(专题精选)初中数学反比例函数难题汇编及答案解析
（专题精选）初中数学反比例函数难题汇编及答案解析一、选择题1．如图，过反比例函数()0k y x x =>的图象上一点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接AO ，若2AOB S ∆=，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】 根据2AOB S ∆=，利用反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值，再根据函数在第一象限可确定k 的符号.【详解】解：由AB x ⊥轴于点B ，2AOB S ∆=，得到122AOB S k ∆== 又因图象过第一象限, 122AOB S k ∆==，解得4k = 故选C【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义.2．如图，点A 在双曲线4y x =上，点B 在双曲线(0)k y k x=≠上，AB x P 轴，交y 轴于点C ．若2AB AC =，则k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】【分析】过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，得出四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，得出ACOD S 矩形=4，BCOE S k =矩形，根据AB=2AC ，即BC=3AC ，即可求得矩形BCOE 的面积，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值．【详解】过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∵AB ∥x 轴，∴四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，∵AB=2AC ，∴BC=3AC ，∵点A 在双曲线4y x=上， ∴ACOD S 矩形=4，同理BCOE S k =矩形，∴矩形3BCOE ACOD S S =矩形矩形=12，∴k=12，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k 的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．3．如图，点A 是反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣4【答案】B【解析】【分析】 作AE ⊥BC 于E ，由四边形ABCD 为平行四边形得AD ∥x 轴，则可判断四边形ADOE 为矩形，所以S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ，根据反比例函数k 的几何意义得到S 矩形ADOE =|k|．【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，如图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥x 轴，∴四边形ADOE 为矩形，∴S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ，而S 矩形ADOE =|k|，∴|k|=8，而k ＜0∴k=-8．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数y=k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=k x（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．4．如图，点P 是反比例函数(0)k y k x=≠的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M . 连接OP . 若POM ∆的面积等于2. 5，则k 的值等于 （ ）A．5-B．5 C． 2.5-D．2. 5【答案】A【解析】【分析】利用反比例函数k的几何意义得到12|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．【详解】解：∵△POM的面积等于2.5，∴12|k|=2.5，而k＜0，∴k=-5，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．5．一次函数y=ax+b与反比例函数a byx-=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小6．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr=270180lπ⋅⋅，整理得l=43r（r＞0），然后根据正比例函数图象求解．【详解】解：根据题意得2πr=270180lπ⋅⋅，所以l=43r（r＞0），即l与r为正比例函数关系，其图象在第一象限．故选A．【点睛】本题考查圆锥的计算；函数的图象．7．如图，,A B是双曲线kyx=上两点，且,A B两点的横坐标分别是1-和5,ABO-∆的面积为12，则k的值为（）A．3-B．4-C．5-D．6-【答案】C【解析】【分析】分别过点A、B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，根据S△AOB=S梯形ABED+S△AOD- S△BOE =12，故可得出k的值．【详解】分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，∵双曲线k y x =的图象的一支在第二象限 ∴k<0， ∵A ，B 两点在双曲线k y x=的图象上，且A ，B 两点横坐标分别为：-1，-5， ∴A （-1，-k ），B （-5， 5k -） ∴S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE=1||11||(||)(51)1||525225k k k k ⨯+⨯-+⨯⨯-⨯⨯=12||5k =12， 解得，k=-5故选：C ．【点睛】 本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．8．如图，菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =的图象上，对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知点A （1，1），∠ABC =60°，则k 的值是（ ）A ．﹣5B ．﹣4C ．﹣3D ．﹣2【答案】C【解析】 分析：根据题意可以求得点B 的坐标，从而可以求得k 的值．详解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BA=BC ，AC ⊥BD ，∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点A （1，1），∴OA=， ∴BO=，∵直线AC 的解析式为y=x ，∴直线BD 的解析式为y=-x ，∵OB=，∴点B 的坐标为（−，）， ∵点B 在反比例函数y=的图象上， ∴，解得，k=-3，故选C ．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．9．在平面直角坐标系中，分别过点(),0A m ,()2,0B m﹢作x 轴的垂线1l 和2l ,探究直线1l 和2l 与双曲线 3y x= 的关系，下列结论中错误．．的是 A ．两直线中总有一条与双曲线相交B ．当m =1时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等C ．当20m -﹤﹤ 时，两条直线与双曲线的交点在y 轴两侧D ．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2【答案】D【解析】【分析】根据题意给定m 特定值、非特定值分别进行讨论即可得.【详解】当m =0时，2l 与双曲线有交点，当m =-2时，1l 与双曲线有交点，当m 0m 2≠≠，﹣时，12l l 与和双曲线都有交点，所以A 正确，不符合题意；当m 1=时，两交点分别是(1，3)，(3，1)10B 正确，不符合题意；当2m 0-﹤﹤ 时，1l 在y 轴的左侧，2l 在y 轴的右侧，所以C 正确，不符合题意；两交点分别是33m(m2m m2++，和，)，两交点的距离是()2364m m2+⎡⎤+⎣⎦，当m无限大时，两交点的距离趋近于2，所以D不正确，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了垂直于x轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情况进行讨论是解本题的关键，本题有一定的难度.10．下列函数：①y=-x；②y=2x；③1yx=-；④y=x2．当x<0时，y随x的增大而减小的函数有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】【分析】分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可．【详解】一次函数y＝－x中k＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项正确；∵正比例函数y＝2x中，k＝2，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误；∵反比例函数1yx-＝中，k＝－1＜0，∴当x＜0时函数的图像在第二象限，此时y随x的增大而增大，故本选项错误；∵二次函数y＝x2，中a＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项正确．故选B．【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函数的增减性．11．已知反比例函数y=﹣8x，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．【详解】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；③k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，错误；④k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，若0＞x ＞﹣1，﹣y ＞8，故④错误， 故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．12．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k y x x=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．2524k ≤≤B ．26k ≤≤C ．24k ≤≤D ．46k ≤≤【答案】A【解析】【分析】 由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论．【详解】解：令y ＝−x ＋5中x ＝1，则y ＝4，∴B （1，4）；令y ＝−x ＋5中y ＝2，则x ＝3，∴A （3，2），当反比例函数k y x=（x ＞0）的图象过点C 时，有2＝1k ， 解得：k ＝2， 将y ＝−x ＋5代入k y x=中，整理得：x 2−5x ＋k ＝0， ∵△＝（−5）2−4k≥0，∴k ≤254，当k ＝254时，解得：x ＝52， ∵1＜52＜3， ∴若反比例函数k y x =（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是2≤k≤254， 故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A 、C 时的k 值以及直线与双曲线有一个交点时k 的值．13．反比例函数k y x=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】 根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案.【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，∴k>3，∵点（3，2）在反比例函数图象上方，∴3k <2，即k<6， ∴3<k<6，故选：B.