洛必达法则详解
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限 求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒 展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万 能，有些情况下使用洛必达法则可 能会导致计算量增加或者无法得出 正确结果，因此在实际应用中需要 谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工 具，可以将复杂的极限问题转化为导 数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求 解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以 处理的极限问题，如含有根号、三角函 数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在 给定点的导数是否存在，若不 存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择 合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合 适的变量代换，将复杂的极限问 题转化为简单的形式进行求解。 例如，对于$infty/infty$型未定 式，可以尝试通过倒数代换或指 数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转 化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型， 再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
添加 标题
洛必 达法则
这个结论就是如下的 0 型未定式求极限的洛必达法则． 0
3.2.1
定理 1
0 与 型未定式 0
o
设 F(x) ， G(x) 在 x0 的某去心邻域U (x0 ) 内有定义，且满足：
（1） lim F(x) 0 ， lim G(x) 0 ；
xx0
xx0
o
（2） F(x) ， G(x) 在U (x0 ) 内可导，且 G(x) 0 ； （3） lim F(x) 存在（或为 ），
tan x x
lim
x0
x2 sin x
lim
x0
tan x x3
x
sec2 x 1
tan2 x
lim
lim
x0 3x2
x0 3x2
．
又因为 tan x ~ x (x 0) ，所以
lim
x0
tan x x x2 sin x
x2 lim
x0 3x2
1． 3
3.2.1 0 与 型未定式 0
例4
求
lim
x
ln x x2
．
解 lim ln x lim 1 0 ． x x 2 x 2x2
例5
求 lim x
x2 ex
．
解
x2
lim
x
ex
lim
x
2x ex
lim
x
2 ex
0．
结论 x 时，幂函数增大的速度快于对数函数，指数函数增大的速度快
于幂函数（由例 4、例 5 得出）．
3.2.1 0 与 型未定式 0
1
lim x ln x lim ln x lim x lim (x) 0 ．
x0
1 x0 x
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
高等数学-第3章 3.1 洛必达法则
第3章 导数的应用本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。
§3.1 洛必达法则如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0()lim()x x f x g x →（或()lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，并分别记为00或∞∞。
例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221lim 23x x x →∞-+是∞∞型未定式。
在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。
下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。
一、 00型与∞∞型未定式定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足： （1）0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=；（2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x g x →''存在（或为∞）； 则 ()()=→x g x f x x 0lim()()x g x f x x ''→0lim 。
证明从略.这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称 为洛必达法则。
注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。
（2）定理3.1中的条件(1)，若改为lim x x →)(x f ＝∞, 0lim x x →)(x g ＝∞，则定理仍成立.（3）如果0()lim'()x x f x g x →'仍是00型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有()()limx x f x g x →=0()lim'()x x f x g x →'0''()lim ''()x x f x g x →== . 例1 求0ln(1sin )limx x x →+.解 这是0型未定式,应用洛必达法则,得000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0x x x xx x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x xx→+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。
数学分析(上)pch5_2待定型(洛必达法则)
e x e x 2 x 0 lim ( ) x 0 x sin x 0 1 cos x 0 e x e x 0 e x e x lim 2 ( ) lim x 0 sin x 0 x cos x 0
例4 求 lim x 0
x x 解 原式 lim e e 2 ( 0 ) x 0
取定c ( x0 , x0 1 ), 由 lim g ( x) 得
x x0
定理3 设f ( x), g ( x)在x0的某个右邻域内有定义，且
(1) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
该条件可省略
0 c x0使0 x x0 有 f ( x) A (1 1) g ( x) 4 2 g ( x) 0 2)当A 时, lim x x0 f ( x ) 则 由1)的结论，lim 由 lim 注： x x0
2 2 2
y ln x
o
x
lim
x
2
3sin 3 x 3 sin x
华东理工大学《数学分析》电子课件(§5.2)
② 若不为正整数 记 r (0 r 1) 则连续使用[μ]+1次洛必达法则，得
x
lim
x ( 1) ( [ ] 1)( [ ]) x r 1 lim x x [ ]1e x e ( 1) ( [ ] 1)( [ ]) lim 0 x [ ]1e x x1 r
x x
lim
f ( x) f ( x) f ( x) lim lim g ( x) x x0 g ( x) x x0 g ( x)
洛必达法则原理推导
洛必达法则原理推导洛必达法则原理推导洛必达法则是微积分学中的一种重要理论，它描述了函数在逼近某个点时的极限趋近问题。
