高中数学解题思想方法全解析
高中数学36个解题思维模板
高中数学36个解题思维模板发布时间：2021-02-19T10:54:46.203Z 来源：《基础教育课程》2020年12月作者：孙其华[导读] 高中数学题千变万化，呈现高度灵活性。
但题型是有限的，同种题型的解题思维是相通的。
如果归纳、总结、提炼出一套解题思维模板，就可以一眼识别常规题考查点，迅速建立起解题思维模式。
以下是笔者梳理的高中数学36个解题思维模板，几乎涵盖整个高中数学模块的学习。
山东省一线教师孙其华高中数学题千变万化，呈现高度灵活性。
但题型是有限的，同种题型的解题思维是相通的。
如果归纳、总结、提炼出一套解题思维模板，就可以一眼识别常规题考查点，迅速建立起解题思维模式。
以下是笔者梳理的高中数学36个解题思维模板，几乎涵盖整个高中数学模块的学习。
1.考查函数奇偶性+单调性+对称性+周期性的三角函数图像模板（考查奇函数，可利用正弦函数图像，作为一种特殊情景；同样，偶函数可利用余弦函数图像。
）2.函数图象解题“三步走”模板（第一步奇偶性，第二步代点，第三步求导、取极限、看趋势。
）3.偶函数图像+比较大小模板（看图像开口方向，如果开口向上，横坐标绝对值大的对应的函数值大，开口向下则相反。
）4.三角函数奇偶性模板（如果y=Asin(ωx+φ)是奇函数根据奇变偶不变原则，φ=kπ；如果是偶函数，φ=1/2kπ；对于余弦函数，则相反。
）5.三角函数计算题模板（两角互补，正弦相等，余弦相反，正切相反；两角互余，正弦等于余弦，正切等于余切；降幂会升角，降角则升幂；正弦+余弦，只要角一致，指数一样，则辅助角公式如果化简后指数呈现二倍关系，则转化成一元二次函数求最值问题。
）6.三角函数图像性质整体分析模板（对于正弦型函数问题，一定不要研究正弦函数图像本身，而应该整体代换，去繁就简，转化成正弦函数图像问题。
对于余弦型函数，也是一样。
）7.线性规划问题步骤模板（首先画可行域，其次目标函数化为斜截式形式，然后去移动、定点。
高中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）
⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）数学好教师2020-07-17⼀数形结合的三个原则⼀等价性原则在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。
⼆双向性原则既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.三简单性原则不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．⼆数形结合的应⽤⼀利⽤数轴、韦恩图求集合利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。
⼆数形结合在解析⼏何中的应⽤解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：（⼀）与斜率有关的问题（⼆）与距离有关的问题三数形结合在函数中的应⽤（⼀）利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.（⼆）利⽤数形结合解决函数的单调性问题（三）利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题（四）函数的最值问题（五）利⽤数形结合解决抽象函数问题四运⽤数形结合思想解不等式（⼀） 解不等式（⼆）求参数的取值范围五运⽤数形结合思想解决三⾓函数问题纵观近三年的⾼考试题，巧妙地运⽤数形结合的思想⽅法来解决⼀些问题，可以简化计算，节省时间，提⾼考试效率，起到事半功倍的效果.六解决⼏何问题图象解决⼏何问题借助向量的借助向量的图象利⽤向量可以解决线段相等，直线垂直，⽴体⼏何中空间⾓（异⾯直线的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓）和空间距离（点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距），利⽤空间向量解决⽴体⼏何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，⼤⼤降低了空间想象能⼒，是数形结合的深化。
高中数学解题思想方法全部内容(精编版)
目录前言 (2)第一章高中数学解题基本方法 (3)一、配方法 (3)二、换元法 (7)三、待定系数法 (14)四、定义法 (19)五、数学归纳法 (23)六、参数法 (28)七、反证法 (32)八、消去法………………………………………九、分析与综合法………………………………十、特殊与一般法………………………………十一、类比与归纳法…………………………十二、观察与实验法…………………………第二章高中数学常用的数学思想 (35)一、数形结合思想 (35)二、分类讨论思想 (41)三、函数与方程思想 (47)四、转化（化归）思想 (54)第三章高考热点问题和解题策略 (59)一、应用问题 (59)二、探索性问题 (65)三、选择题解答策略 (71)四、填空题解答策略 (77)附录………………………………………………………一、高考数学试卷分析…………………………二、两套高考模拟试卷…………………………三、参考答案……………………………………前言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。
而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。
高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。
我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
高中数学解题思想方法(配方法)
高中数学解题思想方法(配方法)我们遇到一个新问题时，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法明白得透彻及融会贯穿时，才能提出新看法、巧解法。
高考试题十分重视关于数学思想方法的考查，专门是突出考查能力的试题，其解答过程都包蕴着重要的数学思想方法。
