河南省南阳市方城县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
河南省南阳市方城县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.要使二次根式√3−m有意义，则m的取值范围为()A. m<3B. m≤3C. m>3D. m≥32.与−√3可以合并的二次根式是()A. √6B. −√9C. √12D. −√153.一元二次方程x2=2x的解为()A. x=0B. x=2C. x=0或x=2D. x=0且x=−24.下列各组线段中不是成比例线段的是()A. 3m、4m、5m、6mB. 1cm、5cm、0.8cm、4cmC. 2.4m、1.5m、1.2m、0.75mD. 2cm、3cm、4cm、6cm5.如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是()A. ∠C=∠AEDB. ∠B=∠DC. ABAD =BCDED. ABAD=ACAE6.方程x2−4√2x+9=0的根的情况是()A. 有两个不相等实根B. 有两个相等实根C. 无实根D. 以上三种情况都有可能7.如图所示，在长为8cm、宽为6cm的矩形中，截去一个矩形(图中阴影部分)，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是()A. 28cm2 B. 27cm2C. 21cm2D. 20cm28.某工厂今年元月份的产值是50万元，3月份的产值达到了72万元.若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程()A. 72(x+1)2=50B. 50(x+1)2=72C. 50(x−1)2=72D. 72(x−1)2=509.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE 交AB于点F，交BC于点G，连结CF.若AC=3，CG=2，则CF 的长为()A. 52B. 3 C. 2 D. 7210.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边DC上，且DE=1，BE与AD的延长线交于点F，则DF的长度为()A. 1B. 34C. 43D. 23二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算√12−9√13的结果是______．12.已知x2+6x=−1可以配成(x+p)2=q的形式，则q=．13.若a−bb =53，则ab=______ ．14.如图，DE//FG//BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若BC=12，则FG的长是______ ．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′处，那么CD=______．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）16.解方程：(1)x2−3x−2=0；(2)(x+1)2=7x+7四、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.计算+√2；(1)2√3−√8−3√13÷√6．(2)√27×√2318.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．19.若关于x的一元二次方程x2−(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．20.如图，一根旗杆AB在某一时刻影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙上，测得地面上的影长为3.2m，落在墙上的影长为1.2m，同一时刻测得长为0.8m的竹竿影长为1m，试求出旗杆的高度．21.如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)，从美观的角度考虑要求底面的短边与长边的比不，设四周小正方形的边长为xcm．小于23(1)求盒子的侧面积y与x的函数关系式，并求x的取值范围；(2)求当正方形的边长x为何值时侧面积y有最大值，并求出y的最大值；(3)若要求侧面积不小于28cm2，直接写出正方形的边长x的取值范围．22.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD，BE，CD交于点F．(1)求证：ABAC =AEAD；(2)请探究线段DE，CE的数量关系，并说明理由；(3)若CD⊥AB，AD=2，BD=3，求线段EF的长．23.如图，直线y=kx−2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB=1．(1)求k的值；(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx−2上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；(3)探索：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数的非负性是解题的关键．首先根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．解：由题意得，3−m≥0，解得，m≤3，故选：B．2.答案：C解析：本题主要考查了同类二次根式的概念，关键是熟练掌握二次根式的化简．先化简二次根式，若被开方数相同可得结果．解：A.不能化简，故不能合并；B.原式=−3，故不能合并；C.原式=2√3，能合并；D.不能化简，故不能合并．故选C．3.答案：C解析：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．首先把方程化成一般形式，再把方程的左边分解因式，即可得到答案．解：x2=2x，移项得：x2−2x=0，∴x(x−2)=0，x=0或x−2=0，∴x1=0，x2=2．故选C．4.答案：A解析：解：A、6×3≠4×5，不是成比例线段，故本选项符合题意；B、4×1=5×0.8，是成比例线段，故本选项不符合题意；C、2.4×0.75=1.5×1.2，是成比例线段，故本选项不符合题意；D、2×6=4×3，是成比例线段，故本选项不符合题意．故选A．只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断．本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键．5.答案：C解析：解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似，故选：C．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．6.答案：C解析：本题考查了根的判别式，根据根的判别式找出△=−4<0是解题的关键．根据方程各项系数结合根的判别式△=b2−4ac，即可得出△=−4<0，进而即可得出方程无解．解：在方程x2−4√2x+9=0中，△=(−4√2)2−4×1×9=−4<0，∴该方程没有实数根．故选C．7.答案：B解析：本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．解：如图所示：依题意，在矩形ABCD中截取矩形ABEF，则矩形ABCD∽矩形DFEC，则AB DF =ADDC，设DF=xcm，得到：6 x =86，解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．故选B.8.答案：B解析：此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用.此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元.根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50(1+x)，3月份的产值是50(1+x)(1+x)，从而列方程即可．解：根据题意，得50(x+1)2=72．故选B．9.答案：A解析：本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图，也考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质得到FB=FC，CG=BG=2，FG⊥BC，再证明BF=AF，则CF为斜边AB上的中线，然后根据勾股定理计算出AB，从而得到CF的长．解：由作法得GF垂直平分BC，∴FB=FC，CG=BG=2，FG⊥BC，∴∠FCB=∠B,∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠FCB=∠A+∠B=90°，∴∠ACF=∠A，∴AF=CF，∴AF=CF=BF,∴CF为斜边AB上的中线，∵AB=√32+42=5，∴CF=12AB=52．故选：A．10.答案：C解析：本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及其性质；解题的关键是运用相似三角形的判定及其性质来分析、解答．证明△DEF∽△CEB，列比例式DFBC =DECE，代入可得DF的长．解：∵DE=1，DC=4，∴EC=4−1=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AF//BC，∴△DEF∽△CEB，∴DFBC =DECE，∴DF4=13，∴DF=43，故选：C．11.答案：−√3解析：解：原式=2√3−9×√33=2√3−3√3=−√3．故答案为：−√3．直接化简二次根式，进而合并求出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12.答案：8解析：【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．把方程两边加上9，然后把方程作边写成完全平方的形式，从而得到q的值．【解答】解：x2+6x+9=8，即(x+3)2=8，所以q=8．13.答案：83解析：本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．根据和比性质，可得答案．解：a−bb =53，则ab=3+53=83，故答案为：83．14.答案：4√6解析：解：在△ABC中，DE//FG//BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，且DE，FG将△ABC的面积三等分，即S△AFG=23S△ABC，∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，，∴FGBC =√23=√63，∴FG=BC⋅√63=12×√63=4√6；故答案为：4√6．由平行线得出△ADE∽△AFG∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．15.答案：3cm解析：解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=√BC2+AC2=√62+82=10cm，由翻折变换的性质得，BC′=BC=6cm，C′D=CD，∴AC′=AB−BC′=10−6=4cm，设CD=x，则C′D=x，AD=8−x，在Rt △AC′D 中，由勾股定理得，AC′2+C′D 2=AD 2，即42+x 2=(8−x)2，解得x =3，即CD =3cm ．故答案为：3cm ．利用勾股定理列式求出AB ，根据翻折变换的性质可得BC′=BC ，C′D =CD ，然后求出AC′，设CD =x ，表示出C′D 、AD ，然后利用勾股定理列方程求解即可．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 16.答案：解：(1)x 2−3x −2=0，这里a =1，b =−3，cc =−2，b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−2)=17，x =3±√172， x 1=3+√172，x 2=3−√172；(2)(x +1)2=7x +7，(x +1)2−7(x +1)=0，(x +1)(x +1−7)=0，x +1=0，x +1−7=0，x 1=−1，x 2=6．解析：本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，公式法、配方法、直接开平方法．(1)先求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出即可；(2)移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．17.答案：解：(1)原式=2√3−2√2−√3+√2=√3−√2；(2)原式=13√27×2×16=1．解析：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)根据二次根式化的乘除法则运算．18.答案：解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BDAB =DEAC，∴DE=BD⋅ACAB =8×714=4．解析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出BDAB =DEAC是解题关键．19.答案：解：由题意可知Δ=(2a+1)2−4a2=4a2+4a+1−4a2=4a+1．∵原方程有两个不相等的实数根，∴4a+1>0，∴a>−14．解析：本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式△>0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．20.答案：解：过点D作DE⊥AB，∵同一时刻测得长为0.8m的竹竿影长为1m，∴AE DE =0.81， 则AE 3.2=0.81， 解得：AE =2.56，故AB =AE +BE =2.56+1.2=3.76(m)，答：旗杆的高度为3.76m ．解析：此题主要考查了平行投影和相似三角形的性质，正确利用同一时刻实际物体与影长的比值相等是解题关键．过点D 作DE ⊥AB ，利用同一时刻实际物体与影长的比值相等，AE DE =0.81，可求出AE ，进而得出答案． 21.答案：解：(1)由题意，得y =2(10−2x)x +2(8−2x)x ，整理得：y =−8x 2+36x ．∵8−2x 10−2x ≥23，10−2x >0，8−2x >0， ∴x ≤2．∵x >0，∴0<x ≤2；(2)∵y =−8x 2+36x ．∴y =−8x 2+36x ．∴y =−8(x −94)2+812．因为a <0，对称轴为直线x =94，在对称轴的左侧，y 随x 的增而增大，∴当x =2时，侧面积y =40为最大值答：当x =2时，y 有最大值为40；(3)由题意，得−8x 2+36x =28，即2x 2−9x +7=0，(x −1)(2x −7)=0，解得x1=1，x2=3.5．