【点睛】 本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.14．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2x的图象上，OA'交反比例函数y=k x 的图象于点C ，且OC=2CA'，则k 的值为（ ）A．4 B．72C．8 D．7【答案】C【解析】【详解】解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），∵点B'在反比例函数y=﹣2x的图象上，∴﹣asinα=﹣2acosα，得a2sinαcosα=2，又∵点C在反比例函数y=kx的图象上，∴2acosα=k2asinα，得k=4a2sinαcosα=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.15．若A（-3，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A． y1＞y2＞y3B． y3＞y1＞y2C． y3＞y2＞y1D． y2＞y1＞y3【答案】B【解析】【分析】反比例函数y=kx（k＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y随x 的增大而减小，而A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上的点，可得y 2＜y 1＜0，C （1，y 3）在第一象限双曲线上的点y 3＞0，于是对y 1、y 2、y 3的大小关系做出判断．【详解】∵反比例函数y=k x（k ＞0）的图象在一、三象限， ∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上，∴y 2＜y 1＜0，∵C （1，y 3）在第一象限双曲线上，∴y 3＞0，∴y 3＞y 1＞y 2，故选：B ．【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k ＞0，时，在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，y 随x 的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．16．直线y ＝ax (a ＞0)与双曲线y ＝3x 交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则代数式4x 1y 2－3x 2y 1的值是( )A ．－3aB ．－3C ．3aD ．3【答案】B【解析】【分析】先把1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 代入反比例函数3y x =得出11x y g 、22x y g 的值，再根据直线与双曲线均关于原点对称可知12x x =-，12y y =-，再把此关系式代入所求代数式进行计算即可．【详解】解：1(A x Q ，1)y 、2(B x ，2)y 在反比例函数3y x=的图象上， 11223x y x y ∴==g g ，Q 直线(0)y ax a =>与双曲线3y x=的图象均关于原点对称， 12x x ∴=-，12y y =-，∴原式111111433x y x y x y =+=-=--．故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象的对称性及反比例函数的性质，根据题意得出11223x y x y ==g g ，12x x =-，12y y =-是解答此题的关键．17．如图，点A 在反比例函数3(0)y x x =-<的图象上，点B 在反比例函数3(0)y x x=>的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形ABCO 的面积是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】【分析】 因为四边形ABCO 是平行四边形，所以点A 、B 纵坐标相等，即可求得A 、B 横坐标，则AB 的长度即可求得，然后利用平行四边形面积公式即可求解．【详解】解：∵四边形ABCO 是平行四边形∴点A 、B 纵坐标相等设纵坐标为b ，将y=b 带入3(0)y x x =-<和3(0)y x x=>中， 则A 点横坐标为3b -，B 点横坐标为3b ∴AB=336()b b b--= ∴66ABCO S b b =⨯=Y 故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数以及平行四边形面积公式，本题关键在于两点间距离的求法．18．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k y k x=≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．25D ．6 【答案】B 【解析】 【分析】 设E 的坐标是m n k mn =（，），， 则C 的坐标是2m n （，），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．【详解】设E 的坐标是m n k mn =（，），，， 则C 的坐标是（m ，2n ），在mn y x = 中，令2y n =，解得：2m x =， ∵1CDE S =V ，∴111,12222m m n m n -=⨯=g 即 ∴4mn =∴4k =故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．19．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y x =在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，2CE BE =，34AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．23【答案】B【分析】设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长.【详解】设OA=4a 根据2CE BE =，34AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a ∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a)将这两点代入解析得； 3444k a a k a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：a=12∴BC=AD=32 故选：B【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.20．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB （顶点为网格线交点）绕原点O 顺时针旋转90°，得到△OA ′B ′，若反比例函数y=k x的图象经过点A 的对应点A′，则k 的值为（ ）A ．6B ．﹣3C ．3D ．6【答案】C【解析】【分析】 直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．如图所示：∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，反比例函数y=kx的图象经过点A的对应点A′，∴A′（3，1），则把A′代入y=kx，解得：k=3．故选C．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出A′点坐标是解题关键．。
反比例函数全章难题解答题30道带详细解析
反比例函数全章难题汇编（3）一．解答题（共30小题）1．（2013•天水）如图在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．2．（2013•成都）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．3．（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．4．（2013•广安）已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P（2，m），求m和k的值．（2）当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？5．（2013•珠海）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y=的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．（1）求点M的坐标；（2）求直线AB的解析式．6．（2012•广安）如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=．（1）求双曲线和和直线的解析式．（2）求△AOB的面积．7．（2011•南京）【问题情境】已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+）（x＞0）．【探索研究】（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象和性质．①填写下表，画出函数的图象；x … 1 2 3 4 …y ……②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+（x＞0）的最小值．【解决问题】（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．8．（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．9．（2011•聊城）如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=（x＞0）的图象于点A、B，交x轴于点C．（1）求m的取值范围；（2）若点A的坐标是（2，﹣4），且=，求m的值和一次函数的解析式．10．（2010•枣庄）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．11．（2009•宁德）如图，已知点A、B在双曲线y=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC 与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k=_________．12．（2009•昆明）如图，反比例函数y=（m≠0）与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（3，n）．求反比例函数和一次函数的解析式．13．（2008•黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数y=与函数y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且S△APC=5，求点P的坐标．14．（2008•平谷区二模）已知反比例函数图象的两个分支分布在二、四象限内，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2=0有两个相等的实数根．求反比例函数的解析式．15．（2007•西藏）如图，反比例函数（k≠0）的图象与正比例函数y2=﹣2x的图象交于A、B两点，过B作BC⊥y轴，垂足为C，已知S△BOC=4．求：（1）反比例函数的解析式；（2）观察图象，当x在什么取值范围内时y1＞y2成立？16．（2003•四川）如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是﹣2．（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．17．（2001•吉林）如图，已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．18．（2012•南昌模拟）给出函数．（1）写出自变量x的取值范围；（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；①列表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣11 23 4 …﹣﹣﹣y ……②描点（在下面给出的直角坐标中描出上表对应的各点）：③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）（3）观察函数图象，回答下列问题：①函数图象在第_________象限；②函数图象的对称性是（_________）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．