2018-2019学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)
第 1 页 共 15 页 上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题 一、单选题 1．已知等差数列na的公差为2，前n项和为nS，且10100S，则7a的值为
A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解析】利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果. 【详解】 ∵等差数列na的公差为2，且10100S， ∴1011091021002Sa ∴11a ∴7171213a. 故选：C 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.
2．等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C
【解析】由题意可知， ， ，解得： ， ，求得 ，故选C. 3．设等差数列na的前n项和为nS，若112,0,3mmmSSS，则m( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由0mS112mmmaaSS又113mmmaSS，可得公差11mmdaa，从而可得结果. 【详解】 naQ是等差数列 第 2 页 共 15 页
102msm
maaS
112mmmaaSS
又113mmmaSS， ∴公差11mmdaa， 11325maammm，故选C．
【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4．设02，若11sin,(sin)(1,2,3,)nxnxxnL，则数列{}nx是（ ）
A．递增数列 B．递减数列
C．奇数项递增，偶数项递减的数列 D．偶数项递增，奇数项递减的数列
【答案】C 【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin1a，进而可得函数(sin)xya为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。 【详解】 根据题意，02，则0sin1a，指数函数(sin)xya为减函数 1sin0(sin)(sin)(sin)1aaaa
即1
1
0(sin)1xxa
2110(sin)(sin)(sin)(sin)1,xxaaaa
即132
01xxx
321
10(sin)(sin)(sin)(sin)(sin)1,xxxaaaaa
即1342
01xxxx
3241
10(sin)(sin)(sin)(sin)(sin)(sin)1,xxxxaaaaaa
即13542
01,,xxxxxL
1357864201xxxxxxxxL， 第 3 页 共 15 页
数列{}nx是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C. 【点睛】 本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。
二、填空题 5．1lim1nn__________. 【答案】1 【解析】由1lim=0xn即可求得 【详解】 11lim(1=lim1lim=1-0=1xxxnn）
【点睛】 利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。 6．等差数列{}na中，若13,21,2naad，则n___________. 【答案】10. 【解析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解n的值． 【详解】 在等差数列{}na中，由13a，21na，2d， 且1(1)naand，所以1213192naand， 所以10n． 故答案为：10. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求n． 7．数列{}na中，已知*41322,nnnanN•，50为第________项. 【答案】4 【解析】方程变为4132-48=0nn•，设2nx，解关于x的二次方程可求得。 【详解】 *41322,nnnanN•
，则5041322nn•，即4132-48=0nn• 第 4 页 共 15 页
设2nx，则213480xx，有16x或3x 取16x得216n，4n，所以是第4项。 【点睛】 发现242nn（），原方程可通过换元，变为关于x的一个二次方程。对于指数结构242nn（），293nn（），2255nn（）等，都可以通过换元变为二次形式研究。
8．{}na为等比数列，若1234126,52aaaaa，则na_______. 【答案】123n•
【解析】将1234126,52aaaaa这两式中的量全部用1,aq表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。 【详解】
12326aaa相当于211=26aqq（），
4152aa相当于3211-1=(1)(1)52aqaqqq（），
上面两式相除得12,q3q代入就得12a，123nnag
【点睛】 基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。 9．用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()nnnnnnnNLL时，从
“nk到1nk”，左边需增乘的代数式是___________. 【答案】2(21)k.
【解析】从nk到1nk时左边需增乘的代数式是(1)(11)1kkkkk，化简即可得出． 【详解】 假设nk时命题成立，则(1)(2)(3)()2135(21)kkkkkkkL， 当1nk时，1(2)(3)(11)2135(21)kkkkkkL
从nk到1nk时左边需增乘的代数式是(1)(11)2(21)1kkkkkk． 故答案为：2(21)k. 第 5 页 共 15 页
【点睛】 本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 10．数列{}na满足1211,3,(2)(1,2,)nnaaananL，则3a等于
__________. 【答案】15.
【解析】先由11a，23a，结合1(2)nnana，求出，然后再求出3a． 【详解】 11aQ，23a，1(2)nnana，
223a，1．
3(4)315a．
故答案为：15. 【点睛】 本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查基本运算求解能力． 11．数列{}nx满足*1112,2,,,nnnxxxnnNxaxb，则2019x_________. 【答案】ba.
【解析】根据数列递推关系，列出前面几项，发现数列{}nx是以6为周期的周期数列，然后根据周期数列的性质特点可得出2019x的值． 【详解】 由题干中递推公式，可得：
1xa，
2xb，
321xxxba，
432xxxbaba，
543()xxxabab，
654()xxxbaab，
765()xxxabba， 第 6 页 共 15 页
876()xxxaabb，
987xxxba，
L
数列{}nx是以6为最小正周期的周期数列．
201963363QL，
20193xxba．
故答案为：ba.
【点睛】 本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求数列任一项的值，考查不完全归纳法的应用，考查从特殊到一般的思想和基本的运算求解能力． 12．数列{}na满足下列条件：11a，且对于任意正整数n，恒有2nnaan，则
512a______.