又x≤2，根据二次函数的性质可得−8x2+36x⩾28时，1≤x≤2．故正方形的边长x的取值范围是：1≤x≤2解析：本题考查了长方体的侧面积的运用，二次函数的性质的运用，自变量的取值范围的运用，二次函数性质的运用，解答时求出二次函数的解答式是关键．(1)由长方体的侧面积=四个长方形的面积之和就可以表示出y与x之间关系式，由底面的短边与长边的比不小于23建立不等式就可以求出x的取值范围；(2)由(1)的解析式根据二次函数的性质就可以求出最大值；(3)由侧面积不小于28cm2，根据二次函数性质求出正方形的边长x的即可．22.答案：解：(1)证明：∵∠ABE=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC =AEAD，(2)∵ABAC =AEAD，∴ADAC =AEAB，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED=∠ABC，∵∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE，∴∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，∵∠ABE=∠ACD，∴∠CDE=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CDE=∠ABE=∠ACD，∴DE=CE．(3)∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=∠CDE+∠ADE=90°，∵∠ABE=∠ACD，∠CDE=∠ACD，∴∠A=∠ADE，∠BEC=∠ABE+∠A=∠A+∠ACD=90°，∴AE=DE，BE⊥AC，∵DE=CE，∴AE=DE=CE，∴AB=BC，∵AD=2，BD=3，∴BC=AB=AD+BD=5，在Rt△BDC中，CD=√BC2−BD2=√52−32=4，在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD2=√22+42=2√5，∴DE=AE=CE=√5，∵∠ADC=∠FEC=90°，∴tan∠ACD=ADCD =EFCE，∴EF=AD⋅CECD =2×√54=√52．解析：(1)只要证明△ABE∽△ACD即可；(2)首先证明△ADE∽△ACB，推出∠AED=∠ABC，由∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE，推出∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，由∠ABE=∠ACD，推出∠CDE=∠CBE，由BE平分∠ABC，推出∠ABE=∠CBE，推出∠CDE=∠ABE=∠ACD，可得；(3)由tan∠ACD=ADCD =EFCE，只要求出CD、CE即可解决问题；本题考查相似三角形综合题、角平分线的定义、勾股定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．23.答案：解：(1)∵OB=1∴B点坐标为：(1,0)把B点坐标为：(1,0)代入y=kx−2得k=2×OB×y(2)∵S=12∵y=2x−2×(2x−2)∴S=12∴S=x−1(3)①当S=1时，x−1=1∴x=2，y=2x−2=2∴A点坐标为(2,2)时，△AOB的面积为1②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1(2,0)，P2(4,0)，P3(2√2，0)，P4(−2√2，0)。
河南省南阳市邓州市2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷(含答案解析)
河南省南阳市邓州市2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列各式：√2,35,-√3,√→,√^TT,其中一圧是二次根式的个数为（）A. √2 × V3 = VβC. √(3 — TC)2 = 3 — π B -I = TD ・ 2√2 + 3√2 = 5√2用配方法解方程3%2+ 4X +1 = O 时，可以将方程化为（）A. (X + 2)2 = 3B. (x + ∣)2=∣C. (x + ^)2 = jD. (3X + ∣)2=≡ 化fHJ ∣x — y ∣ — V X Σ(X <y < 0)的结果是()小明准备制作一个工具箱，家中有一块长50c,n.宽30纫?的矩形铁皮，如果将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长“加的正方形后，剩余的部分刚好能闹成一个底而积为IIOOCm 2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）50 X 30 — 4X 2 一 (50 + 30)X = 1100c ∙H斜边AB 上的髙为CD, AB = 12, AD ： BD = 3 ： 1,那么CD 长为（）如图所示，已知点4 F 分别是'ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G FG = 29则CF 的长为（）2.3. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 方程3-x 2 = O 的解是（） A. 3 B. ±3 C. √3 D. +√3F 列运算错误的是（）1. 4. 5. A. y = y 一 2% B. yC. 2% — yD. —y6. A. (50-x)(30-x) = 1100B. 50 X 30 - 4X 2 = 1100C. (50- 2x)(30- 2x) = 1100D. 7.若2a = 3b,则下列等式正确的是（）A.6B. 6√3C. 18D. 3√39.译文：今要测量海岛上一座山^AH 的高度，在B 处和D 处树立标杆BC 和DE,标杆的髙都是 3丈，B 和D 两处相隔IoOo 步（1丈=Io 尺，1步=6尺），并且AH, CB 和DE 在同一平而内.从 标杆BC 后退123步的F 处可以看到顶稣A 和标杆顶端C 在同一直线上：从标杆ED 后退127 步的G 处可以看到顶峰A 和标杆顶端E 在同一直线上.则山^AH 的高度是 _____________________________________ .A. 4 B. 4.5 C. 5 10.如图，在△ 43C 中，乙3 = 90。
2022-2023学年南阳市方城县九年级数学上学期期中调研卷附答案解析
2022-2023学年南阳市方城县九年级数学上学期期中调研卷注意事项：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效.3.答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号或条形码填写、粘贴在答题卡第一面的指定位置上. 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上.每小题3分，共30分.） 1.函数4y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A.4x ≥B.4x ≤C.4x >D.4x ≠2.下列计算正确的是（ ） A.233255= B.233266=()266-=-3053610=3.方程2233x x +=的一次项系数和常数项分别为（ ） A.3和-3B.3和3C.-3和2D.3和24.如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，80A ∠=︒，90C ∠=︒，70F ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A.100°B.110°C.120°D.130°5.下列方程中，没有实数根的是（ ） A.2250x x --=B.2230x x --=C.220x x -=D.225x x -=-6.如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB .如果::3OA OC OB OD ==，且量得3cm CD =，则零件的厚度x 为（ ）A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm7.如图，三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是AB ，AC ，BC 上的点，且DE BC ∥，EF AB ∥，:1:2AD DB =，30cm BC =，则FC 的长为（ ）A.10cmB.20cmC.5cmD.6cm8.我们古代数学家研究过一元二次方程.下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.”意思是一块田是矩形，矩形面积为2864m ，长比宽多12m ，如果设宽为m x ，则列出的方程为（ ） A.()12864x x -=B.()6864x x +=C.()12864x x +=D.()6864x x -=9.如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么ABAD等于（ ）2 51- 2D.3410.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =.点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上.若四边形EGFH 是菱形，则BE 的长是（ ）A.53 C.2.5D.1.5二、填空题（每小题3分，共（15分）11.1435=____________. 12.若关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，则m n +的值是____________. 13.小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E 、F ，不断调整站立的位置，使在点D 处时恰好能看到铁塔的顶部B 和底部A （如图）.设小明的手臂长50cm l =，小尺长20cm a =，点D 到铁塔底部的距离40m AD =，则铁塔的高度为______________m.14.如图，将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC △沿着AD 方向平移，得到A B C '''△，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA '等于___________.15.如图1，在ABC △中，36B ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线A B C →→匀速运动至点C 停止.若点P 的运动速度为1cm/s ，设点P 的运动时间为(s)t ，AP 的长度为(cm)y ，y 与t 的函数图象如图2所示.当AP 恰好平分BAC ∠时，t 的值为____________s.三、解答题（本题含8个小题，共75分） 16.计算：（每小题4分，共8分） （1）161532-（2）(25353210-17.请选择适当方法解下列方程：（每小题3分，共9分） （1）()233x x x -+=（2）()()628x x x -=- （3）()()()33211x x x x -=-+18.（9分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO OD ⊥，EF FG ⊥.已知小明的身高EF 为1.8米，求旗杆的高AB .19.（9分）已知一元二次方程220x bx +-=. （1）当1b =时，求方程的根.（2）若b 为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由.20.（9分）如图（1），已知：E C ∠=∠（1）求证：ADE ABC △∽△；（2）如图（2），分别连结CE ，BD ，请判断ACE △与ABD △是否相似，若相似请给与证明，若不相似请说明理由.21.（10分）建设美丽城市，改造老旧小区.某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？ 22.（10分）请阅读以下材料，并完成相应的问题：类比教材中的“平行线分线段成比例定理”，我们也可以得到“角平分线分线段成比例定理”，如图1，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，则AB BDAC CD=.下面是这个定理的部分证明过程.证明：如图2，过点C 作CE DA ∥.交BA 的延长线于点E . 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；（2）如图3，已知Rt ABC △中，3AB =，4BC =，90ABC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，求ABD △的周长.23.（11分）如图，在矩形ABCD 中，()0AD kAB k =>，点E 是线段CB 延长线上的一个动点，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交射线DC 于点F .（1）如图1，若1k =，则AF 与AE 之间的数量关系是____________；（2）如图2，若1k ≠，试判断AF 与AE 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k 的式子表示） （3）若2k =，即24AD AB ==，连接BD 交AF 于点G ，连接EG ，当1CF =时，求EG 的长.（直接写出答案，不需要说明理由）.2022年秋期期中教学调研测试九年级数学（参考答案）一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBACDBBCAD二、填空题（每小题3分，共15分） 10 12.1 13.16 14.4或815.(225+（不带括号也正确）三、解答题（本大题共８个小题，共75分） 16.（8分） 解：（1）1615362263215362=⨯ 326532= 65=-分（2）(25353210-(((22222532221010⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()20324510=--- 171245=-+545=+分17.（9分）解：（1）()233x x x -+= 原方程可变形为()()2330x x x -+-=方程左边因式分解，得()()3210x x -+=所以30x -=或210x += 所以13x =，212x =-....................3分 （2）()()628x x x -=- 原方程可化为28160x x -+=()240x ∴-=124x x ∴==....................6分（3）()()()33211x x x x -=-+ 原方程可化为2920x x -+=()224941273b ac -=--⨯⨯=973x ±∴=1973x +∴=，2973x -=....................9分 （注：解法不同，只要过程合理，结果正确即可得分） 18.