只是轴对称图形，不是中心对称图形C．不是轴对称图形，而是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形③在x＞0时，当x=_________时，函数y有最_________（大，小）值，且这个最值等于_________；在x＜0时，当x=_________时，函数y有最_________（大，小）值，且这个最值等于_________；④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增大而增大；（4）方程是否有实数解？说明理由．19．（2011•阳江模拟）如图，点C是反比例函数y=的图象在第一象限的分支上的一点，直线y=ax+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，作CH⊥x轴于点H，交直线AB于点F，作CG⊥y轴于点G，交直线AB于点E．已知四边形OHCG的面积为6．（1）求双曲线的解析式；（2）若E、F分别为CG和CH的中点，求△CEF的面积；（3）若∠BAO=α，求AE•BF的值（用α表示）20．（2014•河南模拟）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．21．（2012•南宁模拟）如图，A（2，1）是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线y=经过点A，交BC于点E，交BD于点F，若CE=（1）求双曲线的解析式；（2）求点F的坐标；（3）连接EF、DC，直线EF与直线DC是否一定平行？（只答“一定”或“不一定”）22．（2013•沙坪坝区校级模拟）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，4），B（3，m）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）如图写出反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围．23．（2013•安徽模拟）如图，函数y1=k1x+b的图象与函数y2=（x＞0）的图象交于点A（2，1）、B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求函数y1的表达式和点B的坐标；（2）观察图象，指出当x取何值时y1＜y2．（在x＞0的范围内）24．（2011•丰都县校级一模）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣6）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与x轴的交点为C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．25．（2012•牡丹江模拟）已知：点P（m，2）是某反比例函数的图象与直线y=kx﹣7的交点，M是该双曲线上的一点，MN⊥y轴于N，且S△MON=6（1）分别求出这两个函数解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，点A和点B的横坐标分别为a和a+2，求a的值；（3）求出等腰梯形ABCD的面积．26．（2012•武侯区校级三模）如图．反比例函数与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积；（3）若P（x，y1），Q（x，y2）分别是双曲线和直线y=﹣x+2上的两动点，写出y1≥y2的x的取值范围．27．（2013•广安模拟）如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1，（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若S△OAC=1，tan∠AOC=2（1）求反比例函数与一次函数的解析式（2）求S△ABC．28．（2012•长春模拟）如图，已知反比例函数（m为常数）的图象经过点A（1，6）．（1）求m的值；（2）过点A的直线交x轴于点B，交y轴于点C，且OC=OB，求直线BC的解析式．29．（2013•泸州校级一模）已知一次函数y=kx+b与y轴交于点B（0，9），与x轴的负半轴交于点A，且tan∠BAO=1．今有反比例函数与一次函数y=kx+b的图象交于C、D两点，且BD2+BC2=90．（1）求一次函数的解析式；（2）求反比例函数的解析式．30．（2013•安徽模拟）已知：一次函数y=x+1与反比例函数y=的图象交于点A、B两点，点A的坐标为（a，3）．（1）求a和m的值；（2）求△OAB的面积S△OAB．反比例函数全章难题汇编（3）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2013•天水）如图在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P 点的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）将A点坐标代入y=（x＞0），求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kx﹣k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；（2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．解答：解：（1）将A（m，2）代入y=（x＞0）得，m=2，则A点坐标为A（2，2），将A（2，2）代入y=kx﹣k得，2k﹣k=2，解得k=2，则一次函数解析式为y=2x﹣2；（2）∵一次函数y=2x﹣2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为（0，﹣2），S△ABP=S△ACP+S△BPC，∴×2CP+×2CP=4，解得CP=2，则P点坐标为（3，0），（﹣1，0）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．2．（2013•成都）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题．分析：（1）将A点代入一次函数解析式求出m的值，然后将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可得出反比例函数的表达式；（2）结合函数图象即可判断y1和y2的大小．解答：解：（1）将A的坐标代入y1=x+1，得：m+1=2，解得：m=1，故点A坐标为（1，2），将点A的坐标代入：，得：2=，解得：k=2，则反比例函数的表达式y2=；（2）结合函数图象可得：当0＜x＜1时，y1＜y2；当x=1时，y1=y2；当x＞1时，y1＞y2．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握．3．（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，根据已知的三角函数值和线段OA的长求出AD与OD的长，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式；（2）把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到B的坐标，然后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值即可得到一次函数解析式，从而求出点C的坐标，得到OC的长，最后利用三角形的面积公式求出△AOC与△BOC的面积，相加即可得到△AOB的面积．解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，设AD=4x，OD=3x，∵OA=5，在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，∴A（3，4），把A（3，4）代入反比例函数y=中，解得：m=12，则反比例函数的解析式为y=；（2）把点B的坐标为（﹣6，n）代入y=中，解得n=﹣2，则B的坐标为（﹣6，﹣2），把A（3，4）和B（﹣6，﹣2）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0）得，解得，则一次函数的解析式为y=x+2，∵点C在x轴上，令y=0，得x=﹣3即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角形函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．4．（2013•广安）已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P（2，m），求m和k的值．（2）当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题．分析：（1）两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数；（2）函数的图象没有交点，即无解，用二次函数根的判别式可解．解答：解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点（2，m），∴m=2﹣6，解得m=﹣4，即点P（2，﹣4），则k=2×（﹣4）=﹣8．∴m=﹣4，k=﹣8；（2）由联立方程y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6，有=x﹣6，即x2﹣6x﹣k=0．∵要使两函数的图象没有交点，须使方程x2﹣6x﹣k=0无解．∴△=（﹣6）2﹣4×（﹣k）=36+4k＜0，解得k＜﹣9．又∵k≠0，∴当k＜﹣9时，两函数的图象没有交点．点评：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意先代入一次函数解析式，求得两个函数的交点坐标．5．（2013•珠海）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y=的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．（1）求点M的坐标；（2）求直线AB的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，根据M为AB的中点，MC∥OB，MD∥OA，利用平行线分线段成比例得到点C和点D分别为OA与OB的中点，从而得到MC=MD，设出点M的坐标代入反比例函数解析式中，求出a的值即可得到点M的坐标；（2）根据（1）中求出的点M的坐标得到MC与MD的长，从而求出OA与OB的长，得到点A与点B的坐标，设出一次函数的解析式，把点A与点B的坐标分别代入解析式中求出k与b的值，确定出直线AB 的表达式．解答：解：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，∵AM=BM，∴点M为AB的中点，∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，∴MC∥OB，MD∥OA，∴点C和点D分别为OA与OB的中点，∴MC=MD，则点M的坐标可以表示为（﹣a，a），把M（﹣a，a）代入函数y=中，解得a=2，则点M的坐标为（﹣2，2）；（2）∵则点M的坐标为（﹣2，2），∴MC=2，MD=2，∴OA=OB=2MC=4，∴A（﹣4，0），B（0，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（﹣4，0）和B（0，4）分别代入y=kx+b中得，解得：．则直线AB的解析式为y=x+4．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例，以及中位线定理，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．6．（2012•广安）如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=．（1）求双曲线和和直线的解析式．（2）求△AOB的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）把点B的坐标代入双曲线解析式，利用待定系数法求函数解析式解答；根据AC=可得点A的横坐标，然后求出点A的坐标，再利用待定系数法求函数解析式求解直线的解析式；（2）设直线与x轴的交点为D，利用直线的解析式求出点D的坐标，从而得到OD的长度，再根据S△AOB=S△AOD+S△BOD，列式计算即可得解．