边长为x，则DEEPx
7OPQ，
7OEx，
在RtODE中，由勾股定理得222ODQBDE
2226(7)xx
解得8514x
8514DF
∴点F的坐标为85,614
四边形中线段的数量与位置关系-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练08四边形中线段的数量与位置关系
1.在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐸 是 𝐴𝐷 上一点， 𝐴𝐸=𝐴𝐵 ，过点 𝐸 作直线 𝐸𝐹 ，在 𝐸𝐹 上取一点 𝐺 ，使得 ∠𝐸𝐺𝐵=∠𝐸𝐴𝐵 ，连接 𝐴𝐺 ．
（1）如图1，当 𝐸𝐹 与 𝐴𝐵 相交时，当 ∠𝐸𝐴𝐵=60° 时，
请直接写出 ∠𝐶 度数为________；
（2）求证： 𝐸𝐺=𝐴𝐺+𝐵𝐺 ；
（3）如图2，当 𝐸𝐹 与 𝐶𝐷 相交时，且 ∠𝐸𝐴𝐵=90° ，请你写出线段 𝐸𝐺 ， 𝐴𝐺 ， 𝐵𝐺 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】 （1）① 60∘
（2）在 𝐺𝐸 上取 𝐻 ，使 𝐺𝐻=𝐺𝐵 ，连接 𝐻𝐵 、 𝐸𝐵
∵ ∠𝐸𝐺𝐵=∠𝐸𝐴𝐵=60∘ ， 𝐴𝐸=𝐴𝐵
∴ △𝐻𝐺𝐵 、 △𝐸𝐴𝐵 是等边三角形
∴ 𝐵𝐸=𝐵𝐴 ， 𝐵𝐻=𝐵𝐺 ， ∠𝐺𝐵𝐴+∠𝐴𝐵𝐻=60∘ ， ∠𝐻𝐵𝐸+∠𝐴𝐵𝐻=60∘
∴ ∠𝐻𝐵𝐸=∠𝐺𝐵𝐴
∴ △𝐻𝐵𝐸≌△𝐺𝐵𝐴
∴ 𝐻𝐸=𝐺𝐴
∴ 𝐺𝐸=𝐺𝐻+𝐻𝐸=𝐵𝐺+𝐴𝐺
（3）连接AG，将 △𝐴𝐺𝐸 绕 𝐴 顺时针旋转90°至 △𝐴𝐻𝐵 处
∴ 𝐻𝐵=𝐺𝐸 ， 𝐴𝐻=𝐴𝐺
∵ ∠𝐸𝐺𝐵=∠𝐸𝐴𝐵=90∘
∵在四边形 𝐴𝐵𝐺𝐸 中， ∠𝐴𝐵𝐺+∠𝐴𝐸𝐺=180∘
∴ ∠𝐴𝐵𝐻+∠𝐴𝐵𝐺=180∘ ，即 𝐻 ， 𝐵 ， 𝐺 三点共线
∵ ∠𝐸𝐴𝐺+∠𝐵𝐴𝐺=90∘
∴ ∠𝐻𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐺=90∘ ，即 ∠𝐻𝐴𝐺=90∘
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习卷(含答案解析)
一、选择题
1．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积可表示为（ ）
A．40064 B．2240064 C．2240064 D．40064A
解析：A
【分析】
要求图中字母所代表的正方形的面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设M的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另一直角边为b，则2400c，264b，已知斜边和一直角边的平方，由勾股定理即可求出2a，即可得到答案．
【详解】
设M的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另一直角边为b，
则2400c，264b，
如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：
22240064acb，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，解题的关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．
2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对C
解析：C
【分析】 因为图形对折，所以首先△CDB≌△ABD，由于四边形是长方形，进而可得△ABE≌△CDE，如此答案可得．
【详解】
解：∵△BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，
∴CD=AB，AD=BC，
∵BD=BD，
∴△CDB≌△ABD（SSS），
∴∠CBD=∠ADB
∴EB=ED
∴CE=AE
又AB=CD
∴△ABE≌△CDE，
∴图中全等三角形共有2对
故选：C
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．
3．如图，在平行四边形ABCD中，90B，BCAB．作AEBC于点E，AFCD于点F，记EAF的度数为，AEa，AFb．则以下选项错误的是（ ）
2021年中考复习数学压轴题：四边形 综合专题练习
2021年中考数学压轴题专题练习：四边形 综合复习
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
2、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．
3、如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
4、已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．
（1）求证：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
5、如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．
（1）求证：四边形BFGH是正方形；
（2）求证：ED平分∠CEI；
（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为32，则△BEI的周长为 ．
6、如图，正方形CD的边长为1，点为边上一动点，连结C并将其绕点C顺时针旋转90得到CF，连结DF，以C、CF为邻边作矩形CFG，G与D、C分别交于点、，GF交CD延长线于点．
（1）证明：点、D、F在同一条直线上；
（2）随着点的移动，线段D是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；
（3）连结F、，当//F时，求的长．
2020-2021初三数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含答案解析
2020-2021初三数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含答案解析
一、平行四边形
1．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．
（1）当点N落在边BC上时，求t的值．
（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．
（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．
（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．
【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或
【解析】
试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；
（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；
（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．
（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．
试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，
∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．
∴DQ=3
∴2t=3．
∴t=； （2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，
∴PD=DQ，
当0＜t＜时，
此时，PD=t，DQ=2t
∴t=2t
∴t=0（不合题意，舍去），
当≤t＜3时，
此时，PD=t，DQ=6﹣2t
∴t=6﹣2t，
2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类(含解析)
2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）
1 / 27 综合探究类
1．综合与实践
问题背景：
综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．
操作与发现：
（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ；
（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是 ，CF= ．
操作与探究 ：
（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．
【解析】（1）如图所示： 2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）
2 / 27
△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