（9分）解：∵太阳光是平行光线， ∴BCO EGF ∠=∠∵90BOC EFG ∠=∠=︒.................................................................................2分 ∴BOC EFG △∽△∴BO OC EF FG =即161.8 2.4BO =∴12BO =.......................................................................................................5分同理AO OD EF FG =即201.82.4AO = ∴15AO =∴15123AB AO BO =-=-=（米）................................................................................8分 答：旗杆的高AB 为3米...........................................................................9分19.（9分）解：（1）当1b =时，原方程可化为：220x x +-=()21141219132x -±-⨯⨯--±-±∴===11x ∴=，22x =-..............................4分（2）()22244128b ac b b ∆=-=-⨯⨯-=+20b ≥∴280b +>即0∆>...........................................................................................................8分 ∴方程有两个不相等的实数根.....................................................................9分 20.（9分）解：（1）证明：∵E C ∠=∠，BAC DAE ∠=∠∴ABC DAE △∽△（两角相等的两个三角形相似）........................................3分 （2）ACE △与ABD △相似....................................................................................4分 证明：由（1）证可知：ADE ABC △∽△∴AC ABAE AD =.........................................................................................................7分 ∴AC AE AB AD= ∵CAE BAD ∠=∠∴ACE ABD △∽△（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）..................9分 21.（10分）解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据题意，得...........1分()2100011440x +=解得：10.2x =，2 2.2x =-...........................................................................4分检验：因为增长率不可能为负值，所以2 2.2x =-不符合题意，应舍去，只取10.220%x == 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.................................6分 （2）该市在2023年可以改造m 个老旧小区，根据题意，得()()80115%1440120%m +≤+解得181823m ≤.................................................8分∵m 为正整数， ∴m 的最大值为18答：该市在2023年最多可以改造18个老旧小区...........................................10分 22.（10分）解：（1）证明：如图2，过点C 作CE DA ∥．交BA 的延长线于点E ． ∵CE DA ∥∴1E ∠=∠，2ACE ∠=∠ ∵AD 平分BAC ∠ ∴12∠=∠ ∴E ACE ∠=∠∴AC AE =.........................................................................................3分 又CE AD ∥∴AB BDAE DC =∴AB BD AC DC =即AB BD AC CD=.........................................................5分 （2）在Rt ABC △中，3AB =，4BC =，90ABC ∠=︒∴2222345AB BC AC +=+==∵AD 平分BAC ∠由（1）可知AC CDAB BD=∵4CD BC BD BD =-=- ∴543BD BD -=解得32BD =...........................................................8分 在Rt ABD △中，2222335322A AB BD D ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭=∴ABD △的周长为：3533592223AD BD AB ++=+=+..................................10分23.（11分）解：（1）AF AE =.................................................................................................3分 （2）AF 与AE 之间的数量关系是：AF kAE =证明：∵四边形ABCD 是矩形∴90ABC BAD D ∠=∠=∠=︒ ∴90ABE ∠=︒，90BAF DAF ∠+∠=︒∵AF AE ⊥∴90BAF BAE ∠+∠=︒∴DAF BAE ∠=∠又D ABE ∠=∠∴ADF ABE △∽△..............................................................................................7分∴AF AD AE AB =∵AD kAB =∴AF kABk AE AB==∴AF kAE =.....................................................................................................9分（3）5176或412.............................................................................................11分 提示：分类讨论：如图1和图2两种情况.如图1，由24AD AB ==，得2AB =，由1CF =，得1DF =，借助于（2）的结论得12BE =，由勾股定理得172AE =，由DGF AGF △∽△，可求得217AG =在Rt AEG △中，求得517EG =.如图2同理可得412EG =.。
2019-2020学年河南省南阳市淅川县九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年河南省南阳市淅川县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）．1．下列各式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．若一元二次方程（2m+6）x2+m2﹣9＝0的常数项是0，则m等于（）A．﹣3B．3C．±3D．93．用配方法解方程x2+x﹣1＝0，配方后所得方程是（）A．（x﹣）2＝B．（x+）2＝C．（x﹣）2＝D．（x+）2＝4．已知x1、x2是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则x+x的值为（）A．52B．36C．30D．205．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．120°7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1且k≠0B．k≥﹣1 且k≠0C．k＞1D．k＜1且k≠0 8．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（）A．580（1+x）2＝1185B．1185（1+x）2＝580C．580（1﹣x）2＝1185D．1185（1﹣x）2＝5809．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，则OE：OB＝（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（每小题3分，共15分）11．使代数式有意义的x的取值范围是．12．小明沿着坡度为1：的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了米．13．若△ADE∽△ACB，且＝，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．14．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为．三、解答题（本题共8小题，满分75分）16．（1）计算（1﹣）2﹣+（）0（2）解方程：（1﹣2x）2＝4x﹣2．17．先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x＝﹣2．18．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），C（5，4）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点P（1，﹣1）为位似中心，在如图所示的网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）点C2的坐标是．20．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）21．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC ＝∠DAE．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若BC＝2，AD＝6，DE＝3，求AC的长．22．某网店以每件80元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件；后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低2元，其销售量可增加10件．（1）该网店销售该商品原来一天可获利润元．（2）设后来该商品每件售价降价x元，网店一天可获利润y元．①若此网店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元？②求y与x之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该网店一天所获利润最大？并求最大利润值．23．等腰Rt△PAB中，∠PAB＝90°，点C是AB上一点（与A、B不重合），连接PC，将线段PC绕点C顺时针旋转90°，得到线段DC．连接PD，BD．探究∠PBD的度数，以及线段AB与BD、BC的数量关系．（1）尝试探究：如图（1）∠PBD＝；AB＝BC+AC＝；（2）类比探索：如图（2），点C在直线AB上，且在点B右侧，还能得出与（1）中同样的结论么？请写出你得到的结论并证明：2019-2020学年河南省南阳市淅川县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）．1．下列各式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．2．若一元二次方程（2m+6）x2+m2﹣9＝0的常数项是0，则m等于（）A．﹣3B．3C．±3D．9【解答】解：由题意，得m2﹣9＝0且2m+6≠0，解得m＝3，故选：B．3．用配方法解方程x2+x﹣1＝0，配方后所得方程是（）A．（x﹣）2＝B．（x+）2＝C．（x﹣）2＝D．（x+）2＝【解答】解：∵x2+x＝1，∴x2+x+＝1+，即（x+）2＝，故选：D．4．已知x1、x2是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则x+x的值为（）A．52B．36C．30D．20【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得x1＝2，x2＝4，∴x+x＝4+16＝20，故选：D．5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：C．6．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．120°【解答】解：∵|sin A﹣|＝0，（﹣cos B）2＝0，∴sin A﹣＝0，﹣cos B＝0，∴sin A＝，＝cos B，∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故选：C．7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1且k≠0B．k≥﹣1 且k≠0C．k＞1D．k＜1且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，解得：k＞﹣1且k≠0，故选：A．8．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（）A．580（1+x）2＝1185B．1185（1+x）2＝580C．580（1﹣x）2＝1185D．1185（1﹣x）2＝580【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得出方程为：1185（1﹣x）2＝580．故选：D．9．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，则OE：OB＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，又∵＝，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OCB，∴＝＝，故选：B．10．