【答案】512 【解析】直接由2nnaan，可得88785122562561281282562=128222aaaaaL
，这样推下去
，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。 【详解】
2nnaanQ
5122568256
8128
78128
1281
9
2562=128222122212112512aaaaaaLL
故选C。 【点睛】 利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。
精品解析：上海市延安中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题(解析版)
延安中学2018-2019高二下期中考试卷一、填空题（本大题共有12题，1~6题每题3分，7~12题每题4分，满分42分）1.空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4 【解析】 【分析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果.【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a 【解析】 【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1B B B D∴⊥ 又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案：a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.3.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π【解析】【分析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1B C A B ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C B C ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角. 4.如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】2【解析】 【分析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD -的高为高的三角形正四面体棱长为3 ∴=∴正四面体的高AO ==∴正视图的面积为：1322⨯=【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.5.若正六棱柱的所有棱长均为m ，且其体积为123m =__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据底面为边长为m 的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果. 【详解】正六棱柱底面为边长为m 的正六边形 ∴底面面积为：()23332m m += ∴正六棱柱体积233123V m =⋅=2m =故答案为：2【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 6.给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】 【分析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确.【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确； ②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.7.已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm . 【答案】1或7 【解析】 【分析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-= ∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.8.如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为CO =OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6 【解析】 【分析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积. 【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅== 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴== 11622CODS CO OD ∆∴=⋅=⨯= 故答案为：6【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.9.已知()cos ,1,sin a θθ=，()sin ,1,cos b θθ=，则向量a b +与a b -的夹角是__________. 【答案】2π【解析】 【分析】利用向量坐标运算表示出a b +与a b -，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-= ()()a b a b ∴+⊥-，即a b +与a b -的夹角为2π 故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题. 10.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 考点：圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.【此处有视频，请去附件查看】11.已知函数2,01()3x x f x x ≤≤=<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】 试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 考点：旋转体体积12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π 【解析】 【分析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π 【点睛】本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果. 二、选择题（本大题共5题，每题3分，共15分）13.“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果. 【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立； 若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立∴“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题.14.集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P N M QB. P M NQC. QM NPD. QNMP【答案】C 【解析】 【分析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴QM NP故选：C【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.15.(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 【此处有视频，请去附件查看】16.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果.【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113A B C D A B C DV a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅= ∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.17.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量运算法则可知2i iAB AP AB AB BP ⋅=+⋅，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=，从而得到21i AB AP AB ⋅==，进而得到结果.【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅AB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥ 0i AB BP ∴⋅= 21i A B A P A B ∴⋅==则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个 故选：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.三、解答题（本大题共5题，共43分，解答时写出必要的步骤）18.已知向量b 与向量()2,1,2a =-共线，且18a b ⋅=，()()ka b ka b +⊥-，求实数k 的值. 【答案】2k =± 【解析】 【分析】根据向量共线可设b a λ=，由18a b ⋅=可构造方程求得λ，得到b ；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=，由数量积运算律可构造方程求得k .【详解】,a b 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-44918a b λλλλ∴⋅=++==，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-()()ka b ka b +⊥- ()()2220ka b ka b k ab ∴+⋅-=-=即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =±【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19.已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】【分析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.【详解】设北纬30的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=，30OBO '∠=122R OO OB '∴==，3322O B OB R '== 32O A O B R''∴== 226AB O A O B R ''∴=+=在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠==1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20.底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长； （2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）3【解析】 【分析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果；（2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】（1）123PP P ∆为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯==【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小； （2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）11【解析】 【分析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可得结果； （2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h = （1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠112tan 3AB BA A AA ∠== ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆为等腰三角形，11A B BC ==，11AC ==∴=1112A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 112333d ∴=⨯⨯，解得：11d =即点1D 到面11A BC 的距离为11【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离. 【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为132522- 【解析】 【分析】（1）由22r l PO =-（2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径2r ===∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅= OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥ ,AO PO ⊂平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PHPMH MH∴∠==13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π 圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅= 4APB BP ππ∴∠==N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 20AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-AN ∴=,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