解答：解：（1）∵点B（2，﹣3）在双曲线上，∴=﹣3，解得k=﹣6，∴双曲线解析式为y=﹣，∵AC=，∴点A的横坐标是﹣，∴y=﹣=4，∴点A的坐标是（﹣，4），∴，解得，∴直线的解析式为y=﹣2x+1；（2）如图，设直线与x轴的交点为D，当y=0时，﹣2x+1=0，解得x=，所以，点D的坐标为（，0），∴OD=，S△AOB=S△AOD+S△BOD=××4+××3=1+=．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．7．（2011•南京）【问题情境】已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+）（x＞0）．【探索研究】（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象和性质．①填写下表，画出函数的图象；x … 1 2 3 4 …y ……②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+（x＞0）的最小值．【解决问题】（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．考点：反比例函数的性质；完全平方公式；配方法的应用；一次函数的性质；二次函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：（1）①把x的值代入解析式计算即可；②根据图象所反映的特点写出即可；③根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；（2）根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，进行配方得到y=2[+2]，即可求出答案．解答：解：（1）①故答案为：，，，2，，，．函数y=x+的图象如图：②答：函数两条不同类型的性质是：当0＜x＜1时，y 随x的增大而减小，当x＞1时，y 随x的增大而增大；当x=1时，函数y=x+（x＞0）的最小值是2．③y=x+==+2=+2，∵x＞0，所以≥0，所以当x=1时，的最小值为0，∴函数y=x+（x＞0）的最小值是2．（2）答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．点评：本题主要考查对完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键．8．（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．解答：解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键．9．（2011•聊城）如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=（x＞0）的图象于点A、B，交x轴于点C．（1）求m的取值范围；（2）若点A的坐标是（2，﹣4），且=，求m的值和一次函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据双曲线位于第四象限，比例系数k＜0，列式求解即可；（2）先把点A的坐标代入反比例函数表达式求出m的值，从而的反比例函数解析式，设点B的坐标为B （x，y），利用相似三角形对应边成比例求出y的值，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可．解答：解：（1）根据题意，反比例函数图象位于第四象限，∴4﹣2m＜0，解得m＞2；（2）∵点A（2，﹣4）在反比例函数图象上，∴=﹣4，解得m=6，∴反比例函数解析式为y=﹣，∵=，∴=，设点B的坐标为（x，y），则点B到x轴的距离为﹣y，点A到x轴的距离为4，所以==，解得y=﹣1，∴﹣=﹣1，解得x=8，∴点B的坐标是B（8，﹣1），设这个一次函数的解析式为y=kx+b，∵点A、B是一次函数与反比例函数图象的交点，∴，解得，∴一次函数的解析式是y=x﹣5．点评：本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．10．（2010•枣庄）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y 轴交于点D，已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质．专题：综合题；压轴题；数形结合．分析：（1）中，因为OA=，tan∠AOC=，则可过A作AE垂直x轴，垂足为E，利用三角函数和勾股定理即可求出AE=1，OE=3，从而可知A（3，1），又因点A在反比例函数y=的图象上，由此可求出开k=3，从而求出反比例函数的解析式．（2）中，因为一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，点B的坐标为（m，﹣2）．所以3=﹣2x．即m=﹣，B（﹣，﹣2）．然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式，得到关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，最终写出一次函数的解析式．（3）因为在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以有△PDC∽△CDO，，而点C、D分别是一次函数y=x﹣1的图象与x轴、y轴的交点，因此有C（，0）、D（0，﹣1）．OC=，OD=1，DC=．进而可求出PD=，OP=．写出点P的坐标．解答：解：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，∵tan∠AOC=，∴OE=3AE∵OA=，OE2+AE2=10，∴AE=1，OE=3∴点A的坐标为（3，1）．∵A点在双曲线上，∴，∴k=3．∴双曲线的解析式为．（2）∵点B（m，﹣2）在双曲线上，∴﹣2=，∴m=﹣．∴点B的坐标为（﹣，﹣2）．∴，∴∴一次函数的解析式为y=x﹣1．（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，∵C，D两点在直线y=x﹣1上，∴C，D的坐标分别是：C（，0），D（0，﹣1）．即：OC=，OD=1，∴DC=．∵△PDC∽△CDO，∴，∴PD=又OP=DP﹣OD=∴P点坐标为（0，）．点评：此类题目往往和三角函数相联系，在考查学生待定系数法的同时，也综合考查了学生的解直角三角形、相似三角形的知识，是数形结合的典型题例，它的解决需要学生各方面知识的灵活运用．11．（2009•宁德）如图，已知点A、B在双曲线y=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD 交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k=12．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题．分析：由△ABP的面积为3，知BP•AP=6．根据反比例函数中k的几何意义，知本题k=OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC=BP，AC=2AP，进而求出k的值．解答：解：∵△ABP的面积为•BP•AP=3，∴BP•AP=6，∵P是AC的中点，∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，又点A、B都在双曲线y=（x＞0）上，∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，∴OC=DP=BP，∴k=OC•AC=BP•2AP=12．故答案为：12．点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．12．（2009•昆明）如图，反比例函数y=（m≠0）与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（3，n）．求反比例函数和一次函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题；压轴题；待定系数法．分析：观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k≠0）即可求得k的值．解答：解：把点A（﹣6，2）代入中，得m=﹣12．∴反比例函数的解析式为．把点B（3，n）代入中，得n=﹣4．∴B点的坐标为（3，﹣4）．把点A（﹣6，2），点B（3，﹣4）分别代入y=kx+b中，得，解得．∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．点评：用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．13．（2008•黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数y=与函数y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且S△APC=5，求点P的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积．专题：数形结合．分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义和矩形ABOD的面积为3求出k的值；（2）将两函数解析式组成方程组，求出其解，即得交点A、C的坐标；（3）设直线y=﹣x+2与y轴的交点坐标为M（0，2），根据S△ABC=5，求出|PM|的值即可求出m的值．解答：解：（1）设点A的坐标为（x，y），∵点A在第二象限，∴x＜0，y＞0，∵S矩形ABOD=|AB|•|AD|=|x|•|y|=3，∴﹣xy=3，又∵y=，∴xy=k，∴k=﹣3．∴反比例函数的解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x+2．（2）由，解得，．∴点A、C的坐标分别为（﹣1，3），（3，﹣1）．（3）设点P的坐标为（0，m），直线y=﹣x+2与y轴的交点坐标为M（0，2），∵S△APC=S△AMP+S△CMP=|PM|（|x1|+|x2|）=5．∴|PM|=，即|m﹣2|=，∴m=或m=﹣，∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．点评：此题考查了反比例函数的几何意义及函数图象交点和方程组的解关系，求出各交点坐标是解题的关键．14．（2008•平谷区二模）已知反比例函数图象的两个分支分布在二、四象限内，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2=0有两个相等的实数根．求反比例函数的解析式．考点：待定系数法求反比例函数解析式；根的判别式．专题：计算题；压轴题．分析：由于一元二次方程x2﹣4x+m2=0有两个相等的实数根，根据根的判别式可得△=（﹣4）2﹣4m2=0，易求m，而函数图象的两个分支分布在二、四象限内，可知m﹣1＜0，可求m的取值范围，从而可确定m的值，进而可求函数解析式．解答：解：依题意，得△=（﹣4）2﹣4m2=0，解得m=±2，∵函数图象的两个分支分布在二、四象限内，∴m﹣1＜0，∴m＜1，∴m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣．点评：本题考查了根的判别式、反比例函数的性质、反比例函数解析式．解题的关键是求出m．15．（2007•西藏）如图，反比例函数（k≠0）的图象与正比例函数y2=﹣2x的图象交于A、B两点，过B作BC⊥y轴，垂足为C，已知S△BOC=4．求：（1）反比例函数的解析式；（2）观察图象，当x在什么取值范围内时y1＞y2成立？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由B在正比例函数图象上，设B（a，﹣2a），a＞0，进而得出OC与BC的长，由三角形BOC的面积为4列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出B坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）由对称性求出A的坐标，由A与B横坐标及函数图象，即可求出满足题意x的范围．解答：解：（1）由题意设B（a，﹣2a），a＞0，∴OC=2a，BC=a，∵S△BOC=•2a•a=4，即a2=4，∴a=2，即B（2，﹣4），将B（2，﹣4）代入反比例解析式得：k=﹣8，则反比例解析式为y1=﹣；（2）由对称性得到A（﹣2，4），根据图象得：当﹣2＜x＜0或x＞2时，y1＞y2．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求反比例解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题第二问的关键．。