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB＝90°，∵AB＝10，D为AB中点，∴DF＝AB＝AD＝BD＝5，∴∠ABF＝∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠CBF＝∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即，解得：DE＝8，∴EF＝DE﹣DF＝3，故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．使代数式有意义的x的取值范围是x≥0且x≠．【解答】解：由题意得，x≥0且2x﹣1≠0，解得x≥0且x≠．故答案为：x≥0且x≠．12．小明沿着坡度为1：的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了5米．【解答】解：∵坡度tanα＝＝1：＝，∴α＝30°．∴上升的垂直高度＝坡长×sin30°＝10×＝5（米）．故答案为：5．13．若△ADE∽△ACB，且＝，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且＝，∴△ADE与△ACB的面积比为：，∴△ADE与四边形BCED的面积比为：，又四边形BCED的面积是2，∴△ADE的面积是，故答案为：．14．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′＝∠B．在Rt△BCD中，tan B＝＝，∴tan B′＝tan B＝．故答案为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为或2．【解答】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，∵BC＝4，∴CE＝4﹣BE，∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，∴或，即或，解得：BE＝或2，故答案为：或2．三、解答题（本题共8小题，满分75分）16．（1）计算（1﹣）2﹣+（）0（2）解方程：（1﹣2x）2＝4x﹣2．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+3﹣（﹣1）+1＝（2）∵（1﹣2x）2＝4x﹣2，∴（1﹣2x）2﹣2（1﹣2x）＝0，∴（1﹣2x﹣2）（1﹣2x）＝0，∴17．先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x＝﹣2．【解答】解：÷（x+1﹣）＝÷[﹣]＝÷＝×＝当x＝﹣2时，原式＝＝．18．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m+2）2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，x﹣1＝0或mx﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），C（5，4）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点P（1，﹣1）为位似中心，在如图所示的网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）点C2的坐标是（9，﹣7）．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）如图所示：点C2的坐标是：（9，﹣7）．故答案为：（9，﹣7）．20．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）【解答】解：（1）过点E作ED⊥BC于D，根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，∴四边形CDEF是矩形，已知底部B的仰角为45°即∠BED＝45°，∴∠EBD＝45°，∴BD＝ED＝FC＝12，∴BC＝BD+DC＝BD+EF＝12+1.6＝13.6，答：建筑物BC的高度为13.6m．（2）已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，即∠AED＝52°，∴AD＝ED•tan52°≈12×1.28≈15.4，∴AB＝AD﹣BD＝15.4﹣12＝3.4．答：旗杆AB的高度约为3.4m．21．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC ＝∠DAE．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若BC＝2，AD＝6，DE＝3，求AC的长．【解答】解：（1）证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵∠BAC＝∠BDC，∠BFA＝∠CFD，∴180°﹣∠BAC﹣∠BFA＝180°﹣∠BDC﹣∠CFD，即∠ABE＝∠ACD．∴△ABE∽△ACD．证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵∠BEA＝∠DAE+∠ADE，∠ADC＝∠BDC+∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC．∴△ABE∽△ACD．（2）∵△ABE∽△ACD，∴＝．又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴＝，∴AC＝＝＝4．22．某网店以每件80元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件；后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低2元，其销售量可增加10件．（1）该网店销售该商品原来一天可获利润1000元．（2）设后来该商品每件售价降价x元，网店一天可获利润y元．①若此网店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元？②求y与x之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该网店一天所获利润最大？并求最大利润值．【解答】解：（1）该网店销售该商品原来一天可获利润为（100﹣80）×50＝1000（元），故答案为1000；（2）①y＝（100﹣80﹣x）（50+5x）＝﹣5x2+50x+1000，当y＝1080时，﹣5x2+50x+1000＝1080，整理得x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2（舍去），x2＝8，答：每件商品的售价应降价8元；②y＝（100﹣80﹣x）（50+5x）＝﹣5x2+50x+1000＝﹣5（x﹣5）2+1125，当x＝5时，y有最大值，最大值为1125，则100﹣x＝95，答：当该商品每件售价为95元时，该网店一天所获利润最大，最大利润值为1125元．23．等腰Rt△PAB中，∠PAB＝90°，点C是AB上一点（与A、B不重合），连接PC，将线段PC绕点C顺时针旋转90°，得到线段DC．连接PD，BD．探究∠PBD的度数，以及线段AB与BD、BC的数量关系．（1）尝试探究：如图（1）∠PBD＝90°；AB＝BC+AC＝BD；（2）类比探索：如图（2），点C在直线AB上，且在点B右侧，还能得出与（1）中同样的结论么？请写出你得到的结论并证明：【解答】解：（1）由题意得：△PCD为等腰直角三角形，且∠PCD＝90°，∴∠CPD＝45°＝∠APB，∴∠CPD+∠BPC＝∠APB+∠BPC，即∠BPD＝∠APC，又∵＝＝，∴△PAC∽△PBD，相似比为，∴∠PBD＝∠PAC＝90°，＝，∴AC＝BD，∴AB＝BC+AC＝BC+BD；故答案为：90，BD（2）结论∠PBD＝90°仍然成立；第二个结论不成立．AB＝BD﹣BC；理由如下：∵由题意，△PCD为等腰直角三角形，且∠PCD＝90°，∴∠CPD＝45°＝∠APB，∴∠CPD+∠BPC＝∠APB+∠BPC，即∠BPD＝∠APC又∵＝＝，∴△PAC∽△PBD，相似比为，∴∠PBD＝∠PAC＝90°，＝，∴AC＝BD，∴AB＝AC﹣BC＝BD﹣BC，。
_河南省南阳市西峡县2019——2020学年九年级上学期期中数学试卷 解析版
2019-2020学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．1．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤﹣1B．x≥﹣1C．x≤﹣1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2 2．下列二次根式属子最简二次根式的是（）A．18B．C．D．3．计算的结果是（）A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项等于0，则k的值等于（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣35．某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件60.5万个，则该机械厂八、九月份平均每月生产该种零件的增长率为（）A．10%B．12.1%C．210%D．6.5%6．如图，直线l1∥l2∥l3两条直线分别与l1、l2、l3，相交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则下列等式不成立（）A．B．C．D．7．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（）A．1B．﹣1C．4+4D．﹣28．下列方程没有实数根（）A．3x2＝5x﹣2B．4x﹣x2+4＝0C．2x2﹣4x+＝0D．4（x2+1）﹣x＝09．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若四边形ABCD与四边形A'B'C′D'的面积比S ABCD：S A′B′C′D′＝m：n（m＞0，n＞0），则OA：OA'等于（）A．m2：n2B．n2：m2C．D．10．如图，OABC是矩形，点A、C分别在x、y轴上，已知点B（1，2），沿对角线AC将△ABC折叠，点B落在B′位置，则点B'的坐标为（）A．（）B．（）C．（）D．（）二、填空题（每小题3分，共15分）11．实数a、b满足，则a﹣b的算术平方根等于．12．已知，则＝．13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在边BC上，AB＝BD＝3，CD＝2，点E是边AC上的动点，当CE＝时，以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．14．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣4a+2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．15．如图，△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），AB所在直线的函数关系式是y＝x+6．当反比例函数y＝的图象与△ABC有交点时，k的取值范围是．三、解答题：（共8各小题，75分）16．（8分）计算：17．（8分）直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．18．（9分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2+1＝0．（1）若方程的一个根是1，求实数a的值．（2）当a＝﹣2时，用配方法解方程．19．（9分）已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．20．（10分）如图，点D是线段BC的中点，射线DA⊥BC，连结AB、AC；点E是线段AC 的中点，点P是线段BC上的动点．（1）当∠APE＝∠B时，求证：①△ABP∽△PCE；②2EC2＝BP•PC．（2）点F是线段AB的中点，连结PF，当点P与点D重合时：①若BC＝4，四边形PEAF的面积为8，则AD＝．②当∠BAC＝时，四边形PEAF是正方形．21．（10分）某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A、C重合的任意一点，连结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD、BD、CP．（1）观察猜想：如图（1），当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究：如图（2），当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题：当α＝90°时，若点E、F分别是CA、CB的中点，点P在直线EF上，如图（3），请直接写出当点C、P、D在同一直线上时值．23．（11分）如图，一次函数y＝kx+2的图象BC与直线AC在y轴上相交于点C．已知：∠ACB＝90°，点A（3，0）．（1）求直线AC的关系式和k的值．（2）若点P是x轴上一动点，过点P作直线PD⊥x轴，分别交直线AC、BC于点D、E，设点P的坐标为（m，0）．求当△DCE的面积等于13时m的值．2019-2020学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．1．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤﹣1B．x≥﹣1C．x≤﹣1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥﹣1且x≠2．故选：D．2．下列二次根式属子最简二次根式的是（）A．18B．C．D．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、18不是二次根式，不合题意；B、﹣，分母上含有根号，故此选项错误；C、，被开方数中含有可开平方的因式，故此选项错误；D、，是最简二次根式，符合题意．故选：D．3．计算的结果是（）A．B．C．D．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝9×﹣4＝﹣．故选：D．4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项等于0，则k的值等于（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3【分析】由一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣3k+2＝0的常数项为零，即可得k2﹣2k﹣3＝0＝0且k+1≠0，继而求得答案．【解答】解：由题意，得k2﹣2k﹣3＝0＝0且k+1≠0，所以（k﹣3）（k+1）＝0且k+1≠0，所以k﹣3＝0．解得k＝3．故选：B．5．某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件60.5万个，则该机械厂八、九月份平均每月生产该种零件的增长率为（）A．10%B．12.1%C．210%D．