2018-2019学年上海市延安中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市延安中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．若,27m N m *∈<，则(27)(28)(34)m m m ---等于（ ）A ．827m P - B ．2734mm P --C ．734m P -D ．834m P -【答案】D【解析】(27)(28)(34)m m m ---、、、中最大的数为()34m -，(27)(28)(34)m m m ---、、、包含()342718-+=个数据，且8个数据是连续的正整数，由此可得到(27)(28)(34)m m m ---的表示.【详解】因为(27)(28)(34)(34)(28)(27)m m m m m m ---=---，所以表示从()34m -连乘到()27m -，一共是8个正整数连乘， 所以834(27)(28)(34)m m m m P ----=.故选：D. 【点睛】本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：()()!!!n m n nP n P n m n m ==--的运用.2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，如果M 、N 分别为1A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的大小为（ ）A ．arccos 2B ．arccos10C ．3arccos5D ．2arccos5【答案】B【解析】作出图形，取CD 的中点E ，连接ME 、AE ，证明四边形CNME 为平行四边形，计算出AME ∆的三边边长，然后利用余弦定理计算出cos AME ∠，即可得出异面直线AM 与CN 所成角的大小. 【详解】 如下图所示：取CD 的中点E ，连接ME 、AE ，M 、N 分别为1BB 、1A B 的中点，则11//MN A B ，且111122MN A B ==， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A B CD ，E 为CD 的中点，11//CE A B ∴且111122CE A B ==，则//MN CE ， 所以，四边形CNME 为平行四边形，//CN ME ∴， 则异面直线AM 与CN 所成的角为AEM ∠或其补角.在AME ∆中，1122AM A B ==ME CN ===，AE ==.由余弦定理得222cos 2AM ME AE AME AM ME +-∠==⋅因此，异面直线AM 与CN 所成角的大小为arccos 10. 故选B. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用定义法或空间向量法计算，考查计算能力，属于中等题.3．若122n nn n n C x C x C x +++L 能被7整除，则,x n 的值可能为 （ ）A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．x="5,n=4"D ．6,5x n ==【答案】C 【解析】【详解】122(1)1n nn n n n C x C x C x x +=+++-所以当5,4x n ==时，1224(15)11857n n n n n C x C x C x +++=+-=⨯能被7整除，选C.4．.从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种. A ．90 B ．72 C ．36 D ．144【答案】C 【解析】【详解】排列方法为234336C A =,选C.5．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =与向量()1,1b =-r的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．56【答案】C 【解析】由0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得出0a b m n ⋅=-≥，计算出基本事件的总数以及事件m n≥所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，0a b m n ∴⋅=-≥，即m n ≥，事件“0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”所包含的基本事件有：()1,1、()2,1、()2,2、()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5、()6,1、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共21个，所有的基本事件数为2636=，因此，事件“0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”的概率为2173612=. 故选C. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是求出总的基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题.二、填空题6．540的不同正约数共有______个． 【答案】24【解析】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，然后利用约数和定理可得出540的不同正约数个数. 【详解】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，因此，540的不同正约数共有()()()12131124+⨯+⨯+=. 故答案为：24. 【点睛】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.7．已知向量()1,2,2a =-，则向量a 的单位向量0a =______． 【答案】122,,333⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】计算出a r ，从而可得出0a a a=r u u r r ，即可求出向量0a u u r 的坐标. 【详解】()1,2,2a =-，2123a ∴=+=，因此，向量a 的单位向量01122,,3333aa a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.故答案为：122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查与非零向量同向的单位向量坐标的计算，熟悉结论“与非零向量a 同向的单位向量为a a”的应用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.8．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种．【答案】53【解析】每名旅客都有3种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数. 【详解】由于每名旅客都有3种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有53种. 故答案为：53. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.9．已知直线l 的一个方向向量()2,3,5d =，平面α的一个法向量()4,,u m n =-，若l α⊥，则m n +=______．【答案】16-【解析】由题意得出//d u ，由此可得出4235m n-==，解出实数m 、n 的值，由此可得出m n +的值. 【详解】l α⊥，//d u ∴，且()2,3,5d =，()4,,u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-.因此，16m n +=-. 故答案为：16-. 【点睛】本题考查利用直线与平面垂直求参数，将问题转化为直线的方向向量与平面法向量共线，考查化归与转化思想的应用，属于基础题. 10．不等式46n n C C >的解为n =______． 【答案】6或7或8或9【解析】利用组合数公式得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出正整数n 的取值. 【详解】46n n C C>，由组合数公式得()()!4!4!6!6!n n n n >--！，得()()4!6!6!4!n n -<-，整理得()()4530n n --<，即29100n n --<，解得110n -<<，由题意可知6n ≥且n *∈N ，因此，不等式46n n C C >的解为6n =或7或8或9. 故答案为：6或7或8或9. 【点睛】本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.11．二项式15展开式中的常数项是______．【答案】5005【解析】写出二项式15展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，然后代入通项即可求出该二项式展开式中的常数项. 【详解】二项式15展开式的通项为()5155615151kkkk kk C C x--⎛⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 令5506k -=，得6k =，因此，该二项式展开式中的常数项为()661515005C ⋅-=. 故答案为：5005. 【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的求解，一般利用二项展开式通项中x 的指数为零来求解，考查运算求解能力，属于中等题.12．计算：01220181232019C C C C ++++=L ______．【答案】2039190【解析】将01C 变为02C ，然后利用组合数性质111k k k n n n C C C ++++=即可计算出所求代数式的值. 【详解】()111,,1k k k n n n C C C n N k N k n ++*++=∈∈≤+，012201801220181220182018123201922320193320192020C C C C C C C C C C C C ∴++++=++++=+++=L L 2039190=.故答案为：2039190. 【点睛】本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.13．已知一个总体为：1、3、4、7、x ，且总体平均数是4，则这个总体的方差是______． 【答案】4【解析】利用总体平均数为4求出实数x 的值，然后利用方差公式可求出总体的方差. 【详解】由于该总体的平均数为4，则134745x++++=，解得5x =.因此，这个总体的方差为()()()()()22222143444745445-+-+-+-+-=.故答案为：4. 【点睛】本题考查方差的计算，利用平均数和方差公式进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，那么顶点1B 到平面1ACD 的距离为______． 【答案】43【解析】作出图形，计算出四面体11AB CD 的体积，并计算出1ACD ∆的面积，然后利用等体积法计算出点1B 到平面1ACD 的距离. 【详解】 如下图所示：三棱锥11B ACD -的体积为11111111111241214121323B ACD ABCD A BCD A A B D V V V ---=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.在1Rt ADD ∆中，由勾股定理得1AD ==，同理可得1AC CD ==取1AD 的中点E ，连接CE ，则1CE A D ⊥，由勾股定理得CE ==所以，1ACD ∆的面积为111132222ACD S AD CE ∆=⋅==. 设点1B 到平面1ACD 的距离为h ，则11111323323B ACD A C D V S h h -∆=⋅=⨯⨯=，解的43h =. 因此，点1B 到平面1ACD 的距离为43. 故答案为：43. 【点睛】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法、空间向量法，考查计算能力，属于中等题.15．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ 。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
上海市上海中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
5.用数学归纳法证明：n 1n 2n n 2n 132n 1, n N* 时，从“ k 到
k 1 ”左边需增加的代数式是________________． 【答案】 4k 2
【解析】 【分析】
上海市上海中学 2018-2019 学年高一数学下学期期末考试试题（含解
析）
一、选择题。
1.
lim
n
1
1 n
__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由 lim 1 =0 即可求得 x n
【详解】 lim(1 1）= lim1 lim 1 =1-0=1
x
n x x n
【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。
-1-
【点睛】发现 4n （2n）2 ，原方程可通过换元，变为关于 x 的一个二次方程。对于指数结构 4n （2n）2 ， 9n （3n）2 ， 25n （5n）2 等，都可以通过换元变为二次形式研究。
4.{an} 为等比数列，若 a1 a2 a3 26 , a4 a1 52 ，则 an _______. 【答案】 2•3n1
2.已知等差数列 a1 3, an 21, d 2, 则 n
．
【答案】10
【解析】
试题分析：根据公式， an a1 n 1 d ，将 a1 3, an 21, d 2, 代入，计算得 n=10．
考点：等差数列的通项公式．
3.数列{an} 中，已知 an 4n 13•2n 2, n N * ，50 为第________项.