中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习附答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．4．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．5．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.6．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。
反比例函数难题汇编及答案解析
反比例函数难题汇编及答案解析一、选择题1 .下列函数：①y=-x ； @y=2x ； （3） y = ~— ； （4）y=x 2.当x<0时，y 随x 的增大而减小x的函数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可. 【详解】一次函数y=-x 中k<0,随x 的增大而减小，故本选项正确；・ ・,正比例函数y=2x 中，k=2,・,•当xVO 时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误； ・ ・•反比例函数丁二一^1■中，k= -1V0,・♦.当xVO 时函数的图像在第二象限，此时y 随x 的 增大而增大，故本选项错误；・ ・,二次函数y=x2,中o=1>0,・,•此抛物线开口向上，当xVO 时，y 随x 的增大而减小， 故本选项正确. 故选B. 【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函 数的增减性.2.如图，o/WOC 的顶点的坐标分别是4（0,-3）,8 （1, 0）,顶点C,。
在双曲线k y 二一上，边8D 交V 轴于点£,且四边形ACO 石的面积是A45石面积的3倍，则Z 的值x为：（）【答案】A 【解析】A. -6c. -3 D. -12B. -4过D作DF〃>'轴，过C作CE〃x轴，交点为厂，利用平行四边形的性质证明△DCF = AA80,利用平移写好C, D的坐标，由四边形ACDE的面积是AA8E面积的3倍，得到DB = 2BE,利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写。
的坐标，列方程求解女.【详解】解：过D作DF〃y轴，过c作b//x轴，交点为尸，则CF ± DF,:D ABDC,・•・/CDF, /BAO的两边互相平行，AB = DC,.・.ZCDF = NBAO,・・/DFC = 404 = 90。
宿州市初中数学反比例函数难题汇编附答案解析
宿州市初中数学反比例函数难题汇编附答案解析一、选择题1．已知1122(,),,)A x y Bx y （均在反比例函数2y x=的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ） A ．120y y << B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】解：∵反比例函数2y x=中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵0＜x l ＜x 2，∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限， ∴0＜y 2＜y l ． 故选：D ． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．2．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数ky x=(x>0)的图象经过顶点B ，则k 的值为A ．12B ．20C ．24D ．32【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，∵点C 的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4. ∴根据勾股定理，得：OC=5.∵四边形OABC 是菱形，∴点B 的坐标为（8，4）. ∵点B 在反比例函数(x>0)的图象上，∴.故选D.3．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0ky x x=>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()10y x x=>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变大后变小【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 12=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -． 【详解】 ∵点A 是函数(0ky x x=>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，∴矩形ACOB 的面积为k ， ∵点E 、F 在函数1y x=的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12=， ∴四边形OFAE 的面积11122k k =--=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变， 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．4．给出下列函数：①y ＝﹣3x +2：②y ＝3x ；③y ＝﹣5x：④y ＝3x ，上述函数中符合条件“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②④ D ．②③ 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案． 【详解】解：①y ＝﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ②y ＝3x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ③y ＝﹣5x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； ④y ＝3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； 故选：B ． 【点睛】此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键．5．在反比例函数y ＝93m x+图象上有两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，y 1＜0＜y 2，x 1＞x 2，则有（ ）A ．m ＞﹣13B ．m ＜﹣13C ．m≥﹣13D ．m≤﹣13【答案】B 【解析】【分析】先根据y1＜0＜y2，有x1＞x2，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可．【详解】∵在反比例函数y＝93mx+图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），y1＜0＜y2，x1＞x2，∴反比例函数的图象在二、四象限，∴9m+3＜0，解得m＜﹣13．故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质6．函数kyx=与y kx k=-（0k≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.【详解】当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y轴于负半轴，y 随着x的增大而增大，A选项错误，C选项符合；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y 随着x的增大而增减小，B. D均错误，故选：C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.7．使关于x的分式方程=2的解为非负数，且使反比例函数y=图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k的和为（）.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】试题分析：分别根据题意确定k 的值，然后相加即可．∵关于x 的分式方程=2的解为非负数，∴x=≥0，解得：k≥-1，∵反比例函数y=图象过第一、三象限，∴3﹣k ＞0，解得：k ＜3，∴-1≤k ＜3，整数为-1,0,1，2，∵x ≠0或1，∴和为-1+2=1，故选，B ． 考点：反比例函数的性质．8．若函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2 B ．m ＜﹣2 C ．m ＞2 D ．m ＜2【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】∵函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得m ＜-2． 故选B ．9．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1=1k x（x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象上，∠ABO=30°，则21k k =（ ）A ．-3B ．3C ．13 D ．-13【答案】A【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A、B的坐标，表示出k1、k2，进而得出k2与k1的比值．【详解】如图，设AB交x轴于点C，又设AC=a.∵AB⊥x轴∴∠ACO=90°在Rt△AOC中，OC=AC·tan∠OAB=a·tan60°=3a∴点A的坐标是（3a，a）同理可得点B的坐标是（3a，-3a）∴k1=3a×a=3a2， k2=3a×（-3a）=-33a∴213333k ak a-==-.故选A.【点睛】考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k，是解决问题的方法．10．如图，过反比例函数()0ky xx=>的图象上一点A作AB x⊥轴于点B，连接AO，若2AOBS∆=，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】根据2AOB S ∆=，利用反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值，再根据函数在第一象限可确定k 的符号. 【详解】解：由AB x ⊥轴于点B ，2AOB S ∆=，得到122AOB S k ∆== 又因图象过第一象限, 122AOB S k ∆==，解得4k = 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义.11．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x=-上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y < D ．若120x x <<，则12y y >【答案】D 【解析】 【分析】先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线1y x=-，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断． 【详解】∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线1y x=-上， ∴111y x =-，221y x =-．A 、当x 1=x 2时，-11x =-21x ，即y 1=y 2，故本选项说法正确；B 、当x 1=-x 2时，-11x =21x ，即y 1=-y 2，故本选项说法正确； C 、因为双曲线1y x=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，故本选项说法正确；D 、因为双曲线1y x=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，故本选项说法错误； 故选：D ．