6.5%【分析】设该机械厂八、九月份平均每月生产该种零件的增长率为x，根据该厂七月份及九月份生产零件的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该机械厂八、九月份平均每月生产该种零件的增长率为x，依题意，得：50（1+x）2＝60.5，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．故选：A．6．如图，直线l1∥l2∥l3两条直线分别与l1、l2、l3，相交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则下列等式不成立（）A．B．C．D．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，故A正确∴，故B正确∴，故D正确；故选：C．7．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（）A．1B．﹣1C．4+4D．﹣2【分析】将所求代数式利用配方法转化为2（a﹣2）2﹣9的形式，代入求值即可．【解答】解：∵a＝2﹣，∴2a2﹣8a﹣1＝2（a﹣2）2﹣9＝2（2﹣﹣2）2﹣9＝2×5﹣9＝1．故选：A．8．下列方程没有实数根（）A．3x2＝5x﹣2B．4x﹣x2+4＝0C．2x2﹣4x+＝0D．4（x2+1）﹣x＝0【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：（A）△＝25﹣4×3×2＝1＞0，故A有实数根；（B）△＝16+4×1×4＝32，故B有实数根；（C）△＝16﹣4×2×＝14＞0，故C有实数根；（D）△＝1﹣4×4×4＝﹣63＜0，故D没有实数根；故选：D．9．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若四边形ABCD与四边形A'B'C′D'的面积比S ABCD：S A′B′C′D′＝m：n（m＞0，n＞0），则OA：OA'等于（）A．m2：n2B．n2：m2C．D．【分析】根据两个图形是相似形，根据相似图形的性质：面积之比等于对应边之比的平方可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，四边形ABCD 与四边形A'B'C′D'的面积比S ABCD：S A′B′C′D′＝m：n（m＞0，n＞0），∴OA：OA'＝：，故选：C．10．如图，OABC是矩形，点A、C分别在x、y轴上，已知点B（1，2），沿对角线AC将△ABC折叠，点B落在B′位置，则点B'的坐标为（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】过点B'作B'H⊥x轴，交点为H，由折叠的性质和平行线的性质可得AD＝CD，由勾股定理可求AD，OD的长，由平行线分线段成比例B'H，OH的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B'作B'H⊥x轴，交点为H，∵点B（1，2），∴AB＝CO＝2，BC＝OA＝1，∵沿对角线AC将△ABC折叠，∴AB＝AB'＝2，∠BAC＝∠CAB'，∵AB∥OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠ACO＝∠CAB'，∴AD＝CD，∵AD2＝OD2+AO2，∴AD2＝（2﹣AD）2+1，∴AD＝＝CD，∴OD＝，B'D＝∵B'H∥OD，∴＝∴B'H＝＝，AH＝，∴OH＝，∵点B'在第三象限∴点B'（﹣，）故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．实数a、b满足，则a﹣b的算术平方根等于2．【分析】先根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，代入求ab算术平方根即可．【解答】解：∵+＝0，∴a﹣16＝0，ab﹣64＝0，解得a＝16，b＝4，∴a﹣b＝16﹣4＝12，∴a﹣b的算术平方根为＝2．故答案为：2．12．已知，则＝．【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解：由，可得：a＝b，c＝d，把a＝b，c＝d代入＝，故答案为：．13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在边BC上，AB＝BD＝3，CD＝2，点E是边AC上的动点，当CE＝或时，以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．【分析】若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则或，分情况进行讨论后即可求出CE的长度．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝BD＝3，CD＝2，∴AC＝，∵当，∠C＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴CE＝，∵，∠C＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴CE＝，故答案为：或．14．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣4a+2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞．【分析】根据根的判别式即可求出答案【解答】解：由题意可知：△＝0，∴4a2﹣4（a2﹣4a+2）＞0，∴16a﹣8＞0，∴a＞，故答案为：a＞15．如图，△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），AB所在直线的函数关系式是y＝x+6．当反比例函数y＝的图象与△ABC有交点时，k的取值范围是4≤k≤．【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y＝x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．【解答】解：∵△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），∴把x＝2代入y＝x+6得，y＝﹣×2+6＝，把y＝2代入y＝x+6得，﹣x+6＝2，解得x＝6，∴点A、B的坐标分别为A（2，），B（6，2），根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝2×2＝4最小，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣）2+，∵2≤x≤6，∴当x＝时，k值最大，此时交点坐标为（，3），因此，k的取值范围是4≤k≤．故答案为：4≤k≤．三、解答题：（共8各小题，75分）16．（8分）计算：【分析】先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式＝8﹣4+1﹣（2﹣1）（2+1）+2﹣＝8﹣4+1﹣（12﹣1）+2﹣＝8﹣4+1﹣11+2﹣＝﹣4﹣．17．（8分）直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）利用直接开平方法求解；（3）利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解．【解答】解：（1）x2＝4x，x2﹣4x＝0．x（x﹣4）＝0，解得x1＝0，x2＝4；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，解得x1＝1+，x2＝1﹣；（3）2y2﹣y＝6，2y2﹣y﹣6＝0，（2y+3）（y﹣2）＝0，解得y1＝﹣，y2＝2；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0，2x﹣1＝，∴x1＝，x2＝．18．（9分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2+1＝0．（1）若方程的一个根是1，求实数a的值．（2）当a＝﹣2时，用配方法解方程．【分析】（1）将x＝1代入原方程即可求出答案；（2）将a＝﹣2代入方程即可求出答案．【解答】解：（1）将x＝1代入原方程可得：（a﹣1）﹣2+a2+1＝0，解得：a＝1或a＝﹣2，由于a﹣1≠0，∴a＝﹣2；（2）将a＝﹣2代入方程可得：﹣3x2﹣2x+5＝0，∴x2+x＝，∴（x+）2＝，∴x＝±，∴x＝1或x＝；19．（9分）已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案；（2）利用根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，△＝1+4（6+|k|）＝25+4|k|＞0，∴对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6﹣|k|，∵x12+x22＝21，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝21，∴1﹣2（﹣6﹣|k|）＝21，∴|k|＝4，∴k＝±4，20．（10分）如图，点D是线段BC的中点，射线DA⊥BC，连结AB、AC；点E是线段AC 的中点，点P是线段BC上的动点．（1）当∠APE＝∠B时，求证：①△ABP∽△PCE；②2EC2＝BP•PC．（2）点F是线段AB的中点，连结PF，当点P与点D重合时：①若BC＝4，四边形PEAF的面积为8，则AD＝8．②当∠BAC＝90°时，四边形PEAF是正方形．【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AB＝AC，可得∠B＝∠C，由外角的性质可得∠BAP＝∠EPC，可证△ABP∽△PCE；②由相似三角形的性质可得，且AB＝AC＝2EC，可得结论；（2）①由三角形中位线定理可得EF＝4，通过证明四边形PEAF是菱形，可得四边形PEAF的面积＝＝＝8，即可求AD的长；②由正方形的性质可求解．【解答】证明；（1）①∵点D是线段BC的中点，DA⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APE+∠CPE，且∠APE＝∠B，∴∠BAP＝∠EPC，且∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCE；②∵点E是线段AC的中点，∴AC＝2EC＝AB∵△ABP∽△PCE，∴，∴AB•EC＝BP•PC，∴2EC2＝BP•PC；（2）①如图，连接EF，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC，EF＝BC＝2，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，AD⊥BC，∴FD＝AF＝BF＝AB，AE＝EC＝DE＝AC，且AB＝AC，∴AF＝DF＝AE＝DE，∴四边形PEAF是菱形，∴AD⊥EF∴四边形PEAF的面积＝＝＝8，∴AD＝8故答案为8；②若∠BAC＝90°时，四边形PEAF是正方形，理由如下：∵四边形PEAF是菱形，且∠BAC＝90°，∴四边形PEAF是正方形，故答案为：90°．21．（10分）某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式；（2）由销售量不低于240件，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合该工艺品的成本价，即可得出结论；（3）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（2）的结论即可确定该种工艺品销售单价．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，300），（55，150）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700．（2）当y≥240时，﹣10x+700≥240，解得：x≤46，∵成本为30元/件，∴30＜x≤46．答：销售单价应大于30元/件，小于等于46元/件．（3）依题意，得：（x﹣30）（﹣10x+700）＝3750，整理，得：x2﹣100x+2475＝0，解得：x1＝45，x2＝55．∵30＜x≤46，∴x＝45．答：该种工艺品销售单价是45元/件．22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A、C重合的任意一点，连结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD、BD、CP．（1）观察猜想：如图（1），当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究：如图（2），当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题：当α＝90°时，若点E、F分别是CA、CB的中点，点P在直线EF上，如图（3），请直接写出当点C、P、D在同一直线上时值．【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP ≌△BAD（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，设BD交AC于点H，BD交PC于点G．证明△DAB∽△P AC，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．②如图4中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠P AD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，P A＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为：1，60°．（2）如图2中，设BD交AC于点H，BD交PC于点G．∵∠P AD＝∠CAB＝45°，∴∠P AC＝∠DAB，∵＝，∴△DAB∽△P AC，∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，∵∠EHC＝∠AHB，∴∠CEH＝∠HAB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．（3）如图3中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠P AO＝45°，∴∠P AO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EP A＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，∴＝＝2﹣．如图4中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴＝＝2+．综合以上可得的值为2﹣或2+．23．（11分）如图，一次函数y＝kx+2的图象BC与直线AC在y轴上相交于点C．已知：∠ACB＝90°，点A（3，0）．（1）求直线AC的关系式和k的值．（2）若点P是x轴上一动点，过点P作直线PD⊥x轴，分别交直线AC、BC于点D、E，设点P的坐标为（m，0）．求当△DCE的面积等于13时m的值．【分析】（1）利用射影定理求得OB，得到B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AC的关系式和k的值．（2）根据题意表示出E（m，m+2），D（m，﹣m+2），得到DE＝（m+2）﹣（﹣m+2）＝m，然后根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象BC与y轴相交于点C．∴C（0，2），∴OC＝2，∵点A（3，0），∴OA＝3，∵∠ACB＝90°，∴OC2＝OA•OB，即22＝3OB，∴OB＝，∴B（﹣，0），设直线AC的解析式为y＝ax+2，把A（3，0）代入得，3a+2＝0，解得a＝﹣，∴直线AC的关系式为y＝﹣x+2，把B（﹣，0）代入y＝kx+2得，﹣k+2＝0，解得k＝；（2）∵点P的坐标为（m，0）．则E（m，m+2），D（m，﹣m+2），∴DE＝（m+2）﹣（﹣m+2）＝m，∵△DCE的面积等于13，∴DE•m＝13，即m•m＝13，解得m＝±2．。