60,2ABCFEDBCEF，
90CFFAC，四边形ACBF是矩形，AB=4，
AB=CF=4；
故答案为：矩形，4 ；
（2）如图所示：
△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
60,2ABCFEDBCEF，
//BCEF，四边形ECBF是平行四边形，
点E与AB的中点重合，CE=BE，CBE△是等边三角形，
EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，
332OCEC，23CF，
故答案为：菱形，23； 2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）
3 / 27 （3）证明：如图所示：
2021年中考数学专题复习：四边形 试题精选汇编(含答案解析)
第 1 页 共 89 页 2021年中考数学专题复习：四边形 试题精选汇编
一．选择题（共30小题）
1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．∠ADB＝90° B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC
2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（ ）
A．或2+ B．或2﹣ C．2± D．或
4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（ ）
第 2 页 共 89 页
A．5 B．6 C．4 D．5
5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（ ）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
第1页（共57页）
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题
1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，
（1）求证：CF＝BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．
第2页（共57页）
2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．
[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△
，可推证△CEF是 三角形，从而求得∠DCE＝ ．
[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．
[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．
第3页（共57页）
3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，求证：AD＝2DC．
（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．
第4页（共57页）
4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．
人教备战中考数学平行四边形综合经典题及详细答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4133．
【解析】
分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
OBEODFOBODBOEDOF
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= 133，
∵BD=22ADAB =213，
∴OB=12BD=13，
∵BD⊥EF， ∴EO=22BEOB=2133，
∴EF=2EO=4133．
点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
2．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且86OBOD，.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原。
（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上，
①如图①，当点E与点O重合时，求点F的坐标；
②如图②，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若7OP，求点F的坐标：
2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》常考题型专题提升训练(附答案)
2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》常考题型专题提升训练（附答案）
1．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
2．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
3．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC
4．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A．110° B．35° C．70° D．55°
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE＝2，则四边形ADFE的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在▱ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若▱ABCD的周长为22cm，则△CDE的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
9．如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC＝AB，则BC＝（ ）
2020-2021九年级数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题含答案
2020-2021九年级数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题含答案
一、平行四边形
1．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．
（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；
（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；
（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．
①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．
②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．
【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6
【解析】
试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．
（2）根据互补三角形的定义证明即可．
（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．
②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．
试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．
（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．
∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，
∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．
∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，
∴∠EAH=∠BAC，
∵AF=AC，
∴AH=AB，
在△AEH和△ABC中，
∴△AEH≌△ABC，
∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．
（3）①边长为、、的三角形如图4所示．
∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，
∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．
②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，