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数by x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0，∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=bx图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．13．反比例函数ky x=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B 【解析】 【分析】根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案. 【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方， ∴k>3，∵点（3，2）在反比例函数图象上方，∴3k<2，即k<6， ∴3<k<6， 故选：B. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.14．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k =>B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70<V<80C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 也变为原来的一半D ．当60100V 剟时，气压P 随着体积V 的增大而减小 【答案】D【解析】 【分析】A ．气压P 与体积V 表达式为P= kV,k ＞0，即可求解； B ．当P=70时，600070V =,即可求解； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，即可求解； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，即可求解． 【详解】解：当V=60时，P=100，则PV=6000， A ．气压P 与体积V 表达式为P= kV，k ＞0，故本选项不符合题意； B ．当P=70时，V=600070＞80，故本选项不符合题意； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，本选项不符合题意； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思求解．15．已知反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ∆的面积为3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ，然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0，∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ，①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1OC?AC 2=11x ?y k =322=， ∴6k =-，故①正确；②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=，∴()121212120k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D.【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22k y (k 0x 0)x=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC V 的面积为4，则12k k -的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．4-【答案】A【解析】 【分析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，2bh k .=根据三角形的面积公式得到()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=V ，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x Q 轴，A ∴，B 两点纵坐标相同，设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=V Q ， 12k k 8∴-=，故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.17．点（2，﹣4）在反比例函数y=k x 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A ．（2，4）B ．（﹣1，﹣8）C ．（﹣2，﹣4）D ．（4，﹣2） 【答案】D【解析】【详解】∵点（2，-4）在反比例函数y=k x 的图象上， ∴k =2×（-4）=-8．∵A 中2×4=8；B 中-1×（-8）=8；C 中-2×（-4）=8；D 中4×（-2）=-8，∴点（4，-2）在反比例函数y=k x 的图象上． 故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k ，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是关键．18．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b （k≠0）的图象的图象大致是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.【详解】∵y=的图象经过第一、三象限，∴kb＞0，∴k，b同号，选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；选项D图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；故选D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．19．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，△AOB的两边分别与函数12,y yx x =-=的图象交于B、A两点，则等于（）A．22B．12C．14D．33【答案】A 【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA = 【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ， ∴2OB OA =， 故选A ．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解20．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB （顶点为网格线交点）绕原点O 顺时针旋转90°，得到△OA ′B ′，若反比例函数y=k x的图象经过点A 的对应点A′，则k 的值为（ ）A．6 B．﹣3 C．3 D．6【答案】C【解析】【分析】直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．【详解】如图所示：∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，反比例函数y=kx的图象经过点A的对应点A′，∴A′（3，1），则把A′代入y=kx，解得：k=3．故选C．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出A′点坐标是解题关键．。
初三数学反比例函数试题答案及解析
初三数学反比例函数试题答案及解析1. 如果反比例函数的图像在每个象限内随的增大而减小，那么的取值范围是 ．【答案】k ＞【解析】∵反比例函数y=的图象在每个象限内y 随x 的增大而减小，∴2k-1＞0，解得k ＞． 故答案为：k ＞．【考点】反比例函数的性质．2. 已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）A ．（﹣6，1）B ．（1，6）C ．（2，﹣3）D ．（3，﹣2）【答案】B ．【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（2，3）， ∴k=2×3=6，A 、∵（﹣6）×1=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；B 、∵1×6=6，∴此点在反比例函数图象上；C 、∵2×（﹣3）=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；D 、∵3×（﹣2）=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上． 故选B ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．3. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C ．若S 四边形ABCD=10，则k 的值为 ．【答案】﹣16【解析】∵OD=2AD ， ∴，∵∠ABO=90°，DC ⊥OB ， ∴AB ∥DC ，∴△DCO ∽△ABO ， ∴， ∴，∵S 四边形ABCD =10， ∴S △ODC =8， ∴OC×CD=8，OC×CD=16，∴k=﹣16，故答案为：﹣16．【考点】1、相似三角形的判定与性质；2、反比例函数系数k的几何意义4.反比例函数的图象在二、四象限，则m的取值范围．【答案】m＜1．【解析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．∵反比例函数的图象在二、四象限，∴m-1＜0解得：m＜1．【考点】反比例函数的性质．5.某村的粮食总产量为a(a为常数)吨，设该村的人均粮食产量为y吨，人口数为x，则y与x之间的函数关系式的大致图象应为()【答案】C【解析】因xy＝a，y＝，y与x成反比例，所以选C.6.若双曲线过两点（-1，y1），（-3，y2），则有y1____y2（可填“”、“”、“”）．【答案】＜．【解析】将（﹣1，y1），（﹣3，y2），分别代入y=得，y1=﹣2，y2=﹣，y1＜y2．．故答案是＜．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．7.老师给出一个函数,甲、乙、丙、丁四位同学分别指出了这个函数的一个性质: 甲:函数图象不经过第二象限;乙:函数图象上两个点A(x1,y1)、B(x2,y2)且x1<x2,y1<y2;丙:函数图象经过第一象限;丁:y随x的增大而减小.老师说这四位同学的叙述都是正确的,请你构造一个满足上述性质的一个函数:____________.【答案】y=(x＞0)【解析】函数图象上两个点A(x1，y1)、B(x2，y2)且x1<x2，y1＞y2，y随x的增大而减小，若是反比例函数则k＞0，函数图象不经过第二象限，函数图象经过第一象限，只取第一象限的分支.8.已知y=y1-y2,其中y1是x的反比例函数,y2是x2的正比例函数,且x=1时y=3,x=-2时y=-15.求:(1)y与x之间的函数关系式;(2)当x=2时y的值.【答案】(1)y=-3x2. (2)-9.【解析】(1)y1是x的反比例函数，可设y1=，y2是x2的正比例函数，可设y2=k2x2，则y与x的关系式为y=-k2x2，x=1时y=3;x=-2时y=-15，代入求出k1=6，k2=3.(2)将x=2代入解析式y=-3x2，y=3-3×4=-9.9.反比例函数y1=，y2=（k≠0）在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，若S△AOB=2，则k=_________．【答案】12.【解析】根据y1=，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为4，进而得出△CBO面积为3，即可得出k的值．试题解析：∵y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，∴S△AOC=×8=4，又∵S△AOB =2，∴△CBO面积为6，∴|k|=6×2=12，∵根据图示知，y2=（k≠0）在第一象限内，∴k＞0，∴k=12考点: 反比例函数系数k的几何意义．10.