河南省南阳市卧龙区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
河南省南阳市卧龙区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.化简√12的结果是()A. 4√3B. 2√3C. 3√2D. 2√62.要使式子x+2√x−3有意义，x的取值应满足()A. x≠3B. x≠−2C. x≥3D. x>33.一元二次方程x2−8x−1=0配方后可变形为()A. (x+4)2=17B. (x+4)2=15C. (x−4)2=17D. (x−4)2=154.下列计算中正确的有()①(√2)2=2；②√32+42=7；③√a⋅√b=√ab；④(√2+√3)(√2−√3)=−1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若2a=3b，则下列等式正确的是()A. ab =23B. ab=32C. ba=32D. b=32a6.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE//BC，下列结论错误的是()A. ADBD =AECEB. ADAB=AEACC. DEBC=ADBDD. BDAB=CEAC7.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，AD，DC的中点，则EF=()A. 13BD B. 12BD C. 12BG D.BG8.如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE//BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于()A. 1：9B. 1：3C. 1：8D. 1：29.已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2−5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是()A. 11B. 12C. 11或12D. 1510.如图，等边△ABC的顶点A(1,1)，B(3,1)，规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2018次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为()A. (−2016,√3+1)B. (−2016,−√3−1)C. (−2015,√3+1)D. (−2015,−√3−1)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若最简二次根式√3a−5与√a+3是同类二次根式，则a=________．=________．12.已知x：y：z=2：3：4，则2x+y−z3x−2y+z13.已知(y2+1)2+(y2+1)−6=0，那么y2+1=______．14.如图，在△ABC中，已知AB=7，AC=11，AD平分∠BAC，BD⊥AD，点E是BC的中点，则线段DE的长度为__________．15.已知，在△ABC中，点D在边AB上，AD=2，AB=6，AC=6，在AC上找一点E，使以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE=____．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.计算：(√3×√15−6√10)÷3√517.解下列方程：(1)x2−6x−3=0；(2)(x−2)2=2x−4．18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出满足下列条件的△A1B1C1和△A2B2C2．(1)将△ABC关于直线l成轴对称的图形向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1；(2)以图中的点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．19.已知一元二次方程x2−2(k−1)x+k2+3=0有两个根分别为x1，x2．(1)求k的取值范围；(2)若原方程的两个根x1，x2满足(x1+2)(x2+2)=8，求k的值。
河南省南阳市唐河县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
河南省南阳市唐河县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是( ) A. √23和√29 B. √2a 和√4a C. √2a 和√8a D. √a 和√a 22. 下列计算错误的是( )A. 5√0.2=√5B. 3√2−√2=2√2C. √2×√5=√10D. √2√5=5√10 3. 如图所示，数轴上的点M 表示的数最有可能是( )A. √2B. √3C. √6D. √104. 方程x 2−6x +10=0的根的情况是( )A. 两个实根和为6B. 两个实根之积为10C. 没有实数根D. 有两个相等的实数根5. 下列各组线段中，能成比例的是( ) A. 1㎝，3㎝，4㎝，6㎝B. 30㎝，12㎝，0.8㎝，0.2㎝C. 11㎝，22㎝，33㎝，44㎝D. 12㎝，16㎝，45㎝，60㎝6. 如图，在△ABC 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：：①∠ACP =∠B ；②∠APC =∠ACB ；③AC 2=AP ⋅AB ；④AB ⋅CP =AP ⋅CB ，能满足△APC 与△ACB 相似的条件是( )A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③7. 从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部点D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是( )A. (6+6√3)米B. (6+3√3)米C. (6+2√3)米D. 12米8.如图，在△ABC中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，梯形ABCD中，AB//DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F，且AE=EF=FB=5，DE=12，动点P从点C出发，沿C→B→A→D的方向以每秒1个单位长度的速度运动到点D停止，设运动时间为t秒，y=S△CDP，则y与t之间的函数图象大致是()A. B.C. D.10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE=1，∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF=√2，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF.下列结论：①△ECF的面积为17；②△AEG的周长为8；③EG2=DG2+BE2.其中正确的2是()A. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算：√27⋅√83÷√12=______．12.已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=34，BC=6，则AB的长是______．13.如图在一块长30m，宽20m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形一条边平行)，剩余部分栽种花草，栽种花草的面积为504m2.则道路的宽为_____．14.如图，G为△ABC的重心，GN//AC交BC于N，那么MN：BC=______．15.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为线段AB上一点，AE=2√3，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为_____．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）16.如图：∠BEO=∠BCD，AB=10，AC=2，AD=5，求：BE的长．四、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17. (1)计算：|−3|−√18×(π−3)0+(−12)−2−√2+1(2)解方程(x +8)(x +1)=−12；(3)解方程2x 2−3x −1=0 (要求用配方法)18. 已知x =3，y =2，求√x √x−√y −√y √x+√y的值．19. 如图，E 是边长为4的正方形ABCD 的边AB 上的点，且AE =1，EF ⊥DE 交BC 于点F ，求线段CF 的长．20.已知关于x的一元二次方程mx 2−(m+2)x+2=0(1)若方程的一个根为3，求m的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式的值等于1，求m的值．21.小华周末去汉唐书城买书，发现书城所在的大楼的楼顶有一面大约3m高的旗帜(如图所示)，于是他想利用所学知识测量下书城所在大楼的高度，小华在楼前空地上的点D处，用1.3米高的测角仪CD从点C测得旗帜的底部B的仰角为35°，然后向教学楼正方向走了5米到达点F处，又从点E测得旗帜的顶部A的仰角为45°.已知点A、B、M在同一直线上，CD⊥DM，EF⊥DM，请根据以上数据，求这座大楼的高度BM.(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.结果精确到0.1m)．22.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为35万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量还会返利给销售公司，销售量在8辆以内(含8辆)，每辆返利0.6万元；销售量在8辆以上，每辆返利1.2万元．(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为______ 万元；(2)如果汽车的售价为36万元/辆，该公司计划当月盈利10万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利=销售利润+返利)23.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=5cm，BC=3cm。
华师大版2019-2020学年河南省南阳市内乡县九年级(上)期中数学试卷解析版
2019-2020学年河南省南阳市内乡县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确答案填到下列方框中） 1．（3分）下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为1a <的是( )A B CD2．（3分）若tan(10)a +︒=a 的度数是( ) A ．20︒ B ．30︒C ．35︒D ．50︒3．（3分）在化简甲、乙、丙三位同学化简的方法分別是甲：原式233633==；乙：原式33====( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．都正确4．（3分）用配方法解方程22103x x --=时，应将其变形为( )A ．218()39x -=B ．2110()39x +=C ．22()03x -=D ．2110()39x -=5．（3分）如图，已知123∠=∠=∠，则下列表达式正确的是( )A ．AB DEAD BC=B ．AC ADAE AB=C ．AB ADAC AE=D ．BC AEDE AC=6．（3分）如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得2AD m =，3BD m =，9CE m =，则河宽DE 为( )A ．5mB ．4mC ．6mD ．8m7．（3分）如图，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,1)．若将线段AB 平移至11A B ，1A 、1B 的坐标分別(3,)b 、(,2)a ，则a b +的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．（3分）如果代数式225x x -+的值等于7，则代数式2361x x --的值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．89．（3分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有( ) A ．(18020)(50)1089010xx +--= B ．180(20)(50)1089010x x ---= C ．180(50)50201089010x x ---⨯=D ．(180)(50)50201089010xx +--⨯=10．（3分）如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为( )A ．3B ．4C ．4.5D ．5二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3不相等且是同类二次根式的根式 ．12．（3分）计算：÷ ．13．（3分）计算22sin30cos4560tan45︒+︒︒︒=．14．