1 2 512
故选 C。 【点睛】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道 中等难度题目。
上海市华师大二附中2018-2019学年上期高二数学期末试题及答案解析(WORD版)
上海市华师大二附中2018-2019学年上期高二数学期末试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1. 关于x ，y 的二元一次方程组{2x +3y =4x+5y=0，其中行列式D x 为（ ）A. ∣∣∣05−43∣∣∣B. ∣∣∣1024∣∣∣C. ∣∣∣0543∣∣∣D. ∣∣∣054−3∣∣∣2. 使复数z 为实数的充分而不必要条件为（ ）A. z 2为实数B. z +z −为实数 C. z =z −D. |z|=z3. 下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（ ）A. 动点M 到直线4x +3y −5=0和4x +3y +10=0的距离和为3B. 动点M 到直线(1,0)和(−1,0)的距离和为2C. 动点M 到直线(0,2)和(0,−2)的距离差为4D. 动点M 到点(2,3)和到2x −y −1=0的距离相等44. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：x 2+y 2=12和C 2：x 2+y 2=14，又点A 坐标为（3，-1），M 、N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5. 在平面解析几何中，直线的倾斜角θ的取值范围为______．6. 抛物线y =-2x 2的准线方程为______．7. 若复数z 满足z =（1+2i ）（3-4i ），（i 是虚数单位），则|z −|=______． 8. 若|1a−i 1+i b−2i|=0，(a ，b ∈R)，（i 是虚数单位），则a 2+b 2=______．9. 设点（x ，y ）位于线性的约束条件{x +y ≤3x −2y +1≤0y ≤2x所表示的区域，则目标函数z =2x +y的最大值和最小值的比值______． 10. 若方程x 2k−1+y 2k 2−3=−1表示椭圆，则k 的取值范围是______． 11. 已知直线ax +by +c =0与圆：x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 12. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______．13. 若圆x 2+y 2=R 2（R ＞0）和曲线|x|3+|y|4=1恰有六个公共点，则R 的值是______．14. 已知2a +b -ab =0（a ＞0，b ＞0），当ab 取得最小值时，曲线x|x|a−y|y|b=1上的点到直线y =√2x 的距离的取值范围为______． 三、解答题（本大题共4小题，共42.0分） 15. 已知复数z =m 2−m−6m+3+(m 2−2m −15)i （i 是虚数单位）（1）复数z 是实数，求实数m 的值；（3）复数z是纯虚数，求实数m的值．16.直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1的左支交于点A，与右支交于点B．（1）求实数k的取值范围；（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求k的取值．17.已知F1、F2为双曲线：Γ：x24−y2=1的左、右焦点，点P在双曲线上，点Q在圆C：x2+（y-3）2=4上．（1）若|PF1|+|PF2|=8，求点P的坐标；（2）若直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点，求直线l的方程．18.已知椭圆￢：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），M点的坐标为（0，b），O为坐标原点，△OMF是等腰直角三角形．（1）求椭圆￢的方程；（2）设经过点C（0，2）作直线AB交椭圆￢于A、B两点，求△AOB面积的最大值；（3）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案和解析1.C【解析】解x，y的二元一次方程组，系数行列式：Dx=．故选：C．利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2.D【解析】解：设复数z=a+bi（i是虚数单位），则复数z为实数的充分必要条件为b=0由此可看出：对于A，z2为实数，可能z=i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B，同样若z是纯虚数，则z+=0为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C，若z=a+bi，=a-bi，z=等价于b=0，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D，若|z|=z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|=z不成立，符合题意．故选：D．一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个先项加以判别，发现A、B都没有充分性，而C是充分必要条件，由此不难得出正确的选项．本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握书本中的复数有关概念，是解决本题的关键．3.A【解析】解：直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0之间的距离为：=3，所以动点M到直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M到直线（1，0）和（-1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B不正确；动点M到直线（0，2）和（0，-2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C不正确；动点M到点（2，3）和到2x-y-1=0的距离相等4，动点M的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D不正确；故选：A．利用平行线之间的距离，判断选项A的正误；利用两点间距离个数判断B的正误；轨迹方程判断C，D的正误；本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．4.D【解析】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，若MN=AQ，即可得出四边形AMQN是矩形，由Q的任意性知，四边形AMQN能构成无数个矩形．故选：D．根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．本题考查了两圆的位置关系应用问题，是难题．5.[0，π）【解析】解：直线的倾斜角θ的取值范围为[0，π）．故答案为：[0，π）．直接写出直线的倾斜角θ的取值范围即可．本题考查了直线的倾斜角的范围，是基础题．6.y=18【解析】解：抛物线y=-2x2即为x2=-y，由x2=-2py的准线方程y=，由x2=-y，可得p=，可得所求准线方程为y=．故答案为：y=．得到所求方程．本题考查抛物线的准线方程的求法，注意将方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．7.5√5【解析】解：z=（1+2i）（3-4i）=11+2i．则=．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．8.1【解析】解：化简行列式如下：=（a-i）（1+i）-1•（b-2i）=a+ai-i+1-b+2i=（a+1-b）+（a+1）i，∵=0∴（a+1-b）+（a+1）i=0，∴可得，方程组：，解得a=-1，b=0，∴a2+b2=1，故答案为1．本题根据二阶行列式的定义将此行列式化简整理，然后根据虚数的概念可算出a，b的值，答案即出．本题主要考查二阶行列式的定义计算和虚数的概念，不是太难，属基础题．9.72【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（，），代入目标函数z=2x+y得z=2×+=．即目标函数z=2x+y的最大值为，由，解得C（，）函数的最小值：，目标函数z=2x+y的最大值和最小值的比值：．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值与最小值，然后求解比值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.(−√3，−1)∪(−1，1)【解析】解：∵方程表示椭圆，∴∴-＜k＜1且k≠-1，故答案为：．