如图，已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点 A（1，3）.（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；（2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围.【答案】（1）一次函数解析式为：y1=x+2，B（﹣3，﹣1）；（2）根据图象得：函数值y1≥y2的自变量x的取值范围是：x≥1或﹣3≤x＜0．【解析】（1）利用待定系数法把 A（1，3）代入一次函数y1=x+m与反比例函数中，可解出m、k的值，进而可得解析式，求B点坐标，就是把两函数解析式联立，求出x、y的值；（2）根据函数图象可以直接写出答案．试题解析：（1）∵一次函数y1=x+m（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交于点 A（1，3），∴3=1+m，k=1×3，∴m=2，k=3，∴一次函数解析式为：y1=x+2，反比例函数解析式为：y2=，由，解得：x1=﹣3，x2=1，当x1=﹣3时，y1=﹣1，x 2=1时，y1=3，∴两个函数的交点坐标是：A（1，3）和B（﹣3，﹣1）∴B（﹣3，﹣1）；（2）根据图象得：函数值y1≥y2的自变量x的取值范围是：x≥1或﹣3≤x＜0．考点:反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数的性质．11.已知y是x的反比例函数,当x=5时，y=8.（1）求反比例函数解析式；（2）求y=-10时x的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由y是x的反比例函数可设，将x=5，y=8代入可求得k，从而得到反比例函数解析式；（2）把y=-10代入即可求得x的值.试题解析：（1）∵y是x的反比例函数，∴设.∵当x=5时，y="8" ，∴，解得k="40."∴反比例函数解析式为.（2）把y=-10代入得，解得 .【考点】1.待定系数法的应用；2.曲线上点的坐标与方程的关系.12.若反比例函数经过点（1,2），则下列点也在此函数图象上的是（）A．（1，-2）B．（-1，﹣2）C．（0，﹣1）D．（﹣1，﹣1）【答案】B【解析】设反比例函数图象的解析式为，∵反比例函数的图象经过点（1，2），∴k=1×2=2，而1×（-2）=－2，－1×（-2）=2，0×（－1）＝0，－1×（－1）＝1.∴点（-1，-2）在反比例函数图象上．故选B．【考点】反比例函数图像上点的坐标的特征．13.如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点A，（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．【答案】解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），∴AB=5。
中考数学压轴题之反比例函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案
则
，
解得
．
故直线 AP 的函数关系式为 y=x+3，
则点 C 的坐标（0，3），OC=3，
∴ S△ AOP=S△ AOC+S△ POC
= OC•AR+ OC•PS
又∵ 点 F 在反比例函数
（k＞0）的图象上，∴ k=12，
∴ 该函数的解析式为 y= （x＞0）
（2）解：由题意知 E，F 两点坐标分别为 E（ ，4），F（6，
∴ 当 k=12 时，S 有最大值．S 最大=3
【解析】【分析】）当 F 为 AB 的中点时，点 F 的坐标为（3，1），由此代入求得函数解
C 与 D 横纵坐标乘积相等，求出 b 的值确定出 B 坐标，进而求出 k 的值，确定出双曲线解 析式；（3）抓住两个关键点，将 A 坐标代入双曲线解析式求出 b 的值；将 C 坐标代入双 曲线解析式求出 b 的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时 b 的范围．
5．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3），把直线 OA 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点 B（6，m），与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点．
（1）求 m 的值； （2）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式； （3）若点 E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 S1
， 是四边
形 OACD 面积 S 的 ？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵ 反比例函数的图象都经过点 A（3，3），
2020-2021初中数学反比例函数难题汇编附答案
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．反比例函数 的图象上有两点 ， ，若 ，则 的取值范围（）
A． B． C． D．这样的 值不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
由 得出在同一分支上，反比例函数 随 的增大而减小，然后结合反比例函数的图象进行求解．
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.
∴根据勾股定理，得：OC=5.
∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）.
∵点B在反比例函数 (x>0)的图象上，
∴ .
故选D.
4．如图，在平面直角坐标系中，点 是函数 在第一象限内图象上一动点，过点 分别作 轴于点 轴于点 ， 分别交函数 的图象于点 ，连接 ．当点 的纵坐标逐渐增大时，四边形 的面积（）
16．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数y (x＞0)上，OA＝2，AB＝4，则k的值为（）
A．4B．6C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到OB 2 ，过C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到CD ，OD ，求得C ( )于是得到结论．
解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图：
∵点 在反比例函数 上
∴设
∴ ，
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴ ，
∴
∵点 在反比例函数 上
初三数学反比例函数试题答案及解析
初三数学反比例函数试题答案及解析1.如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个函数的解析式是【答案】y=-．【解析】设反比例函数解析式为（k≠0），把点（1，-2）代入函数解析式（k≠0），即可求得k的值．试题解析：设反比例函数的解析式为（k≠0）．由图象可知，函数经过点（1，-2），∴-2=，得k=-2．∴反比例函数解析式为y=-．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．2.已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为【答案】y=-.【解析】根据图象关于y轴对称，可得出所求的函数解析式．试题解析：关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即y=，∴y=-【考点】反比例函数的性质．3.如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线经过点C 交x轴于点E，双曲线经过点D，则k的值为【答案】1.【解析】解由一次函数图象上点的坐标特征即可求得点C的坐标，则根据矩形的性质易求点D的坐标，所以把点D的坐标代入双曲线解析式即可求得k的值．试题解析：根据矩形的性质知点C的纵坐标是y=1，∵经过点C，∴解得，x=4，即点C的坐标是（4，1）．∵矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，∴D（1，1），∵双曲线经过点D，∴k=xy=1×1=1，即k的值为1．【考点】1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.一次函数图象上点的坐标特征．4. 如图，点A 是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，线段AB 交反比例函数y=的图象于点C ，则△OAC 的面积为 ．【答案】2【解析】∵AB ⊥x 轴，∴S △AOB =×|6|=3，S △COB =×|2|=1，∴S △ACB =S △AOB ﹣S △COB =2． 故答案为2．【考点】反比例函数系数k 的几何意义5. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，Rt △MON 的外心为点A （，﹣2），反比例函数y=（x ＞0）的图象过点A ． （1）求直线l 的解析式；（2）在函数y=（x ＞0）的图象上取异于点A 的一点B ，作BC ⊥x 轴于点C ，连接OB 交直线l 于点P ．若△ONP 的面积是△OBC 面积的3倍，求点P 的坐标．【答案】（1）y=x ﹣4；（2）（，﹣1）．【解析】（1）由A 为直角三角形外心，得到A 为斜边MN 中点，根据A 坐标确定出M 与N 坐标，设直线l 解析式为y=mx+n ，将M 与N 坐标代入求出m 与n 的值，即可确定出直线l 解析式； （2）将A 坐标代入反比例解析式求出k 的值，确定出反比例解析式，利用反比例函数k 的意义求出△OBC 的面积，由△ONP 的面积是△OBC 面积的3倍求出△ONP 的面积，确定出P 的横坐标，即可得出P 坐标．试题解析：（1）∵Rt △MON 的外心为点A （，﹣2）， ∴A 为MN 中点，即M （3，0），N （0，﹣4）， 设直线l 解析式为y=mx+n ， 将M 与N 代入得：，解得：m=，n=﹣4， 则直线l 解析式为y=x ﹣4；（2）将A （，﹣2）代入反比例解析式得：k=﹣3， ∴反比例解析式为y=﹣，∵B 为反比例函数图象上的点，且BC ⊥x 轴，∴S △OBC =， ∵S △ONP =3S △OBC ， ∴S △ONP =，设P 横坐标为a （a ＞0）， ∴ON•a=3×，即a=，则P 坐标为（，﹣1）． 【考点】反比例函数综合题．6. 如图，A 、B 是双曲线上的点，A 、B 两点的横坐标分别是、，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若，则的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】B.【解析】分别过点A 、B 作AF ⊥y 轴于点F ，AD ⊥x 轴于点D ，BG ⊥y 轴于点G ，BE ⊥x 轴于点E ，∵k ＞0，点A 是反比例函数图象上的点 ∴S △AOD =S △AOF =，∵A 、B 两点的横坐标分别是a 、3a ， ∴AD=3BE ，∴点B 是AC 的三等分点， ∴DE=2a ，CE=a ，∴S △AOC =S 梯形ACOF -S △AOF =（OE+CE+AF ）×OF-=×5a×-=6，解得k=3． 故选B.考点: 反比例函数系数k 的几何意义．7. 如果反比例函数y ＝的图象经过点(－1，－2)，则k 的值是 ( ) A ．2B ．－2C ．－3D ．3【答案】D【解析】∵反比例函数图象过点(－1，－2) ∴－2＝.k ＝3.故选D.8. 双曲线y ＝的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是________．【答案】k ＜【解析】因反比例函数的图象经过第二、四象限，所以2k－1＜0，即k＜.故答案是k＜.9.已知y=y1-y2,其中y1是x的反比例函数,y2是x2的正比例函数,且x=1时y=3,x=-2时y=-15.求:(1)y与x之间的函数关系式;(2)当x=2时y的值.【答案】(1)y=-3x2. (2)-9.【解析】(1)y1是x的反比例函数，可设y1=，y2是x2的正比例函数，可设y2=k2x2，则y与x的关系式为y=-k2x2，x=1时y=3;x=-2时y=-15，代入求出k1=6，k2=3.(2)将x=2代入解析式y=-3x2，y=3-3×4=-9.10.