（3分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，16AB cm=，8AD cm=，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3/cm S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2/cm s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是10cm．15．（3分）如图，ABC∆是等腰三角形，90ACB∠=︒，过BC的中点D作DE AB⊥，垂足为E，连结CE，则tan ACE∠的值为．三、解答题（共75分）16．（8分）在ABC∆中，90C∠=︒，若BC=3AC=，求A∠和AB的值．17．（8分）已知2+是方程240x x c-+=的一个根，求方程的另一个根及c的值．18．（9分）小颖、小明、小亮在解方程23x x=时，解法各不相同，请你回答下列问题：（1）简要分析一下三位同学的解法是否正确．如果正确，他运用了哪种解一元二次方程的方法；如果错误，错误的原因是什么？你是否从中体会到解一元二次方程的数学思想是什么？（2）请你选择一种你熟练的方法尝试解一元二次方程4(21)3(21)x x x+=+．19．（9分）如图，大楼AB高16m，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为38.5︒，在楼顶A处测得塔顶的仰角为22︒，求塔高CD的高及大楼与塔之间的距离BC的长．（参考数据：sin220.37si︒≈，cos38.50.78︒≈，︒≈，38.50.62︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈．tan38.50.80)20．（9分）如图，在ABCAB cm=，动点P从点A开始沿AB边运动，BC cm∆中，8=，16速度为2/cm s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4/cm s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时QBP∆与ABC∆相似？21．（10分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=，且3 tan4EFC∠=．（1）AFB∆与FEC∆有什么关系？试证明你的结论．（2）求矩形ABCD的周长．22．（10分）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC BD⊥．已知它们的对应边之比为1:3，小风筝两条对角线的长分別为12cm和14cm．（1）小风筝的面积是多少？（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗）（3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？23．（12分）如图，一次函数23y x=-+的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合）过点P分別作OA和OB的垂线，垂足为C，D．（1）关于矩形OCPD面积的探究：①点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？写出计算过程．②是否存在一点P ，能使矩形OCPD 的面积为32？说说你的理由． （2）设点P 的坐标是(P x ，23)(0)x x -+>，图中阴影部分的面积为S ，学试完成下列问题： ①建立x 与S 的关系式，并类比一次函数猜想S 是x 的什么函数，能否对此类函数下一个描述性的定义，其中包含它的一般形式；②我们知道代数式2(1)9x ++有最小值9，试问当P 在何处时S 有最小值，请把你的理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确答案填到下列方框中） 1．（3分）下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为1a <的是( )A B CD 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，同时应考虑分母中若有字母，字母的取值不能使分母为零，即可求解． 【解答】解：A 、当1a …时，根式有意义．B 、当1a …时，根式有意义．C 、a 取任何值根式都有意义．D 、要使根式有意义，则1a …，且分母不为零，故1a <，故选：D ．【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆．2．（3分）若tan(10)a +︒=a 的度数是( ) A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．50︒【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：tan(10)a +︒=tan 60︒ 1060a ∴+︒=︒， 50a ∴=︒．故选：D ．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【相关链接】特殊角三角函数值：1sin302︒=，cos30︒=，tan30︒=cot 30︒=；sin 452︒=，cos 452︒=，tan451︒=，cot 451︒=；sin 60︒，1cos602︒=，tan 60︒=cot 60︒=．3．（3分）在化简甲、乙、丙三位同学化简的方法分別是甲：原式233633==；乙：原式33====( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．都正确【分析】直接利用二次根式的性质分别判断得出答案． 【解答】解：甲：原式233633==，正确；乙：原式33==丙：原式== 故选：D ．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键． 4．（3分）用配方法解方程22103x x --=时，应将其变形为( )A ．218()39x -=B ．2110()39x +=C ．22()03x -=D ．2110()39x -=【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【解答】解：22103x x --=， 2213x x ∴-=， 22111399x x ∴-+=+，2110()39x ∴-=．故选：D ．【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．（3分）如图，已知123∠=∠=∠，则下列表达式正确的是()A．AB DEAD BC=B．AC ADAE AB=C．AB ADAC AE=D．BC AEDE AC=【分析】证明BAC DAE∆∆∽，根据相似三角形的性质列出比例式，判断即可．【解答】解：12∠=∠，12DAC DAC∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE∠=∠，23∠=∠，AFE DFC∠=∠，C E∴∠=∠，BAC DAE∠=∠，C E∠=∠，BAC DAE∴∆∆∽，∴AB BCAD DE=，A选项错误；BAC DAE∆∆∽，∴AC ABAE AD=，B选项错误；BAC DAE∆∆∽，∴AB ADAC AE=，C选项正确；BAC DAE∆∆∽，∴BC ACDE AE=，D选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．（3分）如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE，他量得2AD m=，3BD m=，9CE m=，则河宽DE为()A ．5mB ．4mC ．6mD ．8m【分析】根据相似三角形对应线段成比例，解题即可． 【解答】解：根据题意，BD AE ⊥，CE AE ⊥ ABD ACE ∴∆∆∽又2AD m =，3BD m =，9CE m =．∴13BD AD CE AE == 6AE ∴=4DE ∴=．【点评】此题主要考查相似三角形对应线段成比例．7．（3分）如图，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,1)．若将线段AB 平移至11A B ，1A 、1B 的坐标分別(3,)b 、(,2)a ，则a b +的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】观察图形可知将线段向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到线段11A B ． 【解答】解：观察图形可知将线段向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到线段11A B ， 1a ∴=，1b =， 2a b ∴+=，故选：A ．【点评】本题考查平移变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（3分）如果代数式225x x -+的值等于7，则代数式2361x x --的值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】应将代数式化为：23(2)1x x --，由于代数式225x x -+的值等于7，那么222x x -=，将其代入代数式并求出代数式的值． 【解答】解：代数式225x x -+的值等于7， 222x x ∴-=， 2361x x ∴--23(2)1x x =-- 61=-5=．故选：A ．【点评】本题考查代数式的求值，关键在于找出代数式与已知条件的关系，根据已知条件求出代数式中的未知项，代入求解．9．（3分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有( ) A ．(18020)(50)1089010xx +--= B ．180(20)(50)1089010x x ---= C ．180(50)50201089010x x ---⨯=D ．(180)(50)50201089010xx +--⨯= 【分析】设房价定为x 元，根据利润=房价的净利润⨯入住的房间数可得． 【解答】解：设房价定为x 元， 根据题意，得180(20)(50)1089010x x ---=． 故选：B ．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．10．（3分）如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为( )A ．3B ．4C ．4.5D ．5【分析】根据三角形中位线定理可知12EF DN =，求出DN 的最大值即可． 【解答】解：如图，连结DN ，DE EM =，FN FM =，12EF DN ∴=， 当点N 与点B 重合时，DN 的值最大即EF 最大，在Rt ABD ∆中，90A ∠=︒，3AD =，AB =，6BD ∴=， EF ∴的最大值132BD ==．故选A ．【点评】本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型． 二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出答案．【解答】=、【点评】本题考查同类二次根式的知识，属于基础题，注意解答本题的关键是将原根式化为最简二次根式，掌握同类二次根式的被开方数相同．12．（3分）计算：÷ 3 ．【分析】直接化简二次根式进而利用二次根式的混合运算法则得出答案．【解答】解：原式=÷=3=．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．13．（3分）计算22sin 30cos 4560tan 45︒+︒︒︒= ．【分析】分别把1sin302︒=，cos 45︒=，sin 60︒，tan451︒=代入原式计算．【解答】解：原式221()()122=++1142=++=． 【点评】考查了特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊值是关键．14．（3分）如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，16AB cm =，8AD cm =，动点P ，Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3/cm S 的速度向B 移动，一直到达B 为止；点Q 以2/cm s 的速度向D 移动．当P 、Q 两点从出发开始到 2或225秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ．【分析】设当P 、Q 两点从出发开始到x 秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ，此时3AP xcm =，(162)DQ x cm =-，利用勾股定理即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设当P 、Q 两点从出发开始到x 秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ，此时3AP xcm =，(162)DQ x cm =-，根据题意得：222(1623)810x x --+=， 解得：12x =，2225x =． 答：当P 、Q 两点从出发开始到2秒或225秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ． 故答案为：2或225． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x 的一元二次方程是解题的关键．15．（3分）如图，ABC ∆是等腰三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连结CE ，则tan ACE ∠的值为 3 ．【分析】先利用等腰三角形的性质得到90A B ∠=∠=︒，AC BC AB ==，再判断AEF ∆和BED ∆都是等腰直角三角形，设BE x =，则BD =，则用x 可表示出BC AC ==，4AB x =，3AE x =，AF EF x ==，从而得到CF x ，然后在Rt EFC ∆中利用正切的定义求解．【解答】解：作EF AC ⊥于F ，如图， ABC ∆是等腰三角形，90ACB ∠=︒，90A B ∴∠=∠=︒，AC BC AB ==， EF AC ⊥，DE AB ⊥，AEF ∴∆和BED ∆都是等腰直角三角形，设BE x =，则BD ， 点D 为BC 的中点，BC AC ∴==，4AB x ∴==，43AE x x x∴=-=，AF EF AE∴===，CF AC AF x∴=-==，在Rt EFC∆中，tan3EFECFCF∠===．故答案为3．【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．三、解答题（共75分）16．（8分）在ABC∆中，90C∠=︒，若BC=3AC=，求A∠和AB的值．【分析】在Rt ACB∆中，根据tanBCAAC=求出A∠，根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，在ABC∆中，90C∠=︒，BC3AC=，则AB==tanBCAAC∠=30A∴∠=︒．