由题意列出不等式组，解不等式可求k的范围．本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，椭圆的简单性质的应用，属于基础试题．11.−12解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin=所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答．本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系．是基础题．12.[-2，1]【解析】解：由椭圆，焦点知F1（-，0），F2（，0），设P（x，y），-2≤x≤2，则=（--x，-y）（-x，-y）=x2+y2-3=（3x2-8），∵-2≤x≤2，∴0≤x2≤4，故∈[-2，1]，故答案为：[-2，1]．求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得=（3x2-8），由-2≤x≤2，即可求得答案．本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．13.3【解析】解：圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，如图所示，此时R=3．故答案为3．可作出圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，根据图形判断本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.（0，2√6]3【解析】解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），∴ab=2a+b≥2，化为（-2）≥0，∴≥2，解得ab≥8．当且仅当b=2a=4时取等号．∴曲线为-=1．画出图形：由图形可知：直线y=x分别是曲线=1，曲线-+=1的渐近线．因此点到直线y=x的距离d＞0．设直线y=x+m与曲线+=1（x≥0，y≤0）相切．联立化为，令△=8m2-16（m2-4）=0，解得m=-2．∴切线为y=．两平行线y=，y=x的距离d==．∴曲线上的点到直线的距离取值范围是（0，]．故答案为（0，]．利用基本不等式可得b=2a=4．再对x，y分类讨论，画出图形，利用直线与曲线相切的性质即可得出．本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、两点间的距离公式、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．15.解：（1）若复数z 是实数，则{m +3≠0m2−2m−15=0，得{m ≠−3m=5或m=−3， 即m =5；（2）复数z 是虚数，则{m ≠−3m 2−2m−15≠0，即{m ≠−3m≠5且m≠−3， 即m ≠5且m ≠-3；（3）复数z 是纯虚数，则{m 2−m −6=0m ≠−3m 2−2m −15≠0，得{m =3或−2m ≠−3m ≠5且m ≠−3，即m =3，或-2【解析】（1）根据复数是实数得到虚部为零 （2）复数是虚数，则虚部不为零（3）复数是纯虚数，则实部为零虚部不为零本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题的关键．16.解：（1）由直线y =kx +1与双曲线3x 2-y 2=1，得（3-k 2）x 2-2kx -2=0，因为A ．B 在双曲线的左右两支上，所以3-k 2≠0，−23−k 2＜0，解得-√3＜k ＜√3；（2）假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k OA •k OB =-1，即x 1x 2+y 1y 2=0， ∴x 1x 2+（kx 1+1）（kx 2+1）=0， 即（k 2+1）x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=0， ∴（k 2+1）•−23−k 2+k •2k3−k 2=0， 整理得k 2=1，符合条件，∴k =±1． 【解析】（1）由直线y=kx+1与双曲线3x 2-y 2=1，得（3-k 2）x 2-2kx-2=0，利用A ，B 在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可； （2）把存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点转化为k OA •k OB =-1，即x 1x 2+y 1y 2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k 的值． 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方第11页，共13页程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．17.解：（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，可得m +n =8，|m -n |=4，若P 在第一象限，可得m -n =4，解得m =6，n =2，由双曲线的第二定义可得2x P −4√5=√52，解得x P =8√55，y P =√555， 由对称性可得点P 的坐标为(8√55，√555)，(8√55，−√555)，(−8√55，√555)，(−8√55，−√555)； （2）直线l 与双曲线Γ及圆C 都恰好只有一个公共点，若直线l 的斜率不存在，即有直线方程为x =±2； 由双曲线的渐近线方程可得y =±12x ， 直线l 与渐近线平行，可设l ：y =±12x +m ， 由直线l 与圆相切，可得√1+14=2，解得m =3±√5， 可得直线l 的方程为y =12x +3±√5或y =-12x +3±√5；当直线l 与双曲线和圆都相切，设直线方程为y =kx +t ，可得√1+k 2=2，①由双曲线方程和直线方程联立，可得（1-4k 2）x 2-8ktx -4t 2-4=0，可得△=64k 2t 2+16（1+t 2）（1-4k 2）=0，化为1+t 2=4k 2，② 由①②解得k =±√136，t =23， 即直线l 的方程为y =±√136x +23， 综上可得直线l 共有8条，为x =±2；y =12x +3±√5或y =-12x +3±√5； y =±√136x +23． 【解析】（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，运用双曲线的两个定义，解方程即可得到所求P 的坐标；（2）分别讨论直线的斜率不存在和直线和渐近线平行、直线和圆、双曲线都相切的情况，解方程即可得到所求直线方程．第12页，共13页 本题考查直线和双曲线、直线和圆的位置关系，考查化简运算能力、方程思想，属于中档题．18.解：（1）由△OMF 是等腰直角三角形，得b =1，a =√2b =√2，故椭圆方程为x 22+y 2=1； （2）设过点C （0，2）的直线AB 的方程为y =kx +2，A 、B 的横坐标分别为x A ，x B ， 将线AB 的方程为y =kx +2代入椭圆方程，消元可得（1+2k 2）x 2+8kx +6=0，△=16k 2-24＞0，∴k 2＞32∴x A +x B =-8k 1+2k 2，x A x B =61+2k 2∴|x A -x B |=√(−8k 1+2k 2)2−4×61+2k 2=√16k 2−24(1+2k 2)2 令k 2=t ，则t ＞32，|x A -x B |=√16t−24(1+2t)2令u =t -32，则u ＞0，|x A -x B |=4√u (2u+4)2=2√1u+4u +4≤√22（当且仅当u =2时取等号）又△AOB 面积=12×2×|x A -x B |=|x A -x B |，∴△AOB 面积的最大值为√22； （3）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），因为M （0，1），F （1，0），所以k PQ =1．于是设直线l 的方程为y =x +m ，代入椭圆方程，消元可得3x 2+4mx +2m 2-2=0． 由△＞0，得m 2＜3，且x 1+x 2=−4m3，x 1x 2=2m 2−23由题意应有MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以x 1（x 2-1）+y 2（y 1-1）=0，所以2x 1x 2+（x 1+x 2）（m -1）+m 2-m =0．整理得2×2m 2−23−4m 3（m -1）+m 2-m =0． 解得m =-43或m =1．经检验，当m =1时，△PQM 不存在，故舍去．∴当m =-43时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为y =x -43【解析】（1）由△△OMF 是等腰直角三角形，可得b=1，a=，b=，从而可得椭圆方程；（2）设过点C （0，2）的直线AB 的方程为y=kx+2，A 、B 的横坐标分别为x A ，x B ，求出|x A -x B |的最大值，即可求得△AOB 面积=×2×|x A -x B |=|x A -x B |的最大值； （3）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心，设直线l 的方程为y=x+m ，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．第13页，共13页。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