这个原理是由法国数学家洛必达在18世纪发明的。
在本文中，我们将通过推导的方式来理解洛必达法则的原理。
在微积分中，洛必达法则的表述是：当函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处都可导，且$g'(a)$不等于$0$时，如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$且$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$，则$\lim_{x\rightarrowa}\frac{f(x)}{g(x)}$存在，且有$\lim_{x\rightarrowa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$。
我们可以通过导数的定义来理解洛必达法则。
考虑$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处的导数，假设都存在，我们可以将它们展开为下面的形式：$$f'(a) = \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$$$g'(a) = \lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$$由于$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$和$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$，我们可以将$f(x)$和$g(x)$展开为泰勒级数：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+...$$$$g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2}(x-a)^2+...$$因为$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处可导，所以它们的一阶导数存在，而一阶导数在$x=a$处的值分别是$f'(a)$和$g'(a)$。
洛必达法则详解【一元分析学经典讲义】
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练习题
一、 填空题： 填空题：
0 ∞ 1、洛必达法则除了可用于求“ ” 及“ ”两种类 洛必达法则除了可用于求“ ， 0 ∞ 型的未定式的极限外，也可通过变换解决 _____________， _____________， ____________， _____________，_____________，____________， _____________，_____________， _____________，_____________，等型的未定式 的求极限的问题. 的求极限的问题.
2 2
6 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x
2
法则可多次使用
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.比如 等价替换、 极限先求等 等价替换、非0极限先求等. 例6 解
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例
求 lim
e x (1 − cos x 2 ) x ⋅ ( 1 + x 2 − 1)
x → 0 tan 2
.
0 ( ) 0
x4 2 = lim 1 = 1. ( 因 e x →1 ) 原式 = lim 解 式 2 x →0 x→0 2 x x ⋅ 2 0 e2 x − 1 − 2 x ( ) 例 求 lim 2 x . 0 x → 0 x ⋅ (e + 1 + 2 x )
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三、小结
洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，可多次 使用， 不是万能的. 使用，但不是万能的 它与其它求极限方法结合使 效果更好.比如等价替换 等价替换、 极限先求等 用，效果更好.比如等价替换、非0极限先求等
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ex ex 2x
例4: lim x0 x sin x
(0) 0
解:
lim ex ex 2x x0 x sin x
lim ex ex 2 x0 1 cos x
(0) 0
ex ex lim
x0 sin x
(0) 0
lim ex ex 2 x0 cos x
9
x 2 cos 2x 2
17
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例10：
求 lim sec x x tan x
2
解： 设 lim sec x A x tan x
2
sec x
tan x sec x
A lim lim
x tan x x sec2 x
2
2
lim sec x A 1 x tan x
2
lim tan x 1 x sec x A
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例14: 求 lim x x . ( 00 ) x0
解: lim x x lim e xln x
x0
x0
1
lim ln x
x0 1
e
x
e
lim
x0
x 1
x2
lim ( x )
e x0 e0 1
25
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1
例15: 求 lim (cot x)lnx . x0
( 0 )
(2) f (x),g(x)在a点的某去心邻域内可导,
且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
那末 lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
15
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例8:求 lim ln sin ax , a,b 0. ( )
x0 ln sin bx
.
解： lim tan x x lim tan x x x0 x2 tan x x0 x3
利用等价
无穷小量 替换
lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim tan2 x 1 x0 3x2 3
12
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考研题欣赏 2006（四、19）试确定常数A、B、C的值使得：
ex 1 Bx Cx2 1 Ax o x3
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第二节 洛必达法则
当 x a (或 x ) 时，如果函数f(x)和g(x)的极
限都为零或都趋于无穷大，则极限 lim f ( x)
g( x)
可能存在也可能不存在，通常称这类的极限为未定 式，简记为 0 或 。
0
例如：lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
lim lnsinax , ( ) x0 lnsin bx
2
sec x
1
正解：
lim lim 1 x tan x x sin x
2
2
18
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4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
步骤:
0 0 0,
1
0
或
0
1
0
.