【点评】本题考查了勾股定理和特殊角的三角函数值，能灵活运用锐角三角形函数的定义进行计算是解此题的关键．17．（8分）已知2+是方程240x x c-+=的一个根，求方程的另一个根及c的值．【分析】把2代入方程240x x c-+=就得到关于c的方程，就可以解得c的值，进而求出方程式和它的解．【解答】解：把2240x x c-+=，得2(24(20c+-++=，解得1c=；所以原方程是2410x x-+=，解得方程的解是2x=±；∴另一解是2-【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．18．（9分）小颖、小明、小亮在解方程23x x=时，解法各不相同，请你回答下列问题：（1）简要分析一下三位同学的解法是否正确．如果正确，他运用了哪种解一元二次方程的方法；如果错误，错误的原因是什么？你是否从中体会到解一元二次方程的数学思想是什么？（2）请你选择一种你熟练的方法尝试解一元二次方程4(21)3(21)x x x+=+．【分析】（1）利用解方程的几种方法对三个同学的解法进行判断；解一元二次方程就是把一元二次方程转化为一元二次方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）小颖和小明的解法正确；小亮的解法错误．小颖运用了公式法、小明运用了因式分解法．小亮的错误是方程两边约去x，不符合等式的性质3；解一元二次方程的数学思想是转化的思想．（2）4(21)3(21)0x x x+-+=，(21)(43)0x x+-=，210x+=或430x-=，所以11 2x=-，23 4x=．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．19．（9分）如图，大楼AB高16m，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为38.5︒，在楼顶A处测得塔顶的仰角为22︒，求塔高CD的高及大楼与塔之间的距离BC的长．（参考数据：sin220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈，38.50.62si︒≈，cos38.50.78︒≈，tan38.50.80)︒≈．【分析】过点A作AE CD⊥于点E，由题意可知：22CAE∠=︒，38.5CBD∠=︒，16ED AB==米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE BD x==，分别在Rt BCD∆中和Rt ACE∆中，用x表示出CD和CE AE=，利用CD CE DE-=得到有关x的方程求得x 的值即可．【解答】解：过点A 作AE CD ⊥于点E ，由题意可知：22CAE ∠=︒，38.5CBD ∠=︒，16ED AB ==米， 设大楼与塔之间的距离BD 的长为x 米，则AE BD x ==， 在Rt BCD ∆中，tan CDCBD BD∠=， CD BD ∴= tan 38.50.8x ︒≈，在Rt ACE ∆中，tan CECAE AE∠=， CE AE ∴= tan 220.4x ︒≈， CD CE DE -=， 0.80.416x x ∴-=， 40x ∴=，即40BD =（米)， 0.84032CD =⨯=（米)，答：塔高CD 是32米，大楼与塔之间的距离BD 的长为40米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．20．（9分）如图，在ABC ∆中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么何时QBP ∆与ABC ∆相似？【分析】设经过t 秒时，以QBC ∆与ABC ∆相似，则2AP t =，82BP t =-，4BQ t =，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQBA BC=时，BPQ BAC ∆∆∽，即824816t t -=；当BP BQBC BA=时，BPQ BCA ∆∆∽，即824168t t -=，然后方程解方程即可．【解答】解：设经过t 秒时，以QBC ∆与ABC ∆相似，则2AP t =，82BP t =-，4BQ t =， PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQ BA BC =时，BPQ BAC ∆∆∽，即824816t t-=，解得2()t s =；当BP BQBC BA=时，BPQ BCA ∆∆∽，即824168t t -=，解得0.8()t s =； 即经过2秒或0.8秒时，QBC ∆与ABC ∆相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．21．（10分）如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE =，且3tan 4EFC ∠=． （1）AFB ∆与FEC ∆有什么关系？试证明你的结论． （2）求矩形ABCD 的周长．【分析】（1）由矩形的性质与折叠的性质，易证得90B C ∠=∠=︒，BAF EFC ∠=∠，继而证得AFB FEC ∆∆∽；（2）设3EC xcm =，4FC xcm =，继而求得AF =，则可求得x 的值，继而求得答案．【解答】解：（1）AFB FEC ∆∆∽． 证明：四边形ABCD 是矩形， 90B C D ∴∠=∠=∠=︒， 90BAF AFB ∴∠+∠=︒，由折叠的性质可得：90AFE D ∠=∠=︒， 90AFB CFE ∴∠+∠=︒，BAF CFE ∴∠=∠， AFB FEC ∴∆∆∽；（2）3tan 4EFC ∠=， ∴在Rt EFC ∆中，34EC FC =， 设3EC xcm =，4FC xcm =，5()EF x cm ∴=，由折叠的性质可得：5DE EF xcm ==， 8()AB CD DE CE x cm ∴==+=， BAF EFC ∠=∠， 3tan 4BF BAF AB ∴∠==， 6BF xcm ∴=，10()AF x cm ∴=，()AE cm ∴=，5AE =，1x ∴=，1010()AD BC AF x cm ∴====，88()AB CD x cm ===，∴矩形ABCD 的周长为：10108836()cm +++=．【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．22．（10分）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC BD ⊥．已知它们的对应边之比为1:3，小风筝两条对角线的长分別为12cm 和14cm ．（1）小风筝的面积是多少？（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗）（3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？【分析】（1）根据三角形的面积公式列式计算即可；（2）根据相似三角形的性质得到242AC AC cm ''==，同理336B D BD cm ''==，于是得到结论；（3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）AC BD ⊥， ∴小风筝的面积211121484()22S AC BD cm ==⨯⨯=； （2）小风筝与大风筝形状完全相同，∴假设大风筝的四个顶点为A '，B '，C '，D '，ABC ∴∆∽△A B C '''，它们的对应边之比为1:3，242AC AC cm ∴''==，同理336B D BD cm ''==，∴至少需用423678cm +=的材料；（3）从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积24236984756()cm =⨯-⨯=．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．23．（12分）如图，一次函数23y x =-+的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合）过点P 分別作OA 和OB 的垂线，垂足为C ，D ．（1）关于矩形OCPD 面积的探究：①点P 在何处时，矩形OCPD 的面积为1？写出计算过程．②是否存在一点P ，能使矩形OCPD 的面积为32？说说你的理由． （2）设点P 的坐标是(P x ，23)(0)x x -+>，图中阴影部分的面积为S ，学试完成下列问题： ①建立x 与S 的关系式，并类比一次函数猜想S 是x 的什么函数，能否对此类函数下一个描述性的定义，其中包含它的一般形式；②我们知道代数式2(1)9x ++有最小值9，试问当P 在何处时S 有最小值，请把你的理由．【分析】（1）①根据题意列方程即可得到结论；②由题意得到3(23)2x x -+=，整理得到24630x x -+=，由于△36480=-<，此方程无实数根，于是得到不存在一点P ，能使矩形OCPD 的面积为32； （2）①解方程得到3(2A ，0)，(0,3)B ，根据三角形和矩形的面积公式得到()213932323224AOB OCPD S S S x x x x ∆=-=⨯⨯--+=-+矩形，根据二次函数的特征即可得到结论；②把二次函数化为顶点式22939232()448S x x x =-+=-+，根据二次函数的性质得到结论． 【解答】解：（1）点P 在线段AB 上，∴设(P x ，23)(0)x x -+>，①由题意得，(23)1x x -+=，解得：11x =，212x =， 231x ∴-+=或1232x -+=， 综上所述，当(1,1)P 或1(2，2)时，矩形OCPD 的面积为1； ②由题意得，3(23)2x x -+=， 整理得，24630x x -+=，△36480=-<，此方程无实数根，∴不存在一点P ，能使矩形OCPD 的面积为32；（2）①一次函数23y x =-+的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，3(2A ∴，0)，(0,3)B ， ()213932323224AOB OCPD S S S x x x x ∆∴=-=⨯⨯--+=-+矩形， 它是二次函数，类比得到一般的，若两个变量x ，y 的对应关系可以表示2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的形式，则称y 是x 的二次函数； ②22939232()448S x x x =-+=-+， ∴当34x =时，S 有最小值， ∴当3(4P ，3)2时，S 有最小值． 【点评】本题考查了一次函数的综合，一元二次方程根的判别式，图形的面积，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．。
河南省南阳市方城县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
河南省南阳市方城县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．12.4米B．5．一元二次方程23x x+-A．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根6．如图，D、E分别是ABC4AC=，则AE的长是（A．43B．7．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利价处理：每件衬衫售价每降价A．21-B．51-A，9．在直角坐标系中，已知点(2,4)的位似比为2的位似图形OA B''△，则点A．(1,2)B．(4,8)()--4,810．如图，点E在正方形交边BC于点M，交边A．23B．352二、填空题11．计算()27-的结果是14．如图，ABC 分的面积是15．在Rt ABC △中，C ∠=的中点．当APQ △为直角三角形时，直角边三、计算题16．计算：(1)32722622÷⨯-(2)()()232526+⨯-17．请选择适当方法解下列方程：(1)()2517.2x +=(2)()()23525x x -=-(3)()()1122x x x+-=四、问答题18．如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔DE 的高度，他直立站在该塔的影子AE 上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离36m CE =，已知小明的身高18m .=BC ，他的影长4m AC =，求古塔的高度．五、计算题19．关于x 的方程22210x mx m ++-=(1)不解方程，判断方程根的情况；(2)若方程有一个根为1，求方程的另外一个根．六、证明题20．如图，E 是矩形ABCD 的边CB 上的一点，AF D E ⊥于点F ，3AB =，2AD =，1CE =．(1)求证：AFD DCE △∽△．(2)求线段AF 的长．七、问答题21．综合与实践问题情景：小琴在延时服务剪纸课上发现了奇妙的数学知识，可以利用方程解决剪纸问题中的剩余面积问题．(1)独立思考：如图1，长方形纸片ABCD 长为20cm ，宽为12cm ，按如图方式剪下一个八、作图题22．如图，在平面直角坐标系中，点()2,0A -，()4,0B ．现同时将点A 、B 分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ．(1)请在给定的平面直角坐标系中，画出点C 、D ，则C ，D 的坐标分别为C ：______，D ：______．(2)分别连结AC CD DB ，，得到四边形ABCD ，求出四边形ABCD 的面积；(3)在y 轴上是否存在一点()0,E m ，使得DEC 的面积是DEB 面积的2倍？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由；九、问答题23．对于初中数学“几何与图形”这一部分的学习，通过对矩形纸片的剪拼，旋转等“图形的变化”，可以整合初中所学数学知识，从而深化对定义、定理的理解．下面是王老师在数学课上设计的问题，请你解答：(1)观察发现：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为ABC 和DFE △，其中90ACB DEF ∠=∠=︒，A D ∠=∠．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放，其中点B 与F 点重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时，延长DE 交AC 于点G ．猜想并判断四边形BCGE 的形状为______．（直接写出结果，不说明理由．）(2)实践探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在ABC 内部，如图3，当ABE BAC ∠=∠时，过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点M ，BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．(3)类比延伸：如图4，当CBE BAC ∠=∠时，过点A 作AH DE ⊥于点H ，若3BC =，4AC =，求AH 的长．。