2018-2019学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴1011091021002S a ⨯=+⨯= ∴11a =∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 2．等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4．设02πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+===，则数列{}n x 是（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )xy a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部， 所以直线与椭圆必相交， 所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（ ）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在 【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点， 由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________； 【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ， 所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________； 【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】 当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________； 【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ， 解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ， 所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______． 【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程． 【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=． 故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________； 【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________； 【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-， 因为 2l 也通过定点()2,3-， 将()2,3-代入220++=m x y n ， 得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】 设(),P x y ，1x =+， 两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =， 当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________； 【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切， 所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=， 故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】 令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上， 所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-， 代入22y px =， 得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 代入22y px =， 得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-， 所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点， 有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点， 则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ， 因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明 对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ， 由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ， 又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程， 所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。
上海市建平中学2018-2019学年高二上期末考试数学试题及答案解析(WORD版)
上海市建平中学2018-2019学年高二上期末考试数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 直线l ：2x -y -1=0的倾斜角为（ ）A. arctan2B. arctan(−2)C. π−arctan2D. π+arctan22. 参数方程{y =−cosαx=3cosα+1(α为参数)对应的普通方程为（ ）A. x +3y +1=0B. x +3y −1=0C. x +3y −1=0(−2≤x ≤4)D. x +3y −1=0(−1≤x ≤1)3. 已知椭圆C ：x 29+y 28=1，对于任意实数k ，下列直线中被椭圆C 截得的弦长与直线l ：y =kx +2被椭圆C 截得的弦长一定相等的是（ ）A. kx −y +1=0B. kx +y −1=0C. kx +y −2=0D. kx −y −3=0 4. 已知抛物线y 2=8x 的焦点是F ，点A 、B 、C 在抛物线上，O 为坐标原点，若点F 为△ABC 的重心，△OFA 、△OFB 、△OFC 面积分别记为S 1、S 2、S 3，则S 12+S 22+S 32的值为（ ） A. 16 B. 48 C. 96 D. 192 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 已知向量a ⃗ =(2，1)，b ⃗ =(m ，−2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数m =______．6. 已知直线l 的一个方向向量为d ⃗ =(3，−4)，则直线l 的斜率为______．7. 双曲线x 29−y 2=1的渐近线方程为______．8. 已知椭圆的参数方程为{y =2sinθx=3cosθ(θ为参数)，则该椭圆的长轴长为______． 9. 已知△ABC 中，点D 为线段BC 的中点，记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用a ⃗ 、b⃗ 表示为______．10. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，该抛物线上点P 的横坐标为2，则|PF |=______． 11. 已知关于x 、y 的线性方程组的增广矩阵为(1122−11)，则该方程组的解为______．12. 已知圆x 2+y 2=6，点M (√2，−2)，则过点M 的圆的切线方程为______．13. 已知实数x 、y 满足线性约束条件{x ≥1y ≥−1x +y ≤4，则目标函数z =2x +y 的最大值是______．14. 与椭圆x 29+y 25=1有两个相同的焦点，且经过点(√2，√3)的双曲线的标准方程是______．