19
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例11: 求 lim x2e x . x
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim
xa
f ( x) g( x)
A, lim a
f ( ) g( )
A,
lim f ( x) lim f ( ) A. xa g( x) a g( )
3
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注意：1)罗必塔法则中极限A可以是无穷大。
2)当 x 时，罗必塔法则也成立。即
考研题欣赏 （2003年3，4）设
f (x) 1 1 1 , x [1 ,1) .
sin x (1 x) 2
试补充定义f(1)使得f(x)在[1/2，1]上连续。
解：令y=1- x ，有
1 (1 x) sin x
lim f (x) lim
x1
x1 (1 x)sin x
27
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1
.
(0) 0
解:
x
arctan x
lim 2
x
1
x
lim
1
1 x2
x
1 x2
x2
lim
x
1
x2
1
7
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f ( x)
如果 g( x) 仍然是未定式极限，且 f ( x), g( x)
也满足罗必塔法则的条件，则可继续使用罗必塔法则。 即
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) . xa g( x) xa g( x) xa g( x)
其它型的未定式还有： 0 , ,1 ,00,0
1
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4.2.1 0 型未定式 0
定理：洛必达法则 设:(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xa
xa
(2) f (x), g(x)在a点的某去心邻域内可导,且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
()
2
解：
lim tan x lim sec2 x x tan 3x x 3sec2 3x
2
2
1 cos2 3 x
lim 3 x
cos2
x
2
1 lim 6cos 3x sin 3x 3 x 2cos x sin x
2
lim sin 6 x lim 6cos 6x 3
x sin 2 x 2
( 0 )
解:
lim x2ex
x
lim
x
ex x2
()
lim ex lim e x . x 2x x 2
20
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2. 型
步骤:
1 0
1 0
00 00
例12: 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解:
11
x sin x
lim( ). lim
x0 sin x x x0 x sin x
1
解：取对数得 ln(cot x)ln x
1
ln(cot x) ln(cot x) ,
ln x
ln x
11
ln(cot x) lim x0 ln x
lim
x0
cot
x 1
sin2
x
lim x 1,
x
x0 cos x sin x
1
lim (cot x)ln x e1. x0 26
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那末 lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
2
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证： 补充定义f(a)=g(a)=0。 则f(x)、g(x)在区间[a,x ](或[x, a ])上满足柯西定理。
则有
f (x) g( x)
f (x) f (a) g(x) g(a)
f ( ) g( )
3. 1 ,00 ,0 型
步骤:
1
ln1
00
取对数
0 ln 0
0
0 ln
0 .
23
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1
例13: 求 lim x1 x . x1
( 1 )
e 1
1 ln x
解: lim x1x lim e1x
x1
x1
limln x x11 x
1
e
lim x
x1 1 e1 .
24
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例5： 求lim ex cos x x0 x sin x
解：lim ex cos x lim ex sin x x0 x sin x x0 sin x x cos x
lim
ex cos x
11 1
x0 cos x cos x x sin x 11 0
正解：lim ex cos x x0 x sin x
lim
x0
6x
lim B 4C 2Cx
x0
6
得
1 B A 0 2B 2C 1 0 B 4C 0
8分
解得 A 1 , B 2 ,C 1 10分 336
14
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4.2.2 型未定式
定理：洛必达法则
设:(1) lim f (x) lim g(x) ;
xa
xa
(0) 0
lim 1 cos x lim
sin x
0
x0 sin x x cos x x0 cos x cos x x sin x
21
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有关考研题
2005（15）
求
lim
x0
1 x 1 ex
1 x
2004（15） 求
lim
x0
1 sin 2
x
cos2 x2
x
22
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lim ex sin x x0 sin x x cos x
10
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x2 sin 1
例6： 求 lim
x
x0 sin x
解：
lim
x2
sin
1 x
lim
2x sin
1 x
x2
cos
1 x
(
1 x2
)
x0 sin x x0
cos x
2x sin 1 cos 1
lim
x
x 不存在
其中 o x3 是当 x 0 时比 x3 高阶无穷小。