我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素养，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题要紧从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观看与分析、概括与抽象、分析与综合、专门与一样、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当推测，同时需要“凑（拆）”而“配”。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
Ⅱ、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则那个长方体的一条对角线长为_____。
高中数学高考数学学习资料：专题6 第5讲 数学思想方法与答题模板建构
[例2]
(1)(2011· 绍兴一中)为了解某校高三学生的视力情况，
随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率 分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前 4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大 频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值 分别为 ( )
[例1] (2011· 北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答
)．zxxk
[解析] 数字 2,3 至少都出现一次，包括以下情况：
1 “2”出现 1 次，“3”出现 3 次，共可组成 C4 ＝4(个)四位数． 2 “2”出现 2 次 ，“3”出现 2 次，共可组成 C4 ＝6(个)四位数． 3 “2”出现 3 次，“3”出现 1 次，共可组成 C4 ＝4(个)四位数．
综上所述，共可组成 14 个这样的四位数．
[答案] 14
[点评] 在解决排列组合应用问题时，要根据事件发
生情形进行恰当分类．分类时要做到不重不漏，且标
准要统一．zxxk
2．数形结合思想 数形结合思想在本专题的应用主要体现在：
(1)频率分布直方图、茎叶图的应用．
(2)算法框图． (3)复数的几何意义．
(2)ξ 可能取的值有 0,2,4,6,8.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5 分) 1 1 1 P(ξ＝0)＝ × ＝ ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6 分) 4 2 8 1 1 1 1 5 P(ξ＝2)＝ × ＋ × ＝ ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(7 分) 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 P(ξ＝4)＝ × ＋ × ＋ × ＝ ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(8 分) 2 4 4 2 4 4 16 1 1 1 1 3 P(ξ＝6)＝ × ＋ × ＝ ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9 分) 2 4 4 4 16 1 1 1 P(ξ＝8)＝ × ＝ .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10 分) 4 4 16
高中数学解题思想方法总结
第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
高中数学二轮专题复习——数形结合思想
思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
高中数学解题思想方法-主元法
主元法所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”,将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题,其本质是函数与方程思想的应用． 有些看似复杂的问题,如果选取适当的字母作为主元,往往可以起到化难为易的作用。
下面举例说明：例1.一次函数的保号性对任意m ∈[－1,1],函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零,求x 的取值范围． 分析：此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于x 的二次函数进行讨论,后续步骤比较繁琐；但是若变换一个角度,以m 为变量,使g(m)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 则问题转化为求一次函数（或常数函数）g(m)的值在[-1,1]内恒为正时,参数x 应满足的条件——“换位”思考优势明显.解析：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4, 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上,g (m )的值恒大于零,所以22(1)(2)(1)440(1)(2)1440g x x x g x x x ⎧-=--+-+>⎪⎨=-⋅+-+>⎪⎩解得x <1或x >3. 故当x <1或x >3时,对任意的m ∈[－1,1],函数f (x )的值恒大于零． 总结：一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数. 例2. 二次函数有解问题如图,建立平面直角坐标系xOy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小）,其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它？说明理由。
高中数学学习方法思想总结
高中数学学习方法思想总结高中数学学习方法思想总结高中数学作为一门重要的学科，对学生来说非常关键。
数学的学习不仅能培养学生的逻辑思维能力，还能锻炼学生的动手动脑能力。
因此，掌握一种高效的数学学习方法对于学生的学习成绩和学习兴趣都具有重要意义。