15. 曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y =x 2+a 到直线l ：y =x +1的距离等于C 2：(x −2)2+y 2=2到直线l ：y =x +1的距离，则实数a =______．16. 设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x -4）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有2条，则r 的取值集合是______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为π3，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=3． （1）求|a ⃗ +b⃗ |的值； （2）求a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角．18.已知直线l：y=2x+1，及两点A（-2，3）、B（1，6），点P在直线l上．（1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P的坐标；（2）求|PA|+|PB|的最小值．19.已知圆C：（x+2）2+y2=9及点P（0，1），过点P的直线与圆交于A、B两点．（1）若弦长|AB|=4√2，求直线AB的斜率；（2）求△ABC面积的最大值，及此时弦长|AB|．20.设椭圆C：x2+y2=1(a＞0)的两个焦点是F1（-c，0）和F2（-c，0）（c＞0）．a2（1）若椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点，求实数a的取值范围；（2）若椭圆C上的点到焦点的最短距离为2−√3，求椭圆C的方程；)(k≠0)与C交于不同的两点M、N，（3）对（2）中的椭图C，直线l：y=k(x+53若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，1），求实数k的值．21.已知曲线Γ：2（a-2）x-by2+2b-4=0（a，b∈R）．（1）若a=4，b=2，求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及x、y的取值范围；（2）若a=3，b=2，求经过点（-1，0）且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；（3）若a=3，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b如何变化，这两点都不在曲线Γ上．答案和解析1.【答案】A【解析】解：直线l：2x-y+1=0的方程可化为y=2x+1，∴直线l的斜率为2，设倾斜角为α，∴tanα=2，∴倾斜角α为arctan2，故选：A．化直线的方程为斜截式，可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得．本题考查直线的一般式方程，涉及直线的斜率和倾斜角，属基础题．2.【答案】C【解析】解：∵参数方程，∴普通方程为x=-3y+1，即x+3y-1=0（-2≤x≤4）．故选：C．利用参数方程、普通方程的互化公式直接求解．本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是普通题．3.【答案】C【解析】解：直线kx+y-2=0的斜率为-k，在y轴上的截距为2，这直线与直线l：y=kx+2关于y轴对称，故这两直线被椭圆C所截得的弦长相等．故选：C．直线kx+y-2=0的斜率为-k，在y轴上的截距为2，这直线与直线l：y=kx+2关于y轴对称，故这两直线被椭圆C所截得的弦长相等．本题考查了直线与椭圆的位置关系，直线的对称性，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），∵抛物线y2=8x的焦点F的坐标为（2，0），∴S1=×|y1|×2=|y1|，S2=×|y2|×2=|y2|，S3=×|y3|×2=|y3|，∴S12+S22+S32=y12+y22+y32=8（x1+x2+x3）；∵点F是△ABC的重心，∴（x1+x2+x3）==2，∴（x1+x2+x3）=6；∴S12+S22+S32=6×8=48．故选：B．确定抛物线y2=8x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32，利用点F是△ABC的重心，计算求得结论．本题考查抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形重心的性质，是中档题．5.【答案】1【解析】解：∵向量，且，∴=2m-2=0，解得实数m=1．故答案为：1．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】-43【解析】解：由于直线l的一个方向向量为=（3，-4），则直线的斜率为-，故答案为：-．直接根据直线的方向向量即可求出直线的斜率．本题是一个基础题，正确理解直线的斜率与方向向量的关系是解题的关键．7.【答案】y=±1x3【解析】解：双曲线的a=3，b=1，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．由双曲线的标准方程的渐近线方程为y=±x，求得a，b，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．8.【答案】6【解析】解：∵椭圆的参数方程为，∴椭圆的普通方程为+=1，∴该椭圆的长轴长为：2×3=6．故答案为：6．椭圆的参数方程消去参数求出椭圆的普通方程为+=1，由此能求出该椭圆的长轴长．本题考查椭圆的长轴长的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ 【解析】解：由三角形法则：有=（+），又，所以：=+，故答案为：=+． 由三角形法则：有=（+），故得解本题考查了平面向量的基本定理，属简单题 10.【答案】3【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线方程为：x=-1，∵P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2， ∴|PF|=2+1=3． 故答案为：3．确定抛物线y 2=4x 的准线方程，利用P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，即可求得结论．本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题． 11.【答案】{y =1x=1【解析】解：由题意，可根据增广矩阵的定义将关于x 、y 的线性方程组还原为：，解得：．故答案为：．本题可根据增广矩阵的定义将关于x 、y 的线性方程组还原，然后解关于x 、y的二元一次方程组即可得到结果．本题主要考查增广矩阵的定义及相对应的线性方程组的求解．本题属基础题．12.【答案】√2x-2y-6=0【解析】解：根据题意，圆x2+y2=6，点M，有2+4=6，即M在圆上，则K OM==-，则切线的斜率k=，则切线的方程为y+2=（x-），变形可得x-2y-6=0；故答案为：x-2y-6=0．根据题意，分析可得点M在圆上，求出OM的斜率，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．本题考查圆的切线方程，注意分析点M与圆的关系，属于基础题．13.【答案】9【解析】解：先根据实数x、y满足线性约束条件画出可行域，然后平移直线0=2x+y，当直线z=2x+y过点（5，-1）时，z最大值为9．故答案为：9．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点（5，-1）时，z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.【答案】x2-y2=13【解析】解：设双曲线的方程为-=1∵椭圆的焦点坐标为（±2，0）∴双曲线中的c2=4，①∵双曲线过点，∴②∵c2=a2+b2③解①②③得a2=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2-=1．故答案为：x2-=1．利用椭圆的三个参数的关系求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线的方程，将已知点的坐标代入双曲线方程得到双曲线的三个参数的一个关系，再利用双曲线本身具有的关系，求出a，b，c的值，即得到双曲线的方程．求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法，要注意圆锥曲线中的三个参数关系的区别，双曲线中有c2=a2+b2而椭圆中有a2=c2+b2．15.【答案】174【解析】解：圆的圆心为（2，0），半径为，圆心到直线y=x+1的距离为：=，∴曲线C2：（x-2）2+y2=2到直线l：y=x+1的距离为：．