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=kx(x＞0)上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为_________.【答案】B（4，）．【解析】由矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），利用待定系数法即可求得反比例函数与直线OA的解析式，又由OA⊥AB，可得直线AB的系数，继而可求得直线AB的解析式，将直线AB与反比例函数联立，即可求得点B 的坐标．试题解析：∵矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（x＞0）上，点A的坐标为（1，2），∴2=，解得：k=2，∴双曲线的解析式为：y=，直线OA的解析式为：y=2x，∵OA⊥AB，∴设直线AB的解析式为：y=-x+b，∴2=-×1+b，解得：b=，∴直线AB的解析式为：y=-x+，将直线AB与反比例函数联立得出：，解得：或∴点B（4，）．考点: 反比例函数综合题.11.已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．（1）求m的值；（2）如图，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．【答案】（1）m的值为2；（2）C（﹣4，0）．【解析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m的一元一次方程，求出m的值；（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，则△CBD∽△CAE，运用相似三角形知识求出CD的长即可求出点C的横坐标．试题解析：（1）∵图象过点A（﹣1，6），∴=6，解得m=2．故m的值为2；（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，由题意得，AE=6，OE=1，即A（﹣1，6），∵BD⊥x轴，AE⊥x轴，∴AE∥BD，∴△CBD∽△CAE，∴，∵AB=2BC，∴，∴，∴BD=2．即点B的纵坐标为2．当y=2时，x=﹣3，即B（﹣3，2），设直线AB解析式为：y=kx+b，把A和B代入得：，解得，∴直线AB解析式为y=2x+8，令y=0，解得x=﹣4，∴C（﹣4，0）．【考点】反比例函数综合题．12.如图，点A是正比例函数y=﹣x与反比例函数y=在第二象限的交点，AB⊥OA交x轴于点B ，△AOB 的面积为4，则k 的值是_____________.【答案】-4.【解析】反比例系数k 的几何意义：过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．同时考查了正比例函数的性质，等腰三角形的性质．过点A 作AC ⊥OB 于C ，先由正比例函数的性质及AB ⊥OA ，得出△AOB 是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质得出BC=OC ，则2S △AOC =S △AOB =4，所以k=±4，由反比例函数的图象在第二象限可知：k<0.故k=-4.【考点】1、反比例函数系数k 的几何意义；2、等腰直角三角形．13. 若反比例函数的图象上有两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2），那么（ ） A ．y 2＜y 1＜0B ．y 1＜y 2＜0C ．y 2＞y 1＞0D ．y 1＞y 2＞0【答案】D.【解析】把两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）分别代入反比例函数y= ，求出y 2、y 1的值即可作出判断．解答：解：把点P 1（1，y 1）代入反比例函数y=得，y 1=1；点P 2（2，y 2）代入反比例函数y=求得，y 2=， ∵1＞＞0，∴y 1＞y 2＞0． 故选D ．考点: 反比例函数图象上点的坐标特征．14. 某反比例函数的图象经过点（－1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ） A ．（2，3） B ．（3,2） C ．（－3,2） D ．（6,1）【答案】C【解析】根据反比例函数的图象上点的横纵坐标之积等于定值k 得到反比例函数图象经过点（－1,6），则反比例函数的解析式为，然后计算各点的横纵坐标之积，再进行判断．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．15. 若反比例函数经过点（1,2），则下列点也在此函数图象上的是（ ） A ．（1，-2） B ．（-1，﹣2） C ．（0，﹣1） D ．（﹣1，﹣1）【答案】B【解析】设反比例函数图象的解析式为，∵反比例函数的图象经过点（1，2），∴k=1×2=2，而1×（-2）=－2，－1×（-2）=2，0×（－1）＝0，－1×（－1）＝1. ∴点（-1，-2）在反比例函数图象上．故选B．【考点】反比例函数图像上点的坐标的特征．16.如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1的坐标为(2，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，则A2点的横坐标为A．B．C．D．【答案】C【解析】过点P1作P1C⊥OA2，垂足为C，∵△P1OA1为边长是2的等边三角形，OC=1，，∴P1（1，）。
中考数学反比例函数综合经典题及答案
中考数学反比例函数综合经典题及答案一、反比例函数1．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.2．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .3．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.4．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，∴a=﹣1+3=2，∴点A（1，2）．∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，∴k=1×2=2，∴反比例函数的表达式为y= ．联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点B（2，1）（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．∵点B、B′关于x轴对称，∴PB=PB′．∵点A、P、B′三点共线，∴此时PA+PB取最小值．设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，，解得：，∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．当y=﹣3x+5=0时，x= ，∴满足条件的点P的坐标为（，0）．【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．5．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2（1）【直接应用】若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________（3）【探索应用】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．【答案】（1）1；2（2）4（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴AC=x+3，BD= +2，∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；②∵x＞0，∴x+ ≥2 =6，∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，∴此时S=6+x+ 有最小值12，∵x=3，∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形．【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．7．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+ 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.（1）当直线l与直线y= x+ 平行时，求出直线l的解析式；（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数.【答案】（1）解：当直线l与直线y＝ x＋平行时，设直线l的解析式为y＝ x ＋b，∵直线l经过点C（1，0），∴0＝＋b，∴b＝，∴直线l的解析式为y＝x−（2）解：①对于直线y＝ x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝−1，∴A（0，），B（−1，0），∵C（1，0），∴AC＝，②如图1中，作CE∥OA，∴∠ACE＝∠OAC，∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACE＝30°，∴α＝30°（3）解：①如图2中，当α＝15°时，∵CE∥OD，∴∠ODC＝15°，∵∠OAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝15°，∴AD＝AC＝AB，∴△ADB，△ADC是等腰三角形，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴△DBC是等腰三角形；②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴DA＝DC＝DB，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；④当α＝150°时，易知△BDC是等边三角形，∴AB＝BD＝DC＝AC，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形，综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为y＝ x＋b，把点C（1，0）代入求出b即可；（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝，推出∠OAC＝30°，即可解决问题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可.8．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．9．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）证明：①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC解：②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB= ，∴OH=OB-HB=∵CB=CH，∴OH+HC=当∠BOC=90°，此时BC=∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB= ，由于BC=HC，所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．设NG=n，则NE=3﹣n．∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m的最小值为：；如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．过C作CG⊥ED于G．∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．故：m≤5．【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．11．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．。
中考数学压轴题专题复习—反比例函数的综合含答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．2．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．5．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。