以下将对高中数学学习方法思想进行总结。
第一、培养有效的数学思维方式：数学思维方式是指在解决数学问题时的思考模式，它贯穿于整个学习过程中。
培养有效的数学思维方式能够更好地理解数学概念和问题。
可以尝试通过阅读数学题目的时候，多思考、多构思，不拘泥于已学内容。
同时，要注重培养抽象思维和逻辑思维能力，通过积累数学问题的解题经验，加强抽象思维和逻辑思维的能力，提高解题的速度和正确性。
第二、注重基础知识的学习和理解：高中数学是基础知识和应用能力的综合运用。
因此，掌握好基础知识是非常重要的。
在学习过程中，要注重理解概念的内涵和外延，掌握基本公式和定理的证明过程，并能够正确灵活地运用，因此在高中数学学习过程中，要多做大量基础题，并在做题过程中注重总结基础知识点的应用规律。
第三、合理运用数学工具：数学工具在高中数学学习中有着不可或缺的作用。
运用数学工具可以更有效地完成解题工作。
在学习过程中应充分利用各种工具，如尺规、算盘、计算器、数学软件等，当然，要注意工具的合理使用，不仅要掌握工具的使用技巧，还要明确工具在解题中的作用和局限性。
第四、积极主动探究：数学学习不仅仅是死记硬背，更重要的是培养学生积极主动的学习态度和探究精神。
在解题过程中，要注重发现问题、分析问题、解决问题的过程，同时，也要注重培养学生独立思考和解决问题的能力，教师在教学过程中可以提供一些适当的学习资源和引导，而学生则要自觉探索和思考，积极参与课堂讨论和研究。
第五、善于总结归纳：高中数学知识内容繁杂，学习过程中要善于总结归纳。
比如，定期进行知识的复习，总结所学知识的规律和性质。
同时还要注重归纳思路和解题方法的总结整理，积累解题经验，形成自己的解题模式，提高解题能力。
高中数学常考题型答题技巧与方法超全整合版
高中数学常考题型答题技巧与方法超全整合版高中数学常考题型答题技巧与方法1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4、换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11、解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
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高中数学解题思想方法全解析第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。
何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。
它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b=a+2ab+b,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:a+b=(a+b-2ab=(a-b+2ab;a+ab+b=(a+b-ab=(a-b+3ab=(a++(b;a+b+c+ab+bc+ca=[(a+b+(b+c+(c+a]a+b+c=(a+b+c-2(ab+bc+ca=(a+b-c-2(ab-bc-ca=…结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα;x+=(x+-2=(x-+2;……等等。
Ⅰ、再现性题组:1.在正项等比数列{a}中,a?a+2a?a+a?a=25,则a+a=_______。
2.方程x+y-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。
A.<k<1B.k<或k>1C.k∈R D.k=或k =13.已知sinα+cosα=1,则sinα+cosα的值为______。
A.1B.-1C.1或-1D.04.函数y=log(-2x+5x +3的单调递增区间是_____。
A.(-∞,]B.[,+∞C.(-,]D.[,35.已知方程x+(a-2x+a-1=0的两根x、x,则点P(x,x在圆x+y=4上,则实数a=_____。
【简解】1小题:利用等比数列性质a a=a,将已知等式左边后配方(a+a易求。
答案是:5。
2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a+(y-b=r,解r>0即可,选B。
3小题:已知等式经配方成(sinα+cosα-2sinαcosα=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。
选C。
4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。
选D。
5小题:答案3-。
Ⅱ、示范性题组:例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。
A.2B.C.5D.6【分析】先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:。
长方体所求对角线长为:===5所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。
这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2.设方程x+kx+2=0的两实根为p、q,若(+(≤7成立,求实数k的取值范围。
【解】方程x+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2,(+(====≤7,解得k≤-或k≥。
又∵p、q为方程x+kx+2=0的两实根,∴△=k-8≥0即k≥2或k≤-2综合起来,k的取值范围是:-≤k≤-或者≤k≤。
【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。
本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。
假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。
例3.设非零复数a、b满足a+ab+b=0,求(+(。
【分析】对已知式可以联想:变形为(+(+1=0,则=ω(ω为1的立方虚根;或配方为(a+b=ab。
则代入所求式即得。