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x+1的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y-（+a）=x-，即x-y-+a=0，由题意可知x-y-+a=0与直线y=x+1的距离为：，即=解得a=或-．当a=-时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．16.【答案】（0，2]【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），可得2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，斜率存在时，设斜率为k，k=，则y12=4x1，y22=4x2，相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=-，所以x0=2，即M的轨迹是直线x=2．将x=2代入y2=4x，得y2=8，∴-2＜y0＜2，∵M在圆上，∴（x0-4）2+y02=r2，∴r 2=y 02+4＜12+4=16， ∵直线l 恰有2条，若r=2相切，直线的斜率不存在，与圆两个交点， 若0＜r ＜2时，直线与圆没有交点． 故0＜r≤2时，直线l 有2条； 故答案为：（0，2]．先确定M 的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，求得r 2=y 02+4＜12+4=16，考虑直线的斜率不存在的情况，即可得出结论．本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）由向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为π3，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=3．得：a ⃗ •b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=1×3×12=32， 所以|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ •b ⃗ =1+9+3=13，即|a ⃗ +b⃗ |=√13， （2）a ⃗ •（a ⃗ +b ⃗ ）=a ⃗ 2+a ⃗ •b ⃗ =52，设a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为θ． 则cosθ=a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ +b ⃗ |=521×√13=5√1326， 又θ∈[0，π] 即θ=arccos 5√1326． 【解析】（1）由向量的数量积公式得：•=||||cosθ=1×=，由向量模长公式得：||2=2+2•=1+9+3=13；（2）由两向量的夹角公式可得：cosθ===，又θ∈[0，π]即θ=arccos，故得解．本题考查了向量的数量积公式、向量模长公式、两向量的夹角公式及反三角，属中档题．18.【答案】解：（1）线段AB 的中点为(−12，92)，k AB =3−6−2−1=1．∴线段AB 的垂直平分线方程为：y -92=-（x +12）， 化为：x +y -4=0．联立{y =2x +1x+y−4=0，解得x =1，y =3．∴P （1，3）．（2）设点A （-2，3）关于直线l 的对称点为A ′（a ，b ），则{3−b−2−a ×2=−13+b2=2×−2+a 2+1，解得a =145，b =-85．则|PA |+|PB |≥|A ′B |=√(145−1)2+(−85−6)2=11√55．【解析】（1）线段AB 的中点为，k AB ==1．可得线段AB 的垂直平分线方程，再与直线l 的方程联立即可得出．（2）设点A （-2，3）关于直线l 的对称点为A′（a ，b ），可得，解得a ，b ．可得|PA|+|PB|≥|A′B|．本题考查了直线方程、对称性、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 19.【答案】解：（1）当直线AB 垂直于x 轴时，不合题意；当直线AB 斜率存在时，设直线方程为y =kx +1，即kx -y +1=0． 圆心（-2，0）到直线的距离d =√k 2+1，则|AB |=2√9−(1−2k)2k 2+1=4√2，即k =0或k =43； （2）当直线AB 垂直于x 轴时，直线方程为x =0，与圆C ：（x +2）2+y 2=9联立，可得|AB |=2√5，S △ABC =12×2√5×2=2√5；当直线AB 斜率存在时，S =12×2√9−(1−2k)2k 2+1√k 2+1=√9−(√k 2+1)2×√k 2+1． 令√k 2+1=t （t ≥0）， 则S =√(9−t 2)⋅t 2≤9−t 2+t 22=92．当且仅当t 2=92，即(1−2k)2k 2+1=92，即k =-1或k =7．此时弦长|AB |=2√9−92=3√2．【解析】（1）当直线AB 垂直于x 轴时，不合题意；当直线AB 斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，即kx-y+1=0．利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由弦长公式求解；（2）当直线AB 垂直于x 轴时，直线方程为x=0，求出△ABC 面积；当直线斜率存在时，写出三角形面积，换元后了由基本不等式求最值，从而可得△ABC 面积的最大值，并求此时弦长|AB|．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由已知，a ＞1，∴方程组{x 2a 2+y 2=1x 2+y 2=c 2有实数解，从而（1-1a 2）x 2=c 2-1，故c 2≥1，所以a 2≥2，即a 的取值范围是（√2，+∞）（2）设椭圆上的点P （x ，y ）到一个焦点F 2（c ，0）的距离为d 2=（x -c ）2+y 2=x 2-2cx +c 2+1-x 2a2=c 2a2x 2-2cx +c 2+1=c 2a2（x -a 2c）2．（-a ≤x ≤a ）．∵a 2c＞a∴当x =a 时，d min =a -c ，（可以直接用结论） 于是，{a −c =2−√3a 2−c 2=1，解得a =2，c =√3． 所求椭圆方程为x 24+y 2=1．（3）由{y =k(x +53)x 24+y 2=1得（4k 2+1）x 2+40k 23x +100k 29-4=0， 设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=-40k 23(1+4k 2)，∴线段MN 的中点为（-20k 23(1+4k 2)，5k3(1+4k 2)）， 又∵线段MN 的垂直平分线恒过点A （0，1），∴5k3(1+4k 2)−1−20k 23(1+4k 2)−0=-1k， 整理可得4k 2+5k +1=0， 解得k =-1，或k =-14， 故实数k 的值为-1或-14． 【解析】（1）由已知，a ＞1，方程组有实数解，从而，由此能得到a 的取值范围． （2）设椭圆上的点P （x ，y ）到一个焦点F 2（c ，0）的距离为d ，则d 2=（x-）2．（-a≤x≤a ）当x=a 时，d min =a-c ，于是，由此能导出所求椭圆方程． （3）由得（4k 2+1）x 2+x+-4=0，根据根与系数的关系，和中点坐标，以及直线的斜率即可求出k 的值．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用是，属于中档题．21.【答案】解：（1）当a =4，b =2，则曲线为4x -2y 2+4-4=0，即y 2=2x ，则该曲线的对称轴方程为y =0，定点坐标为（0，0），焦点坐标为（12，0），x ∈[0，+∞），y ∈R ，（2）a =3，b =2时，则曲线Γ：2x -2y 2+2×2-4=0，即y 2=x ， 显然直线的斜率存在，设经过点（-1，0）的直线方程为y =k （x +1）， 联立方程组可得{y 2=x y=k(x+1)，消x 可得ky 2-y +k =0，当k =0时，y =0，此时满足经过点（-1，0）的直线与曲线Γ只有一个公共点， 当k ≠0时，△=1-4k 2=0，解得k =±12， 此时直线方程为y =±12（x +1）， 故满足条件的直线方程为y =0，x -2y +1=0，x +2y +1=0，（3）当a =3时，曲线Γ：2x -by 2+2b -4=0，即为by 2=2x +2b -4， 当b =0时，x =2，当b ≠0时，y 2=2b x +2-4b ，∴4b ≠0，∴无论b 如何变化，曲线都不可能为y 2=2，∴两点可以是（p，2）和（q，2），p≠2，q≠2【解析】（1）代值可得曲线为y2=2x，根据抛物线的性质即可求出；（2）设直线y=k（x+1），代入抛物线的方程，运用判别式为0，解方程可得所求直线方程；（2）讨论b是否为0，可取（p，2）和（q，2），即可得证．本题考查抛物线的方程和直线方程联立，运用判别式为0，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，注意运用几何意义，属于综合题．。