【解】由a+ab+b=0变形得:(+(+1=0,设ω=,则ω+ω+1=0,可知ω为1的立方虚根,所以:=,ω==1。
又由a+ab+b=0变形得:(a+b=ab,所以(+(=(+(=(+(=ω+=2。
【注】本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。
一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。
【另解】由a+ab+b=0变形得:(+(+1=0,解出=后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式(+(后,完成后面的运算。
此方法用于只是未联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a+ab+b=0解出:a=b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组:1.函数y=(x-a+(x-b(a、b为常数的最小值为_____。
A.8B.C.D.最小值不存在2.α、β是方程x-2ax+a+6=0的两实根,则(α-1+(β-1的最小值是_____。
A.-B.8C.18D.不存在3.已知x、y∈R,且满足x+3y-1=0,则函数t=2+8有_____。
A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值4.椭圆x-2ax+3y+a-6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上,则a=_____。
A.2B.-6C.-2或-6D.2或6 5.化简:2+的结果是_____。
A.2sin4B.2sin4-4cos4C.-2sin4D.4cos4-2sin46.设F和F为双曲线-y=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F PF=90°,则△F PF的面积是_________。
7.若x>-1,则f(x=x+2x+的最小值为___________。
8.已知〈β<α〈π,cos(α-β=,sin(α+β=-,求sin2α的值。
(92年高考题9.设二次函数f(x=Ax+Bx+C,给定m、n(m<n,且满足A[(m+n+m n]+2A[B(m+n-Cmn]+B+C= 0。
①解不等式f(x>0;②是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t时,f(x<0?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。
10.设s>1,t>1,m∈R,x=log t+log s,y=log t+log s+m(logt+log s,①将y表示为x的函数y=f(x,并求出f(x的定义域;②若关于x的方程f(x=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。
二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式:4+2-2≥0,先变形为设2=t(t>0,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y=+的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sinα,α∈[0,],问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x+y=r(r>0时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=+t,y=-t等等。
我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,]。
Ⅰ、再现性题组:1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x+1=log(4-x(a>1,则f(x的值域是_______________。
3.已知数列{a}中,a=-1,a?a=a-a,则数列通项a=___________。
4.设实数x、y满足x+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。
5.方程=3的解是_______________。
6.不等式log(2-1?log(2-2〈2的解集是_______________。
【简解】1小题:设sinx+cosx=t∈[-,],则y=+t-,对称轴t=-1,当t=,y=+;2小题:设x+1=t(t≥1,则f(t=log[-(t-1+4],所以值域为(-∞,log 4];3小题:已知变形为-=-1,设b=,则b=-1,b=-1+(n-1(-1=-n,所以a=-;4小题:设x+y=k,则x-2kx+1=0,△=4k-4≥0,所以k≥1或k≤-1;5小题:设3=y,则3y+2y-1=0,解得y=,所以x=-1;6小题:设log(2-1=y,则y(y+1<2,解得-2<y<1,所以x∈(log,log 3。
Ⅱ、示范性题组:例1.实数x、y满足4x-5xy+4y=5(①式,设S=x+y,求+的值。
(93年全国高中数学联赛题【分析】由S=x+y联想到cosα+sinα=1,于是进行三角换元,设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得:4S-5S?sinαcosα=5解得S=;∵-1≤sin2α≤1∴3≤8-5sin2α≤13∴≤≤∴+=+==此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α=的有界性而求,即解不等式:||≤1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】由S=x+y,设x=+t,y=-t,t∈[-,],则xy=±代入①式得:4S±5=5,移项平方整理得100t+39S-160S+100=0。
∴39S-160S+100≤0解得:≤S≤∴+=+==【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S=x+y与三角公式cosα+si nα=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。